宣城市机械电子工程学校2014-2015高三第二次月考数学试卷

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高三2014-2015学年度第二次联考(参考答案)(4月28日定稿)

江西省新八校2014-2015学年度第二次联考高三数学理科试题卷参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ACADA BCDAD CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.7114．023=+-y x 15.π10 16．),21[+∞-三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17.解：（1）()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣⎦----3分又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=，即512x πα==时，max () 3.f x = -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -= c b =∴ 又123A ππα=-=所以三角形为等边三角形. 12分18.解：（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41，从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43．设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． --------------------- 5分（2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．-------------------------------6分()25681430404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()25614144=⎪⎭⎫⎝⎛==X P 所以X 的分布列为：X0 1 234P256816427 12827 643 2561 ---------------------------------------------------------------- 10分 ()125614643312827264271256810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12分或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX -----------------------------12分19．【解析】【方法一】（1）证明：由题意知23,D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内，（6分）（2）过E 作EH CD ⊥交CD 于H ，再过H 作HN ⊥AB 交AB 于N ，连结EN ，则AB EN ⊥，故ENH ∠为所求角。

2014-2015年安徽省宣城市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

B．a=5
C．a=4
D．a=7 ）
3．（5 分）若实数 x，y 满足
，则 z=2x﹣y 的最大值为（
A．
B．
C．1 ）
D．2
4．（5 分）已知命题 p：∀ x＞0，2x＞1，则￢p 为（ A．∀ x＞0，2x≤1 C．∃ x0＞0，2 ＞1
B．∃ x0＞0，2 D．∃ x0＞0，2
≤1 ≥1
5．（5 分）若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ A．（0，2）） C．[﹣2，0] D．（﹣2，0））
12．（5 分）已知点则△ABM 的周长为 13．（5 分）若常数项为．
，椭圆．
与直线
交于点 A、B，
展开式中的所有二项式系数和为 512，则该展开式中的
14．（5 分）在△ABC 中，BC=6，BC 边上的高为 2，则
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•
的最小值为
．
15．（5 分）关于几何体有以下命题 ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥； ③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分； ④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．其中正确的有．（请把正确命题的题号写上）
+ }是等比数列，并求{an}的通项公式 an； •an，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若不等式
（2）数列{bn}满足 bn=（3n﹣1）• （﹣1）nλ＜Tn+
对一切 n∈N*恒成立，求 λ 的取值范围．

安徽省宣城市2015届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

安徽省宣城市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设集合A={x|x2﹣1＜0}，B={x|x+2≥0}，则A∩B=( ) A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x≥﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2} 考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，由B中不等式解得：x≥﹣2，即B={x|x≥﹣2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}，故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．设直线l1：2x﹣my﹣1=0，l2：（m﹣1）x﹣y+1=0．则“m=2”是“l1∥l2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当m=2时，两直线方程为l1：2x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣y+1=0，满足l1∥l2，当m=0时，两直线方程为l1：2x﹣1=0，l2：﹣x﹣y+1=0，不满足l1∥l2， ∴若l1∥l2，则，解得m=2或m=﹣1（舍去）， ∴“m=2”是“l1∥l2”的充分必要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键． 3．已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为( ) A．﹣2 B．1 C．2 D．4 考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵===是纯虚数，则，解得a=4．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 4．如图所示的程序框图，如果输入的n为6，那么输出的n为( ) A．16 B．10 C．5 D．3 考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，确定输出的n值．解答：解：当输入的n=6，由程序框图知：第一次循环n=3，i=1；第二次循环n=3×3+1=10，i=2；第三次循环n=5，i=3，不满足条件i＜3，跳出循环体，输出n=5．故选：C．点评：本题考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 5．若变量x，y满足约束条件，且z=4y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a+b的值是( ) A．10 B．20 C．4 D．12 考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=4y﹣x得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，4）．代入目标函数z=4y﹣x，得z=4×4﹣4=12．即a=12，经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（8，0）．代入目标函数z=4y﹣x=﹣8，即B=﹣8，则a+b=12﹣8=4，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线的离心率为( ) A．B．2 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2），可得==，利用，可求双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，2）， ∴==， ∴=4， ∴e=2．故选：B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线﹣=1（a＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2，2）是关键． 7．已知直线l经过坐标原点，且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为( ) A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，又直线l过原点且与圆相切，得到直线l的斜率存在，所以设出直线l的方程为y=kx，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由图象得到满足题意的k的值，写出直线l的方程即可．解答：解：把圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=1，所以圆心坐标为（2，0），圆的半径r=1，由直线l过原点，当直线l的斜率不存在时，不合题意，则设直线l的方程为y=kx，因为直线l与已知圆相切，所以圆心到直线的距离d==r=1，化简得：k2=，解得：k=或k=﹣，又切点在第四象限，根据图象，得到满足题意的k=﹣，则直线l的方程为：y=﹣x．故选C 点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题． 8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cos ωx的图象，则只要将f（x）的图象( ) A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答：解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×（﹣）=π，所以ω==2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2×+φ）=kπ，k∈Z，可解得：φ=kπ﹣，k∈Z 由于：|φ|＜，可得：φ=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos=cos2（x﹣），g（x）=cos2x，所以，要得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查． 9．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的体积为( ) A．B．C．4 D．8 考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥体，且半圆锥体的底面半径为2，高为4；所以该半圆锥体的体积为 V=××π×22×4=π．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征是什么． 10．设方程log2x﹣（）x=0，logx﹣（）x=0的根分别为x1、x2，则( ) A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2 考点：指数函数与对数函数的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由方程log2x﹣（）x=0得log2x=（）x，logx﹣（）x=0得：logx=（）x，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论．解答：解：由方程log2x﹣（）x=0得log2x=（）x， logx﹣（）x=0得：logx=（）x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x1＞1＞x2＞0，于是有log2x1=＜＜logx2，得x1＜，所以0＜x1x2＜1 故选：B．点评：本题考查指数、对数函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．考点：四种命题．专题：规律型．分析：根据逆否命题的定义即可得到结论．解答：解：根据逆否命题的定义可知，“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．故答案为：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数．点评：本题主要考查四种命题之间的关系和定义，比较基础． 12．已知向量=（1，2），=（﹣2，k），且，则||=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，可得?（2﹣）=4+2（4﹣k）=0，求得k的值，可得的坐标，从而求得||．解答：解：由题意可得?（2﹣）=（1，2）?（4，4﹣k）=4+2（4﹣k）=0，求得k=6，∴=（﹣2，6），∴||==2，故答案为：2．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，属于基础题． 13．等比数列{an}的各项均为正数，己知a1=，且﹣，，成等差数列，则an=．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，结合a1=，且﹣，，成等差数列列式求出公比，则等比数列的通项公式可求．解答：解：设等比数列的公比为q（q＞0），由﹣，，成等差数列，得：，又a1=， ∴，解得：q=． ∴．故答案为：．点评：本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题． 14．己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5， ∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题． 15．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如下表． x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）是周期函数； ②函数f（x）在是减函数； ③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点； ⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②⑤．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：阅读型．分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．解答：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数． ②为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减； ③为假命题，当t=5时，也满足x∈时，f（x）的最大值是2； ④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点． ⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f （x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．综上得：真命题只有②⑤．故答案为：②⑤ 点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．三、解答题 16．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，﹣），函数f（x）=（）（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（x）恰好在上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面积S．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f （x）=sin（2x﹣）+2，利用正弦函数的周期性和单调性即可得解；（Ⅱ）由x的范围，根据题意可求A，由正弦定理可求C，B，b，c，从而根据三角形面积公式即可得解；方法二，由余弦定理可求b，结合三角形面积公式即可得解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（）=sin2x+sinxcosx+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2 ∴f（x）=sin（2x﹣）+2其最下正周期为π…6分（Ⅱ）∵0，∴﹣， ∴当2x﹣=时，f（x）取得最大值．即2A﹣=时，∴A=．由正弦定理可得：sinC===1， ∴C=，则B=，则b=c=2， ∴S=ab==2…12分方法二：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴12=b2+16﹣4b， ∴b=2， ∴S=bcsinA==2…12分点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查． 17．46．某校2014-2015学年高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出样本容量，再求之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB 共15种，其中至少有一份的分数在之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种 ∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．点评：本题考查了样本容量与频数、频率的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，利用频率分布直方图求平均数的问题，是综合题． 18．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣1（n=1，2，…）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn成立的n的最大值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用an=Sn﹣Sn﹣1可得an=2an﹣1，进而可得结论；（Ⅱ）通过对bn分离分母，并项相加即得结论．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1， ∴数列{an}的通项：an=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）知bn===2（﹣）， ∴Tn=b1+b2+…+bn=2（﹣+++…+﹣）=2（﹣）， Tn等价于2（﹣）， ∴2n+1＜4030，即得n≤11，即n的最大值为11．点评：本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题． 19．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF 沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC∥平面MFD；（Ⅱ）连接ED，设ED∩FC=O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；（Ⅲ）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．解答：（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，… 所以NC∥MD，… 因为NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD． … （Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，… 因为FC?平面ECDF，所以FC⊥NE． … 又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FC⊥ED． … 所以FC⊥平面NED，… 因为ND?平面NED，所以ND⊥FC． … （Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为． … 所以． … 当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大． … 点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键． 20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若|AB|=，求直线l的倾斜角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据题目条件可列式求得椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x+），代入椭圆方程，由弦长公式得到所需结论．解答：解：（Ⅰ）由题意得：则得椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意直线得斜率存在，因为左顶点为（﹣）设直线l的方程为：y=k（x+）代入椭圆方程得：因为一根为，则另一根为则AB|=化简得8k2﹣k﹣7=0，即k2=1，k=±1，则倾斜角为45°或135°．点评：本题主要考查了圆锥曲线方程的求法和圆锥曲线与直线的综合应用，属于中档题，在2015届高考中时常涉及． 21．已知关于x的函数（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．解答：解：（Ⅰ），x∈R．当a=﹣1时，f（x），f'（x）的情况如下表： x （﹣∞，2） 2 （2，+∞） f'（x）﹣0 + f（x）↘极小值↗ 所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为﹣e﹣2．（Ⅱ）． ①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表： x （﹣∞，2） 2 （2，+∞） f'（x）﹣0 + f（x）↘极小值↗ 因为F（1）=1＞0，若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，所以此时﹣e2＜a＜0； ②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表： x （﹣∞，2） 2 （2，+∞） f'（x）+ 0 ﹣ f（x）↗极大值↘ 因为F（2）＞F（1）＞0，且，所以此时函数F（x）总存在零点．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．。

【数学】安徽省宣城市高三第二次调研测试试题(文)(解析版)

安徽省宣城市高三第二次调研测试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（是虚数单位）的虚部是（）A. B. C. 3 D. 6【答案】C【解析】复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．故选：C．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴，又∴故选：D3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，∴，故选：A4.已知平面向量，，满足，，与的夹角为，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】∵，，与的夹角为，，∴•||•||•cos60°且满足，∴•（）＝0，∴||2•0，即λ+1＝0，解得λ＝-1，故选：A．5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（）白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石【答案】C【解析】今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴18，180，解得＝78（石）．∴＝7818=60石∴乙应该分得60石．故选：C．6.已知为角终边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴，解得又为角终边上一点，∴，∴∴故选：B7.下列命题中错误的是（）A. 若为假命题，则与均为假命题B. 已知向量，，则是充分不必要条件C. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”的D. 命题“，”的否定是“，”【答案】B【解析】若“”为假命题，则p与q均为假命题，正确；已知向量，，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B不正确；命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；故选：B．8.设，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则的几何意义为区域内点到点D（﹣2，﹣2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图像可知：PB斜率最小，PA斜率最大即∴的取值范围是，故选：D9.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】∵双曲线和椭圆有相同的焦点，∴∴当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为3故选：B10.在中，角，，成等差数列，且对边分别为，，，若，，则的内切圆的半径为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】∵角，，成等差数列，∴，即，∴，即，∴由余弦定理b2＝c2+a2﹣2c a cos B，可得：49＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣120，解得：a+c＝13，∴设△ABC的内切圆的半径为r，则（a+b+c）r ac sin B，可得：（5+8+7）r5×8，∴可得△ABC的内切圆的半径r．故选：A．11.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD截去三棱锥P﹣ABD后得到的三棱锥P﹣BCD．其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，且P A＝AB＝2，最大面为PBD，，故选：C12.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数y＝的图象与函数y＝x2+2的图象关于x轴对称，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣8lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣，则f′（x），当x∈[，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，故当x＝2时，f（x）取最小值，由f（），f（e）＝，故当x＝时，f（x）取最大值，故a∈，故选：D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆：，直线：，在上随机选取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为____.【答案】【解析】圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为r＝1；且圆心到直线l：y＝k（x+2）的距离为d，直线l与圆C相交时d＜r，∴1，解得k，故所求的概率为P．故答案为：．14.顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期____个工作日．【答案】29【解析】由题意可得交货日期最短即耽误工期最少，故先让徒弟加工原料乙需4小时，再由师傅精加工需15小时，师傅精加工期间徒弟用5小时可把原料甲初加工，然后再由师傅精加工A需10小时，故最短时间为4+15+10＝29故答案为：29．15.已知，，三点在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则球的表面积为____.【答案】【解析】设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2r2＝，得r2．球的表面积S＝4πr2＝4ππ．故答案为：．16.已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则____.【答案】3【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为60°，∴直线l的方程为：y﹣0（x）．设直线与抛物线的交点为A（，）、B（，），∴|AF|＝，|BF|＝，联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得，，∴|AF|＝2p，|BF|＝，∴|AF|：|BF|＝3：1，∴的值为3．故答案为：3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和，，且的最小值是-4．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）因为，所以当时，其最小值为，即，所以，当时，，当时，.综上：.（2）由（1）可知：，令，则，两式相减得：，化简得.18.某单位共有职工1000人，其中男性700人，女性300人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）根据这200个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，.估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）；（3）在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”，附：.解：（1）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为，所以该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（2）平均值：.中位数：，解得，所以中位数是.（3）由（2）知，200位职工中有（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，50人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有140份是关于男职工的，60份是关于女职工的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：.所以有的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，点在线段上，且，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积．（1）证明：如图，连结，则与交于点，连接，易知为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面平面，平面平面，，为的中点，所以，所以平面，所以.又四边形为菱形，，，所以，所以，又，，，所以平面，，所以平面，又，所以，即三棱锥的体积为.另解：.20.已知椭圆：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，，的重心分别为，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，解得，即所求椭圆的方程为.（2）假设存在这样的直线，设其方程为.由得.其，解得：.设，，则.又，，所以，，由题意知，以线段为直径的圆过原点，所以，则，所以，则，则，解得.所以存在这样的直线，其方程为.21.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，证明．解：（1）由题设知：，令，解得或（舍），当，解得，当，解得，即的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知：，令，因为，所以当时，，，所以，使得，所以，即.当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增，所以，.令，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．解：（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.选修4-5：不等式选讲23.已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得，，所以.①时，，解得，所以；②时，，解得，所以；综上：.（2）因为，即.令，所以.即.。

2014年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科)

2014年安徽省宣城市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.设全集U是实数集R，M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，则集合N∩∁U M=（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【答案】B【解析】解：∵M={x|x2＞1}，N={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴集合N∩∁U M={x|0＜x≤1}，故选：B．根据补集的定义求得∁U M，再根据两个集合的交集的定义求得N∩∁U M．本题主要考查补集的定义，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3.已知p：ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，q：a=1，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵ax+y+1=0与ax-y+2=0垂直，∴a2-1=0，得a=1或a=-1∴若P，则q为假命题；若q，则p为真命题，∴P是q的必要不充分条件．故选B利用直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0，求解；再判定命题若p，则q的真假与命题若q，则p的真假即可．本题考查直线垂直的充要条件，与充要条件的判定方法．4.若向量=（1，2），=（4，x），且与共线，则=（）A.（-3，-6）B.（3，6）C.（5，10）D.（-3，4）解：∵向量=（1，2），=（4，x），且与共线，∴x-2×4=0，即x=8．∴，．则，，=（-3，-6）．故选：A．由向量共线的坐标表示列式求得x的值，然后利用向量加法的坐标运算求得答案．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．5.阅读如图的程序框图，则输出的S=（）A.9B.13C.17D.33【答案】D【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=21+22+23+24+4=1+4+8+16+4=33．故选：D．算法的功能是求S=21+22+…+2i+i的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5-××3×4×5=20（cm3）．故选B．由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）的图象，则f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为（）A.4B.2C.2D.2【答案】D【解析】解：把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），∴f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为=[-cosx+cos （x+）]=2．故选：D．先确定g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），确定积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分基本定理求值即可．本题主要考查了积分的求解，解题的关键是积分基本定理及积分的几何意义的应用．8.已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A. B. C. D.【答案】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．9.设函数f（x）=（x-1）k cosx（k=1，2），则（）A.当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B.当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C.当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D.当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值【答案】C【解析】解：∵f（x）=（x-1）k cosx，∴当k=1时，f（x）=（x-1）cosx，∴f′（x）=cosx-（x-1）sinx，当x=1时，f′（1）=cos1≠0，此时f（1）不是极值，故A，B错误．当k=2时，f（x）=（x-1）2cosx，∴f′（x）=2（x-1）cosx-（x-1）2sinx，当x=1时，f′（1）=0，故当x→1+时，f′（x）＞0，当x→1-时，f′（x）＜0，故f（x）在x=1处取得极小值．故选：C求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，综合性较强．10.已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，则下列说法中正确的是（）①3a-4b+10＞0②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值③＞2④当a＞0且a≠1时，的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）A.①③B.③④C.②④D.②③【答案】解：∵点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，故点A（a，b）在如图所示的平面区域内故3a-4b+10＜0，即①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x-4y+10=0的距离为d，则d==2，则＞d=2，故③正确；当a＞0且a≠1，b＞0时，表示点A（a，b）与B（1，0）连线的斜率，∵当a=0，b=时，=-，又∵直线3x-4y+10=0的斜率为，故的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞），故④正确；故答案为：③④．根据点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，可以画出点A（a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论．本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在极坐标系中，设曲线C1：ρcosθ=1与C2：ρ=4cosθ的交点分别为A、B，则|AB|= ______ ．【答案】【解析】解：曲线C1：ρcosθ=1，即x=1；C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．再根据圆心到直线的距离为1，可得弦长为2=2．由于这两条曲线的交点分别为A、B，则|AB|=2，故答案为：2．把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再由弦长公式求得|AB|的值．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．12.在等差数列{a n}中，a1+2a8+a15=96，则2a9-a10= ______ ．【答案】24又a8+a10=2a9∴2a9-a10=a8+a10-a10=a8=24故答案是24先由等差数列的性质求得a8，而2a9-a10=a8从而求得．本题主要考查等差数列的性质．13.若二项式（+）n的展开式中的常数项是270，则该展开式中的二项式系数之和等于______ ．【答案】32【解析】解：二项式（+）n的展开式中的通项公式为T r+1=•3r•，令=0，求得3n=5r，∴展开式中的常数项是•=270，解得n=5，则该展开式中的二项式系数之和等于2n=25=32，故答案为：32．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再根据常数项是270，即可求得n的值，从而求得该展开式中的二项式系数之和．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.已知定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），则函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数是______ ．【答案】6【解析】解：令-＜x＜0，则0＜-x＜，由于当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2-2x+2），f（x）=0，则x1=1；则f（-x）=ln（x2+2x+2），又f（-x）=-f（x），则-＜x＜0时，f（x）=-ln（x2+2x+2），f（x）=0，则x2=-1；令-2≤x＜，则1≤x+3＜，f（x+3）=ln（（x+3）2-2（x+3）+2），由于f（x-3）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则-2≤x＜，f（x）=ln（x2+4x+5），f（x）=0，x3=-2；则＜x≤2时，f（x）=-ln（x2-4x+5），f（x）=0，x4=2当x=时，f（-）=f（）=-f （），即f（-）=f（）=0，根据条件可分别求出-＜x＜0，-2≤x＜，＜x≤2的解析式，再令f（x）=0，求出实根，再令x=，求出f（-）=f（）=0，即可得到函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数．本题考查函数的周期性和奇偶性及其运用，考查函数的解析式的求法，以及函数零点的求法，属于中档题．15.关于x的不等式x2-ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】，，【解析】解：由题意可得，判别式△=a2-8a＞0，解得a＜0，或a＞8．设f（x）=x2-ax+2a，①当a＜0时，由于f（0）＜0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为-1和0，故有f（-1）=1+3a＜0，且f（-2）=4+4a≥0，解得-1≤a＜-．②当a＞8时，对称轴x=＞4，设A=（m，n），由于集合A中恰有两个整数则有n-m≤3，即≤3，即a2-8a≤9，解得8＜a≤9．故有对称轴4＜＜5，而f（2）=4＞0，f（3）=9-a≥0，故A中的两个整数为4和5，故f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0．即16-2a＜0，且25-3a＜0，36-4a≥0解得＜a≤9．综合可得，-1≤a＜-，或＜a≤9．故实数a的取值范围是，，，故答案为，，．由判别式△＞0，解得a＜0，或a＞8．①当a＜0时，由f（-1）＜0，且f（-2）≥0，求得a的范围．②当a＞8时，由≤3求得8＜a≤9，再根据f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0求得a的范围．再把两个a的范围取并集，即得所求．本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sin2A=sin C cos B+sin B cos C．（Ⅰ）求sin A的值；【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由得3sin A cos A=sin（B+C）=sin A．----（2分），由于△ABC中，sin A＞0，∴3cos A=1，，----------（4分）∴．----（6分）（Ⅱ）由得，--------（7分）即，∴，-------（9分）化简得，，平方得，--------（12分）由正弦定理得．------（14分）【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件求得cos A的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值．（Ⅱ）由利用诱导公式求得sin C的值，再由正弦定理求得c的值．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及正弦定理，属于中档题．17.如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形绕其直角边AD旋转120°得到如图所示的几何体，点G是∠BDF平分线上任意一点（异于点D），点M是弧的中点．（Ⅰ）求证：BF⊥AG；（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：连接AM交BF于点O，则∵点M是弧的中点，∴AM⊥BF且O为BF的中点，∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，∴DA⊥平面ABF，∴DA⊥BF，∵DA∩AM=A，∴BF⊥平面ADM，∵AG⊂平面ADM，∴BF⊥AG；（Ⅱ）解：∵DB=DF，BM=FM，DM=DM，∴△BDM≌△FDM，作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，∠BNF为所求．∵AB=AD=2，在△DBM和△DFM中，运用等面积可得BN=FN=，∵BF=2，∴cos∠BNF==-∴二面角B-DM-F的大小的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）连接AM交BF于点O，证明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，从而BF⊥AG；（Ⅱ）作BN⊥DM，垂足为N，连接FN，则FN⊥DM，利用余弦定理可求二面角B-DM-F 的大小的余弦值．本题考查与二面角有关的立体几何综合问题，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角大小的余弦值，属于中档题．18.某人参加一档综艺节目，需依次回答6道题闯关，每关答一题，若回答正确，则他可进入下一关；若回答错误，则他离开此节目，按规定，他有一次求助亲友团的机会，若回答正确，也被视为答案正确，否则视为错误，6道题目随机排列，已知他能答出其中3题，亲友团能答对其余3题中的2题，设他能闯过的关数为随机变量X．（Ⅰ）求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）求X的分布列与期望．【答案】解：（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，则P（X=1）==；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，EX=0×+1×+2×+3×+4×=．【解析】（Ⅰ）他恰好闯过一关，是指第一关闯过，第二关失败，即可求他恰好闯过一关的概率；（Ⅱ）X=0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得X的分布列与期望．本题考查古典概型公式与分布列、期望的计算，解题时要注意概率的计算，这是此类题目的基本考点．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）是椭圆C上的一个动点，过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且右焦点为F2（1，0），∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）∵P（x0，y0），F2（1，0），∴=，设Q（x，y），则=，∵过F2作与PF2垂直的直线l2，直线l2与直线l1：+=0相交于点Q，∴PF2⊥QF2，∴•==-1，整理，得：（x0-1）x+y0y-x0+1=0．∴点Q的轨迹方程为（x0-1）x+y0y-x0+1=0．【解析】（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由P（x0，y0），F2（1，0），知=，设Q（x，y），则=，由PF2⊥QF2，能求出点Q的轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．20.已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜）．数列{a n}满足：0＜a1＜，a n+1=f（a n），n∈N*．（Ⅰ）求证：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）求证：数列{a n}是递减数列．【答案】解：（Ⅰ）①当n=1时，显然成立，②假设n=k时，0＜a k＜，则cosa k∈（0，1），∴a k+1=1-cosa k∈（0，1），∴当n=k+1时，原不等式成立，由①②可知0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）要证数列{a n}是递减数列，即证a n+1＜a n，即证f（a n）＜a n，即1-cosa n＜a n，令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜，g′（x）=1-sinx＞0，∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜上单调递增，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即x＞1-cosx，0＜x＜，∴1-cosa n＜a n，即数列{a n}是递减数列．【解析】（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明：0＜a n＜（n∈N*）；（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列{a n}是递减数列．本题主要考查递推数列的应用，利用数学归纳法是解决不等式的基本方法，综合考查了函数单调性和导数之间的关系．21.已知函数f（x）=e x-kx（x∈R）（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【答案】解：（1）f'（x）=e x-e，令f'（x）=0，解得x=1当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f （x）在（1，+∞）单调递增；当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减．（6分）（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立当x≥0时，f'（x）=e x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，∴f（x）min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=e x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1综上，0＜k＜e．（12分）．【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．本题的第二问实际上是e x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分离参数构造函数进行解答，即：当x=0时，k∈R；当x＞0时，由e x-kx＞0，得＜，令，只要k＜[φ（x）]min即可．。

安徽省宣城市宣城中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

安徽省宣城市宣城中学 2023-2024 学年高二上学期第二次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．过 A0, 4 ， B 3,1 两点的直线的倾斜角为（）
A．150
B．120
C． 60
D． 30
21．如图（1）所示，在 ABC 中， AB 4 3 ， BC 2 3 ， B=60 ，DE 垂直平分
AB．现将三角形 ADE 沿 DE 折起，使得二面角 A DE B 大小为 60°，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点 A 记作点 P）．
(1)求点 D 到面 PEC 的距离；试卷第 4 页，共 5 页
则当 APB 最大时，P 点坐标为
.
16．设 F1, F2 分别是椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点，B
是第一象限．若 F1A 3 F2 A ，且 AB 平分 F1AF2 ，则椭圆的离心
率为
．
四、解答题
试卷第 3 页，共 5 页
椭圆的面积为（）
A． 36 2π
B．18 2π
C． 9 2π
D． 6 2π
7．如图，已知矩形 ABCD, AB 1, BC 3 ，沿对角线 AC 将 ABC 折起，当二面角 B AC D 的余弦值为 1 时，B 与 D 之间距离为（）
3
A． 2 6 3
B． 3
C． 2 3 3
D． 2
8．已知双曲线
2．与双曲线 x2 y2 1 有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（） 3
A． x2 y2 1 3

《精编》安徽省宣城市高三数学联合测评考文科新人教A版.doc

安徽省宣城市届高三联合测评考文科数学扫描版含答案新人教A版高三联合测评考试卷数学〔文科〕试题参考答案1.B 解析：(2)(2)20225z x yi x y x y i x y i i +-++==∈⇒+=--R . 2.C 解析：利用韦恩图可知选C.3.C 解析：()4142112151222a S a a --==⨯4.C 解析:奇函数定义是一个全称命题, 当该命题为假时,其否命题必为真.5.B 解析：画出2x y =与12log y x =的图像可知当0x >a 时，122log x >x ，故0()0f x >.6.A 解析：作出可行域可知当目标函数过点〔2,0〕时取最大值6，过点〔12，3〕时取最小值3-2，故取值范围是3[,6]2-. 7.D 解析：2()2,3AC AF FC DC CF a b a a b x y =+=--=---=--=.8.B 解析: 双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0),∴抛物线的准线为3x =-，代入双曲线方程得52y =±,故所截线段长度为5.9.A 解析:∵1>x e x x ≥+,∴0x e x ->,结合选项可知选A.10.A 解析：根据点到直线的距离公式有2d =假设点P 在O 上，那么22200x y r +=，d r =，相切; 假设点P 在O 外,那么22200x y r +>,d r <,相交; 假设点P 在O 内,那么22200x y r +<,d r >,相离，故只有①正确. 11.23π 解析：由题意可得1=0=-1,=-2a b a a b θ+⋅⇒⋅（）则cos ，所以夹角为23π. 12.112解析：(),x y 为坐标的点落在直线28x y +=上的的情形有(1,6),(2,4),(3,2)共3种，所以概率是31.3612= 13.120 解析：①处填2S S i =+∧，②处填1i i =+.假设顺序颠倒，那么所求的算式应为22221011+++，输出的结果比原来大120.14.2π 解析:该几何体是一个高为6,底面半径为2的圆锥的14 ，故其体积V=21126=243ππ⋅⋅⋅⋅. 15.①②④ 解析：由题意得22(),2422k k k k k ππθππθππππ+<<+⇒+<<+∈Z 所以2θ是第一或第三象限角，①正确；当k 为偶数时，sin()sin ;k παα+=当k 为奇数时，sin()sin ;k παα+=-②正确；在③中，应为k ∈Z ，③错误；④正确；设()(),2x F x f =(2)F x a +=()()(),22x x f a f F x +==即周期为2,a ⑤错误.16.解析: (Ⅰ)a =0时符合题意;……………………2分当0a ≠时,要使函数()f x =的定义域为R,需 20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩解得01a <≤.……………………4分综上可得0 1.a ≤≤……………………6分(Ⅱ)原不等式可化为()((1))0x a x a --->. 当102a ≤<时,1,a a <-解集为{}|1x x a x a <>-或;……………………8分当12a =时,解集为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭;……………………10分当112a <≤时,1,a a >-解集为{}|1x x a x a <->或.……………………12分 17.解析:(Ⅰ)∵tan 21tan A c Bb +=，∴ sin cos 2sin 1sin cos sin A B C B A B+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B+=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=，整理得1cos 2A =. ∵0A π<<，∴3A π=.……………………6分 (Ⅱ)在ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-，且a =∴22222122b c bc b c bc =+-⋅=+-， ∵222b c bc +≥，∴32bc bc ≥-，即3bc ≤，当且仅当b c ==bc 取得最大值.又a =bc 取得最大值时，ABC ∆为等边三角形. ……………………12分18.解析:〔Ⅰ〕由可得2001111()|32|1x x c a a a b c f x x ax b ==⎧=-=-⎧⎪⎪-=⇒=-⎨⎨⎪⎪='=++=-⎩⎩.……………5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知1)(23+--=x x x x f ， )1)(13(123)(2-+=--='x x x x x f ，令10)(=⇒='x x f 或1-=x ，于是所以()f x 的极大值为2732)31(=-f ，极小值为0)1(=f .……………………12分 19.解析：〔Ⅰ〕连接AC 交BD 于点O ，连接EO.∵底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴PA ∥OE ，∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ……………………5分〔Ⅱ〕在棱PB 上存在点F ，1,3PF PB =使PB ⊥平面DEF ，证明如下：设2,PD CD ==那么2322,23,,3BD PB PF === 在直角三角形PBD 中，3cos ,3PD PF BPD PB PD∠=== ∴PDF ∆为直角三角形，即;DF PB ⊥又,,,BC CD BC PD CD PD D ⊥⊥=∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥,DE∵,PD CD =E 是PC 的中点，∴,DE PC ⊥,PCBC C =∴DE ⊥平面PBC ，∴,DE PB ⊥ 又,DF DE D =∴PB ⊥平面DEF.∴在棱PB 上存在点F ，且1,3PF PB =使PB ⊥平面DEF. ……………………13分 20.解析：〔Ⅰ〕依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-===36122a b a a c e b ，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩31 ∴椭圆的方程为.x y +=2213……………………4分〔Ⅱ〕①当AB .3||,=⊥AB x 轴时 ……5分②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，由,231||2=+k m 得),1(4322+=k m ………………………6分 m kx y +=把代入椭圆方程整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k.13)1(3,1362221221+-=+-=+∴k m x x k km x x 21222))(1(||x x k AB -+=∴]13)1(12)13(36)[1(2222222+--++=k m k m k k 222222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12+++=+-++=k k k k m k k 24222121233(0)196196k k k k k k=+=+≠++++.4632123=+⨯+≤ 当且仅当33,1922±==k kk 即时等号成立，此时.2||=AB ………10分 ③当.3||,0==AB k 时…．．11分综上所述2||max =AB ，所以AOB ∆面积的最大值.2323||21max =⨯=AB S ………13分 21.解析：〔Ⅰ〕经计算33=a ，44a =，59a =，66a =．当n 为奇数时，23n n a a +=，即数列}{n a 的奇数项成等比数列，1213n n a --∴=；当n 为偶数时，22n n a a +-=，即数列}{n a 的偶数项成等差数列，22n a n ∴=；因此数列}{n a 的通项公式为123(21,*),(2,*).n n n k k a n n k k -⎧⎪=-∈=⎨⎪=∈⎩N N ．……………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知123n n b n -=⨯，221214363(22)323n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ① 2313234363(22)323n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②①-②得212 21+23+232323n n n S n --=⨯⨯⨯++⨯-⋅3123n n n =--⋅(21)312n n n S -⋅+∴=．……………………13分。

2014年安徽省宣城市高考数学三模试卷(理科)

2014年安徽省宣城市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数z满足，则复数z=（）A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i【答案】B【解析】解：由，得．所以z==2+i．故选B．把给出的等式变形后利用复数的除法运算化简求得，取共轭后可求z．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2.命题p：≤0；命题q：y=x a（x为自变量）在第一象限是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：由≤0解得0≤a＜1，即p：0≤a＜1，若y=x a（x为自变量）在第一象限是增函数，a＞0，则p是q的既不充分也不必要条件，故选：D．根据充分条件和必要条件的定义，即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用不等式的解法以及函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）A.15B.17C.19D.21【答案】A【解析】解：在等差数列中，若S9=3a8，则=3a8．即9a5=3a8，∴a8=3a5，则===，故选：A．根据等差数列的通项公式，将条件进行化简，即可得结论．本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据等差数列的性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力．4.若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.4+2B.4+C.4+2D.4+【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC 都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．6.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后得到的函数时奇函数，则函数f（x）的图象（）A.在（0，）上单调递增B.在（0，）上单调递减C.关于直线x=对称D.关于点（，0）对称【答案】C【解析】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，即T==π，故ω=2；又f（x-）=sin[2（x-）+φ]=sin（2x-+φ）为奇函数，∴φ-=kπ（k∈Z），∴φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．∵f（）=＞f（）=0可排除A；由≤2x+≤得：≤x≤，即函数f（x）在[，]上单调递减，可排除B；∵2×+=，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，即C正确；∵f（）=sin（+）=-≠0，可排除D；故选：C．依题意，可求得f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质，对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的单调性、对称性、考查综合分析、运算能力，属于中档题．7.某企业计划生产甲、乙两种产品，生产甲、乙产品每吨需A原料、B原料及获利情况如表．若该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过26吨，B原料不超过36吨，那么该企业在一个生产周期内可获得最大利润是（）A.24万B.40万C.50万D.54万【答案】D【解析】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=10x+6y，则满足条件的约束条件为，，即，，满足约束条件的可行域如下图所示∵z=10x+6y，∴y=-，平移直线y=-y=-，由图可知，当直线经过P时z取最大值，由，解得，即P（3，4），∴z的最大值为z=10×3+6×4=54（万元）．故选：D．先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=10x+6y，再利用z的几何意义求最值，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件，利用数形结合即可得到结论．8.抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：-y2=1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线C1：x2=2py的焦点坐标为F（0，）．双曲线C2：-y2=1的左焦点为（-2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（x0，），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知=-=-，得x0=-p，代入M点得M（-p，）把M点代入①得：-．解得p=．故选：D．由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出曲线在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．9.（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为32，不含y的项的系数的绝对值的和为243，则a，b，n的值可能为（）A.a=-1，b=2，n=5B.a=2，b=1，n=5C.a=2，b=-1，n=6D.a=-1，b=-2，n=6【答案】B【解析】解：∵（1+ax+by）n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为32，不含y的项的系数的绝对值的和为243，∴（1+b）n=32，（1+a）n=243．再根据25=32，35=243，结合所给的选项，可得a=2，b=1，n=5，满足条件，故选：B．由题意得到（1+b）n=32，（1+a）n=243，结合所给的选项，可得结论．本题主要考查二项式系数的性质，由题意得到（1+b）n=32，（1+a）n=243，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于中档题．10.定义域为R的函数f（x）=，，，若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有且只有3个不同的零点x1，x2，x3，则ln（x1+x2+x3）的值为（）A.6 B.ln6 C.2ln3 D.3ln2【答案】C【解析】解：f（x）=，，的图象关于x=3对称，且直线y=3与y=f（x）图象交于三个不同点，即方程f（x）=3有三个不同的解．若函数F（x）=f2（x）+bf（x）+c有且只有3个不同的零点x1，x2，x3，则关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0只能有一个解，从而只能有f（x）=3，所以x1，x2，x3，就是方程f（x）=3的解，根据图象的对称性，x1+x2+x3=3×3=9，ln（x1+x2+x3）=ln9=2ln3故选：Cf（x）的图象关于x=3对称，方程f（x）=3有三个不同的解．利用换元的思想方法，关于f（x）的方程f2（x）+bf（x）+c=0只能有一个解，故只能有f（x）=3，图象的对称性，x1+x2+x3=3×3=9，ln（x1+x2+x3）=ln9=2ln3．本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的图象与方程之间的关系，利用数形结合，想到f（x）的图象关于x=3对称是解决本题的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.阅读如图所示的程序框图，则输出S的值等于______ ．【答案】-1【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，∵跳出循环的n值为16，∴输出S=cos+cos+…+cos，又cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0，∴输出S=cos+cos+cosπ=-1．故答案为：-1．算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出的S值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能及确定跳出循环的n 值是关键．12.已知函数f（x）=，，＜，则f（ln4）= ______ ．【答案】2e3【解析】解：∵1＜ln4＜2，∴f（ln4）=f（ln4+1）=f（ln4+2）=f（ln4+3）∵ln4+3＞4，∴f（ln4+3）=e ln4+3=（e ln4×e3）=（4e3）=2e3．即f（ln4）=2e3．故答案为：2e3．将f（ln4）转化为f（ln4+3），再代入第一段解析式，计算化简．本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．13.在极坐标系中，直线l过点A（2，）且与极轴方向所成角为，则极点到直线l的距离为______ ．【答案】2【解析】解：直线l过点A（2，），则x A==，，∴A，．∵直线l与极轴方向所成角为，∴=-1．∴直线l的方程为：，化为=0．∴原点（0，0）到直线l的距离d==2．故答案为：2．直线l过点A（2，），化为直角坐标A，．由于直线l与极轴方向所成角为，可得=-1．利用点斜式可得直线l的方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了把极坐标化为直角坐标、点斜式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．14.在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是______ ．【答案】[0，]【解析】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x-4）2+y2=1，∴圆心C（4，0），半径r=1，∵直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与y=kx-2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx-2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故答案为：[0，]．将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx-2有公共点，即圆心到直线y=kx-2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．15.如图，已知棱长为1的正方体中ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点，给出以下判断：①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线AD成30°角；③若PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；④若PQ=1，则四面体BDPQ的表面积一定是定值；⑤若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．其中真命题的是______ （写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】解：当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BP⊥DQ，故①正确；由①正确，可得空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，夹角最小值为45°，故②错误；设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故⑤正确；故答案为：①③⑤．令P与A1点重合，Q与C1点重合，可判断①；空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，夹角最小值为45°，可判断②；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断⑤．本题考查的知识点是棱柱的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积，投影的综合应用，难度较大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bcos C+bsin C-a-c=0 （1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求△ABC的内切圆与外接圆面积之比．【答案】解：（1）将bcos C+bsin C-a-c=0，利用正弦定理化简得：sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0，即sin B cos C+sin B sin C=sin A+sin C=sin（B+C）+sin C=sin B cos C+cos B sin C+sin C，∴sin B=cos B+1，即sin（B-）=，∵0＜B＜π，∴-＜B-＜，∴B-=，即B=；（2）∵S△ABC=acsin B=ac=，∴ac=4①，∵b=2，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B，即a2+c2-ac=a2+c2-4=4，即a2+c2=8②，联立①②解得：a=c=2，设内切圆的半径为r，外接圆半径为R，∴（a+b+c）r=，即r=，=2R，即R=，则△ABC的内切圆与外接圆面积之比为=．【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（B-）=，利用特殊角的三角函数值即可求出B的大小；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sin B与已知面积代入求出ac=4①，利用余弦定理列出关系式，将b，cos B代入求出a2+c2=8②，联立①②求出a与c的值，设内切圆的半径为r，外接圆半径为R，利用面积法求出r的值，利用正弦定理求出R的值，即可求出△ABC的内切圆与外接圆面积之比．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及内切圆与外接圆性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中，A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，且ξ+η=3．（Ⅰ）求A队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【答案】解：（Ⅰ）设A队得分为（1分）的事件为A0，∴．（Ⅱ）ξ的可能取值为3，2，1，0；，，，∴ξ的分布列为：于是，∵ξ+η=3，∴．由于Eη＞Eξ，故B队比A队实力较强．【解析】（1）A队得分为1分包括第一个队员胜且后两个负，第二个队员胜且一三两个队员负，第三个队员胜且一二两个负，相互独立事件同时发生的概率．（2）看出随机变量的可能的取值，求出各个取值对应的概率，得到分布列，求出期望，比较两个期望的大小，得到结论．本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题．这是概率与统计大题考查的主阵地，预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查．18.如图1，在R t△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，（4分）不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．由图1条件计算得，，，EF=，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为=（0，0，）．（6分）设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得=（-1，，1）．（8分）∴cos＜，＞==，∴二面角A-DC-B的余弦值为．（9分）（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．∵，，，∴，，，其中λ∈[0，1]，（10分）∴，，，（11分）由，即，（12分）解得，，（13分）∴在线段AF上存在点M，使平面，且．（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥BD于E，由此能证明AE⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．（Ⅲ）设，由已知条件推导出，由此能求出在线段AF 上存在点M，使平面，且．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知数列{a n}的首项a1=a，前n项和为S n，且-a2，S n，2a n+1成等差．（Ⅰ）试判断{a n}是否成等比数列，并说明理由；（Ⅱ）当a＞0时，数列{b n}满足b1=，且b n=（n≥2）．记数列{b n}的前n 项和为T n，求证：1≤a T n＜2．【答案】解：（Ⅰ）∵2S n=-a2+2a n+1，∴当n≥2时，2S n-1=-a2+2a n，两式相减得2a n=2a n+1-2a n（n≥2），∴=2；又当n=1时，2a1=-a2+2a2，得a2=2a1，当a1=a=0时，此时a n=0，{a n}不是等比数列，当a≠0时，=2，此时{a n}是首项a1=a，公比为2的等比数列，∴a n=a•2n-1．（Ⅱ）∵b1=，a n=a•2n-1，当n≥2时，b n==（-），∴T n=b1+b2+…+b n=[1+（-）+（-）+…+（-）]=（2-）．∴a T n=2-，∵n≥2，∴2n≥4，∴a T n≥＞1，又＞0，∴a T n＜2．而当n=1时，a T n=1，故1≤a T n＜2．【解析】（Ⅰ）2S n=-a2+2a n+1⇒当n≥2时，2S n-1=-a2+2a n，两式相减，可得=2（n≥2），验证可得n=1时也满足=2，从而知{a n}是首项a1=2，公比为2的等比数列，于是可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法易求b n=（-），从而可求T n=（2-），于是可得a T n=2-，利用n≥2，即可证得1≤a T n＜2．本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与裂项法求和，考查分类讨论思想与推理运算及证明能力，属于难题．20.如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B为椭圆上不同的两点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求点M的轨迹方程．【答案】解：（1）∵椭圆C：+=1过点（，），且焦点为F（1，0），∴，解得：a2=4，b2=3，则椭圆C的方程为；（2）∵F（1，0）、N（4，0），设A（m，n），则B（m，-n）n≠0，则直线AF的方程为：，BN的方程分别为：，则联立方程解得点M的坐标为，．则，．将点A（m，n）代入椭圆C中可得．∵m≠±2，∴x0≠±2．即点M的轨迹方程为．（x≠±2）．【解析】（1）把点（，）代入椭圆方程结合c=1及a2+b2=c2求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设出A，B的坐标，写出直线AF和BN的方程，联立求得M点的坐标，在把A 的坐标用M的坐标表示，代入椭圆方程后得M的轨迹方程．本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线关系问题，训练了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．21.设函数f（x）=x--alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=1+，令g（x）=x2-ax+1，△=a2-4，①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0＜x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．（Ⅱ）由（I）知，a＞2．因为f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+-a（lnx1-lnx2），所以k==1+-a，又由（I）知，x1x2=1．于是k=2-a，若存在a，使得k=2-a，则=1，即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即＞（*）再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，而x2＞1，所以＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2-a．【解析】（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）假设存在a，使得k=2-a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。

宣城市宣郞广三校2014-2015学年高一下学期期中联考数学试题及答案(理)

宣郎广三校2014级高一第二学期期中联考数学试卷（理科）第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( )A ．45B ．75C ．180D ．3002、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝( )A. 6 B ．2 C. 3D. 23、若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A ．B ．C ．D ．4、右图三角形OAB 为用斜二测画法所画的直观图，其原来平面图形的面积是（）A ．4B ．42C ．22D ．85、在中，若2cos a B c =，则形状是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 6、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1 D.13(4n －1)7、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ),a b R ∈0ab >222a b ab +>a b +≥11a b +>2b a a b +≥ABC ∆ABC ∆A ．16643π-B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-8、不等式221x x+>+的解集是 ( ) A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-⋃ C ．(1,0)(0,1)-⋃ D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞9、△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°， △ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 310、过正四棱锥（侧棱长全是1，侧面三角形的顶角为30度）的底面一个顶点的平面截棱锥所得四边形的周长的最小值是（）A ．1B ．2C ．2D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.)11、在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________． 12、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是．13、已知：2()1f x ax bx =++，且1f -≤≤（-1）1， 2f -≤≤（2）2，则f （3）的范围是_______________. 14、在三角形ABC中，内角A ，B ，C的对边分别是15、把正整数数列的所有数按照从小到大的原则写成如下图所示的数表，=∠==-A B C bc b a c b a 则若.sin 32sin ,3,,22第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为， 12,34,5,67,8,9,10∙∙∙∙∙∙则2015这个数可记为。

2015届安徽省宣城市八校高三上学期联考数学(理)试题

宣城市八校2015届高三上学期联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体T 整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题．．．．．．．．．．．．．．．．．卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，复数7412ii++ （A ） 3－2i （B ） 3+2i（C ）2—3i（D ） 2+3i（2）若集合A={}|0,|22x a x B x x x -⎧⎫≤=≥-⎨⎬-⎩⎭，且A ⊆B ．则实数a 的取值范围是（A ）（-∞,-2] （B ）[－2,2] （C ）[－2,+∞）（D ）[2, +∞）（3）设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 3=7，S 3=21，则数列{a n }的公比是（A ）12-（B ）1 （C ）12或1 （D ）－12或1 （4）设a>1, 则函数11xy a =-的图像大致为（5）若非直角△ABC 的内角A 、B 、C 成等差数列，则tanA+tanC －tanAtanBtanC=（A ）（B ）（C （D （6）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x>0时f （x ）=21,016(8),16og x x f x x <≤⎧⎨->⎩，则f(f （－24）)=（A ）－4 （B ）－2 （C ）2 （D ）4（7）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2+2a 4+5a 6=48，则S 9= （A ）36 （B ）45 （C ）54 （D ）63 （8）已知向量a=（0，sin2x ），b=（1,2cos 2x ），函数f （x ）=32a·b ，g （x ）=a 2+b 2－72，则f （x ）的图像可由g （x ）的图像经过怎样的变换得到（A ）向左平移4π个单位长度（B ）向右平移4π个单位长度（C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度（9）已知a 、b 为正实数，直线y=x －a 与曲线y=ln （x+b ）相切，则22a b+的取值范围是（A ）（0，12）（B ）（0，1）（C ）（0，+∞）（D ）[)1,+∞（10）在△ABC 中，若（4AB AC -）⊥CB ，则sinA 的最大值为（A ）12（B ）35（C ）45（D 第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．。

2014-2015学年安徽省宣城市高一(上)期末数学试卷含答案

2014-2015学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D．2．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x|C．y=sinx D．y=﹣x33．（5.00分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣14．（5.00分）下列函数中，表示同一函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=B．f（x）=lg（x（x+1）），g（x）=lgx+lg （x+1）C．f（x）=x﹣1（x∈R），g（x）=x﹣1（x∈N）D．f（x）=x2+x﹣1，g（x）=t2+t ﹣15．（5.00分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）7．（5.00分）已知a=log34，b=log43，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5.00分）已知α为第一象限角，sinα=cosα，则tan为（）A．2+B．2﹣C．﹣±2 D．±29．（5.00分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象如图所示，其中A，B两点的间距为5，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ= 10．（5.00分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，若f（lg（log210））=m，则f（lg（lg2））=（）A．﹣m B．m C．m+2 D．2﹣m二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5.00分）函数y=的定义域为．12．（5.00分）函数f（x）=，则f[f（16）]=．13．（5.00分）已知=（a＞0），则a=．14．（5.00分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．15．（5.00分）设α∈（0，π），且α≠，当∠xOy=α时，定义坐标系xOy为α﹣仿射坐标（如图），在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“，分别是与x轴，y轴方向同向的单位向量，若向量=x+y，则记=（x，y），下列结论正确的是（写上所有正确结论的序号）①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=m，s=t；②设向量=（m，n），则||=；③设向量=（m，n）=（s，t），若，则有mt﹣ns=0；④设向量=（m，n）=（s，t），若，则有mt+ns=0；⑤设向量=（1，2）=（2，1），若与的夹角为，则有．三、解答题16．（12.00分）集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．17．（12.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12.00分）已知向量，是夹角为的两个单位向量，=2+，=k+2，（1）若，求实数k的值；（2）若k=﹣3，求与的夹角θ．19．（12.00分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）的单调性并证明你的结论．20．（13.00分）设向量=（2sin（x+），﹣1），=（2cosx，），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期（2）若2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，求实数m的取值范围．21．（14.00分）根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t∈N*）（1）分别写出图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．2014-2015学年安徽省宣城市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）sin42°cos18°+cos42°sin18°=（）A．B．C．D．【解答】解：由两角和的正弦公式可得：sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°）=sin60°=故选：B．2．（5.00分）下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A．y=e x+e﹣x B．y=|x|C．y=sinx D．y=﹣x3【解答】解：A．y=e x+e﹣x为偶函数，不满足条件．B．y=|x|为偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，满足条件．D．y=﹣x3是奇函数，在区间（﹣1，1）上是减函数，不满足条件．故选：C．3．（5.00分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2．故选：A．4．（5.00分）下列函数中，表示同一函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=B．f（x）=lg（x（x+1）），g（x）=lgx+lg （x+1）C．f（x）=x﹣1（x∈R），g（x）=x﹣1（x∈N）D．f（x）=x2+x﹣1，g（x）=t2+t ﹣1【解答】解：对于A，f（x）==，与g（x）=的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=lg（x（x+1））（x＜﹣1或x＞0），与g（x）=lgx+lg（x+1）=lg（x （x+1））（x＞0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x﹣1（x∈R），与g（x）=x﹣1（x∈N）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=x2+x﹣1（x∈R），与g（x）=t2+t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．故选：D．5．（5.00分）函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选：A．6．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B．7．（5.00分）已知a=log34，b=log43，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=log34＞1，1＞b=log43=＞=log53=c，∴a＞b＞c．故选：D．8．（5.00分）已知α为第一象限角，sinα=cosα，则tan为（）A．2+B．2﹣C．﹣±2 D．±2【解答】解：∵α为第一象限角，∴2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z，即kπ≤≤kπ+，k∈Z，∴tan＞0，已知等式sinα=cosα，整理得：tanα=，∴=，即tan2+2tan﹣1=0，解得：tan=2﹣，故选：B．9．（5.00分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象如图所示，其中A，B两点的间距为5，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=【解答】解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．故选：C．10．（5.00分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，若f（lg（log210））=m，则f（lg（lg2））=（）A．﹣m B．m C．m+2 D．2﹣m【解答】解：∵设g（x）=ln（﹣3x），∴g（﹣x）=ln（+3x），∴g（x）+g（﹣x）=ln[（﹣3x）•（﹣3x）]=ln1=0，∴g（x）=ln（﹣3x）是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=2，∵lg（log210）=﹣lg（lg2），∴f（lg（log210））+f（lg（lg2））=2，∴f（lg（lg2））=2﹣f（lg（log210））=2﹣m．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5.00分）函数y=的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．【解答】解：∵函数y=，∴，解得，即x≥2且x≠3；∴函数y的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．故答案为：[2，3）∪（3，+∞）．12．（5.00分）函数f（x）=，则f[f（16）]=8．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（16）==4，f[f（16）]=f（4）=2×4=8．故答案为：8．13．（5.00分）已知=（a＞0），则a=．【解答】解：∵=（a＞0），则a==2，∴a=．故答案为：．14．（5.00分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin （2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．15．（5.00分）设α∈（0，π），且α≠，当∠xOy=α时，定义坐标系xOy为α﹣仿射坐标（如图），在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的坐标这样定义“，分别是与x轴，y轴方向同向的单位向量，若向量=x+y，则记=（x，y），下列结论正确的是③⑤（写上所有正确结论的序号）①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=m，s=t；②设向量=（m，n），则||=；③设向量=（m，n）=（s，t），若，则有mt﹣ns=0；④设向量=（m，n）=（s，t），若，则有mt+ns=0；⑤设向量=（1，2）=（2，1），若与的夹角为，则有．【解答】解：．①设向量=（m，n），=（s，t），若=，则有m=s，n=t，因此不正确；②设向量=（m，n），则||=≠，因此不正确；③设向量=（m，n），=（s，t），若，则有mt﹣ns=0，因此正确；④设向量=（m，n），=（s，t），若，则有ms+nt=0，因此不正确；⑤设向量=（1，2），=（2，1），与的夹角为，则==，==，==2+2+5=4+5cosα．∴==，化为，则正确．综上可得：正确的结论为：③⑤．故答案为：③⑤．三、解答题16．（12.00分）集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，所以A={3，5}（4分）又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，，所以B={2，3}．（6分）所以方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a=5，b=﹣6综上可知p=8，a=5，b=﹣6..（10分）17．（12.00分）已知角α的终边过点P（x，﹣1），（x＜0），且cosα=x．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：由条件知cosα=x=，解得：x=﹣2，即P（﹣2，﹣1），（1）tanα==；（2）∵P（﹣2，﹣1），∴sinα=﹣，∴原式===2sinαtanα=﹣．18．（12.00分）已知向量，是夹角为的两个单位向量，=2+，=k+2，（1）若，求实数k的值；（2）若k=﹣3，求与的夹角θ．【解答】解：（1）•=||•||•cos=，若，则=0，即（2+）•（k+2）=0，即有2k+2+（k+4）=2k+2+（k+4）=0，解得k=﹣；（2）若k=﹣3，则=﹣6+2+（﹣3+4）=﹣6+2+=﹣，||2=4++4=4+1+2=7，||2=9+4﹣12=9+4﹣6=7，则cosθ===﹣，由0≤θ≤π，解得θ=．19．（12.00分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）的单调性并证明你的结论．【解答】解：（1）函数的定义域为R，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），即f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣==，若a＞1，则＜，则f（x1）＜f（x2），此时函数f（x）为单调递增函数，若0＜a＜1，则＞，则f（x1）＞f（x2），此时函数f（x）为单调递减函数．20．（13.00分）设向量=（2sin（x+），﹣1），=（2cosx，），设函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期（2）若2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）==4sin（x+）cosx﹣…1分=2sinxcosx+2cos2x﹣…2分=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…4分∴T=π…6分（2）2f（x）﹣m+1=0在[0，]内有两个相异的实根，即有方程：f（x）=两个相异的实根，即y=f（x）图象与y=图象有两个交点，…8分结合函数图象，当＜2或﹣2＜≤﹣1，即m∈[2+1，5）∪（﹣3，﹣1]时原方程有两个相异的实根，故m∈[2+1，5）∪（﹣3，﹣1]…13分21．（14.00分）根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t∈N*）（1）分别写出图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．【解答】（本小题满分8分）解：（I）…（2分）…（3分）（II）当1≤t＜20时，．∵t∈N*，∴t=10或11时，S的最大值为176 …（5分）当20≤t＜40时，为减函数．∴t=20时，S的最大值为161，…（7分）∴t=10或11时，S的最大值为176．…（8分）。