2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(解析版)

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河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题(理)有答案AlMAww

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是（）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A．32π- B．12-C.14D．34π-9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2843122++ B．3643122++C. 3642123++ D．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A．321tan9π-- B．25tan3922tan9ππ-C.2322tan9D．25tan3921tan9ππ--11.椭圆()222101yx bb+=<<的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x=-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．22⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.20,2⎛⎫⎪⎝⎭D．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知()'f x是函数()f x的导函数，且对任意的实数x都有()()()'23(xf x e x f x e=++是自然对数的底数），()01f=，若不等式()0f x k-<的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),⊥⊥-r r r r r a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C += ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为． 16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足111,332,n n a a a n +=+=++∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13. 251615. 2,3⎛⎝⎦三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43nn n a n=+-==-.(2)设等比数列{}n b的首项为1b，则112nnb b-=⨯，依题有()()()()1221212121214log log4log2log24log1logn nn nb b b b b n b n-+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log4log42log144128b b b n n n n=-+⨯-+=++，即()()212212142log1124log4log8bb b⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log2,4b b==，故()1112422,log21n nn n nb b b n-++=⨯=-=-+Q，()()()2221221324222nnnn n n nS+-+++∴=-=--.18. 解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”()1,2,...,14i=.依题意知，()114iP A=，且()i jA A i j=∅≠I.(1)设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则12121314B A A A A A=U U U U，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==U U U U ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=U U ， ()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=U U U U )，所以X 的分布列为X123P314514314314故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)Q 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC A P B D G ==∴-Q ， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-u u u r u u u r u u u r，设()()()00000011,,,,3,,3,3,022C x y z DC AB x y z =∴=-u u u r u u u r Q ，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩u r u u u ru r u u u r ，令11z =，得)1,1n =u r ，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====u r u ru u r u r u u r Q u r u u r AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p p F FA FD ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则23+=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y yx x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212tty e x t e =+-，由已知()22212tty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210xk x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

【河南省郑州市、平顶山市、濮阳市】2017年高考二模理科数学试卷（附答案）

河南省郑州市、平顶山市、濮阳市2017年高考二模理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数/（«）=r '(neN*),则集合｛z\z = f （n ）｝中元素的个数是（）A. 4B. 3C. 2D.无数2. x = 30'5, y = log 3 2,z = cos 2 ,贝！J ()A. zVyVx B . z<x<y C. y<z<xD. x<z<y3.要计算1 +上+上+2 3+史一的结果，2017如图程序框图中的判断框内可以填（）A. n<2 017B. 〃W2 017C. n>2017D. "N2017某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）4.3271~9~C.B.-3八 16兀D.——95.下列命题是真命题的是（）A. \/gR ,函数/*（x ） = sin （2x + 0）都不是偶函数B. 己a,f3wR,使cos （6Z + 0） = cosa + cos /3C. “|x|Wl ”是“xWl ”的既不充分也不必要条件向量D. 口 = （2,1）力=（-1,0）,则。

在。

方向上的投影是26. 在区间［l,e ］±任取实数。

，在区间［0,2］上任取实数们使函数f （x ） = ax 2+x + -b 有两个相异零点的概4率是（）A ］ b ］C ］D ］. 2（e-l ）. 4（e-l ）* 8（e-l ） * 16（e-l ）7. 已知数列｛%｝满足a n+1 =a n -a n _x （n^2）,a x =m,a 2= n,S n 数列｛%｝的前〃项和，则 S2017 的值为（）A. 2017n —mB. h —2017mC. mD. nyNx + 28. 己知实数满足贝!j z = 2|x-2| + | y\的最小值是（）尤习A. 6B. 5C. 4D. 39. 已知空间四边形 ABCD,满足|A8|=3,|BC|=7,|CD|=11,|D4|=9,则 AC 8D 的值（）A. -1B. 0C.—210. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（A. 72B. 120C. 192211. 已知尸为双曲线匕-尸=1上任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B,则4|B4||PB| 的值为（）4A. 4B. 5C. -D.与点P 的位置有关5cin x12. 己知函数f （x ）= ,如果当QO 时，若函数了3）的图象恒在直线y = kx 的下方，则左的取值范2 + cosx 围是（）A.［骅］B. g,+8）C.［乎+8）D.［-乎半］二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为33D.2)D.24014. 己知蓦函数y = 的图象过点（3,9）,则（--V%）8的展开式中a 的系数为・x15. 过点R-1,0）作直线与抛物线y 2 =8x 相交于A,B 两点，且2\PA\^\AB\,则点3到该抛物线焦点的距离为•16. 等腰△ABC 中，AB^ AC B^J AC 边上的中线，且BD=3 ,则△ABC 的面积最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(12分)已知数列｛弓｝的前"项和为S*,%=2,且满足S"=；%+]+〃+1(〃eN*).(1)求数列｛%｝的通项公式；13(2)若Z7,=log3(—%+l)，求数列｛-----｝前〃项和为T,,求证：T<-.b n b n+2418.(12分)如图，三棱柱ABC-44G中，各棱长均相等，D,E,F分别为棱AB,BC,A,C X的中点.(:I)证明£F〃平面A,CD；(II)若三棱柱ABC-为直三棱柱，求直线3C与平面A©。

河北省衡水中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案)

2016～2017学年度下学期高三年级二模考试数学（理）试卷（答案）I 卷一、选择题（本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.）A 卷：DBBABBAACB DB B 卷：BCCDA CBDDD AB二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.10082016C 14.)3,3(15.416.3510三、解答题:本大题共6题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）由sin 3cos cos C A B =-可得sin()3cos cos A B A B +=-，即sin cos cos sin 3cos cos A B A B A B +=-，因为tan tan 1A B =-，所以A,B 2π≠，两边同时除以cos cos A B ，得到tan tan 3A B +=-，因为tan()tan()tan ,A B C C π+=-=-tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan C =，又0C π<<，所以3C π=。

根据正弦定理得sin sin sin 3a b c A B C ===，故,a A b B ==，sin sin sin sin 2220A B A B a b A B ++==+。

6分（2）由（1）及余弦定理可得222cos 32a b c abπ++=，因为c =，所以2210a b ab +-=，即2()210a b ab ab +--=，又由111a b+=，可得a b ab +=，故2()3100ab ab --=解得52()ab ab ==-或舍去，此时5a b ab +==，所以ABC ∆得周长为5+，ABC ∆的面积为15sin 234π⨯⨯=。

12分18.解：（1）由题意21x x <2221S S >。

2分（2）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台。

河南省郑州市2017届高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20174．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24011．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈+1N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S=1，n=1+1=2，第2次循环，S=1+，n=2+1=3，…当n=2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2017．故选：B．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；∃α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 【考点】数列递推式．【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴a n+6=a n．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，故共有120+120=240个，故选D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|•|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f′（x）==，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k≥．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4•sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为112．【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．【解答】解：幂函数y=x a的图象过点（3，9），∴3a=9，∴a=2，=（﹣1）r C8r28﹣r x，∴=（﹣）8的通项为T r+1令r﹣8=1，解得r=6，展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为5．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】利用过P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，求出B的横坐标，即可求出点B到抛物线的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设A，B在直线x=﹣1的射影分别为D，E．∵2|PA|=|AB|，∴3（x1+1）=x2+1即3x1+2=x2，3y1=y2，∵A．B两点在抛物线y2=8x上∴3=，解得x1=，x2=3，∴点B到抛物线的焦点的距离为BF=3+2=5．故答案为5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定B的横坐标．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•濮阳二模）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 3（﹣a n +1），求数列{}前n 项和为T n ，求证T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）b n =log 3（﹣a n +1）=n ，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I ）解：∵S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．∴n=1时，﹣2=a 2+2，解得a 2=﹣8．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1）， n=1时，a 2﹣1=3（a 1﹣1）=﹣9，∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3． ∴a n ﹣1=﹣3n ，即a n =1﹣3n ．（II ）证明：b n =log 3（﹣a n +1）=n ，∴=．∴数列{}前n项和为T n =++…++=＜．∴T n ＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•濮阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接DE，通过证明四边形A1DEF是平行四边形得出EF∥A1D，从而EF∥平面A1CD；（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A1CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】证明：（I）连接DE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE AC，∵F是A1C1的中点，∴A1F=A1C1，又AC A1C1，∴A1F DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM为直线BC与平面A1CD所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM=，∴sin∠BCM==．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•濮阳二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所以为质量指标值Z服从正态分布N（200，150），所以P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，故p（187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，则y=0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80﹣0.8×235﹣80=604【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题．20．（12分）（2017•濮阳二模）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）CD的中点为M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，∴=；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入作差，整理可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．依题意，M（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，从而k AB=﹣1．直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．与椭圆方程联立，可得3x2﹣12x+18﹣m=0，∴|AB|=•|x1﹣x2|=．①∵CD垂直平分AB∴直线CD的方程为y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，整理得3x2﹣4x+2﹣m=0．又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=，∴M（，﹣）于是由弦长公式可得|CD|=•|x3﹣x4|=．②点M到直线AB的距离为d==．③于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=，此时|AB|＜|CD|故A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．21．（12分）（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a ∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，（）=ln﹣1，…6分从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为：y﹣x=0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==1，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版

高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。

如需改动，先擦干净再涂其他答案。

不得在试卷上作答。

2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。

如需改动，先划掉原答案再写新答案。

不得用铅笔或涂改液。

不按要求作答无效。

3.答题卡需整洁无误。

考试结束后，交回试卷和答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。

3B。

4C。

7D。

82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。

iB。

-iC。

2iD。

-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。

80B。

85C。

90D。

954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。

已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。

如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。

4/5B。

3/4C。

2/3D。

3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。

120B。

160C。

200D。

2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。

3.119B。

2017年衡水金招生高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（理科）（衡水金卷）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|y=}，B={x|3x﹣x2≥0}，则集合A∩B=（）A．[0，2]B．[0，3]C．[0，2）D．（﹣∞，0]2．已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=（）A． B．C．D．3．若a∈[1，6]，则函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．4．中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获5只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（）A．200 B．300 C．D．4005．已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（）A．x2﹣4y2=1 B．=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣4x2=16．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．14+6+10πB．14+6+20πC．12+12πD．26+6+10π7．函数f（x）=（﹣1）sinx的图象的大致形状是（）A．B．C． D．8．设a=0.30.1，b=log，c=log425，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a9．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．1310．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，则函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴为（）A．x=12k﹣8（k∈Z）B．x=6k﹣2（k∈Z）C．x=6k﹣4（k∈Z）D．x=12k﹣2（k∈Z）11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，若抛物线与直线l：x﹣y﹣=0在第一、四象限分别交于A，B两点．则的值等于（）A．97+56B．144 C．73+40D．4p212．不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，已知f（x）=cos（[x]﹣x），给出下列结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期函数，且最小正周期为π；③f（x）的单调递减区间为[k，k+1）（k∈Z）；④f（x）的值域为[cos1，1]．其中正确的结论是（）A．③B．①③C．③④D．②③二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知向量=（sinθ，1），=（﹣sinθ，0），=（cosθ，﹣1），且（2﹣）∥，则tanθ等于．14．若（2x﹣1）dx=6（其中m＞1），则二项式（x﹣）m展开式中含x项的系数为．15．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1a2a3=216，a4=24，若不等式λ≤1+S n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为．16．如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为cm3．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccos﹣bsin=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D在△ABC的外接圆上，且CD=5，△ACD的面积为5，求AC的长．18．如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB 为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．19．团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率．20．已知点M是圆心为E的圆（x+）2+y2=16上的动点，点F（，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足=+，试求四边形AFBD 的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx+a（a∈R），g（x）=﹣e（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）+a．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（a为参数）．（Ⅰ）若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若点A的坐标为（2，0），动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围．2017年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．已知集合A={x|y=}，B={x|3x﹣x2≥0}，则集合A∩B=（）A．[0，2]B．[0，3]C．[0，2）D．（﹣∞，0]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到2﹣x≥0，解得：x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即B=[0，3]，则A∩B=[0，2]，故选：A．2．已知复数z=（其中i为虚数单位），则|z|=（）A． B．C．D．【考点】复数求模．【分析】化简复数z，求出z的模即可．【解答】解：z===﹣i，故|z|==，故选：B．3．若a∈[1，6]，则函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：∵函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增，∴≤2，∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是=，故选C．4．中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获5只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（）A．200 B．300 C．D．400【考点】数列的应用．【分析】由题意可得该数列以公差为d的等差数列，设簪襃得a，则大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，问题得以解决【解答】解：按其爵级高低依次递减相同的量来分配，故该数列以公差为d的等差数列，设簪襃得a，则大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，故a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=500，解得a=100则不更、簪襃、上造可得a﹣d+a++a+d=3a=300，故选：B5．已知双曲线M的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线M的标准方程可能是（）A．x2﹣4y2=1 B．=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣4x2=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】利用已知条件求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，即可写出方程．【解答】解：双曲线M的实轴长为2，可知a=1，它的一条渐近线方程为y=2x，双曲线的焦点坐标在x轴时可得b=2，双曲线的焦点坐标在y轴时b=．所求双曲线方程为：x2﹣y2=1或y2﹣4x2=1．故选：D．6．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．14+6+10πB．14+6+20πC．12+12πD．26+6+10π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体，如图所示，则该几何体的表面积为S=S三棱柱+S半圆柱=（2×3+×3+2××2×4）+（π•22+π•2•3）=14+6+10π．故选：A．7．函数f（x）=（﹣1）sinx的图象的大致形状是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值，判断即可．【解答】解：∵f（x）的函数的定义域为R，∴f（﹣x）=（﹣1）sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=﹣（2﹣﹣1）sinx=（﹣1）sinx=f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）关于y轴对称，当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=（﹣1）sin1＜0，故选：B．8．设a=0.30.1，b=log，c=log425，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=0.30.1∈（0，1），b=log=log35∈（1，2），c=log425＞=2，∴c＞b＞a．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，求出s=时n的值是11，得到n=12时，s＞，输出n的值为12．【解答】解：第一次循环，s=，n=2，第二次循环，s=+，n=3，第三次循环，s=++，n=4，…，第m次循环，s=+++…+=（1﹣）=，解得：m=10，n=m+1=11，第m+1次循环，s＞，n=12，输出n=12；故选：C．10．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，则函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴为（）A．x=12k﹣8（k∈Z）B．x=6k﹣2（k∈Z）C．x=6k﹣4（k∈Z）D．x=12k﹣2（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊法的坐标作图求出φ的值，可得g （x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得A=2，且2sinφ=1，∴sinφ=，∴φ=．再根据AB2=25=42+，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+），故函数g（x）=2cos（φx+ω）=2cos（x+）．令x+=kπ，k∈Z，求得x=6k﹣2，故选：B．11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，若抛物线与直线l：x﹣y﹣=0在第一、四象限分别交于A，B两点．则的值等于（）A．97+56B．144 C．73+40D．4p2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B的坐标，然后求其比值．【解答】解：由题意，直线过焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=x1+x2+p==8p，∴x1+x2=7p，∵x1x2=，∴x1=p，x2=p∴==97+56，故选A．12．不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，已知f（x）=cos（[x]﹣x），给出下列结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期函数，且最小正周期为π；③f（x）的单调递减区间为[k，k+1）（k∈Z）；④f（x）的值域为[cos1，1]．其中正确的结论是（）A．③B．①③C．③④D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】作函数f（x）=cos（[x]﹣x）的图象，结合图象逐一核对四个命题得答案．【解答】解：作函数f（x）=cos（x﹣[x]）的图象如下，①y=f（x）不是偶函数，故①不正确；②y=f（x）为周期函数，周期为1，故②不正确；③当x∈[k，k+1）时，f（x）是单调递减函数，故③正确；④y=f（x）的最小值不存在，最大值为1，故④不正确；∴正确结论的序号是③，故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．已知向量=（sinθ，1），=（﹣sinθ，0），=（cosθ，﹣1），且（2﹣）∥，则tanθ等于﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】2﹣=（3sinθ，2），利用向量共线定理即可得出．【解答】解：2﹣=（3sinθ，2），∵（2﹣）∥，∴﹣3sinθ﹣2cosθ=0，解得ta nθ=﹣．故答案为：﹣．14．若（2x﹣1）dx=6（其中m＞1），则二项式（x﹣）m展开式中含x项的系数为﹣3．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出m的值，然后再根据二项式的通项公式求出m的值，问题得以解决．【解答】解：由于（2x﹣1）dx=（x2﹣x）|=m2﹣m﹣（1﹣1）=6，解得m=3或m=﹣2（舍去）=（﹣1）r C3r•x3﹣2r，∴（x﹣）3的通项公式为T r+1令3﹣2r=1，求得r=1，故含x项的系数为﹣C31=﹣3．故答案为：﹣315．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1a2a3=216，a4=24，若不等式λ≤1+S n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为4．【考点】数列的应用；数列与不等式的综合．【分析】求出数列的公比，求出前n项和，利用不等式求解最值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1a2a3=216，a4=24，可得a23=216．可得a2=6．q=2．a1=3．S n==3×2n﹣3．不等式λ≤1+S n=3×2n﹣2对一切n∈N*恒成立，可得λ≤4．则实数λ的最大值为：4．故答案为：4．16．如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为500cm3．【考点】球的体积和表面积．【分析】先确定三棱锥A﹣BCD的外接球直径为AC，再根据图中数据求出外接球的半径R，从而求得体积．【解答】解：四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，∴AB⊥BD，CD⊥BD；∵沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示；∴AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD，∴AB⊥BC，CD⊥DA；∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，且|AC|2=|AB|2+|BD|2+|CD|2=102+102+102=300∴外接球的半径为R=5，它的体积为•=500π．故答案为：500π．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccos﹣bsin=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D在△ABC的外接圆上，且CD=5，△ACD的面积为5，求AC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式，正弦定理化简已知等式可得sinCcosB+sinBsinC=0，由于sinC≠0，可求tanB=﹣，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由点D在△ABC的外接圆上，可得D=π﹣B=，或B=D=，利用三角形面积公式可求AD，进而利用余弦定理即可解得AC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵ccos﹣bsin=0，∴ccosB+bsinC=0，由正弦定理可得：sinCcosB+sinBsinC=0，…3分∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosB+sinB=0，可得：tanB=﹣，∵0＜B＜π，∴B=…6分（Ⅱ）∵由点D在△ABC的外接圆上，可得：D=π﹣B=，或B=D=，…7分=CD•AD•sinD==5，解得：AD=4，∴S△ACD∵在△ACD中，由余弦定理，可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cosD=21或61，∴AC=或…12分18．如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB 为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出四边形OBCD为平行四边形，AB⊥OD，EO⊥AB，从而AB⊥平面EOD，由此能证明平面ABE⊥平面EOD．（Ⅱ）以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四边形OBCD为平行四边形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜边上的中点，∴EO⊥AB，∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD．解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，∴OB，OD，OE两两垂直，以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1，∴OA=OB=OD=OE=1，∴O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），∴=（﹣1，0，0），=（0，﹣1，1），设平面ECD的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∵OD⊥平面ABE，∴是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为45°．19．团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示．（Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1﹣P．（II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．即可得出ξ的分布列与数学期望．（III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P==，可得η～B，事件“η≥2”的概率P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3），即可得出．【解答】解：（I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．ξ的分布列为：E（X）=0×+1×+2×=．（III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P==，可得η～B，事件“η≥2”的概率P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3）=+=．20．已知点M是圆心为E的圆（x+）2+y2=16上的动点，点F（，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足=+，试求四边形AFBD 的面积的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）得到|PM|=|PF|，求出点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，求出椭圆方程即可；（Ⅱ）求出S AFBD=2S△AFB，通过讨论AB是短轴、AB是长轴的情况，求出四边形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）由于点P为线段MF的垂直平分线，故|PM|=|PF|，故|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|ME|=4＞2，故点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，因此P点的轨迹C的方程是： +y2=1；（Ⅱ）由=+，知四边形AFBD是平行四边形，故S AFBD=2S△AFB，（1）AB是短轴时，=|AB|•|OF|=×2×=S△AFB即S AFBD=2；（2）AB是长轴时，易知AFBD不是四边形，故AB斜率不是0；（3）直线AB的斜率存在且不是0时，设其斜率为k，则直线AB的方程是：y=kx（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去x得：（1+4k2）y2﹣4k2=0，故y1+y2=0，y1y2=，=2S△ABF=2×|OF|•|y1﹣y2|=•=•=，SAFBD而+4＞4，故0＜＜=2，综上，四边形AFBD的面积的取值范围是（0，2]．21．已知函数f（x）=xlnx+a（a∈R），g（x）=﹣e（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）+a．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）求出y=﹣xlnx的单调性和极值，得出y=﹣xlnx的值域，根据单调性和极值讨论a的范围得出f（x）零点的个数；（II）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，使用作差法即可得出结论．【解答】解：（I）令f（x）=0得a=﹣xlnx，令h（x）=﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx﹣1，∴当0＜x＜时，h′（x）＞0，当x＞时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h max（x）=h（）=，又x→0时，h（x）＞0，当x→+∞时，h（x）→﹣∞，∴h（x）在（，+∞）上存在唯一一个零点x=1，作出h（x）的大致函数图象如图所示：∴当a≤0或a=时，f（x）有1个零点，当0＜a＜时，f（x）有2个零点，当a＞时，f（x）没有零点．（II）证明：∵f（x）＞g（x）+a⇔xlnx＞g（x），g′（x）==，∴当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴g max（x）=g（1）=2﹣e，由（I）可知y=xlnx的最小值为﹣，∵﹣﹣（2﹣e）=e﹣2﹣＞0，∴xlnx﹣g（x）＞0．即xlnx＞g（x），∴当x＞0时，f（x）＞g（x）+a．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（a为参数）．（Ⅰ）若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若点A的坐标为（2，0），动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出直线、圆的普通方程，利用直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；（Ⅱ）P（cosα，1+sinα），Q（x，y），则x=（cosα+2），y=（1+sinα），消去α，整理可得线段PA 的中点Q的轨迹方程【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=mx，圆C的参数方程为（a为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2=1．圆心到直线l的距离d=，相交弦长=2，∴2≥，∴m≤﹣1或m≥1；（Ⅱ）设P（cosα，1+sinα），Q（x，y），则x=（cosα+2），y=（1+sinα），消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程（x﹣1）2+（y﹣）2=．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围．【考点】函数的图象．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的含义，对x讨论，分x＞3，﹣1≤x≤3，x＜﹣1，去掉绝对值，画出图象即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为2，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥2，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）由零点分段法，得f（x）=，函数f（x）的图象如图所示：（Ⅱ）≤=2，当且仅当（3m+1）（1﹣m）≤0，且|3m+1|≥|1﹣m|，m≠﹣1，即m≥1或m＜﹣1时，取等号，由不等式f（x）≥对任意实数m≠=﹣1恒成立，得|x+1|﹣|x﹣3|≥2，由（Ⅰ）中图象，可知x≥2，所以实数x的取值范围是{x|x≥2}。

精品解析：河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅱ）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A B ⋂=（） A. {0,1} B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {1,0,1,2}-【答案】B 【解析】由题意可得：{}{}1,0,1,2,0,1,2,3A B =-= ，则集合A B ⋂={}0,1,2. 本题选择B 选项.2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（）A.B.15C.5D.25【答案】C 【解析】由题意可得： ()()1111213,2,22z i i i z i z i i +=-+=+∴=+===++ .3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（）A.46- B.46+ C.718D.3【答案】A 【解析】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πα+∈（4π，34π），又因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin +43πα=（故sin α=sin[（4πα+）-4π]=sin （4πα+）cos 4π-cos （4πα+）sin 4π=13232⨯-⨯= 46, 故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间)2,0(任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（）A.42B.44- C.D.222- 【答案】A 【解析】满足题意时，椭圆上的点()cos ,sin P a b θθ 到圆心()0,0O 的距离：()()222222cos 0sin 0d a b r a b θθ=-+->=+ ，整理可得2222222222sin sin 11,111sin 1sin 1sin 2b b e a a θθθθθ>∴=-<-=<+++ ，据此有：21,022e e <<<，题中事件的概率02204p -==- .本题选择A 选项.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（） A. [0,]6πB. [,]63ππC. [,]43ππD. ]2,3[ππ【答案】D 【解析】由题意可得：[][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ，双曲线的渐近线为b y x a =±，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（）A. 3)2π+B. 3)22π+C. 2+ D.4+【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：2222313111=3,=3434232V a a V a a ππ⨯⨯⨯=⨯⨯=圆锥三棱锥由题意：223132,242a a a ππ+=+∴= ，据此可知：31=2223242S a ππ⨯+⨯⨯=+底，3=24S π=圆锥侧，1=2S ⨯=棱锥侧，它的表面积是 322π⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图像大致为（）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ；由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±，所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（） A. 4 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】二项式1(0,0)nax a b bx ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则10n = ，二项式101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 展开式的通项公式为：()1010102110101rr r r r rr r T C ax C a b x bx ----+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，由题意有：282102137331103C a b T T C a b-+-+== ，整理可得：8ab = . 本题选择D 选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r ＋1＝rn C a n －r b r中，rn C 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n 的奇偶性有关，当n 为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（）A. 81B.812C.814D.818【答案】C 【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值， x =0,y =1,n =1 ，进入循环体：x =n y =1,y =2y n+ =1，时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=2 ，进入第二次循环， x =n y =2,y =2y n + =23 ,时满足条件 y 2≥x ，执行 n =n +1=3 ，进入第三次循环， x =n y =2,y =2y n + =94，时不满足条件y 2≥x ，输出814p xy == .10.已知数列11a =，22=a ，且222(1)nn n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（）A. 201610101⨯-B. 10092017⨯C. 201710101⨯-D. 10092016⨯【答案】C 【解析】由递推公式可得：当n 为奇数时，24n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时，20n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为2，公差为0的等差数列，()()20171320172420161100910091008410082220171010 1.S a a a a a a =+++++++=+⨯⨯⨯+⨯=⨯-本题选择C 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x R πωϕ>><∈的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B. 函数()g x 的最大值为22C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：13-=x y 平行D. 方程2)(=x g 的两个不同的解分别为1x ，2x ，则21x x -最小值为2π【答案】C 【解析】由函数的最值可得2A = ，函数的周期2242,136T ππππωω⎛⎫=⨯-==∴= ⎪⎝⎭，当6x π=时，()12,2623x k k k Z πππωϕϕπϕπ+=⨯+=+∴=+∈ ，令0k = 可得3πϕ=，函数的解析式()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.则： ()()()'2sin 2cos 3334712g x f x f x x x x x πππππ=+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合函数的解析式有()7'12g x x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭，而3⎡∉-⎣ ，选项C 错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确. 本题选择C 选项.12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（） A. (,2)-∞- B. (2,2)- C. (2,)+∞ D. (2,0)(0,2)-【答案】D 【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得：()()2'3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得1220,x x a==，由题意得不等式：()()122281210f x f x a a=-+< ，即：2241,4,22a a a><-<< ，综上可得a 的取值范围是 ()()2,00,2-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =r，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b =，则mn 的值为__________．【答案】-8 【解析】由题意可得：()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ，则：()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- .14.在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x ya b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．【答案】⎝⎭【解析】试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴222cos cos 4MD c QMD ac a cb QMaπ∠==>=<-2222,a c ac a c >-<-∴2210,10e e e +->+-<解得122e e ><∴该椭圆离心率的取值范围是122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭故答案为：⎝⎭15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则yx 的取值范围为__________．【答案】27[,]54【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数yx表示可行域内的点(),x y 与坐标原点()0,0 之间连线的斜率，目标函数在点47,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得最大值74 ，在点51,42⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值25 ，230,220,220,x y x y x y +-≥-+≥--≤则y x 的取值范围为27,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16.在平面五边形ABCDE 中，已知︒=∠120A ，90B ∠=︒，120C ∠=︒，︒=∠90E ，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积S ∈时，则BC 的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由题意可设：BC DE a== ，则：()21318393363,22224A BC E S a a ⎡=⨯++-+-⎣ ，则：当a = 时，面积有最大值；当a =时，面积有最小值；结合二次函数的性质可得：BC 的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为()*111,,212,2n n n S a S S n n N -==+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log *n n b a n N =∈，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n T【答案】(1) *1()2n n a n N =∈;(2) 1n n +. 【解析】试题分析：（1）首先利用S n 与a n 的关系：当n=1时，a 1=S 1，当n≥2时，a n =S n -S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n }是等比数列，由此求得数列{a n }的通项公式；（2）()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和即可. 试题解析：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =．又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时， 2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故12n n a = ()*n N ∈．（2）由（1）及12log n n b a = ()*n N ∈，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++，故2231111n n n n T b b b b b b +=+++= 1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111n n n -=++．18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC =∠，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）余弦值为3. 【解析】【分析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥，再利用勾股定理证明EF AF ⊥,从而可得EF ⊥平面AFC ，进而可得结果；（2）取EF 中点G ，可证明OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，分别以OA ，OB ，OC 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标，平面AFC 的法向量可取为EF ，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AEC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ,由2AB =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==2BD =，EF ==AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥, 又AF AC A ⋂=，所以EF ⊥平面AFC . 又EF ≠⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC . （2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，分别以OA ，OB ，OC 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示），则()0,0,0O ，)3,0,0A，()3,0,0C -，(0,E -，(F .所以()0,AE =-- (=-， ())()3,0,0AC =--=-， (((0,1,0,0,2,EF =--=.由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,EF =,设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =4y =，所以(0,4,2n =.从而63cos ,363n EF n EF n EF⋅===⋅.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角E AC F --的余弦值为法二：此题也可以连接EO ，FO ，即EOF ∠为所求的二面角E AC F --的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望. 【答案】(1) 等级为B 的概率为561410025=,成绩为B 的人数约有1480044825⨯=;(2)见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数为448； (2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)ξ的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为1112. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则()03473117033C C P C ξ===，()124731128155C C P C ξ===， ()214731114255C C P C ξ===，()304731143165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则()7281440123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 1211=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点(22P ，动直线l ：m kx y +=交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程；（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值. 试题解析：（1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220kxkmx m +++-=，由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k-=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210kx xkm x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m kmkkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=.21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >时，当()0,x a ∈时，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增； ②若0a =时，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增. (2)构造新函数()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，结合新函数的性质即可证得题中的不等式. 试题解析：（1）由()22ln f x a x x ax =-+-，可知()2'2a f x x a x =-+-= ()()2222x a x a x ax a x x+---=. 因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >时，当()0,x a ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+= ()22ln x a x a x +-- (0)x >，所以()()'22a h x x a x =+--= ()()()22221x a x a x a x x x+---+=. 所以当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x <；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >；当2a x =时，'02a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 欲证12'02x x h +⎛⎫> ⎪⎝⎭，只需证12''22x x a h h +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2''20a h x x =+>，即()'h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则()()211122222,{2,x a x alnx m x a x alnx m +--=+--=两式相减并整理得()1212ln ln a x x x x -+-= 22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，故只需证明()2212121212122222ln ln x x x x x x x x x x +-+->-+-，即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+，即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<，所以1201x x <<，不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，()0,1t ∈. 记()22ln 1t R t t t -=-+，()0,1t ∈，所以()()()()222114'011t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在()0,1单调递增. 又()10R =，因此()0R t <，()0,1t ∈，故22ln 1t t t -<+，()0,1t ∈得证，从而12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x ty tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .【答案】（1）a 的取值范围为[1,5]；（2）3AB ==. 【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=，()22 24x y +-=；a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得3AB =. 试题解析：（1）曲线1C ：3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ：()()22329x y -+-=，两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==. 23.已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 【答案】（1）解集为[1,1]-；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-. (2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤>所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦218577⎡⎢+=⎢⎣.当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立，即216a =，243b =时，有最小值，所以221418117a b +≥++得证.。

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三押题II卷理数试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合=.本题选择B选项.2. 设复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得： .本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 已知直角坐标原点为椭圆的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件“以为离心率的椭圆与圆：没有交点”的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点到圆心的距离：，整理可得，据此有：，题中事件的概率 ....本题选择A选项.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（）...A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，二项式展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1＝a n－r b r中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9. 执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，，进入循环体：，时满足条件，执行，进入第二次循环，，时满足条件，执行，进入第三次循环，，时不满足条件，输出 .本题选择C选项.10. 已知数列，，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：当为奇数时，，数列是首项为1，公差为4的等差数列，当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，本题选择C选项.11. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为...B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.12. 已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为_________．【答案】-8...【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【答案】【解析】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，∴∴化为∴解得∴该椭圆离心率的取值范围是故答案为：15. 设，满足约束条件则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数表示可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，目标函数在点处取得最大值，在点处取得最小值，则的取值范围为.点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，....(2)裂项求和，，故.试题解析：（1）当时，由及，得，即，解得.又由，①可知，②②-①得，即.且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故.（2）由（1）及，可知，所以，故.18. 如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角的余弦值为.试题解析：（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面，由，，，可知，，，，从而，故.又，所以平面....又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，，所以，，.由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.设平面的法向量为，则即即令，得，所以.从而.故所求的二面角的余弦值为.点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.【答案】（1）448；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关....（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.则，，，.因此可得的分布列为：则.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；...（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；②若时，函数单调递增；③若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，当在内恒成立，函数单调递增；③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）证明：由题可知，所以.所以当时，；当时，；当时，.欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则两式相减并整理得，从而，故只需证明，即.因为，所以（*）式可化为，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增....又，因此，，故，得证，从而得证.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1），，：；；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：. 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为....(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。

河北衡水2017高三二摸数学试题(理)(word版含答案)

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B = （）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（）A ．1B ．6415C.1619 D ．127. 已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9- D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（） A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈ R)，若(),⊥⊥- a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC AC BD F === ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13.2516 15. ⎛ ⎝⎦ 三、解答题17. 解：(1) 由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+ ，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j =∅≠ .(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A = ，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A == ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，所以X 的分布列为故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC.(2) 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G == ，()()(),,AG AB AP ∴===，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得)1n =，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,4222p p F FA FD FA ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则(22324p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y xx my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+> ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln 22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t = ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥ ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==，故点P到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t∴∀∈R，cos2sin40-+>a t t恒成立，()4tϕ+-（其中2tanaϕ=）恒成立，4<，又0a>，解得0a<<a取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m--≤--=,要使24x m x--<恒成立，则2m<，解得22m-<<.又m∈N*，1∴=m.（2）()()()()0,1,0,1,22223f fαβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(解析版)

2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．若集合益={y|y=lgx},B={x|y=},则集合A∩B=（）A．（0,+∞）B．[0,+∞）C．（1,+∞）D．∅2．已知复数z满足z=（i为虚数单位,a∈R）,若复数z对应地点位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,则a地值为（）A．0B．l C．﹣l D．23．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取地实数x0满足f（x0）≤0地概率为（）A．B．C．D．4．已知a＞0,且a≠1,则双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地（）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同D．离心率相等5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:"今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里其意是:现有一匹马行走地速度逐渐变慢,每天走地里数是前一天地一半,连续行走7天,共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走地总路程为（）A．里B．1050 里C．里D．2100里6．如图,在各小正方形边长为1地网格上依次为某几何体地正视图．侧视图与俯视图,其中正视图为等边三角形,则此几何体地体积为（）A．1+B． +C． +D． +7．已知0＜a＜b＜l,c＞l,则（）A．log a c＜log b c B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alog c＜blog c8．运行如下图所示地程序框图,则输出地结果是（）A．B．C．D．9．如下图所示,在棱长为a地正方体ABCD﹣A1B2C3D4中,点E,F分别在棱AD,BC上,且AE=BF=a．过EF地平面绕EF旋转,与DD1、CC1地延长线分别交于G,H点,与A1D1、B1C1分别交于E1,F1点．当异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,|GF1|=（）A．B．C．D．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1地图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）地图象,则下列关予函数y=g（x）地说法错误地是（）A．函数y=g（x）地最小正周期为πB．函数y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=C．g（x）dx=D．函数y=g（x）在区间[,]上单调递减11．点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,F为拋物线地焦点,点N（l,l）,当点P在直线l:x﹣y=2上运动时,地最小值为（）A．B．C．D．12．已知f（x）是定义在区间（0,+∞）内地单调函数,且对∀x∈（0,∞）,都有f[f （x）﹣lnx]=e+1,设f′（x）为f（x）地导函数,则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）地零点个数为（）A．0B．l C．2D．3二、填空题:本题共4小题,每小题5分．13．在（2﹣）6地展开式中,含x3项地系数是（用数字填写解析）14．已知向量,满足||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,且⊥（﹣）,设与地夹角为θ,则θ等于．15．已知点P（x,y）地坐标满足,则地取值范围为．16．若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,数列{a n}地通项公式为a n=f（）（n∈N）,则此数列前2017项地和为．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中,角A,B,C所对地边分别为a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4,b+c=8,求△ABC 地面积．18．如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1,B为线段AD地中点,△ABC≈△A1B1C1,四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1,A1C1=A1A,∠C1A1A=,M为棱A1C1地中点．（I）若N为线段DC1上地点,且直线MN∥平面ADB1A1,试确定点N地位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值．19．某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮地点数分别记为x n,y n,如果点数满足x n＜,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束．（I）求第一轮闯关成功地概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获地奖金数f（i）=10000×（单位:元）,求某人闯关获得奖金不超过1250元地概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行地轮数为随机变量X,求x地分布列和数学期望．20．已知椭圆C: +=1 （a＞b＞0）地短轴长为2,过上顶点E和右焦点F地直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（I）求椭圆C地标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1,0）,且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T （t,0）（t≠0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点）,若存在,求出t地值；若不存在,请说明理由．21．已知函数f（x）=（a,b∈R,且a≠0,e为自然对数地底数）．（I）若曲线f（x）在点（e,f（e））处地切线斜率为0,且f（x）有极小值,求实数a 地取值范围．（II）（i）当a=b=l 时,证明:xf（x）+2＜0；（ii）当a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1,+∞）内恒成立,求实数m地最大值．[选修4一4:坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中,椭圆C地参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点,x轴地正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,求x+2y地取值范围．[选修4一5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）地图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解,求实数a地取值范围．2023年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）参考解析与试卷解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1．若集合益={y|y=lgx},B={x|y=},则集合A∩B=（）A．（0,+∞）B．[0,+∞）C．（1,+∞）D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据函数地定义域和值域求出集合A、B,利用定义写出A∩B．【解答】解:集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R,B={x|y=}={x|x≥0},则集合A∩B={x|x≥0}=[0,+∞）．故选:B．2．已知复数z满足z=（i为虚数单位,a∈R）,若复数z对应地点位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,则a地值为（）A．0B．l C．﹣l D．2【考点】复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:复数z满足z===+i,复数z对应地点（,）位于直角坐标平面内地直线y=﹣x上,∴﹣=,解得a=0．故选:A．3．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取地实数x0满足f（x0）≤0地概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型,概率地值为对应长度之比,根据题目中所给地不等式解出解集,解集在数轴上对应地线段地长度之比等于要求地概率．【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,概率地值为对应长度之比,由f（x0）≤0,得到x02﹣2x0﹣3≤0,且x0∈[﹣2,4]解得:﹣1≤x0≤3,∴P==,故选:A．4．已知a＞0,且a≠1,则双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地（）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同D．离心率相等【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据题意,由双曲线C1与C2地标准方程,分析其焦点位置,进而求出C1与C2地焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率,比较即可得解析．【解答】解:根据题意,双曲线C1:﹣y2=1,其焦点在x轴上,c=,则其焦点坐标为（,0）,顶点坐标（a,0）,渐近线方程:y=±x,离心率e=；双曲线C2:﹣x2=1,其焦点在y轴上,c=,则其焦点坐标为（0,）,顶点坐标（0,a）,渐近线方程:y=±ax,离心率e=；分析可得:双曲线C1:﹣y2=1与双曲线C2:﹣x2=1地离心率相同；故选:D．5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:"今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里其意是:现有一匹马行走地速度逐渐变慢,每天走地里数是前一天地一半,连续行走7天,共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走地总路程为（）A．里B．1050 里C．里D．2100里【考点】等比数列地前n项和．【分析】由题意,可得该匹马每日地路程成等比数列,首项为a1,公比,连续行走7天,共走了700里,即S7=700,求解a1,即可求解它这14天内所走地总路程S14．【解答】解:由题意,设该匹马首日路程（即首项）为a1,公比,S7=700,即,解得:那么:=故选C．6．如图,在各小正方形边长为1地网格上依次为某几何体地正视图．侧视图与俯视图,其中正视图为等边三角形,则此几何体地体积为（）A．1+B． +C． +D． +【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意,几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）地三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）地组合体,利用体积公式,可得结论．【解答】解:由题意,几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）地三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）地组合体,体积V==,故选C．7．已知0＜a＜b＜l,c＞l,则（）A．log a c＜log b c B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alog c＜blog c【考点】不等式地基本性质．【分析】根据a,b,c地范围,根据特殊值法验证即可．【解答】解:取a=,b=,c=2,得A、B、C错误,D正确,故选:D．8．运行如下图所示地程序框图,则输出地结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】程序框图累计算=（﹣）各项地和,即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）],根据判断框,即可得出结论．【解答】解:程序框图累计算=（﹣）各项地和,即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）],判断框为k＞99时,输出地结果为,故选B．9．如下图所示,在棱长为a地正方体ABCD﹣A1B2C3D4中,点E,F分别在棱AD,BC上,且AE=BF=a．过EF地平面绕EF旋转,与DD1、CC1地延长线分别交于G,H点,与A1D1、B1C1分别交于E1,F1点．当异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,|GF1|=（）A．B．C．D．【考点】棱柱地结构特征．【分析】如图异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,就是tan∠CHF=,求出CF,C1H,C1F,D1C1即可．【解答】解:如图异面直线FF1与DD1所成地角地正切值为时,就是tan∠CHF=,∵,∴CH=2a,即C1H=a⇒C1F1=|GF1|==故选:A．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1地图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）地图象,则下列关予函数y=g（x）地说法错误地是（）A．函数y=g（x）地最小正周期为πB．函数y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=C．g（x）dx=D．函数y=g（x）在区间[,]上单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换；三角函数地化简求值．【分析】利用两角差地正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律,可得g（x）,利用正弦函数地图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解:把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1地图象向左平移个单位,得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1地图象,再向下平移1个单位,得到函数y=g（x）=2sin（2x+）地图象,对于A,由于T=,故正确；对于B,由2x+=kπ+,k∈Z,解得:x=+,k∈Z,可得:当k=0时,y=g（x）地图象地一条对称轴为直线x=,故正确；对于C,g（x）dx=2sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|=﹣（cos﹣cos）=,故正确；对于D,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得:kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,可得函数y=g（x）在区间[,]上单调递减,故错误．故选:D．11．点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,F为拋物线地焦点,点N （l,l）,当点P在直线l:x﹣y=2上运动时,地最小值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线地简单性质．【分析】先求出抛物线地方程,设AP=t,则AN=,AF=2,PN=,PF=,再表示,利用换元法,即可得出结论．【解答】解:∵点M（3,2）到拋物线C:y=ax2（a＞0）准线地距离为4,∴2+=4,∴a=,∴拋物线C:x2=8y,直线l:x﹣y=2与x轴交于A（2,0）,则FA⊥l．设AP=t,则AN=,AF=2,PN=,PF=,设﹣1=m（m≥﹣1）,则=== ,∴m=﹣1,即t=0时,地最小值为．故选:B．12．已知f（x）是定义在区间（0,+∞）内地单调函数,且对∀x∈（0,∞）,都有f[f （x）﹣lnx]=e+1,设f′（x）为f（x）地导函数,则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）地零点个数为（）A．0B．l C．2D．3【考点】利用导数研究函数地单调性；函数零点地判定定理．【分析】由设t=f（x）﹣lnx,则f（x）=lnx+t,又由f（t）=e+1,求出f（x）=lnx+e,从而求出g（x）地解析式,根据函数地单调性求出函数地零点地个数即可．【解答】解:根据题意,对任意地x∈（0,+∞）,都有f[f（x）﹣lnx]=e+1,又由f（x）是定义在（0,+∞）上地单调函数,则f（x）﹣lnx为定值,设t=f（x）﹣lnx,则f（x）=lnx+t,又由f（t）=e+1,即lnt+t=e+1,解得:t=e,则f（x）=lnx+e,f′（x）=＞0,故g（x）=lnx+e﹣,则g′（x）=+＞0,故g（x）在（0,+∞）递增,而g（1）=e﹣1＞0,g（）=﹣1＜0,存在x0∈（,1）,使得g（x0）=0,故函数g（x）有且只有1个零点,故选:B．二、填空题:本题共4小题,每小题5分．13．在（2﹣）6地展开式中,含x3项地系数是　64　（用数字填写解析）【考点】二项式系数地性质．【分析】根据二项式展开式地通项公式,令展开式中含x项地指数等于3,求出r 地值,即可求出展开式中x3项地系数．【解答】解:二项式（2﹣）6展开式地通项公式为=••=（﹣1）r•26﹣r••x3﹣r,T r+1令3﹣r=3,解得r=0；∴展开式中x3项地系数是26×=64．故解析为:64．14．已知向量,满足||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,且⊥（﹣）,设与地夹角为θ,则θ等于．【考点】平面向量数量积地运算．【分析】根据平面向量地数量积运算与夹角公式,即可求出、夹角地大小．【解答】解:∵||=2,=（4cosα,﹣4sinα）,∴||==4,又⊥（﹣）,∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0,∴•=4；设与地夹角为θ,则θ∈[0,π],∴cosθ===,∴θ=．故解析为:．15．已知点P（x,y）地坐标满足,则地取值范围为　[﹣,1]　．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域,设A（1,1）,P（x,y）为可行域内地一动点,向量、地夹角为θ,可得cosθ=,再由θ地范围求得cosθ地范围,则解析可求．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,设A（1,1）,P（x,y）为可行域内地一动点,向量、地夹角为θ,∵||=,,∴cosθ==．∵当P运动到B时,θ有最小值,当P运动到C时,θ有最大值π,∴﹣1,即,则．∴地取值范围为[﹣,1]．故解析为:[﹣,1]．16．若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,数列{a n}地通项公式为a n=f（）（n∈N）,则此数列前2017项地和为　﹣2016　．【考点】数列地求和．【分析】由已知结论可得f（x）地对称中心为（,﹣1）,即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2,此数列前2017项地和按正常顺序写一遍,再倒过来写,即运用数列地求和方法:倒序球和法,化简即可得到所求和．【解答】解:若函数f（x）地表达式为f（x）=（c≠0）,则函数f（x）地图象地对称中心为（﹣,）,现已知函数f（x）=,则对称中心为（,﹣1）,即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2,则数列前2017项地和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1）,则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1）,相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016,则此数列前2017项地和为﹣2016．故解析为:﹣2016．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中,角A,B,C所对地边分别为a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4,b+c=8,求△ABC 地面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=,结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc,可求cosA,结合范围A∈（0,π）,可求A地值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=,进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解:（I）∵2sinAcosB=2sinC﹣sinB,∵由正弦定理可得:2acosB=2c﹣b,即:cosB=,又∵cosB=,∴=,解得:b2+c2﹣a2=bc,∴cosA===,又∵A∈（0,π）,∴A=…6分（Ⅱ）∵由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,a=4,b+c=8,∴（4）2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc,∴bc=,∴△ABC 地面积S=bcsinA==…12分18．如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1,B为线段AD地中点,△ABC≈△A1B1C1,四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1,A1C1=A1A,∠C1A1A=,M为棱A1C1地中点．（I）若N为线段DC1上地点,且直线MN∥平面ADB1A1,试确定点N地位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面平行地判定．【分析】（Ⅰ）连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1,推出MN∥A1D,说明MN为△A1C1D地中位线,得到N为DC1地中点．（Ⅱ）设A1B1=1,证明AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,求出相关点地坐标,求出平面CC1D地法向量,平面MAD地一个法向量,利用空间向量地数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明:连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1,MN⊂平面A1C′1D,平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1,∴MN∥A1D,又M为棱A1C1地中点,∴MN为△A1C1D地中位线,∴N为DC1地中点．（Ⅱ）设A1B1=1,则A1A=1,A1C1=1,因为B为AD地中点,所以AD=2,因为△ABC≈△A1B1C1,所以A1C1=AC,又平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1,平面ABC∩平面A1AOC1=AO,∴A1C1∥AC,所以四边形A1ACC1是平行四边形,又A1C1=A1A,所以A1ACC1是菱形,又∠C1A1A=,A1M=,∴,∴AM⊥A1C1,∴AM⊥AC,∵AD⊥AA1,平面AA1C1C⊥平面ADB1A1,∴AD⊥平面AA1C1C,∴AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,由题意可得:A（0,0,0）,D（2,0,0）,C（0,1,0）,C1（）,∴=（﹣2,1,0）,,设平面CC1D地法向量为:=（x,y,z）,则,令z=2,可得y=6,x=3,可得=（3,6,2）,平面MAD地一个法向量为:=（0,1,0）,平面MAD与平面CC1D所成地锐二面角地余弦值为:cosθ=|cos|===．19．某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮地点数分别记为x n,y n,如果点数满足x n＜,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束．（I）求第一轮闯关成功地概率；（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获地奖金数f（i）=10000×（单位:元）,求某人闯关获得奖金不超过1250元地概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行地轮数为随机变量X,求x地分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件地数对（x1,y1）即可,（Ⅱ）由10000×≤1250,得i≥3,由（Ⅰ）每轮过关地概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元地概率:P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）（Ⅲ）设游戏第k轮后终止地概率为p k（k=1,2,3,4）,分别求出相应地概率,由能求出X地分布列和数学期望．【解答】解:（Ⅰ）,当y1=6时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=5时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=4时,y1＜,因此x1=1,2；当y1=3时,y1＜,因此x1=1；当y1=2时,y1＜因此x1=1；当y1=1时,y1＜,因此x1无值；∴第一轮闯关成功地概率P（A）=．（Ⅱ）令金数f（i）=10000×≤1250,则i≥3,由（Ⅰ）每轮过关地概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元地概率:P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）=1﹣﹣（1﹣）×=（Ⅲ）依题意X地可能取值为1,2,3,4设游戏第k轮后终止地概率为p k（k=1,2,3,4）p1=．p2=（1﹣）×=,p3=（1﹣）2×=,p4=1﹣p2﹣p3=；故X地分布列为X1234P因此EX=1×+2×+3×+4×=20．已知椭圆C: +=1 （a＞b＞0）地短轴长为2,过上顶点E和右焦点F地直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（I）求椭圆C地标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1,0）,且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T （t,0）（t≠0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点）,若存在,求出t地值；若不存在,请说明理由．【考点】直线与椭圆地位置关系．【分析】（I）由已知可得:b=1,结合直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3,a2=4,即得椭圆C地标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4,0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB,联立直线与椭圆方程,结合∠OTA=∠OTB 时,直线TA,TB地斜率k1,k2和为0,可证得结论．【解答】解:（I）由已知中椭圆C地短轴长为2,可得:b=1,则过上顶点E（0,1）和右焦点F（0,c）地直线方程为:,即x+cy﹣c=0,由直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．故圆心M（2,1）到直线地距离d等于半径1,即,解得:c2=3,则a2=4,故椭圆C地标准方程为:；（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,当直线AB地斜率不为0时,设直线方程为:x=my+1,代入得:（m2+4）y2+2my﹣3=0,则y1+y2=,y1•y2=,设直线TA,TB地斜率分别为k1,k2,若∠OTA=∠OTB,则k1+k2=+====0,即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）=+=0,解得:t=4,当直线AB地斜率为0时,t=4也满足条件,综上,在x轴上存在一点T（4,0）,使得不论直线l地斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB．21．已知函数f（x）=（a,b∈R,且a≠0,e为自然对数地底数）．（I）若曲线f（x）在点（e,f（e））处地切线斜率为0,且f（x）有极小值,求实数a 地取值范围．（II）（i）当a=b=l 时,证明:xf（x）+2＜0；（ii）当a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1,+∞）内恒成立,求实数m地最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数地最值；利用导数研究函数地单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数地导函数,由f′（e）=0得b=0,可得f′（x）=．然后对a分类讨论,可知当a＞0时,f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时,f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a地取值范围为（﹣∞,0）；（Ⅱ）（i）当a=b=1时,设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2．求其导函数,可得g′（x）=在区间（0,+∞）上为减函数,结合零点存在定理可得存在实数x0∈（,1）,使得．得到g（x）在区间（0,x0）内为增函数,在（x0,+∞）内为减函数．又,得,x0=﹣lnx0．由单调性知g（x）max＜0,即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e,当a=1,b=﹣1 时,设h （x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时,h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m地取值范围．【解答】（Ⅰ）解:∵f（x）=,∴f′（x）=．∵f′（e）=0,∴b=0,则f′（x）=．当a＞0时,f′（x）在（0,e）内大于0,在（e,+∞）内小于0,∴f（x）在（0,e）内为增函数,在（e,+∞）内为减函数,即f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时,f（x）在（0,e）内为减函数,在（e,+∞）内为增函数,即f（x）有极小值而无极大值．∴a＜0,即实数a地取值范围为（﹣∞,0）；（Ⅱ）（i）证明:当a=b=1时,设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2．g′（x）=在区间（0,+∞）上为减函数,又g′（1）=1﹣e＜0,g′（）=2﹣．∴存在实数x0∈（,1）,使得．此时g（x）在区间（0,x0）内为增函数,在（x0,+∞）内为减函数．又,∴,x0=﹣lnx0．由单调性知,=．又x0∈（,1）,∴﹣（）＜﹣2．∴g（x）max＜0,即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e,当a=1,b=﹣1 时,设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．则h′（x）=．令t（x）=h′（x）=．∵x＞1,∴t′（x）=．∴h′（x）在（1,+∞）内单调递增,∴当x＞1时,h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．①当1+e﹣m≥0时,即m≤1+e时,h′（x）＞0,∴h（x）在区间（1,+∞）内单调递增,∴当x＞1时,h（x）＞h（1）=e恒成立；②当1+e﹣m＜0时,即m＞1+e时,h′（x）＜0,∴存在x0∈（1,+∞）,使得h′（x0）=0．∴h（x）在区间（1,x0）内单调递减,在（x0,+∞）内单调递增．由h（x0）＜h（1）=e,∴h（x）＞e不恒成立．综上所述,实数m地取值范围为（﹣∞,1+e]．∴实数m地最大值为:1+e．[选修4一4:坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中,椭圆C地参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点,x轴地正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,求x+2y地取值范围．【考点】简单曲线地极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）椭圆C地参数方程为,消去参数,可得普通方程,即可求椭圆C地极坐标方程；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α）,即可求x+2y地取值范围．【解答】解:（I）椭圆C地参数方程为,消去参数,可得普通方程为=1,极坐标方程为；（Ⅱ）设M（x,y）为椭圆C上任意一点,则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α）,∴x+2y地取值范围是[﹣5,5]．[选修4一5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）地图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解,求实数a地取值范围．【考点】绝对值不等式地解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值,化简函数f（x）,作出函数f（x）地图象即可；（Ⅱ）由函数f（x）地图象知函数地最大值是1,问题等价于≤1有解,求出解集即可．【解答】解:（Ⅰ）令2x﹣1=0,得x=,令x﹣1=0,得x=1；当x＜时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；当≤x≤1时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；当x＞1时,函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；∴f（x）=,作出函数f（x）地图象,如下图所示；（Ⅱ）由函数f（x）地图象知,f（x）地最大值是1,所以不等式≤f（x）有解,等价于≤1有解,不等式≤1可化为﹣1≤0（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1）,解得a≤或a＞1,所以实数a地取值范围是（﹣∞,]∪（1,+∞）．　2023年3月22日。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(解析版)

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。

2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。

3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为17. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）学#科#...A. B. C. D.【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以9. 如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。

【河南省衡水中学】2017届大联考高三2月份模拟考试数学(理科)试卷-答案

111111AC DADB A A D =平面平面，∴1MN A D ∥，又M 为棱11AC 的中点，∴MN 为11AC D △的中位线，∴N 为1DC 的中点．（Ⅱ）设111A B =，则11A A =，111AC =，因为B 为AD 的中点，所以2AD =，因为111ABC A B C ≈△△，所以11AC AC =，又平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面111A B C 平面1111A AOC AC =，平面ABC 平面 11A AOC AO =，22，∴(2,1,0)DC =-，1(2,DC =-的法向量为：(,,)n x y z =12320n DC x n DC x z ⎧=-+⎪⎨=-=⎪⎩，，可得(3,6,2n =的一个法向量为：(0,1,0)m =|,m n 6||||||57m n n m ==22249(3)1(1)(2)1199981P i P i P i =-=-==---⨯=≥（）（Ⅲ）依题意X 的可能取值为1，2，3，4设游戏第k 轮后终止的概率为1,2,3,4()k P k =12P =，222141P =⨯=（﹣），232298(1)P =-⨯=，4233431P P P =--=； 223y m -=+1221122()(1)(0)()x y y m y x t t y t ++---==，1()e x g x '=-在区间(0,)+∞上为减函数，又(1)1e 0g '=-＜，1()20g '=-．作出函数()f x 的图像，如图所示；（Ⅱ）由函数()f x 的图像知，()f x 的最大值是1，(21)(1)0(1)a a a --≠≥，解得1a ≤或1a ＞， ](1,)+∞．河南省衡水中学2017年大联考高三2月份模拟考试数学（理科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】根据函数的定义域和值域求出集合A、B，利用定义写出A∩B．【解答】解：集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R，B={x|y=}={x|x≥0}，则集合A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足z===+i，复数z对应的点（，）位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，∴﹣=，解得a=0.3．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，由f（x0）≤0，得到x02﹣2x0﹣3≤0，且x0∈[﹣2，4]解得：﹣1≤x0≤3，∴P==，4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线C1与C2的标准方程，分析其焦点位置，进而求出C1与C2的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C1：﹣y2=1，其焦点在x轴上，c=，则其焦点坐标为（，0），顶点坐标（a，0），渐近线方程：y=±x，离心率e=；双曲线C2：﹣x2=1，其焦点在y轴上，c=，则其焦点坐标为（0，），顶点坐标（0，a），渐近线方程：y=±ax，离心率e=；分析可得：双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的离心率相同；5．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为a1，公比，连续行走7天，共走了700里，即S7=700，求解a1，即可求解它这14天内所走的总路程S14．【解答】解：由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比，S7=700，即，解得：那么：=6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，利用体积公式，可得结论．【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V==，7．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a，b，c的范围，根据特殊值法验证即可．【解答】解：取a=，b=，c=2，得A、B、C错误，D正确，8．【考点】程序框图．【分析】程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，根据判断框，即可得出结论．【解答】解：程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，判断框为k＞99时，输出的结果为，9．【考点】棱柱的结构特征．【分析】如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，求出CF，C1H，C1F，D1C1即可．【解答】解：如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，∵，∴CH=2a，即C1H=a⇒C1F1=|GF1|==10．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：把f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位，得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin（2x+）+1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，对于A，由于T=，故正确；对于B，由2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=，故正确；对于C，g（x）dx=2sin（2x+）dx=﹣cos（2x+）|=﹣（cos﹣cos）=，故正确；对于D，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数y=g（x）在区间[，]上单调递减，故错误．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的方程，设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，再表示，利用换元法，即可得出结论．【解答】解：∵点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，∴2+=4，∴a=，∴拋物线C：x2=8y，直线l：x﹣y=2与x轴交于A（2，0），则FA⊥l．设AP=t，则AN=，AF=2，PN=，PF=，设﹣1=m（m≥﹣1），则===，∴m=﹣1，即t=0时，的最小值为．12．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=＞0，故g（x）=lnx+e﹣，则g′（x）=+＞0，故g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）=e﹣1＞0，g（）=﹣1＜0，存在x0∈（，1），使得g（x0）=0，故函数g（x）有且只有1个零点，二、填空题13．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．【解答】解：二项式（2﹣）6展开式的通项公式为T r+1=••=（﹣1）r•26﹣r••x3﹣r，令3﹣r=3，解得r=0；∴展开式中x3项的系数是26×=64．14．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出、夹角的大小．【解答】解：∵||=2，=（4cosα，﹣4sinα），∴||==4，又⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0，∴•=4；设与的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴cosθ===，∴θ=．15．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，可得cosθ=，再由θ的范围求得cosθ的范围，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，∵||=，，∴cosθ==．∵当P运动到B时，θ有最小值，当P运动到C时，θ有最大值π，∴﹣1，即，则．∴的取值范围为[﹣，1]．16．【考点】数列的求和．【分析】由已知结论可得f（x）的对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，此数列前2017项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序求和法，化简即可得到所求和．【解答】解：若函数f（x）的表达式为f（x）=（c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，则对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，则数列前2017项的和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016，则此数列前2017项的和为﹣2016．三、解答题17．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=，结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc，可求cosA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，推出MN∥A1D，说明MN为△A1C1D的中位线，得到N为DC1的中点．（Ⅱ）设A1B1=1，证明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x1，y1）即可，（Ⅱ）由10000×≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）（Ⅲ）设游戏第k轮后终止的概率为p k（k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c2=3，a2=4，即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k1，k2和为0，可证得结论．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）=．然后对a分类讨论，可知当a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2．求其导函数，可得g′（x）=在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0∈（，1），使得．得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数．又，得，x0=﹣lnx0.由单调性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，当a=1，b=﹣1时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m的取值范围．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程，即可求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范围．[选修4一5：不等式选讲]23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；（Ⅱ）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于≤1有解，求出解集即可．作出函数f（x）的图象，如图所示；。

【高考模拟】全国普通高等学校2017届高考数学二模试卷(理科)(衡水金卷)含答案解析

2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0 C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥03．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．726．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或39．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．16011．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为（以各组区间的中点值代表改组的取值）14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =2﹣3S n （n ∈N *）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）设b n =log 2a n ，求数列{}的前n 项和T n ．18．（12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知侧按AA 1⊥底面ABC ，且四边形AA 1B 1B 是边长为2的正方形，CA=CB ，点M 为棱AB 的中点，点E ，F 分别在按AA 1，A 1B 1上（Ⅰ）若点F 为棱A 1B 1的中点，证明：平面ABC 1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A 1F=，且CA ⊥CB ，求直线AC 1与平面CEF 所成角的正弦值．19．（12分）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．20．（12分）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．21．（12分）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m 恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y ﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．[选修4-5;不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，∵a﹣z=a﹣+i为纯虚数，∴a﹣=0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0 C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥0【考点】21：四种命题．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x ≥0”的否定是：∃∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】先将集合M化简，然后集合M∩N=N，则N⊂M，得实数a．【解答】解：集合M={x|y=lg（x﹣2）}={x|x＞2}，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则N⊂M，∴a＞2，即（2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查集合的包含关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题．4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出．由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=±，∴，∴e===；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=，∴，∴，∴e===．综上所述，该双曲线的离心率为或．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将2人看成一个整体进行分析；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，③、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，将2人看成一个整体，考虑其顺序有A22种顺序；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，有A33种情况；③、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选，有2种情况，则不同的排法有A22×A33×2=24种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．6．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x﹣=1，=1，即可【解答】解：∵y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x﹣=1，=1，解得x=，y=，∴xy=故选：D【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【解答】解：如图，AB=10（寸），则AD=5（寸），CD=1（寸），设圆O的半径为x（寸），则OD=（x﹣1）（寸），在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+（x﹣1）2=x2，解得：x=13（寸）．∴sin∠AOD=，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB=45°．则弓形的面积S=≈6.33（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633（立方寸）．故选：D．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2，得φ的值【解答】解：将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）=2sin（πx+φπ）的图象，故f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，g（x）的最大值为2，最小值为﹣2．若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=2．不妨假设f（x1）=2，g（x2）=﹣2，则πx1=2kπ+，πx2+πφ=2nπ﹣，k、n ∈Z，即x1=2k+，x2=2n﹣﹣φ，此时，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ，或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ，∴φ=1 或φ=3，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题．9．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？【考点】EF：程序框图．【分析】模拟运行程序，可得结论．【解答】解：模拟运行程序，可得S=﹣，i=2；S=﹣+2cos=﹣，i=3；S=﹣+3cosπ=，i=4；S=+4cos=﹣，i=5，循环结束，故选A．【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．160【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意知，当其中一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，可得含x7y的项，由此求得结果．【解答】解：多项式（x2﹣x﹣y）5表示5个因式（x2﹣x﹣y）的乘积，当只有一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，才可得到含x7y的项；所以x7y的系数为••=20．故选：A．【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是基础题．11．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．已知函数f （x ）=+bx ﹣2a （a ∈R ），其中b=（2sin •cos ）dt ，若∃x ∈（1，2），使得f′（x ）•x +f （x ）＞0成立，则实数a 的取值范围为（）A ．（﹣∞，1）B ．（0，1]C ．（﹣∞，）D ．（﹣∞，]【考点】67：定积分．【分析】先利用微积分基本定理求出a ，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x +的最大值即可．【解答】解：b=（2sin •cos ）dt=sintdt=﹣cost |=﹣（cos﹣cos0）=1，∴f （x ）=+x ﹣2a ，设g （x ）=xf （x ）=2lnx +a 2+x 2﹣2ax ，∴g′（x ）=+2x ﹣2a ，g′（x ）=f′（x ）•x +f （x ）， ∵∃x ∈（1，2），使得f′（x ）•x +f （x ）＞0成立，∴∃x ∈（1，2），使得+2x ﹣2a ＞0，∴∃x ∈（1，2），使得a ＜+x ，又y=x+在（1，2）上单调递增，∴a＜（+x）max＜+2=，∴a＜，故选：C【点评】本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为82（以各组区间的中点值代表改组的取值）【考点】B8：频率分布直方图．【分析】先求出70～80分数段与90～100分数段的频率，再求平均分．【解答】解：根据频率分布直方图知，70～80分数段的频率为=0.3，∴90～100分数段的频率为1﹣（0.1+0.3+0.4）=0.2，∴平均分为=0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82，故答案为：82．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是基础题．14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+y2=4．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程．【解答】解：椭圆=1的右顶点（2，0），则圆心（2，0），设圆心到直线x+y+2=0的距离为d，则d==2，∴该圆的标准方程的方程（x﹣2）2+y2=4，故答案为：（x﹣2）2+y2=4．【点评】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于基础题．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为﹣5或2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=kx+y得y=﹣kx+z，则直线截距最大时，z最大，∵目标函数z=kx+y的最大值为9，∴y+kx=9，即y=﹣kx+9，则目标函数过定点（0，9），当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，由得，即A（2，5），此时最大值z=5不满足条件．当k＞0时，目标函数的斜率为﹣k＜0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点A（2，5）时，截距最大，此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，当k＜0时，目标函数的斜率为﹣k＞0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点C时，截距最大，由得，即C（﹣，）此时z=9=﹣k+，得﹣3k=15，得k=﹣5，满足条件．综上k=﹣5或k=2，故答案为：﹣5或2【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．注意本题要对k进行分类讨论．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD的最大值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据||=||=得出a2+b2=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范围，根据面积公式得出CD关于ab的表达式，从而得出CD的最值．【解答】解：=abcos=，∵||=||=，∴=3，即a2+b2=3+ab，又a2+b2≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3．∵•=0，∴CD⊥AB，∴S==×CD×c，即ab=CD，∴CD=ab≤，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，由已知条件a n=2﹣3S n得到a n﹣1=2﹣3S n﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{a n}的前n项和S n的定义易得数列{a n}的通项公式（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：b n=log2a n=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，∵a n=2﹣3S n…①∴a n﹣1=2﹣3S n﹣1…②①﹣②得：a n﹣a n﹣1=﹣3（S n﹣S n﹣1）=﹣3a n；即=，∴4a n=a n﹣1又a1=2﹣3S1=2﹣3a1；得：a1=，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列∴a n=×（）n﹣1=21﹣2n（n∈N*），即a n=21﹣2n（n∈N*），（Ⅱ）∵a n=21﹣2n（n∈N*），b n=log2a n，∴b n=log2a n=log221﹣2n=1﹣2n，∴==（﹣）．∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣），=（1﹣），=（n∈N*）．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．18．（12分）（2017•衡水金卷二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB 的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上（Ⅰ）若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A1F=，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC1⊥平面CMF．（Ⅱ）记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1B1B是边长为2的正方形，∴AA1⊥AB，又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，∴CM⊥AB，又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF．解：（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=，且CM=1，记线段A1B1的中点为N，连结MN，由（Ⅰ）知MC、MA、MN两两互相垂直，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），E（0，1，），F（0，，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），=（﹣1，1，），=（0，﹣，），=（1，﹣1，2），设平面CEF的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（5，4，2），设直线AC1与平面CEF所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）（2017•衡水金卷二模）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出平均数，比较即可；（Ⅱ）求出r，根据r的范围判断即可；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P（X=﹣200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．【解答】解：（Ⅰ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：≈293.43，北京市近一周空气污染指数的平均数为：≈262.71，∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，且石家庄市比北京市的污染更严重；（Ⅱ）r=≈≈≈0.31，∵r∈[0.30，0.75），∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700，P（X=﹣200）==，P（X=400）==，P（X=700）=，则X的分布列为：故E（X）=﹣200×+400×+700×=≈164（元），故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元．【点评】本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题．20．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P （t，2）到焦点F的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t，则a=4t，由点P（t，2）在抛物线上，则at=4，∴a×=4，则a2=16，由a＞0，则a=4，∴抛物线的方程y2=4x；（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由韦达定理可知：y1•y2=﹣4，依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线ND的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线ω的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得Q的坐标为（﹣1，﹣）∴Q的坐标可化为（﹣1，），∴k MQ=，∴直线MQ的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=，∴直线MQ与x轴交于定点（，0）．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•衡水金卷二模）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m 恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1﹣2a=0，∴a=；a＞2，令f′（x）=0，则x1=，x2=，2＜a＜，x1=＜1，x2=∈（1，2），∴函数在（1，x1）内单调递减，在（x1，2）内单调递增，∴f（x）min=f（x1）＜f（1）=1﹣2a＜0．a≥，x1=，x2=≥2，∴函数在（1，2）内单调递减，∴f（x）min=f（2）=2ln2+4﹣4a=0．∴a=ln2+1＜（舍去）综上所述，a=；（Ⅱ）x1，x2是f′（x）=在（0，+∞）内的两个零点，是方程x2﹣ax+1=0的两个正根，∴x1+x2=a＞0，x1x2=1，△＞0，∴a＞2，∴x1＞1∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，∴g′（t）=﹣＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，∴m≤0．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•衡水金卷二模）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲线C2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，参数方程为（α为参数）；曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，参数方程为（t为参数）；（Ⅱ）设A（﹣1+c osα，1+sinα），A到曲线C2的距离d==，∴sin（α﹣45°）=﹣1时，|AB|的最小值为3﹣1．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5;不等式选讲]23．（2017•衡水金卷二模）已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可得|x﹣1|+|x|≤2，对x讨论，去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（II）由题意可证f（ax）﹣af（x）≥f（2a），运用绝对值不等式的性质，求得左边的最小值，即可得证．【解答】（I）解：由题意，得f（x）+f（x+1）=|x﹣1|+|x|，因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2，当x≤0时，原不等式等价于﹣2x+1≤2，即﹣≤x≤0；当0＜x≤1时，原不等式等价于1≤2，即0＜x≤1；当x＞1时，原不等式等价于2x﹣1≤2，即1＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|﹣≤x≤}．（II）证明：由题意得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a）．所以f（ax）﹣f（2a）≥af（x）成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

河北省衡水中学2017届全国高三2月大联考(全国卷)理科数学试题参考答案

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河北衡水中学2017届全国高三2月大联考(全国卷)

绝密★启用前河北衡水中学2017届全国高三大联考(全国卷）英语试题本试题卷共9页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What are the two speakers talking about?A. People’s luck.B. A terrible board.C. An air crash2. How much did the man pay for his new car?A. $45,000.B. $50,000.C. $55,000.3. What is the man looking for?A. A pizza house.B. A hospital.C.A supermarket4. What is Agatha Christie?A. A detective.B. A bookseller.C.A writer5. What can we learn about the man?A. He thought little of the test.B. He practiced too much.C. He was too nervous.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22，5分）听下面5段对话或独白。

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2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合益={y|y=lgx}，B={x|y=}，则集合A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．∅2．已知复数z满足z=（i为虚数单位，a∈R），若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，则a的值为（）A．0 B．l C．﹣l D．23．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x，则所选取的实数x0满足f（x）≤0的概率为（）A．B．C．D．4．已知a＞0，且a≠1，则双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的（）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同 D．离心率相等5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（）A．里B．1050 里C．里D．2100里6．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）A．1+B． +C． +D． +7．已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（）A．logac＜logbc B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alogc＜blogc8．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．9．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B2C3D4中，点E，F分别在棱AD，BC上，且AE=BF=a．过EF的平面绕EF旋转，与DD1、CC1的延长线分别交于G，H点，与A1D1、B1C1分别交于E1，F1点．当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，|GF1|=（）A．B．C．D．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关予函数y=g（x）的说法错误的是（）A．函数y=g（x）的最小正周期为πB．函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=C． g（x）dx=D．函数y=g（x）在区间[，]上单调递减11．点M（3，2）到拋物线C：y=ax2（a＞0）准线的距离为4，F为拋物线的焦点，点N（l，l），当点P在直线l：x﹣y=2上运动时，的最小值为（）A．B．C．D．12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f （x）﹣f′（x）的零点个数为（）A．0 B．l C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在（2﹣）6的展开式中，含x3项的系数是（用数字填写答案）14．已知向量，满足||=2， =（4cosα，﹣4sinα），且⊥（﹣），设与的夹角为θ，则θ等于．15．已知点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为．16．若函数f（x）的表达式为f（x）=（c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，数列{an}的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．18．如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB 1A 1为正方形，平面AA 1C 1C 丄平面ADB 1A 1，A 1C 1=A 1A ，∠C 1A 1A=，M 为棱A 1C 1的中点．（I ）若N 为线段DC 1上的点，且直线MN ∥平面ADB 1A 1，试确定点N 的位置；（Ⅱ）求平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值．19．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n 轮，第n 轮的点数分别记为x n ，y n ，如果点数满足x n ＜，则认为第n 轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（I ）求第一轮闯关成功的概率；（Ⅱ）如果第i 轮闯关成功所获的奖金数f （i ）=10000×（单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X ，求x 的分布列和数学期望． 20．已知椭圆C ：+=1 （a ＞b ＞0）的短轴长为2，过上顶点E 和右焦点F的直线与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+4=0相切．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 过点（1，0），且与椭圆C 交于点A ，B ，则在x 轴上是否存在一点T （t ，0）（t ≠0），使得不论直线l 的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O 为坐标原点），若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）=（a ，b ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底数）．（I ）若曲线f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线斜率为0，且f （x ）有极小值，求实数a 的取值范围．（II ）（i ）当 a=b=l 时，证明：xf （x ）+2＜0；（ii ）当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf （x ）＞e+m （x ﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解，求实数a的取值范围．2017年河南省衡水中学大联考高考数学模拟试卷（理科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合益={y|y=lgx}，B={x|y=}，则集合A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据函数的定义域和值域求出集合A、B，利用定义写出A∩B．【解答】解：集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R，B={x|y=}={x|x≥0}，则集合A∩B={x|x≥0}=[0，+∞）．故选：B．2．已知复数z满足z=（i为虚数单位，a∈R），若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，则a的值为（）A．0 B．l C．﹣l D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足z===+i，复数z对应的点（，）位于直角坐标平面内的直线y=﹣x上，∴﹣=，解得a=0．故选：A．3．设函数f（x）=x2﹣2x﹣3，若从区间[﹣2，4]上任取一个实数x，则所选取的实数x0满足f（x）≤0的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，由f（x）≤0，得到x2﹣2x﹣3≤0，且x∈[﹣2，4]解得：﹣1≤x≤3，∴P==，故选：A．4．已知a＞0，且a≠1，则双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的（）A．焦点相同B．顶点相同C．渐近线相同 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线C1与C2的标准方程，分析其焦点位置，进而求出C1与C2的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程以及离心率，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C1：﹣y2=1，其焦点在x轴上，c=，则其焦点坐标为（，0），顶点坐标（a，0），渐近线方程：y=±x，离心率e=；双曲线C2：﹣x2=1，其焦点在y轴上，c=，则其焦点坐标为（0，），顶点坐标（0，a），渐近线方程：y=±ax，离心率e=；分析可得：双曲线C1：﹣y2=1与双曲线C2：﹣x2=1的离心率相同；故选：D．5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（）A ．里 B ．1050 里 C ．里D ．2100里【考点】等比数列的前n 项和．【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为a 1，公比，连续行走7天，共走了 700里，即S 7=700，求解a 1，即可求解它这14天内所走的总路程S 14．【解答】解：由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a 1，公比，S 7=700，即，解得：那么： =故选C ．6．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（）A ．1+B ． +C ． +D ． +【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，利用体积公式，可得结论．【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V==，故选C．7．已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（）A．logac＜logbc B．（）c＜（）cC．ab c＜ba c D．alogc＜blogc【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a，b，c的范围，根据特殊值法验证即可．【解答】解：取a=，b=，c=2，得A、B、C错误，D正确，故选：D．8．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，根据判断框，即可得出结论．【解答】解：程序框图累计算=（﹣）各项的和，即s= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，判断框为k＞99时，输出的结果为，故选B．9．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B2C3D4中，点E，F分别在棱AD，BC上，且AE=BF=a．过EF的平面绕EF旋转，与DD1、CC1的延长线分别交于G，H点，与A1D1、B1C1分别交于E1，F1点．当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，|GF1|=（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，求出CF，C1H，C1F，D1C1即可．【解答】解：如图异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为时，就是tan∠CHF=，∵，∴CH=2a，即C1H=a⇒C1F1=|GF1|==故选：A．10．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则下列关予函数y=g （x ）的说法错误的是（）A ．函数y=g （x ）的最小正周期为πB ．函数y=g （x ）的图象的一条对称轴为直线x=C ．g （x ）dx=D ．函数y=g （x ）在区间[，]上单调递减【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．【分析】利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得g （x ），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：把f （x ）=sin2x ﹣cos2x+1=2sin （2x ﹣）+1的图象向左平移个单位，得到函数y=2sin[2（x+）﹣]+1=2sin （2x+）+1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y=g （x ）=2sin （2x+）的图象，对于A ，由于T=，故正确；对于B ，由2x+=k π+，k ∈Z ，解得：x=+，k ∈Z ，可得：当k=0时，y=g （x ）的图象的一条对称轴为直线x=，故正确；对于C ， g （x ）dx=2sin （2x+）dx=﹣cos （2x+）|=﹣（cos﹣cos）=，故正确；对于D ，由2k π+≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，解得：k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，可得函数y=g （x ）在区间[，]上单调递减，故错误．故选：D ．11．点M （3，2）到拋物线C ：y=ax 2（a ＞0）准线的距离为4，F 为拋物线的焦点，点N （l ，l ），当点P 在直线l ：x ﹣y=2上运动时，的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的方程，设AP=t ，则AN=，AF=2，PN=，PF=，再表示，利用换元法，即可得出结论．【解答】解：∵点M （3，2）到拋物线C ：y=ax 2（a ＞0）准线的距离为4，∴2+=4，∴a=，∴拋物线C ：x 2=8y ，直线l ：x ﹣y=2与x 轴交于A （2，0），则FA ⊥l ．设AP=t ，则AN=，AF=2，PN=，PF=，设﹣1=m （m ≥﹣1），则===，∴m=﹣1，即t=0时，的最小值为．故选：B ．12．已知f （x ）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对∀x ∈（0，∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，设f′（x ）为f （x ）的导函数，则函数g （x ）=f （x ）﹣f′（x ）的零点个数为（） A ．0 B ．lC ．2D ．3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】由设t=f （x ）﹣lnx ，则f （x ）=lnx+t ，又由f （t ）=e+1，求出f （x ）=lnx+e ，从而求出g （x ）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．【解答】解：根据题意，对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，又由f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f （x ）﹣lnx 为定值，设t=f （x ）﹣lnx ，则f （x ）=lnx+t ，又由f （t ）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e ，则f （x ）=lnx+e ，f′（x ）=＞0，故g （x ）=lnx+e ﹣，则g′（x ）=+＞0，故g （x ）在（0，+∞）递增，而g （1）=e ﹣1＞0，g （）=﹣1＜0，存在x 0∈（，1），使得g （x 0）=0，故函数g （x ）有且只有1个零点，故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在（2﹣）6的展开式中，含x 3项的系数是 64 （用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x 项的指数等于3，求出r 的值，即可求出展开式中x 3项的系数．【解答】解：二项式（2﹣）6展开式的通项公式为T r+1=••=（﹣1）r •26﹣r ••x 3﹣r ，令3﹣r=3，解得r=0；∴展开式中x 3项的系数是26×=64．故答案为：64．14．已知向量，满足||=2， =（4cos α，﹣4sin α），且⊥（﹣），设与的夹角为θ，则θ等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算与夹角公式，即可求出、夹角的大小．【解答】解：∵||=2， =（4cos α，﹣4sin α），∴||==4，又⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣•=22﹣•=0，∴•=4；设与的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴cos θ===，∴θ=．故答案为：．15．已知点P （x ，y ）的坐标满足，则的取值范围为 [﹣，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，设A （1，1），P （x ，y ）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，可得cos θ=，再由θ的范围求得cos θ的范围，则答案可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量、的夹角为θ，∵||=，，∴cosθ==．∵当P运动到B时，θ有最小值，当P运动到C时，θ有最大值π，∴﹣1，即，则．∴的取值范围为[﹣，1]．故答案为：[﹣，1]．16．若函数f（x）的表达式为f（x）=（c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，数列{an }的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为﹣2016 ．【考点】数列的求和．【分析】由已知结论可得f（x）的对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，此数列前2017项的和按正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序球和法，化简即可得到所求和．【解答】解：若函数f（x）的表达式为f（x）=（c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）=，则对称中心为（，﹣1），即有f（x）+f（1﹣x）=﹣2，则数列前2017项的和为S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），则S2017=f（）+f（）+…+f（）+f（1），相加可得2S2017=[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+2f（1）=﹣2+（﹣2）+…+（﹣2）+0=﹣2×2016，则此数列前2017项的和为﹣2016．故答案为：﹣2016．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B=2sin C﹣sin B．（I）求角A；（Ⅱ）若a=4，b+c=8，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得cosB=，结合余弦定理可求b2+c2﹣a2=bc，可求cosA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由已知及余弦定理可得bc=，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2sinAcosB=2sinC﹣sinB，∵由正弦定理可得：2acosB=2c﹣b，即：cosB=，又∵cosB=，∴=，解得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又∵A∈（0，π），∴A=…6分（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，a=4，b+c=8，∴（4）2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，∴△ABC 的面积S=bcsinA==…12分18．如图，已知平面ADC∥平面A1B1C1，B为线段AD的中点，△ABC≈△A1B1C1，四边形ABB1A1为正方形，平面AA1C1C丄平面ADB1A1，A1C1=A1A，∠C1A1A=，M为棱A1C1的中点．（I）若N为线段DC1上的点，且直线MN∥平面ADB1A1，试确定点N的位置；（Ⅱ）求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，推出MN∥A1D，说明MN为△A1C1D的中位线，得到N为DC1的中点．（Ⅱ）设A1B1=1，证明AD⊥AM，AD⊥AC，∴AM，AD，AC两两垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AM分别为x，y，z轴，求出相关点的坐标，求出平面CC1D的法向量，平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结A1D，直线MN∥平面ADB1A1，MN⊂平面A1C′1D，平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1，∴MN∥A1D，又M为棱A1C1的中点，∴MN为△A1C1D的中位线，∴N为DC1的中点．（Ⅱ）设A1B1=1，则A1A=1，A1C1=1，因为B为AD的中点，所以AD=2，因为△ABC≈△A 1B 1C 1，所以A 1C 1=AC ，又平面ABC ∥平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1∩平面A 1AOC 1=A 1C 1，平面ABC ∩平面A 1AOC 1=AO ，∴A 1C 1∥AC ，所以四边形A 1ACC 1是平行四边形，又A 1C 1=A 1A ，所以A 1ACC 1是菱形，又∠C 1A 1A=，A 1M=，∴，∴AM ⊥A 1C 1，∴AM ⊥AC ，∵AD ⊥AA 1，平面AA 1C 1C ⊥平面ADB 1A 1，∴AD ⊥平面AA 1C 1C ，∴AD ⊥AM ，AD ⊥AC ，∴AM ，AD ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点，AD ，AC ，AM 分别为x ，y ，z 轴，由题意可得：A （0，0，0），D （2，0，0），C （0，1，0），C 1（），∴=（﹣2，1，0），，设平面CC 1D 的法向量为： =（x ，y ，z ），则，令z=2，可得y=6，x=3，可得=（3，6，2），平面MAD 的一个法向量为：=（0，1，0），平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值为：cos θ=|cos |===．19．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n 轮，第n 轮的点数分别记为x n ，y n ，如果点数满足x n ＜，则认为第n 轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．（I ）求第一轮闯关成功的概率；（Ⅱ）如果第i 轮闯关成功所获的奖金数f （i ）=10000×（单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X ，求x 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x 1，y 1）即可，（Ⅱ）由10000×≤1250，得i ≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P （i ≥3）=1﹣P （i=1）﹣P （i=2）（Ⅲ）设游戏第k 轮后终止的概率为p k （k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），当y 1=6时，y 1＜，因此x 1=1，2；当y 1=5时，y 1＜，因此x 1=1，2；当y 1=4时，y 1＜，因此x 1=1，2；当y 1=3时，y 1＜，因此x 1=1；当y 1=2时，y 1＜因此x 1=1；当y 1=1时，y 1＜，因此x 1无值；∴第一轮闯关成功的概率P （A ）=．（Ⅱ）令金数f （i ）=10000×≤1250，则i ≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P （i ≥3）=1﹣P （i=1）﹣P （i=2）=1﹣﹣（1﹣）×=（Ⅲ）依题意X 的可能取值为1，2，3，4设游戏第k 轮后终止的概率为p k （k=1，2，3，4） p 1=．p 2=（1﹣）×=，p 3=（1﹣）2×=，p 4=1﹣p 2﹣p 3=；故X 的分布列为因此EX=1×+2×+3×+4×=20．已知椭圆C ：+=1 （a ＞b ＞0）的短轴长为2，过上顶点E 和右焦点F的直线与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+4=0相切．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 过点（1，0），且与椭圆C 交于点A ，B ，则在x 轴上是否存在一点T （t ，0）（t ≠0），使得不论直线l 的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O 为坐标原点），若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）由已知可得：b=1，结合直线与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+4=0相切．进而可得c 2=3，a 2=4，即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在一点T （4，0），使得不论直线l 的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB ，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA ，TB 的斜率k 1，k 2和为0，可证得结论．【解答】解：（I ）由已知中椭圆C 的短轴长为2，可得：b=1，则过上顶点E （0，1）和右焦点F （0，c ）的直线方程为：，即x+cy ﹣c=0，由直线与圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+4=0相切．故圆心M （2，1）到直线的距离d 等于半径1，即，解得：c 2=3，则a 2=4，故椭圆C 的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 的斜率不为0时，设直线方程为：x=my+1，代入得：（m 2+4）y 2+2my ﹣3=0，则y 1+y 2=，y 1•y 2=，设直线TA ，TB 的斜率分别为k 1，k 2，若∠OTA=∠OTB ，则k 1+k 2=+====0，即2y 1y 2m+（y 1+y 2）（1﹣t ）=+=0，解得：t=4，当直线AB 的斜率为0时，t=4也满足条件，综上，在x 轴上存在一点T （4，0），使得不论直线l 的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB ．21．已知函数f （x ）=（a ，b ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底数）．（I ）若曲线f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线斜率为0，且f （x ）有极小值，求实数a 的取值范围．（II ）（i ）当 a=b=l 时，证明：xf （x ）+2＜0；（ii ）当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf （x ）＞e+m （x ﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m 的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e ）=0得b=0，可得f′（x ）=．然后对a 分类讨论，可知当a ＞0时，f （x ）有极大值而无极小值；当a ＜0时，f （x ）有极小值而无极大值．从而得到实数a 的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i ）当a=b=1时，设g （x ）=xf （x ）+2=lnx ﹣e x +2．求其导函数，可得g′（x ）=在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x 0∈（，1），使得．得到g （x ）在区间（0，x 0）内为增函数，在（x 0，+∞）内为减函数．又，得，x 0=﹣lnx 0．由单调性知g （x ）max ＜0，即xf （x ）+2＜0；（ii ）xf （x ）＞e+m （x ﹣1）⇔xf （x ）﹣m （x ﹣1）＞e ，当 a=1，b=﹣1 时，设h （x ）=xf （x ）﹣m （x ﹣1）=lnx+e x ﹣m （x ﹣1）．利用两次求导可得当x ＞1时，h′（x ）＞h′（1）=1+e ﹣m ．然后分当1+e ﹣m ≥0时和当1+e ﹣m ＜0时求解m 的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：∵f （x ）=，∴f′（x ）=．∵f′（e ）=0，∴b=0，则f′（x ）=．当a ＞0时，f′（x ）在（0，e ）内大于0，在（e ，+∞）内小于0，∴f （x ）在（0，e ）内为增函数，在（e ，+∞）内为减函数，即f （x ）有极大值而无极小值；当a ＜0时，f （x ）在（0，e ）内为减函数，在（e ，+∞）内为增函数，即f （x ）有极小值而无极大值．∴a ＜0，即实数a 的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i ）证明：当a=b=1时，设g （x ）=xf （x ）+2=lnx ﹣e x +2．g′（x ）=在区间（0，+∞）上为减函数，又g′（1）=1﹣e ＜0，g′（）=2﹣．∴存在实数x 0∈（，1），使得．此时g （x ）在区间（0，x 0）内为增函数，在（x 0，+∞）内为减函数．又，∴，x0=﹣lnx．由单调性知， =．又x∈（，1），∴﹣（）＜﹣2．∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）⇔xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+e x﹣m（x﹣1）．则h′（x）=．令t（x）=h′（x）=．∵x＞1，∴t′（x）=．∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．①当1+e﹣m≥0时，即m≤1+e时，h′（x）＞0，∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；②当1+e﹣m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x）=0．∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x，+∞）内单调递增．由h（x）＜h（1）=e，∴h（x）＞e不恒成立．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1+e]．∴实数m的最大值为：1+e．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求x+2y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程，即可求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），即可求x+2y的取值范围．【解答】解：（I）椭圆C的参数方程为，消去参数，可得普通方程为=1，极坐标方程为；（Ⅱ）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5sin（θ+α），∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（I）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若不等式≤f（x）有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；（Ⅱ）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于≤1有解，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）令2x﹣1=0，得x=，令x﹣1=0，得x=1；当x＜时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；当≤x≤1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；当x＞1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，如图所示；（Ⅱ）由函数f（x）的图象知，f（x）的最大值是1，所以不等式≤f（x）有解，等价于≤1有解，不等式≤1可化为﹣1≤0（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤或a＞1，所以实数a的取值范围是（﹣∞，]∪（1，+∞）．2017年3月22日。