高一数学必修五课件余弦定理
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高一数学人必修课件余弦定理
余弦定理表达式
c² = a² + b² - 2abcosC，其中a 、b、c分别为三角形的三边，C 为a、b两边的夹角。
三角形内角和公式推导
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°。
推导过程
通过平行线的性质及平角的定义，可以证明三角形的内角和等于180°。
任意三角形中边长与角度关系
边长与角度的正弦关系
方法一
利用余弦定理公式，将已知的三边代入公 式中，分别解出三个角。
方法二
通过正弦定理求出三角形的外接圆半径， 再利用三角函数关系求出三个角。
方法三
结合余弦定理和正弦定理，通过联立方程 求解。
判断三角形形状问题
01
通过余弦定理判断三角形的形状 ，如等边三角形、等腰三角形、 直角三角形等。
02
利用余弦定理判断三角形是否满 足勾股定理，从而判断是否为直 角三角形。
直角三角形。
应用勾股定理
在两个直角三角形中分别 应用勾股定理，推导出余
弦定理的表达式。
解析法证明余弦定理
建立坐标系
以三角形的一个顶点为原点，建 立平面直角坐标系。
表示顶点坐标
将三角形的三个顶点用坐标表示 。
计算距离
利用两点间距离公式，计算出三 角形的三边长度。
推导余弦定理
通过三边长度的计算，推导出余 弦定理的表达式。
在进行数值计算时，要注意数值的稳定性和精度问题，避免计算过程中的误差累积 。
在实际应用中，要根据具体场景和需求选择合适的算法和工具，以达到最佳的计算 效果。
谢谢您的聆听
THANKS
02
余弦定理证明方法探讨角，构造两个 向量。
向量数量积
利用向量的数量积公式，将向量的模与夹 角余弦值相关联。
c² = a² + b² - 2abcosC，其中a 、b、c分别为三角形的三边，C 为a、b两边的夹角。
三角形内角和公式推导
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°。
推导过程
通过平行线的性质及平角的定义，可以证明三角形的内角和等于180°。
任意三角形中边长与角度关系
边长与角度的正弦关系
方法一
利用余弦定理公式，将已知的三边代入公 式中，分别解出三个角。
方法二
通过正弦定理求出三角形的外接圆半径， 再利用三角函数关系求出三个角。
方法三
结合余弦定理和正弦定理，通过联立方程 求解。
判断三角形形状问题
01
通过余弦定理判断三角形的形状 ，如等边三角形、等腰三角形、 直角三角形等。
02
利用余弦定理判断三角形是否满 足勾股定理，从而判断是否为直 角三角形。
直角三角形。
应用勾股定理
在两个直角三角形中分别 应用勾股定理，推导出余
弦定理的表达式。
解析法证明余弦定理
建立坐标系
以三角形的一个顶点为原点，建 立平面直角坐标系。
表示顶点坐标
将三角形的三个顶点用坐标表示 。
计算距离
利用两点间距离公式，计算出三 角形的三边长度。
推导余弦定理
通过三边长度的计算，推导出余 弦定理的表达式。
在进行数值计算时，要注意数值的稳定性和精度问题，避免计算过程中的误差累积 。
在实际应用中，要根据具体场景和需求选择合适的算法和工具，以达到最佳的计算 效果。
谢谢您的聆听
THANKS
02
余弦定理证明方法探讨角，构造两个 向量。
向量数量积
利用向量的数量积公式，将向量的模与夹 角余弦值相关联。
人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件
人教版A版高中数学必修5
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
必修五余弦定理公开课,优秀课件
2.已知三角形三边a,b,c满足（a+b+c)(a+b-c)=ab, 150 则角C度数是
2.在 ABC 中, B 60 , 等边三角形 .
b ac ,则 ABC 的形状为
2
例2、已知△ABC中，b=3,c= 3 3 ,B＝ 30 ,
解三角形.
变式已知△ABC中，a=8,b=7, A＝ 60 求c及S△ABC.
小结提炼：设b是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 b 2 a 2 c 2 △ABC是锐角三角形 b 2 a 2 c 2
2 2 2 b a c △ABC是直角角三角形
巩固练习
1.在 ABC 中,若
150 是 。
a b c bc ，则角A
2 2 2
1.1.2 余弦定理
青田中学 金巧梅
引例
A 4
C ? 3 B 4
60
A ?
A ? 4 120 B C
C
3
B
3
已知两边a,b和角 C，求第三边c
A
c
B a
C
b
余 弦 定 理
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.
A
a = b + c - 2bccosA
0
小结提炼：
解三角形的四种基本类型 (1)已知两角和一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和对角，求其他的边和角. （3）已知两边和夹角，求第三边和其他两个角；
（4）已知三边，求三个角。
b = a + c - 2accosB 2 2 2 c = a + b - 2abcosC
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高一数学必修5课件：1.1.1 余弦定理
4
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积. 30(2 3)
第十四页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例5 在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a 、b 、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
(1)求证：A=B;
新知探究
2.在△ABC中，若已知边a，b和它们的
夹角C，求第三条边c.
A
方法一：从向量的角度考虑
bb
c
AB CB CA
C
a
B
c2 a2 b2 2ab cosC
第六页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
新知探究
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹
角C，求第三条边c.
方法二：从解析几何的角度考虑
y
A A(bcosC，bsinC)
例题讲解
例1. 在△ABC中，已知b= c2m， c= 3 cm，A=75°，解三角形.
第十一页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例2. 在△ABC中，已知a= 2 6 ， b= 2 3 ，c= 6 2 ，解三角形.
第十二页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例3 在△ABC中，已知a= 3 ，b= 7 ， B=30°，求边长c的值.
课堂小结
2.余弦定理及其推论共有六个基本公 式，应用时要注意适当选取，有时可 结合正弦定理求解.
作业：学海第2课时
第十七页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
第八页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
形成结论
余弦定理的推论：
cos A cos B
第十三页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积. 30(2 3)
第十四页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例5 在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为a 、b 、c，若AB∙AC=BA∙BC=1.
(1)求证：A=B;
新知探究
2.在△ABC中，若已知边a，b和它们的
夹角C，求第三条边c.
A
方法一：从向量的角度考虑
bb
c
AB CB CA
C
a
B
c2 a2 b2 2ab cosC
第六页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
新知探究
在△ABC中，若已知边a，b和它们的夹
角C，求第三条边c.
方法二：从解析几何的角度考虑
y
A A(bcosC，bsinC)
例题讲解
例1. 在△ABC中，已知b= c2m， c= 3 cm，A=75°，解三角形.
第十一页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例2. 在△ABC中，已知a= 2 6 ， b= 2 3 ，c= 6 2 ，解三角形.
第十二页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
例题讲解
例3 在△ABC中，已知a= 3 ，b= 7 ， B=30°，求边长c的值.
课堂小结
2.余弦定理及其推论共有六个基本公 式，应用时要注意适当选取，有时可 结合正弦定理求解.
作业：学海第2课时
第十七页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
第八页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
形成结论
余弦定理的推论：
cos A cos B
人教版数学必修五1.1.2 余弦定理 课件 (共17张PPT)
2tanα 1-tan2α
06:37:52
创设情境 兴趣导入
引例 2009年10月，内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设
计丹锡高速赤峰二道井子段（K166+280～K166+570）时,为保护
夏家店文化文物，需要挖掘隧道，勘测人员将隧道口A和B定位在 山的两侧(如图）,在平地上选择适合测量的点C ，如果∠C=60°,
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
06:37:52
动脑思考 探索新知
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即 2 2 2 a b c 2bc cos A
b a c 2ac cos B
c a b 2ab cos C
第一章
三角公式及应用
1.2.1 余弦定理
授课班级：14普教 授课教师：郭清山 2016年11月6日
06:37:52
知识积累 复习巩固
1、正弦二倍角公式 sin2α= 2sinαcosα
2、余弦二倍角公式 cos2α-sin2α cos2α= 2cos2α-1 1-2sin2α 3、正切二倍角公式 tan2α=
约为12.12m.
D B
A
06:37:52
归纳总结 理论升华
余弦定理的内容是什么？
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
夜半偶句
余弦定理考夹角，两边平方和求好； 减去倍乘抠塞角，三边平方见分晓。
分析 这是已知三角形 ∠A=44°25′， 的三边，求其它元 素的问题，可以直 ∠B=101°32′， 接应用余弦定理变 ∠C=180°-∠A-∠B=34°3′. 形公式1.22． 查表或计算器可得
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
人教版必修五1.1.1正弦、余弦定理课件
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理、余弦定理
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理、余弦定理
例题讲授
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
人教版高中数学必修五《余弦定理(一)》课件
余弦定理（一）
有A、B两位同学均住在世博园的附近，已知A同学家
距离世博园入口C处300米，B同学家距离世博园入口C处 400米，某天，这两位同学相约一同参观世博园，请问， 你能求出这两同学家相距多少米吗？
？
B
400
(A
300
C
余弦定理（一）
1.通过对三角形边角关系的探索，能用多 种方法证明余弦定理。 2. 余弦定理的应用。
∴
3 ������������������ 30∘
=
33 ������������������������
∴sin C=3 3������������������ 30∘ = 3
3
2
又 ∵b<c, B=30°,b>csin 30°
C
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°, a= 32 + (3 3)2=6
求B、C和a
C
a
b=3
B
A
余弦定理应用二：已知两边及一边的对角解三角形
例2.在△ABC中,已知b=3,c=3 3 ,B=30°,求A,C和a.
C= 3 3
) 30o
B
a
法二:
A
b=3
解：∵ ������ = ������
������������������������ ������������������������
探究1 ：余弦定理的证明
A
在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和C，求边c.
b
c?
解 : 设CB a,CA b,AB c
﹚
则c a b
C
a
B
有A、B两位同学均住在世博园的附近，已知A同学家
距离世博园入口C处300米，B同学家距离世博园入口C处 400米，某天，这两位同学相约一同参观世博园，请问， 你能求出这两同学家相距多少米吗？
？
B
400
(A
300
C
余弦定理（一）
1.通过对三角形边角关系的探索，能用多 种方法证明余弦定理。 2. 余弦定理的应用。
∴
3 ������������������ 30∘
=
33 ������������������������
∴sin C=3 3������������������ 30∘ = 3
3
2
又 ∵b<c, B=30°,b>csin 30°
C
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°, a= 32 + (3 3)2=6
求B、C和a
C
a
b=3
B
A
余弦定理应用二：已知两边及一边的对角解三角形
例2.在△ABC中,已知b=3,c=3 3 ,B=30°,求A,C和a.
C= 3 3
) 30o
B
a
法二:
A
b=3
解：∵ ������ = ������
������������������������ ������������������������
探究1 ：余弦定理的证明
A
在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和C，求边c.
b
c?
解 : 设CB a,CA b,AB c
﹚
则c a b
C
a
B
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1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾
股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
自安于弱，而终于弱矣；自安于遇，而终
于愚矣。 ——吕祖谦
当然能由三边求出一角.
二、余弦定理的推论：
, ,
.
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出三角形的 三个角.
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关
系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关 系，如何看这两个定理之间的关系？
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余
弦定理的特例.
探究三
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1
在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角
形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：方法一： 根据余弦定理， a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o ≈1 676.82 ∴a≈41(cm)
所以利用计算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦
定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？
注意：
一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时， 应先求最小的边所对的角.
例2
在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，
探究一 边？
如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一
即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b 和∠C，求边c.
用正弦定理试求，发现因A、B均未 知，所以较难求边c. 由于涉及边长问题，从而可以 考虑用向量来研究这个问题. C b A c B
a
.
A
b c a
1.1.2 余弦定理
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方 法； 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.Fra bibliotek问题1
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
问题2
如果已知三角形的两边及其夹角，能解这个三
角形吗？ 根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、 形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹 角求三角形的另一边和两个角？ 这就是我们这节课要讲的内容.
, , .
C
B
一、余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
, ,
.
注： 利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角
形的第三条边.
探究二
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中
三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出第四个量，
由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b与c.
由余弦定理求出第三边c，再由正弦 定理求出剩下的角. 由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出 c边.可有两解,一解或无解.
两边和夹角
(如a,b,C)
两边和其中一 边的对角
(如a,b,A) 三边(a,b,c)
正弦定理
余弦定理
先由余弦定理求出其中两个角,再利用 内角和为180°求出第三个角.
(2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝7cm，b＝10cm，c＝6cm；
(2) a＝9.4cm，b＝15.9cm，c＝21.1cm.
三、解三角形的四种基本类型：
已知条件 一边和二角 (如a,B,C) 定理选用 正弦定理 余弦定理 一般解法
由正弦定理得，
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算 器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
方法二： 根据余弦定理， a² =b² +c² -2bccosA =60² +34² -2×60×34×cos41o≈1 676.82 ∴a≈41(cm) 由余弦定理得
解三角形（角度精确到1′）. 解：由余弦定理的推论得：
；
思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪个角？
然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？这两种方法
有什么差别？ 在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个较小的 角（大边对大角,小边对小角），然后再由三角形内角和 求第三角.
1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o；