2008—2009学年度高二数学第二学期期末考题

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电子科技大学《数学实验》2008-2009学年期末试题(含答案)

电子科技大学二零零八到二零零九学年第二学期期末考试《数学实验》课程考试题A卷(120分钟) 考试形式：闭卷考试日期：2009年7月8日一、单项选择题(20分)1、三阶幻方又称为九宫图，提取三阶幻方矩阵对角元并构造对角阵用( )(A) diag(magic(3)); (B) diag(magic);(C) diag(diag(magic(3))); (D) diag(diag(magic))。

2、MATLAB命令P=pascal(3)将创建三阶帕斯卡矩阵，max(P)的计算结果是( )(A) 1 2 3 (B) 1 2 1 (C) 3 6 10 (D) 1 3 63、命令J=*1;1;1+**1,2,3+;A=j+j’-1将创建矩阵( )(A)123234345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (B)234345456⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C)123123123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)111222333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4、data=rand(1000,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(y<sqrt(x)&y>x.^2);的功能是( )(A) 统计2000个随机点中落入特殊区域的点的索引值；(B) 统计1000个随机点落入特殊区域的点的索引值；(C) 模拟2000个随机点落入特殊区域的过程；(D) 模拟1000个随机点落入特殊区域的过程。

5、MATLAB计算二项分布随机变量分布律的方法是( )(A) binocdf(x,n,p); (B) normpdf(x,mu,s); (C)binopdf(x,n,p); (D) binornd(x,n,p)。

6、MATLAB命令syms e2;f=sqrt(1-e2*cos(t)^2);S=int(f,t,0,pi/2)功能是()(A) 计算f(x)在[0,pi/2]上的积分；(B) 计算f(t)不定积分符号结果；(C) 计算f(x)积分的数值结果；(D) 计算f(t)定积分的符号结果。

2008～2009学年第二学期期中复习试卷七年级数学

2008～2009学年第二学期期中复习试卷七年级数学一、选择题（每小题2分，共20分）1．若∠1与∠2是同位角，∠1=40°，则（）A.∠2=40°B.∠2=140°C.∠2=40°或∠2=140°D.∠2的大小不确定 2．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的整数）则其外角和的度数（） A.增加 B. 减少 C.不变 D.不能确定 3..通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是：（）A ．()2222——b ab a b a +=B ．()2222b ab a b a ++=+C ．()()22——b a b a b a =+D ．()ab a b a a 2222+=+4．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( )(A)90° (B)135° (C)315° (D)270° 5.如果1593)(b a b b a mn=∙∙,那么（）A. m=9 , n=4B. m=9 , n=-4C. m=3 , n=4 D .m=4 , n=36.．若方程组⎩⎨⎧=-=+a y x y x 224中的x 是y 的2倍，则a 等于（）A ．－6B ．8C ．－7D ．－97．小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果++xy x 2042慎被污染了，这一项应是（） A.25yB.210yC.225yD.2100y8．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．22b a +B ．92+yC ．216a +-D ．22y x --9．若一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角的度数之比为（）A 4：3：2B 5：3：1C 3：2：4D 3：1：5 10．已知关x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和3211233x y ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值为（）A ．a =1，b=2B ．a =－2，b=5C ．a =－2，b=4D ．a =1，b=5二、填空（每小题2分，共16分）11．如果q a p a n m ==,（m.n 是正整数）,那么_____________,233==+n m m a a 。

08-09(2)高等数学B

江汉大学 2008——2009 学年第 2 学期一、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）1. =⎰4][dx x x ，其中][x 表示不超过x 的最大整数；2. 过点A(1,-2,3)且与平面2x +y -5z = 9垂直的直线的方程为。

3. yxz arctan=, 则 =dz . 4. 设可微函数z = f (x 2-y 2 ,e xy ), 则xz∂∂= ，y z ∂∂= 。

5. 若⎰+=xdt t f x f 0)(21)(，则=)(x f .。

6. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n =_______________.7. 幂级数∑∞=+-0)1(3)1(n n nnx n 的收敛区域为 . 8. 若交换积分顺序，则=⎰⎰+-2212),(x x dy y x f dx。

9. 微分方程y ' =xyy x +的通解为。

10. 微分方程 y"+y = x 的特解的形式可设为: 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 下列积分中，积分值为0的是（）.⎰-2 22cos .ππxdx x A ⎰202cos .πxdx x B ⎰-2 22sin .ππxdx x C ⎰2 02sin .πxdx x D2. 设f (x+y, x -y)=x 2 – y 2, 则=∂∂+∂∂yf x f （）。

(A) 2x –2y (B) 2x+2y(C) x+y (D) x-y3. 设),(y x f 在D 上连续，⎰⎰+=Ddxdy y x f x y x F ),(2),(，则=∂∂x F（）.A 2B ),(2y x f +C ),(2y x f x '+D ),(2y x f y '+ 4. 对于幂级数∑∞=13n n n x a ,有0lim1≠=+∞→a a a nn n , 则其收敛半径为( )A. aB. a 1C.3a D.31a5. 若21,y y 是某二阶线性齐次微分方程的解,则2211y c y c +是此方程的( )A.通解B.特解C. 解D. 全部解三、计算题（本大题共7小题，每题8分，共56分）1. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .2. 设z=z(x,y)是由方程z=f (x+y+z)所确定的隐函数, 其中f 具有二阶连续导数,求x z ∂∂,22x z∂∂3. 试求函数z = x 2 + y 2 在x + y = 1条件下的极值。

北京市西城区2009年7月高二数学(文科)试题

北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（文科） 2009.7本试卷满分150分考试时间：120分钟求的.1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{2,5}B =，则()U AC B = ( ) DA ．{2}B ．{2,3}C ．{3}D ．{1,3}2. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上为减函数的是( ) CA ．12y x = B ．3log y x =C ．cos y x =D ．y x =3．下列命题中正确的是（）DA ．x ∀∈Z ，41x ≥B ． x ∃∈Q ，23x =C ．x ∀∈R ，210x-> D ． x ∃∈N，0x ≤4． “0ab ≥”是 “0ab≥”的（）B A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5. 如图，P 、Q 是单位圆上两个点，圆心O 为坐标原点，90POQ ∠=，且1(,)22P ，则Q 点的横坐标为( ) A A ．12-B ．C ．D ．13-6. 函数1()e xf x x=-（其中e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是 ( ) B A ． 11(,)42B ． 1(,1)2C ． 3(1,)2D ． 3(,2)27. 已知函数()sin(2)3f x x π=+，下列判断错误的．．．是( ) D A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．直线12x π=是函数()f x 图象的对称轴C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5(,)1212ππ-上单调递增8. 已知函数()sin f x x =，若当7[,]63x ππ∈--时，()m f x n ≤≤恒成立，则n m -的最小值是 ( ) CA ．2BC ．32D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则()0f x <的解集是_____________.{01}x x <<10. 计算1lglg 254-的值为_________.2- 11. 已知31sin()23πα-=，则cos 2α=__________.79- 12. 已知221,0,()log (1),0,x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩ 若3()4f x =-，则x 的值是_________. 2-13.函数sin y x x =的最大值为_________；若其图象向右平移ϕ个单位（0ϕ>）后所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为___________．2，6π 14. 已知()f x 是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =. 那么，当12x ≤≤时，()f x =____________；若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个公共点，则实数a 的值是____________.2(2)x -； 2a k =或12()4a k k =-∈Z三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分12分）已知函数2()(1)1f x x a x =+-+在区间1(,1)2上是减函数. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为3-，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程.16. （本小题满分13分）已知4tan 3α=-. （1）求tan()4πα+的值；（2）求2cos sin 21cos 2ααα++的值.17. （本小题满分13分）已知函数32()3f x x x a =-++. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[1,3]上的最大值为10，求它在该区间上的最小值.18. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos (2)cos 0b C a c B ++=. （1）求角B 的度数；（2）若3b =，求ABC ∆面积的最大值.19. （本小题满分14分）如图所示，已知AB BC ⊥，//OA BC ，且24AB BC OA ===，曲线段OC 是以点O 为顶点且对称轴与AB 平行的抛物线的一段.设P 是曲线段OC 上任意一点，点M 在AB 上，点N 在BC 上，PMBN 是矩形，问点P 在曲线段OC 上什么位置的时候才能使矩形PMBN 的面积最大？并求出最大面积.POCBMA N20.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+. （其中0a <，e 为自然对数的底数）（1）()f x 在(0,e]上的最大值为3-，求a 的值；（2）若定义在区间D 上的函数()y g x =对于区间D 上的任意两个值1x 、2x 总有不等式12121[()()]()22x x g x g x g ++≥成立，则称函数()y g x =为区间D 上的“凹函数”. 试证明：当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”.北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.D ;2. C;3.D ;4. B;5.A ;6. B;7. D;8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （一题两空的试题两空依次为2分、3分）9. {01}x x << ; 10. 2-; 11. 79-; 12. 2-; 13. 2，6π ; 14. 2(2)x -； 2a k =或12()4a k k =-∈Z .三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15. （本小题满分12分）解：（1）函数为二次函数，在区间1(,1)2上是减函数，所以112a --≥，即1a ≤-. ……………4分（2）函数()y f x =的最小值为3-，所以24(1)34a --=-，解得3a =-或5a =，注意到1a ≤-，所以 3a =-. ……………6分此时2()41f x x x =-+，()24f x x '=-，……………8分所以曲线在(1,(1))f 处切线的斜率为(1)242f '=-=-，……………10分所以，所求切线的方程为20x y +=. ……………12分16. （本小题满分13分）解：（1）tan 11tan()41tan 7πααα++==--. ……………5分（2）222cos sin 2cos 2sin cos 1cos 22cos ααααααα++=+……………10分1tan 2α=+……………12分 145236=-=-……………13分17. （本小题满分13分）解：（1）由已知，2()36f x x x '=-+， ………………2分解2()360f x x x '=-+>，得02x <<，解2()360f x x x '=-+<，得2x >或0x <，……………5分所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞. ……………7分（2）由（1）知函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以在区间[1,3]上()f x 的最大值是(2)f ， ……………9分所以(2)10f =，解得6a =. ……………11分故32()36f x x x =-++，计算(1)8f =，(3)6f =，所以()f x 在区间[1,3]上的最小值为6.……………13分18. （本小题满分14分）解：（1）因为cos (2)cos 0b C a c B ++=，由正弦定理sin cos (2sin sin )cos 0B C A C B ++=, ……………2分所以sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A B ++=，sin()2sin cos 0B C A B ++=，2sin cos sin 0A B A +=， ……………4分因为0180A <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =-，又0180B <<，所以120B =. ……………6分（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即22222132()2a c ac a c ac =+-⨯-=++， ……………8分又2223a c ac ac ac ac ++≥+=，所以3ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，即当a c ==ac 的最大值为3. ……………12分1sin 2ABC S ac B ∆==≤所以ABC S ∆. ……………14分19. （本小题满分13分）解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 依题意，(2,4)C ， ……………2分设曲线段所对应的抛物线方程为2y ax =，因为P 在曲线段OC 上，所以242a =⨯，1a =， ……………4分抛物线段方程为2(02)y x x =≤≤，设2(,)P x x (02)x ≤≤是曲线段上任意一点，则2PM x =+，24PN x =-，所以223(2)(4)842(02)PMBN S x x x x x x =+-=+--≤<， …………8分2344(32)(2)S x x x x '=--+=--+， ……………10分当223x -<<时，0S '>；当23x >时，0S '<，所以，在区间2[0,)3上，S 是x 的增函数，在区间2(,2)3上，S 是x 的减函数， ……………12分所以，当23x =时，S 取得最大值，此时329PN =， ……………13分即点P 在曲线段OC 上，到BC 的距离为329时，矩形PMBN 面积的最大值为25627. ……………14分20. （本小题满分14分）解：（1）由已知，(0,)x ∈+∞，11()ax f x a x x+'=+=，……………1分当0a <时，解1()0ax f x x +'=>得10x a <<-，解()0f x '<得1x a >-，所以函数()f x 在1(0,)a -上是增函数，在1(,)a-+∞上是减函数. ……………3分当1e a ->，即10a e-<<时，函数()f x 在(0,e]上的最大值为(e)e 1f a =+，解e 13a +=-得41a e e=-<-，不符合题意；……………5分当1e a -≤，即1a e ≤-时，函数()f x 在(0,e]上的最大值为11()1ln()f a a-=-+-，解11ln()3a-+-=-得2e a =-，符合题意.综上，2e a =-.……………7分（2）当1a =-时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值为(1)1f =-，即()0f x <恒成立. 所以111()()()ln g x f x f x x x x x x=+=-+=+-，(0,)x ∈+∞.……………9分设12,(0,)x x ∈+∞，计算121212112212121111[()()](ln ln )2222x x x x g x g x x x x x x x x x +++=+-++-=+-121212122()ln 222x x x x x x g x x +++=+-+，因为122x x +≥12ln 2x x +≥12ln 2x x+-≤-，……………11分 22121212121212121212124()()2022()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---==≤+++，所以12121222x x x x x x +≤+，……………13分所以12121[()()]()22x x g x g x g ++≥，即当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”. …………14分。

09西城区数学选修2-3模块测试+期末

北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（理科） 2009.7本试卷满分150分考试时间：120分钟A 卷 [选修模块2-3] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知220n =A ，则n =( ) CA ．7B ．6C ．5D ．42. 有不同的红球5个，不同的白球4个. 从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有( ) C A ．9种 B ．16种 C ．20种 D ．32种3．5(12)x +展开式的二项式系数和为（）BA ．243B ．32C ．24D ．164. 甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有( ) A A ．400种 B ．200种C ．40种D ．20种5. 5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有( ) BA ．72种B ．36种C ．18种D ．12种6. 在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的. 则下列说法正确的是( ) DA ．100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎B ．某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎C ．在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人D ．在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有7. 已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为( ) CA ．415B ．25C ．1745D ．28458. 从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有( ) AA ．36个B ．30个C ．28个D ．24个9. 现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有( ) BA ．4种B ．6种C ．8种D ．12种10. 已知1~(8,)2X B ，当()(,08)P X k k k =∈≤≤N 取得最大值时，k 的值是( ) D A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. 5(21)x +的展开式中2x 项的系数是 _____． 4012. 5个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有___________种（用数字作答）. 36 13. X 服从正态分布2(3,)N σ，若(4)0.2P X >=，则(23)P X <<=___ ____. 0.3 14. 从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A =“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，且()0.91P A =．则从该批产品中任取1件是二等品的概率为________.0.3 15. 随机变量X若1()3E X =，则()D X 的值是．916. 若对于任意的实数x ，有2330123(1)(1)(1)a a x a x a x x +-+-+-=，则0a 的值为_______； 2a 的值为_______． 1；3三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6.如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率.18. （本小题满分12分）一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球. （1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X 的分布列及()E X .19. （本小题满分12分）已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为23．（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止. 设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X ，求X 的分布列.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知ii 1+ia b +=（,,i a b ∈R 为虚数单位），则a b +=________. 1 2. 曲线cos y x =在点1(,)32π处切线的斜率为___________.3. 曲线2y x =与直线y x =所围成图形的面积为__________.164. 设函数3()f x x ax b =++的图象为曲线C ，直线2y kx =-与曲线C 相切于点(1,0).则k =_________；函数()f x 的解析式为_______________. 2k =，3()f x x x =-5. 函数32()f x ax bx cx =++ 的图象如图所示，且()f x在0x x =与1x =-处取得极值，给出下列判断： ①(1)(1)0f f +-=； ②(2)0f ->；③函数()y f x '=在区间(,0)-∞上是增函数.其中正确的判断是________.（写出所有正确判断的序号） ②③二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分8分）已知数列{}n a中，12a =，1(1,2,)n n a n +==. 计算234,,a a a 的值，根据计算结果，猜想n a 的通项公式，并用数学归纳法进行证明.7. （本小题满分10分）已知函数()ln f x ax x =+，a ∈R . （1）讨论()y f x =的单调性；（2）若定义在区间D 上的函数()y g x =对于区间D 上的任意两个值1x 、2x 总有不等式12121[()()]()22x x g x g x g ++≥成立，则称函数()y g x =为区间D 上的“凹函数”. 试证明：当1a =-时，1()()g x f x x=+为“凹函数”.8.（本小题满分12分）已知函数221()(1)x f x x -=+，()e 1axg x x =-（a ∈R ，e 为自然对数的底数，e 2.718≈）．（1）当[0,3]x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若对于任意的0[0,3]x ∈，都存在1[0,3]x ∈，使得10()()g x f x =，求a 的取值范围．北京市西城区2008—2009学年度第二学期学业测试高二数学（理科）参考答案及评分标准A 卷 [选修模块2-3]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. C;2.C ;3.B ;4.A;5. B;6. D;7. C;8. A;9. B; 10. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （一题两空的试题每空2分）11. 40 ; 12. 36 ; 13. 0.3 ; 14. 0.3 ; 15. 59; 16. 1，3. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.（如有其他方法，仿此给分） 17. （本小题满分12分）解：记“甲第i 次复原成功”为事件i A ，“乙第i 次复原成功”为事件i B ，依题意，()0.8i P A =，()0.6i P B =．（1）“甲第三次才成功”为事件123A A A ，且三次复原过程相互独立， ………………3分所以，123123()()()()0.20.20.80.032P A A A P A P A P A ==⨯⨯=． ………………6分（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ．所以11()1()P C P A B =-⋅． ………………9分111()()10.20.40.92P A P B =-⋅=-⨯=. ………………12分18. （本小题满分12分）解：设i A =“第i 次取到白球”， i B =“第i 次取到黑球”（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以21()3P B =. ………………3分（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以，所求概率25P =. ………………6分（3）有放回的依次取出3个球，则取到黑球次数X 的可能取值为0,1,2,3. ………………7分三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为13，所以，03328(0)()327P X C ===； 123124(1)()()339P X C ==⋅=； 2213122(2)()()339P X C ==⋅=； 33311(3)()327P X C ===. ………………9分 ………………10分这个试验为3次独立重复事件，X 服从二项分布，即1~(3,)3X B ，所以，()1E X =. ………………12分19. （本小题满分12分）解：（1）设“甲投篮4次，恰有3次投进”为事件A ，则()31342132C 3381P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………3分（2）依题意，X 的可能取值为2,3,4,5,6. ………………4分111(2)339P X ==⨯=； ………………5分2112(3)33327P X ==⨯⨯=； ………………6分 212112(4)()3333327P X ==+⨯⨯⨯=； ………………8分 “5X =”表示投篮5次后终止投篮，即“最后两次投篮未进，第三次投中，第一次与第二次至少有一次投中”.所以2112116(5)13333243P X ⎡⎤⎛⎫==-⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭； ………………10分164(6)1[(2)(3)(4)(5)]243P X P X P X P X P X ==-=+=+=+==. ………………11分………………12分B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分（一题两空的题目每空2分）.1. 1 ;2. ;3. 16; 4. 2k =，3()f x x x =-; 5. ②③ . （注：②③选对一个命题得两分。

2008-2009学年安徽大学《高等数学 C(二)》(A卷)考试试题及参考答案

安徽大学2008—2009学年第二学期院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）题号一二三四五总分得分阅卷人得分一、填空题（每小题2分，共10分）1．已知两个4维向量与21(1,,1,0)t α=2(2,1,3,2)t α=−正交，则＝ t . 2．幂级数221212n nn n x ∞−=−∑的收敛半径为 . 3．设，100220345A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ∗是A 的伴随矩阵，则1()A ∗−= .4．设平面区域：0,D 01x y y ≤≤≤≤(,)，f x y 在上连续，则利用极坐标变换可将二重积分D (,)Df x y d σ∫∫ 化为 .5．二次型22212312224243x x x x x x ++++x 的秩为 .得分二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. 二元函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点处( ).(0,0)A. 连续，偏导数也存在 B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数也不存在7．若,A B 均为同阶可逆矩阵，则必有( ) . A. A 可经行初等变换变到B B. A B =C. 存在可逆矩阵，使得P 1P AP B −=D. A B +为可逆矩阵8．若阶矩阵n A 的一个特征值为2，则23A A E ++必有一个特征值为( ) .A. 0B. 1C. 11D. 不能确定9．若级数收敛，则( ) .1(n n n a b ∞=+∑)A. 、中至少有一个收敛 B. 1n n a ∞=∑1n n b ∞=∑1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑均收敛C. 1n n n a b ∞=+∑收敛 D. 1n n a ∞=∑、1n n b ∞=∑敛散性相同10. 差分方程的通解为 ( ) (其中为任意常数) .2132t t t y y y ++−+=02222C 1,C C A. B. C. 1C t C +12t C C +1(2)t C −+ D.12(1)t C C −+三、计算题得分(第11小题至第14小题每题8分，第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin y z x =，求(1) zx ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域.院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.14. 将1()f x x=展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域. (3x −)⎟⎟15. 已知，. 若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X .16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟0,院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) a 为何值时，方程组无解；(2) a 为何值时，方程组有解，并求其解.得分四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到三条直线0x =、0y =、2160x y +−=距离的平方和最小.五、证明题（本题8分）得分19．设A 为矩阵，其秩为，m n ×AX b =r β是非齐次线性方程组的一个解，0AX =12,,,n r ααα−"是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：向量组12,,,,n r ααα−"β 线性无关.安徽大学2008－2009学年第二学期《高等数学 C（二）》考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、填空题（每小题2分，共10分）1．1或； 3. 110A ； 4.csc 204(cos ,sin )d f r r r πθπθθ∫∫dr θ； 5. .2二、单项选择题（每小题2分，共10分）6. C；7. A；8. C；9. D； 10. B.三、计算题(第11小题至第14小题每题8分，第15小题至第17小题每题10分，共62分)11. 已知sin yz x =，求(1) z x ∂∂、z y ∂∂； (2) ； (3) d z 2z x y ∂∂∂.解：2cos z y y x x x ∂=−∂,1cos z y y x x∂=∂ 21cos cos y y ydz dx dy x x x x=−+22(cos )z y y x y y x ∂∂=−∂∂∂x 231cos sin y y y x x x x =−+ 12. 求二重积分cos Dxdxdy x∫∫，其中为直线D y x =与抛物线2y x =所围成的区域. 解：cos Dxdxdy x ∫∫210cos x x x dx dy x=∫∫120cos ()xx x dx x=−∫1(cos cos )x x x d =−∫x=1cos1−13. 求微分方程32x y y y e −′′′−+=的通解.解：方程对应的齐次微分方程为：32y y y 0′′′−+= 0 其特征方程为，解得232λλ−+=121, 2λλ==.故齐次方程的通解为：212x x C e C e +. 设非齐次方程的一个特解为x y Ae ∗−=代入原方程得到32x x x x Ae Ae Ae e −−−++=−，故16A =这样原方程的通解为：21216x x x C e C e e −++.14. 将1()f x x =展开成的幂级数，并求该幂级数的收敛半径、收敛域.解：(3x −)1111()33331()3f x x x x ===⋅−+−+ 而01(1)1n n n x x ∞==−+∑，，(1,1)x ∈− 故11331()3x ⋅−+013(1)()33n n n x ∞=−=−∑＝1(3)(1)3n n n n x ∞+=−−∑ 且313x −<，于是33x −<，收敛半径为3r =，收敛区域为.(0,6)15．已知，.若201030202A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠100010000B ⎛⎞⎜⎟⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠X 满足22AX B BA X +=+，求X . 解：由 22AX B BA X +=+得到：(2)(2)A E X B A E −=−，从而1(2)(2)X A E B A E −=−−又，001(2)010200A E ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠11002(2)010100A E −⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠这样，1200100001010010010100000200X ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎠000010001⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜=−⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎜⎟⎝⎠⎟⎟16．求矩阵的特征值和特征向量；判断它是否可以对角化，并说明理由.110430102A −⎛⎞⎜=−⎜⎜⎟⎝⎠解：1104301022(1)(2λλE A λλλλ+−−=−−−)=−− 令0E A λ−=解得特征值为12λ=，231λλ== 对于12λ=，解方程组，得基础解系为：123(2)0x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠=1(0,0,1)T η=故属于12λ=的全部特征向量为1(0,0,1)T k 1(0k )≠ 对于231λλ==，解方程组，得基础解系为：123()x E A x x ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠0=2(1,2,1)T η=−故属于231λλ==的全部特征向量为2(1,2,1)T k −2(0k )≠ 因A 只有两个线性无关的特征向量，故A 不能对角化.17．对于非齐次线性方程组1231231231,220.x x x x x x x x ax 0,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩(1) 为何值时，方程组无解；a (2) 为何值时，方程组有解，并求其解. a 解：方程组对应系数的增广矩阵为：11 1 112 2 011 0A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111 1011 102 1 1 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠11 1 1011 100 13 a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠(1) 当时方程组无解；10a +=(2) 当即时，方程组有唯一解，其解为：10a +≠1a ≠− 123 23 113 1x x a x a ⎧⎪=⎪⎪=−⎨+⎪⎪=−⎪+⎩. 四、应用题（本题10分）18．在平面上求一点，使它到直线0x =，0y =及2160x y +−=的距离的平方和最小.解：设所求的点为(,)x y ，则它到0x =，0y =及2160x y +−=的距离分别为x ，y，于是由题意，距离的平方和为：221(216)5s x y x y =+++−2令22(216)0542(216)05s x x y x s y x y y∂⎧=++−=⎪∂⎪⎨∂⎪=++−=∂⎪⎩，解得唯一驻点816(,)55根据实际意义所求的点一点存在，即为816(,55.五、证明题（本题8分）设β是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,,,n r ααα−"是对应的齐次方程组的一个基础解系，证明：12,,,,n r ααα−"β线性无关.证明：设11220n r n r k k k k ααα−−++++="βr ，因为0,(1,2,,)i A i n α=="−，于是A 左乘上式两端得到0kA β=，而0A b β=≠，故0k =于是11220n r n rk k k ααα−−+++="，而12,,,n r ααα−"是0AX =的一个基础解系，从而线性无关，故，这样120n r k k k k −====="12,,,,n r ααα−"β线性无关.。

08-09-2高等数学A期中卷.

2008-2009学年第二学期高等数学A 期中考试试卷一．选择题(每题3分，共21分)1．曲面x y z a 2222++=与x y az a 2220+=>()的交线是( A )。

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线2．直线53702370x y z x y z +−−=+−−=⎧⎨⎩ ( B )。

（A ）与yoz 平面垂直（B ）在yoz 平面内（C ）与x 轴平行（D ）在xoy 平面内3．设u x bxy cy =−+222，∂∂u x(,)218=，∂∂u y (,)214=，则∂∂∂2ux y = ( C )。

(A) 2 (B) －2 (C) 4 (D) －44．曲线2sin ,4cos ,x t y t z t ===在点(,,)202π处的法平面方程是( D )。

(A) 242x z −=−π(B) 224x z −=−π(C) 42y z −=π (D) 42y z −=−π5．函数z x y =+22在点(1,1 )沿{}K l =−−11,方向的方向导数为( B )。

(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 16．设函数(,)f x y 连续，交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy ∫∫积分次序的结果为( D )。

(A) ln 1(,)e x dy f x y dx ∫∫(B) 1(,)y eedy f x y dx ∫∫(C)ln 01(,)x e dy f x y dx ∫∫ (D) 10(,)ye e dyf x y dx ∫∫7．设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=∫∫∫∫成立的充分条件是( B )。

(A) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −=− (B) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −= (C) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=− (D) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=二．填空题(每题3分，共21分)1．过点(,,)121且与向量{1,2,3},{0,1,1}a b =−−=−−G G平行的平面方程为 _____________________________________。

2008高二数学(文科)答案

2008学年度第二学期高中二年级期末考试数学文科试卷答案二、填空题（每小题5分，共20分）11、已知a =，b =a 与b 的大小关系是 a<b 12、已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC=1，OA=x ，OB=y. 若x+y=4，则三棱锥O —ABC 体积的最大值是32. 13、若实数x y 、满足条件012-2+10x y x y≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 214、设平面内有n 条直线(n≥3)其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= 5 当n>4时f （n ）= 222--n n (用n 表示). （第一个空2分，第二个空3分）三、解答题：共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）若a =5c =，求b ．解：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，……4分由ABC △为锐角三角形得π6B =． …………………7分（2）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=． ……10分所以，b =……………………………………………12分16、（本小题满分14分）设集合{}24A x x =<， {}(1)(3)0B x x x =-+<．（1）求集合AB ；（2）若不等式220x ax b ++<的解集为AB ，求a ，b 的值．解：{}{}2422A x x x x =<=-<<， ……（2分）{}{}(1)(3)031B x x x x x =-+<=-<<. ……（4分）（1）{}21A B x x ∴=-<<. ……（6分）（2）{}32AB x x =-<<. ……（8分）因为220x ax b ++<的解集为{}32x x -<<，所以32-和为220x ax b ++=的两根， …………（9分）故322322ab ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩， …………（12分）所以2a =，12b =-．…………（14分）17、（本小题满分14分）已知函数)(,32,5)(23x f y x bx ax x x f ==+++=时若有极值，曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3。

上学期高二数学期中考试题及答案

济南外国语学校 2008-2009学年度第一学期高二期中考试数学试题（2008. 11）时间：120分满分120分一、选择题（本题共12小题，每小题4分）1.在△ABC 中,若sinA.sinB ＜cosA.cosB,则△ABC 一定为( )A.等边三角形 B 直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.下列不等式的解集是R 的为( )A.0122>++x x B.02>x C.01)21(>+xD.xx 1311<- 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n,,若58215a a a -=+,则S 9等于( )A.60B.45C.36D.46 4.在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x(1-y),若不等式（x-a ）⊗(x+a)<1对任意实数x 都成立，则（） A.11<<-a B.0<a<2 C.2321<<-a D.2123<<-a 5.在△ABC 中，AB=3,AC=1,且B=300,则△ABC 的面积等于（）A.23 B.43 C. 23或3 D. 23或436.若02>++c bx ax 的解集为（-∞，-2）∪（4，+∞），则对f(x)= c bx ax ++2,有（） A. f(5)<f(2)<f(-1) B. f(2)<f(5)<f(-1) C. f(-1)<f(2)<f(5) D. f(2)<f(-1)<f(5)7.在等差数列{a n }中，公差d=1,a 4+a 17=8,则a 2+a 4+a 6+…+a 20=( ) A.40 B.45 C.50. D.558.设x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数，如：[π]=3，[-1.2]=2-,[0.5]=0,则使[x 2-1]=3的x 的取值范围（）A.[2,5）B.(- 5,-2]C. (-5,-2] ∪[2,5） D. [-5,-2] ∪[2,5]9.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-a y x y y x y x ,0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A.34≥a B. 10≤<a C.341≤≤a D.10≤<a 或34≥a10.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列，则q 为（）A.q=2-B.q=1C.q=2-或q=1D.q=2或q=1- 11.若对x>0,y>0有（x+2y ）(yx 12+)≥m 恒成立，则m 的取值范围是（）A.m ≤8B.m>8C.m<0D.m ≤412.设a,b,c 为实数，3a,4b,5c 成等比数列，且c b a 1,1,1成等差数列。

2离散数学

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x）F（x）→G（x）前提引入(2) F（y）→G（y）US（1）．14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．16．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={<x，y>|x∈A，y∈A 且x+y≤3}，试求R，S，R∙S，R-1，S-1，r(R)．17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G是G的补图)．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P∧⌝Q．（6分）12．设P：今天下雨，（2分）⌝P．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误．（3分）（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．错误．（3分）集合A的最大元不存在，a是极大元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（P∨Q）→（R∨Q）⇔⌝（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）⇔(⌝P ∧⌝Q )∨（R ∨Q ）⇔(⌝P ∨R ∨Q )∧(⌝Q ∨R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式（12分）16．R =∅, （2分） S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分） R ∙S =∅，（6分）R -1=∅，（8分） S -1= S ，（10分） r (R )=I A ．（12分） 17．（10分）权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数，（6分）所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等．（8分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式． 12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试ο οο ο ο ο ο ο ο1 2 23 34 75 12（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分） 11．设P ：今天考试，Q ：明天放假．（2分）则命题公式为：P ∧Q ．（6分）12．设P ：我去旅游，Q ：我有时间，（2分）则命题公式为：P →Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分） 13．错误．（3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图．（7分） 14．错误．（3分）集合A 的最大元与最小元不存在， a 是极大元，f 是极小元，．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）∃x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→，（3分）∀z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）（2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ，（9分）约束变元为x 与z ．（12分） 16．（1）A -B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100（6分）（3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，（1分）因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，（3分）所以A ⊆B ．（5分）设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，（6分）因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．（7分）故得A=B ．（8分）试卷代号：1009国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题（半开卷）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）一、单选题：在下列各题的备选答案中选择一个正确的。

高二下学期期末数学试题(含答案)

第二学期教学质量监测试卷高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列命题中的假命题是 A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>RD ．,20x x ∈∀>R 3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x = A.2e B.e C.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若(),~51X N ，则(67)P X <<等于A ．0.3413B ．0.4772C ．0.1359D ．0.81856．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu rA ．211322a b c -++r r rB ．121232a b c -+r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是A ．2B ．3C ．πD ．π28．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有 A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．126种9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =A ．2B ．4C ．6D ．8 10．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立； (2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题；(4)命题“若6πα=，则21sin =α”的否命题是“若6πα≠，则21sin ≠α”．A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为A ．9B ．5C ．5D ．312．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是 A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f < B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f < C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f > D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f > 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为． 14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ．15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=．（Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分）已知函数()(,)bf x ax a b x=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形A B C D 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面A B C D，2,BE AE ==（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：第19题图DAGCE（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3()1,3--M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积． 22.（本小题满分12分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A∵C是B是必要不充分条件，∴B是C是充分不必要条件，B⇒C∵A是B的充分不必要条件，∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，即C是￢D的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题的关键．5．已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故选C．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【考点】M3：空间向量的加减法．【专题】5H ：空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；52 ：导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解：直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=2，故选：A．【点评】本题考查定积分的应用，考查计算能力．8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【解答】解：根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94=126种选法，其中只有男生没有女生的选法有C54=5种，只有女生没有男生的选法有C44=1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1=120种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论．9．抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；5L ：简易逻辑．【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．3【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（，），AB的一个三分点坐标为（，），由该点在椭圆C1上，求出=2，从而c==3a，由此能求出离心率．【解答】解：由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），∴A点坐标可表示为A（x0，kx0）（x0＞0）∴=，即A（，），∴AB的一个三分点坐标为（，），该点在椭圆C1上，∴，即=1，得k=2，即=2，∴c==3a，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a2+3=4，解可得a=1，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），其双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点也为（2，0），则有a2+3=4，解可得a=1，故双曲线的方程为：x2﹣=1，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，注意分析双曲线的焦点坐标．14．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得= 3 ．【考点】F3：类比推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．15．用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为8m3．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5T ：不等式．【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y 表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，则有8x+4y=24，即2x+y=6，其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3，当且仅当x=2时，等号成立；即这个容器体积的最大值8m3；故答案为：8m3．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积．16．在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）= 400 ．（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，分别代入计算即可得到．【解答】解：（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r x r C4k x4﹣k y k=C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，∵x m y n项的系数为f（m，n），当k=4时，4+r﹣4=3，即r=3．∴f（3，4）=C6326﹣3C44=160，当k=3时，4+r﹣3=5，即r=4．∴f（5，3）=C6426﹣4C43=240，∴f（3，4）+f（5，3）=160+240=400，故答案为：400【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2017春•荔湾区期末）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【专题】38 ：对应思想；4F ：归纳法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．【解答】解：（I）a2=2﹣=；a3=2﹣=；a4=2﹣=；猜想：a n=．（II）当n=1时，猜想显然成立；假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=，则a k+1=2﹣=2﹣==，∴当n=k+1时，猜想成立．∴a n=对任意正整数恒成立．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．18．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ），依题意列式计算得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=得函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，f（x）极小值=f（﹣2），f（x）极大值=f（2）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．∴，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=当x∈（﹣∞，﹣2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．即函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，∴f（x）极小值=f（﹣2）=4；f（x）极大值=f（2）=﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，19．（12分）（2017春•荔湾区期末）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=．由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0）设面EDC的法向量为，，由，可取cos==﹣直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．20．（12分）（2017春•荔湾区期末）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），P（X=0）==0.216，P（X=1）==0.432，P（X=2）==0.288，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：∴E（X）=3×0.4=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=．①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；③当a＜0时，由f'（x）=0得x1=，x2=﹣（舍）f（x）在（﹣1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a＜1，，，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），要证2f（x2）﹣x1＞0⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x2+1）+﹣x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题。

2008-2009学年第二学期高一期末数学试卷(最终)

2008-2009学年第二学期高一期末试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.c o s 240是（ * ）A.12B. 2C.12-D.2-2. 四个数1,2,,8x x -顺次成等比数列，则x 的值是（ * ）A.2-B.24-或 C.24或- D.43. 不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ * ）4. 若2,a>则122a a -+-的最小值是（ * ）A. 2B. aC. 3D.2a -ABCD5. 要得到xy2sin =图像，只需要把)42sin(π+=x y图像（ * ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位6. 在△ABC 中，若a =2 ,b =30A=, 则B 等于 ( * )A ．60B ．60 或 120C ．30D ．30 或1507. 设1e ，2e 是互相垂直的单位向量，且a＝21e ＋32e ，b ＝k 1e －42e ，若a ⊥b ，则实数k 的值为（ * ）A ．6B ．－6C ．3D ．－3 8. 已知2c o s s in3αα-=，则sin 2α的值是（ * ）A.29B. 29-C.59D. 59-9.已知c o s 3,(0)52απα=<<，且2s in ()16 (0)65παβαβ-=--<-<，则sin β值为（ * ）A ．513-B ．1213-C ．513D ．121310. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 满足约束条件51122239211x y x y x -≥-+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩则1010z x y =+的最大值是（ * ）A ．90B ．85C ．80D ． 95第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 已知4sin , ()522ππαα=-<<，则ta n ()4πα+的值为 *12．已知函数()s in ()(0,0,)4f x A x A πωω=+>>在一个周期上的图像如下图所示，则函数()f x 的解析式是()f x = *13. 在A B C ∆中，若s in c o s A B ab=，则角B 的大小为 *14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数的该看台的第6排有26个座位，则该看台前11排的座位的总数是 *三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,5,a b c ===（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积.16.（本小题满分12分）已知2||=a，3||=b ，a与b的夹角为︒120。

嘉兴市高二数学下学期理科期末检测题

嘉兴市2008—2009学年度第二学期期末检测高二理科数学（B ）试题卷（2009. 6）[考生须知]1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2．本科考试时间为120分钟，满分100分。

一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分。

） 1．抛物线24y x =的焦点坐标是（）A ．（1，0）B （0，1）C （1,016） D （10,16）2．设a R ∈，则1a <是11a>的（） A ．充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C ．充要条件 D 及不充分也不必要条件 3．命题“若220a b +=，则,a b 都为零”的逆否命题是（） A ．若220a b +≠，则,a b 都不为零 B ．若220a b +≠，则,a b 不都为零 C ．若,a b 都不为零，则220a b +≠ D ．若,a b 不都为零，则220a b +≠ 4．曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为（） A ．34π B 3π C 4π D 6π 5．一动圆P 与圆A ：22(1)1x y ++=外切，而与圆B:22(1)64x y -+=内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是（）A ．椭圆B 双曲线C 抛物线D 双曲线的一支6．已知向量(2,3,5)a =-- 与向量(4,,)b x y =平行，则,x y 的值分别是（）A ．6和-10B -6 和-10C -6 和10D 6和107．已知空间三点(1,3,2),(1,2,3),A C -则下列向量中是平面ABC 的法向量的为（） A ．（-1，-2，5） B （1，3，2） C （1，1，1） D （-1，1，-1）8．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（）A ． BC ． D9．已知函数()f x 的定义域为(,)a e ，下图是()f x 的导函数'()f x 的图像，则下列结论中正确的有（）①函数()f x 在(,)a b 上单调递增； ②函数()f x 在(,)a c 上单调递减； ③函数()f x 在(,)c d 上单调递减； ④函数()f x 在(,)d e 上单调递增；A 0个B 1个C 2个D 3个 10．函数2()x f x x e -=在[1,3]上最大值为（）A ．1B 1e - C 24e - D 39e - 11．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线的渐近线方程为(0,0)by x a b a=±>>，若双曲线上有一点00(,)M x y ，使的00||||a y b x >，则双曲线的焦点（） A 在x 轴上 B 在y 轴上C 党a b >时在x 轴上，当a b >时在y 轴上D 不能确定在x 轴上还是在y 轴上12．如图，已知圆椎的地面直径和母线长均为4，过 OA 上一点P 作平面a ，当//OB a 时平面a 截圆锥所得的截口曲线为抛物线，设抛物线的焦点为F ，若OP =1，则||PF 长为（） A ．14 B 12C 1D 2 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分，请将答案写在答题卷上） 13．若命题,sin 1p x R x ∃∈≥，则p -为14．若椭圆2214x y m+=的离心率是12，则m15．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面 A B C D 的中心，E 为1C C 的重点，则异面直线1D A 与EO 所成角的余弦值为16．若(),f x xinx =则0()()33lim x f x f x ππ∆→+∆-∆= 17．若函数2()m f x x x+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是18．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (||||)AF BF >，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||2AF =，则此抛物线的方程为二、解答题（本大题有6小题，共46分，请将解答过程写在答题卷上） 19．（本题6分）已知231()1x f x x +=+，求曲线()y f x =在1x =的切线方程。

湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试试题(文)

湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试试题（文）命题：熊斌校对：罗欢一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一物体的运动方程为2()2S t t =（位移单位：米，时间单位：秒），则该物体在1秒时的瞬时速度为A ．1米/秒B ．2米/秒C ．3米/秒D ．4米/秒2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为A ．3 B ．23CD ．133．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A ．12125B ．16125C ．48125D ．961254．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A ．10B ．20C ．30D ．1205．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A ．14B ．24C ．28D ．486．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60,则该棱锥的体积为A ．3B ．6C ．9D ．187．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m mαβαβ若则‖‖‖8．长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::2:3A B A D A A =则,A B 两点的球面距离为A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 9．如果函数y =f （x ）的图象如下图，那么导函数y =()f x '的图象可能是10．将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种二、填空题:本大共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．若一个球的体积为36π，则它的表面积为_________．12．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为_________．13．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是． 14．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。

2008-2009学年第二学期期末考试数学试卷

2008-2009学年第二学期期末考试《数学奥赛》试卷出卷人：适用年级：三年级1、一根钢筋锯成2段用了3分钟，如果锯成6段需要（）分。

2、将2、4、6、8这四个数填入下面算式中，使两个数的乘积最大。

□□×□□3、用1、4、7、0可以组成（）个三位数。

4、古代有个国家，1头猪可换4只羊，1头牛可换5头猪。

1头牛可换（）只羊。

5、有一列数：2、5、3、2、5、3……第31个数字是（）。

6、长方形的周长是１８米，这个长方形的面积最大是（）平方米。

7、已知○＋○＋□=12，□=○＋○。

○=（），□=（）。

8、在□÷□=7……□中，余数最小是（），最大是（）。

9、、正方形的边长是6厘米,它的周长是( ),面积是( )。

10、、找规律填空： 0， 1， 1， 2， 3， 5， 8，（）。

1， 2， 2， 4， 3， 8，（），（）。

2， 6， 18， 54，（），（）。

二、我会选（15分）1、一张长方形纸片有4个角，用剪刀沿直线剪掉1个角后，最多还剩（）个角。

① 4 ② 2 ③ 3 ④ 52、如果有3只猫，同时吃3条鱼，需要3分钟的时间才能吃完，按照同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要（）时间。

① 50 ② 100 ③ 9 ④ 33、有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过１０天可以把整个池塘全部遮住。

问：睡莲要遮住半个池塘需要（）天。

①７②１０③９④ 84、8个足球队进行比赛,每两个队打一场,共要打( )场.①8 ②16 ③ 24 ④28 5、学校给长30米的水泥路，从头到尾每3米插上彩旗，每旁共插（）面彩旗。

①10 ②9 ③11 ④12三、计算（15分）1、（6分）○＋□＝45 ○=( )△＋□＝40 □=( )△＋○＝41 △=( )2、巧算:（9分）997 ＋246= 23＋18＋47＋82= 875-364-236=一、解决问题（29分）1、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？（9分）2、秦秦和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？(10分）3、用篱笆围成的一块长方形菜地，其中有一边是长15米的墙壁，篱1、一根钢筋锯成2段用了3分钟，如果锯成6段需要（）分。

河南省洛阳市2008-2009学年高三第二次统一考试数学文科

河南省洛阳市2008-2009学年高三第二次统一考试数学（文科）试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合符合要求的。

1．设集合{}Z x x x M ∈<=,2||，{}0,1,2--=N ，则=N MA ．MB ．NC ．{}1,0,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--2．二项式8)1(xx +的展开式中的常数项等于A ．70B ．38C ．32-D ．38-3．已知x ．y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≥102211y x x y x ，则y x z -=2的最小值为A ．6-B ．6C ．5-D ．54．设m ．n 是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面，下列命题正确的是A ．α⊥m ，β⊂n ，βα⊥⇒⊥n mB ．βα⊥，m =βα ，β⊥⇒⊥n n mC ．βα⊥，α⊥m ，n m n ⊥⇒β//D ．βα//，α⊥m ，n m n ⊥⇒β//5．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这三个点的小圆的周长为π4，则这个球的表面积为 A ．π192B ．π64C ．π56D ．π486．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11862a a +=，则9S 的值为A ．54B ．45C ．36D ．277．某科技小组有6名同学，现从中选3人去参观展览，若至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为A ．1B ．2C ．3D ．48．函数x y a log =在[)+∞,2上恒有1||>y ，则a 的取值范围是A ．2>a 或210<<a B ．21<<a C ．210<<a 或21<<aD ．121<<a 或21<<a9．已知向量)cos ,(sin A A a =，)sin ,(cos C C b =。

高二下学期期末考试数学试题(图片版)

（2），则或；………………………………8分
，则 .………………………………………10分
故函数在和上单调递增…………………………………………11分
在上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得＝1或＝－5.………………4分
所以，在上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分

福建省福州八中高二第二学期期末考试(数学文科)

的图象恒在
的图象上方，试确定实数
21．（本小题计 13 分）
若点
，是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹 C 的方程；
第3页共6页
（2）设直线 y=x-4 与轨迹 C 交于 M、N 两点，且点 A(1,0)，求△AMN 的面积． 22．（本小题计 13 分）
设函数
（
上单调递增。
⑴求
的值；
⑵当
时，讨论函数
福州八中高中二年级第二学期期末考试
数学（文）
考试时间：120 分钟试卷满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题纸的相应位置．
1．若集合
，则
Ａ．Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．某物体运动的位移（单位：m）是时间（单位：s）的函数
，若 C．0
，则
的值为
D．符号与有关
11．函数
的最小值为
A．－3
B．3 C．4
D．－4
12．如图，圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点。一只青蛙按顺时针方
向绕圆从一点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点
上，则下一次跳两个点。此青蛙从 5 这点跳起，经 2009 次跳．后．它将停在的点是
18．（本小题计 12 分）
设集合 B=B，求实数 a 的取值范围．
19．（本小题计 12 分）已知数列
其前 n 项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，求数列的前 n 项和．
,其中 R,如果 A ．
20．（本小题计 12 分）二次函数满足

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ） (A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ). (A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛；（B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛；（D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ，整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-，切线方程为： 1111691x y z ---==-；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，1122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则111(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰x x n nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即2222()(1)∞===-∑n n xnx xA x x ，(21)∞=∴+∑nn n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x xx x x x . 16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径，其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c，切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）. （A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）120()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ，则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n nn a x ∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂.解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分）设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分）计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分）求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)d r dr πθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰，（1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同， 00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算IΩ=其中Ω是由上半球面z=和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤IΩ=2340sin (2.d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面z =被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积.（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤xz '=y z '=，.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n nn ∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim 0,n n n n n n n →∞→∞⋅==312ln n n n ∞=∴∑ 收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数，证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-=212π+ . 4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则（ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A ）若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛（B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界（D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z+-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ：质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=.法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y P x Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zxxydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 . 解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x n n x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy ee 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy e e dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21）五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

2008-2009学年第二学期期末水平测试_七年级数学

2008~2009学年第二学期期末水平测试七年级数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．化简()334ab b a ÷的结果是( )A.aB.3aC.abD.b a 22．对于二元一次方程1132=+-y x ，下列说法正确的是 ( )A.只有一个解B.共有两个解C.有无数个解D.任何一对有理数都是它的解 3．下列调查最适合用抽样调查的是（）A.要了解某大型水果批发市场水果的质量状况B.某单位要对职工进行体格检查C.语文老师在检查某个学生作文中的错别字D.学校要了解流感在本校的传染情况 4．如图，已知AB//CD ，则图中与∠1互补的角共有（）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 5．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（） A.22a b +- B.222b ab a -- C.2242b ab a +- D.22b ab a ++ 6．下列运算正确的是（）A .22()()x y x y x y --+=-B .6329)3(a a -=-C .()2222b ab a b a ++=+-D .222009*********⨯=-7．已知两条线段a 、b ，其长度分别为2.5cm 和3.5cm ，下列线段中能够与a 、b 一起组成三角形的是( )A.1cmB.3cmC.6cmD.7cm8．小明用一枚均匀的硬币进行试验，前7次掷得的结果都是反面向上，若将第8次掷得反面向上的概率记为P ，则（） A ．无法确定 B ．21<P C ．21>P D ．21=P9．下列一组是按一定规律排列的数：1，2，4，8，16，……，则第2009个数是( ) A. /20092B. 20082C.20002D.122009-10．如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE ≌△ACD 的是（） A ．AD=AE B ．∠AEB=∠ADC C ．BE=CD D ．AB=AC二、填空题（每题3分，共30分） 11．33-= ，()03.14π-= 。