2018_2019高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5
高中数学 第3章 不等式 3.2.1 基本不等式的证明教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第
3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)基本不等式的证明学 习 目 标核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．如下表所示，再任意取几组正数a ，b ，算出它们的算术平均数a ＋b2和几何平均数ab ，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．a 1 2b 1 4 a ＋b21 3 ab1221．算术平均数与几何平均数 对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)称为基本不等式．思考：如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?[提示] 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 3．两个重要的不等式 假设a ，b ∈R ，那么(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 4．应用基本不等式求最值 在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等〞．一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab ．三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝〞成立．] 2．a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，以下各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [因为a ，b ∈(0,1)，所以a 2＜a ，b 2＜b ， 所以a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (因为a ≠b )， 所以2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又因为a ＋b ＞2ab (因为a ≠b )，所以a ＋b 最大．] 3．ab ＝1，a >0，b >0，那么a ＋b 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8B [因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．]4．当a ，b ∈R 时，以下不等关系成立的是 ． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ．③[根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解[例1] 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①因为a ，b 为正实数，所以b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， 所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当〞的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．[跟进训练]1．以下不等式的推导过程正确的选项是 ． ①假设x ＞0，那么x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②假设x ＜0，那么x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4； ③假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2b a ·ab＝2． ①②[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)a ，b ，c 是两两不等的实数，那么p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是 ．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，所以A 成立； 因为b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以B 成立； 因为a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，所以C 成立；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，所以D 不一定成立．(2)因为a ，b ，c 互不相等，所以a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． 因此2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ．]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ，(由a ＋b ＞a ＋b24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．]利用基本不等式证明不等式[例3] a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c>9．[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1〞换成“a ＋b ＋c 〞，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 又因为a ，b ，c 互不相等， 所以1a ＋1b ＋1c>9．本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋bc>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为a ，b ，c 互不相等，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与条件结合起来考虑，比如此题通过“1〞的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．[证明] 由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，所以(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．2a ＋b ＝1，a >0，b >0，求证：1a ＋1b≥3＋22．[证明]1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b，且2a ＋b ＝1，即a＝2－22，b ＝2－1时取等号．利用基本不等式求最值[例4] (1)x <4，求y ＝4x －2＋4x －5的最大值；(2)0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)因为x <54，所以5－4x >0，所以y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1． (2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116．所以当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形〞等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[跟进训练]5．(1)x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；(2)0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)因为y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9．(2)法一：因为0<x <13，所以1－3x >0．所以y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：因为0<x <13，所以13－x >0．所以y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a ≥0，b ≥0时，才会有ab ≤a ＋b2．对于“当且仅当a ＝b 时，‘＝’号成立〞这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼〞“凑〞“拆〞“合〞“放缩〞等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．3．利用基本不等式求最值的要点：一正、二定、三相等．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( )(2)假设a >2，那么a ＋1a≥2a ·1a＝2．( ) (3)假设a >0，b >0，那么ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当只有当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．函数y ＝9x －2＋x (其中x ＞2)取得最小值的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [当x ＞2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·x －2＋2≥8，当且仅当9x －2＝x －2时取等号 ，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．假设a ＞0，b ＞0，ab ＝1＋a ＋b ，那么a ＋b 的最小值为． 2＋22[1＋a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0． 所以a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22． 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ≥2＋22．所以a ＋b 的最小值为2＋22．]4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．[证明] 因为a >0，b >0，所以b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ，所以b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．。
最新苏教版必修5高中数学3.4.1《基本不等式的证明》1课件ppt.ppt
例3 已知 a,b, c, d 都是正数，求证： (ab cd)(ac bd) 4abcd
练习
（1）已知 x, y都是正数，求证：(x y)(x2 y2 )(x3 y3) 8x3 y3
（2）已知 a,b, c 都是正数，求证：(a b)(b c)(c a) 8abc （3）思考题：若 x 0，求 x 1 的最大值．
2. 基本不等式：对任意正数 a, b，有 a b ab,
当且仅当 a b 时等号成立．
2
例1 设 a, b 为正数，证明下列不等式成立：
（1） b a 2 ；（2） a 1 2
ab
a
例2 已知 a, b, c为两两不相等的实数，求证：a2 来自2 c2 ab bc ca
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
1. 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a, b，我们
有 a2 b 2 2ab，当且仅当 a b时，等号成立．
x
高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教学点评 苏教版必修
《基本不等式的证明》评课 本节课的主要目标是探索并证明基本不等式).0,0(2≥≥≥+b a ab b a 在探索基本不等式的过程中,执教老师依据教材给出的问题,改编为核查一个珠宝商是否##的故事,创设了一个生动有趣的问题情景．在运用科学推理揭露不法珠宝商##事实时,由寻找"判断珠宝商是否##的依据",提出两个问题："如何计算珠宝的真实重量？"及"比较2b a +〔珠宝商提供的珠宝重量〕与ab 〔珠宝的真实重量〕的大小？"．通过实例展示基本不等式探索过程的教学设计,既使探索过程中思维活动十分流畅,也表现出数学发展的趣味性．在证明基本不等式的过程中,由于基本不等式的证明方法比较多且难度不大,执教老师放手让学生自我研究证明方法．从学生在黑板上的板书中,反映出学生的学习习惯比较好．除条件0,0≥≥b a 在证法中没有交代以外,证明过程书写是比较规范的．必修教材中关于不等式证明的内容比较少,执教老师在学生证明的基础上,对比较法和分析法作简要的说明,是十分必要的．在教学中,教师指出分析法的基本思路是"执果索因",即瞄准结论,寻找结论成立的〔充分〕条件,同时还通过分析法的书写模式,强化基本思路．谨防学生认为分析法就是"从结论倒推"的错误．比较法在学习函数的单调性时曾经接触过,比较法实际上也可以看作是分析法的特例,即要证B A ≥,只要证.0≥-B A 〔或者将对命题B A ≥的证明,化归为对它的等价命题0≥-B A 的证明〕．比较法研究不等关系的优越性在于,它有利于对未知不等关系的探索和证明．形〔几何图形〕和数〔数量关系〕是中学数学研究的基本对象,它们是同一事物的两种不同的表现形式．形和数各具特点,又互相支撑．一般地,形——生动、形象、整体性好,数——严谨、精确、逻辑性强．形与数结合有利于开拓思维能力．基本不等式的代数形式为.)0,0(2≥≥≥+b a ab b a 启发学生探索基本不等式的几何形式的关键在于,给定线段a ,b ,如何构造线段2b a +和ab ．由于学生初中数学内容中没有射影定理,对于一般学生探索基本不等式的几何形式有一定的难度．基本不等式的几何解释不是本节内容的重点,是否作为本节课的教学内容可视学生的具体情况确定．在理解和运用基本不等式的阶段中,执教老师重视定理教学的常规方式,首先要求学生分析不等式的特征,不等式成立的条件以及对定理中关键词语的理解,然后再进行练习．这是很好的学习习惯,应该予以肯定．关于运用基本不等式求函数的最值问题,可以作为下节课的主要内容重点进行处理．纵观本节课,教学设计合理,学生的参与度高．但在教学中,也有一些不足之处：对练习中学生的错误不仅及时指出,还应该及时给出正确的解答；对一些语病没能及时校正,如将"开方"说成"开根号",将"2ba"说成"分式"等．。
高中数学(苏教版必修5)3.4.1基本不等式的证明
§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0) 3．4.1 基本不等式的证明一、基础过关1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________． 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b≥2 3．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 4．设0<a <1<b ，则下列式子一定成立的有________．①log a b ＋log b a ≥2 ②log a b ＋log b a ≥－2③log a b ＋log b a ≤－2 ④log a b ＋log b a >25．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________． 6．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中恒成立的是________．①a ＋b ＋1ab≥2 2 ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 ③a 2＋b 2ab≥2ab ④2ab a ＋b >ab 7．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 8．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y≥2 2. 二、能力提升9．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为__________． 10．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________． 11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为________． 12．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 三、探究与拓展13．已知a >b >0，求证：a 2＋16b (a －b )≥16. 答案1．4 2.④ 3.m >n 4.③ 5.2 6．①②③7．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 8．证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y＝(x －y )＋2x －y ≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x －y xy ＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号． 9．大 －1 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 11.1 12．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1c ＋1a ≥21ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 13．证明 方法一 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴a 2＋16b (a －b )＝[(a －b )＋b ]2＋16b (a －b )≥[2(a －b )b ]2＋16b (a －b )＝4(a －b )b ＋16b (a －b )≥4×2(a －b )b ×4b (a －b )＝16. 取“＝”时当且仅当：a －b ＝b >0且(a －b )b ＝4b (a －b )>0， 即当a ＝22且b ＝2时“＝”成立．方法二 ∵a >b >0，∴a －b >0，b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫a 22＝a 24，当且a ＝2b 时取等号，∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2 ≥264＝16.当a ＝22，b ＝2时，等号成立．。
基本不等式的证明课件(28张) 高中数学 必修5 苏教版
＝ a(a－ 1)＋ b(b－ 1)<0， ∴ a2＋b2<a＋b，∴a＋b 最大． 1 1 2 2 法二：令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1，2 ab＝1，a ＋b ＝ ， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 2ab＝2× × ＝ ， 再令 a＝ ， b＝ ， a＋b＝ ＋ ＝ ， 2 ab 2 2 2 2 8 2 8 8 ＝2 1 1 1 × ＝ ，∴ a＋ b 最大． 2 8 2
利用基本不等式证明不等式
1 1 已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋ b)a＋b ≥ 4. (链接教材 P99T7)
[证明 ] 法一：∵a>0， b>0，∴ a＋b≥ 2 ab>0①，当且仅 1 1 1 1 1 当 a＝ b 时，取等号 . ＋ ≥ 2 >0②，当且仅当 ＝ ，即 a b ab a b 1 1 1 ＋ a＝ b 时取等号． ①×②，得(a＋ b)a b ≥ 2 ab·2 ＝ ab 1 1 b 4，当且仅当 a＝ b 时，取等号．法二：(a＋b)a＋b ＝ 2＋ a a ＋ ≥ 4，当且仅当 a＝ b 时取等号． b
方法归纳 (1)基本不等式和不等式的基本性质是证明不等式的基础， 常用的有： b a 2 2 2 a ≥0(a∈ R)，a ＋b ≥ 2ab(a，b∈ R)， ＋ ≥ 2(a，b 同号 )， a b a＋b a2＋b2 a＋b 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)， ≥( ) 等． 2 2 2 a＋b (2)多次使用基本不等式 ≥ ab，要注意等号是否成立， 2 当变形后不能使用，重新组合是一种常用的技巧．
2
1 1 （－a）－a ＝－ 2，当且仅当 a＝ 即 a＝－ 1 时，取 a
“＝”．
2 4．若0<a<1，0<b<1，则logab＋logba≥________ ．
2018高中数学第3章不等式第四节基本不等式1基本不等式的证明学案苏教版必修5
基本不等式的证明知识点课标要求题型说明基本不等式的证明1.掌握基本不等式2baab+≤（a≥0，b≥0）；2.能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）选择题填空题基本不等式的证明中要注意多次运用公式等号能否同时取到，这一章节也是不等式的难点。
二、重难点提示重点：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式证明不等式。
难点：理解基本不等式等号成立的条件。
考点一：基本不等式如果a，b是正数，那么2baab+≤（当且仅当a＝b时取“＝”），我们把不等式2baab+≤称为基本不等式。
【要点诠释】① 对于正数a，b，我们把2ba+称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
② 对于“=”的理解应为若a b=，则2a bab+=且若2a bab+=，则a b=，也就是说当a b≠时，2a bab+>。
③ 注意222a b ab+≥与2a bab+≥,a b R∈，后者是*,a b R∈。
考点二：基本不等式的其他形式基本不等式的四种形式① 222a b ab+≥；（,a b R∈）；②222a bab+≤（,a b R∈）；③ 2a b ab+≥（*,a b R∈）；④ 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b R ∈）。
【要点诠释】①②两种形式的前提是,a b R ∈，③④两种形式的前提是*,a b R ∈；四种形式等号成立的条件都是a b =。
考点三：利用基本不等式证明不等式（1）注意均值不等式的前提条件；（2）通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； （3）注意“1”的代换；（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用。
如22(0)b a b a a +≥>；22(0)b b a a a≥-> （5）合理配组，反复应用不等式。
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点。
高中数学 第3章3.4.1基本不等式的证明配套课件 苏教版必修5
称为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
第三页，共19页。
填一填·知识(zhī shi)要点、记下疑难 点
3.4.1
3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)； (2)当 x>0 时，x＋1x≥ 2 ；当 x<0 时，x＋1x≤ －2 .
∴a＋b≥2 ab.
第五页，共19页。
研一研·问题探究(ànjiū)、课堂更 高效
3.4.1
探究 下面是基本不等式 ab≤a＋2 b的一种
几何解释，请你补充完整．
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C
作 CD⊥AB 交⊙O 上半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影
a＋b
定理可知，CD＝ ab ，而 OD＝ 2 ，因为 OD≥ CD， 所以a＋2 b ≥ ab，当且仅当 C 与 O 重合(c， hó即ngah＝é) b 时，
3.4.1
跟踪训练 3 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒 成立，则正实数 a 的最小值为___4_____．
解析 只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于等于 9 即可，
又(x＋y)1x＋ay＝1＋a·xy＋xy＋a≥a＋1＋2
a·xy·yx＝a＋2 a＋
1，等号成立仅当 a·xy＝xy即可，所以( a)2＋2 a＋1≥9，
第十七页，共19页。
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng)落 实处
4．a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5
【自主解答】 (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又 a，b，c 为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又 a，b，c 互不相等， 故等号不能同时取到， 所以 a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
第十页，共33页。
第二十九页，共33页。
4．设 b>a>0，且 a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b 中最大的是________． 【解析】 ∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab. 又∵a＋b＝1，∴b>12. 又 b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2， 故 b 最大． 【答案】 b
第三十页，共33页。
第十四页，共33页。
【证明】 法一 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
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法二 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝1a＋1b＋1c(a＋b＋c) ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋ac≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
时取“＝”)，我们把
第五页，共33页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，都有 a＋b≥2 ab成立．( ) (2)不等式 a2＋4≥4a 成立的条件是 a＝2.( ) 【答案】 (1)× (2)√
第六页，共33页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
第3章-3.1-不等式的基本性质高中数学必修第一册苏教版
A
A. B. C. D.不能确定
【解析】由，得,, .所以,所以 ，故选A.
3.(2024·北京市八一学校月考)已知，且 ，则( )
A
A. B. C. D.
【解析】 令,，则,,，从而 ，选A.
由，且可得,且.因为 ,所以，又,所以，所以 ，选A.
题型4 对不等式性质的理解及应用
例8 ［多选题］(2024·江苏省无锡一中期末)十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列关于不等式的结论中错误的是( )
D
A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
【解析】对于A，若，，，均小于0，则 ,故A不正确;对于B,若，则，则，即 ，故B不正确;对于C,若，则，即 ，故C不正确;对于D,若，则 ，故D正确．
例9 ［教材改编P53 例1］解下列不等式.
（1） ；
【解析】 ，，， ， .
（2） .
【解析】 ， ，，， ， .
【解析】设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为 ,设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，则混合后的糖水浓度为 ，所提炼出的不等式：若，，且,则 .
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·江苏省无锡市期中)某公司有20名技术人员，计划开发， 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值/万元
7.5
__件，总产值最高为_____万元.
20
330
【解析】设应开发类电子器件件，可得开发类电子器件 件，则，解得．由题意得总产值 ,当时，，当且仅当时， 取得最大值,为330．
最新湘教版高中数学《基本不等式》教学课件
今天我们继续进行探究.
3
归纳探索
3
归纳探索
问题1 我们可以发现，当四个直角三角形直角边的边长发生变化，使得每个直角
三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？
3
归纳探索
问题1 我们可以发现，当四个直角三角形直角边的边长发生变化，使得每个直角
三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？
猜想 1 对任意 a, b R ，必有 a 2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．
返
回
目
录
式的研究过程吗？其中体现了哪些你认为重要的思想方法？在应用基本不等式
解决实际问题时，需要注意哪些问题？
返
回
目
录
6
课后延伸
布置作业
（1）必做作业：课本P42习题2.1第5，6题
（2）选做作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称
物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半
返
回
目
录
4
例题讲解
4
例题讲解
例 1.设 a,b 为正数，证明下列不等式：
1
b a
（1） a 2 ； （2） 2 .
a
a b
5
课堂练习
4
例题讲解
例 2.对任意三个正实数 a, b, c ，求证：
a b c ab bc ca ,
当且仅当 a b c 时等号成立.
ab
为 a, b 的算术平
2
均数
+
基本不等式
2
≥ 又可叙述为：
高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明(1)课件苏教必修5
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能 在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
1. 重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a, b，我们
有 a2 b 2 2ab，当且仅当 a b时，等号成立．
例3 已知 a,b, c, d 都是正数，求证： (ab cd)(ac bd) 4abcd
练习
（1）已知 x, y都是正数，求证：(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3
（2）已知 a,b, c 都是正数，求证：(a b)(b c)(c a) 8abc （3）思考题：若 x 0，求 x 1 的最大值．
2. 基本不等式：对任意正数 a, b，有 a b ab,
当且仅当 a b 时等号成立．
2
例1 设 a, b 为正数，证明下列不等式成立：
（1） b a 2 ；（2） a 1 2
ab
aБайду номын сангаас
例2 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a2 b2 c2 ab bc ca
x
新教材 高中数学苏教版必修一单元复习 第3章 不等式
例3. (1) ( 3 2)2 ＜ 6 2 6
(2) ( 3 2)2 ＜ ( 6 1)2
(3) 1 ＜ 1
52
6 5
典型例题Βιβλιοθήκη 2. 比较大小例3. (4)当a b 0时，log 1 a ＜ log 1 b
2
2
(5) (a 3)(a 5) ＜ (a 2)(a 4)
(6) ( x2 1)2 ≥ x4 x2 1
反思 感悟
不等式性质的应用方法 (1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般 是通分、分解因式、配方等. (2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反 例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适 合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项.
跟踪训练1 若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为_－_1__≤_a__－__b_≤__6.
一、不等式的性质及应用
1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证 明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解. 2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
例1 (1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是
A.A≤B
√B.A≥B
常见误区 1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一 个条件，就会出错； 2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须 多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集 (1)当 a>0 时，解集为___x__x_>_ba_ ___． (2)当 a<0 时，解集为___x__x_<_ba_ ___．
高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明课件苏教版必修5
本题要用到对数函数的单调性、对数的运算法则以及不等式的传递性.
第八页，共18页。
一
二
二、利用基本不等式证明不等式
活动与探究
4
+a≥7(其中
-3
例 2 求证:
a>3).
思路分析:由于不等式左边含字母 a,右边无字母,直接使用基本
3.4.1
基本(jīběn)不等式的证明
第一页，共18页。
目标
(mùbiāo)导
航
预习(yùxí)
引导
1.了解算术平均数、几何平均数的意义.
学习
2.知道基本不等式的证明过程.
目标
3.能利用基本不等式证明简单不等式.
重点 重点:对基本不等式及几何意义的理解.
难点 难点:基本不等式成立的前提及“=”号成立的条件.
叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数
相等时等号成立.
预习交流1
能否用作差比较法证明(zhèngmí
ng)基本不等式?
+
提示:可以.证明如下:
−
2
=
∵a≥0,b≥0,∴( − )2≥0,
+
2
∴
≥ ,即 ≤
+
.
2
第三页，共18页。
2
( - )
2
.
目标
(mùbiāo)
导航
预习(yùxí)
引导
预习交流 2
不等式 a2+b2≥2ab 和基本不等式 ≤
不同?
+
成立的条件有什么
2
提示:不等式 a +b ≥2ab 对任意实数 a,b 都成立; ≤
高中数学 第一部分 第三章 3.4 第一课时 基本不等式的证明课件 苏教版必修5
即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2<2. ∴0<22－b2<4，即 0<n<4. ∴n∈(0,4)． 综上易得 m>n.
[一点通] 利用基本不等式比较大小时除要 求正确利用a＋b≥2 ab (a≥0，b≥0)之外，还要
求能够熟练应用不等式的性质和函数的性质．
a－c 1 ．已知 a>b>c ，则 a－bb－c 与 2 的大小关系是 __________．
第 三 章 不 等 式
第 一 课 时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教 材新知 考点一 考点二
基 本 不 等 式 的 证 明
把握热 点考向
应用创 新演练
第一课时 基本不等式的证明
已知代数式a2＋b2,2ab，(a，b∈R)， 问题1：比较两个式子的大小． 提示：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 问题2：“＝”在什b>0，a＋b＝1，求证(1＋a)(1＋b)≥9.
[思路点拨]
结合条件 a＋b＝1 将不等式左边进行适当变
形，利用基本不等式可完成求解．
[精解详析]
法一：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，
a＋ b 1 b 1 a 所以 1＋a＝1＋ a ＝2＋a，同理 1＋b＝2＋b， 1 1 b a b a 故(1＋a)(1＋b)＝(2＋a)(2＋b)＝5＋2(a＋b)≥5＋4＝9. 1 1 1 所以(1＋a)(1＋b)≥9(当且仅当 a＝b＝2时取等号)．
b2 当且仅当 c ＝c 时等号成立． c2 a ＋a≥2 c2 a＝2c， a·
c2 当且仅当 a ＝a 时等号成立． a2 b2 c2 相加得 b ＋b＋ c ＋c＋ a ＋a≥2a＋2b＋2c， a 2 b2 c 2 ∴ b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明教学课件共18张PPT
C
S=ab
c=2(a+b)
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a
物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求
物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？ M | l1 | l2 |
M
| l1 | l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片． （课前请同学们预先 准备）
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后， 请同桌两位同学各取一个等
a b 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 ， ） ，按如图 2 2 a +b 6 所示拼接成面积为 的多边形纸片． 2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将
a +b 拼接成面积为 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去 2
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为 “所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”． 你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A
a
D
b
b
B
a
ab ≥ ab ． a b ≥ 2 ab ， 2 ab 所以， 如果 a， b 是正数， 那么 ab ≤ （当 2
且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当 a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，这个不等式仍然成立．
高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教学设计 苏教版必修
3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？） 问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？ 请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）． 证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥， 当且仅当a b =，即a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥． 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件； 证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）． 问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +ab （一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a FA OB C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值． 点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值； （3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值． 五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？ 欢迎下载，资料仅供参考!!!。
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法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能
直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)· (c＋a)≥8abc. 证明 ∵a，b，c都是正实数，
当且仅当x＝y时，等号成立.
证明
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明 ∵x，y都是正数，
∴ x ＋ y ≥ 2 xy>0 ，
x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
≥2 xy· 2 xy· 2 x y ＝8x y ，
解析
答案达标检测ຫໍສະໝຸດ a＋b a＋b a< ab< 2 <b 1.若 0<a<b，则 a， 2 ， ab，b 的大小关系由小到大是______________.
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b，
a ＋b ∴b> 2 .
∵b>a>0，∴ab>a2，∴ ab>a.
a＋b a＋b ∵b>a>0，∴ 2 > ab.故 b> 2 > ab>a.
对于③，x2＋1≥1， 1 ∴ 2 ≤1 成立. x ＋1
题型探究
类型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R). 证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab.
证明
引申探究
a＋b2 a2＋b2 ≤ 证明不等式 ( a ， b ∈ R ). 2 2
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
即 PQ＝ ab.
梳理
a ＋b 一般地， 对于正数 a， b， 2 为 a， b 的 算术 平均数， ab为 a，
b 的 几何 平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即 a＋b ab≤ 2 .
知识点二
基本不等式及其常见推论
a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0).当对正数 a，b 赋予不同的值时，可得以下推论：
解析 答案
1
2
3
4
5
③ 2.下列各式中，对任何实数 x 都成立的一个式子是______.
①lg(x2＋1)≥lg(2x); 1 ③ 2 ≤1; x ＋1 ②x2＋1>2x； 1 ④x＋ x ≥2.
解析 对于①，当x≤0时，无意义，故①不恒成立；
对于②，当x＝1时，x2＋1＝2x，故②不成立；
对于④，当x<0时，不成立；
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
证明
类型二 用基本不等式证明不等式
例2 已知 x，y 都是正数.
y x 求证：(1)x＋y≥2；
证明 ∵x，y都是正数，
x y ∴y>0，x>0，
y x ∴x＋y≥2 yx y x x· y＝2，即x＋y≥2，
第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 a＋b a＋b x≤ 2 x与 的大小关系为________. 2
解析
答案
反思与感悟
a ＋b 基本不等式 2 ≥ ab一端为和，一端为积，使用基本不
等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.
跟踪训练 3
lg a＋lg b a＋b 设 a＞b＞1，P＝ lg a· lg b，Q＝ ，R＝lg 2 ， 2
P<Q<R 则 P，Q，R 的大小关系是________.
解析 ∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，
lg a＋lg b ∴ ＞ lg a· lg b，即 Q＞P. 2 ①
a ＋b 又 2 ＞ ab>0，
a＋b 1 ∴lg 2 ＞lg ab＝2(lg a＋lg b)， 即R＞Q. ②
综合①②，有P<Q<R.
∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab· 2 bc· 2 ca＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
证明
类型三 用基本不等式比较大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A ，第二年的增长率为 a ，
第3章
§3.4 基本不等式 ab ≤
3.4.1 基本不等式的证明
a＋b (a≥0，b≥0) 2
学习目标
1.理解基本不等式的内容及证明.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
算术平均数与几何平均数
a＋b2 a2＋b2 ≤ 两边同除以 4，即得 ，当且仅当 a ＝ b 时，取等号 . 2 2
证明
反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法.
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
2 2 3 3 3 3
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立.
证明
反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项：
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有
关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以 “ 已
知”看“可知”，逐步推向“未知”.
如图， AB 是圆 O 的直径，点 Q 是 AB 上任一点， AQ ＝ a ， BQ ＝ b ，
过点 Q作 PQ垂直于 AB且交圆 O于点 P，连结 AP， PB.如何用 a ，b表示 PO ， PQ的长度？
答案
AB a＋b 2 PO＝ 2 ＝ 2 .易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么 PQ ＝AQ· QB，
a＋b2 a2＋b2 ≤ (1)ab≤ (a，b∈R)； 2 2
b a (2)a＋b≥2(a，b 同号)； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
[思考辨析 判断正误]
1.对于任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立.( × ) 1＋2 2. 2 ≥ 2.( √ ) a＋b 3.若 a>0，b>0，则 ab≤ 2 恒成立.( × )