第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)

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2009-16大学生数学竞赛真题(非数学类)--整理20171002

六、（本题 12 分）设 f ( x) 为连续函数， t > 0 。区域 Ω 是由抛物面 z = x2 + y2
和球面 x2 + y2 + z2 = t 2 (z > 0) 所围起来的部分。定义三重积分
∫∫∫ F (t) =
f ( x2 + y2 + z2 )dv
Ω
求 F (t ) 的导数 F ′′(t )
一．计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）
1
（1）.求
lim
x→0
⎛ ⎜⎝
sin x
x
⎞1−cos ⎟⎠
x
；
（2）.求
lim
n→∞
⎛ ⎝⎜
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
...
+
n
1 +
n
⎞ ⎠⎟ ；
( ) ⎧⎪x = ln 1+ e2t
d2y
（3）已知 ⎨ ⎪⎩ y
=t
− arctan et
L
2
2
五、（10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二阶常系数

全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614

2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题

5 分，共 20 分）

(x y) ln(1

y )

1．计算

x dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x

y 1与两

1 x

坐标轴所围成三角形区域

2．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x

f ( x)dx 2 , 则 f ( x) ____________.

3．曲面 z

x 2

y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 __________.

4．设函数 y

y(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且

f 1 ，则

d 2 y

dx 2

________________.

二、（ 5 分）求极限 lim (

e x

e 2 x

e nx e

) x ，其中 n 是给定的正整数 .

x 0

1f ( xt)dt ，且lim f (x)

A ，A为常数，求 g ( x)

三、（ 15 分）设函数f (x)连续，g( x)

0x 0x

并讨论 g ( x) 在x0处的连续性.

四、（ 15 分）已知平面区域 D {( x, y) | 0 x, 0 y} ， L 为 D 的正向边界，试证：

（ 1）xe sin y dy ye sin x dx xe sin y dy ye sin x dx ；

L L

（ 2）xe sin y dy ye sin y dx5 2 .

五、（ 10 分）已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3xe x e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题解答

)
y
x x0 − δ x x0 x x0 + δ
g (x) − g (x0 ) g (x0 + δ ) − g (x0 ) g (x0 ) − g (x0 − δ ) ≤ + , x − x0 δ δ g (x) x0 . ,
∀ x ∈ (x0 −δ, x0 +δ ). .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 (ii) (x0 , y0 ) ∈ D. δ>0
δ
)
|R 1 | ≤ M
0
δ n+1 , x dx = M n+1
n
R2 = −
a δ n+1 δ n+2 +a − (n + 1)(n + 2) n+1 n+2 4 ( 8 )
1
|R3 | ≤
δ
x |r(x)| dx ≤ ε
δ 1
n
1
xn (1 − x) dx
≤ ε
0
xn (1 − x) dx =
(10 f (1) = a.
) :
f (x)
[0, 1] lim n2
0 1
Riemann
,

历届全国大学生数学竞赛预赛历年考试

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

．计算()ln(1)

d y

x y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所围成三角形区域. 2．设

)(x f 是连续函数，且满足2

20()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =.

3．曲面2

222

x z y =+-平行平面022=-+z y x 地切平面方程是.

4．设函数

)(x y y =由方程29ln )

y f e xe

=确定，其中f

具有二阶导数，且

1≠'f ，则=22d d x

二、（5分）求极限x

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定地正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x

x f x =→)

(lim 0，A 为常数，

求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处地连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 地正向边界，试证：

（1）

⎰⎰-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）

2sin sin 25d d π⎰≥--L

y x ye y xe . 五、（10分）已知

x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象

“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容

“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：

一、函数、极限、连续

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.

8．连续函数的性质和初等函数的连续性.

9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

二、一元函数微分学

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614

2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题

5 分，共 20 分）

(x y) ln(1

y )

1．计算

x dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x

y 1与两

1 x

坐标轴所围成三角形区域

2．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x

f ( x)dx 2 , 则 f ( x) ____________.

3．曲面 z

x 2

y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 __________.

4．设函数 y

y(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且

f 1 ，则

d 2 y

dx 2

________________.

二、（ 5 分）求极限 lim (

e x

e 2 x

e nx e

) x ，其中 n 是给定的正整数 .

x 0

1f ( xt)dt ，且lim f (x)

A ，A为常数，求 g ( x)

三、（ 15 分）设函数f (x)连续，g( x)

0x 0x

并讨论 g ( x) 在x0处的连续性.

四、（ 15 分）已知平面区域 D {( x, y) | 0 x, 0 y} ， L 为 D 的正向边界，试证：

（ 1）xe sin y dy ye sin x dx xe sin y dy ye sin x dx ；

L L

（ 2）xe sin y dy ye sin y dx5 2 .

五、（ 10 分）已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3xe x e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

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第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案

(非数学类)

(150分钟)

一、(25分，每小题5分)

(1)设£ = (1 +。)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求

limx

n->x

i、L

(2)求lime"A 1+— o

"I x)

(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j o

（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一

\r）

⑸求直线述了。与直线A字二宁弓的距离。

解：(1) £=(1 +。)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)

=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)

・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x

⑵lim厂

A->X 1+丄

I X)

f 1 2

lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = lime

A->X .V->X

令x=l/t,则

UnU+f)-f)

原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO

(3)

/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=

（4）略（不难，难得写）

（5）用参数方程求解。答案好像

是

二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

det d d =⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=， v u u v u u u y x y x x y

y x D D d d 1ln ln d d 1)

1ln()(⎰⎰⎰⎰--=

--++

⎰⎰⎰⎰----=---=10

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (

u u

u u u u u u u u v v u

v u u u u u ⎰

-=1

d 1u u

u （*）令u t -=1，则2

1t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

⎰+--=0

42d )21(2(*)t

t t

⎰

+-=10

42d )21(2t t t 1516513

053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

2009-2011年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类).

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（非数学类）

一、填空题（每小题5分，共20分）

(x+y)ln(1+

xdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰

-x-y

坐标轴所围成三角形区域.

⎛0

解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1

⎝(x+y)ln(1+

ulnu-ulnv

1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭

⎰⎰

-x-y

xdy=

⎰⎰

-u

udv

⎰(⎰

ulnu-uulnu-uu

⎰

dv-

u-u-u

⎰

lnvdv)du

u(ulnu-u)

⎰

-u

du （*）

令t=

-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，2

(*)=-2⎰(1-2t+t)dt

=2⎰

2315⎤16⎡24

(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=

3515⎣⎦0

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-

解令A=

⎰

f(x)dx-2, 则f(x)=____________.

⎰

f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，

⎰

(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,

解得A=

。因此f(x)=3x-

103

。

3．曲面z=

+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.

解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=

+y-2在

(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与

全国大学生高等数学竞赛试题汇总与答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y y x D d d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++

⎰⎰⎰⎰----=---=1021

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ⎰

-=102d 1u u

u （*）令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

⎰+--=0142d )21(2(*)t t t

⎰+-=1

042d )21(2t t t 1516513221

053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--

=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令⎰=2

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关

题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，

⎰

-=1

d 1u u

u （*）令u t -=1，则21t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2

022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.

解:令⎰=2

d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

解得34=

A 。因此3

103)(2-=x x f 。 3．曲面22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22

-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算

x y x

x y

y x

d d 1

)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1y

与

两坐标轴所围成三角形区域.

解:令v x

u y

,，则v u

v x

,，v u v

u y

x d d d d 1

10det

d d ，

d 1u u

（*）

令u

1，则2

1t u dt 2d t u

，4

21t

，)1)(1()1(2

t t t u u ，

2．设)(x f 是连续函数，且满足20

2d )(3)(x

x f x

x f ,则

)

(x f ____________.

解:令20

d )(x x f A

，则23)

x f ，

A A

x A x

)2(28

d )23(20

解得34A

。因此3

103)(2

x f 。

3．曲面2

z 平行平面022z y x 的切平面方程是

__________.

解:因平面022z y x 的法向量为)1,2,2(，而曲面

在

)

,(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000y x z y x z y x 与)

1,2,2(平行，因此，由

z x

，

z y 2知

0000002)

,(2,)

,(2

y y x z x y x z y x ，

即1,20

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题非数学类

参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书

及相关题目,主要是一些各大高校的试题;

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题每小题5分

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=,

⎰

-=10

d 1u u

u 令u t -=1,则21t u -=

dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,

2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2

2d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰=2

d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

解得34=

A ;因此3

103)(2-=x x f ; 3．曲面22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面22

-+=y x z 在

),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)

前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲非数学类

中国大学生数学竞赛竞赛大纲

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲;

一、竞赛的性质和参赛对象

“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才;

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生;

二、竞赛的内容

“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题;

中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下：

一、函数、极限、连续

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

7．函数的连续性含左连续与右连续、函数间断点的类型.

8．连续函数的性质和初等函数的连续性.

9．闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理.

二、一元函数微分学

1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题

5 分，共 20 分）

y) ln(1 y

)

1．计算

dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1与两

1 x y

坐标轴所围成三角形区域

解 : 令 x

y u, x v ，则 x

v, y u v ，

( x y) ln(1

y ) D

x dxdy

1 x

u ln u u ln v dudv

1 u

u ln u

u u

(

ln vdv)du

0 1 0

1 u 0 1

u 2 ln u u(u ln u u) 0

1 u 1 u du

u 2

（ * ）

1 u

令 t 1 u ，则

u 1 t 2

2tdt ， u 2

1 2t 2

t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，

(*)

0 ( 1

t 4

)d t

2 t

1 t 5

t 4

)dt 2 t

2 (1 2t

2．设 f ( x) 是连续函数，且满足

f (x)

3x 2

f (x)dx

2 , 则 f (x)

____________.

令 A 2

A 2 ，

解:

f (x)dx ，则 f ( x)

A 2

A 2)d x 8

2(A 2)4 2A ,

( 3x 2

解得 A

4 。因此 f (x) 3x 2 10 。

3 3 ．曲面 z x 2

y 2 2 平行平面 2x 2 y z

0 的切平面方程是 __________. 3