(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题4三角函数、解三角形第30练三角恒等变换文(含解析)

合集下载

【加练半小时】高考数学江苏专用文科专题复习31专题4 三角函数解三角形 word版含答案

2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S ＝________. 3．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 的形状为________三角形． 4．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________. 5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，则c ＝________.6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b2，BC →BA →＝12，则tan B ＝________.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝________. 8．锐角三角形的内角分别是A 、B 、C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________． ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .9．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝________.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b<cos A ，则△ABC 的形状为________三角形．11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________ m.12．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a cos A ＝c sin C，则A ＝________. 13．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a ，1b ，1c成等差数列，则函数y ＝sin B ＋cos B 的取值范围是________．答案解析1．45° 2.152 3.等腰直角 4.31010解析由题意得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB BC cos B ＝2＋9－6222＝5，即AC ＝5，则BC sin A ＝AC sin B ，3sin A ＝522，得sin A ＝31010. 5.6±22 6.2－3 7.π4 8.①②③ 9. 6解析 ∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∵sin(A ＋B )＝32，又sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形， ∴C ∈(0，π2)，C ＝π3. ∴根据余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6， ∴c ＝6(负值舍去)．10．钝角 11.507 12.π4 13.7814．(1， 2 ]解析依题意得2b ＝1a ＋1c， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－(2ac a ＋c )22ac ≥2ac －(2ac a ＋c )22ac ≥2ac －(2ac 2ac )22ac ＝12，当且仅当a ＝c 时取等号，又B ∈(0，π)，所以B ∈(0，π3]，因为y ＝2sin(B ＋π4)，B ＋π4∈(π4，7π12]，sin(B ＋π4)∈(22，1]，所以y ∈(1， 2 ]。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测(四)文(含解析)

阶段滚动检测（四）一、填空题1.已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{0,1,2,4}，则A ∩B ＝________.2.在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2两点，则ω的最小值为________.4.两等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝n ＋12n ，则a 8b 5＝________.5.已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝________.6.在Rt△ABC 中斜边BC ＝a ，以A 为中点的线段PQ ＝2a ，则BP →·CQ →的最大值为________.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，cos 2A 2＝12＋b 2c，则△ABC 的形状为________三角形.8.(2019·江苏省徐州市第一中学月考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若f (lg2·lg50＋(lg5)2)＋f (lg x －2)<0，则x 的取值范围为________.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是________.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，若直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是________.11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n(n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.12.已知a >0，b >0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________.13.已知m ，n ∈R ，若关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0<x 1<1，x 2>1，则nm的取值范围为________.14.对于函数f (x )给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”；任意一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请根据上面探究结果：计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32019＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＝________.二、解答题15.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3·a ＝2b ·sin A . (1)求B 的大小；(2)若b ＝6，求a ＋c 的取值范围.16.学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买.(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由.17.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＝7，S 3＝27. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝13－a n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1.18.设函数f (x )＝e x＋ax ＋b 在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＋1＝0. (1)求a ，b 的值，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当x ≥0时，f (x )>x 2－4.19.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和为T n ，求证：T n <4.20.已知函数f (x )＝e x－2x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－a ，x ∈[－1,1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围.答案精析1.{0,1}2.2.53.1254.895.192 6.0 7.直角8.(0,10)解析 lg2·lg50＋(lg5)2＝lg2·(lg5＋lg10)＋(lg5)2＝lg2·(lg5＋1)＋(lg5)2 ＝lg2＋lg2·lg5＋(lg5)2＝lg2＋lg5·(lg5＋lg2)＝lg2＋lg5＝1，所以f (lg2·lg50＋(lg5)2)＋f (lg x －2)<0，即f (1)＋f (lg x －2)<0，f (lg x －2)<－f (1)，因为函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以f (lg x －2)<f (－1)，即lg x －2<－1， lg x <1,0<x <10. 9.(π，10)解析设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5，如图可知，x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π，x 5∈(π，10)，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 5∈(π，10).10.0或－14解析因为f (x ＋2)＝f (x )，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y ＝x ＋a 与函数f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点时直线y ＝x ＋a 过点A (1,1)或与f (x )＝x 2相切，即1＝1＋a ，解得a ＝0或x 2＝x ＋a ，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14. 11.3×21009－3解析 ∵a n a n ＋1＝2n，令n ＝1，求得a 2＝2，当n ≥2时a n a n －1＝2n －1，∴a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列.则S 2018＝1－210091－2＋－210091－2＝3×21009－3.12.11解析 ∵1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (3a ＋2b )＋b a＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ，∵a >0，b >0，∴b a >0，a b>0， ∴b a ＋a b≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号. 3a ＋2b ＋b a≥5＋6＝11. ∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 13.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12 解析设f (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1，∵关于实数x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＋n ＋1＝0的两个实根x 1，x 2满足0<x 1<1，x 2>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1>0，2m ＋n ＋3<0，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(不含边界)，设k ＝nm，则k 的几何意义为过原点的直线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋1＝0，2m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，即A (－2,1)，此时OA 的斜率k ＝－12，直线2m ＋n ＋3＝0的斜率k ＝－2，故－2<k <－12.14.2018解析由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，∴f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，得x ＝12.∴f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，故设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32019＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＝m ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20182019＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫20172019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12019＝m ，两式相加得2×2018＝2m ，则m ＝2018，故答案为2018. 15.解 (1)锐角△ABC 中，3a ＝2b ·sin A ， ∴由正弦定理得3sin A ＝2sin B ·sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝32. 又0<B <π2，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝6sinπ3＝43，∵a ＝43sin A ，c ＝43sin C ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A .∴a ＋c ＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2， ∴π3<A ＋π6<2π3. ∴32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.∴63<12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤12.∴a ＋c 的取值范围为(63，12].16.解 (1) 设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元，则y ＝1x[1 500x ＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1501≥1521，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号.故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付的费用最少. (2)y ＝1x[1 500x ×0.95＋100＋2(1＋2＋…＋x )]＝x ＋100x＋1426(x ≥20).函数y 在[20，＋∞)上为增函数，所以y ≥20＋10020＋1426＝1451，而1451<1521，故食堂可接受粮店的优惠条件. 17.(1)解由a 1＋2d ＝7,3a 1＋3d ＝27，解得a 1＝11，d ＝－2，可得a n ＝13－2n . (2)由(1)得，b n ＝2n ，1b n b n ＋1＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所求式等于1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1.18.(1)解 f ′(x )＝e x＋a ，由已知，f ′(0)＝－1，f (0)＝－1，故a ＝－2，b ＝－2.f ′(x )＝e x －2，当x ∈(－∞，ln2)时， f ′(x )<0，当x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在x ∈(－∞，ln2)时单调递减，在x ∈(ln2，＋∞)时单调递增. (2)证明 f (x )>x 2－4，即x 2＋2x －2ex<1，设g (x )＝x 2＋2x －2ex ，∴g ′(x )＝4－x2ex ，x ∈[0,2)时，g ′(x )>0，x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在[0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，g (x )max ＝g (2)＝6e2<1，故当x ≥0时，f (x )>x 2－4. 19.(1)解因为S n ＝－12n 2＋kn＝－12(n －k )2＋k 22，又因为k ∈N *，所以当n ＝k 时， (S n )max ＝S k ＝k 22＝8，解得k ＝4，这时S n ＝－12n 2＋4n ；所以a 1＝S 1＝－12×12＋4×1＝72，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n ＋92，又a 1＝S 1＝72也适合这个公式，所以a n ＝－n ＋92. (2)证明设b n ＝9－2a n 2n ＝n 2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 所以12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝2－22n －n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1.所以T n <4.20.解 (1)因为f (x )＝e x －2x ，所以f ′(x )＝e x －2.所以f ′(0)＝－1，又f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.(2)由题意得，g (x )＝e x －2x －a ，所以g ′(x )＝e x －2.由g ′(x )＝e x －2＝0，解得x ＝ln2，故当－1≤x <ln2时，g ′(x )<0，g (x )在[－1，ln2)上单调递减；当ln2<x ≤1时，g ′(x )>0， g (x )在(ln2,1]上单调递增.所以g (x )min ＝g (ln2)＝2－2ln2－a .又g (－1)＝e －1＋2－a ，g (1)＝e －2－a ，结合函数的图象(图略)可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝e －1＋2－a ≥0，g＝e －2－a ≥0，g＝2－2ln2－a <0，解得2－2ln2<a ≤e－2. 所以实数a 的取值范围为(2－2ln2，e －2].。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.7 Word版含

姓名，年级：时间：§4。

7 解三角形的实际应用考情考向分析以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为填空题或解答题，中档难度．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ〈360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东（西)α例：（1）北偏东α:(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模），利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α,β的关系为α＋β＝180°.( ×)（2）俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为错误!.（×)（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √）（4）方位角大小的范围是［0,2π），方向角大小的范围一般是错误!.( √）题组二教材改编2.[P18例1］如图所示,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m,∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.答案502解析由正弦定理得错误!＝错误!，又B＝30°，∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!(m)．3．[P21T3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．答案错误!a解析由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝错误!－错误!＝γ－α＝30°,∴在△PAB中,asin 30°＝错误!，∴PB＝错误!a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋a sin β＝错误!a×sin60°＋a sin 15°＝错误!a.题组三易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°,CD＝40 m，则电视塔的高度为_____ m.答案40解析设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝错误!x.在△BCD中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD,3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°,即x2－20x－800＝0，解得x＝－20（舍去)或x＝40。

【加练半小时】高考数学江苏专用文科专题复习24专题4三角函数解三角形word版含答案

训练目标(1)随意角的观点；(2) 弧度制； (3)三角函数的观点；(4)三角函数线 .(1)终边同样的角及表示；(2) 弧长公式、扇形面积公式的应用；(3) 三角函数的坐训练题型标法定义 .(1)利用直角坐标系成立象限角，使随意角有了一致的载体；(2)弧度制使角与实解题策略数成立了一一对应关系；(3) 用单位圆上点的坐标表示三角函数是研究三角函数的基础； (4) 可利用三角函数线解简单的三角不等式.1．若角α知足 180 °<α<360 °，角 5α与α有同样的始边，且又有同样的终边，那么角α＝ ________. 2．终边在如下图暗影部分(包含界限 )内的角可表示为________________ ．3．设会合 M ＝ { x|x＝k× 180°＋ 45°，k∈Z } ， N＝ { x|x＝k× 180°＋ 45°，k∈Z} ，那么 M，N 的24关系是 ________．4．已知角α的终边经过点 P(m，－ 3)，且 cos α＝－4，则 m＝ ________. 55． (2014大·纲全国改编 )已知角α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ________.6． (2015河·南开封第一次摸底 )若 cos θ＝3， sin θ＝－4，则角θ的终边所在直线的方程为55________．7． (2015 ·南衡阳八中第一次月考湖 )已知点P(cos α， tan α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．8．若 sin α<0 且 tan α<0，则α是第 ________象限角．9．已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是________．10．已知角α的极点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P(－ 4m，3m)(m>0) 是角α终边上一点，则2sin α＋ cos α＝ ________.11．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l .若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α＝ ________弧度时，这个扇形的面积最大．12．已知角θ的极点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若 P(4， y)是角θ终边上一点，且25，则 y＝ ________.sin θ＝－53，则合适条件的角α的会合为 ________________ ．13．角α知足 sin α≥214．已知 sin θ·tan θ<0，则角θ位于第 ________象限．答案分析1． 270 °π3π2.[2 k π＋ 4， 2k π＋ 4 ](k ∈ Z )4 3． MN4.－ 45.－56． 4x ＋ 3y ＝ 07.二 8.四9． 2分析设此扇形的半径为 r ，弧长为 l ，则 2r ＋ l ＝ 4，面积 S ＝ 112 2，2 rl ＝ r (4－2r)＝－ r ＋ 2r ＝－ (r － 1) ＋ 12故当 r ＝1 时 S 最大，这时 l ＝ 4－ 2r ＝ 2.进而 α＝ l ＝ 2＝ 2.r 1211.2 12.－ 810.5π 2π ，k ∈ Z13． [2k π＋， 2k π＋3]314．二或三。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题4三角函数、觖三角形第32练解三角形的实际应用理

第32练解三角形的实际应用[基础保分练]1．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．3．(2018·扬州模拟)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．4．(2018·苏州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围是________．5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(b ＋2sin C )cos A ＝－2sin A cos C ，且a ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．36.如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝km ，则C ，D 之间的距离为______km.37.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得∠BCD ＝，∠BDC ＝，CD ＝6，并在点C 测得塔顶A 的仰角为，则塔高AB 为π3π4π4________．8．(2018·如东调研)已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是AC 边的中点，线段BD ＝x ，△ABC 的面积S ＝2，则x 的取值范围是________．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝，b ＝2，则△ABC 周长的取π33值范围是________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin A ，且B >，则π2sin A ＋sin C 的最大值是________．[能力提升练]1.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度：AB ＝5km ，BC ＝8km ，CD ＝3km ，DA ＝5km ，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．3.如图，在△ABC 中，AB ＝，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos∠DAC ＝，cos C ＝，231010255则AC ＝___________.4设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝(a cos B ＋b cos A )2，且△ABC 的面积为25，则△ABC 周长的最小值为________．5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°.根据以上性质，函数f (x )＝＋＋ x －1 2＋y 2 x ＋1 2＋y 2的最小值为________．x 2＋ y －2 26．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝ln2∶ln4∶ln t ，且·＝mc 2，有下列结论：CA → CB → ①2<t <8；②－<m <2；29③当t ＝4，a ＝ln2时，△ABC 的面积为；15ln228④当2<t <8时，△ABC 为钝角三角形．5其中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)答案精析基础保分练1．等边三角形　2.　3.(0，π3]70434．(2,4]　5.　6.　7.6(－1)3538．[，＋∞)3解析　根据题意，设BC ＝a ，因为△ABC 为等腰三角形，又因为D 是AC 的中点，作DF 垂直于BC 于点F ，作AE 垂直于BC 于点E ，则DF 等于AE 的一半，F 点是靠近C 点的四等分点，根据△ABC 的面积S ＝2，得到a ×AE ＝4⇒AE ＝，DF ＝，在△DBF 中，BD ＝＝4a 2a BF 2＋DF 2≥＝，916a 2＋4a 22×34a ×2a 3当且仅当a ＝，342a 即a ＝时等号成立．2639．(4，6]3310.98解析　∵a cos A ＝b sin A ，∴＝，a sin A bcos A 又由正弦定理得＝，a sin Ab sin B ∴sin B ＝cos A ＝sin ，(π2－A )∵B >，∴π－B ＝－A ，π2π2∴B ＝A ＋，π2∴C ＝π－A －B ＝－2A ，π2∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋cos2A＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－22＋.(sin A －14)98∵0<A <，0<－2A <，π2π2π2∴0<A <，π4∴0<sin A <.22∴当sin A ＝时，sin A ＋sin C 取得最大值.1498能力提升练1．7　2.21　3.　410＋10525．2＋3解析　根据题意画出图象，函数f (x )＝＋＋表示的是点(x ，y )到点 x －1 2＋y 2 x ＋1 2＋y 2x 2＋ y －2 2C (1,0)的距离与到点B (－1,0)，到A (0,2)的距离之和，设这个等腰三角形的费马点在高线AD 上，设O 点即为费马点，连结OB ，OC ，则∠DOB ＝60°，∠DOC ＝60°，B (－1,0)C (1,0)，A (0,2)，OD ＝，OC ＝，OA ＝2－，332313距离之和为2OC ＋OA ＝2－＋1343＝2＋.36．①②④解析　∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝ln2∶ln4∶ln t ，∴a ∶b ∶c ＝ln2∶ln4∶ln t ，故可设a ＝k ln2，b ＝k ln4＝2k ln2，c ＝k ln t ，k >0.∵b －a <c <b ＋a ，∴k ln2<c <3k ln2，则2<t <8，当2<t <8时，a 2＋b 2－c 2<0，故△ABC 为钝角三角形．5·＝ab cos C ＝ab ·CA → CB → a 2＋b 2－c 22ab＝＝，a 2＋b 2－c 225k 2ln22－c 22又·＝mc 2，CA → CB → ∴m ＝＝CA → ·CB → c 25k 2ln22－c 22c 2＝－.5k 2ln222c 212∵k ln2<c <3k ln2，∴<<，5k 218k 2ln225k 22c 25k 22k 2ln22即<<，∴－<m <2.5185k 2ln222c 25229当t ＝4，a ＝ln2时，△ABC 的面积为，故四个结论中，只有③不正确．15ln224。

江苏专用2020版高考数学一轮复习加练半小时专题4三角函数、解三角形第28练三角函数的图象与性质文含解析

第28练三角函数的图象与性质[基础保分练]1.(2018·全国Ⅲ改编)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为________.2.已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________. 3.如果函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝2π3对称，那么|φ|的最小值为________.4.(2019·苏州调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为________.5.如图是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，已知函数图象经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0两点，则ω＝________，φ＝________.6.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________________.7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，下列四个命题①f (x )是以π为周期的函数； ②f (x )的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ③当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )，f (x )取得最小值－1；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.正确的有________.(填序号)8.已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13π6的图象与直线y ＝m 有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么x 1＋x 2＝________.9.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________.10.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为________.[能力提升练]1.若任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (x )的图象的对称轴方程为________.2.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为________.4.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3).若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________. 5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则对于下列判断：①直线x ＝π2是函数f (x )图象的一条对称轴；②函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3为偶函数；③函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12≤x ≤35π12的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是________.(写出所有正确判断的序号)6.某学生对函数f (x )＝2x cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ③函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称；④存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立.其中正确的结论是__________.(填写所有你认为正确结论的序号)答案精析基础保分练1.π2.－453.π64.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13π6，25π65.2 －π36.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋φ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3，最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2，∵f (－x )＝f (x )，∴φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2cos2x ，∴由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，可得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .7.②④解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，所以可知函数的周期为2π，所以①错误；结合函数的图象可知，当x ＝5π4＋2k π，k ∈Z ，函数图象对称，所以②正确；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )或x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，函数取到最小值，所以③错误；结合图象可知，当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22，所以④正确，故答案为②④. 8.7π3解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13π6的图象，可看作函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度得到，相应的对称轴也向左平移π3个单位长度， ∴x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝7π3.9.2或－2 10.3 能力提升练1.x ＝k π＋π4，k ∈Z2.5π123.7π4解析由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示. 由图可知，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根. 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4.4.π2 5.②③ 6.④。

加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：34专题4 三角函数解三角形含答案

训练目标(1)三角函数知识的深化及提高；(2)数学知识的规范应用和思维严谨性训练. 训练题型 (1)三角函数的求值与化简；(2)三角函数图象及变换；(3)三角函数性质；(4)正弦、余弦定理的应用.解题策略 (1)三角变换中公式要准确应用，角的范围、式子的符号等要严格界定；(2)讨论性质要和图象结合，在定义域内进行；(3)解三角形问题可结合“大边对大角”，充分考虑边角条件.1．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________. 2．(2015·河北衡水冀州中学月考)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为________．3．已知平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是________．4．(2015·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝60°，若三角形有两解，则b 的取值范围为________． 5．在四边形ABCD 中，BC ＝2，DC ＝4，且∠A ∶∠ABC ∶∠C ∶∠ADC ＝3∶7∶4∶10；则AB ＝________.6．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________．7．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α的值为________． 8．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为________．9．(2015·辽宁三校联考)已知函数f (x )＝|cos x |sin x ，给出下列五个说法：①f (2 014π3)＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间[－π4，π4]上单调递增； ④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点(－π2，0)成中心对称．其中正确说法的序号是________．10．(2015·临沂月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cosx ＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称． (1)当x ∈(0，π2)时，求f (x )的值域； (2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．答案解析1．0解析 sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，因为α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以α是第二或第四象限角，sin α与cos α异号，所以原式＝0.2．y ＝2sin 2x解析将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为y ＝－cos 2x ＋1＝2sin 2x .3．16解析设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65.解得a ＝5，b ＝4，cos α＝35，sin α＝45，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16. 4．(1，233) 解析 ∵△ABC 中，a ＝1，A ＝60°， ∴由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝132＝233， ∴b ＝233sin B ，B ＋C ＝120°. ∵三角形有两解，∴A <B <180°－A ，且B ≠90°，∴60°<B <120°，且B ≠90°，即32<sin B <1，∴b 的取值范围为(1，233)． 5．3 2解析连结BD ，由题意得∠A ＝45°，∠ABC ＝105°，∠C ＝60°，∠ADC ＝150°，∴在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝22＋42－2×2×4×12＝12， ∴BD ＝23，∵BC ＝2，DC ＝4，∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴∠CBD ＝90°.∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝15°，∴∠BDA ＝120°，∵在△ABD 中，有AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴AB ＝BD sin ∠ADB sin A ＝23sin 120°sin 45°＝3 2. 6．[0,2)解析函数化为f (x )＝错误!画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2. 7.3130130 解析 ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0， ∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 8．[2，6) 解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得ac ＝b 2sin 2B ·sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )，即b 2＝3sin A sin (120°－A )＝3sin A (32cos A ＋12sin A )＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14(1－cos 2A )＝6sin (2A －30°)＋12，因为30°<A <90°，所以30°<2A －30°<150°， 1<sin(2A －30°)＋12≤32，所以632≤b 2<61，即4≤b 2<6，所以2≤b < 6. 9．①③解析 ①f (2 014π3)＝f (671π＋π3)＝|cos(671π＋π3)|·sin(671π＋π3)＝cos π3(－sin π3)＝－34，正确． ②令x 1＝－π4，x 2＝5π4，则|f (x 1)|＝|f (x 2)|，但x 1－x 2＝－6π4＝－3π2，不满足x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )，不正确．③f (x )＝⎩⎨⎧ 12sin 2x ，2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，－12sin 2x ，2k π＋π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴f (x )在[－π4，π4]上单调递增，正确． ④f (x )的周期为2π，不正确．⑤∵f (－π＋x )＝－|cos x |sin x ，f (－x )＝－|cos x |sin x ，∴f (－π＋x )＋f (－x )≠0，∴f (x )的图象不关于点(－π2，0)成中心对称，∴不正确．综上可知，正确说法的序号是①③.10．解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )， ∴f (x )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )．∵函数f (x )的图象关于点(π6，0)对称，∴f (π6)＝0，即sin(2×π6－A )＝0. 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3. ∴f (x )＝sin(2x －π3)． ∵x ∈(0，π2)，∴2x －π3∈(－π3，2π3)， ∴－32<sin(2x －π3)≤1，即函数f (x )的值域为(－32，1]． (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得sin B ＋sin C ＝b sin A a ＋c sin A a，又∵a ＝7，A ＝π3，∴sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )． ∵sin B ＋sin C ＝13314，∴b ＋c ＝13. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ，即49＝(b＋c)2－3bc＝169－3bc，∴bc＝40.∴S△ABC＝12bc sin A＝10 3.。

2020版江苏省高考文科数学三轮复习三角函数、解三角形解答题专题练(5页)

解答题专题练(一) 三角函数、解三角形(建议用时：40分钟)1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B＋c cos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．3．已知函数f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x (x ∈R )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中常数a ∈R .(1)求a 的值及函数f (x )的最小正周期T ；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最值及相应的x 值．4．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解答题专题练(一)1．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋3sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以T ＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 2．解：(1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin B sin B cos C ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cos A ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0<A <34π，所以0<t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)由(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S max ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.3．解：(1)f (x )＝a sin x cos x －2cos 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x －1，由函数f (x )的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a 2sin π2－cos π2－1＝0，得a ＝2.从而f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f (x )max ＝2－1；当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )min ＝－2.4．解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20，因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21，故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57.。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题4三角函数、觖三角形第31练正弦定理、余弦定理理

第31练正弦定理、余弦定理[基础保分练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋c ，则角A 为12________．2．在△ABC 中，已知其面积为S ＝(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．143．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于______．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝，b ＝2，S △π3ABC ＝3，则＝________.3a ＋b －2csin A ＋sin B －2sin C 5．(2018·淮安调研)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为________．6．在△ABC 中，已知tan A ＝，cos B ＝，若△ABC 最长边的边长为，则最短边的长123101010为________．7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，若sin B ＋sin C ＝1，则△ABC 是____________三角形．8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝b cos A ，则△3ABC 面积的最大值是______．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的值为________．10．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为3，则BC ＝________.3[能力提升练]1．若△ABC 为钝角三角形，其中角C 为钝角，若A ＋C ＝，则的取值范围是________．2π3ABBC 2．若△ABC 的内角满足sin A ＋sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．23．若满足∠ABC ＝，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是________．π34．在锐角三角形ABC 中，b 2cos A cos C ＝ac cos 2B ，则B 的取值范围是________．5.如图，一座建筑物AB 的高为(30－10)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它3们之间的地面上点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为________m.6．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求14[a 2c 2－(a 2＋c 2－b 22)2]得△ABC 的面积为________．答案精析基础保分练1．60°　2.45°　3.634.4213解析　由三角形面积公式可得bc sin A ＝3，即×2×c ×sin ＝3，解得c ＝6，结合12312π33余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋62－2×2×6×cos ＝28，则a ＝2.π37由正弦定理有＝＝＝2R asin A b sin B c sin C ＝＝，27324213结合合分比定理可得＝.a ＋b －2csin A ＋sin B －2sin C 42135．5　6.27．等腰钝角解析　根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－，A ＝120°.12因为sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，sin B ＋sin C ＝1，所以sin B ＝sin C ＝，因为0°12<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C ，所以△ABC 是等腰钝角三角形．8．43解析　由题意可知a sin B ＝b cos A ，3由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，3又由在△ABC 中，sin B >0，即sin A ＝cos A ，3即tan A ＝，3因为0<A <π，所以A ＝，π3在△ABC 中，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝4，即16＝b 2＋c 2－2bc cos ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时，等号成立，π3即bc ≤16，所以△ABC 的最大面积为S ＝bc sin A ＝×16sin ＝4.1212π339.　10.π313能力提升练1．(2，＋∞)2.6－24解析　设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c .2故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a ＋2b 2)22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝－34a 2＋12b 22ab 24≥－＝，234a 2·12b 22ab 246－24当且仅当3a 2＝2b 2，即＝时等号成立．a b 233．(0,12]∪{8}34.[π3，π2)解析　在锐角△ABC 中，b 2cos A cos C ＝ac cos 2B ，根据正弦定理可得sin 2B cos A cos C ＝sin A sin C cos 2B ，即＝，sin2B cos2B sin A sin Ccos A cos C即tan 2B ＝tan A tan C ，所以tan A ，tan B ，tan C 构成等比数列，设公比为q ，则tan A ＝，tan C ＝q tan B ，tan B q 又由tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－，tan B (q ＋1q )1－tan2B 所以tan 2B ＝1＋q ＋≥1＋2＝3，当q ＝1时取得等号，所以tan B ≥，所以B ≥，1q q ·1q 3π3又△ABC 为锐角三角形，所以B <，π2所以B的取值范围是.[π3，π2)5．60　6.3。

2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题4三角函数、解三角形第34练三角函数小题综合练文(含解析)

第34练三角函数小题综合练[基础保分练]1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.2.已知向量a ＝(4sin α，1－cos α)，b ＝(1，－2)，若a·b ＝－2，则sin αcos α2sin 2α－cos 2α＝________.3.已知函数y ＝4cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是________.4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )，则y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递减区间为________.5.(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，可以将f (x )的图象________.(填序号)①向右平移π12个单位长度；②向右平移π6个单位长度；③向左平移π12个单位长度；④向左平移π6个单位长度.6.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则α＋β的值为________.7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb ，则角C ＝________.8.已知点A (0,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<6，π2<φ<π的图象上的两点，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的图象的对称轴方程为____________.9.(2019·扬州调研)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________. 10.(2018·盐城模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<0)的图象的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，则φ＝________.[能力提升练]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，令a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6，则a 1＋a 2＋…＋a 2019＝________.2.如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为________海里.3.(2019·常州模拟)已知不等式sin x 4cos x 4＋3cos 2x 4－32－m ≤0对任意的－4π3≤x ≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________.4.若方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不等实根，则m 的取值范围是________.5.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为______________.6.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b ，a ＝6，则△ABC 的周长的取值范围为____________.答案精析基础保分练 1.－792.13.64.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4解析由函数y ＝f (x )的图象可得A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又根据“五点法”可得2×π3＋φ＝π， ∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由函数图象的平移可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝－2sin2x . ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，当0≤2x ≤π2，即0≤x ≤π4时，函数y ＝2sin2x 单调递增，函数g (x )＝－2sin2x 单调递减，∴函数y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.5.②6.4π37.π4解析由题意，可知在△ABC 中，满足1＋tan A tan B ＝2cb ，由正弦定理和三角函数的基本关系式可得 1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin C sin B ，即cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，又由A ＋B ＋C ＝π，得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ，因为sin C ≠0，即cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，则sin A ＝32，在△ABC 中，由正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即sin C ＝AB BC ·sin A ＝2223×32＝22，又由C ∈(0，π)，所以C ＝π4. 8.x ＝π12＋k π2，k ∈Z解析因为A (0,23)在图象上，故4sin φ＝23，故sin φ＝32，又π2<φ<π，故φ＝2π3. 又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0在图象上，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ6＋2π3＝0，所以ωπ6＋2π3＝k π，k ∈Z ，即ω＝6k －4，k ∈Z ，因为0<ω<6，故ω＝2，所以f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2π3 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z . 9.22 10.－π4能力提升练 1.1 2.20 6 解析连结AB ，由题可知CD ＝40，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，∠ADB ＝60°，则∠DAC ＝45°，在△ADC 中，由正弦定理AD sin∠ACD ＝CDsin∠DAC 得AD ＝202，△BDC 为等腰直角三角形，则BD ＝402，在△ADB 中，由余弦定理得，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ＝20 6.3.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 4.[1,2)解析方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，画出函数y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象如图所示：根据方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不等实根，得12≤m 2<1,1≤m <2， ∴m 的取值范围是[1,2).5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋φ＋π3，因为最小正周期为π，所以ω＝2πT＝2，因为f (－x )＝f (x )，|φ|<π2，所以φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6，所以f (x )＝2cos2x ，因为f (x )单调递增，所以2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z . 解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，即单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ). 6.(6＋63，18]解析 ∵2a sin B ＝3b ，a ＝6， ∴bsin B＝43，由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝43，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，sin A ＝32， ∵0<A <π2，∴A ＝π3，∴a ＋b ＋c ＝6＋43sin B ＋43sin C ＝6＋43sin B ＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝6＋63sin B ＋6cos B＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋6，∵π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴(a ＋b ＋c )∈(6＋63，18]，故答案为(6＋63，18].。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲弧度制与任意角的三角函

S＝___12_lr___＝___12_|α_|_r2__
3.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
y
x
设 P(x，y)是角 α 的终边上任意一点，且|PO|＝r(r>0)，则有 sin α＝___r___，cos α＝___r___，
y
tan α＝__x__，它们都是以角为__自__变__量__，以比值为_函__数__值__的函数.
(4)三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P 作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点P的坐标为_(_c_o_s_α_，__s_i_n_α_)_，其中cos α＝___O_M___，sin α＝__M__P__，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝__A_T__. 我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的_余__弦__线___、_正__弦__线__、正__切__线___.
(3)特殊角的三角函数值
角α
α弧度数
0°
__0__
π
30°
__6__
π
45°
__4__
π
60°
__3__
π
90°
__2__
sin α
__0__
1 __2__
2 __2__
3 __2__
__1__
cos α
__1__
3 __3__
2 __2__
1 __2__
__0__
tan α __0__
3 __3__ __1__ __3__ _不__存__在__
(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即：

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.3 Word版含解析

2
2
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域值域周期性
R [－1,1]
2π
R [－1,1]
2π
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋ }
2 R π
高清试卷下载可打印
高清试卷下载可打印
奇偶性
奇函数
偶函数
递增区间递减区间对称中心对称轴方程
π 5π 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原函数
44 的定义域为Error!.
方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以定义域为Error!. 1
3．函数 y＝lg(sin x)＋ cos x－的定义域为________． 2
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
题型一三角函数的定义域
( )π
1．函数 f(x)＝－2tan 2x＋的定义域是____________． 6
答案 Error!
高清试卷下载可打印
高清试卷下载可打印
π
π
kπ π
解析由正切函数的定义域，得 2x＋ ≠kπ＋，k∈Z，即 x≠ ＋ (k∈Z)．
高清试卷下载可打印
§4.3 三角函数的图象与性质
考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题4三角函数、觖三角形第34练三角函数小题综合练理

第34练三角函数小题综合练[基础保分练]1.2＋2sin 2＝________.(sin α2＋cos α2)(π4－α2)2．已知向量a ＝(4sin α，1－cos α)，b ＝(1，－2)，若a·b ＝－2，则＝________.sin αcos α2sin2α－cos2α3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为，则b －a 的最大值和最小值之[－1，32]差等于________．4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图(ω>0，|φ|<π2)象向右平移个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间上的值域5π12[－π6，θ]为[－1,2]，则θ＝________.5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝sin ，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，可以将(2x ＋π3)f (x )的图象________．(填序号)①向右平移个单位长度；π12②向右平移个单位长度；π6③向左平移个单位长度；π12④向左平移个单位长度．π66．已知tan α，tan β是方程x 2＋3x ＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β3(π2，3π2)的值为________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝2，1＋＝，则角C ＝________.32tan A tan B 2cb 8．已知点A (0,2)，B 是函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)3(π6，0)的图象上的两点，若将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，(0<ω<6，π2<φ<π)π6得到g (x )的图象，则函数g (x )的图象的对称轴方程为____________．9．(2019·扬州调研)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________．10．若函数g (x )＝sin ωx ＋cos(ω>0)的图象关于点(2π，0)对称，且在区间(ωx ＋π6)上是单调函数，则ω的值为________．[－π3，π6][能力提升练]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，令(ω>0，|φ|<π2)a n ＝f ，(n π6)则a 1＋a 2＋…＋a 2019＝________.2.如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为________海里．3．(2019·常州模拟)已知不等式sin cos ＋cos 2－－m ≤0对任意的－≤x ≤0恒成x 4x 43x 4324π3立，则实数m 的取值范围是________．4．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠时，f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )π2(x －π2)－|sin x |在区间上的零点个数为________．[－32π，32π]5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)的最小正周期为3(ω>0，|φ|<π2)π，且满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为______________．6．已知f (x )＝a sin2x ＋b cos2x (a ，b 为常数)，若对于任意x ∈R 都有f (x )≥f ，则方(5π12)程f(x)＝0在区间[0，π]内的解为________．答案精析基础保分练1．2　2.1　3.　4. 5.②　6.　7.5π6π34π3π48．x ＝＋，k ∈Zπ12k π2解析　因为A (0,2)在图象上，3故4sin φ＝2，3故sin φ＝，又<φ<π，故φ＝.32π22π3又B 在图象上，(π6，0)故sin＝0，(ωπ6＋2π3)所以＋＝k π，k ∈Z ，ωπ62π3即ω＝6k －4，k ∈Z ，因为0<ω<6，故ω＝2，所以f (x )＝4sin.(2x ＋2π3)g (x )＝4sin(2x －π3＋2π3)＝4sin，(2x ＋π3)令2x ＋＝k π＋，k ∈Z ，π3π2得x ＝＋，k ∈Z .k π2π129.2210.或1356解析　由题意易得g (x )＝sin ωx ＋cos(ωx ＋π6)＝sin ，(ωx ＋π3)∵g (x )的图象关于点(2π，0)对称，∴sin ＝0，(2πω＋π3)∴2πω＋＝k π，k ∈Z ，π3解得ω＝－＋，k ∈Z .16k 2∵函数g (x )在区间上是单调函数，[－π3，π6]∴最小正周期T ≥2，[π6－(－π3)]即≥π，∴0<ω≤2，2πω∴ω＝或或或，135643116经检验，或适合题意，1356故答案为或.1356能力提升练1．1　2.20　3.　4.66[32，＋∞)5.(k ∈Z )[－π2＋k π，k π]6．x ＝或x ＝π62π3解析　∵f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝sin(2x ＋θ)，其中tan θ＝，a 2＋b 2b a 由f (x )≥f ，(5π12)得f 是函数f (x )的最小值，(5π12)则f ＝－，(5π12)a 2＋b 2∴f ＝a sin ＋b cos (5π12)5π65π6＝a －b ＝－，1232a 2＋b 2即a －b ＝－2，3a 2＋b 2平方得a 2－2ab ＋3b 2＝4a 2＋4b 2，3即3a 2＋2ab ＋b 2＝0，3∴(a ＋b )2＝0，解得b ＝－a ，33∵tan θ＝＝－，ba 3不妨设θ＝－，π3则f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝sin ，a 2＋b 2(2x －π3)由f (x )＝sin ＝0，a 2＋b 2(2x －π3)解得2x －＝k π，k ∈Z ，π3即x ＝＋，k ∈Z ，k π2π6∵x ∈[0，π]，∴当k ＝0时，x ＝，π6当k ＝1时，x ＝＋＝，π2π62π3故x ＝或x ＝，2π3π6故答案为x ＝或x ＝.π62π3。

(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形1第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数刷

第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．答案：四2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝(1＋233)r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶93．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________．解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案：124．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．解析：因为θ是第三象限角，所以θ2为第二或第四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．答案：二5．已知角α的终边上一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝12y ，则cos α－1tan α＝________.解析：由已知得r ＝OP ＝3＋y 2，所以sin α＝y 2＝y3＋y2. 所以2＝3＋y 2，所以y 2＝1，所以y ＝±1，故sin α＝±12，cos α＝－32， tan α＝±33. 则cos α－1tan α＝32或－332. 答案：32或－3326．(2019·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为________．解析：因为(sin 2π3，cos 2π3)＝(32，－12)，所以角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32. 所以角α的最小正值为11π6. 答案：11π67．若角β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________．解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 8.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)相交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________．解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.所以cos α－sin α＝－75. 答案：－759．函数y ＝sin x ＋ 12－cos x 的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12. 所以x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 10．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ， S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 211．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝l r＝6.(2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.12．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.2 Word版含解析

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×)(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×)(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.(×)题组二教材改编2．[P18T3]若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝. 答案－12解析∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin2α＝－255， ∴tan α＝sin αcos α＝－12. 3．[P22T1]已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．答案3解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 4．[P22T4]化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α 解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为．答案－23 解析∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.答案－35解析∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角， ∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 7．已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为．答案612解析∵－π2<α<0， ∴sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－256，∴tan α＝－26. 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.题型一同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝. 答案－125解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝. 答案6425解析tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tan α1＋tan2α＝6425.3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为．答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝.答案－1解析由⎩⎨⎧ sin α－cos α＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.题型二诱导公式的应用例1(1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是．答案{2，－2}解析当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. ∴A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝. 答案－1解析原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝. 答案32解析由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝32. (2)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝. 答案3解析∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3. 题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是．答案31010解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1，故sin α＝31010. (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值；②求sin2x ＋2sin2x 1－tanx的值．解①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ②sin2x ＋2sin2x 1－tanx ＝2sinx (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sinxcosx (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175. 引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值．解若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425， ∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练2(1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝.答案23解析由tan2θ＝－22可得tan2θ＝2tan θ1－tan2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝2或tan θ＝－22. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2，故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝(2)2＋2－2(2)2＋1＝23. (2)已知sin α＝255，则tan(π＋α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝. 答案52或－52解析∵sin α>0，∴α为第一或第二象限角， tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52； ②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝. 答案－513解析因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512，所以cos α＝－125sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝±513，又α是第四象限角，所以sin α＝－513. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝. 答案－45解析tan(α－π)＝tan α＝34，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝±45. 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．满足等式cos2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为．答案2π3解析由题意可得，2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－12或cos x ＝2(舍去)．又x ∈[0，π]，故x ＝2π3.4．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 5．(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝. 答案12解析∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝0＋12－12＋12＝12. 6．设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝. 答案2解析∵tan α＝3，∴原式＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 7．(2018·如东高级中学阶段测试)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝. 答案2解析∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，∴tan θ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝2tan θ－1＝2. 8．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝. 答案sin θ－cos θ解析因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.9．已知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则tan x ＝. 答案－3解析由题意可知sin x ＋cos x ＝3－12，x ∈(0，π)，则(sin x ＋cos x )2＝4－234，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以2sin x cos x ＝－32，即2sin xcos x sin2x ＋cos2x ＝2tan x tan2x ＋1＝－32，得tan x ＝－33或tan x ＝－3. 当tan x ＝－33时，sin x ＋cos x <0，不合题意，舍去，所以tan x ＝－3. 10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为．答案59解析由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－13＋89＝59. 11．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值为．答案5－95解析因为cos α－sin α＝－55，①所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝45. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95. 又0<α<π2，所以sin α＋cos α>0.所以sin α＋cos α＝355.② 由①②得sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2，所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝5－95. 12．已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝. 答案－1解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α ＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α) ＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.13．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为．答案1－5解析由题意知方程的两根为－m ±m2－4m 4，∴sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－5.14．已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若sin(2π＋A )＝－2·sin(2π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则B ＝.答案π6解析由已知得⎩⎨⎧ sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，化简得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. 当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形内角，∴B ＝π6；当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意，舍去，综上可知B ＝π6.15．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β.3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，求α，β. 解由已知可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴sin 2α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝22，α＝π4. 将α＝π4代入①中得sin β＝12，又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π6，综上α＝π4，β＝π6. 16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝1.求cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＋cos β－1的取值范围．解由已知得cos β＝1－sin α.∵－1≤cos β≤1，∴－1≤1－sin α≤1，又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＋cos β－1 ＝sin 2α＋1－sin α－1＝sin 2α－sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α－122－14.(*) 又0≤sin α≤1，∴当sin α＝12时，(*)式取得最小值－14，当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.3

§4.3 三角函数的图象与性质考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )题组二教材改编2．[P44T1]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________．答案 π3．[P45T4]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．[P33例4]函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－k 2π－π8，k ∈Z题组三易错自纠5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象的对称中心是________．答案 ⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z 解析由12x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π3，k ∈Z ，所以对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z . 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )． 7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________________．答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是____________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z )解析由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z .思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1，即f (x )的最大值是1. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是______．答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·苏州质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型三三角函数的周期性与对称性例2 (1)(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 答案 π2解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，由周期计算公式，可得T ＝2πω＝4，解得ω＝π2. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 答案 12解析 ∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝sin ()2x －2π＝sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. (3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)，ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________．答案2解析因为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6为偶函数，所以φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，可得φ＝2π3，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，可得12·2πw ＝π2，所以w ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k π－23π，0，k ∈Z 解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________. 答案 k π－54π，k ∈Z解析由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－54π，k ∈Z .题型四三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)若点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y ＝3cos(x ＋φ)，x ∈[0，π]的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤π4，π解析因为点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，所以tan φ＝－1，φ＝－π4，即函数为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，令0<x －π4<π，且0≤x ≤π，解得π4≤x ≤π.(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )． (3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6.命题点2 根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是_______．答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为________________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 解析函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·盐城模拟)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎤0，a 3和⎣⎡⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________．答案1972π 解析为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则4914×T ≤1，即1974×2πω≤1.解得ω≥1972π，所以ω的最小值为1972π.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．答案 ①②③解析 ①中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确； ②中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确；③中，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；④中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，④错误．故正确的结论是①②③.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是________．答案 12解析由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因此f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．答案－22解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－π，0]解析因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．4．(2018·江苏泰州中学月考)函数f (x )＝cos x －sin x (x ∈[－π，0])的单调增区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π，－π4 解析由已知f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )＝0且x ∈[－π，0]，得x ＝－π4，由f ′(x )的图象(图略)可得，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π4时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π4. 5．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最小值为________．答案－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y min ＝－2.6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.7．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的对称中心是_______．答案 ⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z ) 解析函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )． 8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．答案6π5解析由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x . 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确． 11．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 12．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω>0)，且T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1*2=1，则函数f (x )=sin x *cos x 的值域为 .答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π4，0 解析由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2，可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，又π2≤θ＋π2≤5π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0， ∴m ≥0.16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域．解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ， ∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0， ∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[－3，0].。

江苏专用2020版高考数学专题复习专题4三角函数解三角形第30练三角函数综合练练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题4三角函数、解三角形第30练三角函数综合练练习文训练目标（1）三角函数图象、性质的应用：（2）三角函数与解三角形的综合.训练题型⑴讨论函数y=«in （5+0）+&的图象、性质：（2）三角变换和三角函数的结合：（3）三角函数与解三角形.解题策略（1）讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y=^sin （Gx+ d ）+R 的形式或复合函数：（2）解题中贯穿整体代换、数形结合思想；（3）三角函数和解三角形的综合问题，一泄要结合正弦、余弦泄理，利用三角形中的边角关系.为 _______ •3 \ H 2. （2016 •南昌模拟）已知 sin （＜7-2n ）=2sin|—+ I,且+—UeZ ）,则3sirT a —sin 2 a 3 + cos 2 o 3. ______________________________________ 已知扇形的周长为4 cm,当它的半径为 cm 和圆心角为 ___________________________________ 弧度时，扇形而积最大，这个最大面积是 _________ cm".兀 7兀"I _ R4•当斎育时，函数y=3 —sin .Y —2COS 'A *的最小值是 ______________ ，最大值是 _______ ・ 6 . （2016 •扬州一模）函数y = sin ：.r + cos'Gr -------------------- ）的单调增区间是7. （2016 •镇江模拟）在△磁中，内角儿B, Q 的对边分别为a, b, c,若畚=爭总则△磁的形状为 _________________ 三角形.8. 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移#0＜0＜召）个单位后得到函数g （x ）的图象，若对满足 f （xj —&（及）=2 的 X 、，xs ，有-Xi —x 2 3ia =—,则巾= __________ .9. 如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直禅射髙度： A, B, Q 三地位于同一水平而上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点月，万两地相距1002m, ZBAC=60° ,在月地听到禅射声音的时间比万地晚帀s.在外地测得该仪器至最高点〃的值为 _______ 5.若 co —弓,cos(" + 0)=—寻皿a + 0 q 万，31 )，贝I 」0 =时的仰角为30°,则该仪器的垂直禅射髙度防 = ___________ m.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)10.(2016 •黄冈适应性测试)在△磁中，角人B, Q所对的边分别为a, b, c,函数f(x) = 2sin~(x+丁)一cos 2AS .Y E , R 在x=A处取到最大值.(1)求角川的大小；(2)若2>=4, c=^a,求△磁的而积.答案精析4 71.—刁或 12. ~3. 1 2 14. - 2又Vcos( a + /?) = —ii, a+0W (万，n ),Asin( o + 0)A cos 0=cos[( a + 戸)一m]= cos ( a + 0)cos a +sin( o + 0) • sin a =£H ), A P =y ・JI5 n 6. [&几一历，&兀+〒■], £GZ(开区间也i 匸确)故所求增区间为［&八一誇，&介+詈］,圧乙（开闭均可）7.等腰或直角—l I 龙 tan A .^sinA sin A cos B 解析由云=一-> 得一^=—— • 一? b tan B sm B cos A sin B①当cos C=0.即■时，△遊为直角三角形：4^3解析原式= 一°： 2'T -------------- ----- ---- ~1H-I • cos 2x+芈sin 2x)=1+芈所以△月氏为等腰三角形,所以为直角三角形或等腰三角形.解析因为 g{x) =sin 2(-Y — 0) =sin(2x —2 0), 所以I f (為)—&(£ I=I sin 2-Y J —sin(2.Y ：—2 0) I =2.因为一iWsin 2及Wl,—1 Wsin(2疋一2 Wl,所以sin 2加和sin(2r —2/)的值中，一个为1,另一个为一1,不妨取sin 2益=1, sin （2左一2 0） = —1,则2為=2厶兀+百, 応GZ, 2龙一2。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题4三角函数、觖三角形第30练三角恒等变换理(含解析)

第30练三角恒等变换[基础保分练]1．cos10°sin380°＋cos80°cos20°＝________.2．(2018·常州调研)已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos(α－β)＝________.3．已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝513，则cos α＝________. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝______________________________________.5．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 为________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)6．(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.7．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，则tan(β－2α)＝________. 8．(2018·苏州模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点A (t,2t )(t <0)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝________. 9．若α，β都是锐角，sin α＝35，sin(α－β)＝513，则cos β＝________. 10．(2019·如东调研)函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在[0，π]上的单调递减区间为__________．[能力提升练]1．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos C cos B ＝3a －c b，则cos B 的值为________． 3.3tan10°＋3tan20°＋tan10°tan20°＝________.4．已知f ′(x )是函数f (x )＝sin x －cos x 的导函数，实数α满足f ′(α)＝3f (α)，则tan2α的值为________．5．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α，tan β分别是lg(6x 2＋5x ＋2)＝0的两个实数根，则α＋β＝_______.6．关于函数f (x )＝3cos2x －2sin x cos x ，有如下命题：①x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心； ③将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，可得到一个奇函数图象．其中真命题的序号为________．答案精析基础保分练1.122.－123.5＋123264.－1 5．钝角 6.2 7.－1128．－25＋1510解析由三角函数的定义，得sin θ＝2t t 2＋t2＝2t 5|t |＝－255，cos θ＝－55， sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝－255×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×32 ＝－25＋1510. 9.6365解析 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β),① 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又因为sin(α－β)＝513>0，所以α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝1－sin 2α＝45， cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1213，代入①得cos β＝45×1213＋35×513＝6365. 10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析由题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z ，令k ＝0，得π6≤x ≤7π6，因为x ∈[0，π]，所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π. 能力提升练 1.36565 2.13 3.1 4.－435．－π4解析因为lg(6x 2＋5x ＋2)＝0，所以6x 2＋5x ＋1＝0，又tan α，tan β分别是lg(6x 2＋5x ＋2)＝0的两个实数根，所以tan α，tan β是6x 2＋5x ＋1＝0的两根，所以tan α＝－12， tan β＝－13或tan α＝－13， tan β＝－12，所以tan α＋tan β＝－56， tan αtan β＝16，因此tan(α＋β)＝－561－16＝－1，又tan α<0，tan β<0知－π2<α<0，－π2<β<0，所以－π<α＋β<0，故α＋β＝－π4. 6．②③解析函数f (x )＝3cos2x －2sin x cos x 可化为f (x )＝3cos2x －sin2x ，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的对称轴为x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故命题①错误；函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，取k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，命题②正确；函数f (x )向左平移π6个单位长度，得g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin2x ， g (x )为奇函数，命题③正确．。