2017秋季班尖子班第2讲讲义

【分析】 因为关于 x 的方程 mx 2 − 4 x + 4 = 0 有实数根； 所以
m≠0 ， 2 ∆1 = ( −4 ) − 4 × m × 4 = 16 (1 − m ) ≥ 0 m ≠ 0 x 的方程 ；因为关于 m ≤1 0 有实数根； x 2 − 4mx + 4m 2 − 4m − 5 =
∆ 2 = ( −4m ) − 4 × 1 × ( 4m 2 − 4m − 5 ) 5 = 4 ( 4m + 5 ) ≥ 0 ， m ≥ − ； 4 5 所以 − ≤ m ≤ 1且 m ≠ 0 ； 4 因为 m 取整数， 所以 m = −1或 m = 1．
2
所以
当 m = −1时，方程 − x 2 − 4 x + 4 = 0的 两个根 x1 =−2 + 2 2 ， x2 =−2 − 2 2
八年级尖子班第二讲 一元二次方程 整数解问题（一） 【例 1】★★☆☆☆ 已知 a 是正整数， 如果关于 x 的方 程 x 2 + ( a + 18 ) x + 56 = 0 的根都是整 数，求 a 的值及方程的整数根． 【分析】 因为关于 x 的方程 x 2 + ( a + 18 ) x + 56 = 0 的根都是整数， 且 a 为正整数，∴ a + 18 > 0 利用十字相乘：因为
【例 8】★★★★☆ ⑴已知关于 x 的方程 x 2 + ( m − 1) x + m + 1 = 0 的两根均为 整数，试求整数 m 的值． ⑵已知 k 是正整数， 关于 x 的一元 二次方程 x 2 + x + 10 = k ( k − 1) 有一 个正整数根，求这个根及 k 的值． 【分析】⑴因为关于 x 的二次方 程 x 2 + ( m − 1) x + m + 1 = 0 的两根均 为整数；所以
又因为 m − 3 − k ， m −3− k ≤m −3+ k；
m − 3 + k 同奇偶； 2 m − 3 − k = −6 m − 3 − k = 所以 或 ； 6 m − 3 + k = −2 m − 3 + k = m = 7 m = −1 所以 或 ； k = 2 k = 2
或 −5 ； 综上所述， a = 1或 −1或 3或 −3或 5 或 −5 ． 【例 5】★★★☆☆ ⑴若 m 为整数，且关于 x 的方程 求m m 2 x 2 + (m + 1) x + 1 = 0 有有理根， 的值． ⑵设关于 x 的方程 mx 2 − (m − 2) x + (m − 3) = 0 有整数解， 试确定整数 m 的值，并求出这时 方程所有的整数解． 【分析】⑴当 m = 0 时， x + 1 = 0， 解得， x = −1，符合题意， 当 m ≠ 0 时，由 ∆ = (m + 1) 2 − 4m 2 = −3m 2 + 2m + 1 ≥ 0 ，
x1 = x2 = −1 ∴ a = −2
【例 3】★★★☆☆ 若关于 x 的方程
(6 − k )(9 − k ) x 2 − (117 − 15k ) x + 54 = 0
的解都是整数，则符合条件的整 数 k 的值有哪些？ 【分析】 当6 − k = 0 时，即 k = 6 ，则原方程 为 −(117 − 15 × 6) x + 54 = 0 ，解得 x = 2 ； 当9 − k = 0 时，即 k = 9 ，则原方程 为 −(117 − 15 × 9) x + 54 = 解得 x = −3； 0， 当 6 − k ≠ 0 ，9 − k ≠ 0 时，即 k ≠ 6 且
56 = 1 × 56 =2 × 28 =4 × 14 = 8× 7 所以 a + 18 = （舍） ， 1 + 56 ， 2 + 28， 4 + 14 8 + 7 （舍）
即 a = 39 或12 . 当 a = 39 时，方程的整数根为 −1，
−56 ；
当 a = 12 时，方程的整数根为 −2 ， −28． 【例 2】★★☆☆☆ ⑴ 若 k 为正整数，且关于 x 的方 程 ( k 2 − 1) x 2 − 6 ( 3k − 1) x + 72 = 0 有两 个相异正整数根，求 k 的值． ⑵已知关于 x 的方程 (a 2 − 1) x 2 − 2(5a + 1) x + 24 = 0 有两个 不等的负整数根，则整数 a 的值 是________． 【分析】 ⑴根据题意得： k ≠ ±1 利用因式分解： 0， ( k + 1)( k − 1) x 2 − 6 ( 3k − 1) x + 72 = 0 ．即 ( k + 1) x − 12 ( k − 1) x − 6 =
1 解得， − ≤ m ≤ 1， 3 因为 m 为整数，所以 m = 1．
经检验： m = 1，方程两根为 x = x= 1，符合题意． 1 2 ⑵若 m = 0 ，则 2 x − 3 = 0 ，此时方程 无整数解； 若 m ≠ 0 ，∵方程有整数根，则 ∆ = (m − 2) 2 − 4m(m − 3) ≥ 0 ， 即 3m 2 − 8m − 4 ≤ 0 ，解得
2 2k − 1 − m = 所以 或 20 2k − 1 + m = 4 2k − 1 − m = k = 6 k = 4 ； 所以 或 ； 10 2k − 1 + m = m = 9 m = 3
当 k = 6 时，原方程的正整数根 x = 4； 当 k = 4 时，原方程的正整数根 x = 1．
6 4 x1 = ， x2 = a −1 a +1 −1， −3， −6 ， −2 ， 即a = 0， 当a −1 = −1， −2 ， −5 时， x1为负整数．
−1， −3， −2 ， −4 ， 当a + 1 = 即 a = −2 ， −5 时， x2 为负整数；
∴ a = −5 ， −2 .但当 a = −5时，
不为有理数， 不符合题意；当 m = 1时，方程 = x= 2， x2 − 4 x + 4 = 0 的两个根 x 1 2 方程 x 2 − 4 x − 5 = 0 的两个根 x1 = 5 ， x2 = −1，符合题意； 关于 x 的两个 综上所述当 m = 1时， 一元二次方程的根是整数． 【例 7】★★☆☆☆ 设 m 为整数， 且 4 < m < 40 ， 关于 x 的 方程 x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 4m 2 − 14m + 8 = 0有 两个整数根，求 m 的值及方程的 根． 【分析】 = ∆ 4(2m + 1) 为完全平方 数，又 m 为 4 < m < 40 的整数，则 m = 12 或 24 ．当 m = 12 时， x1 = 16 ， 当 m = 24 时， x2 = 26 ； x3 = 38， x4 = 52 ．
有一整数根，求 a 的值． 【分析】 当 a 2 = 0 ， a = 0 时，原方程无解． 当 a 2 ≠ 0 ，a ≠ 0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程； 利用因式分解： 0 ，所以 ( ax − 2a + 3)( ax − a + 5) =
2a − 3 a −5 x1 = ， x2 = ； a a 2a − 3 3 = 2 − 时，a = 1或 −1或 3 当 x= a a 或 −3； a −5 5 = 1 − 时， a = 1或 −1或 5 当 x= a a
= k≠ 9 ， x1 9 6 = , x2 ； 6−k 9−k
若方程的解都是整数，则 6−k = ±1, ± 3, ± 9 且
9−k = ±1, ± 2, ± 3， ± 6，
即 k = 3, 7,15 ． 【例 4】★★★☆☆ 已知关于 x 的方程
a 2 x 2 − ( 3a 2 − 8a ) x + 2a 2 − 13a + 15 = 0
12 6 x1 = ， x2 = ． k +1 k −1
12 由 为正整数得：正整数 k = 1、 k +1 2 、 3 、 5 、11； 6 由 为正整数得：正整数 k = 2 、 k −1 3、 4 、7． 所以 k = 2 ， 3使得 x1， x2 同时为正
整数， = x= 3，与题目不 但当 k = 3时，x 1 2 符，所以，只有 k = 2 为所求． ⑵根据题意得： a ≠ ±1 利用因式分解： 0 得： ( a + 1) x − 4 ( a − 1) x − 6 =
经检验 m = 7 ， m = −1均符合题意． 2 ⑵ △= ( 2k − 1) − 40 是完全平方数； 2 m 2（不妨令 m 为自 设 ( 2k − 1) − 40 = 然数）； 2 k − 2 1 40 ， ) − m2 = 所以 ( 40 ； ( 2k − 1 − m )( 2k − 1 + m ) = 因为 k 是正整数，m 是自然数；所 以 2k − 1 + m 是正整数；所以 2k − 1 − m 是正整数； 因为 2k − 1 − m 、 2k − 1 + m 同奇偶， 且 2k − 1 − m ≤ 2k − 1 + m ；
∆ =
( m − 1)
2
− 4 × 1× ( m + 1 = ) m 2 − 6m − 3
为完全平方数； 设 m 2 − 6m − 3 = k 2（不妨令 k 为自然 数）； 2 2 m − − k = 3 12 ， ) ( 12 ； ( m − 3 − k )( m − 3 + k ) = 因为 k 为自然数，所以
4−2 7 4+2 7 ≤m≤ 1时，方程有整数解 −2 和1； 当 m = 2 时，方程无整数解； 当 m = 3时，方程有整数解 0 ． 【例 6】★★★☆☆ 当 m 是何整数时， 关于 x 的一元二 次方程 mx 2 − 4 x + 4 = 0与 x 2 − 4mx + 4m 2 − 4m − 5 = 0 的根是整 数？