八年级数学探究性题目

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数学八年级下册人教版学习探究诊断第12版电子版

数学八年级下册人教版学习探究诊断第12版电子版1、k·360°-30°（k是整数）所表示的角是第（）象限角。

[单选题] *A. 一B. 二C. 三D. 四(正确答案)2、16．“x2（x平方）－4x－5=0”是“x=5”的( ) [单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、2．在+3，﹣4，﹣8，﹣，0，90中，分数共有（）[单选题] *A．1个B．2个C．3个(正确答案)D．4个4、下列各角终边在第三象限的是（）[单选题] *A. 60°B. 390°C. 210°(正确答案)D. -45°5、1、如果P（ab，a+b）在第四象限，那么Q（a，﹣b）在（）[单选题] *A．第一象限B．第二象限(正确答案)C．第三象限D．第四象限6、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④7、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案)C．1/4D．18、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。

[单选题] * 3(正确答案)4519、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?10、22.若+3x+m=0的一个根为2，则m=（）[单选题] *A.3B.10C.-10(正确答案)D.2011、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] * A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)12、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、413、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)14、在△ABC中,bcosA=acosB，则三角形为（）[单选题] *A、直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形(正确答案)D、等边三角形15、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣416、下列说法中，正确的个数有?①减去一个数等于加上这个数②零减去一个数仍得这个数③有理数减法中被减数不一定比减数或差大④两个相反数相减得零⑤减去一个正数，差一定小于被减数⑥减去一个负数，差不一定大于被减数. [单选题] *A.2个(正确答案)B.3个C.4个D.5个17、-60°角的终边在（）. [单选题] *A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(正确答案)18、下列各对象可以组成集合的是（）[单选题] *A、与1非常接近的全体实数B、与2非常接近的全体实数(正确答案)C、高一年级视力比较好的同学D、与无理数相差很小的全体实数19、设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）上可导，且（x）＞0 则（）[单选题] *A、f（0）＜0B、f（0）＜1C、f（1）＞f（0）D、f（1）＜f（0）(正确答案)20、28．下列计算结果正确的是（）[单选题] *A．（a3）4＝a12(正确答案)B．a3?a3＝a9C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（ab）2＝ab221、9．如图，下列说法正确的是（）[单选题] *A．直线AB与直线BC是同一条直线(正确答案)B．线段AB与线段BA是不同的两条线段C．射线AB与射线AC是两条不同的射线D．射线BC与射线BA是同一条射线22、y=kx+b（k是不为0的常数）是（）。

八年级上册数学探究题型训练题

八年级上册数学探究题型训练题1．某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？2．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8m，2.5m且粗细相同的钢管分别为100根，32根，并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根为6m．（1）试问一根6m长的圆钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）．方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪根；方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料根；方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料根．（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6m长的钢管与（2）中根数相同？3．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．4．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．5．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数；（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F．当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数．6．如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝．②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E 是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．7．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝°，∠3＝°；（2）在（1）中，若∠1＝55°，则∠3＝°，若∠1＝40°，则∠3＝°；（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 平行，请说明理由．8．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝；（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：①当α＝时，能使AB∥CD；②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝；③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．9．课题学习●探究：（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为；②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为；（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D 的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB 中点为D（x，y）时，x＝，y＝．（不必证明）●运用：在图2中，y＝|x﹣1|的图象x轴交于P点．一次函数y＝kx+1与y＝|x﹣1|的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标（用k表示）；②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k的值．10．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E 两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．。

人教版八年级下册数学中考数学类比探究实战演练(含答案)

中考数学类比探究实战演练（四）漂市一中钱少锋1.（本小题4分）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．（2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由．（1）中△OMN的形状为( )• B.等边三角形• C.等腰直角三角形• D.含30°角的直角三角形知点：中考数学几何中的类比探究解题思路见第2题中解析2.（本小题6分）（上接第1题）（2）中△AGD的形状为( )• A.等腰三角形• B.等边三角形• D.含30°角的直角三角形知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路3.（本小题7分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连AE并延长，交BC的延长线于点F，求证：（S表示面积）．（2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由．（3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）（2）中当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？( )• A.当直线MN旋转到与OA垂直的位置时• B.当直线MN旋转到与OP垂直的位置时• C.当直线MN旋转到与OB垂直的位置时知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路见第4题中解析4.（本小题3分）（上接第3题）（3）中△MON的面积为( )• A.• B.• C.• D.正确答案： C 你的答案：C，回答正确答题总人数：497 该试题正确率：39.03% 平均用时：50秒实际用时：2分37秒知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路【素材积累】1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。

部编数学八年级下册专题10勾股定理的综合探究题型(解析版)含答案

专题10 勾股定理的综合探究题型（解析版）题型一探究直角三角形的边和高之间的关系典例1（湖州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，有下列四种说法：①a •b ＝c •h ；②a +b ＜c +h ；③以a +b 、h 、c +h 为边的三角形，是直角三角形；④1a 2+1b 2=1ℎ2．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；②证明（a +b ）2＜（c +h ）2；③直角三角形，证明（a +h ）2+h 2＝（c +h ）2；④只需证明h 2（1a 2+1b 2）＝1，从左边推导到右边．解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab ＝ch ，故①正确；②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2＝c 2，∴a 2+b 2＜c 2+h 2，∵ab ＝ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ，∴（a +b ）2＜（c +h ）2，∴a +b ＜c +h ，故②正确；③∵（c +h ）2＝c 2+2ch +h 2，h 2+（a +b ）2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∵a 2+b 2＝c 2，（勾股定理）ab ＝ch （面积公式推导）∴c 2+2ch +h 2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∴（c +h ）2＝h 2+（a +b ）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴a2b2a2b2=h2，∴a2b2a2b2=1ℎ2，∴a2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab＝ch的应用．题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，得出∠FAE＝45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；可证△ABF≌△ACD，于是BF＝CD，判定②正确；先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD＝BF，又①知DE＝EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠EBF＝90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2＝EF2，等量代换后判定④正确．解：①∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，AD=AF∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠FAB＝∠CAD，在△ABF与△ACD中，AF=AD∠FAB=∠CAD，AB=AC∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD，②正确；③∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB∠CAD=∠BAF，AD=AF∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD＝BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；由③知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°，∵∠ABE＝45°，在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，④正确．所以正确的结论有①②③④．故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键．典例3 （2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB 绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．思路引领：首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝BQ＝4，又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠APB ＝∠BQC ＝150°总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．针对练习1．（洪山区期中）如图，∠AOB ＝30°，P 点在∠AOB 内部，M 点在射线OA 上，将线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点（OM ＞ON ），若PM ON ＝8，则OM ＝．思路引领：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，根据旋转的性质得∠MPN ＝90°，PN ＝PM判断△PMN 为等腰直角三角形，则MN =＝Rt △OHN 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得NH =12ON ＝4，OH =＝Rt △MNH 中根据勾股定理计算出MH ＝2，由此得到OM ＝OH +HM ＝+2．解：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，∵线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点，∴∠MPN ＝90°，PN ＝PM =∴△PMN 为等腰直角三角形，∴MN =＝在Rt △OHN 中，∵∠NOH ＝30°，ON ＝8，∴NH =12ON ＝4，OH＝在Rt△MNH中，∵NH＝4，MN＝∴MH=2，∴OM＝OH+HM＝+2．故答案为2．总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连接CA，BD．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）连接BC，若OC＝1，AC BC＝3①判断△CDB的形状．②求∠ACO的度数．思路引领：（1）由题意可得∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，即可证△AOC≌△BOD；（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC＝90°，即可得△CDB是直角三角形；②由全等三角形的性质可求∠ACO的度数．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）（2）①如图，∵△AOC≌△BOD∴∠ACO＝∠BDO，AC＝BD=∵CO＝DO＝1，∠COD＝90°∴CD ODC＝∠OCD＝45°∵CD2+BD2＝9＝BC2，∴∠CDB＝90°∴△BCD是直角三角形②∵∠BDO＝∠ODC+∠CDB∴∠BDO＝135°∴∠ACO＝∠BDO＝135°总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．题型三倍长中线构造全等三角形典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF．（1）如果CA＝CB，连接CD．①求证：DE＝DF；②求证：AE2+BF2＝EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．由DE⊥DF，可证明∠CDE＝∠BDF．即可利用“ASA”证明△DCE≌△DBF，即得出DE＝DF；②由全等三角形的性质可知BF＝CE，结合题意可求出AE＝CF．在Rt△ECF中，再由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，即得出AE2+BF2＝EF2；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．易证△ADM≌△BDF（SAS），得出AM＝BF，∠MAD＝∠B，从而判断AM∥BC，即证明∠MAE＝∠ACB＝90°．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EF＝EM．最后在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，即得出AE2+BF2＝EF2．（1）①证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵点D是AB的中点，∴∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．又∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∵∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF，∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF．在△DCE与△DBF中，∠DCE=∠DBFCD=BD，∠CDE=∠BDF∴△DCE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF；②证明：由①可知△DCE≌△DBF，∴BF＝CE，∵CA＝CB，∴CA﹣CE＝CB﹣BF，即AE＝CF．在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）解：结论：AE2+BF2＝EF2．理由如下：如图，延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．∵点D为AB中点，∴AD＝BD，∵∠ADM＝∠BDF，DM＝DF，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴AM＝BF，∠MAD＝∠B，∴AM∥BC，∴∠MAE＝∠ACB＝90°．又∵DE⊥DF，DM＝DF，∴DE是FM的垂直平分线，∴EF＝EM，在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，∴AE2+BF2＝EF2．总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股典例5 [阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长．思路引领：（1）i）利用勾股定理得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，进而建立方程求BD，即可得出结论；ii）先利用勾股定理求出BC＝5，CD＝9，再分两种情况．即可得出结论；（2）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用面积求出DN，进而求出DD'，再用勾股定理得出D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，进而建立方程求出HB，即可得出结论．解：（1）i）设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12；ii）在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝9，当∠ABC为锐角时，如图1﹣1，BC＝BD+CD＝5+9＝14，当∠ABC为钝角时，如图1﹣2，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4；（2）如图2，连接DD'交AB于点N，则DD'⊥AB，过点D'作D'H⊥BD于H，在Rt△ABD中，BD＝＝＝；在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∵AB垂直平分DD'，∴D'B＝DB＝，D'D＝2DN，＝AD•BD＝，∵S△ABD∴＝•DN，∴DN＝，∴D'D＝2DN＝5，设HB＝m，则HD＝HB+BD＝m+，∵D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，∴（5）2﹣（m+）2＝（）2﹣m2，∴m＝，∴HB＝，∴HC＝HB+BD+CD＝++4＝15，D'H＝＝＝5，∴D'C＝＝＝5．总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD的长为（）A．B．C．D．思路引领：如图，作DH⊥AB于H．首先证明AC＝AH，DC＝DH，AC＝AH＝3，设DC＝DH＝x，在Rt△BDH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴∠CAD＝∠HAD，∠C＝∠AHD＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝3，CD＝DH，设CD＝DH＝x，∵AB＝5，∴BH＝AB＝AH＝5﹣3＝2，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，在Rt△HBD中，则有（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，∴CD＝，故选：A．总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于．思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE （HL），可得BG＝BD，设AE＝x，则ED＝15﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，设AE＝x，则ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故答案为：．总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型五勾股定理解决折叠问题典例6（2022•东莞市校级二模）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（）A．3B．4C D思路引领：作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF＝∠AOH＝∠AMD＝∠FEH，再证△ADM ≌△FHE得EF＝AM，根据勾股定理即可求出结果．解：由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM＝∠FHE＝90°，∴∠HAO+∠AOH＝90°、∠HAO+∠AMD＝90°，∴∠POF＝∠AOH＝∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP＝90°、∠HFE+∠FEH＝90°，∴∠POF＝∠FEH，∴∠FEH ＝∠AMD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝FH ＝5，在△ADM 和△FHE 中，∠ADM =∠FHE ∠AMD =∠FEH AD =FH，∴△ADM ≌△FHE （AAS ），∴EF ＝AM ==故选：D ．总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．如图，将一张长方形纸片沿着AE 折叠后，点D 恰好与BC 边上的点F 重合，已知AB ＝6 cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长度．解：由题意可知△ADE ≌△AFE ，所以AF ＝AD ＝10 cm ，EF ＝DE ．在Rt △AFB 中，根据勾股定理得BF 8(cm)，所以FC ＝BC －BF ＝2(cm)．设EC ＝x cm ，DE ＝DC －EC ＝(6－x )cm ，即EF ＝(6－x )cm ，在Rt △EFC 中，根据勾股定理有EF 2＝FC 2＋EC 2，即(6－x )2＝22＋x 2，解得x ＝83，所以EC ＝83cm ．题型六勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A （0，m ），B （n ，0）+n 2﹣10n +25＝0（1）求点A ，点B 的坐标；（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝PB的长．思路引领：（1）利用非负数的性质求得m、n的值，易得点A、B的坐标；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，证△OAC≌△OBD（ASA）（提示AO，BC八字形），得证等腰Rt△OCD，故BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），故PB ＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，所以∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7，（Rt△ANO，等腰Rt△APN），Rt△APM中，MA解：（1+n2﹣10n+25＝0，∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0∴m﹣5＝0且n﹣5＝0，则m＝5，n＝5，故A（0，5）B（5，0）；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，∵AO⊥BO，∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．又AC⊥PB，∠1＝∠2，∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）．在△OAC与△OBD中，∠AOC=∠BODOA=OB，∠OAC=∠OBD∴△OAC≌△OBD（ASA），∴OC＝OD，∴CD，∴BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，∴∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7．在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA===即PB总结提升：考查了三角形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质和配方法的应用，难度较大，难点是作出辅助线，构建全等三角形．针对训练1．（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），A(1 )．（1）求线段AB的长；（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你求出点P的坐标．思路引领：（1）利用两点间得距离公式可求AB；（2）分当AP＝AB时，当BP＝AB时，当BP＝PA时，结合等腰三角形的性质和两点间的距离公式即可求解．解：（1）∵点A，点B的坐标为（3，0），A(1，∴AB=（2）如图所示：当AP＝AB时，根据对称性，3﹣1＝2，1﹣2＝﹣1，∴P1（﹣1，0），同理当BP＝AB时，P2(3―0)，P3(3+0)，当BP＝PA时，设P4（x，0），则(x―1)2+(0―2=(3―x)2，解得：x=5 4，∴P4(54，0)，综上所述：点P坐标为（﹣1，0），(3―0)，(3+0)，(54，0)．总结提升：本题考查了点的坐标的求法，综合运用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式．。

人教版八年级数学上册期末专项训练资料(阅读理解)问题探究以及拓展延伸训练题

八数上册期末专项训练资料：（阅读理解）问题探究以及拓展延伸训练题1.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下右图： 23a b 3ab +2.阅读：计算252147920⨯+解：原式()()()=+⨯-+-25002150021211=-+-⨯+2225000021212211=-+250000421=249959解答下列问题：；（用含字母a b ，的式子表示）⑵.⑶.巧算3.阅读材料，分解因式：()()()()()()()--+=---=+---=-+-2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1；这种分解因式的方法叫分组分解法；分组分解法要有目的性，比如分组后能提取公因式，分组后能运用公式等，同时分组还要有预见性，要报证下一继续分解.请用分组分解法分解因式： ⑴.-+-3322a b a b ab = ； ⑵.-++22a b 2a 1 = .4.观察以下等式：第1个等式：=+211112 ；第3个等式：=+211326 ；第3个等式：=+2115315；第4个等式：=+2117428 ；第5个等式：=+2119545；……按照以上规律，解决下列问题：⑴.写出第6个等式: ;⑵.写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明.5.阅读下面的解题过程：已知=+2x 13x 1，求+24x x 1 的值. 解：又=+2x 13x 1知≠x 0，所以 +=+=2x 11x 3x x .又+⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭24222x 111x x 27x x x . 所以+24x x 1的值为：17 .上面这种解法称为“倒数法”；请利用“倒数法”解答：已知+=1x 4x ，求++242x x x 1= . ,,212018这212018++7.著名数学教育家C·波利亚有句名言：“发现问题比解决题更重要”.这句话启发我们：要想学好数学，就要善于观察、发现、探索问题的规律性本质，要有一双敏锐的眼睛；请观察下列算式，再填空：-=⨯-=⨯2223181,5382,；则：⑴. -=⨯22758；⑵. -=⨯22978；⑶.()-=⨯22985；⑷. ()-=⨯2138.⑸.通过观察归纳，并用含字母n 的式子表示这一规律，并进行验证.8.某装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A,B 型板材若干块，A 型板材规格是⨯a b ,B 型板材规格为⨯b b ，现在只能够得规格是⨯150b 的标准板材（单位：cm ） ⑴.若设==a 60cm,b 30cm ，一张标准板材尽可能的材出A 型、B 型板材，共有下表三种裁法，图1是裁法一的裁剪示意图.则表中，=m ，=n .⑵.为装修需要，小明家又购买了若干C 型板材,其规格是⨯a a ，并做成如图2的背景墙，请写出图中所表示的等式： .⑶.若规定一个二次三项式++22a 4ab 3b ，试用拼图的方式将其分解因式（请仿照图2，在几何图形中标上有关数量）10.仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式()±+=±222a 2ab b a b 以及()±2a b 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用.比如：已知x,y 满足-+++=22x 2x y 6x 100，求x,y 的值 .我们可以这样处理：解：∵=+1091 （拆项）∴()()-++++=22x 2x 1y 6x 90 ∴()()-++=22x 1y 30（配方）又()()-≥+≥22x 10,y 30 ∴-=x 10 ，+=y 30∴==-x 1,y 3上面主要是采用了拆项后配成完全平方的办法，再利用非负数的性质为桥梁来解决问题 . ⑴.若又++-+=22x 4x y 2y 50 ⑵.已知x,y 满足-+-225x 4xy y 6x ⑶.试求+-242x x 的最大值.11.我们都知道，在本期学习的因式分解中，只要没有特别加以说明都是指在有理数范围内分解因式，比如把-4a 9分解因式：()()-=+-422a 9a 3a 3，这样就达到题目的要求了；但如果要求在实数范围内将 -4a 9分解因式，由于=23 ，所以-4a 9在实数范围内还可以继续分解的结果为()(+2a 3a a .有个这样的一个题目：在实数范围内将+-2x 2x 5分解因式.小明是这样做的：()(+-=++--=+-=+++222x 4x 2x 4x 442x 26x 2x 2.小明去问老师是否可以这样做？老师说这种做法也是对的，并称赞小明在现有的知识条件下，能想到用这种添拆项的技巧解题实属难能可贵，转化是数学最重要的思想，这也是一种转化！请同学们根据上面的阅读材料按要求解答下列各题：⑴.多项式-+23ax 6ax 3a 分解因式为； ⑵.多项式-22x 3在实数范围内分解因式为； ⑶.在实数范围内将下列各式分解因式（写出过程）： ①.--22ay 12ay 2a ； ②.()()-+--222x 2x 2x 2x 3.12.理解和规律拓展探究题：已知：()()-+=-21x 1x 1x ，()()-++=-231x 1x x1x ，()()-+++=-2341x 1x xx 1x⑴.猜想填空：()()-+++++23n 1x 1x x x x = ；⑵.根据你的猜想进行下列运算：图 2ab b b 图 1①.()()-+++++++999832x 1xx x x x 1；②.+++++239912222： ③. ++++23n 2222.13.已知下列关于x 的分式方程：方程1:=-12x 1x ；方程2:=+23x x 1；方程3:=++34x 1x 2； …… 方程n ： .⑴.填空：方程 1的解为，方程2的解为； ⑵.解分式方程3；⑶.根据上述方程的规律及解的特点，直接写出方程n 及它的解.14.阅读解答：=-=⨯11111222； +=-+-=-=⨯⨯111111211122322333；…… 根据上面的材料解答：⑴.填空：①.()()()=-+111x x 1； ②.()()()()=---111x 1x 2；⑵.计算：()()()()()()()()()++++++++++++++11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2019x 2020x 2020x 2021.15. 阅读下面材料：例.解方程：-=-----1111x 1x 2x 3x 4 解：()()()()()()()()-----=---------x 2x 1x 4x 3x 1x 2x 1x 2x 3x 4x 3x 4（分别通分）()()()()=----11x 1x 2x 3x 4（整理）()()()()--=--x 1x 2x 3x 4（交叉相乘）解得：=5x 2（解整式方程） =5x 2时，()()()()----≠x 1x 2x 3x 40（验根）所以原方程的解为：=5x 2.（写解）借鉴上面的解法解方程： ⑴.-=-++++1111x 5x 6x 7x 8； ⑵.+=+++++1111x 5x 6x 7x 8.16.数学课上，老师出示了如下的题目：在等边⊿ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =,如图①，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴.特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时，如图②，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“> ”, “< ”或“= ”）. ⑵.特列启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是AE DB （（填“> ”, “< ”或“= ”）. 理由如下：如图③，过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F （请你完成以下解答过程）. ⑶.拓展讨论，设计新题在等边等边⊿ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED BC =,若⊿ABC 的边长为1 ，AE 2=,求CD 的长（请直接写出结果．．．．．．．）.17. 已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且=BM CN ,直线BN 与AM 相交于Q 点．就下面给出的三种情况（如图①、②、③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 等于多少度？并利用图③证明你的结论．C A ED 图 ① D EA 图 ② D A E C F 图 ③QNMABC图③QNMABC图②QNMABC图①18. 已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，BAD BCE90∠=∠= ,M为DE 的中点，过点E与AD的平行的直线EN交射线AM于点N.⑴.当A B C、、三点在同一直线上时，如图1，求证：M为AN的中点；⑵.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点在同一直线上时，如图2；求证：△CAN 为等腰直角三角形.⑶.将图1中△BCE绕点B旋转，当A B E、、三点不在同一直线上时，如图3，⑵中的结论是否仍然成立（不需证明）？90,点D在90,90,直角顶点22. 直线MN与PQ互相垂直，垂足为点O,点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动,点A,B不与点O重合.⑴.如图1，AD平分∠BAO,BC平分∠ABO;若∠=BAO40 ,求∠ADB的度数；⑵.如图2，AD平分∠BAO,BC平分∠ABM,BC的反向延长线交AD于点D.①.若∠=BAO40 ,则∠ADB= （直接写结果，不必说理）；②.点A,B在运动过程中，∠ADB的度数是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明理由.⑶.如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AD，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D,F;在△ADF中，如果一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数.DA图3D图2D图1图2图1图1图1图2图 1图 2。

北师大版八年级数学上册难点探究专题利用二元一次方程组解决较复杂的问题测试卷

难点探究专题：利用二元一次方程组解决较复杂的问题◆类型一图形问题1．(2016·乐陵模拟)如图，将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠BAD 比∠BAE 大48°.设∠BAD 和∠BAE 的度数分别为x °、y °，那么x 、y 所适合的一个方程组是( )A.⎩⎨⎧y －x ＝48，y ＋x ＝90B.⎩⎨⎧y －x ＝48，y ＝2xC.⎩⎨⎧y －x ＝48，y ＋2x ＝90D.⎩⎨⎧x －y ＝48，x ＋2y ＝90第1题图第2题图 2．如图，5个一样大小的小矩形拼成一个大的矩形，如果大矩形的周长为14cm ，则小矩形的周长为◆类型二方案问题一、利用方程组解决方案问题 3．某景点的门票价格规定如下表：某校八年级(1)、(2)两班共100多人去游览该景点，其中(1)班不足50人，(2)班多于50人，如果两班都以班为单位分别购票，则一共付款1126元．如果以团体购票，则需要付费824元，问：(1)两班各有多少名学生？(2)如果你是学校负责人，你将如何购票？你的购票方法可节省多少钱？二、结合一次函数解决方案问题 4．某中学需要添置某种教学仪器，方案一：到商家购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x 件，方案一与方案二的费用分别为y 1、y 2(单位：元)．(1)分别写出y 1、y 2的函数关系式； (2)当添置仪器多少件时，两种方案的费用相同？(3)若学校需要添置仪器50件，问应采用哪种方案？说明理由．5．某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x (分)与费用y (元)之间的函数关系如图所示．(1)有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元；(2)分别求出①，②两种收费方式中y 与自变量x 之间的函数表达式；(3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．购票人数1～50人51～100人100人以上每人门票价12元 10元8元参考答案与解析1．D 2．6 解析：设小矩形的宽为x cm ，长为y cm ，则⎩⎨⎧2x ＝y ，2（3x ＋y ＋y ）＝14，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.则小矩形的周长为6cm.3．解：(1)设八年级(1)班有x 人，(2)班有y 人，由题意得⎩⎨⎧12x ＋10y ＝1126，8x ＋8y ＝824，解得⎩⎨⎧x ＝48，y ＝55.答：八年级(1)班有48人，(2)班有55人； (2)∵1126＞824，∴选择团体购票．团体购票节省的费用为1126－824＝302(元)． 4．解：(1)y 1＝8x ，y 2＝4x ＋120； (2)根据题意得⎩⎨⎧y ＝8x ，y ＝4x ＋120，解得 ⎩⎨⎧x ＝30，y ＝240，∴当添置仪器30件时，两种方案所需费用相同； (3)将x ＝50分别代入y 1＝8x ，y 2＝4x ＋120，得y 1＝50×8＝400，y 2＝4×50＋120＝320.∵y 1＞y 2，∴当添置50件仪器时，选择方案二． 5．解：(1)① 30 (2)①，②两种收费方式中y 与x 的函数表达式分别为y 1＝0.1x ＋30，y 2＝0.2x ； (3)联立得方程组⎩⎨⎧y ＝0.1x ＋30，y ＝0.2x ，解得⎩⎨⎧x ＝300，y ＝60.故当通话时间少于300分钟时，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间为300分钟时，选择通话方式①，②花费一样．掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。

苏科版八年级数学上册1-3探索三角形全等的条件同步知识点分类练习题(含答案)-doc

苏科版八年级数学上册1.3探索三角形全等的条件同步知识点分类练习题一．三角形的稳定性1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A．0根B．1根C．2根D．3根2．如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有．3．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为．4．有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具，两根木条连接处钉一颗钉子，但他发现这个模具老是走形，为什么？如果他想把这个模具固定，再给一根木条给你，你怎么把它固定下来，画出示意图，并说出理由．二．全等三角形的判定5．根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝46．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，添加一个条件，使△ABE≌△ACD（填一个即可）．7．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．8．如图，AD，BC相交于点O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求证：△AOC≌△BOD．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P 从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为秒时，△PMC与△QNC全等．10．证明命题“全等三角形的面积相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．11．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝5，动点M从A点出发沿线段AD﹣DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD﹣DA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．ME⊥PQ于点E，NF⊥PQ于点F，设运动的时间为t秒．（1）在运动过程中当M、N两点相遇时，求t的值．（2）在整个运动过程中，求DM的长．（用含t的代数式表示）（3）当△DEM与△DFN全等时，请直接写出所有满足条件的DN的长．13．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．14．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3时，BP＝ cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．15．八年级数学社团活动课上，《致远组》同学讨论了这样一道题目：如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE．试说明：∠ADC＝∠AEB．其中一个同学的解法是这样的：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC＝∠AEB．这种解法遭到了其他同学的质疑．理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出正确的解法．三．全等三角形的判定与性质16．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个17．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（）A．6B．7C．8D．918．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AB＝CD，AC＝5，则BD的大小为．19．如图，△ABC和△ADE的顶点交于一点A，已知∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE．求证：∠B＝∠D．20．已知：如图，在△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的高，且BE＝CD．求证：AB＝AC．21．如图，已知△ABC，作射线AP∥BC，E、F分别为BC、AP上的点，且AF＝CE．连接EF交AC于点D，连接BD并延长，交AP于点M．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）求证：AM＝BC．22．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，点E在BC上，连接CD、DE，AD＝BE，∠CDE＝∠A．（1）求证：DC＝ED；（2）如图2，当∠ACB＝90°时，作CH⊥AB于H，请直接写出图2中的所有等腰三角形．（△ABC除外）23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，D是BC上一点，且∠ADC＝60°，CF⊥AD于F，AE⊥BC于E，AE交CF于G．（1）求证：△AFG≌△CFD；（2）若FD＝1，AF＝，求线段EG的长．24．如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）在△A'B'C'中，作出∠B'A'C'的角平分线A'D'交B'C'于点D'；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AD＝A'D'，求证：BD＝B'D'．25．如图所示，在△ABC中，AD为中线，过C作CE⊥AD于E．（1）如图1，若∠B＝30°，∠A＝90°，AC＝BD，AE＝1，求BC的长．（2）如图2，延长DA至F，连接FC．若∠F＝∠BAD，求证：AF＝2DE．26．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK ＝DG+KG．27．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．28．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案一．三角形的稳定性1．解：如图所示：要使这个木架不变形，利用三角形的稳定性，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．2．解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，故答案为：稳定性．3．解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．4．解：∵多边形ABCD是四边形，四边形具有不稳定性，∴这个模具老是走形，如图所示；在B、D处钉一颗钉子，把BD连接，可以把把它固定下来，理由是三角形具有稳定性．二．全等三角形的判定5．解：A：三边确定，符合全等三角形判定定理SSS，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，B：已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故不符合题意，C：已知两边及其中一边的对角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意，D：已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故不符合题意．故选：C．6．解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD（或CE＝BD）时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故答案为：AE＝AD（或CE＝BD或∠AEB＝∠ADC）．7．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∵DA平分∠BDE．∴∠ADE＝∠ADB，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）．8．证明：∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS）．9．解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边CP＝CQ，分两种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，∵AP＝t，BQ＝2t，∴CP＝AC﹣AP＝8﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝10﹣2t，∵CP＝CQ，∴8﹣t＝10﹣2t，∴t＝2；②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，∵CP＝AC﹣AP＝8﹣t，CQ＝2t﹣10，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，故答案为：2或6．10．解：如下图作AD⊥BC，作A'D⊥BC'，垂足分别为D，D'，∵△ABC≌△A'B'C'（已知），∴AB＝A'B'，BC＝B'C'（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠B（全等三角形的对应角相等），在△ABD和△A'B'D'中，∵，∴ABD≌△A'B'D'（AAS），∴AD＝A'D'（全等三角形的对应边相等），∴S△ABC＝S△A'B'C'．11．证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．12．解：（1）根据题意得t+3t＝3+5，解得t＝2，即t的值为2；（2）当0≤t≤3时，DM＝3﹣t；当3＜t≤8时，DM＝t﹣3；（3）∵ME⊥PQ，NF⊥PQ，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠DME＝∠NDF，∴当DM＝DN时，△DEM与△DFN全等，当0≤t≤时，3﹣t＝5﹣3t，解得t＝1，此时DN的长为2；当＜t≤3时，3﹣t＝3t﹣5，解得t＝2，此时DN的长为1，当3＜t≤时，3t﹣5＝t﹣3，解得t＝1，不合题意舍去；＜t＜8时，3＝t﹣3，解得t＝6，此时DN的长为3．综上所述，DN的长为1或2或3．13．解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS）．14．解：（1）当t＝3时，点P走过的路程为：2×3＝6，∵AB＝4，∴点P运动到线段BC上，∴BP＝6﹣4＝2，故答案为：2；（2）∵矩形ABCD的面积＝4×6＝24，∴三角形ABP的面积＝×24＝8，∵AB＝4，∴△ABP的高为：8×2÷4＝4，如图，当点P在BC上时，BP＝4，∴t＝（4+4）÷2＝4，当点P在AD上时，AP＝4，∴t＝（4+6+4+2）÷2＝8，∴当t＝4 s或8 s时，△ABP的面积为长方形面积的三分之一；（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90o，DQ＝5，∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，①当点P运动到P1时，CP1＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CDP1，∴点P的路程为：AB+BP1＝4+1＝5，∴t＝5÷2＝2.5，②当点P运动到P2时，BP2＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP2，∴点P的路程为：AB+BP2＝4+5＝9，∴t＝9÷2＝4.5，③当点P运动到P3时，AP3＝DQ＝5，此时△CDQ≌△ABP3，∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，∴t＝15÷2＝7.5，④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CDP4，∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，∴t＝19÷2＝9.5，综上所述，时间的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．15．证明：因为∠BAC是钝角，故过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F，G，在△ABF与△ACG中，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴BF＝CG，在Rt△BEF和Rt△CDG中，∴Rt△BEF≌Rt△CDG（HL），∴∠ADC＝∠AEB．三．全等三角形的判定与性质16．解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC＝44°，故①正确，∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝44°，故③正确，无法证明AD＝AC，故④错误，综上，①②③正确，故选：B．17．解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故选：A．18．解：∵AC⊥BC，BD⊥BC，∴∠ABC＝∠DBC＝90°，在Rt△ACB和Rt△DBC中，，∴Rt△ACB和Rt△DBC（HL），∴BD＝AC＝5，故答案为：5．19．证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠CAE﹣∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠D．20．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AB＝AC．21．证明：（1）∵AP∥BC，∴∠AFD＝∠CED，∠FAD＝∠ECD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（ASA）；（2）由（1）知，△ADF≌△CDE，∠FAD＝∠ECD，∴AD＝CD，在△ADM和△CDB中，，∴△ADM≌△CDB（ASA），∴AM＝BC．22．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠CDE+∠BDE＝∠A+∠ACD，∵∠CDE＝∠A，∴∠BDE＝∠ACD，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴DC＝ED．（2）解：图2中的所有等腰三角形有△ACH，△BCH，△BCD，△DCE．理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CH⊥AB，∴∠ACH＝∠BCH＝45°，∴△ACH和△BCH都是等腰三角形，由（1）可知△DCE是等腰三角形，∵∠CDE＝∠A＝45°，∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，∵∠B＝45°，∴∠CDB＝67.5°，∴∠DCB＝∠CDB，∴△BCD是等腰三角形．23．（1）证明：∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝60°，∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAC＝45°，又∵CF⊥AD，∴∠AFC＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠DAC＝45°，∴AF＝CF，∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴∠CDF+∠DCF＝∠CGE+∠DCF＝90°，∴∠CDF＝∠CGE，∵∠CGE＝∠AGF，∴∠AGF＝∠CDF，∵在△AFG和△CFD中，，∴△AFG≌△CFD（AAS）；（2）解：在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，∴CD＝2DF＝2，∵△AFG≌△CFD，∴FG＝DF＝1，∴CF＝AF＝，∴CG＝CF﹣FG＝﹣1，在Rt△CGE中，∠AEC＝90°，∠FCD＝30°，∴EG＝CG＝．24．（1）解：如图所示：（2）证明：∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∴∠A＝∠A'，∵AD平分∠BAC，∠B'A'C'的角平分线A'D'，∴∠BAD＝∠B'A'D'，∵AD＝A'D'，∴△BAD≌△B'A'D'（AAS），∴BD＝B'D'．25．解：（1）∵∠BAC＝90°，AD为中线，∴BD＝CD＝AD＝BC，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAC＝60°，∵CE⊥AD，∴∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝2，在Rt△ABC中，BC＝2AC＝4；（2）延长ED到G，使DG＝DE，则EG＝2DE，连接GB，如图：∵AD为中线，∴BD＝CD，在△BDG和△CDE中，，∴△BDG≌△CDE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CED＝90°＝∠CEF，在△ABG和△FCE中，，∴△ABG≌△FCE（AAS），∴AG＝EF，∴AG﹣AE＝EF﹣AE，即EG＝AF，∵EG＝2DE，∴AF＝2DE．26．证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，，∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，，∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．27．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）理得，△BDA≌△EAC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．28．解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里．。

人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

八年级数学探究性题目

数学探究性题目1．时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。

问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？什么时候两针互相垂直？什么时候两针在一条直线上？如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。

2．揭穿转摊的骗术在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。

转摊就是其中之一。

摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。

，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。

圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。

你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。

参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。

为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？类似的还有1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。

平面直角坐标系中的规律探究问题(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册学与练(北师大)

第04讲难点探究专题：平面直角坐标系中的规律探究问题目录【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】..................................................................................................1【类型二平面直角坐标系中图形翻转问题】..................................................................................................7【类型三平面直角坐标系中新定义型问题】 (11)【类型一平面直角坐标系中动点移动问题】例题：（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，依次得到点1(01)P ，，2(11)P ，，3(10)P ，，4(11)P ，-，5(21)P ，-，…，则2023P 的坐标是．【答案】(674,1)【分析】由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…，当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3nnP ，，根据20223674÷=得2022(6740)P ，，点按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，则20236=3371÷ ，根据点2023P 在点2022P 的上方，即可得．【详解】解：由图可得，1(01)P ，，6(24)P ，，9(30)P ，，12(40)P ，，…当n 能够被3整除时，点坐标为(0)3n nP ，，∵20223674÷=，∴2022(6740)P ，，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循环，∴20236=3371÷ ，∵点2023P 在点2022P 的上方，∴2023(674,1)P 故答案为：(674,1)．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键找出图形的变化规律．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A 从()10，出发，向上运动1个单位长度到达点B ()11，，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C ()02，，D ()22，，此时称动点A 完成第一次跳跃；再分别从C ，D 点出发，每个点重复上面的运动，到达点G ()14-，，H ()14，，I ()34，，此时称动点A 完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（）A ．()20234046，B ．()202320232，C ．()20244046，D ．()202320242，【答案】C【分析】根据题意找到点坐标变化的规律即可．【详解】解：由题意可得：A ()10，、D ()22，、I ()34，．．．每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1，则动点A 完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为202324046⨯=，横坐标为：202312024+=故选：C ．【点睛】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．2．（2023春·重庆·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(1)0，，(2)0，，(21)，，(32)，，(3)1，，(30)，，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为()A ．(9)2，B ．(93)，C ．(9)4，D ．(9)5，【答案】D【分析】由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，由()881362⨯+=，可知第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，进而可求点坐标．【详解】解：由题意知，把第一个点(1)0，作为第一列，(2)0，，(21)，作为第二列，(32)，，(3)1，，(30)，作为第三列，进而可推导一般性规律为：第n 列有n 个数，则n 列共有()12n n +个数，且奇数列的点的顺序由上到下，偶数列点的顺序由下到上，∵()881362⨯+=，∴第40个点的坐标在第9列，从上往下第4个点，坐标为()95，，故选：D ．【点睛】本题考查了点规律的探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．3．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形，曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线”，其中 12C C ， 23C C ， 34C C ， 45C C ，…的圆心依次按O ，A ，B ，1C 循环．当1OA =时，点2023C 的坐标是()A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合同一规律，探究出3C ，7C ，11C ，...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，，，67(506)1()C C --，，，，…点C 的位置每4个一循环，202350543=⨯+，∴2023C 在第三象限，与3C ，7C ，11C ，…符合规律()11n --+，，∴2023C 坐标为)12(022--，．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2023P 的坐标为．【答案】(1012,1012)--【分析】对奇数点，偶数点分开讨论，找出点坐标与序数的关系，总结规律求解．【详解】解：()11,1P --，1112+-=-；2(1,1)P ，212=；3(2,2)P --，3122+-=-；4(2,2)P ，422=；……当n 为奇数时，11,22n n n P ⎛⎫⎪⎝++-⎭-；当n 为偶数时，,22n n n P ⎛⎫⎪⎝⎭；∴20232023120231(,)22P ++--，即2023(1012,1012)P --．故答案为：(1012,1012)--．【点睛】本题考查点坐标规律探索，由开始的几个点坐标总结规律是解题的关键，注意分开讨论．5．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()11-，，第2次接着运动到点()20-，，第3次接着运动到点()32-，，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P 的坐标是．【答案】()20251-，【分析】设动点P 运动了n 次，则点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．【详解】解：设动点P 运动了n 次．观察图形中点的坐标可知：点P 的横坐标为n -，点P 的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，⋅⋅⋅⋅⋅⋅重复出现，每4个数为一个循环．∵202545061÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴当点P 经过2025次运动后，横坐标为2025-，纵坐标为1．即点P 的坐标为()20251-，．故答案为：()20251-，．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的规律，根据已知点的坐标归纳概括出点的坐标的规律是解题的关键．6．（2023春·四川内江·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，(1,1),(1,1),(1,2),(1,2)A B C D ----把一条长为a 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A →→→→⋅⋅⋅的规律紧绕在四边形ABCD 的边上．（1）当12a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是；（2）当2023a =时，细线另一端所在位置的点的坐标是．【答案】()1,1-()1,0-【分析】根据点的坐标，求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．【详解】解：∵()()()()1,11,11,21,2A B C D ----，，，，∴2323AB BC CD DA ====，，，，∴四边形ABCD 的周长为232310+++=，∴细线绕一圈的长度为10，∵121012÷= ，∴当12a =时，细线另一端所在位置的点与点B 重合，坐标为：()1,1-；∵2023102023÷= ，∴当2023a =时，细线另一端所在位置的点在点B 下方1个单位长度处，即为：()1,0-；故答案为：()1,1-，()1,0-；【点睛】本题考查坐标与图形，点的规律探究，解题的关键是求出四边形ABCD 的周长。

专题平面直角坐标系中点的规律探究(精选题)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第5章平面直角坐标系》专题训练平面直角坐标系中点的规律探究一、选择题(共10题)1．（2023秋•茂南区期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点（1，0），第2次运动到点（1，1），第3次运动到点（2，1）……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是（）A．（1011，1010）B．（1011，1011）C．（1012，1011）D．（1012，1012）【分析】根据吗，每次小蚂蚁运动的位置所对应的坐标，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，小蚂蚁第1次运动到点（1，0）；第2次运动到点（1，1）；第3次运动到点（2，1）；第4次运动到点（2，2）；第5次运动到点（3，2）；第6次运动到点（3，3）；…由此可见，小蚂蚁运动2n（n为正整数）次，所在位置的坐标为（n，n），且下一次运动所对应的点的坐标为（n+1，n）．所以第2022次运动到点（1011，1011），则第2023次运动到点（1012.1011）．故选：C．【点评】本题考查点的运动规律，能根据题中小蚂蚁的运动方式发现第2n次运动后所对应点的坐标为（n，n）是解题的关键．2．（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到87秒时，点P的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，1）D．（1，2）【分析】根据坐标可知四边形ABCD为正方形，边长为2，周长为8．点P速度为1秒/每单位，运动87秒，求出路程．再求出路程中经过多少个完整的正方形ABCD，剩下的路程在正方形中运动找出终点即可得出点P坐标．【解答】解：∵A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，正方形ABCD的周长＝2×4＝8．∵Vp＝1s/每单位，∴Sp＝1×87＝87．87÷8＝10…7．∵2+2+2＝6，7﹣6＝1∴点P在线段AD上且为线段AD中点．∴P（1，2）．故选：D．【点评】本题以点的运动为背景考查了点的坐标规律，考核了学生对于运动的归纳总结能力，解题关键是求出正方形的边长，确定点P的位置．属于中考常考题型．3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（）A．（2022，0）B．（2023，0）C．（2023，2）D．（2023，﹣2）【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，继而求得答案．【解答】解：观察图形可知，点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，2023÷4＝505……3，所以点A2023坐标是（2023，2）．故选：C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．4．（2023春•平潭县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：P n的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．【点评】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．5．（2023春•龙凤区期中）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D （3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（）处．A．（﹣1，1）B．（1，1）C．（2，1）D．（3，1）【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD及矩形ABCD的周长，由4044÷14商是288，余数是12，可得出当t＝2022秒时瓢虫在点D左侧2个单位处，再结合点D的坐标即可得出结论．【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，＝2（AB+AD）＝14，∴C矩形ABCD瓢虫2022秒行驶的路程为：2022×2＝4044，∵4044÷14商是288，余数是12，∴当t＝2022秒时，瓢虫在点D左侧2个单位处，∴此时瓢虫的坐标为（1，1），故B正确．故选：B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t＝2022秒时瓢虫在点D处，是解题的关键．6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为（a1，a2），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8）…，每个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a2020+a2021+a2022的值为（）A．2021B．2022C．1011D．1012【分析】观察已知点的坐标可得，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，进而可得结果．【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（2，﹣1），C（3，2），D（4，﹣2），……，即a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝﹣1，a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝﹣2，……，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，∴a2021＝﹣505，2023÷4＝505……3，∴a2022＝506，故a2020+a2021+a2022＝1012，故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，探索数字与字母规律是解题关键．7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（）A．（﹣1012，−20232）B．（﹣1011，20232）C．（﹣1011，−20232）D．（﹣1012，−20212）【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，∵2022÷4＝505……2，∴点C2022在第二象限，∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，32），点C6的坐标为（﹣3，72），点C10的坐标为（﹣5，112），……∴点∁n的坐标为（−2，r12），∴当n＝2022时，−2=−20222=−1011，r12=2022+12=20232，∴点C2022的坐标为（﹣1011，20232），故选：B．【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（）A．（2021，2）B．（2020，2）C．（2021，﹣2）D．2020，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵A6（6，0），∴OA6＝6，∵2021÷6＝336…5，∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点A2021所处的循环组是解题的关键．9．（2023•莱阳市二模）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧12 ，23 ，34 ⋯，得到一组螺旋线，连接P1P2，P2P3，P3P4，⋯，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点P1，P2，P3的坐标分别为（﹣1，0），（0，1），（1，0），则点P7的坐标为（）A．（6，1）B．（8，0）C．（8，2）D．（9，﹣2）【分析】观察图象，找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，即可解决问题．【解答】解：观察发现：P1（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（﹣1，﹣2）；P4（﹣1，﹣2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣4，1）；P5（﹣4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）．根据斐波那契数，P6（1，6）应先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律．考查了学生数形结合的能力，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，推出答案即可．在做题时一定要理解题意．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）【分析】观察图形可知，横坐标相等的点的个数与横坐标相同，根据求和公式求出第100个点的横坐标以及在这一横坐标中的所有点中的序数，再根据横坐标是奇数时从上向下排列，横坐标是偶数时从下向上排列，然后解答即可．【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，…，横坐标是n的点共有n个，1+2+3+…+n=or1)2，当n＝13时，13×(13+1)2=91，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以，第100个点的横坐标是14，∵100﹣91＝9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，∵第142=7个点的纵坐标是0，∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是（14，2）．故选：D．【点评】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．二、填空题（共10题）11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，∵2022÷4＝505……2，∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，∴此时P（﹣2022，0）．故答案为：（﹣2022，0）．【点评】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…则点A2022的坐标是．【分析】根据题意可以发现规律：A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），根据规律求解即可．【解答】解：根据题意可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴点A2022的坐标为（506，﹣506），故答案为：（506，﹣506）．【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为．【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n（3032，1010）．﹣1），由2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，（3032，1010），∴A2n﹣1故答案为（3032，1010）．【点评】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．14．（2023秋•德州期中）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2023的坐标为．【分析】按照反弹规律依次画图即可．【解答】解：如图：根据反射角等于入射角画图，可知小球从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（2，4），再反射到P5（4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，∵2023÷6＝337……1，∴点P2023的坐标是（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律．15．（2023春•金乡县期中）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是．【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2024次碰到球桌边时小球的位置．【解答】解：由图可得，点（1，0）第一次碰撞后的位置的坐标为（0，1），第二次碰撞后的位置的坐标为（3，4），第三次碰撞后的位置的坐标为（7，0），第四次碰撞后的位置的坐标为（8，1），第五次碰撞后的位置的坐标为（5，4），第六次碰撞后的位置的坐标为（1，0），…，∴小球位置每6次为一个周期依次循环，∵2024÷6＝337…2，∴小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是（3，4），故答案为：（3，4）．【点评】本题考查点坐标规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：∵2022÷4＝505…2，∴点P2022在第二象限，∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…，6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，∴P2022（﹣505，506）．故答案为：（﹣505，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，A n，若点A1的坐标为（3，1），则点A2022的坐标为．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点A2022的坐标即可．【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2022÷4＝505余2，∴点A2022的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；故答案为：（0，4）．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．18．（2023秋•沈河区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，若已知点A（3，0），B（0，4），则点A2023的坐标为．【分析】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．【解答】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理，得AB＝5，根据旋转可知：∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点B2（12，4），A1（12，3）；继续旋转得，B4（2×12，4），A3（24，3）；B6（3×12，4），A5（36，3）…，发现规律：A2023（12×2023+12，3）．所以点A2023的坐标为（12144，3）．故答案为：（12144，3）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC 沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••，发现4次一个循环，∵2022÷4＝505.....2，∴A2022的纵坐标与A2相同，横坐标＝505×6+5＝3035，∴A2022（3035，0），故答案为：（3035，0）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．20．（2023•潍坊开学）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C，D四点的坐标分别是A（1，3），B（1，1），C（3，1），D（3，3）、动点P从点A出发，在正方形边上按照A→B→C→D→A→…的方向不断移动，已知P的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒点P的坐标是．【分析】根据点P的移动方式，可得出第2023秒点P的位置，进而解决问题．【解答】解：因为点P从点A出发，在正方形边上按照A→B→C→D→A→…的方向不断移动，且P的移动速度为每秒1个单位长度，所以第1秒点P的坐标是（1，2）；第2秒点P的坐标是（1，1）；第3秒点P的坐标是（2，1）；第4秒点P的坐标是（3，1）；第5秒点P的坐标是（3，2）；第6秒点P的坐标是（3，3）；第7秒点P的坐标是（2，3）；第8秒点P的坐标是（1，3）；第9秒点P的坐标是（1，2）；…由此可见，点P的坐标每8秒循环一次，又2023÷8＝252余7，所以第2023秒点P的坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查点的运动规律，能根据点P的移动方式每8秒一循环是解题的关键．三、解答题（共12题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4，A6，A12，A14．（2）按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为，点A4n+2的坐标为．（3）动点A从点A2022到点A2023的移动方向是．（填“向上”、“向右”或“向下”）【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A4（2，0），A6（3，1），A12（6，0），A14（7，1）；故答案为：（2，0），（3，1），（6，0），（7，1）；（2）根据（1）发现：点A4n的坐标（n为正整数）为（2n，0）；点A4n+2的坐标为（2n+1，1）；故答案为：（2n，0），（2n+1，1）；（3）因为每四个点一个循环，所以2023÷4＝505…3．所以从点A2022到点A2023的移动方向是向下．故答案为：向下．【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…（1）填写下列各点的坐标：P9（、），P12（、），P15（、）（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；（3）点P60的坐标是（、）；（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，即动点运动三次与横轴相交，故答案为P9（3，0），P12（4、0），P15（5、0）．（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20故点P60的坐标是（20、0）故答案为（20、0）．（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律∴点P210在x轴上，又由图象规律可以发现当动点在x轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，而点P210是在x轴上的偶数点所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向上的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．23．（2023春•凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设P n（x n，y n），n＝1，2，3，…．（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；（2）计算x1+x2+…+x8的值；（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．【分析】（1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可；（2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可；（3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果．【解答】解：（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6的值分别为：1，﹣1，﹣1，3，3，﹣3；（2）∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；∴x1+x2+…+x8＝2+2＝4；（3）∵x1+x2+x3+x4＝1﹣1﹣1+3＝2；x5+x6+x7+x8＝3﹣3﹣3+5＝2；…x97+x98+x99+x100＝2…∴x1+x2+…+x2003+x2004＝2×（2004÷4）＝1002．【点评】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．23．（2022秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示．（1）请直接写出A5、A6、A7、A8的坐标；（2）根据规律，求出A2022的坐标．【分析】（1）看图观察即可直接写出答案；（2）根据正方形的性质找出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”，依此即可得出结论．【解答】解：（1）A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2）；（2）观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n 为自然数），∵2022＝505×4+2，∴A2022（﹣506，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．（1）该质点移动到（1，1）的时间为秒，移动到（2，2）的时间为秒，移动到（3，3）的时间为秒，…，移动到（n，n）的时间为秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为秒．【分析】（1）根据图形可得出质点移动到（1，1），（2，2），（3，3）的时间，根据规律可得出质点移动（n，n）的时间；（2）现有（1）的结论得出（7，7）的时间，再加上3即可得出移动到（7，4）的时间．【解答】解：（1）由图可知移动到（1，1）的时间为2秒，移动到（2，2）的时间为6秒，移动到（3，3）的时间为12秒，根据变化规律可得移动到（n，n）的时间为n（n+1），故答案为：2，6，12，n（n+1）；（2）由（1）可得移动到（7，7）的时间为7×8＝56，56+3＝59，∴移动到（7，4）的时间为59秒，故答案为59．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能找到质点移动到（n，n）的时间的规律．25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为，A n的坐标为用含n的代数式表示；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形个，大正方形个．【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【解答】解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3，∴A 3（5+3，2），A n （2+3+3+⋅⋅⋅+3︸(K1)个3，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变成△OA 3B 3，已知A （1，5），A 1（2，5），A 2（4，5），A 3（8，5）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA 3B 3变成△OA 4B 4，则A 4的坐标是，B 4的坐标是．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是，B n 的坐标是．【分析】（1）对于A 1，A 2，A n 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是5，同理B 1，B 2，B n 也一样找规律．（2）根据第一问得出的A 4的坐标和B 4的坐标，再此基础上总结规律即可知A n 的坐标是（2n ，5），B n的坐标是（2n+1，0）．【解答】解：（1）因为A（1，5），A1（2，5），A2（4，5），A3（8，5）…纵坐标不变为5，同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，5）；因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；故答案为：（16，5），（32，0）；（2）由上题第一问规律可知A n的纵坐标总为5，横坐标为2n，B n的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，∴A n的坐标是（2n，5），B n的坐标是（2n+1，0）．故答案为：（2n，5），（2n+1，0）．【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…∁n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，∁n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．【分析】（1）根据点的坐标规律解答即可；（2）根据点的坐标规律解答即可；（3）根据四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5计算即可．【解答】解：（1）A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．（2）A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．（3）∵A5（17，0），B5（0，18），C5（﹣19，0），D5（0，﹣20）．∴四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17＝684．故答案为：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．【点评】此题考查点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析．28．（2022春•自贡期末）综合与实践问题背景：（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1，P2．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．。

人教版八年级数学上册强化系列之动点-探究题一(附详细答案)

八年级数学上册动点探究题1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填”大”或”小”）；（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由：（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．2、（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．3、如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D、E，AD＝2.5cm．DE＝1.7cm．（1）求BE的长；（2）将CE所在直线旋转到△ABC的外部，如图②，猜想AD、DE、BE之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D、C、E三点在同一条直线上，并且∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角．猜想AD、DE、BE之间的数量关系，并证明你的结论．4、如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．（1）在图①中，点C坐标为；（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F 的坐标．5、如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．6、已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝度；（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．7、如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．【观察猜想】①AE与BD的数量关系是；②∠APD的度数为．【数学思考】如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；【拓展应用】如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．8、已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A 运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．APB D C9、如图，正方形ABCD 的边长为8，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 向点B 运动（点P 不与点A ，B 重合），动点Q 从点B 出发以每秒2个单位的速度沿BC 向点C 运动，点P ，Q 同时出发，当点Q 停止运动，点P 也随之停止．连接AQ ，交BD 于点E ，连接PE ．设点P 运动时间为x 秒，求当x 为何值时，△PBE ≌△QBE ．10、已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =10 cm ，点D 为边AB 上一点，AD =6 cm ．点P 在线段BC 上以每秒2 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．C QBEPA DQCPB DA11、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？12、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．参考答案1、【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，故答案为：25，115，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．2、【分析】（1）在射线OM，ON上分别截取OB＝OC，连接AB，AC，则AO平分∠BAC；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD；（3）过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF＝∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE＝FD．【解答】解：（1）如图①所示；（2）如图②，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD；（3）成立，理由：如图c，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．∴∠FGE＝∠FHD＝90°，∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA＝60°，F是△ABC的内心，∴∠GEF＝∠BAC+∠FCA＝60°+∠BAD，∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，∴FG＝FH（角平分线上的点到角的两边相等）．又∵∠HDF＝∠B+∠BAD（外角的性质），∴∠GEF＝∠HDF．在△EGF与△DHF中，，∴△EGF≌△DHF（AAS），∴FE＝FD．3、【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（3）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm；（2）DE＝EC+CD＝BE+AD，理由如下：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝CD，EC＝AD，∴DE＝EC+CD＝BE+AD；（3）DE＝BE+AD，理由如下：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，∴∠BCE＝∠CAD，在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝CD，EC＝AD，∴DE＝EC+CD＝AD+BE．4、【分析】（1）如图①中，作CH⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHC（AAS）即可解决问题．（2）证明△DBA≌△EBC（SAS）可得结论．（3）证明OD⊥OA即可解决问题．（4）设F（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【解答】（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．∵A（2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠OAB，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（1，3）．故答案为（1，3）．（2）证明：如图②中，∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△EBC（SAS），∴EC＝AD．（3）解：如图②中，设CD交AB于J．∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，∴∠BCD＝∠BAD，∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，∴∠BAD+∠AJD＝90°，∴∠ADJ＝90°，∴CD⊥OA，∵C（1，3），∴OD＝1．（4）解：设F（0，m）．由题意：•|m﹣1|•2＝2，∴m＝3或﹣1，∴F（0，3）或（0，﹣1）5、【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE+∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN＝EF，∵BE+BN＝EN，∴BE+DF＝EF．6、（1）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，∴∠ABY＝130°，∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°，∵∠EBA＝∠C+∠CAB，∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，故答案为：45；（2）∠ACB的大小不变化．理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，∵∠EBA＝∠C+∠CAB，∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°，即：∠ACB的大小不发生变化．【点评】此题主要考查了角平分线定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°．7、【分析】【观察猜想】：证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°．【数学思考】：结论成立，证明方法类似．【拓展应用】：证明AC⊥BD，可得S四边形ABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC•（DP+PB）＝•AC•BD．【解答】解：【观察猜想】：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．理由：设AE交CD于点O．∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，∵∠AOC＝∠DOP，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，即∠APD＝60°．故答案为AE＝BD，60°．【数学思考】：结论仍然成立．理由：设AC交BD于点O．∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，即∠APD＝60°．【拓展应用】：设AC交BE于点O．∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，∴∠AEC＝∠DEB∴△AEC≌△DEB（SAS），∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，∵∠BOP ＝∠EOC ，∴∠BPO ＝∠CEO ＝90°，∴AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD ＝•AC •DP +•AC •PB ＝•AC •（DP +PB ）＝•AC •BD ＝50．故答案为50．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8、当t 为4秒时，△BPA ≌△ADC9、当x 为83秒时，△PBE ≌△QBE 10、①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85cm/s ． ②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ．11、（1）①全等②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇．12、（1）034351258432t s tt s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等。

北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理》专题练习(含答案)

1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P 处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN 之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm.由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN. 故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=2MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DM、DC、DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠A=∠MDC，∠DCM=∠ACM.∵∠ACM+∠BCN+∠MCN=∠ACM+∠BCN+45°=90°，∴∠ACM+∠BCN=45°. 又∵∠MCN=∠DCM+∠DCN=45°，∠DCM=∠ACM.∴∠DCN=∠BCN.∴CD=CA=CB，易证△DCN≌△BCN，∴DN=BN，∠CDN=∠CBN.而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）[将△ACM沿CE折叠，A落在G点，连接GM、GC、GN。

八年级下册数学探究能力专题训练

八年级下册数学探究能力专题训练1．因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y ＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数．（1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：；（2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．2．课题学习●探究：（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为；②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为；（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x＝，y＝．（不必证明）●运用：在图2中，y＝|x﹣1|的图象x轴交于P点．一次函数y＝kx+1与y＝|x﹣1|的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标（用k表示）；②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k的值．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．4.探究一次函数y＝kx+k﹣2（k是不为0的常数）图象的共同特点．（探究过程）小华尝试把x＝﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝﹣2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx+k﹣2的图象一定经过定点（﹣1，﹣2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把这样的一次函数图象称为“陀螺线”．若一次函数y＝（k﹣1）x﹣（2k+3）的图象是“陀螺线”，（1）一次函数y＝（k﹣1）x﹣（2k+3）的图象经过定点P的坐标是．（2）已知一次函数y＝（k﹣1）x﹣（2k+3）的图象与x轴，y轴分别相交于点A、B．①若△OBP的面积为8，求k的值．②若S△AOB：S△OBP＝3：2，求k的值．5．【问题情境】在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．（不证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．要证明）【变式探究】（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH 的值．【迁移拓展】（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝x+8与直线l2：y＝2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．。

(沪教版)八年级数学专题训练专题07 一次函数的规律探究性问题(解析版)

专题07 一次函数的规律探究性问题（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =+交x 轴于点A ,交y 轴于点1A ,2A ,3A ,…在直线l 上,点1B ,2B ,3B ,…在x 轴的正半轴上,若11AOB ,212A B B △,323A B B △,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第10个等腰直角三角形是10910A B B ,其点10B 的横坐标为（）A ．512B ．1023C ．2047D ．2048【标准答案】B 【思路指引】先求出B 1、B 2、B 3…的坐标,探究其规律,即可得到答案．【详解详析】解：直线y ＝x ＋1与x 轴、y 轴的交点分别为（-1,0）,（0,1）, 由题意得OA =OA 1=1,∵1A OB ∆,212A B B ∆,323A B B ∆,…均为等腰直角三角形,∴OB 1=OA 1=1, ∴点B 1（1,0）, ∴B 1B 2=B 1A 2=1+1=2,∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3,∴点B2（3,0）,∴B2A3=B2B3=3+1=4,∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7,∴点B3（7,0）,∴B1（1,0）,B2（3,0）,B3（7,0）…,∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…,∴B n的横坐标为2n-1,∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023故选择B．【名师指路】此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题．2．如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（4-,5）,点B坐标为（0,3）,点D在x轴上．若线段DB交直线12y x=-于点C,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,△ABC面积的变化趋势是（）A．先变大再变小B．先变小再变大C．无法确定D．保持不变【标准答案】D【思路指引】根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为132y=x-+,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,点C始终在线段DB交直线12y x=-上,在△ABC中,始终以AB边为底边,过C点作直线AB的垂线为高,根据两直线斜率可得出平行关系,利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变,因此△ABC面积保持不变．【详解详析】解：设直线AB 的解析式为y=kx b +, 将点A （4-,5）,点B （0,3）代入可得：5=4k b3=b -+⎧⎨⎩, 得出直线AB 的解析式为：132y=x -+,又∵点C 所在直线解析式为：12y x =-,∴//AB OC ,∵点C 始终在线段DB 交直线12y x =-上,在△ABC 中,以AB 边为底边, 则点D 运动过程中高不变, 故△ABC 面积保持不变．故选：D ．【名师指路】本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理,熟练运用以上性质定理是解题的关键．3．如图,在直角坐标系中,正方形111A B C O 、2221A B C C 、…、1n n n n A B C C -按如图所示的方式放置,其中点1A 、2A 、3A 、…、n A 均在一次函数1y x =+的图象上,点1C 、2C 、3C 、…、n C 均在x 轴上,则点2021A 的坐标为（）A ．()2021202121,2-B ．()2020202021,2-C ．()2021202021,2-D ．()2020202121,2-【标准答案】B 【思路指引】首先分别求得A 1,A 2,A 3,A 4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点2021A 的坐标．【详解详析】解：把x =0代入1y x =+得,y =1,∴A 1的纵坐标是：1＝20,A 1的横坐标是：0＝20﹣1, 把x =1代入1y x =+得,y =2,∴A 2的纵坐标是：1+1＝21,A 2的横坐标是：1＝21﹣1,同理,A 3的纵坐标是：2+2＝4＝22,A 3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1, ∴A 4的纵坐标是：4+4＝8＝23,A 4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1, 据此可以得到A n 的纵坐标是：2n ﹣1,横坐标是：2n ﹣1﹣1．即点2021A 的坐标为()2020202021,2-．故选：B ．【名师指路】此题主要考查了坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．4．如图所示,已知点1B ,2B ,3B ……在直线2y x =-+上,点1A ,2A ,3A ……在x 轴上,点1C ,2C ,3C ……分别在y 轴、11A B 、22A B 上,四边形111A B C O 、2221A B C A 、3332A B C A ……都是正方形,则下列说法：①点1B 的坐标是(1,1)；②11222A B A B =；③点n B 的横坐标是112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④正方形1n n n n A B C A -的边长是112n -⎛⎫⎪⎝⎭其中错误的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【标准答案】A 【思路指引】根据2y x =-+,求出(0,2),(2,0)E F ,然后利用已知结合一次函数及正方形的性质,推出1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,的规律,及推出正方形边长的规律111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,然后利用规律依次进行判断．【详解详析】解：如图：2y x =-+,(0,2),(2,0)E F ∴,2OE OF ∴==,又90EOF ∠=︒, 45OEF OFE ∴∠=∠=︒,又四边形111OA B C 为正方形,1111111,90OC C B EC B B C O ∴=∠=∠=︒, 1145C B E OEF ∴∠=∠=︒, 111B C C E ∴=,1111OC C B ∴==,1(1,1)B ∴,故①正确；又11//A B OE ,1145A B F OEF ∴∠=∠=︒,又四边形1222A A B C 为正方形,1222122122,90AC B C B C B AC B ∴=∠=∠=︒, 22121245C B B C B B ∴∠=∠=︒, 212221C B C B C A ∴==,2122111122C A C B A B ∴===, 11122222A B AC A B ∴==,故②正确；1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,∴点n B 的横坐标是12111111++22222n n --⎛⎫++=- ⎪⎝⎭,故③错误；111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故④正确；综上所述：③错误, 故选：A ．【名师指路】本题考查点的坐标规律,解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点,结合正方形的性质,寻找到点的坐标规律是解题的关键．5．如图所示,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,…都在x 轴上,点1B ,2B ,3B ,…都在直线y x=上,△11OA B ,△112B A A ,△212B B A ,△223B A A ,△323B B A ,…都是等腰直角三角形,如果11OA =,则点2021B 的坐标是（）A ．()2021202122，B ．()2020202022，C ．()2019201922，D ．()2018201822，【标准答案】B 【思路指引】利用直线y ＝x 上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质,可分别求得B 1、B 2、B 3的坐标,由此归纳总结即可求得B 2021的坐标．【详解详析】解：∵11OA B 是等腰直角三角形,11OA =, ∴A 1B 1＝OA 1＝1, ∴点B 1的坐标为（1,1）, ∵112B A A 是等腰直角三角形,∴A 1A 2＝A 1B 1＝1, 又∵212B B A 是等腰直角三角形,∴22OA B 是等腰直角三角形, ∴A 2B 2＝OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝2, ∴点B 2的坐标为（2,2）, ∵323B B A 是等腰直角三角形,∴33OA B 是等腰直角三角形, ∴A 3B 3＝OA 3＝OA 2＋A 2A 3＝22, ∴点B 3的坐标为（22,22）,同理可得：A 4B 4＝OA 4＝23,点B 4的坐标为（23,23）, A 5B 5＝OA 5＝24,点B 5的坐标为（24,24）, ……∴B 2021的坐标为（22020,22020）, 故选：B ．【名师指路】本题主要考查一次函数图象上点的坐标,利用等腰直角三角形的性质求得B 1、B 2、B 3的坐标是解题的关键． 6．如图,正方形AOCD 、正方形111A CC D 、正方形2122A C C D 的顶点A 、1A 、2A 和O 、C 、1C 、2C 分别在一次函数1y x =+的图象和x 轴上,若正比例函数y kx =则过点5D ,则k 的值是（）A ．6332B ．3263C ．3116D ．1631【标准答案】B【思路指引】根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点5D 的坐标,代入函数解析求得k 的值．【详解详析】解：当0x =时,1y =,则(0,1)A ,1OC OA ∴==,则(0,1)C ,(1,1)D把1x =代入1y x =+知,2y =,则12A C =,则112CC AC ==．此时1(12,12)D +⨯,即(3,2) 同理,2(124,22)D ++⨯,即(7,4)．3(1248,222)D +++⨯⨯,即(15,8)． 4(124816D ++++,42),即(31,16)． 5(12481632D +++++,52),即(63,32)．把5(63,32)D 代入y kx =, 得3263k =, 故选：B ．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的规律探究题、及正方形的性质,解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出,从而找出规律．7．在平面直角坐标系中,直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示,依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ,、正方形1n n n n A B C C -,使得点123,,,A A A 在直线l 上,点123,,,C C C 在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标为（）A ．()201920202,21-B ．()202020202,2C ．()202020212,21-D ．()201920202,21+【标准答案】C 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论．【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标为（22020,22021-1）．故选：C ．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键． 8．如图,直线1:1l y x =+与直线211:22l y x =+相交于点()1,0P -．直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发,先沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点1B 处后,改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点1A 处后,再沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点2B 处后,又改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点2A 处后,仍沿平行于x 轴的方向运动,…照此规律运动,动点C 依次经过点1B ,1A ,2B ,2A ,3B ,3A ,…,2014B ,2014A ,…则当动点C 到达2021A 处时,运动的总路径的长为（）A ．22021B ．202122-C ．202021+D ．202222-【标准答案】D 【思路指引】由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,则B 1纵坐标为1,代入直线l 2：y =12x +12中,得B 1（1,1）,又A 1、B 1横坐标相等,可得A 1（1,2）,则AB 1=1,A 1B 1=2-1=1,可判断△AA 1B 1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得△A 1A 2B 2、△A 2A 3B 3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式,分别求AB 1+A 1B 1,A 1B 2+A 2B 2的长,得出一般规律．【详解详析】解：由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式可知,B 1（1,1）,AB 1=1, A 1（1,2）,A 1B 1=2-1=1,AB 1+A 1B 1=2,B 2（3,2）,A 2（3,4）,A 1B 2=3-1=2,A 2B 2=4-2=2,A 1B 2+A 2B 2=2+2=4=22, …,由此可得A n -1B n +A n B n =2n ,所以,当动点C 到达A n 处时,运动的总路径的长为2+22+23++2n =2n +1-2,所以,当动点C 到达A 2021处时,运动的总路径的长为22022-2, 故选：D ．【名师指路】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x 轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y 轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律．9．如图,在平面直角坐标系中,四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ,…都是菱形,点123,,A A A …都在x 轴上,点123,,C C C ,…都在直线3333y x =+上,且11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=,则点n C 的横坐标是（）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【标准答案】A【思路指引】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D,利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标．【详解详析】解：分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D 如下图：11OA =,11OC ∴=,1121232360C OA C A A C A A ∴∠=∠=∠=⋯=︒,在11Rt OC D 中,111122OD OC ==根据勾股定理得：2221111OD OC C D =-,即222111()2OD =-,解得：13OD =1C ∴3横坐标为12,11(2C ∴3),四边形111OA B C ,1222A A B C ,2333A A B C ,⋯都是菱形, 122A C ∴=,234A C =,348A C =,⋯,2C ∴的纵坐标为：22122122413A C D D AC =--代入3333y x =+,求得横坐标为2,2(2,3)C ∴,3C 的纵坐标为：2223233316423C D A A C D =-=-=,代入3333y x =+,求得横坐标为5, 3(5C ∴,23), 4(11C ∴,43),5(23C ,83), 6(47C ∴,163)；,⋯,2(321n n C -⨯-,223)n -则点n C 的横坐标是：2321n -⨯-, 故选：A ．【名师指路】本题是对点的坐标变化规律的考查,主要利用了菱形的性质,解直角三角形,根据已知点的变化规律求出菱形的边长,得出系列C 点的坐标,找出规律是解题的关键． 10．如图所示,直线3333y x =+与y 轴相交于点D ,点1A 在直线3333y x =+上,点1B 在x 轴上,且11OA B 是等边三角形,记作第一个等边三角形；然后过1B 作121B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点2A ,点2B 在x 轴上,再以12B A 为边作等边三角形221A B B ,记作第二个等边三角形；同样过2B 作231B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点3A ,点3B 在x 轴上,再以23B A 为边作等边三角形332A B B ,记作第三个等边三角形；…依此类推,则第n 个等边三角形的顶点n A 纵坐标为（）A ．12n -B ．22n -C ．123n -D ．223n -【标准答案】D 【思路指引】可设直线与x 轴相交于C 点．通过求交点C 、D 的坐标可求∠DCO =30°．根据题意得△COA 1、△CB 1A 2、△CB 2A 3…都是等腰三角形,且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．【详解详析】解：设直线与x 轴相交于C 点．分别过A 1、A 2、A 3作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F 、G令x =0,则y = 3y =0,则x =-1． ∴OC =1,OD =3 ∴2222CD OC OD OC +== ∴∠DCO =30°． ∵△OA 1B 1是正三角形, ∴∠A 1OB 1=60°． ∴∠CA 1O =∠A 1CO =30°, ∴OA 1=OC =1． ∴OE =12OA 1=12． ∴13A E =即A 13同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,23A F 即A 23 第三个正三角形的边长=1+1+2=4,323A G =即A 3纵坐标为23 ∴第n 个正三角形的边长=12n -,A n 纵坐标为223n - 故选：D ．【名师指路】此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算,综合性强,难度大．二、填空题11．如图在平面直角坐标系中,△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形,其直角顶点P 1(3,3),P 2,P 3…均在直线143y x =-+上,则点P 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】202032【思路指引】过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,分别求出23P P 、两点的纵坐标,找出规律,即可求解．【详解详析】解：过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,如下图：△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形则点123B B B 、、分别为线段11232OA A A A A 、、的中点,由直角三角形的性质可得1111PB A B =,221222P B A B A B ==,332333P B A B A B == 由()133P ，,则1B (30)，,1(6,0)A 设2(0)B a ，,则22126P B A B a ==-,2(,6)P a a - 又因为P 2,P 3…均在直线143y x =-+上所以1643a a -=-+,解得152a =,2153(,)22P同理可以求出3393(,)44P123P P P 、、的纵坐标分别为11332-=,2132-,3132- 可以得到n P 的纵坐标为132n -则点2021P 的纵坐标为202032故答案为202032【名师指路】此题考查了直角坐标系中点坐标规律的探索,涉及了等腰直角三角形的性质,一次函数的性质等,根据已知条件利用相关性质求出23P P 、的坐标,找到规律是解题的关键．12．正方形111A B C O ,2221A B C C ,3332A B C C ,…,按如图所示的方式放置,点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B ,则n B 的横坐标是_____．【标准答案】12n - 【思路指引】根据()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,……,即可归纳出n B 的横坐标．【详解详析】解：∵点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B , ∴1A （0,1）,2A （1,2）,3A （3,4）,……, ∴()37,4B ,4A （7,8）,()415,8B ,∴()121,2n n n B --,故答案是：12n -．【名师指路】本题主要考查一次函数图像和正方形的性质,根据点()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,找出n B 横坐标的变化规律,是解题的关键．13．如图,在平面直角坐标系中,点123,,,A A A ,都在x 轴正半轴上,点123,,,B B B ,都在直线y kx=上,1130B OA ∠=︒,112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆,都是等边三角形,且11OA =,则点6B 的横坐标是_______．【标准答案】48 【思路指引】设△1n n n B A A +的边长为n a ,根据直线的解析式得出30n n A OB ∠=︒,再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出30n n OB A ∠=︒,190n n OB A +∠=︒,从而得出13n n n B B a +=,由点1A 的坐标为(1,0),得到11a =,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯,12n na ,即可解决问题．【详解详析】解：过1B 作1B C x ⊥轴于C ,过2B 作2B D x ⊥轴于D ,过3B 作3B E x ⊥轴于E ,如图所示：设△1n n n B A A +的边长为n a ,则121212AC A C A A ==,232312A D A D A A ==,⋯, 113BC ∴,223B D ,333B E ,⋯, 13(2B ∴3),点1B ,2B ,3B ,⋯是直线y kx =上的第一象限内的点, 3k ∴=30n n A OB ∠=︒,又△1n n n A B A +为等边三角形,160n n n B A A +∴∠=︒,30n n OB A ∴∠=︒,190n n OB A +∠=︒,13n n n n B B OB a +∴==,11OA =,∴点1A 的坐标为(1,0),11a ∴=,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯, 12n na ,632a ∴=,∴点6B 的横坐标为633324822a =⨯=, 故答案为：48．【名师指路】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等,解题的关键是找出规律13n n n n B B OB a +==．14．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -,使得点1A 、2A 、3A 、…在直线l 上,点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标是__________．【标准答案】（22020,22021-1）【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质,可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标变化可找出变化规律：“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论．【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标是（22020,22021-1）．故答案为：（22020,22021-1）．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．15．正方形111A B C O ,正方形2221A B C C ,正方形3332A B C C ,…按如图所示放置,点1A ,2A ,3A ,…在直线y kx b =+上,1C ,2C ,3C ,…在x 轴上,已知()11,1B ,()23,2B ,则n B 的坐标为______．【标准答案】()121,2n n -- 【思路指引】首先利用待定系数法求得直线A 1A 2的解析式,然后分别求得B 1,B 2,B 3...的坐标,可以得到规律：B n (2n -1,2n -1),据此即可求解. 【详解详析】B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),..正方形111A BC O 边长为1,正方形2221A B C C 边长为2,∴A 1的坐标是(0,1),A 2的坐标是 (1,2),代入y kx b =+得：12b k b =⎧⎨+=⎩,解得：11k b =⎧⎨=⎩, 则直线A 1A 2的解析式是：1y x =+, A 1B 1= 1,点B 2的坐标为(3,2),∴点A 3的坐标为(3,4), ∴A 3C 2= A 3 B 3 = B 3C 3= 4,∴点B 3的坐标为(7,4),∴B 1的纵坐标是：1=20,B 1的横坐标是：1 =21 -1, ∴B 2的纵坐标是：2=21,B 2的横坐标是：3 =22-1, ∴B 3的纵坐标是：4=22,B 3的横坐标是7 =23-1, ∴B n 的纵坐标是：2n -1,横坐标是：2n -1,则B n ：( 2n -1 ,2n -1), 故答案为：( 2n -1 ,2n -1) 【名师指路】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律．此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.16．如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,⋯和1B ,2B ,3B ,⋯分别在直线15y x b =+和x 轴上,△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,如果点1(1,1)A ,那么点2020A 的纵坐标是__．【标准答案】20193()2【思路指引】由题意易得1455y x =+,设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y ,则有221455y x =+,331455y x =+,…..,202020201455y x =+,然后根据等腰直角三角形的性质可得2122x y y =+,312322x y y y =++,….,进而将点的坐标依此代入即可求解．【详解详析】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+, 45b ∴=, 1455y x ∴=+, 设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y , 则有221455y x =+,331455y x =+,⋯202020201455y x =+,又△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,2122x y y ∴=+, 312322x y y y =++,⋯2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++,将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+, 3121131222y y y =++= 2y , 432y = 3y , ⋯202032y =2019y , 又11y =,232y ∴=, 33(2y =2), 43(2y =3),⋯20203(2y =2019),故答案为：3(22019)．【名师指路】本题主要考查一次函数的规律题,解题的关键是找到点的坐标规律．17．平面直角坐标系xOy 中,点A 1,A 2,A 3,……和B 1,B 2,B 3,……分别在直线y ＝13x +23和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,……都是等腰直角三角形,如果A 1（1,1）,则点A 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】22020 【思路指引】利用待定系数法可得A 1、A 2、A 3的坐标,进而得出各点的坐标的规律．【详解详析】解：∵A 1（1,1）,∵△OA 1B 1为等腰直角三角形 ∴点B 1 (0,2),∵直线OA 1,B 1A 2,B 2A 3互相平行,而已知直线OA 1的解析式为：y x = ∴直线12B A l 的解析式为：2y x =-, ∴设A 2（2+a ,a ）,则a =13（a +2）+23,解得a =2, ∴A 2（4,2）,∵△B 1A 2B 2为等腰直角三角形 ∴点B 2 (0,6),直线23B A l 的解析式为：6y x =- 设A 3（6+b ,b ）,则有b =13（6+b ）+23,解得b =4, ∴A 3（10,4）,由此发现点A n 的纵坐标为2n -1, 即点A 2021的纵坐标是22020,故答案为：22020．【名师指路】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．如图,已知直线a ：y x =,直线b ：12y x =-和点()1,0P ,过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ,过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ,过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ,过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ,…,按此作法进行下去,则点2021P 的横坐标为________．【标准答案】21010．【思路指引】点P （1,0）,P 1在直线y =x 上,得到P 1（1,1）,求得P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,得到P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,求得242nn P =,于是得到结论．【详解详析】解：∵点P （1,0）,P 1在直线y =x 上, ∴P 1（1,1）, ∵P 1P 2∥x 轴,∴P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,∵P 2在直线12y x =-上,∴112x =-∴x =-2,∴P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,∴242nn P =,∴P 2020的横坐标为1202022⨯=21010, ∴P 2021的横坐标为21010, 故答案为：21010．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,规律型：点的坐标,正确的作出规律是解题的关键．19．如图,在平面直角坐标系中,点()11,1A 在直线y x =图象上,过1A 点作y 轴平行线,交直线y x =-于点1B ,以线段11A B 为边在右侧作正方形1111D C B A ,11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ,交y x =-的图象于点2B ,再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D 依此类推,按照图中反应的规律,第2020个正方形的边长是_______．【标准答案】201923⨯ 【思路指引】通过计算可得第一个正方形的边长为2,第二个正方形的边长为6,……,通过探究规律,利用规律解决问题即可．【详解详析】解：由题意,1(1,1)A ,1(1,1)B -,112A B ,∴第一个正方形的边长为2,112A D ∴=,2(3,3)A ∴,2(3,3)B -,2223=6A B ∴=⨯,∴第二个正方形的边长为6,226A D ∴=,3(9,9)A ∴,3(9,9)B -,即：232(3)3A ，, 223(33)B ，-,233=2318A B ∴⨯=,∴第三个正方形的边长为18,4(27,27)A ∴,4(27,27)B -,即：334(3)3A ，, 334(33)B ，-,434=2354A B ∴⨯=⋯,可得1(3n n A -,13)n -,1(3n n B -,13)n --,1=23n n n A B -⨯ 第2020个正方形的边长为201923⨯．故答案为： 201923⨯．【名师指路】本题考查一次函数图像上的点的特征,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型． 20．如图,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,点B 1的横坐标为2,过点B 1作B 1A 1⊥l ,交x 轴于点A 1,以A 1B 1为边,向右作正方形A 1B 1B 2C 1,延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边,向右作正方形A 2B 2B 3C 2,延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边,向右作正方形A 3B 3B 4C 3,延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去,则第n 个正方形A n B n B n +1C n 的边长为 ___（结果用含正整数n 的代数式表示）．5×（32）n -1 【思路指引】设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,由点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,可得OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +tan α＝1B H OH＝12,Rt △A 1B 1O 中,求得A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15,在Rt △A 2B 2O 中,求得第25×32,在Rt △A 3B 3O 中,求得第3个5×945×（32）2,在Rt △A 4B 4O 中,求得第45×2785×（32）3,......观察规律即可得：第n 个正方形边长是52×（32）n -1．【详解详析】解：设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,如图：∵点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,令x ＝2得y ＝1, ∴OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +∴tan α＝1B H OH＝12, Rt △A 1B 1O 中,A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15, ∴OB 2＝OB 1＋B 1B 2555×3,Rt △A 2B 2O 中,A 2B 2＝OB 2•tan α5×3×125×32,即第25×32,∴OB 3＝OB 2＋B 2B 35×35×325×92,Rt △A 3B 3O 中,A 3B 3＝OB 3•tan α5×92×125×94,即第35×945×（32）2,∴OB 4＝OB 3＋B 3B 45×925×945×274,Rt △A 4B 4O 中,A 4B 4＝OB 4•tan α5×274×125×278,即第45×2785×（32）3,.....．根据规律可知：第n 5×（32）n -1, 5×（32）n -1．【名师指路】本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tan α＝12的应用．三、解答题21．在学习了一次函数后,某校数学兴趣小组根据学习的经验,对函数y=-｜x ｜-2的图象和性质进行了探究,下面是该兴趣小组的探究过程,请补充完整:(1)自变量x 的取值范围是全体实数,x 与y 的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ...-5-4-3n-3-4-5...①n= ；②如图,在所给的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象；(2)当一2＜x≤5时,y 的取值范围是； (3)根据所画的图象,请写出一条关于该函数图象的性质.【标准答案】（1）①-2,②见解析；（2）72y -≤≤-；（3）函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等. 【思路指引】（1）①把x=0代入函数表达式,即可得出n 的值；②把表格中7个点画在坐标系中,根据点的变化趋势,即可画出此函数的图象；（2）结合图象,当一2＜x≤5时,72y -≤≤-. （3）结合图象,可得当x=-2时,y=0. 【详解详析】解：（1）①把x=0代入y=-x-2,得y=-2 ②如图所示即为函数图象；（2）当一2＜x≤5时,从图像中可看出最高点纵坐标为-2,最低点纵坐标为-7, ∴72y -≤≤-.（3）结合图象,可得函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.【名师指路】本题主要考查一次函数的图象与性质,解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及一次函数的性质．22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2,222a ab b a b ±+=±,如何将双526±56±(22236232±=完全平方的形式,因()25263232±±材料二：在直角坐标系xOy 中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义：若(0)y (0)y x y x ≥⎧=⎨-<'⎩则称点Q 为点P的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)．问题：（1）点(2,3-的“横负纵变点”为 ,点()33,2--的“横负纵变点”为；（27210+；（3）已知a 为常数（1≤a≤2）,点M(-2是关于x 的函数12121y a a a a x=-+---图像上的一点,点M’是点M 的“横负纵变点”,求点M’的坐标．【标准答案】（1）2-3，,()-332，；（2253）(22)【思路指引】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式,再根据待定系数法,“横负纵变点”解决问题即可．【详解详析】解：（1）根据题目意思,(0)(0)y x y y x ≥⎧=⎨-<'⎩0和0-<,点的“横负纵变点”为,点()2--的“横负纵变点”为()2，,故答案为：,()2；（2）∵257,2510+=⨯=（3）∵1(1)a a +-=,1(1)1a a -=- 112-11-y xx x⎛⎫=-==⎪⎝⎭∵点M(是关于x 的函数1y x=-图像上的一点,∴m =-即：M （,又∵点M’是点M 的“横负纵变点∴M′的坐标为（【名师指路】本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,横负纵变点”的定义,双重二次根式的化简等知识,解题的关键是理解题意,学会模仿解决问题,属于中考常考题型．23．小东同学根据函数的学习经验,对函数y =1x - +3x +进行了探究,下面是他的探究过程：（1）已知x ＝-3时3x += 0；x ＝1 时1x -= 0,化简： ①当x ＜-3时,y ＝； ②当-3≤x ≤1时,y ＝； ③当x ＞1时,y ＝．（2）在平面直角坐标系中画出y ＝|x ﹣1|+|x +3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质：；【标准答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点．【思路指引】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象,则易得一条函数性质；【详解详析】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时,y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时,y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时,y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示：根据图象,该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；【名师指路】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算,数形结合是解题的关键．24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接,其收费y 1（元）与复印页数x （页）的关系如下表：（1）y 1与x 的函数关系是否满足一次函数关系？（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费,则可按每页0.10元收费,请写出明晰复印社每月收费y 2（元）与复印页数x （页）的函数表达式；（3）你若是班级的学习委员,在复印资料时,选择哪家复印社比较优惠,说明理由．【标准答案】（1）y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）y 2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社；当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【思路指引】（1）设y 1=kx+b,由题意找出满足两个量的函数关系式,即可得解．（2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式．（3）由前两题的函数表达式,找出中间量,由此再得出一元一次不等式,即可得解．【详解详析】解：（1）设y 1=kx+b,把（100,15）和（200,30）分别代入,得：1001520030k b k b +⎧⎨+⎩＝＝, 解得：0.150k b ⎧⎨⎩＝＝．∴函数的表达式可能为y 1=0.15x ；把（400,60）和（1000,150）分别代入,可得等式成立． ∴y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）由题意得,y 2=0.1x+200．（3）由0.150.1200y xy x ⎧⎨+⎩＝＝,解得： 4000600x y ⎧⎨⎩＝＝．即当复印4000页是,两家收费均为600元；∴此时选择两家都可以．由0.15x＞0.1x+200,解得：x＞4000；∴当复印量大于4000页时,宏图复印社的收费大于明晰复印社,此时应选择明晰复印社．同理,当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．综上所述,当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社．当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【名师指路】本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用,理解题中各个量的关系是解题的关键．25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3( , ),B n( , )．【标准答案】（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4；2n﹣1,2n﹣1【思路指引】（1）根据已知B1（1,1）,B2（3,2）,求出A1（0,1）,A2（1,2）,就可以确定一次函数的解析式；（2）根据图象能够求得B3（7,4）,通过观察图象可以得到B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n 的纵坐标；再通过A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）的规律,确定B n（2n﹣1,2n﹣1）的规律,进而求解本题．【详解详析】解：（1）∵点B1（1,1）,B2（3,2）,∴A1（0,1）,A2（1,2）,将点A1,A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：12bk b=⎧⎨+=⎩,解得：11kb=⎧⎨=⎩；（2）通过观察图象可知B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n的纵坐标, ∵A3（3,4）,A4（7,8）,∴A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）,∴B n（2n﹣1,2n﹣1）,∴B3（7,4）．故答案为：（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4,2n﹣1,2n﹣1．【名师指路】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．26．平面直角坐标系中,设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,求a,b的值；（2）当直线l1过点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7)时,且﹣3＜b＜12,求a的取值范围；（3）点P(﹣2n+3,3n﹣1)在直线l2上运动,直线l2与直线l1无交点,求a、b所需满足的条件．【标准答案】（1）a的值为2,b的值为0；（2）﹣132＜a＜1；（3）1412ab⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩【思路指引】（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；（2）将两点坐标代入解析式得出方程组,求出a、b的等量关系式,再根据b的取值范围求出a的取值范围；（3）先设点P（x,y）,然后根据点P坐标找出x、y之间关系式,利用两直线无交点即平行（k相等,b不等）列出算式求解．【详解详析】解：（1）∵y＝（2a﹣1）x+3﹣b向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,∴213 321ab-=⎧⎨--=⎩,∴20 ab=⎧⎨=⎩,即a的值为2,b的值为0；（2）由题意知,代入点(m ,6﹣b )和点(m +3,4a ﹣7),得 ()()()2136213347a m b ba mb a ⎧-+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎩, 两式相减得,b ＝2a +10, ∵﹣3＜b ＜12, ∴﹣3＜2a +10＜12, ∴﹣132＜a ＜1；（3）设点P 坐标为（x ,y ）,则2331n x n y -+=⎧⎨-=⎩①② , 由①知,n ＝12（3﹣x ）＝3-22x ,代入②得,3（3-22x）﹣1＝y ,∴y ＝3722x -+,∵直线l 2与直线l 1无交点, ∴3212732a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩,解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩．【名师指路】本题考查一次函数的图象和性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键．27．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨．表记录了这5h 内6个时间点的水位高度,其中t 表示时间,y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y 是否为时间t 的函数？如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2h ,预测再过2h 水位高度将为多少米．【标准答案】（1）是,在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的；（2）0.3305()y t t =+≤≤,图见解析,可以近似地表示水位的变化规律；（3）5.1m 【思路指引】（1）根据题目要求描出表中数据对应的点,连接画出的点可得这些点是在一条直线上,继而根据一次函数的性质得出规律；（2）根据待定系数法求解析式,根据数形结合的思想画出函数图象,结合一次函数的性质即可求得水位的变化规律；（3）由题意可得再过2h ,即()527h t =+=,代入函数解析式即可求解．【详解详析】解：（1）如图,描出表中数据对应的点可以看出,这6个点在一条直线上．再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3m ．由此猜想,如果画出这5h 内其他时刻（如 2.5h t =等）及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．（2）由于水位在最近5h 内持续上涨,对于时间t 的每一个确定的值,水位高度y 都有唯一的值与其对应,所以y 是t 的函数．开始时水位高度为3m ,以后每小时水位上升0.3m ．∴函数0.3305()y t t =+≤≤是符合表中数据的一个函数,它表示经过h t 水位上升0.3m t ,即水位y 为()0.33m t +．其图象是图中点()0,3A 和点()5,4.5B 之间的线段AB ．。

专题02 二次根式中规律探究问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题02二次根式中规律探究问题【典型例题】1==（1=（2）用字母表示思思发现的规律；（3）请你给出这个结论的一般性的证明．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）写出第n+1个等式即可；（3）根据二次根式的性质进行证明．【详解】解：（1（2n≥2的整数）；（3n≥2的整数）．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【专题训练】一、解答题1=；…….（1）请写出第9个式子；（2）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含n（n为正整数）的代数式表示出来并验证你所发现的规律．=+【答案】（1（2(n【分析】（1）根据已知的等式即可写出第9个式子；（2）根据已知的等式可用含n（n为正整数）的代数式表示规律，再根据二次根式的运算法则进行验证．【详解】（1）第9=+（2）用含n（n(n=+，证明：左边=(n左边=右边，所以规律正确．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律，题目比较好．2===（1=（2）请用字母n 表示小明发现的规律．【答案】（1==；（2=2n ≥）. 【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）根据题意，直接写出等式即可；【详解】解：（1）====；（2）根据（1）中的规律，可得：=2n ≥）. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3（1；（2）计算（写出计算过程）（3）请用含自然数n （n ≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(1n =+ 【分析】（1）先通分，再根据积的算术平方根性质计算，即可得到答案；（2）结合题意和（1）的结论，以此类推计算，即可得到答案；（3）结合（1）和（2）的结论，可得到表示规律的代数式．【详解】（1===，===故答案为：（2===…=（3）结合（1）和（2）的结论，得：(1=+．n【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式计算、数字规律的性质，从而完成求解．4．根据要求，解答问题．（1）观察下列各式：1112+⨯1123=+⨯1134=+⨯，……= （n 为正整数）；（2）当5n = ，并验证5n =时结论的正确性；（3118++ 【答案】（1）1+()1n n 1⨯+；（2）3130，验证见详解；（3）889 【分析】(1）观察所给三个等式即可发现规律；(2)由(1)=1+()1551⨯+，等号两侧同时运算，验证等号是否成立即可；（3）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：=1+()1n n 1⨯+ （n 为正整数）；故答案为：1+()1n n 1⨯+．（2）由（1）规律可得当n =51+()1551⨯+=3130；左边3130= 右边=1+11311563030=+=⨯ ∵左边=右边，∵等号成立．（32118++=1+1112-+1+1231-+1+1341-+…+1+1189-=（1+1+1…+1）+(1112-+1231-+1341-+…+1189-) =8+1-19 =889．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．5．观察下列各式及其变形过程：1231a a a ======．（1）按照此规律，写出第五个等式5a =_________．（2）按照此规律，若123n n S a a a a =++++，试用含n 的代数式表示n S ．（3）若21x =，试求代数式4322412413x x x x +--+的值．【答案】（1；（2）1；（3）3．【分析】（1）根据题目表达的规律续写即可；（2）用（1）中总结出的规律首先表示出n a ，然后计算n S 即可；（3）首先通过计算化简x ，再对原式进行配凑，分步代入计算．【详解】（1）121a a =-=，5a ∴= （2）用含字母n （n 为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为n a ==， 123n n S a a a a ∴=++++1n =+- 1=．（3）2111S a =-=2111x ∴=，4322412413x x x x ∴+--+2222(1)14413x x x x =+--+222211)14413x x x =+--+221214413x x x =--+224215x x =---+22(1)15x =-++211)15=-++1215=-+3=．【点睛】本题主要考查了分母有理化，属于规律型问题，解题关键是找准一般规律转却计算．6．观察下列各式：3111111122122====+=+-⨯71111111662323====+=+-⨯13111111112123434====+=+-⨯ 请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：（1=________；（1n ≥，且n 为整数）（直接写出结果）（212019++ 【答案】（1）1111n n +-+；（2）201920192020．【分析】（1）观察所给三个等式即可发现规律；（2）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：1111n n =+-+；(1n ，且n 为整数）故答案为：1111n n +-+；（2）根据以上规律可得：原式11111111(1)1()1()1()2233420192020=+-++-++-+⋯++- 1111111(1111)(1)2233420192020=+++⋯++-+-+-+⋯+- 12019(1)2020=+-201920192020=．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．7．观察下列等式：===== ．．．．请解答下列问题：= ；（1（2）用含有n的代数式表示第n（3【答案】（1（2n为正整数）；（3）【分析】（1（2（3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案．【详解】==解：（1==（2n为正整数）．（3==+2=【点睛】本题考查的是二次根式的除法，掌握分母有理化完成除法运算是解题的关键． 8．先观察下列等式，再回答问题：11111;1112=+-=+11111;2216=+-=+11111.33112=+-=+（1 （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n 的式子表示的等式：（3）对任何实数a 可[a ]表示不超过a 的最大整数，如[]44,1==，计算：...的值．【答案】（1）1120；（2）11(1)n n ++；（3）99．【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；（3）根据（2）中结论得到111111119912233499100=⨯+-+-+-+⋯+-，然后再求出最大整数即可．【详解】解：（11111144120=+-=+；（2）第n 111111(1)n n n n =+-=+++；（3）...+=1111111126129900+++⋯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ =111111119912233499100⨯+-+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⋯-⎦+ =1991100⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ =9999100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=99．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．91=== （1=______. （2）从计算结果中找出规律，并将猜想到的规律用含有正整数a （1a ≥）的代数式表示出来.（3）利用这一规律计算下列式子的值：)1.【答案】（1;（2=a 是正整数，且1a ≥）;（3）2017 【分析】（1）根据所给式子找出规律解答即可；（2）根据（1）中规律解答即可；（3）根据（2）中规律解答即可．【详解】（1）1===，=（2）由（1=a是正整数，且1a≥）；（3）原式=)11⋅⋅⋅+=()11-+=2018-1=2017.【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．102111211-====--====--（1）从计算过程中找出规律，；用含有n（n是正整）的等式表示上述变化规律；（2）利用上述变化规律计算：...+++【答案】（1）21（2）9【分析】（1）按照题中给出的形式直接求解即可；（2）结合（1）中总结出的规律，逐项化简，再求和即可．【详解】解：（12 ===-=22=--故答案为：21（2）原式1)...=++++11019==-=【点睛】本题主要考查二次根式分母有理化，能够根据题目所给出的方法进行二次根式的分母有理化是解题关键．11．观察下列各式及其验证过程：====．====（1（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且2a≥）表示的等式，并进行验证；（3）用a（a为任意自然数，且2a≥）写出三次根式的类似规律，并进行验证．【答案】（1）（2）（3）a解析.【分析】（1）利用已知，======值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．【详解】解答：解：（1=== （2）由（1）中的规律可知3＝22−1，8＝32−1，15＝42−1，=== 正确；（3）a =a 为任意自然数，且a ≥2），验证：a ==【点睛】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．12．探索规律观察下列各式及验证过程：2n =时，有式①：2=；3n =时，有式②：3=式①验证：2====式②验证：3===()1针对上述式①、式②的规律，请写出4n =时的式子；()2请写出满足上述规律的用(n n 为任意自然数，且2)n ≥表示的等式，并加以验证．【答案】（1）4=（2）=【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．根据题意可看出【详解】()14∵4==()2=====【点睛】此题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.13．（1）研究规律：先观察几个具体的式子：32==-2173==-6213===12（2）寻找规律：=（1n≥且n为正整数）（3）请完成计算：【答案】（1）12；13；4134-；（2）111nn n+-+；（3）100110011002.【解析】【分析】（1）各式计算得到结果即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式各项利用得出的规律变形，计算即可求出值．【详解】解：（1321212 ===-；731623===-；13411234 ===-；（2111 nn n+=-+；（3）原式=21311002111001210001001 12231001100210021002 -+-+⋯+-=+-=.【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2+⋯+（3的大小．【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019===-=；==（3<，∴【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.15．观察下列各式及验证过程：式①：2=验证：2====式②：3=验证：3====(1)针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；∵ 请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证.【答案】（1）答案不唯一，如（2）=【解析】试题分析：（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．试题解析：（1）4=（2）=====16．观察下列各式．====根据上述规律回答下列问题．（1）接着完成第⑤个等式：_____；n n≥的式子写出你发现的规律；（2）请用含(1)（3）证明（2）中的结论．=+（3）见解析【答案】（1=（2(n【分析】（1）当n=5==+（2(n（3）直接根据二次根式的化简即可证明．【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+ 【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．17===()1= ______ = ______ ；()2计算(写出计算过程)； ()3请用含自然数()n n 1≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2）；（311n n =+≥（）．【解析】试题分析：（1）按二次根式的运算法则计算即可求得本题答案；（2）按二次根式的运算法则计算即可；（3）观察、分析可得当n 为自然数且n 1≥(1)n n =+≥. 试题解析：（1）==；==（2）原式===（3(1)n n =+≥.18===…（1=________=________；（2）第2019个式子是：________．（3）请用含自然数()1n n ≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(+1n = 【分析】（1）根据题意的规律可直接进行解答；（2）由（1）及题意可直接求解；（3）由题意易得当自然数为n 1）（2）的规律可进行求解．【详解】解：（1=====故答案为（2）由（1）可得：第2019=；=；（3=====…可知第n (+1n =【点睛】本题主要考查二次根式的规律应用，熟练掌握二次根式的性质及运算是解题的关键．19．观察下列各式，发现规律：==…（1＝，＝；（2）计算（写出计算过程）；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2（3）（n+1n≥1）．【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．【详解】=解：（1）根据题意得：=故答案为（2====；（3）归纳总结得：(1n =+（自然数n ≥1）．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）发现规律：特例1特例2特例3 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的例子）；（2）归纳猜想：如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为：______；（3）证明猜想：（4）应用规律：①；②=（m ，n 均为正整数），则m +n 的值为______．【答案】（1=（2(1n =+；（3）见解析；（4）①②m +n =38 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；（4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】解：（1==（2(1n =+，(1n =+；（3）证明：∵左边== ∵n 为正整数，∵n +1＞0．∵左边=|n +1（n +1(1n =+，又∵右边=（n +1 ∵左边=右边．(1n =+；（4）故答案为：∵m +1=19，解得m =18，∵n =m +2=20，∵m +n =38．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．。

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