10复数习题课

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复数的四则运算及几何意义习题课

题型四：求复数式中的实参数值
练习已知复数z满足|z|＝1，且
(z - m ) = 2m (m < 0) ,求m的值.
2
m = 1-
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z+ R. z
题型五：证明复数的有关性质例12 求证：复数z为纯虚数的充要条件是z2＜0.
复数的概念与运算典型题型分析
题型一：复数的混合运算
3 - 4i 15 8 例1 计算： + i - (1 + i ) 1 + 2i
－17－3i 3 2z + (4z + 6)i 练习设复数z＝1－i，求
的值.
- 3z
1 －i
求
1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 ， 2 z z - z + 1
.
1 x
变式1：若复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则复数z所对应的点表示什么图形？以(1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆变式2：若复数z满足|z+1|-|z-1|=1，则复数z所对应的点表示什么图形？以(1,0),(-1,0)为焦点，实轴长为1的双曲线的右支
变式3：你能给出下列方程所表示的图形的复数表达形式吗？
解：由条件|z-4i|=|z+2|知复数z 对应的点到点A（0，4）与点 B（-2，0）的距离相等,所以复数 z对应的点的集合是线段AB的垂直平分线.由平面解析几何知识得x,y 满足x+2y=3,所以由均值不等式得
2 x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 x2 y 4 2
y 4
2、思考题：（1）你能写出线段Z1Z2的垂直平分线的复数表达形式吗？（2）你能写出抛物线y2=2px(p>0)的复数表达形式吗？

复数习题课

(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(3)复数的乘法法则：
(a bi)(c di) （ac bd) (bc ad)i
(4)除法法则:
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
a bi (a bi)(c di)
当 b 0时， z a bi 叫做虚数.
当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
讲课人：
相等的充要条件是 a c 且 b d .
邢
启强
2
共轭复数：
定义:实部相等,虚部互为相反数
a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
说明： 1 | z || z | z z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
3. | z |2 z z a2 b2
讲
课
人
：
邢
启强
3
复数的意义. 有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应直角坐标系中的点Z(a,b)
2 i 2 i (2 i)(2 i)
5
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i.
a b 1 a 3
讲课人：
a
2
1
b
4
.
邢
启强
9
4.计算:(1+2 i )2
3 4i
5.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 6.计算 (1 i)3 -2+2i 7.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3

复变函数与积分变换第一章习题课.

解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质：在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数函数，记为 Lnz ．

10.3复数的三角形式及其运算课件高中数学人教B版

2
2
个复数三角形式相除的法则为:模相除,辐角相减.
2.复数除法运算的几何意义
两个复数 z1,z2 相除时,先分别画出与 z1,z2 对应的向量1 , 2 ,然后把向量
1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0,就要把1 绕点 O 按逆时针方
1
向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 (r2>1,应缩短;0<r2<1,应伸长;r2=1,模
所以
7π
arg(1-i)= 4 .
于是 1-i=
7π
7π
2(cos +isin ).
4
4
=
2
.
2
变式训练2将下列复数化为三角形式:
π
π
(1)-cos5 +isin5 ;
(2)sin θ+icos θ.
π
π
解(1)-cos5 +isin5 =cos
(2)sin θ+icos θ=cos
π
2
π
π- 5
4
3( 3-i)
=
B.1+
3
i
3
D.1+
2
i
2
=
1
2
3
(
3
cos
-1

π
3
=
1
-1
,arg
2
+ isin
π
3
,即
3
3+i)=1+ i.故选
3
B.
=
π
,则
3
1
1
1
4
z=( B )
= +

复数习题课(新新)

复数习题【知识提要】复数减法几何意义的应用:1. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，则21z z AB -=。

2. 设0z 对应的点为C ，以C 为圆心，r 为半径的圆：r z z =-0。

3. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，线段AB 的中垂线；21z z z z -=-。

4. 设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，长轴长为2a 的椭圆： )2z ( 22121a z a z z z z <-=-+-。

5．设复数21,z z 分别对应复平面上两点A 、B ，以A 、B 为焦点，实轴长为2a 的双曲线： )2( 22121a z z a z z z z >-=---。

【练习】1.计算：________5312i i i i =-+- ；（2）i i i i 212)1()31(63+--++-=_2i____ . 2.复数ii m z 212+-=（)R m ∈在复平面上对应的点不可能位于第__一___象限。

3.已知})65(13,2,1{22i m m m m M --+--= ，1{-=N ，3}，}3{=N M ，则实数m=__________。

解：}3{=N M ，3)65(1322=--+--∴i m m m m ，即 3132=--m m 0652=--m m 1-=∴m._______ , ,91)2() 103(. 4的和等于则实数若y x i x i y i -=+-+-i i y x x y 91)10()23(::-=-+-原式化为解根据复数相等的充要条件,有910123-=-=-y x x y ，解得 11==y x ， 2=+∴y xi z z z z z z z ==+-211221 , , 022,..5则在第一象限且的两个根是方程已知. 6．已知5 4log 21≥+i x ，则实数x 的取值范围是_________ 。

复数习题课课件

二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3
当堂检测
1.a 0是复数a bi(a, b R)为纯虚数的（） A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.设o是原点，向量OA, OB对应的复数分别为2 3i， 3 2i 那么向量BA对应的复数是（） A. 5 5i B. 5 5i C.5 5i D.5 5i 2 3.当 m 1时，复数m(3 i ) (2 i )在复平面内 3 对应的点位于（）
4.若z 1 2i, 则z 2 2 z的值为 __________
1 z 5.若复数z满足 i则 z 1的值为 __________ 1 z 1 3 （ .( i) (1 i ) 计算： 1） 2 2 3 1 1 3 (2).( i )( i) 2 2 2 2 2i (3). 7 4i 5(4 i ) 2 (4). i(2 i)
复数z=a+bi （数）
y 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
b
建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 y轴——虚轴 a x
0
这是复数的一种几何意义.
有序实数对(a,b)

(最新整理)复数运算习题

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复数运算习题一．选择题（共13小题)1．（2016•淮南一模）复数的虚部是( ）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（2016•眉山模拟）已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为( ）A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i3．(2016•黄浦区一模）已知复数z，“z+=0"是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也不必要条件4．（2016•临沂一模）复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i(i为虚数单位)，则实数a的值为( ）A．﹣3 B．3 C．﹣D．5．（2016•广西一模）在复平面内，复数+2i2对应的点位于( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2016•白山一模）若=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣b等于( ）A．B．1 C．0 D．﹣17．（2016•衡阳一模）如图，在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（)A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i8．（2016•河西区模拟)已知复数z 1=3﹣i,z2=1+i，是z1的共轭复数，则=( )A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i（2016•青浦区一模）复数（a∈R，i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于( ）9．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（2015•新课标II）若a为实数且，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．411．(2015•静安区一模）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（)A．M B．N C．P D．Q12．(2015•固原校级一模)若复数（i为虚数单位,a∈R）在复平面内对应点在第四象限，则a的取值范围为（)A．{a|a＜﹣6｝B．C．D．13．（2015•海南模拟）已知i是虚数单位,m∈R，且是纯虚数，则()2011的值为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1二．填空题（共5小题）14．（2015•曲阜市校级模拟)若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b= ．15．（2015秋•启东市校级期末)复数z满足|z﹣2+i｜=1，则|z+1﹣2i｜的最小值为．16．（2015春•淮安校级期末）定义：若z2=a+bi(a，b∈R,i为虚数单位），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，则复数﹣3+4i的平方根是．17．（2015秋•大丰市校级期末）已知复数z=x+yi（x，y∈R,x≠0）且｜z﹣2|=，则的范围为．18．（2015春•常州期中）设x是纯虚数，y是实数，且2x﹣1+i=y﹣（3﹣y)i，则|x+y｜= ．。

《复数》全章习题

《复数》全章习题学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值．如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三复数相等例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4，即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D 解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题．课时作业一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________．答案 0解析复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案－2－i解析由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0，又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案－25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ，由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

(仅供参考)复变函数-第一章习题课

x2 + y2 x4
F ''(t) +
2y x3
F '(t)
=
0,
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1+ t 2 )F ''(t) + 2tF '(t) = 0.
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
Show@u, vD
12
2
1
0
−1
y= -1
−2
−3
−4
−2
0
2
4
6
x=2
红线: u(x,y)=c1, 兰线: v(x,y)=c2, 分别是在点(2, -1)处相切于直线x=2和y=-1的圆族. 两个切线本身也包含
偏导数:
∂v ∂x
= F '(t) ∂t ∂x
=
−
y x2
F '(t),
∂v ∂y
= F '(t) ∂t ∂y
= 1 F '(t), x
(2a)
∂2v ∂x 2
=
−
y x2
2 F ''(t)
+
2y x3
F '(t),
∂2v ∂y 2
=
1 x
2
F ''(t).
(2b)
14
将Eq.(2b)代入Laplace方程, 得
=
−
1
ρ
∂ 2u
∂ϕ 2
,
(2b)
比较Eqs. (2a)和(2b),自然得到

复数习题课课件

信号的傅里叶变换
复数可以帮助我们分解和分析信号的频率和幅度，以实现傅里叶变换。
工程和科学领域中的实际应用案例
复数的应用不限于数学领域，也可以帮助我们解决模拟和数字信号等方面的问题。
复数的重要性
我们可以看到，复数不仅在数学领域有着广泛应用，而且在工程和科学领域中也有接踵而至的重要作用。
电力系统中的应用
复杂的电力网络需要使用复数数学来计算电流和电压。
波动现象中的应用
复数数学可以帮助我们分析和计算波动现象。
人工智能领域中的应用
复数数学可以帮助我们模拟神经网络等复杂系统。
复数的深入学习和研究
1 探索更高级的复数应用
在学习和应用复数中，我们可以不断挑战自己，去探索和发现更多的应用场景。
2 培养数学素养
复数的常见运算法则
1
复数乘法
2
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则
是不同的。
3
共轭复数
4
通过将复数中的虚数部分取相反数，可以得到其对应的共轭复数。
复数加减法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则是不同的。
复数除法
在直角坐标和极坐标形式下的运算法则是不同的。
复数的代数形式和实数部分和虚数部分
复数可以写成实数部分和虚数部分的和的形式，也称为代数形式。实数部分指复数的实数部分，虚数部分指复数的虚数部分。
复数不仅是一种数学概念，更是培养我们数学素养和逻辑思考能力的极好工具。
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复数习题课ppt课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨复数的概念，表示和运算法则，并讨论复数的实际应用。欢迎加入!
什么是复数?
复数的基本概念

初中英语名词单复数专项讲解与练习

初中英语名词单复数专项讲解与练习1. 名词的基本概念名词是指表示人、事物和抽象概念的词语。

在英语中，名词有单数和复数两种形态，单数用来表示一个人或一个事物，复数则表示多个人或多个事物。

2. 名词单数变复数规则常见的名词单数变复数规则有以下几种：2.1 一般在名词后面加-s大多数名词直接在后面加-s构成复数形式，例如：•book（书）→ books（书籍）•cat（猫）→ cats（猫咪）•dog（狗）→ dogs（狗狗）2.2 以-s、-sh、-ch、-x或-z结尾的名词，在后面加-es以-s、-sh、-ch、-x或-z结尾的名词，在复数形式中需要加-es，例如：•bus（公交车）→ buses（公交车）•brush（刷子）→ brushes（刷子）•watch（手表）→ watches（手表）2.3 以辅音字母+y结尾的名词，在-y变-i，再加-es以辅音字母+y结尾的名词，要将-y变为-i，再加-es构成复数形式，例如：•city（城市）→ cities（城市）•baby（婴儿）→ babies（婴儿）2.4 以元音字母+y结尾的名词，在后面直接加-s以元音字母+y结尾的名词，直接在后面加-s构成复数形式，例如：•day（天）→ days（天）3. 名词复数变单数规则将名词由复数形式变为单数形式，需要根据复数的结尾进行相应的规则变化，常见的规则有以下几种：3.1 一般名词复数变单数形式，去除复数词尾-s或-es•books（书籍）→ book（书）•buses（公交车）→ bus（公交车）•watches（手表）→ watch（手表）3.2 以-s、-sh、-ch、-x或-z结尾的名词，去除词尾-es•buses（公交车）→ bus（公交车）•brushes（刷子）→ brush（刷子）•watches（手表）→ watch（手表）3.3 以辅音字母+i结尾的名词，将-i变为-y•cities（城市）→ city（城市）•countries（国家）→ country（国家）•families（家庭）→ family（家庭）4. 名词单复数的特殊情况4.1 不变名词有些名词在单数和复数形式中拼写完全相同，没有任何变化，例如：•deer（鹿）→ deer（鹿）•sheep（羊）→ sheep（羊）4.2 外来词一些外来词的复数形式是直接使用原词，不做任何变化，例如：•piano（钢琴）→ pianos（钢琴）•radio（收音机）→ radios（收音机）4.3 沿袭巴士原型的复数形式一些名词的复数形式并不遵循一般规则，而是沿用巴士原型的复数形式，例如：•child（孩子）→ children（孩子）•mouse（老鼠）→ mice（老鼠）练习题1.将以下名词变成复数形式：•pencil•box•family•potato•bookshelf2.将以下名词变成单数形式：•cats•buses•houses•babies•watches答案：1.pencils•boxes•families•potatoes•bookshelves2.cat•bus•house•baby•watch以上是对初中英语名词单复数的专项讲解与练习，希望能帮助到你。

复数运算练习题

复数运算练习题高年级数学课上，学生们开始接触到更加复杂的数学运算，其中之一就是复数运算。

复数可以看作是实数与虚数的结合，它的运算规则与实数稍有不同。

为了帮助学生更好地理解和掌握复数运算，本文将提供一些复数运算练习题，帮助学生进行巩固和练习。

1. 复数的加法与减法练习题1: 计算以下复数的和与差，并将结果写成标准形式。

a) (2 + 3i) + (1 - 2i)b) (3 - 4i) - (2 + 6i)c) (-5 + 7i) + (-3 - 8i)练习题2: 比较以下复数，判断它们是否相等。

a) 3 + 5i 与 7 - 2ib) -4 + 2i 与 -4 + 2ic) 6i 与 -6i2. 复数的乘法与除法练习题1: 将以下复数相乘，并将结果写成标准形式。

a) (2 + 3i)(4 - 5i)b) (1 + 2i)(-3 + 4i)c) (-2 - i)(3 - 2i)练习题2: 将以下复数相除，并将结果写成标准形式。

a) (5 + 3i)/(2 - i)b) (8 - 6i)/(4 + 2i)c) (-4 + 6i)/(-2 - i)3. 复数的乘方与开方练习题1: 计算以下复数的平方与立方。

a) (2 + i)^2b) (3 - 2i)^3c) (-4i)^2练习题2: 将以下复数开平方，并将结果写成标准形式。

若有多个解，请写出全部解。

a) √(-1)b) √(-4)c) √(-9)4. 复数的共轭与模练习题1: 求以下复数的共轭。

a) 3 + 5ib) -2 - 4ic) 1 - i练习题2: 求以下复数的模。

a) 4 + 3ib) -5 + 12ic) 3i5. 复数的综合运算练习题1: 计算下列复数的结果，并将结果写成标准形式。

a) [(2 + 3i) + (4 - 5i)] * (6 - 7i)b) (3 + 2i)^2 + (1 - 2i)^3c) |(2 + 3i) - (1 - 4i)|练习题2: 求以下复数的综合运算结果，并将结果写成标准形式。

数学课程复数的运算练习题及答案

数学课程复数的运算练习题及答案一、绪论在数学课程中，复数的运算是一个重要的内容。

复数是由实数和虚数组成的数学对象，广泛应用于代数、物理学和工程学等领域。

掌握复数的运算规则和技巧对于提高数学解题能力和扩展数学思维具有重要意义。

本文将为大家提供一系列复数的运算练习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用复数。

二、复数的定义与基本运算1. 复数的定义复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，bi 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

2. 复数的共轭复数 a + bi 的共轭定义为 a - bi。

共轭复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数。

3. 复数的加法与减法对于复数 a + bi 和 c + di，其加法为 (a + c) + (b + d)i，减法为 (a - c) + (b - d)i。

4. 复数的乘法对于复数 a + bi 和 c + di，其乘法为 (ac - bd) + (ad + bc)i。

5. 复数的除法对于复数 a + bi 和 c + di，其除法为 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数运算练习题及答案1. 计算下列复数的和与差：a) (4 + 3i) + (1 - 2i)解：(4 + 1) + (3 - 2)i = 5 + ib) (2 + 5i) - (3 - 4i)解：(2 - 3) + (5 + 4)i = -1 + 9i2. 计算下列复数的乘积与商：a) (2 + i)(3 - 2i)解：(2*3 - 1*(-2)) + (2*(-2) + 3*1)i = 8 - ib) (4 + 5i)/(2 - i)解：((4*2 + 5*1)/(2^2 + 1^2)) + ((5*2 - 4*1)/(2^2 + 1^2))i = (13/5) + (6/5)i3. 计算下列复数的共轭：a) (3 + 4i)解：3 - 4ib) (-2 - 6i)解：-2 + 6i4. 求下列复数的模和幅角：a) 2 + 4i解：模为√(2^2 + 4^2) = √20，幅角为 arctan(4/2) = arctan 2b) -3 - 5i解：模为√((-3)^2 + (-5)^2) = √34，幅角为 arctan((-5)/(-3)) =arctan(5/3)五、总结本文针对数学课程中复数的运算练习题及答案进行了介绍，并给出了相应的解答。

专题09：复数知识点及典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习课件+知识清单+练习题

A． 4 2i
12．A 【分析】
B． 4 2i
利用复数的加法法则直接计算即可.
C．1 4i
D．1 5i
【详解】
(3 4i) (1 2i) 3 1 4 2 i 4 2i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的加法运算，属于基础题.
13．如图，在复平面内，若复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数
zm zn zmn , (zm )n zmn , (z1z2 )n z1n z2n
15．复数 z 2 i1 2i 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
15．A
【分析】
利用复数的乘法化简复数 z ，利用复数的乘法可得出结论.
【详解】
z 2 i1 2i 2 3i 2i2 4 3i ，
D．1 3i
7．A
【分析】
由图形得复数对应点的坐标，利用复数的运算法则求解.
【详解】
由题意可得
z
1i
，所以 z
4 =1 i+ 4
z
1i
1 i 21 i 3 i .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的运算、几何意义，属于基础题.
8．在复平面内，若表示复数 z m2 1 1 i 的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（） m
z 2i，
则 z 的虚部是 1．
故选： B ．
21．设复数
z
1 i2020 1i
（其中
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点所在象限为（
）
A．第四象限 21．A
B．第三象限
C．第二象限

复数练习题目

复数练习题目一、名词复数形式在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的末尾加上-s或-es。

下面是一些常见名词的复数形式：1. car - cars2. book - books3. cat - cats4. dog - dogs5. box - boxes6. child - children7. city - cities8. tomato - tomatoes9. leaf - leaves10. bus - buses二、特殊名词的复数形式除了一般名词的复数形式，还有一些特殊名词需要特别注意：1. 单复同形（单复数形式相同）：deer - deer, sheep - sheep, fish - fish2. -f或-fe结尾的名词，变单数为复数时通常去掉-f或-fe，再加-ves：knife - knives, leaf - leaves3. 以元音字母加-y结尾的名词，变单数为复数时，直接加-s：boy - boys, day - days4. 以辅音字母加-y结尾的名词，变单数为复数时，去掉-y，再加-ies：city - cities, baby - babies5. 以-o结尾的名词，变单数为复数时，通常加-es：potato - potatoes, tomato - tomatoes6. 以-us结尾的名词，变单数为复数时，通常改为-i：focus - foci, nucleus - nuclei三、不规则名词复数形式除了以上规则外，还有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记忆：1. tooth - teeth2. foot - feet3. mouse - mice4. man - men5. woman - women6. child - children四、填空练习根据上述规则和不规则形式，填入相应的名词复数形式：1. I have two ____________ (computer).2. The ____________ (child) are playing in the park.3. He has three ____________ (dog).4. The ____________ (leaf) on the trees are turning yellow.5. There are many ____________ (box) in the storage room.6. They caught five ____________ (fish) in the river.7. My sister is reading ____________ (book) in her room.8. The ____________ (woman) are chatting in the café.9. We saw two ____________ (deer) in the forest.10. The ____________ (tomato) in the garden are ready to be picked.答案：1. computers2. children3. dogs4. leaves5. boxes6. fish7. books8. women9. deer10. tomatoes结束语：通过这些复数练习题目，相信你对名词的复数形式有了更深入的理解。

复变函数课后习题答案（全）第四版

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4．设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。