初中奥数系列：3.2.2分式的运算技巧.题库学生版

分式运算的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法分式运算的常用技巧与方法举例1. 整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 练习：计算112+-+a a a 2. 逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 练习：计算2111111x x x ++++- 3.先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 练习：计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x4. 裂项相消法例4 计算)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x分析我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111---+---+-x x x x x =31-x 练习：计算：.5. 整体代入法例5．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值解法1：∵1x +1y=5 ∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy+=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y +---的值． 6.运用公式变形法例6．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 7. 设辅助参数法例7．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。

初中分式运算技巧及易错点解析

初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。

2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。

注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。

3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。

二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。

一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。

例如，a⁻²=1/a²。

2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。

如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。

3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。

这就涉及到通分的问题。

如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。

4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。

如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。

5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。

通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。

在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。

另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。

初中数学一轮复习：分式的运算技巧(专题训练)

分式的运算技巧知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。

（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一个公因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果。

2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找到各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。

（3）通分后，进行同分母分式的加减运算。

（4）公分母保持记的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。

3.正确进行分式的混合运算，需弄清楚以下各要点：（1）分清运算级别，按照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算。

（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算。

（4）注意处理好每一步运算中的符号（5）最后结果要注意化简。

（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。

培优学案典例示范一、分式的乘除例1 计算：【跟踪训练1】计算：二、分式的加减运算例2：计算：（2）【跟踪训练2】计算：（2三、化简求值问题例3 将代数式x值代入求值。

【跟踪训练3】将代数式化简，再选择一个你喜欢的a值代入求值。

四、因为不存在所以抄错也没事例4 有这样一道题：“计算的值，其中”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也正确，请说一说这是怎么回事。

【跟踪训练4】课堂上，李老师给大家出了这样一道数学题：当时，求代数式的值。

小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程。

五、以退为进，先约分，再通分例5 化简：【跟踪训练5】化简：拓展延伸六、特殊分式的加减技巧例6 化简：【跟踪训练6】计算：竞赛链接例7 已知，则,B= , C= .【跟踪训练7】已知，其中A,B,C为常数，则,B= , C= .培优训练1.计算2.计算：3.其中4.已知，试求A,B的值。

3-2-2 (10年秋)分式的运算技巧.讲义学生版

内容基本要求略高要求较高要求分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( )( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n nn a a a a a a a a b b bb b b b b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的运算技巧⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的换元化简【例1】化简：22223322332223()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-二、利用乘法公式或因式分解法化简【例2】计算：221111[]()()()a b a b a b a b -÷-+-+-三、分式的递推通分【例3】计算：3722448811248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-【例4】计算：2482112482111111n nx x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)【巩固】已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .例题精讲四、分式的裂项【例5】化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【巩固】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【例6】若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【例7】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++-----+--+--+---.【例8】化简：222()()()()()()a bcb ac c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.【巩固】化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.五、分式配对【例9】已知：1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值.【例10】有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．求代数式1010101001211111111na a a a ++++++++的值．1.计算：()()()b a a b b a a b b a a b 22222222222211-+-++2. 化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++.3.化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+4.化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------课后作业。

分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b-=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。

九年级数学下册综合算式专项练习题分式运算的技巧与窍门

九年级数学下册综合算式专项练习题分式运算的技巧与窍门在九年级数学下册中，我们经常会遇到分式运算的题目。

分式是数学中的一种特殊形式，它是由分子和分母组成的有理数，并且分母不能为零。

分式运算涉及到加减乘除等运算，需要我们掌握一些技巧与窍门。

本文将为大家介绍几种常见的分式运算技巧，帮助大家更好地解决九年级数学下册中的综合算式专项练习题。

一、约分与通分在进行分式运算时，我们经常需要进行的第一步就是约分与通分。

约分是指将分式的分子与分母同时除以它们的最大公因数，使得分式可以化简为最简形式。

通分是指将分式的分母化为相同的分母，便于进行加减运算。

在约分与通分过程中，我们可以运用以下的技巧来简化计算：1.1 约分技巧：- 找出分子与分母的公因数，将其约掉；- 判断分子与分母是否有相同的倍数，可以通过分解因式或列举数表等方法来确定；- 注意负号的处理，当分子与分母有负号时，需要将负号移到分子或分母。

1.2 通分技巧：- 找出分母的最小公倍数，将分子与分母乘以适当的倍数使得分母相同；- 注意符号的处理，当分子与分母有负号时，需要进行相应的变换。

二、加法与减法运算在九年级数学下册的分式运算中，加法与减法运算是经常出现的题型。

在进行加法与减法运算时，我们需要先通分，然后将分子进行相加或相减，分母保持不变。

下面是一些常见的技巧与窍门：2.1 通分技巧：- 找出分母的最小公倍数，将分子与分母乘以适当的倍数使得分母相同；- 注意符号的处理，当两个分式的分母相同且分子为相反数时，它们可以互为抵消；- 利用整数与分数的相互转化，将整数转化为分数再进行运算。

2.2 加法与减法计算技巧：- 先进行分子的加法或减法运算，分母保持不变；- 化简分子，约分分母。

三、乘法与除法运算乘法与除法运算是分式运算中的另一个重要部分。

在进行乘法与除法运算时，我们需要先化简分式，然后将分子与分母进行相应的运算。

以下是一些常见的技巧与窍门：3.1 乘法技巧：- 分子与分母进行相乘；- 约分分子与分母。

初一年级奥数知识点：分式的乘除

初一年级奥数知识点：分式的乘除一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式相关的条件①分式有意义：分母不为0(B?0)②分式无意义：分母为0(B?0)③分式值为0：分子为0且分母不为0(?A叫做分式，A为分子，B为分母。

B?A?0)?B?0?A?0?A?0或?) B?0B?0???A?0?A?0或?)?B?0?B?0④分式值为正或大于0：分子分母同号(?⑤分式值为负或小于0：分子分母异号(?⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)三、分式的基本性质(1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：AA?CAA?C?，?，其中A、B、C是整式，C?0。

BB?CBB?C(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：A?A?AA????? B?BB?B注意：在应用分式的基本性质时，要注意C?0这个限制条件和隐含条件B?0。

四、分式的约分1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

3.两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母实行因式分解，再约分。

4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.。

分式运算的技巧方法

分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。

下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。

2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。

最后再将两个分子相加或相减。

二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。

2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。

3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。

三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。

2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。

3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。

四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。

2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。

五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。

2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。

3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。

六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。

2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。

分式的运算技巧

分式的运算技巧分式的运算技巧包括四则运算、约分、通分和化简。

下面将一步步详细介绍这些技巧及其应用。

一、四则运算分式的四则运算包括加、减、乘和除。

加法和减法：先将分母化为通分的形式，然后在分子上进行加减运算即可。

求得结果后要记得将结果化简到最简形式。

例如：\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}乘法：将分数乘起来，然后将分子和分母分别约分。

例如：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}除法：将被除数和除数的倒数相乘，然后将分子和分母分别约分。

例如：\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{ 5}{6}二、约分约分是指将一个分数化为最简形式的过程。

分母和分子同时除以它们的最大公约数即为最简形式。

最大公约数可以通过辗转相除法求得。

例如：\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，因为6和12的最大公约数是6，所以分母和分子同时除以6即可。

\frac{20}{25}=\frac{4}{5}，因为20和25的最大公约数是5，所以分母和分子同时除以5即可。

三、通分通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的分数，使它们可以相加或相减。

通分步骤如下：1. 找到两个或多个分数的最小公倍数。

2. 将每个分数的分母变成最小公倍数，分子相应地乘上一个倍数。

3. 将分数的分子相加或相减，结果的分母与通分后的分母相同。

例如：\frac{2}{3}+\frac{1}{4}最小公倍数为12，分别乘以4和3得到通分后的分数：\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{8}{12}+\frac {3}{12}=\frac{11}{12}四、化简化简是指将一个分式化为最简形式或将分式中的分子和分母进行因式分解的过程。

八年级数学奥术三级第二跳（思维训练）第一讲分式的运算 (1)

第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没成心义。

二、分式的性质（1）分式的大体性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。

（2）分式的符号法那么：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，那么11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。

三、分式的运算分式的运算法那么有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。

四、分式的变形分式的大体性质是分式变形的理论依照之一，分式变形的经常使用方式有：设参法（要紧用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。

【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11成心义，那么x 的取值范围是_______________________。

思路点拨：当分式的分母不为零时，分式成心义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。

【巩固】一、假设分式2231244x x x -++的值为0，那么x 的值为_____________；二、假设使分式aa a 231142++-没成心义，那么a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 成心义？【例2】化简以下分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x （3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。

分式的运算技巧讲义

分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。

分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。

一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。

例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。

例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。

例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。

例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。

例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。

以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。

例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。

【初中】初中数学奥赛专题复习知识梳理例题精讲第一讲分式的运算(基础篇,适合八年级使用,无答案)

分式的运算【知识梳理】一、分式的意义形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。

二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。

（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。

三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。

四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。

【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。

思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。

【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________；2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。

3-2-2 分式的运算技巧.讲义学生版

一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的运算技巧⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的换元化简【例1】化简：22223322332223()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-二、利用乘法公式或因式分解法化简【例2】计算：221111[]()()()a b a b a b a b-÷-+-+-三、分式的递推通分【例3】计算：3722448811248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-【例4】计算：2482112482111111nnx x x x x x++++++-+++++(n 为自然数)【巩固】已知24816124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .例题精讲四、分式的裂项【例5】化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【巩固】化简：22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++【巩固】设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【例6】若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．【例7】化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.【例8】化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.【巩固】化简：222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+.五、分式配对【例9】已知：1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值.【例10】有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．求代数式1010101001211111111na a a a ++++++++的值．1. 计算：()()()b a a b b a a b b a a b22222222222211-+-++2. 化简：代数式32411241111x x x x x x +++-+++. 3. 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+4. 化简：()()()()()()a b b c c ac a c b b a a c b c b a ---++------课后作业。

奥林匹克数学题型分式的简化与运算

奥林匹克数学题型分式的简化与运算分式是数学中常见且重要的概念，它在奥林匹克数学竞赛中也经常出现。

分式可以表示为两个整数之间的比值，通常由一个分子和一个分母组成。

本文将探讨奥林匹克数学题型中关于分式的简化和运算的方法与技巧。

一、分式的简化在奥林匹克数学竞赛中，简化分式是一个基础而又重要的步骤。

为了简化分式，我们需要找到分子和分母的最大公因数，并将其约分。

例如，考虑分式$\frac{12}{18}$。

我们可以观察到12和18都可以被2整除，因此它们的最大公因数是2。

通过将分子和分母都除以最大公因数2，我们可以得到简化后的分式$\frac{6}{9}$。

这个分式仍然存在可以约分的因子，进一步简化为$\frac{2}{3}$。

我们得到了最简形式的分式。

二、分式的乘法奥林匹克数学题型中常常涉及到多个分式的乘法运算。

在进行分式乘法时，我们需要将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘，并约分得到结果。

考虑以下示例：$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$。

我们将分子1与分子3相乘，得到3；将分母2与分母4相乘，得到8。

最后，我们对结果$\frac{3}{8}$进行简化。

三、分式的除法除法是分式运算中的另一个常见问题。

当我们需要将两个分式相除时，可以通过将除式取倒数，再进行分式乘法来实现。

例如，考虑分式$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$。

我们可以将除式$\frac{4}{5}$取倒数，得到$\frac{5}{4}$。

然后，我们可以将原始分式转化为$\frac{2}{3} \times \frac{5}{4}$的形式。

最后，按照分式乘法的规则进行计算，得到结果$\frac{10}{12}$。

我们可以对结果进行简化，得到最终的答案$\frac{5}{6}$。

四、分式的加法与减法在奥林匹克数学竞赛中，有时候需要进行分式的加法和减法运算。

为了实现这些操作，我们需要找到两个分式的公共分母，并按照相应的运算法则进行计算。

初三数学分式运算的几点技巧知识精讲试题

初三数学分式运算的几点技巧知识精讲陈松林分式运算的一般方法就是按分式运算法那么和运算顺序进展运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一. 分段分步法例1. 计算：44322x a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 解：原式x a x 4x a x 4x a x 4x a )x a (x 2)x a (x 2x a x 4x a x 2x a x 2x a x 4x a x 2x a )x a ()x a (44344344344222244322224432222=---=-----+=--+--=--+----+=说明：假设一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，那么可使问题简单化。

同类方法练习题：计算1x 21x 11x 12+-+--1x 81x 484+-+- 〔答案：1x 1616-〕二. 分裂整数法例2. 计算：3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 解：原式=3x 14x 12x 11x 1)3x 11()4x 11()2x 11()1x 11(3x 13x 4x 14x 2x 12x 1x 11x -+--+-+=-----+++-++=-------++++-+++)4x )(3x (1)2x )(1x (1)3x )(4x ()4x (3x )2x )(1x ()1x (2x ---++=------+++-+=)4x )(3x )(2x )(1x (2x 3x 12x 7x )4x )(3x )(2x )(1x ()2x )(1x ()4x )(3x (22--++---+-=--+++----=)4x )(3x )(2x )(1x (10x 10--+++-=说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数一样次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则

分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。

分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。

下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。

一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。

那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。

同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。

二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。

三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。

需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。

以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。

在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。

当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。

而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。

通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。

初二分式的知识点做题技巧

初二分式的知识点做题技巧
初二分式是初中阶段数学学习中的重要知识点，它是代数学中
的一个基础概念，掌握好分式的知识对于学习代数和后续数学知识
都非常重要。

下面我将从知识点和做题技巧两个方面来回答你的问题。

首先，让我们来看一下初二分式的知识点。

分式是指两个整式
相除所得的结果，通常表示为a/b的形式，其中a和b都是整式，b
不等于0。

在初二阶段，学生通常会学习以下几个方面的知识：
1. 分式的定义，分式是指一个整式除以另一个非零整式所得的
结果。

分式通常写作a/b的形式，其中a和b都是整式，b不等于0。

2. 分式的化简，化简分式是指将分式中的分子和分母进行因式
分解，然后约分，使分式的形式更加简洁。

3. 分式的加减乘除，学生需要学会对分式进行加减乘除的运算，包括同分母情况下的加减法运算、异分母情况下的通分后运算、乘
法和除法运算等。

其次，让我们来看一下初二分式的做题技巧。

在处理分式的题
目时，学生可以采用以下几个技巧：
1. 熟练掌握分式的化简方法，包括因式分解和约分，以便在计
算过程中简化分式。

2. 在进行分式的加减乘除运算时，需要先确定分母是否相同，
若不相同则需要进行通分处理，然后再进行运算。

3. 在解决分式的应用问题时，需要将实际问题转化为代数表达式，建立方程或不等式，然后解方程或不等式，最后将解代入原问
题中得出答案。

总之，初二阶段的分式知识点和解题技巧是数学学习中的基础，学生需要通过大量的练习来加深对分式的理解，掌握分式的化简和
运算方法，培养解决实际问题的能力。

希望这些信息能够帮助到你。

(完整版)八年级奥数：分式的运算

八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等．问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算（1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪．知识技能广场1．埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（）．8．方程的整数解有（）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算：（1）；（2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立：（1）；（2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且．则的值是（）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值：．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ．如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有．（1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。