范德蒙行列式应用三则

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[整理版]范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。

它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一．范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。

级行列式中，第错误！未找到引用源。

行（或第错误！未找到引用源。

列）的元素除错误！未找到引用源。

外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。

与它的代数余子式错误！未找到引用源。

的乘积错误！未找到引用源。

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中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。

倍得错误！未找到引用源。

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根据上述定理错误！未找到引用源。

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提出每一列的公因子后得错误！未找到引用源。

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最后一个因子是错误！未找到引用源。

阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。

表示，则有错误！未找到引用源。

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此处错误！未找到引用源。

是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得错误！未找到引用源。

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范德蒙德行列式举例

范德蒙德行列式举例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲范德蒙德行列式。

你知道吗，这范德蒙德行列式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！比如说，咱来看看这个例子。

假设现在有三个数 1、2、3，按照范德蒙德行列式的规则去计算，哇塞，就能得出一个特别的结果。

这不就像你在一个迷宫里，到处找出口，突然找到了那把关键的钥匙，一下子就走出去啦！再比如，碰到一堆数字，乱糟糟的，毫无头绪，但用范德蒙德行列式一规整，嘿，清晰了！这多有意思啊！就好像原本是一团乱麻，被一下子理顺了。

我之前碰到过一个很复杂的数学问题，左思右想半天没个头绪，那感觉，真的太难受了啊！后来发现可以用范德蒙德行列式来解决，哎呀呀，当时那个兴奋啊！就跟在黑暗中突然看到了亮光一样。

再想想，这范德蒙德行列式不就是数学世界里的秘密武器嘛！它能把复杂的变得简单，把不可能变成可能。

别人还在纠结的时候，你一拍脑袋，嘿，用范德蒙德行列式呀！那得多牛啊！就像是你掌握了别人都不知道的绝招。

说真的，范德蒙德行列式真的好神奇，好有趣！它能让我们看到数学的魅力和美妙之处。

一旦你了解了它，尝试去运用它，你就会发现，哇，原来数学还能这么好玩！这范德蒙德行列式就是数学领域的一颗璀璨明珠啊，等着我们去发掘，去探索，去感受它的独特魅力！所以啊，一定要好好了解下范德蒙德行列式哟！。

范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用

2020.36科学技术创新范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用韩荣梅(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014000)1范德蒙行列式在多项式中的应用分析多项式中求根类的题目时,范德蒙行列式和一些特殊的性质能提升解决问题的效率,亦能间接的帮助我们解出问题的结果,让解题过程更清晰,易懂。

例1:假设f (x )=b 0+b 1x 1+b 2x 2…+b n x n ,若f (x )至少有n+1个不同的根,则f (x )=0。

证明:取x 1,x 2,…,x n+1为f (x )的n+1个根,且各不相同。

代入得:(1)其中b 1,b 2,…,b n 做未知量。

其中的系数行列式中x i ≠x j (i≠j )。

该式又为范德蒙行列式,故而:所以方程组(1)只有零解。

从而b 0=b 1=b 2=…=b n =0,即f (x )=0。

例2:在数域F 中,设b 1,b 2,…,b n 为互不相同的数,而c 1,c 2,…,c n 为数域F 中的任意一列不全为零的确定的数。

则存在唯一的数域F 上的次数小于n 的多项式f (x ),使f (b i )=c i (i =1,2,…,n )证明:设f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1由题f (b i )=c i (i =1,2,…,n )可知:(2)由题可知b 1,b 2,…,b n 之间都是不同的,这样它就变成了一个范德蒙行列式。

那么其结果就为:故而有唯一的解,且解为次数小于n 的多项式,f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1,能让f (b i )=c i (i =1,2,…,n )不难发现,范德蒙行列式在多项式中的应用方法很便捷,可以通过创建向量组等方法,亦或者通过取不同的根引入多项式中,将系数看作未知量。

得到一个系数行列式。

就构造了新的范德蒙行列式。

然后通过范德蒙行列式,直接得到结果或一些性质或者是证明结果。

2范德蒙行列式在线性变换中的应用线性变换是高等代数中的一个难点。

范德蒙行列式应用三则

范德蒙行列式应用三则
范德蒙行列式是一种有用的数学工具，它可以用来解决各种复杂的数学问题。

它的应用非
常广泛，可以用来解决几何、代数、统计学等问题。

下面我们就来看看范德蒙行列式的三
个应用实例。

首先，范德蒙行列式可以用来解决几何问题。

例如，如果我们想要求解一个三角形的面积，我们可以使用范德蒙行列式来计算。

我们只需要输入三角形的三个顶点的坐标，就可以得
到三角形的面积。

其次，范德蒙行列式也可以用来解决代数问题。

例如，如果我们想要求解一个多项式的根，我们可以使用范德蒙行列式来计算。

我们只需要输入多项式的系数，就可以得到多项式的根。

最后，范德蒙行列式也可以用来解决统计学问题。

例如，如果我们想要求解一个数据集的协方差，我们可以使用范德蒙行列式来计算。

我们只需要输入数据集的数据，就可以得到数据集的协方差。

总之，范德蒙行列式是一种非常有用的数学工具，它可以用来解决几何、代数、统计学等问题。

它的应用非常广泛，可以为我们解决各种复杂的数学问题提供帮助。

范德蒙德行列式的研究与应用

范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。

2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。

3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。

1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。

具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。

范德蒙行列式经典例题

范德蒙行列式经典例题范德蒙行列式是19世纪的数学家哈勒•范德蒙提出的一种数学思想，它可以用来解决许多数学问题。

范德蒙行列式的经典应用是用来解决二元一次方程，而这样就给出了许多可以用来练习的例题。

下面将介绍列出几个范德蒙行列式经典例题：一、解决一元二次方程题目：2x2+7x+1=0解：通过范德蒙行列式，可得：|2 7||1 0|令左边矩阵的行列式D = 2*0-7*1 = -7则根据范德蒙行列式，可求出：x1= D/2= -7/2x2= (-7+-√49)/4即根为x1=-3.5，x2=-1.5二、解决多元一次方程题目：2x+y+6z=17 , 5x-y-3z=2 , 4x+3y-2z=1解：通过范德蒙行列式，可得：|2 1 6||5 -1 -3||4 3 -2|令左边矩阵的行列式D = (2*(-1)*(-2)-1*5*(-3)+6*3*4) = 28 则根据范德蒙行列式，可求出：x1= (17*(-2)*(-3)-2*(-1)*6+1*5*4)/D= 6x2= (17*(-1)*4-2*3*6+1*(-3)*5)/D= 4x3= (17*2*3-2*(-1)*(-3)+1*(-1)*(-2))/D= 3三、应用范德蒙行列式进行微积分题目：求∫sin2(x)dx解：利用范德蒙行列式，可得：| sin 2x -1 || cos 2x 0 |令左边矩阵的行列式D = sin2x * 0 - (-1) * cos2x = cos2x则根据范德蒙行列式，则可求得∫sin2(x)dx= sin2x + c,其中c为常数。

四、直角梯形面积计算题目：梯形ABCD的对角线AB和CD的长分别为2 cm 和4 cm，且∠BAC=45°，求梯形ABCD的面积S。

解：通过范德蒙行列式，可得：|2 tan45°||4 0 |令左边矩阵的行列式D = (2 * 0 - tan45° * 4) = -2因此面积S = D / 2 = -1由此可看出，梯形ABCD的面积为1平方厘米。

范德蒙德行列式的几点应用

范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行．例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式．（2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。

范德蒙行列式在多项式插值中的应用

范德蒙行列式在多项式插值中的应用在多项式插值中，范德蒙行列式是一种非常重要的工具。

它可以用来求解多项式插值系数，并且具有良好的数值特性和稳定性。

在本文中，我们将分步骤地介绍范德蒙行列式在多项式插值中的应用。

第一步：了解范德蒙行列式范德蒙行列式是一种在线性代数和多项式插值中非常重要的矩阵。

它的形式为：$$D_n(x) = \begin{vmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{vmatrix}$$其中， $x_0, x_1, \dots, x_{n-1}$ 是给定的 $n$ 个数。

范德蒙行列式的值可以通过公式计算，也可以用高斯消元法求解。

第二步：求解多项式插值系数给定 $n+1$ 个不同的点 $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条经过这些点的 $n$ 次多项式：$$p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}$$这个问题可以通过范德蒙行列式求解。

具体来说，我们可以构造一个向量$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$$和一个矩阵$$\mathbf{V} = \begin{bmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}\end{bmatrix}$$那么，我们就可以用范德蒙行列式求解系数向量 $\mathbf{a}$：$$\mathbf{a} = \frac{1}{D_n(x)} \begin{bmatrix}D_0(x) & -D_1(x) & D_2(x) & \cdots & (-1)^n D_n(x) \\-D_1(x) & D_2(x) & -D_3(x) & \cdots & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x)\\D_2(x) & -D_3(x) & D_4(x) & \cdots & (-1)^{n+2} D_{n+2}(x) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\(-1)^{n} D_{n}(x) & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x) & (-1)^{n+2}D_{n+2}(x) & \cdots & D_{2n}(x)\end{bmatrix} \cdot \mathbf{y}$$其中，$D_i(x)$ 是范德蒙行列式中第 $i$ 列的值。

范德蒙行列式的相关应用

范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：1222212111112111()nn n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。

常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。

例1 计算222111222333nn n nD n n n =解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。

而是由1递升至n 。

如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.[]21212111111222!!(21)(31)(1)(32)(2)(1)13331n n n n D n n n n n n nn n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n nn =--例2 计算1111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：[][](1)21111(1)211111(1)(1)()(1)()(1)(1)(2)()2(1)((1))!n n n n n n nnn n nk aa a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏ 若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例3 计算1234222211223344232323231122334411111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ解将D 的第一行乘以-1加到第二行得：123422221122334423232323112233441111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：12342222141234333412341111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ==Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏例4 计算211122222111111111nnnn n nx x x x x x D x x x ++++++=+++ （1）解先加边，那么22111111222222222210001111111111111111111nnnn nn n n nnn nx x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+++=+++=+++再把第1行拆成两项之和，2211111122111120001111nnn n nnnnnnx x x x x x D x x x x x x =-11111112()(1)()()[2(1)]nnk j i k j j k ni j k nnnk j i i j k ni i x xx x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=---∏∏∏∏∏∏2.加行加列法各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法：例5 计算2221233312121113nn nnn nx x x D x x x x x x =解作1n +阶行列式：122222121333312121111nn n nnnn n nzx x x z x x x D z x x x z x x x +==1()()ni j k i l k j nx z x x =≤<≤--∏∏由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：211211(1)()()nn n j k i n j k li x x x x x x -=≥>≥--∑∏通过比较系数得：1211()()nn j k i n j k li D x x x x x x =≥>≥=-∑∏ 3.拉普拉斯展开法运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：例6 计算111111122122111000010010010010001n n n n n n nn nnx x y y x x D y y x x y y ------=解取第1，3，21n -行，第1，3，21n -列展开得：11111111222211111111n n n n n n nnnnx x y y x x y y D x xy y------==()()j i j i n j i lx x y y ≥>≥--∏4.乘积变换法例7 设121(0,1,22)nk k k k k ni i s xx x x k n ==+++==-∑，计算行列式 01112122n n n nn s s s s s s D s s s ---=解11121111222111nnn iii i nnn n iiii i i nnnn n n iii i i nxxxxx D xxx-=====--====∑∑∑∑∑∑∑∑211111221222222122111122111111()n nn nn n n n nnnnj i l i j nx x x x x x x x x x x x x xxx x x x x -----≤<≤==-∏例8 计算行列式000101011101()()()()()()()()()nn n n n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。

范德蒙行列式应用三则

ｙ：（ｂ一口（一０（）ｃ）ｄ一０（一６（）ｃ）ｄ—ｂ（）ｄ，ｉ， ≤ｉ ≤ｎ）（ ≠ １＜Ｊ．
—
ｃ）
・
（一０（ —ｂ（ —ｃ（ —ｄ））））
２．计算行列式１
将上式展开为的四次多项式得的系数为
●
●
；２
一
范德蒙行列式应用三则。
张文治赵艳
●
２
２
；疗
．．一
．
扎扎
３
２
．
．一
（北华航天工业学院基础部，河北廊坊０５０）６００一一一一
一 ● ．
．
摘
要：本文介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算及证明的三个应用问题。
２．证明２
１
１２
ｌ
１ｉ ≤ ｎ ≤ ＜
Ｉ（一）Ｉ
１
２２２
１
３２３
１
ｎ
因此Ｄ＝∑ ｆ Ⅱ （一）。
ｉ１＝１ｉ＜，ｎ ≤ ≤ ２ Fra bibliotekｎ ●
２３设（＝ａ＋ａ＋ａ２．）。１２＋… ＋０
＝
０
２６ｃｄ２２２６
ｃｄ
Ｄ
０
也即行列式Ｄ的值为的按第五列展开式中
则有
Ｖ１（ — ｉ＝７）
系数的相反数。
又由定理可得
（明参见文献［］．证１）并且有Ｖ＝

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根．证设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根．例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可．设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解注意到下面的等式：即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤．例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式能被()()2121221n n n n ----整除．证直接运用例6、例7可得能被()()()2121!2!1!1221n n n n n ---=--整除．例9 计算n 阶范德蒙德行列式()()()221212421111111111n n n n n n V εεεεεεεεε-----=，其中22cossini n nππε=+⋅．解注意到1kε=当且仅当|n k ，可得()()()1222000000100000n n n n n nV n n n--==-，由此()()1222n n n n V i n --=±，n V 的模2n n V n =．现在来确定n V 的幅角：令cossini nnππα=+，2εα=，故对于上面考虑的j 和k ，总有0k j n <-<，这意味着()sin0k j nπ->，因此()2012sinn n j k n k j V n nπ<--==∏≤≤，由此可设n n V V β=⋅，其中这样就求得了()()13222n n n n V in --=．例10 证明缺项的n 阶范德蒙德行列式证按n V 的第一行展开行列式，可得例11 设有n 个常数12,,,n b b b ，n 个两两不同的常数12,,,n a a a 以及由x 的恒等式定义的一个多项式()p x ．对于一个已知多项式()t φ，定义另一个多项式()Q x ，它为上面的恒等式中将()12,,,,n p x b b b 分别代之以()()()()12,,,,n Q x b b b φφφ所得的x 的恒等式所确定．证明用多项式()()()12n x a x a x a ---除以()()p x φ所得的余式为()Q x ．证由于n 阶范德蒙德行列式()21111212221211101n n kj j k nn nnna a a a a a aa a a a --<-=-≠∏≤≤，按题设这里的行列式的最后一列展开，可知()p x 是个次数小于n 的多项式．从条件知对每个i a ，()()212121111111112121222222222121000011101111n i ii i i i n n n n n n nnnnnnnnp a b a a a p a a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b a a a b --------==，必须()i i p a b =，1 i n ≤≤．由拉格朗日插值公式知()1nj i i j ii jx a p x b a a =≠-=-∑∏．同理可求出由恒等式所定义的多项式()()1nj i i j ii jx a Q x b a a φ=≠-=-∑∏．设()()()()()()()12n p x q x x a x a x a r x φ=⋅---+，其中()r x 的次数小于n ．为证()()r x Q x =，只需证明1 i n ≤≤时，()()i i r a Q a =即可．事实上，对每个i a ，()()()()()i i i i r a p a b Q a φφ===是易见的，因此结论成立．例12 设()f y 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明在a x b <<上有()()()()()12f x f a f b f a x a b a f c x b -----''=-，这里(),c a b ∈．特别地，存在(),c a b '∈，使()()()()2224b a a b f b f f a f c -+⎛⎫'''-+=⎪⎝⎭．证在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F y x x f x b b f b =，则()F y 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数．因()()()0F a F x F b ===，由中值定理存在12a x x x b <<<<，使()()120F x F x ''==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()0F c ''=，即()()()()()2220021011f c a a f a F c x x f x b b f b ''''==，展开行列式即得()()()()()12f x f a f b f a x a b a f c x b -----''=-．特别地，取2a bx +=，则有相应的(),c a b '∈，使上式成立，即 ()()()()21222a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--'''=+-，化简即得()()()()2224b a a b f b f f a f c -+⎛⎫'''-+= ⎪⎝⎭．例13 设()f x 在[],a b 内存在1n -阶导数，12n a x x x b =<<<=．证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏．证在[],a b 上构造函数()()()()()21211111212222211111n n n n nn nn x x x f x x x x f x F x x x x f x x x x f x ----=， ()F x 在[],a b 内存在1n -阶导数．因()()()120n f x f x f x ====，反复利用微分中值定理，存在(),c a b ∈，使()()10n Fc -=，即()()()()()()()()12211111112212222222100001!1011n n n n n n n n nn n nn n f c x x x x f x F c x x x x f x x x x x f x ---------==．按第一行展开行列式得()()()()()()221111*********222222111111!11n n n n n n n nnn nnnx x f x x x x x x f x x x x n f c x x f x x x x --------=，左边按最后一列展开行列式，化简可得()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏．例14 设()f x 在[],a a nh +内存在n 阶导数，这里0h >．证明存在a c a nh <<+，使()()()()()()()()()12112nn n n n f a nh f a n h f a n h f a h f c ⎛⎫⎛⎫+-+-++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证置i x a ih =+，0 i n ≤≤，则012n a x x x x a nh =<<<<=+．于是例14在本质上是例13的特殊情形．。

范德蒙的行列式

范德蒙的行列式摘要：一、范德蒙行列式的定义二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系2.行列式的可逆性3.行列式的乘积性质三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法2.矩阵的行列式公式3.扩展行列式公式四、范德蒙行列式在数学中的应用1.线性方程组的求解2.矩阵的逆矩阵求解3.矩阵的LU 分解五、范德蒙行列式的推广1.范德蒙行列式的更高阶数2.带标号的范德蒙行列式正文：范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它是以法国数学家范德蒙命名的。

范德蒙行列式具有很多重要的性质和应用，下面我们来详细了解一下。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是一个n 阶行列式，它的定义如下：|A| = a11 * a22 * ...* ann- a12 * a21 * ...* an1+ a13 * a22 * ...* an2- a14 * a23 * ...* an3+ ...+ (-1)^(n-1) * a1n * a2n-1 * ...* ann其中，a11, a12, ..., ann 是矩阵A 的主对角线元素，a12, a21, ..., an1 是矩阵A 的次对角线元素，以此类推。

二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系范德蒙行列式的转置行列式等于其本身，即|A| = |A^T|。

2.行列式的可逆性当且仅当矩阵A 可逆时，范德蒙行列式不为零。

3.行列式的乘积性质设矩阵A 和矩阵B 都是n 阶矩阵，则有|AB| = |A| * |B|。

三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法对于n 阶矩阵A，我们可以通过递推的方式计算范德蒙行列式。

具体来说，我们可以先计算出n-1 阶矩阵A"的范德蒙行列式，然后用主对角线元素和次对角线元素的关系来计算n 阶矩阵A 的范德蒙行列式。

2.矩阵的行列式公式根据矩阵的行列式公式，我们可以直接计算出范德蒙行列式。

3.扩展行列式公式通过扩展行列式公式，我们也可以计算范德蒙行列式。

范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。

它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。

范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。

证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。

当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。

范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用

范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用一、范德蒙行列式（又称多元行列式）的定义范德蒙行列式是由矩阵中每一行和每一列所引出的多项式。

它对多元方程模型具有重要意义，例如体积、表面积等。

范德蒙行列式 $$A_{n\times n}=\begin{Vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{Vmatrix}$$它由矩阵中n个基元项组成，记做：$$A_{ij}=|A_{ij}|$$其中，$A_{ij}$表示矩阵中任意一个基元项，它满足关系：$$A_{ij}=a_{ij}*(-1)^{i+j}$$二、范德蒙行列式的一个性质及其应用1、性质：2、应用：范德蒙行列式的应用是非常广泛的，他可以用来求解任意维度的行列式，例如：（1）在工程中，可用范德蒙行列式进行多元行列式计算；（2）在金融领域，可以使用范德蒙行列式进行数据分析和风险防护；（3）在统计学中，可以使用范德蒙行列式对数据进行回归分析；（4）在科学研究中，可以使用范德蒙行列式进行矩阵计算。

三、结论范德蒙行列式是矩阵中每一行和每一列所引出的多项式，其有一个性质是，当任意一个子矩阵中只有一行或一列有值时，此子矩阵的行列式等于其第一行或第一列元素的乘积。

它的应用可以用来求解多元行列式的计算，如：在工程、金融、统计学和科学研究中都有重要应用。

范德蒙行列式的应用

范德蒙行列式的应用范德蒙行列式是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将从几何、物理、概率和统计四个方面介绍范德蒙行列式的应用。

一、几何1.计算向量组的体积向量组的体积可以通过范德蒙行列式来计算。

假设有三个向量a，b和c，它们所构成的平行六面体的体积可以表示为：V=|a·(b×c)|其中，|b×c|表示向量b和向量c所构成的平面上的面积，a·(b×c)表示向量a与该平面垂直的投影长度。

因此，V可以写成：V=|a·(b×c)|=|a b c|=|abc|这里的“abc”就是一个3阶范德蒙行列式。

2.求解三角形面积在平面几何中，三角形面积可以通过海龙公式或海涅公式来计算。

而另一种方法是使用范德蒙行列式。

假设三角形顶点为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则三角形ABC所构成的面积S可以表示为：S=1/2 |x1 y1 1||x2 y2 1||x3 y3 1|这里的“xyz”就是一个3阶范德蒙行列式。

二、物理1.计算电荷分布的能量在电学中，电荷分布所具有的能量可以通过静电能公式来计算。

而静电能公式可以表示为：U=1/2 ∑i∑j qi qj / (4πεr)其中，qi和qj表示第i个和第j个电荷，r表示它们之间的距离，ε是真空介质中的介电常数。

而∑i∑j qi qj可以表示为一个n阶范德蒙行列式：∑i∑j qi qj =|q11 q12 … q1n||q21 q22 … q2n||… … … ||qn1 qn2 … qnn|因此，静电能公式可以写成：U=1/2|q11/q12/…/q1n||q21/q22/…/q2n||… … … ||qn1/qn2/…/qnn| / (4πεr)这里的“qi”就是一个长度为n的向量。

三、概率计算概率分布函数在概率论中，概率分布函数可以通过累积分布函数来计算。

范德蒙行列式的一些应用

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高教视野
范德蒙黜式尝庶用｛
◎ 张凤男（吉林师范大学研究生院，吉林四平１３６０００）
１１
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（二）范德蒙行列式在行列式中的应用通过运用行列式性质的相关知识可以将一些特殊的行列式转化为范德蒙行列式，我们可以利用的性质有调换个行（列）的次序、提取公因式等方法，或可以将原行列式中
【参考文献】［１］黄威，吕维东．关于范德蒙行列式计算类型的讨论及其运用［Ｊ］．湖南科技学院学报，２０１５（１Ｏ）：２０１—２０５．
［２］卢刚，冯翠莲．线性代数［Ｍ］．北京：北京大学出版
社．２０１６：２２—３５．
［３］冯锡刚．范德蒙行列式在行列式计算中的应用［Ｊ］．山东轻工业学院学报，２０００（２）：７０—８０．
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（一１）（一２） … ｎ（２，１）
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三、结论
范德蒙行列式构造独特，形式优美，是高等代数中一种
特殊的行列式Ｈ．只要熟练运用范德蒙行列式适用的各种

范德蒙德行列式

02
范德蒙德行列式的性质
行列式的值唯一确定
• 范德蒙德行列式的值是由其元素唯一确定的。行列式的元素满足线性关系，即对于任意两个不同的排列，其对应的行列式值是相等的。这种线性关系是范德蒙德行列式的一个重要性质，也是其广泛应用于矩阵计算和线性方程组求解的基础。
转置不改变行列式的值
• 范德蒙德行列式的转置不改变其值。也就是说，对于任意一个n阶范德蒙德行列式D，有D^T=D。这个性质在计算行列式时非常重要，因为它意味着我们不需要对每个元素进行单独处理，而可以将它们按照一定的规律进行排列，从而简化计算过程。
范德蒙德行列式的推广
范德蒙德行列式是组合数学中的重要公式，可以用于求解一些组合数的问题。通过对该行列式的推广，我们可以将其应用于更广泛的数学问题中。
推广的范德蒙德行列式可以用于求解更复杂的组合数问题，也可以用于研究矩阵的特性。通过对行列式的深入研究，我们可以得到许多有价值的数学结论。
范德蒙德行列式在量子力学中的应用
代数余子式
• 在范德蒙德行列式的定义中，我们可以看到每个子行列式都是由给定点的坐标差组成的。这些子行列式称为代数余子式（Algebraic Minors）。
范德蒙德矩阵
• 范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）是由给定平面上任意n个点的所有有序坐标差组成的矩阵。其行向量和列向量都由给定点的坐标构成。
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03
范德蒙德行列式的计算方法
递归法
递归法是一种通过不断将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在计算范德蒙德行列式时，可以将行列式拆分成更小的行列式，然后逐个计算，最终得到原行列式的值。
具体来说，我们可以将范德蒙德行列式的每一行都拆分成两个或更多的行，然后利用拆分后的行列式与原行列式的递推关系，从低阶行列式推导出高阶行列式的值。这种方法虽然比较繁琐，但对于计算一些低阶的范德蒙德行列式非常有效。