期末复习勾股定理5
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理,它是指:在直角三角形中,直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是:设直角三角形的两个直角边分别为a、b,斜边为c,则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理,也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法,其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换,利用几何形状的属性,从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等,通过构造等辅助图形,最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外,勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算,利用数学公式和规律,从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法,可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延,为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理,我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组,这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如:3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面,它们具有很多有趣的特性和规律,对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c),如果它满足a²+b²=c²,则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明,每个整数对(a, b),都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂,它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识,是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外,勾股定理也有很多推广成立的情况。
物理勾股定理知识点总结
物理勾股定理知识点总结一、勾股定理的概念勾股定理是指直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理广泛应用于物理学中的各个领域,如力学、光学、电磁学等。
它不仅是物理学的基础知识,也是解决实际问题的重要工具。
在直角三角形ABC中,若角C为90度,则有a²+b²=c²,其中a、b分别为直角边,c为斜边。
这是勾股定理的基本表达形式。
二、勾股定理的证明1. 几何证明:勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出,并给出了一种几何证明。
这种证明方法是通过构造一个正方形,利用三角形的相似性和面积相等来证明。
在直角三角形ABC中,作a和b为直角边的正方形,其边长分别为a和b。
然后再构造一个以c为边长的正方形。
根据相似三角形的性质和面积相等,可以得出a²+b²=c²。
2. 代数证明:勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
假设直角三角形的两直角边分别为a和b,斜边为c。
则可以利用勾股定理进行代数运算。
首先,将直角三角形的两直角边分别表示为a 和b,根据毕达哥拉斯定理,得:a²+b²=c²然后,对两边取平方根,得:c=√(a²+b²)因此,可以通过代数方法证明勾股定理的成立。
三、物理学中勾股定理的应用1. 力学:在力学中,勾股定理常常用于解决叠加物体受力的问题。
例如,一个物体受到两个力的作用,可以利用勾股定理计算合成力的大小和方向。
另外,勾股定理也可用于解决斜面上物体滑动的问题。
2. 光学:在光学中,勾股定理常常用于计算光的反射和折射。
例如,当光线入射到一个介质边界上时,可以通过勾股定理计算入射角和折射角之间的关系。
另外,勾股定理也可以用于计算物体在镜子中的像的位置和大小。
3. 电磁学:在电磁学中,勾股定理常常用于计算电场和磁场的合成和分解。
例如,两个电荷之间的相互作用力可以通过勾股定理计算合成力的大小和方向。
勾股定理(知识点+题型分类练习)
ABCabc弦股勾勾股定理(知识点)【知识要点】1. 勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得:AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
3. 勾股数:①满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。
)②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17等③用含字母的代数式表示n组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)4.判断直角三角形:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
(4)如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c );(2)若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形;若a 2+b 2<c 2,则此三角形为钝角三角形(其中c 为最大边); 若a 2+b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边)5.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下:∠C=90°⇒∠A+∠B=90°B(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
《勾股定理》考点复习(推荐文档)
《勾股定理》专题复习一、知识重点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:假如直角三角形的两直角边为a、 b ,斜边为c ,那么a2 + b 2= c2。
公式的变形:a2 = c2 - b2, b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形ABC 的三边长分别是 a ,b, c,且知足 a 2 + b 2= c 2,那么三角形 ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意办理好以下几个重点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②知足的条件:最大边的平方- 最小边的平方=中间边的平方.③获得的结论:这个三角形是直角三角形,而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b 2 =c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数一定是正整数,不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后,还是勾股数。
常有勾股数有:(3,4, 5)(5,12,13) ( 6,8,10 ) ( 7, 24,25 ) ( 8,15, 17 )(9, 12,15 )4、最短距离问题:主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一:利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积:( 1 )暗影部分是正方形;( 2 )暗影部分是长方形;( 3)暗影部分是半圆.2. 如图,以 Rt△ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,尝试究三个半圆的面积之间的关系.3、四边形ABCD 中,∠B=90 °,AB=3 , BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边形ABCD 的面积。
4、在直线l上挨次摆放着七个正方形(如图 4 所示)。
已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1、2、 3,正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、S2 、 S3、 S4,则 S1 S2 S3 S4=_____________。
考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边1.在直角三角形中, 若两直角边的长分别为1cm , 2cm,则斜边长为.2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、 2,则另一条边长的平方是。
勾股定理知识点总结全面
勾股定理知识点总结全面首先,我们来介绍一下勾股定理的历史。
勾股定理最早出现在中国古代数学著作《周髀算经》中,书中记载了一些勾股数的性质,这些数满足a²+b²=c²的关系,其中a、b、c为自然数。
后来在希腊的毕达哥拉斯学派中,勾股定理被系统地阐述和证明,毕达哥拉斯学派还以勾股定理为核心建立了一整套几何学体系。
因此,勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理。
勾股定理的发现和应用对于几何学和数学的发展起到了非常重要的推动作用。
接下来,我们来介绍一下勾股定理的内容。
勾股定理表述了在一个直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说,如果一个三角形中有一个内角是直角,那么这个三角形就是直角三角形,假设直角边的长度分别为a、b,斜边的长度为c,那么勾股定理的数学表达式就是:a²+b²=c².这个表达式就是勾股定理的核心内容。
勾股定理也可以表述为:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理对解决直角三角形中各种问题都有重要的作用,如计算三角形的边长、求三角形的面积等。
接下来,我们来介绍一下勾股定理的证明。
勾股定理有多种不同的证明方法,其中比较常见的有几何证明、代数证明、数学归纳法证明等。
下面我们将分别介绍这些证明方法的基本思路。
首先是几何证明。
几何证明是通过构造几何图形,利用几何性质来证明定理的方法。
勾股定理的几何证明是比较直观和易于理解的,它通常利用平行四边形、相似三角形等性质来证明。
一种常见的几何证明方法是构造一个正方形,然后利用正方形的对角线、内角和边长的关系来证明勾股定理。
这种证明方法思路清晰,易于理解,是学习者比较喜欢的一种证明方法。
其次是代数证明。
代数证明是通过运用代数运算和变换来证明定理的方法。
勾股定理的代数证明是利用平方差公式和因式分解等代数方法来证明的。
通过将直角三角形的三条边长分别用代数表达式表示,然后利用平方差公式将等式展开,通过代数运算和合并同类项,最终可以得到a²+b²=c²的结果。
勾股定理章末知识点复习
勾股定理知识点复习 一、知识点:1.勾股定理(1)内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么________,即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________. 温馨提示:勾股定理只适用直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)应用:已知直角三角形的任意两边,能求出第三边.基本勾股:2.勾股定理的逆定理(1)内容:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足________,那么这个三角形是直角三角形.(2)应用:判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为_________.练习:1、若△ABC 的三边a 、b 、c ,满足(a -b )(a 2+b 2-c 2)=0,则△ABC 是2、分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,其中能够成直角三角形的有__________________. 二、典型考点:考点一:利用勾股定理求面积求:(1) 阴影部分是正方形; (2) 阴影部分是长方 (3) 阴影部分是半圆.考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边.例:如图,在△ABC 中,∠ACB=90º, CD ⊥AB ,D 为垂足,AC=6cm,BC=8cm 。
C B A a c b AD求①△ABC的面积;②斜边AB的长;③斜边AB上的高CD的长。
练习:1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为.2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是_____________.1、等腰三角形的,腰长为25,底边长14,则底边上的高是________,面积是_________。
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第十八章 勾股定理 复习 定理:经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是说在Rt △ABC 中,设∠C =90°,∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ,则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代,人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦。
注意:由于直角三角形的斜边最长,故运用勾股定理时,一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和,避免出现这样的错误:在△ABC 中,∠B =90°,则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,可以用测量计算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明,这是最常见的一种方法。
验证如下:现有四块直角边长为a 、b ,斜边长为c 的直角三角形纸板,请从中取出若干块拼图,证明勾股定理。
证法1:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴c ²=4×12ab +(b −a)²∴c ²=a ²+b ²证法2:∵S 梯形=2S 小三角形+S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3:∵S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用:勾股定理揭示了直角三角形的三边关系,其作用有:(1)已知直角三角形的任两边,求第三边问题;(2)证明三角形中的某些线段的平方关系; a a b bc c(3)作长为无理数的线段.注意:若已知直角三角形的两边求第三边时,先确定是直角边还是斜边。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理,也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系,并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是:“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为:a² + b² = c²其中,a、b代表直角三角形的两条直角边,c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法,在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明:通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形,然后计算正方形的面积,从而证明等式成立。
代数证明:通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算,然后将其相加和化简,最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理,还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题:通过勾股定理,我们可以已知两条边长来求解第三条边长,或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状:我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形,从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题:勾股定理还可以应用于解决一些几何问题,例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形,勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理:平方和定理是勾股定理的推广,它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线:在多边形中,通过某个顶点可以连接其他顶点,形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理:在空间几何中,勾股定理可以推广到三维空间,描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
期末复习(二) 勾股定理
解:根据题意,得 , .又 , .又 , .
(2) 的度数.
[答案] , , , , 为直角三角形, .由(1)得 为等腰直角三角形, , .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图,高速公路的一侧有 , 两个村庄,它们到高速公路所在直线 的距离分别为
(1)你认为这个零件符合要求吗?为什么?
解:这个零件符合要求. , , . .又 , , . .
(2)求这个零件的面积.
[答案] 由(1)知 , ,∴这个零件的面积为 .
19.(12分)给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图,“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形,该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成,在一次游园活动中,数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”,其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2所示的正方体,则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图,在 中, 于点 , , , ,则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯,其中底座的高 ,连杆 ,灯罩 .如图2,转动 , ,使得 成平角,且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ,求 的距离.
解:过点 作 于点 . , ,∴四边形 为矩形. , . , ,
∴在 中, . 的距离为 .
勾股定理知识点整理
勾股定理知识点整理1:勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
即:a²+b²=c²要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一。
其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边;(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边;(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
2:勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c²=a²+b²,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c²>a²+b²,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c²<a²+b²,则△ABC为锐角三角形)。
3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4:互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
5:勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。
《勾股定理》专题复习
《勾股定理》专题复习一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a 、b ,斜边为c ,那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形:a 2 = c 2- b 2, b 2= c 2-a 2。
2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,即2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可得222a b c +=方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=3、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ,b ,c ,且满足a 2 + b 2= c 2,那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理. (定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边)该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:① 已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形。
勾股定理的知识点总结
勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的,它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在实际生活中,勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
在数学教育中,勾股定理也是基础知识之一,学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。
除了勾股定理本身,还有一些与之相关的知识点,比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。
接下来,我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容,以便读者能够更全面地了解这一重要定理。
一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
据说,毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。
他发现,对于一个直角三角形来说,直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。
这一发现被称为勾股定理,成为了数学中的一项重要定理。
勾股定理的数学表述如下:如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b,斜边的长度为c,那么a的平方加上b的平方等于c的平方,即a^2 + b^2 = c^2。
这一定理适用于所有直角三角形,无论其大小或者比例如何,只要是直角三角形,勾股定理都成立。
勾股定理的应用非常广泛。
在几何学中,我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题,比如求边长、求角度、求面积等。
在三角学中,勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值,从而解决各种三角函数的计算问题。
在实际生活中,勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身,勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。
勾股定理的逆定理是指,如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是直角三角形。
也就是说,如果三角形的三条边满足勾股定理的条件,那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
只要我们知道了三角形的三条边的长度,就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理专题复习
勾股定理专题复习1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方在运用勾股定理计算三角形的边长时,要注意如下三点:(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形; (2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错;(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边,可求第三边长. 即c 2= a 2+b 2,a 2= c 2-b 2,b 2= c 2-a 2.2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b =,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理勾股定理单独命题的题目较少,常与方程、函数,四边形等知识综合在一起考查,在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题.例1.(1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面 示意图,根据图中的尺寸(单位:mm ),计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm(2)如图2,直线l 上有三个正方形a b c ,,, 若a c ,的面积分别为5和11,则b 的面积为( )A.4B.6C.16D.55题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长图1图221EDCBA例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积题型三:实际问题中应用勾股定理勾股定理在实际生活中的应用较为广泛,它常常单独命题,有时也与方程、函数,四边形等知识综合在一起考查,在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题例5(1)如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mABCD E(2).如图17,客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行,在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80,测得C 处的方位角为南偏东25,航行1小时后到达C 处,在C 处 测得A 的方位角为北偏东20,则C 到A 的距离是( )A.;B.;C.km ;D.km题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用,它在中考试卷中不单独命题,常与其它知识综合命题 例6(1).三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状?例6(2).如图10,A 、B 两点都与平面镜相距4米,且A 、B 两点相距6米,一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点,求B 点到入射点的距离.图17例6(3).如图2-14.长方体的高为3cm ,底面是正方形,边长为2cm ,现有绳子从A 出发,沿长方形表面到达C 处,问绳子最短是多少厘米?题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例7(1).如图2-2,把一张长方形纸片ABCD 折叠起来,使其对角顶点A 、C 重合,•若其长BC 为a ,宽AB 为b ,则折叠后不重合部分的面积是多少?例7(2).如图8:要修建一个育苗棚,棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?例7(3).已知:如图,在ABC ∆中,=∠E 求证:222BE AE AC -=.图10例7(4).如图在四边形ABCD 中,12,3,4,90,90===︒=∠︒=∠BC AB AD CBD BAD 求正方形DCEF 的面积。
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a²+b²= c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系,是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种,常见的有以下几种:1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积,从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形,再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形,利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边,求斜边例如,一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4,根据勾股定理,斜边 c =√(3²+ 4²) = 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边,求另一条直角边比如,直角三角形的斜边为 5,一条直角边为 3,则另一条直角边 b =√(5² 3²) = 4 。
3、实际生活中的应用(1)测量问题在无法直接测量某些长度时,可以构建直角三角形,利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度,可以在旗杆底部向外量出一段距离,然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角,通过勾股定理计算旗杆高度。
(2)航海问题在航海中,确定船只的位置和航向时,经常会用到勾股定理。
(3)建筑问题在建筑施工中,计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a²+ b²= c²,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²+ b²= c²的三个正整数,称为勾股数。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中的一个重要定理,它是古希腊数学家毕达哥拉斯在几何学中发现的一条基本定理。
勾股定理的表述是,直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和。
数学上用公式表示为,c²=a²+b²,其中c为斜边,a和b为直角边。
勾股定理的应用非常广泛,不仅在数学中有着重要的地位,而且在实际生活和工程技术中也有着重要的应用。
下面我们来总结一下勾股定理的一些重要知识点。
1. 勾股定理的基本概念。
勾股定理是指直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。
这是一个基本的几何关系,也是数学中的重要定理之一。
2. 勾股定理的证明方法。
勾股定理有多种证明方法,其中包括几何法、代数法、物理法等。
几何法是最为直观的证明方法,通过构造几何图形来证明。
代数法则是通过代数运算来证明,物理法则是通过物理学原理来证明。
不同的证明方法都有其独特的魅力,可以帮助我们更好地理解勾股定理。
3. 勾股定理的应用。
勾股定理在实际生活和工程技术中有着广泛的应用。
比如在建筑工程中,可以利用勾股定理来计算建筑物的高度;在航天航空中,可以利用勾股定理来计算飞行器的轨迹;在地理测量中,可以利用勾股定理来测量地表距离等。
勾股定理的应用丰富多彩,为我们的生活和工作带来了很多便利。
4. 勾股定理的推广。
勾股定理不仅适用于直角三角形,还可以推广到其他类型的三角形。
比如钝角三角形、锐角三角形等,都可以利用勾股定理来进行计算和推导。
这些推广形式丰富了勾股定理的应用范围,使其更加灵活和多样化。
5. 勾股定理的历史。
勾股定理的历史可以追溯到古希腊时期,毕达哥拉斯是最早发现这一定理的数学家之一。
勾股定理的发现和演变历程,反映了人类对数学规律的不断探索和发现。
勾股定理的历史渊源悠久,有着丰富的文化内涵。
总之,勾股定理作为数学中的重要定理,不仅具有理论意义,而且在实际生活和工程技术中有着广泛的应用。
我们应该深入学习和理解勾股定理,掌握其基本概念和证明方法,加强其应用能力,为推动数学科学的发展和实际工作的需求做出更大的贡献。
勾股定理期末复习讲义
勾股定理期末复习讲义提要:本节内容的重点是勾股定理及其应用.勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据,也是以后学习解直角三角形的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大,它不仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛地应用.本节内容的难点是勾股定理的证明.勾股定理的证明方法有多种,课本是通过构造图形,利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一:面积法。
割补(……陌生的名词么,但是我们用过)的思想也要值得我们去注意.【知识结构】1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3.勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.你记得几组勾股数?显然,若(a,b,c)为一组基本勾股数,则(ka,kb,kc)也为勾股数,其中k为正整数.4.利用尺规画出长度是无理数的线段.了,知道画吧5.勾股定理及其逆定理的应用.蚂蚁怎样走最近【注意】1.勾股定理的证明,是利用图形的割补变化,通过有关面积的数量关系进行证明的方法.2.在应用勾股定理时,要注意在直角三角形的前提条件,分清直角三角形的直角边和斜边.3. 在应用勾股定理逆定理时,先要确定最长边,再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方,最后确定三角形是不是直角三角形.4. 本章关联的知识点:实数的运算,三角形,四边形,图形变换,解方程等【基础训练A】1.三角形三边之比分别为①1:2:3,②3:4:5;③1.5:2:2.5,④4:5:6,其中可以构成直角三角形的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若线段a、b、c能构成直角三角形,则它们的比为()A.2:3:4 B.3:4:6 C.5:12:13 D.4:6:73.下面四组数中是勾股数的有()(1)1.5,2.5,2 (2,2(3)12,16,20 (4)0.5,1.2,1.3A.1组B.2组C.3组D.4组4. △ABC中,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a=______,b=_______.5. 在△ABC中∠C=90°,AB=10,AC=6,则另一边BC=________,面积为______,• AB边上的高为________;6.如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.B C A D B C A D7. 如图,已知CD=3m ,AD=4m , ∠ADC=90°, AB=13m ,BC=12m ,(1)求AC 边的长。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理,是数学中的重要知识点。
它描述了直角三角形三条边之间的关系,充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。
下面将对勾股定理的知识点进行归纳,并对常见的勾股定理题型进行分类。
一、知识点归纳:1.勾股定理的表述:直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的符号表示:对于直角三角形ABC,设斜边为c,两直角边分别为a和b,可以表示为:$a^2+b^2=c^2$。
3.勾股定理的逆定理:如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$,其中a、b、c为三角形的边长,那么这个三角形一定是直角三角形。
4.勾股定理的证明方法:勾股定理有多种不同的证明方法,比如平方构造法和几何法。
5.勾股定理的推广应用:勾股定理不仅适用于直角三角形,还可以推广应用到其他类型的几何形状中。
二、题型归类:根据勾股定理的应用不同场景,常见的题型可以归类为以下几种:1.求边长问题:(1)已知两边求第三边:已知直角三角形两直角边的长度,求斜边的长度。
(2)已知一边求另一边:已知直角三角形一边和斜边的长度,求另一边的长度。
(3)已知斜边和一边求另一边:已知直角三角形一边和斜边的长度,求未知边的长度。
2.求角度问题:(1)已知两边求夹角:已知直角三角形两直角边的长度,求两直角边之间的夹角。
(2)已知斜边和一边求夹角:已知直角三角形一边和斜边的长度,求斜边与该边之间的夹角。
3.判断问题:(1)判断是否为直角三角形:已知三角形的三边长度,判断是否为直角三角形。
4.应用问题:(1)三角形的面积问题:已知直角三角形的两个直角边的长度,求其面积。
(2)其他几何问题:如斜边长为x的直角三角形,边的长度与斜边比为1:4,求边的长度。
以上是一些常见的勾股定理题型,通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。
在解题的过程中,需要根据问题的具体要求,合理运用勾股定理的知识,灵活运用数学方法,进行推导和计算,以得到准确的结果。
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(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
B
A
2 1
A
3
C B 1 C
B
3
2
2
A
A 1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时,如图,最 短路程为
B
B
2 1
A
3
C
A
AB=
AC 2 BC 2 =
3 3
2
2
=
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时,如图,最短路程 为
B
挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡 车,其外形高 2.5 米, 宽 1.6 米,要开进厂门 形状如图的某工厂, 问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门 ? 说明理
由。
A 2.3米
B
D
2米
C
分析
由于厂门宽度足够,所 以卡车能否通过,只要看当 卡车位于厂门正中间时其 高度是否小于CH.如图 所示,点D在离厂门中线0.8 米处,且CD⊥AB, 与地面 交于H.
C
A 2.3米 ┏ O
D
B
N
2米
H
M
解 在Rt△OCD中,由勾股定理得
CD=
OC 2 OD2
=
12 0.829(米)>2.5(米). 因此高度上有0.4米的余量, 所以卡车能通过厂门. A
2.3米
D
B
N
2米
H
M
补充:1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口 O向东北方向航行,另一艘轮船同时以22海里/小 时的速度离开港口向东南方向航行,2小时后两船 相距多远?
B 1 C
A
A
3
2
AB=
AC 2 BC 2 =
5 1
2
2
=
26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时,如图,最短路 程为
B
B 2
A
A 1
3
C
AB= AC 2 BC 2 =
4 2
2
2
=
20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
小结:勾股定理在生活中的应用 十分广泛,利用勾股定理解决问 题,关键是找出问题中隐藏的直 角三角形或自己构造合适的直角 三角形,尝试把立体图形转换为 平面图形。
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为
a,b,斜边为c,那么a² +b² =c² 。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
A
c
b
C
B
a
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a² + b² =c² ,那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
北 甲(A)
西
O
东
南
乙(B)
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、 高分别为2m、0.3m、0.2m,A和B是台阶上两个相 对的顶点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食 物,问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少?
B
B
0.2 0.3
2
A
(0.2×3+0.3×3)m
A
2m
C
选作: 1. 如图,长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
∠C=90º (△ABC是直角三角形) A.
c
b
C
B
a
例1 两军舰同时从港口O出发执行任务,甲 舰以30海里/小时的速度向西北方向航行,乙 舰以40海里/小时的速度向西南方向航行,问 北 1小时后两舰相距多远?
甲(A)
西
O
东
乙(B)
南
例2 如图所示,有一个高为12cm,底面半 径为3cm的圆柱,在圆柱下底面的A点有一 只蚂蚁,它想吃到圆柱上底面上与A点相对 的B点处的食物,问这只蚂蚁沿着侧面需要 爬行的最短路程为多少厘米?(的值取3)
B
A
B
C
B
A
A
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方 体盒子,蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢?
B
A
B
B
10
A
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm,宽为 2cm,高为1cm的长方体,蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢?
B
A
分析:蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况? B
B E F 6
A
3
C
5 D
2.如图,小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片,使A与B重合,折痕为DE,若已知 AC=8cm,BC=6cm,你能求出CE的长吗?
B
D
A E
┏
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做车牌 做车牌
见外,隋国现在荒淫无耻,孤乃大尪后主之子,有心复国挞伐隋军,惋惜现在有心无力,将军既然对隋国有如斯情天孽海,否如归顺到孤の帐下,壹起起兵抗隋如何?"东舌也否绕圈子,直接说出咯自己内心の想法.想要起义,那就必需要过硬の 实力,伍雨召别有,东舌也别有,只有强强联手.伍雨召暗自思衬咯壹番,才说到:"殿下,归顺您可以,然而有生之年我必须亲刃汤广/""好/来日方长,但孤将来杀入长安,定让您直捣皇都/"青衣那几天灵感否好,更新慢,望容纳.十叁一部分汤花 落,木花开(为大家带来壹更,最近为咯上榜,还希望列位书友可以珍藏或者推荐我の谢.)江陵城内吐茂公壹袭羽扇纶巾风袅袅,前来会见木子通,木子通也是壹副好客之情,为吐茂公准备咯上座."木将军治下の江陵可真是民心倚赖,壹片荣 华啊."吐茂公终场就开始拍起马屁."先生太高看我咯,全蒙百姓の拥护."木子通亦是谦卑中兴.吐茂公突然话锋壹转,又流露出壹丝悲伤之感:"唉,可惜啊,真是惋惜啊.""先生此话何意,有何痛惜?"木子通壹脸否解"将军可曾听闻过隋帝弑 杀木浑全家?"木子通机灵咯壹下,但也坦率到:"我の确听闻咯,可是木浑否是想要谋反,被满门抄斩の吗?"吐茂公淡淡の说到:"将军,莫非您别有据说过那样の壹首诗吗?在长安广为流传.""何诗?""扫尽汤花落,天子季无头.日落照龙舟, 黄淮逆水流.""此诗何意?还请先生明示吧."木子通听の越来越模糊,但却有壹丝否祥の预感.只见吐茂公眼神坚定の说道:"扫尽汤花落则是汤姓,也就是隋国将灭,皇帝季无头,也就是将来の天子将会姓木,后面两句否用说,将军也晓得咯 吧.""莫非.莫非说木浑是由于."木子通开始有些长皇失措."正是云云,将军,我也否说太多,您也姓木,而且执掌壹片地域,惟恐那壹天朝廷举事,将军您能否好受啊."吐茂公慢慢道出咯自己此行の目の所在"莫非先生是想劝我起兵反隋?"" 正是,将军您手中尚有两万军力,而且勇猛善战,吾否才,但我也晓得淮南还有壹位兵马权大,反心也大の将军,杜伏威是也,将军您但可直接引兵去与他会与然后壹起谋壹番小事业""哈哈,想否到啊,想否到,想否到堂堂钱塘王手下第壹谋士, 居然还如斯舌粲莲花."就在吐茂公要成功压服之时,门外走进壹个身着青袍,身高七尺素生样の中年人."元皓,否得无礼,那位是吐先生."木子通顿时呵斥道只见田丰淡然壹笑,直指吐茂公说到:"没错,当今世界将变,壹切繁华只否过是暴风 雨来前の预兆,您の计谋否错,但我以为您应该让钱塘王发兵祝我家主公壹臂之力,抗衡韩擒虎,否则怕是大业难成."田丰此言,摆明咯是要看东舌与韩擒虎两虎相争,然后坐收渔翁之利.吐茂公堕入咯思酌之中,然后轻轻摇扇壹笑对木子通说 到:"将军您尚可定心,七日之后,我家殿下兴兵征讨韩擒虎,将军您也乘隙起义,会和杜伏威,到时候壹起围击韩擒虎若何?""好/就照您们说の怎么样做吧."木子通见田丰也认为理当起兵,而且还有尪军来拖住隋军,何乐而否为呢?田丰与吐 茂公对视壹眼,壹切尽在否言之中..会到驿馆之后,吐茂公立即找到咯凌统和二十个随从."军师翌日如何成绩?"凌统还没等吐茂公说话就直接问咯出来."呵呵,木子通同意发兵,但否过要我军去牵制住韩擒虎."吐茂公壹脸笑意说出凌统却 是壹脸疑惑"军师,云云壹来我军肯定会大打折扣の,那否是木子通就无懈可击咯吗?""凌统领,所以接下来我需要您们做壹件事.""军师请说,上刀山下火江又有何畏惧?"凌统壹脸坚定の说道吐茂公抚咯抚纶巾,说到:"凌统领好胆色,否过 我无需您们上刀山下火江,只需您们去长安官方流传那样壹首童谣,汤花落,木花开,淮南淮北尽称王/还请您们速去速回.""汤花落,木花开哦,在下懂咯,军师真乃神人也,我等那就前去洛阳,军师您先行壹步前往姜洲,等候我们の消息吧."凌 统名顿开.难怪吐茂公会直接答应收兵,原来下咯那样壹步棋,真是妙哉.吐茂公也暗自思虑,若是汤广听闻此诗,定会料及木子通要反,如此壹来,无需钳制,韩擒虎大军必将直取江陵,两虎相争必有壹伤,便再无力阻止东舌在淮南の扩长,但若 是否兴兵,那也别妨,否过自己还需亲自飞鸽传书寄给韩擒虎,到时辰,否论出于自身照样国度,韩擒虎必会发兵江陵,此招可谓以守为攻..七日后,长安城内,妇孺幼儿人皆传之传谣.大殿之上,汤广在龙椅上左拥右抱,上位仅仅壹个月来,就修 筑咯七八座行宫,强令各地献出美丽の女忍,可谓是人心将变,政府者迷.只见宇文化及壹身金乌衣,立于百官之首,上殿拜见."陛下,臣有本要奏."汤广壹脸否屑,左手无礼の抚摩着身旁の美人,只别过毫否关心の回道:"有话快说,无事退 朝.""陛下,民间传到那样壹首民谣,汤花落,木花