第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷
余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
f ( y) x2[1 f ( y)]3
1 x2 (1 f ( y))
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
解法 2 方程 xe f (y) ey ln 29 取对数，得 f ( y) ln x y ln ln 29
（1）
方程（1）的两边对 x 求导，得 f ( y) y 1 y x
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，
则
d2 y dx 2
________________.
解法 1 方程 xe f ( y) ey ln 29 的两边对 x 求导，得
e f ( y) xf ( y) ye f ( y) e y y ln 29
即
[ 1 f ( y) y]xe f ( y) ye y ln 29 x
因 e y ln 29 xe f ( y) 0 ，故 1 f ( y) y y，即 y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
d2 y dx 2
y
1 x2 (1 f
( y))
f ( y) y x[1 f ( y)]2
点到直线的距离. 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次
2009-16大学生数学竞赛真题(非数学类)--整理20171002
n=1
n=1
9
2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
( )n
1.求极限 lim 1+ sin π 1+ 4n2 . n→∞
∫ 2.证明广义积分 +∞ sin x dx 不是绝对收敛的 0x
3.设函数 y = y ( x) 由 x3 + 3x2 y − 2 y3 = 2 确定，求 y ( x) 的极值。
二、（5
分）求极限 lim( ex
+
e2x
+"+
e nx
e
)x
，其中 n 是给定的正整数.
x→0
n
∫ 三、（15 分）设函数 f (x) 连续，g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ，A 为常数，求 g′(x)
0
x→0 x
并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性.
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；（2）
∫∫
S
z
(
λ
x
+
3μ
y
+ν
z
)
dS
( ) ( ) ( ) 六．（本题 12 分）设 f(x)是在 −∞, +∞ 内的可微函数，且 f 、 x < mf x ，其 ( ) 中 0 < m < 1 ， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 an = ln f an−1 , n = 1, 2,..., 证 明 ：
平面与路径3 x x+1 sin t dt
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
22,x y +x x 2t te2111))[n n s s s s s14解：（简要过程）（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
的值。
将f(x)二阶泰勒展开二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2f f x f f x x x =++因为二阶倒数大于0，所以，所以lim ()x f x ®+¥=+¥，lim ()x f x ®-¥=-¥证明完成。
证明完成。
三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t y ì=+>-í=î所确定，其中()t y 具有二阶导数，曲线()y t y =与22132t u y e du e -=+ò在1t =出相切，求函数()t y 。
解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t y =与22132t u y e du e-=+ò在1t =出相切得出相切得3(1)2ey =，'2(1)e y ='//()22dy dy dt dx dx dt t ty ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t y y ==++-=。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=å证明：证明：（1）当1a >时，级数1nn na S a +¥=å收敛；收敛； （2）当1a £且()ns n ®¥®¥时，级数1nn na S a +¥=å发散。
2010全国大学生数学竞赛非数学类决赛试卷
专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.(1) 求极限121lim(1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算2∑⎰⎰∑为下半球面z =0a >.(3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭内满足331()sin cos f x x x '=+，求()f x .二、（10分）求下列极限(1)1lim1nnn en→∞⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)111lim3nn n nna b c→∞⎛⎫++⎪⎪⎪⎝⎭, 其中0,0,0a b c>>>三、（10分）设()f x在1x=点附近有定义，且在1x=点可导，(1)0,(1)2f f'==. 求22(sin cos)limtanxf x xx x x→++.专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：四、（10分）设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分()f x dx ∞⎰收敛.求 01lim ()yy xf x dx y →+∞⎰.五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 证明：(1) 存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+.六、（14分）设1n >为整数，20()1...1!2!!nxt t t tF x e dt n -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰.证明: 方程()2n F x =在,2n n ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个根.专业：年级：线所在院校：封密身份证号：姓名：.七、（12分）是否存在11R 中的可微函数()f x 使得2435(())1f f x x x x x =++--？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明..八、(12分)设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞，当自然数n →∞时()0f x n +→. 证明: 函数序列{():1,2,...}f x n n +=在[0,1]上一致收敛于0.。
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类).docx
第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)(150分钟)一、(25分，每小题5分)(1)设£ = (1 +。
)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求limxn->xi、L(2)求lime"A 1+— o"I x)(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j oJo（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一\r）⑸求直线述了。
与直线A字二宁弓的距离。
解：(1) £=(1 +。
)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。
)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x⑵lim厂A->X 1+丄I X)f 1 2lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = limeA->X .V->X令x=l/t,则UnU+f)-f)原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO(3)/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。
答案好像是二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且f\x） > 0, lim f\x） = a > 0, lun f\x） = 0 v 0,且存在一点x0,使得/（x0） < 0。
A->-X证明：方程/(x) = 0在(YO、*O)恰有两个实根。
解：(简要过程) 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边 找两大于0的值。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2010数学竞赛答案
2010年数学竞赛试题评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1. 16-；2. 21y x x =-++； 3. 41π-； 4.()212,xxdx f x y dy ⎰⎰；5. 2222sin cos(sin );x x ⋅ 6. ()222xy x x y ee ----+； 7. ()0,12dzdx dy =--；8.13； 9. 23-； 10. 0.二、选择题（每小题3分，共30分）1. D;2. B;3. C;4. C;5. C;6. A;7. A;8. B;9. C; 10. C.三、解答题（每小题10分，共70分） 1. 解(2limsin n →∞=()2limsin n n π→∞3分=2lim sin n n π→∞⎛ ⎪⎪⎝⎭3分 =2sin2π3分=1 1分 2. 解 令ln x t =，则()()ln 1t te f t e +=, 2分()f x dx ⎰=()ln 1x xe dx e+⎰=()ln 1xxe de--+⎰2分=()ln 11x xxxxe e e e dx e--⋅-+++⎰ 2分 =()1ln 11x xxxxe e e e dx e -+--+++⎰2分 =()()ln 1ln 1xx x ee x e C --++-++. 2分第一页3. 解 令u t x =-，则()212x xx f u du e --=-+-⎰, 2分()()()1,,x x f x x e f x x e ---⋅-=--=- 1分 ()100x f x e x '=-=⇒=, 1分又 0(0)0,f e ''=-< 1分 ∴0x =为()f x 的极大值点，极大值为()01f =-. 2分又 ()lim lim 11,x x x f x e x x →-∞→-∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ()l i m l i m 0x xx x x e x e →-∞→-∞--=-=，∴y x =为其斜渐近线，无水平和垂直渐近线. 3分4. 解 利用微分形式不变性, 在()u u ϕ=+()xyp t dt ⎰两边求微分，得()()()du u du p x dx p y dy ϕ'=+-, 2分故 ()()()()11p x p y du dx dy u u ϕϕ=-''--, 1分从而 ()dz f u du '==()()()()()()11f u p x f u p y dx dy u u ϕϕ''-''--, 2分于是 ()()()1f u p x z x u ϕ'∂='∂-, 2分z y∂∂()()()1f u p y u ϕ'-='-. 2分故 ()()0.z zp y p x x y∂∂+=∂∂ 1分 5. 解13,xuf f xϕ∂'''=+⋅∂ 4分22ux ∂∂()2111331333x x xx x f f f ff ϕϕϕϕ'''''''''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ 3分()211133332x x x x f f f f ϕϕϕ''''''''''''=+⋅+⋅+⋅ 3分6. 解 ()2221,y yDyM x y d dx x yρσ==+⎰⎰⎰3分 第二页21x yx dy y=3分=1arctan 4y dy π⎫-⎪⎝⎭ 2分1ln 2122=- 2分 7. 解 添加直线段AO =0y ：, 2分原式OA AOAO+=-⎰⎰1分()D0x e y dxdy =---⎰⎰ 3分=sin 0xx dx e ydy π⎰⎰2分()115e π=- 2分 四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明 ()f x 在0x =的某个邻域(0)U 内具有二阶连续导数，且()0lim0x f x x→=，∴ ()00f =，从而()00f '=. 3分当n 充分大时，使得1n在0x =的这个邻域(0)U 内，故由Taylor 公式有 ()()()()2211111100,0,2!2f f f f f n n n n n ξξξ⎛⎫⎛⎫'''''=++⋅=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3分又 ()f x 在邻域(0)U 内具有二阶连续导数，∴∃常数0M >，使得()f M ξ''≤, 2分∴ 212Mf n n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 2分2. 证明 用先二后一法计算左边的三重积分，得()Df z dv ⎰⎰⎰()11zD dz f z dxdy -=⎰⎰⎰ 4分()()1211f z z dz π-=-⎰ 4分 ()()1211f u u du π-=-⎰. 2分第三页。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(非数学类)
( x > a)
当 x → +∞ 时， f (+∞ ) + f ′( a )( x − a ) → +∞ . 故存在 b > a ，使得
f (b ) > f ( a ) + f ′( a )(b − a ) > 0 ……………… （6 分）
1 ⎡ ⎛1 1 1 ⎞ ⎤⎞ − − 2 + ο ( 2 ) ⎟ − 1⎥ ⎟ = e 2 . x ⎠ ⎦⎠ ⎣ ⎝ x 2x
(3) 设 s > 0 ，求 I n = ∫ e− sx x n dx ( n = 1, 2, ) .
0
+∞
解 因为 s > 0 时， lim e− sx x n = 0 ，所以，
x →+∞ x →−∞
证明：方程 f ( x ) = 0 在 ( −∞ ,+∞ ) 恰有两个实根. 证 1. 由 lim f ′( x) = α > 0 必有一个充分大的 a > x 0 ，使得 f ′(a ) > 0 .
x →−∞
f ′′( x ) > 0 知 y = f ( x) 是凹函数，从而 f ( x) > f (a) + f ′(a)( x − a)
d=
a ⋅ (l1 × l2 ) l1 × l2
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
ss
n1
，而
a
n
s
1
收敛，所以
a
n
s
n
收敛；
当
n1
a发散时，lim
n
解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）abc
当1时，
4
22
Iabc(ab)
max
15
当1时，
4
22
Iabc(bc)
min
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上，曲线积分
c
2xydx(x)dy
42
xy
的值为常数。
（1）设L为正向闭曲线
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立，所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时，N，所以
a
n
s
nn
1
发散
五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中
2010年大学生数学竞赛试题参考解答
6. 已知 u f ( x, y) 满足 r
u u u u ， 。 x, y ，这里 ( , r ) 为极坐标。求 y r x
u u u u u u cos sin r x y y y x r cos r x r x 解： ， 。 y r sin u u r ( sin ) u r cos u u ( y ) u x y y x x u u x x y y x u 2 xy u x 2 y 2 2 2 由条件知 ，解之得： ， . 2 y x y 2 x x y u ( y ) u x y y x
1 令 ( x) e x e x x 2 2 ，则 ( x) 为偶函数，且 (0) 0 。 2
1 6
（ ' x） e x e- x x ， ''( x) e x e x 1 。
显然， ''( x) 0 ， '( x) 单调增加。 x 0 时 '( x) '(0) 0 。
t2 1 4 dt t 3 3 。 2 6 0 3 1 t
2
4 故 S S1 S2 3 。 3
另解：利用曲线积分。由曲线积分可知 S
1 1 ydx xdy [ ] ， 2L 2 L1 L2
其中 L1 为红色曲线， L2 为线段 x 1 (2 y 0) 。
解：由条件知 F ( x) F ( x) x(1 x)e2 x 。 两边积分 F ( x) F '( x)dx x(1 x)e2 x dx 得
全国大学生数学竞赛初赛2010年第二届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
的 对 称 式 方 程 为 l1 :
1
1
0
，记两直线的方向向量分别为
l1 1, 1, 0 ,l2 4, 2, 1 ，两直线上两定点分别为P1(0, 0, 0), P2(2, 1, 3)，并记
a
P1P2
2, 1, 3 ，l1
l2
1, 1,6；
a
l1
l2
| 2 1 18 |
19
其中 x, y, z | x2 y2 z2 1 而
a2 b2 c2
x2dV a x2 dx
a
y2 z2
dy dz
x2
a x2
a
ab 1
x2 a2
dx
4a 3bc 15
.
1
b2 c2
a2
4
或者使用换元法，有
x2dV
2
d
d
1
a
2r
2
0
0
0
sin2
cos2
abcr2
x2
dy
D
4xd x
dy
0.
6
C
x4 y2
的值为常数.
(1) 设 L 为正向闭曲线(x 2)2 y2 1 . 证明:
2xy d x (x)d y 0；
L
x4 y2
2xy d x (x)d y
(2) 求函数(x) ； (3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
C
x4 y2
.
2xy d x (x)d y
【参考答案】设
L
x4 y2
I ，将曲线L 分割成两段L L1 L2 。设L0 不经过原点的
光滑曲线，使得 L0 L1 和 L0 L2 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线. 由已知条件可知 L0 L1 和
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二、（15分）设函数 在 上具有二阶导数，并且
且存在一点 ，使得 。
证明：方程 在 恰有两个实根。
解：（简要过程）
二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开
因为二阶倒数大于0，所以
，
证明完成。
则有
（2）令
由（1）知 ，代入可得
上式将两边看做y的，方向为顺时针
（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）
当 时，
当 时，
六、(15分)设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲线积分 的值为常数。
（1）设 为正向闭曲线 证明
（2）求函数 ；
（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。
解：
（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段 ， ，再从A，B作一曲线 ，使之包围原点。
三、（15分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。
解：（这儿少了一个条件 ）由 与 在 出相切得
，
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设 证明：
（1）当 时，级数 收敛；
（2）当 且 时，级数 发散。
解：
（1） >0, 单调递增
当 收敛时， ，而 收敛，所以 收敛；
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案（非数学类）
(150分钟)
一、（25分，每小题5分）
（1）设 其中 求
（2）求 。
（3）设 ，求 。
（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。
（5）求直线 与直线 的距离。
解：（1） =
= = =
(2)
令x=1/t,则
原式=
（3）
（4）略（不难，难得写）
当 发散时，
所以，
而 ，收敛于k。
所以， 收敛。
（2）
所以 发散，所以存在 ，使得
于是，
依此类推，可得存在
使得 成立
所以
当 时，
所以 发散
五、（15分）设 是过原点、方向为 ，（其中 的直线，均匀椭球
，其中（ 密度为1）绕 旋转。
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。
解：