第6章树和二叉树(一)-打印稿

合集下载

数据结构PPT第6章树和二叉树

安
徽理
树的逻辑结构特点
工
大学 1. 树中只有根结点没有前趋；
2. 除根外，其余结点都有且仅一个前趋；
3. 树的结点，可以有零个或多个后继；
4. 除根外的其它结点，都存在唯一条从
A
根到该结点的路径； 5. 树是一种分支结构。
B
C
D
E
FG H I J
KL
M
安
徽理
树的应用
工
大学
▪ 树可表示具有分支结构关系的对象
结论3知，x的右孩子应为2x+1，即2x+1=i，x=(i-1)/2。
故 i的双亲为└i/2┘ 证毕。
安
徽理
6.2.3 二叉树的存储结构
工
大学
❖ 顺序存储结构
所谓顺序存储结构，就是用一组连续的存储单元存储二
叉树的数据元素，结点在这个序列中的相互位置能反映出
结点之间的逻辑关系。二叉树中结点之间的关系就是双亲
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系
A
B
C
D
E
FG H I J
KL
M
安
徽理
树的应用
工
大学
▪ 树是常用的数据组织形式
有些应用中数据元素之间并不存在分支结构关系，但是为
了便于管理和使用数据，将它们用树的形式来组织。
A
B
C
D
Ø
E
F
G H ØØØØI J
例如对于B结点而言： bt[2]的双亲为└1/2┘=1，即在bt[1]中 (为A)；其左孩子在bt[2i]=bt[4]中(为D)；其右孩子在bt[2i+1]=bt[5]中(为Ø )。

数据结构(C语言版)严蔚敏第6章树和二叉树

如图6-1(b)中结点H、I、J、K、L、M、N是叶子结点，而所有其它结点都是分支结点。
⑷ 孩子结点、双亲结点、兄弟结点
一个结点的子树的根称为该结点的孩子结点(child) 或子结点；相应地，该结点是其孩子结点的双亲结点 (parent)或父结点。
4
如图6-1(b)中结点B 、C、D是结点A的子结点，而结点A是结点B 、C、D的父结点；类似地结点E 、F是结点B的子结点，结点B是结点E 、F的父结点。
这是树的递归定义，即用树来定义树，而只有一个结点的树必定仅由根组成，如图6-1(a)所示。
2
2 树的基本术语
⑴ 结点(node)：一个数据元素及其若干指向其子树的分支。 ⑵ 结点的度(degree) 、树的度：结点所拥有的子树
的棵数称为结点的度。树中结点度的最大值称为树的度。
A
B
C
D
A
E
F G HI J
同一双亲结点的所有子结点互称为兄弟结点。
如图6-1(b)中结点B 、C、D是兄弟结点；结点E 、 F是兄弟结点。
⑸ 层次、堂兄弟结点
规定树中根结点的层次为1，其余结点的层次等于其双亲结点的层次加1。
若某结点在第l(l≧1)层，则其子结点在第l+1层。
双亲结点在同一层上的所有结点互称为堂兄弟结点。如图6-1(b)中结点E、F、G、H、I、J。
(a) 只有根结点
K
LM N
图6-1 树的示例形式
(b) 一般的树
3
如图6-1(b)中结点A的度是3 ，结点B的度是2 ，结点 M的度是0，树的度是3 。
⑶ 叶子(left)结点、非叶子结点：树中度为0的
结点称为叶子结点(或终端结点)。相对应地，度不为 0的结点称为非叶子结点(或非终端结点或分支结点)。除根结点外，分支结点又称为内部结点。

第6章树和二叉树(1)

第6章树和二叉树一、选择题1. 在下述结论中，正确的是（）①只有一个结点的二叉树的度为0; ②二叉树的度为2；③二叉树的左右子树可任意交换;④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。

A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①④2．在一棵三元树中度为3的结点数为2个，度为2的结点数为1个，度为1的结点数为2个，则度为0的结点数为（）个A．4 B．5 C．6 D．73．一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）A． 250 B． 500 C．254 D．505 E．以上答案都不对4. 一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间5．若二叉树采用二叉链表存储结构，要交换其所有分支结点左、右子树的位置，利用( )遍历方法最合适。

A．前序 B．中序 C．后序 D．按层次6．已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF,中序遍历结果为CBAEDF,则后序遍历的结果为（）。

A．CBEFDA B． FEDCBA C． CBEDFA D．不定7．一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足（）A．所有的结点均无左孩子B．所有的结点均无右孩子C．只有一个叶子结点D．是任意一棵二叉树8．在二叉树结点的先序序列，中序序列和后序序列中，所有叶子结点的先后顺序（）A．都不相同B．完全相同 C．先序和中序相同，而与后序不同D．中序和后序相同，而与先序不同二、判断题1. 二叉树是度为2的有序树。

2. 完全二叉树一定存在度为1的结点。

3．用树的前序遍历和中序遍历可以导出树的后序遍历。

4．由一棵二叉树的前序序列和后序序列可以唯一确定它。

5．完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。

三、填空题1．在二叉树中，指针p所指结点为叶子结点的条件是___ ___。

15．设只含根结点的二叉树的高度为0，则高度为k的二叉树的最大结点数为__ ____,最小结点数为___ ___。

树和二叉树专题知识课件

这里，若T为根指针，则遍历左右子树时，是分别遍历以 T->lchild 和T->rchild 为根指针旳子树。
因为各子树旳遍历和整个二叉树旳遍历方式相同，所以，各子树旳遍历可递归调用二叉树旳遍历算法。
先序遍历递归算法如下：
void PreOrder ( BiTree *T) { if ( T )
设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2旳结点射出， B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
两种特殊形式旳二叉树
满二叉树 —— 一棵深度为k且有2 k-个1结点旳二叉树
特点：每一层上旳结点数都是最大结点数
完全二叉树 —— 深度为k，有n个结点旳二叉树当且仅当其每一种结点都与深度为k旳满二叉树中编号从1至n旳结点一一相应特点：叶子结点只可能在层次最大旳两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙旳最大层次为l，则其左分支下子孙旳最大层次必为l 或l+1
D HJ M
I
C G
A
B E K
L F C G D H
M I J
(A (B(E(K , L) , F) , C(G) , D(H(M) , I , J)))
树和二叉树
6.1 树旳定义和基本术语 ☞ 6.2 二叉树
6.3 遍历二叉树 6.4 线索二叉树 6.5 树和森林 6.6 哈夫曼树
6.2 二叉树
b cd
a f
g
eh i
j
6.3 遍历二叉树
6.3.1 遍历二叉树
☞ 6.3.2 遍历二叉树旳递归算法
6.3.3 遍历二叉树旳非递归算法 6.3.4 递归算法旳应用（3个算法）

数据结构第6章树和二叉树1

否则返回“空”。
TraverseTree(T, visit());
初始条件：树T存在，visit 是对结点操作的应用函数
操作结果：按某种次序对 T 的每个结点调用函数visit()
一次且至多一次。一旦 visit() 失败，则操
作失败。
{加工型操作}
Assign(&T, cur_e, value);
假设，当i=j时，命题成立；即第j层最多有2j-1个结点；
InOrderTraverse (T, Visit( ))——左根右
初始条件：二叉树 T 存在，visit 是对结点操作的应用
函数。
操作结果：中序遍历 T，对每个结点调用函数 Visit 一
次且仅一次。一旦 visit() 失败，则操作失败。
26
引用型操作（续） PostOrderTraverse (T, Visit( ))——左右根初始条件：二叉树 T 存在，visit 是对结点操作的应用函数。操作结果：后序遍历 T，对每个结点调用函数 visit 一次且仅一次。一旦 visit() 失败，则操作失败。
双亲，否则返回“空”。
LeftChild(T, cur_e); 初始条件：树 T 存在，cur_e 是 T 中某个结点。操作结果：若 cur_e 是T的非叶子结点，则返回它的
最左孩子，否则返回"空"
13
RightSibling(T, cur_e); 初始条件：树 T 存在，cur_e 是 T 中某个结点操作结果：若 cur_e 有右兄弟，则返回它的右兄弟，
多个叶子结点 (无后继)
其它数据元素 (一个前驱、多个后继)
2
6.1 树的类型定义
树是 n (n ≥0 )个结点的有限集 D，当n ≥1 时：

第6章树和二叉树

23
§6.3 遍历二叉树
• 遍历二叉树 • 遍历二叉树的递归与非递归算法 • 表达式求值 • 二叉树的运算举例 • 层序遍历二叉树
计算机科学与技术学院——数据结构
24
§6.3 遍历二叉树
§6.3.2 遍历二叉树的递归与非递归算法(1)
先序遍历二叉树
若二叉树为空，则空操作；否则
根
访问根；
先序遍历左子树；
具有三个结点的树与二叉树
A、三个结点的树有两种不同的形态
B、三个结点的二叉树有五种不同的形态
树型结构的共同特征：层次性、分支性
计算机科学与技术学院——数据结构
10
§6.2 二叉树
§6.2.1 二叉树的定义(3)
二叉树的基本操作
初始化空二叉树销毁二叉树创建二叉树清空二叉树判断空二叉树求二叉树深度求双亲求左孩子求右孩子求左兄弟求右兄弟插入子树删除子树先序遍历二叉树中序遍历二叉树后序遍历二叉树按层次遍历
InitTree(&T); DestroyTree(&T); CreateTree(&T, definition); ClearTree(&T); TreeEmpty(T); TreeDepth(T); parent(T, cur_e); LeftChild(T, cur_e); RightSibling(T, cur_e); InsertChild(&T, &p, i, c); DeleteChild(&T, &p, i); TraverseTree(T, visite());
∧G ∧
三叉链表表示
计算机科学与技术学院——数据结构

第6章树与二叉树-

证明：
(1) 设 n1 为二叉树 T 中度为 1 的结点数。n 为二叉树中总结点数。因为二叉树中所有结点的度均小于或等于 2，则：n = n0 + n1 + n2 。
(2) 设 B 为二叉树 T 中的分支总数。从入支的角度看，二叉树中除了根结点外，其余结
点都有一个且仅有一个入支，则：n = B + 1。从出支的角度看，度为 1 的结点只有一个出支，度
操作也很方便。14ຫໍສະໝຸດ R∧A∧D∧B
∧E∧
C∧
F∧
∧G
∧H
∧K∧
15
6.2 二叉树
二叉树 (binary tree) 是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于 2 的结点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
二叉树的逻辑结构二叉树的基本性质二叉树的存储结构
操中点作从（，头根直到结到点尾遇除扫见外描无）一双只遍亲 D的T有.p结a惟r点e一En时t双，域亲即，的TT性..pFp质aarr。eenntt =
-61的时结，点便G找、到H了、惟K 一就的是无结双点亲F的的根G孩结子点。。H K
数组下标双亲存储结构
0
R -1
1
A0
2
B0
3
C0
4
D1
5
E1
6
data child1 child2 …… childd
其中 d 为树的度。由于树中很多结点的度都小于 d，所以链表中有很多空链域，空间比较浪费。
设树的度为 k，结点数为 n。若采用同构结点格式，每个结点具有 k 个固定链域，那么共有 nk 个链域。由于 n 个结点要有 ( n - 1) 个枝相连，而每枝需要 1 个链域。因此，这棵树的空链域的个树为： n ( k – 1 ) +1。

第六章树和二叉树

k
k
(第 i层的最大 )结2i点 12数 k 1
i1
i1
❖性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
证明：n1为二叉树T中度为1的结点数因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入设B为分支总数，则n=B+1 又：这些分支是由度为1和度为2的结点射出， B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
f
gh
4. 嵌套括号表示
a ( b ( d, e ( i, j ),f), c ( g, h ) )
★树的存储结构
※ 1. 双亲表示法
实现：结构数组存放树的结点，每个结点含两个域数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置
特点：找双亲容易，找孩子难
typedef struct node { datatype data;
int parent; }JD; JD t[M];
a
b
c
d
e
f
gh i
如何找孩子结点
0号单元不用或
存结点个数
data
parent
00
9
1
a
0
2
b
1
3
c
1
4
d
2
5
e
2
6f
3
7g
5
8h
5
9i
5
※ 2. 孩子表示法

树和二叉树.

2019/8/2
第六章树和二叉树
5
树的表示
树形表示法: 最常用的一种表示法。结点之间的关系通过连线表示，方向隐含为从上向下
二元组表示法: Tree=(D, R) 集合图表示法: 每棵树对应一个圆形广义表表示法: 类似广义表的形式凹入表表示法: 类似书的编目注：(1) 树表示方法的多样性，说明树结构在日
22
顺序存储结构的特点
从树根起，自上层至下层，每层自左至右的给所有结点编号缺点是有可能对存储空间造成极大的浪费，在最坏的情况下，一个深度为H且只有H个结点的右单支树确需要2h-1个结点存储空间。
若经常需要插入与删除树中结点时，则不宜采用顺序存储结构。
2019/8/2
第六章树和二叉树
第六章树和二叉树
6.1 树的定义和基本概念 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树 6.4 树和森林 6.6 哈夫曼树及其应用
2019/8/2
第六章树和二叉树
1
树型结构的简单描述
树型结构是一类重要的非线性结构。树型结构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构，它非常类似于自然界中的树。
树结构在客观世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。
－1层；（2）对任一结点，如果其右子树的最大层次为1，则其左子树的最大层次为1或l＋1。
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为
log2n＋1。假设此二叉树的深度为k，则根据性质2及完全
二叉树的定义得到：2k-1－1<n<=2k-1或 2k-1<=n<2k 取对数得到：k－1< log2n <k 因为k是整数。所以有：k＝ log2n ＋1。