北师大版高二文科数学选修1-1测试题及答案

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高中数学综合素质检测1 北师大版高二选修1-1数学试题

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1，1a<1⇒/a >1，故选A.3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0，即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 20＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R[答案] B[解析] 对于命题p ，由mx 2＋1≤1，得mx 2≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0－2≤m ≤2，得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直12．存在实数x 0，y 0，使得2x 20＋3y 20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 20＋3y 20≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2＋3y 2>013．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．[答案] －1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>02m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件．其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③[解析]①中，x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔(x －1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．[答案]m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

北师大版高中数学选修1-1测试题及答案

高二文科数学周练试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x …，则（）A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 2．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的（）A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“220x x +-=”成立的一个充分而不必要条件是（）A ．1x =．B ．1x =-．C ．1x =或2x =-．D ．1x =-或2x =4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5．椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2,则m 的值等于（）A ．5或3B ．8C ．5D ．35或6．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的（） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （）A ．7B ．6C ．5D ．3 8．△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ 为常数），则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 9.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)10.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对11.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.6512、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y x =2的焦点到准线的距离为______________.14．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.15．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是____________________16．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 .三、解答题 17、（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、已知双曲线与椭圆2216439x y +=共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的标准方程和离心率19、（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x x =+ （Ⅰ）、求这个函数的导数()f x ' （Ⅱ）、求这个函数在1x =处的切线方程20、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点。

北师大版高中数学选修1-1答卷部分.docx

：◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆高中数学学习材料唐玲出品新建二中2010—2011学年度下学期第一次月考高二文科数学答案命题人：陈选明考试范围：必修3，选修1-1 时量：120分钟总分： 150分题号一二三得分16 17 18 19 20 21分数一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCCADACCD二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分)11. [)1+∞，； 12. 2e -； 13. 3； 14.2 ； 15. ②③；三．解答题(本大题6个小题,共75分)请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！17.（本题满分12分）解：由已知得1212||||6,||25PF PF F F +==，（2分）12PF F ∆为直角三角形，且12||||PF PF >，21PF F ∴∠为直角或12F PF ∠为直角（4分）（1）若21PF F ∠为直角，则2221212||||||,PF PF F F =+2211114||(6||)20||3PF PF PF ∴=-+⇒=，24||,3PF =故12||7||2PF PF =（8分）（2）若12F PF ∠为直角，则2221212||||||,F F PF PF =+2211120||(6||)||4PF PF PF ∴=+-⇒=，2||2,PF = 故12||2||PF PF = 综上所述，12||||PF PF 的值为2或72.（12分）16.（本题满分12分）解法1：“p q ∨”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或p 和q 均为真命题①当p 为真命题时，2400,31,210m m m m ⎧->⎪->-<<-∴<-⎨⎪>⎩得（3分）②当q 为真命题时，216(2)160,31m m ∆=+-<-<<-得（6分） ③当p 和q 都是真命题时，得32m -<<-（9分）综合①②③得：1m <-（12分）解法2：“p q ∨”为真命题，则p q 、中至少有一个为真命题当p 为真命题时，2400,210m m m ⎧->⎪->∴<-⎨⎪>⎩（3分）当q 为真命题时，216(2)160,31m m +-<-<<-（6分）若p 假q 假，则1m ≥（9分）故p q 、至少有一个为真命题时，1m <-（12分）请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞，()f x的导数()'1lnf x x=+（2分）令()0f x'>，解得1xe>；令()0f x'<，解得10xe<<（4分）所以，函数()f x的增区间为1(,)e+∞，减区间为1(0,)e．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当1xe=时，函数()f x取到最小值1Me=-，（8分）∴切线的斜率为1eM=-设切线的切点为00(,)x y，因此有1ln1x+=-，021xe∴=，从而00022lny x xe==-（10分）所求切线方程为2221()y xe e+=--，即21x ye++=（12分）18.（本题满分12分）解：（I）30.0=a、35=b、100=c，（3分）成绩不低于120分的概率为：60.010.020.030.0=++=p；（6分）（II）第3、4、5组共有60名学生，用分层抽样在60名学生中抽6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人，（7分）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学不含B1、B2的可能性有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，C1），（A2，A3），（A2，C1），（A3，C1），共6种可能；B1、B2至少有一名的可能性有：（B1，A1），（B1，A2），（B1，A3），（B2，A1），（B2，A2），（B2，A3），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）有9种可能，（10分）第4组抽取学生中至少有一名是负责人的概率是53969=+．（12分）请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！20.（本题满分13分）解：（Ⅰ）()f x的定义域为(0,)+∞且2()x af xx+'=（2分）①若1a≥-，则0x a+≥，即()0f x'≥在[1,]e上恒成立，此时()f x在[1,]e上为增函数，[)min33()(1),1,22f x f a a∴==-=∴=-∉-+∞（应舍去）（4分）②若a e≤-，则0x a+≤，即()0f x'≤在[1,]e上恒成立，此时()f x在[1,]e上为减函数，(]min31()()1,22af x f e a e ee∴==-=⇒=-∉-∞-（应舍去）（6分）③若1e a-<<-，令()0f x'=，得x a=-当1x a<<-时，()0f x'<，()f x在(1,)a-上为减函数，当a x e-<<时，()0f x'>，()f x在(,)a e-上为增函数min3()()ln()1,2f x f a a a e∴=-=-+=∴=-(符合题意)，（8分）综上所述：a e=-（Ⅱ）223(),ln,0,lnaf x x x x x a x x xx<∴-<>∴>-又（10分）令32()ln,()()1ln3,g x x x x h x g x x x'=-==+-所以则2116()6xh x xx x-'=-=()h x∴在(1,)+∞上为减函数，()(1)2h x h∴<=-，即()0g x'<()g x∴在(1,)+∞上是减函数，()(1)1g x g∴<=-（12分）所以，要使符合题意，则1a≥-，∴当2()f x x<在(1,)+∞上恒成立时，有1a≥-（13分）21.（本题满分14分）解：(Ⅰ)设曲线C上任一点为G，则12||||12GF GF+=，由椭圆的定义得曲线C为椭圆，且6a=，4c=，∴220b=，∴曲线C的方程为2213620x y+=.（4分）(Ⅱ)设00(,)P x y，(6,0)A-，则00(6,)AP x y=+，200(4,)PF x y=--，由2PA PF⊥得20000(6,)(4,)AP PF x y x y⋅=+⋅--220002240x x y=-+--=，（6分）又P在椭圆上，∴220013620x y+=，代入消元得20029180x x+-=，解得32x=或6x=-（舍去），∴P点坐标为353(,)22±. （9分）(Ⅲ)设(0,)M m，(,)N x y为椭圆上任意一点，则222||()MN x y m=+-，由2213620x y+=得229365yx=-代入2||MN得：2222294||36()23655MN y y m y my m=-+-=--++22459()36544my m=-+++，2525y-≤≤，（11分）∴若855m>，则25y=-时，||MN取得最大值为25m+，∴8537255m=-<(舍去)，若855m<-，则25y=时，||MN取得最大值为25m-+，∴8525375m=->-(舍去)，若858555m-≤≤，则当54my=-时，2||MN取得最大值29364m+，∴2936794m+=⨯，解得8823[5,5]55m=±∈-，综上所述点(0,23)M±. （14分）。

北师大版数学高二选修1-1 作业模块综合检测

模块综合检测(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0，－2)C．(0,4) D．(0，－4)解析：由定义可得焦点坐标为(0，－2)．答案：B2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题解析：设p为“若A，则B”，则r为“若非A，则非B”，s为“若非B，则非A”，即s为p的逆否命题．答案：A3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．答案：C4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝e x(x－2)，由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增加的．答案：D5．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D. 答案：D 6．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2B. 3C.32 D ．1解析：∵c 2＝a 2＋3，∴c 2a 2＝a 2＋3a2＝4，得a ＝1. 答案：D7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A8．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1. 答案：D[]9.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如右图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图像中，y ＝f (x )的图像大致是( )解析：x >0时，f ′(x )在(0,1)上有f ′(x )<0，[]在(1，＋∞)上有f ′(x )>0；且x ＝1处f (x )取极小值．x <0时，f ′(x )在(－1,0)上有f ′(x )<0，在(－∞，－1)上有f ′(x )>0且x ＝－1处f (x )取极大值，即函数f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C 符合题意．答案：C10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：a >0时，F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2. ∴S △OAF ＝12·a 4·|－a 2|＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．命题：任意x ∈R ，使x 2＋x ＋7>0的否定为________．解析：全称命题的否定为特称命题，即存在x ∈R ，使x 2＋x ＋7≤0.答案：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋7≤012．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加；当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少．答案：(－1,11)13．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(x 0)＝2，∴ln x 0＋1＝2，x 0＝e ，f (x 0)＝e.则切线方程为y －e ＝2(x －e )，即2x －y －e ＝0.答案：2x －y －e ＝014．(2011·北京高考)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：p ：0<2m <1－m ⇒0<m <13， q ：1<5＋m 5<2⇒0<m <15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤0或m ≥130<m <15⇒13≤m <15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<m <13m ≤0或m ≥15⇒m ∈∅. 综上可知m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，15. 16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x 2＋4(2e －1)x ＋4e 2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．解：由题意得Δ＝16(2e －1)2－4×2×(4e 2－1)＝0，即4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝32或e ＝12. 当e ＝12时，曲线为椭圆，c ＝5，e ＝c a ＝12，则a ＝2c ＝10，b 2＝a 2－c 2＝100－25＝75，所以椭圆的方程为x 2100＋y 275＝1. 当e ＝32时，曲线为双曲线，c ＝5，e ＝c a ＝32，则a ＝23c ＝103，b 2＝c 2－a 2＝25－1009＝1259，所以双曲线的方程为9x 2100－9y 2125＝1. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在x ＝1处有极小值－1.(1)求a 、b 的值；(2)求出函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx ，所以f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ，因为f (x )在x ＝1处有极小值－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋2b ＝01－3a ＋2b ＝－1⇒⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝－12.(2)解方程f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝1，所以，当x <－13或x >1时，f ′(x )>0；当－13<x <1时，f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1. 18．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且1PF ·12F F ＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的标准方程；(2)当OA ·OB ＝23，求k 的值．解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2， OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，∴k ＝±1.。

北师大版数学高二-选修1-1 模块综合测试2

选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题．答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A. x 2－y 2＝2B. x 23－y 2＝1C. x 2－y 2＝3D. x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2 B. e C. ln22D. ln2解析：f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e. 答案：B6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A.43B.423C.83D.823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么下列关于函数y ＝xf (x )的说法正确的是( )A. 存在极大值B. 存在极小值C. 是减少的D. 是增加的解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加的．答案：D8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于()A. 23 B.43C. 83 D. 4解析：由图像可知，函数f(x)的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.∴f′(x)＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是极值点，∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根．∵x1＋x2＝2，x1x2＝23.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.答案：C10. 把函数f(x)＝x3－3x的图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.若对任意u>0，曲线c1与c2至多有一个交点，则v的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 8解析：f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )2－2由此根据图像c 1可得v min ＝4.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A. 83B. 163C. 833D. 823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 233B.62C. 2D. 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3. 所以f (x )的最小值为f (3)＝b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.答案：10316. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )．但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立，故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0. 18．(12分)[2014·山西忻州联考]设函数f (x )＝x e x －x (a2x ＋1)＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x (12x ＋1)＋2＝x e x －12x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1<x <0时，f ′(x )<0；当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x (e x －a ＋22x )≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得a ≤2(e －1)．19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③ 因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )．由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0，则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)．代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·吉林长春调研]已知函数f (x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －x 3. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0. 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2e x －3x 2＝3x 2(e x －1)， ∴当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． ∴f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝6，无极大值． (2)f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由(1)可知x 1，x 2异号．不妨设x 1<0，x 2>0，则－x 1>0.令g (x )＝f (x )－f (－x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －(3x 2＋6x ＋6)·e －x －2x 3，则g ′(x )＝3x 2e x ＋3x 2e －x －6x 2＝3x 2(e x ＋e －x －2)≥0， ∴g (x )在R 上是增函数．又g (x 1)＝f (x 1)－f (－x 1)<g (0)＝0， ∴f (x 2)＝f (x 1)<f (－x 1)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴x 2<－x 1，即x 1＋x 2<0.22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值．所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

北师大版高二数学选修1-1圆锥曲线方程测试题及答案

高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a＞)0，则动点P 的轨迹是（）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在2、抛物线21y x m = 的焦点坐标为（） . A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41m B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,4m ⎛⎫⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（）. A ．14-B ．4-C ．4D ．144、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=±x 21，则该双曲线的离心率e 为（）（A ）5 （B ）5 （C ）25 （D ）45 5、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（）（A ）2 （B ）2（C ）5（D ）56、若椭圆13222=++y m x 的焦点在x 轴上，且离心率e=21，则m 的值为（）（A ）2（B ）2 （C ）－2（D ）±27、过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23,+∞)8、如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）. A.直线B. 抛物线C.双曲线D. 圆9、已知椭圆x 2sin α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（）（A ）（43π，π）（B ）（4π，43π）（C ）（2π，π）（D ）（2π，43π）10、 F 1、F 2是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∣P F 1∣·∣P F 2∣=32，则∠F 1PF 2是（）（A ）钝角（B ）直角（C ）锐角（D ）以上都有可能BA 1C 111、与椭圆1251622=+y x 共焦点，且过点（－2，10）的双曲线方程为（）（A ）14522=-x y （B ）14522=-y x （C ）13522=-x y （D ）13522=-y x12．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，则此双曲线的离心率为________.14．在抛物线上有一点，它到焦点的距离是20，则点的坐标是_________．15．抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离=______．.16、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分15分)椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为3，求此椭圆的标准方程。

北师大版高中数学选修1-1上学期期末考试试卷(文科)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2011—2012学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）gkxx123@本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分） 1．如果命题“()p q ⌝或”为假命题，则（）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题 2．下列说法正确的是（）A ．命题“若22am bm <”，则“a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“若2,0x R x x ∃∈->”，的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤” C ．命题“p 或q ”，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x R ∈，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 3．根据右边程序判断输出结果为（） A ．8 B ． 9 C ．10 D ．114．函数20()32,[5,5]f x x x x =-+∈-，任取0x 使0()0f x ≥的概率为（） A ．110 B ．15 C ．910 D ．455．下列命题中真命题的是（）A ．在同一平面内，动点到两定点的距离之差（大于两定点间的距离）为常数的点的轨迹是双曲线i=0s=0Do s=s+i i=i+1Loop while s<40输出 iB ．在平面内，F 1，F 2是定点,|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是椭圆C ．“若-3<m<5则方程22153x y m m +=-+是椭圆” D ．存在一个函数，它既是奇函数，又是偶函数 6．记定点M 10(3,)3与抛物线22y x =上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线的准线l 距离为d 2，则当d 1+d 2取最小值时，P 点坐标为（） A ．(0,0) B ．(1,2) C ．（2，2） D ．11(,)82-7．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7,0)，直线y=x-1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23，则此双曲线方程为（） A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -= 8．若点00(,)x y 满足2004y x <，就叫点00(,)x y 在抛物线24y x =的内部。

数学北师大版高中选修1-1高考文科数学试题

高考文科数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、一组数据中的每一个数据都减去80，得到新数据，若求得新数据和平均数是1.2，则原来数据的平均数是A ．81.2B ．78.8C ．80D ．不能确定 2、已知点(3,2)P 与点(1,4)Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为A ．10x y -+=B ．0x y -=C ．10x y ++=D ．50x y +-=3、设A 、B 是两个集合，定义{|}M N x x M x N *=∈∉且，若22{|l o g (23)}M y y x x ==--+，{|[0,9]}N y y x ==∈则M N *=A ．(,0]-∞B ．(,0)-∞C ．[0,2]D ．(,0)(2,3]-∞4、已知函数2()f x ax bx c =++，不等式()0f x >的解集为{|31}x x -<<，则函数()f x -的图象为5、已知分段函数1(0)0(0)1(0)x x x x x -+<⎧⎪=⎨⎪+>⎩，求函数的函数值的程框图如图。

有两个判断框内要填写的内容分别是 A ．0,0x x >< B ． 0,0x x >= C ．0,0x x <= D ．0,0x x <≥6、直线(1)(1)0x a y b +++=与圆222x y +=的位置关系是A ．相交B ．相离C ．相切或相离D ．相切或相交 7、如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿折成DE ，EF 、FD 三棱锥以后，GH 与IJ 所成角A C DEF G H IJ的度数为（）A ．090 B ．060 C ．030 D ．045 8、在△ABC 中，||2AB =，||31BC =-，4C π=，则AB BC ⋅=（）A ．31B ．1C ．3 D1 9、如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的概率为（）A ．15 B ．14 C ．13 D ．1210、在数列{}n a 中，12a =，11(*)n n a a n N +=-∈ ，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2006200720082S S S -+= ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2第II 卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（）A ．2B C ．3 D2．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（）A B ．5C ．52D ．63．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C D4．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（）A ．14B ．13C ．12D ．35．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（）个A ．1B ．2C ．3D ．46．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（）A B C ．2 D 8．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C SSS+=，则a 的值为（）A ．9B ．11C ．17D ．199．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（） A ．2B ．4C ．6D ．810．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．1011．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．设点P 是椭圆2213x y +=的短轴的一个上端点，Q 是椭圆上的任意一个动点，则线段PQ |∣长的最大值是________．15．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________16．已知点F 为抛物线2:2C x y =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则4AB DE +的最小值为_________.17．如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 为椭圆C 的上顶点，若12BF F △的外接圆的半径为23b，则椭圆C 的离心率为________.18．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.19．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．20．已知下列几个命题：①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=； ②“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件；③已知命题:33p ≥，:34q >，则p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假；④双曲线221916x y -=-的离心率为54．其中正确的命题的序号为_____．三、解答题21．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为425+C 的方程；（2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为()12(,0),,0F c F c -，点Р为椭圆C 上一点，满足1290F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为2c .（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线()122y x =-与椭圆C 交于,M N 两点，点Q 坐标为()2,0，若3MQ NQ =，求椭圆C 的方程.24．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上．（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．25．（1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1F 、2F 为左、右焦点，M 为椭圆E 上一点，且123F MF π∠=，12F MF S =△，求椭圆E 的方程．（2）过点()()00P m m a <<,的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4x m=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过左顶点与上顶点的直线与圆2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x xy y a b---=，整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62cea . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值．【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤．故选：C ．思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k .由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k=±不满足方程2724250k k+-=.综上所述，k的取值有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．B解析：B【分析】作出图形，过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义得出1d MB MF==，可得出12d d MF MA+=+，利用FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，然后计算出点F到直线3490x y++=的距离，即为所求.【详解】如下图所示：过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义可得1d MB MF==，则12d d MF MA+=+，当且仅当FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，点F到直线3490x y++=的距离为22130494234d⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.7．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率．【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =，又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==，又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.9．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.10．C解析：C 【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=,设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.11．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<，记为{}02,24A a a a =<<<<或，又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C.关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得3==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．【分析】设出根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程得到利用两点间距离公式求得结合的范围求得其最大值【详解】由已知得到或由于对称性不妨设设是椭圆上的任一点所以所以又因为所以当时长度取得最大值且最大值为故答解析：2【分析】设出(,)Q x y ，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，得到223(1)x y =-，利用两点间距离公式求得PQ =y 的范围，求得其最大值.【详解】由已知得到(0,1)P 或(0,1)P -，由于对称性，不妨设(0,1)P ，设(,)Q x y 是椭圆上的任一点，所以223(1)x y =-，所以PQ ====又因为11y -≤≤，所以当12y时，PQ |∣2=，故答案为：322. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆上的点到短轴端点的距离的最值问题，解题思路如下：（1）根据题意，设出点(,)Q x y ，取好点P ；（2）利用两点间距离公式写出PQ |∣，配方，结合椭圆上点坐标的范围求得结果.15．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =，因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =，所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =，因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+，所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.16．18【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：18 【分析】设直线1l 的方程为12y kx =+，联立方程组，分别求得222AB k =+和22||2DE k=+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:2C x y =的焦点10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12y 设直线1l 的方程为12y kx =+，0k ≠，联立方程组2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则2210x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122x x k +=，()21212121112122y y kx kx k x x k +=+++=++=+由抛物线的定义可得212||122AB y y k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得22||2DE k=+，则224102102184AB DE k k ⎛⎫+=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当k = 则4AB DE +的最小值为18 故答案为：18 【点睛】方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦，考查基本不等式的应用，与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 17．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭解析：12【分析】由题意可得12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，123bMF BM ==，可得 13OM b =，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222b ac =-即可求解. 【详解】由题意可得：12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，设圆心为M ，则2133OM OB BM b b b =-=-=，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12c e a ==，故答案为：12. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式221b e a=-；（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.18．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =，故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 19．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断【详解】①的两个顶点为周长为18则C 点轨迹方程为当解析：③④ 【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断. 【详解】①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=(5)x ≠±，当5x =±时，构不成三角形，错误； ②当0.1x =时，1x <，所以||0x >不一定有1x >，错误；③已知命题:33p ≥是真命题，:34q >是假命题，根据复合命题的真假判断，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，正确；④双曲线221916x y -=-，2216,9a b ==，所以22225c a b =+=，54c e a ==，正确．其中正确的命题的序号是③④，故答案为：③④. 【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）9；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积；（3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断；【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=，点O 到l 的距离为d =，所以 1122 9ABC PQ d S ===⨯△. （3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-，所以22211212k m k k ==++，所以102m <<. ②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()1222224||221221k PQ a e x x k k =-+=⋅=++MP==>>∴不可能|||PQ MP=.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ=.所以当12m<<时MPQ为等腰三角形；【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）24x y=；（2）230x y-+=.【分析】（1）将将2py=代入抛物线C的方程可求得,M N坐标，得,,MN OM ON，由OMN的周长参数p，得抛物线方程；（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，由,A B坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程．【详解】解：（1）由题意，焦点0,2pF⎛⎫⎪⎝⎭，将2py=代入抛物线C的方程可求得,2pM p⎛⎫-⎪⎝⎭，,2pN p⎛⎫⎪⎝⎭，∴2MN p=，OM ON p===，所以QMN的周长为24p+=+2p=，故抛物线方程为24x y=.（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，直线m的斜率为2212121244x xx xx x-+=-，由条件1212x x+=，故直线m的斜率为12，从而直线m的方程为230x y-+=.【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”．23．（1）2；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用椭圆定义122PF PF a +=和1290F PF ∠=︒求得2122PF PF b =，再根据12F PF △的面积为2c 求解；（2）椭圆方程2222x y a +=与直线1(2)2y x =-联立，由韦达定理得到2121244,36a y y y y -+=-=，再根据3MQ NQ =，分3MQ NQ =和3MQ NQ =-求解. 【详解】（1）由椭圆定义可得122PF PF a +=，① 又1290F PF ∠=，所以222124PF PF c +=，②①和②可得2122PF PF b ⋅=，所以12F PF △的面积为2b ，所以22b c =，即222a c =，所以椭圆C 的离心率为2；（2）椭圆方程可化为2222x y a +=，与1(2)2y x =-联立可得： 226840y y a ++-=，由()2642440a ∆=-->可得243a >，设()()1122,,,M x y N x y ，所以2121244,36a y y y y -+=-=，③又直线1(2)2y x =-过点Q ，且3MQ NQ =，()112,MQ x y =--，()222,NQ x y =--.（i ）当3MQ NQ =时，即123y y =时，则122443y y y +==-，可得213y =-，则2212214336a y y y -===，可得2423a =>，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（ii ）当3MQ NQ =-，即123y y =-时，则122423y y y +=-=-，则223y =，可得22212224433336a y y y -⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得24123a =>，所以椭圆C 的方程为221126x y +=.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a 、2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠．24．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -，设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x-+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+，整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -，因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >． ()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由垂径定理得CQ MN ⊥，故22220,8(0)2y x y x x -⨯+=∴=>．（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>．设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，11ON y k x ∴=，∴直线ON 的方程为11y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=，1122,y A x ⎫⎛-∴-⎪ ⎝⎭．设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与28y x =相切，由()2228y y k x x y x⎧-=-⎨=⎩，消去x ，整理得()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，()22222220408y k ky y k -+=⇒-=，24BDk y ∴=， ∴直线()2224:BD y y x x y -=-，令0x =，则 222222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭， 212122*********24AD x y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12113244y y y y +==， 121244161AD BD k k y y y y ∴⋅=⋅==-，AD BD ∴⊥．证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝⎭，设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>，设()11,B x y ，则101200016321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-⇒-⎪ ⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方，则由曲线28y x =，得y y '=-⇒=-=，切线的斜率为4y k ===-，切线方程为020016324y y x y y ⎫⎛+=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭，020000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭22000000641664641664088AD BD y x y x x x =-+-=-+-=⇒⊥．【点睛】思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率．25．（1）22:142x y E +=；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到c =11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=，再根据123F MF S =△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222(2)240k y kmy m +++-=，从而得到1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】（1）由已知得2c =，即c =设11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=. 在12F MF △中，121213sin 23F MF r r S π==△，解得1283r r =.(22212122cos3r r r r π=+-，化简得：()2121283r r r r =+-，288433a =-⨯，解得24a =.所以2242b =-=，椭圆22:142x y E +=.（2）由（1）知22:142x y E +=，()()002P m m <<,，设直线x ky m =+，联立2224x ky m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(2)240k y kmy m +++-=12222km y y k +=-+，212242m y y k-=+ 所以1221224y y km y y m +=-- 联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.21144,m MA x y m km ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，()11AP m x y =--,由MA AP λ=，得2114m y y km λ--=-，得2141m kmy λ-=-. 同理MB BP μ=得2241m kmy μ-=-. 222212212124444222204y y m m m m kmkmy kmy km y y km m λμ+-----+=+-=⋅-=⋅-=-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后得到1221224y y km y y m +=--和利用向量关系得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．26．（1）22142x y +=；（2）存在，2k =±. 【分析】（1）根据题意可得c e a ==，222b a c =-，根据相切列出方程，解得,,c a b 进而可得椭圆的方程．（2）假设存在实数k 满足题意，直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，化简计算2OA OB k k k ⋅=，即可解得k 的值．【详解】（1）2c e a ==， a ∴=又222,b a c =-,b c ∴=。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》章末综合测评及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________．【解析】设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)，则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块质量试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析：原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”．答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1；乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析：令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析：设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．解析：由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案：－π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程．解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6，因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1；令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]，即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

北师大版高二数学选修1-1试题及答案

选修1—1一、选择题：（每小题5分,共50分）1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；D.以上都不对6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（）A.(1,0);B.(2,8);C.(1,0)和(－1,－4);D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.a<3 ；B.a>3 ；C.a ≤3；D.a ≥38.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（）A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.563；B.665 ；C.56 ；D.65 二、填空题：(每小题5分,共25)11.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______13.与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________14.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________三、解答题： (每题15分,共75分)16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。

高中数学章末检测(一)北师大版高二选修1-1数学试题

章末检测(一)(时间90分钟满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①三角函数难道不是函数吗？②和为有理数的两个数均为有理数．③一条直线与一个平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC.⑤这是一棵大树．⑥求证3是无理数．⑦二次函数的图像太美啦！⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中命题的个数为( )A．3 B．4C．6 D．7解析：命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．答案：A2．给出下列4个命题：①设a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0；②如果－2<x<3，则(x＋2)(x－3)<0；③如果b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根；④内接于圆的四边形是等腰梯形．下列说法中正确的是( )A．①的逆命题是假命题B．②的否命题是假命题C．③的逆否命题是真命题D．④的逆命题是假命题解析：①的逆命题为：设a，b为非零向量，如果a·b＝0，则a⊥b，是真命题；②的否命题的真假可通过判断它的逆否命题即原命题的逆命题的真假来获得，易知原命题的逆命题为真命题，故否命题为真命题；③的逆否命题的真假可通过判断原命题的真假来获得，由于Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4，故原命题为真命题，所以③的逆否命题为真命题；④的逆命题为：等腰梯形内接于圆，真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题且为真命题的是( ) A ．对任意的x ∈R ，x 2＋3x －3≠0 B ．存在两个相交的平面垂直于同一平面 C ．对任意的整数x ，其平方的个位数字不等于3 D ．存在x ∈Z ，x ≠5k (k ∈Z )解析：B ，D 为特称命题．A 中，当x 2＋3x －3＝0时，Δ＝9＋12>0，所以此方程有解，故A 为假命题．答案：C4．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①中有“且”，②中没有，③中有“或”．答案：B5．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件解析：若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14.故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．答案：A6．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．綈q 真D ．p 真解析：易知p 假，q 真，故p 或q 为真．答案：A7．下列命题中的假命题是( ) A ．任意x ∈R,2x －1>0B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2解析：A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0，A 正确；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾，B 错误；C 项，当x ＝110时，lg 110＝－1<1，C 正确；D 项，由正切函数的图像和性质知D 正确．故选B.答案：B8．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题知：x 0＝－b2a 为函数f (x )图像的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.答案：C9．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：原命题：“若对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为等差数列”为真命题．其逆命题：“若{a n }为等差数列，则对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”．此命题为假，所以“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分而不必要条件.答案：B10．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：由2x －1≤1，得12≤x ≤1.由(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1.又q 是p 的必要不充分条件，1－12≠a ＋1－a ，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题．答案：②12．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，綈p ________.解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真．答案：真假真13．命题：“存在x ∈R ，x 2＋1<0”的否定是________________．解析：特称命题的否定是全称命题．答案：对任意x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p 且q 为真命题，某某数a 的取值X 围是__________．解析：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. 当q 是真命题时，a 2－a >0，解得a <0或a >1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a <0或a >1，解得a <0，所以实数a 的取值X 围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解析：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数．逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．16．(10分)写出下列各命题的否定形式及否命题． (1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解析：(1)否定形式：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：存在面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零． (3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0. 否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.17．(12分)(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析：(1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要{x |x <－m2}⊆{x |x <－1或x >3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－m2}⊇{x |x <－1或x >3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．18．(12分)已知命题p ：存在x 0∈[0,2]，log 2(x 0＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根．(1)若(非p )且q 为真命题，某某数m 的取值X 围；(2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数m 的取值X 围．解析：(1)令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，所以当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，所以若p 为真，则2m >1，解得m >12.由关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝4－12m 2>0，解得－33<m <33.若(綈p )且q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，所以－33<m ≤12，即实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，12. (2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >12m ≤－33或m ≥33，解得m ≥33；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，解得－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－33，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞.。

北师大版数学高二选修1-1 第一章模块质量检测单元测试

第一章模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案： C2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是()A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2 D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab答案： C3．若k可以取任意实数，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是()A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax2＋By2＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2＋ky2＝1不可能表示抛物线．答案： D4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为() A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)解析：f′(x0)＝3x02＋1＝4∴x0＝±1答案： C5．在下列结论中，正确的结论为()①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件④“¬p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，故①正确．由¬p为假⇒p为真⇒p或q 为真，故③正确．答案： B6．下列结论正确的个数是( )(1)命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； (2)命题“任意x ∈R ，x 2＋1＜0”是全称命题；(3)若p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则q ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是全称命题． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： (1)是全称命题，故(1)不正确；(2)是全称命题，正确；(3)既不是全称命题也不是特称命题，不正确．故选B.答案： B7．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞1可以推出1a ＜1，反过来由1a ＜1可以得出a ＜0或a ＞1.答案： A8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 12＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B.答案： B9．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ＜0D ．a ≤0解析：函数有极值，即其导数值可等于0，f ′(x )＝3ax 2＋1＝0，∴x 2＝－13a，∴a ＜0.又∵a ＝0时，f (x )＝x ＋1无极值，∴a ＜0.答案： C10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 29＋y 212＝1 C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：因为短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，所以2c ＝a ，又因为a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝3.所以这个椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1. 答案： C11．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假，∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2， ∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π.圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )，0＜x ＜6，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析：将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题．答案：若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．解析：由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案： x 24－y 212＝115．函数f (x )＝a ＋ln xx (a ∈R)的导数等于________．答案： f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a |＝|b |＝2，但a ≠b .③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，f (x )的极大值为7；当x ＝3时，f (x )有极小值．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)函数f (x )的极小值．解析： (1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而x ＝－1和x ＝3是极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0f ′(3)＝27＋6a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－9.又f (－1)＝－1＋a －b ＋c ＝－1－3＋9＋c ＝7，故得c ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，而x ＝3是它的极小值点，所以函数f (x )的极小值为－25.19．(12分)已知动圆过定点⎝⎛⎭⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图，设M 为动圆圆心，⎝⎛⎭⎫p 2，0记为点F .过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝⎛⎭⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px (p ＞0)． 20．(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%. ∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q ＋3－x )＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x ) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得101(101－x )2＝34⇒x ≈89.4，但产品个数必须是自然数，因此产品个数应是89或90件．又由于T (89)≈79.11A ，T (90)≈79.09A ，所以每日生产89件将获得最大利润． 21．(12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解析： (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)＞0或f (1)＜0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F (c,0)(c ＞0)，x 轴上有一点A ⎝⎛⎭⎫a2c ，0且满足|OF |＝2|FA |，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝⎛⎭⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2. 所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A (3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k (x 1－3)，y 2＝k (x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝⎛⎭⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

北师大版高中数学选修1-1高二(文科)数学期中考试参考答案.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二文科数学参考答案一、填空11.0v gt = 12. a ≤3 13.212y x =- 14 .1251622=+y x 15. 28x y =- 解答16 解：x=0,y=1,y=21x+1 17 解：（1）函数的图象经过（0，0）点， ∴ c =0.又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2－6x +b ， ∴ 0=3×02－6×0+b ，解得b=0. （2）y=x 3－3x 2，'y =3x 2－6x ，当2x <时，'0y <；当2x >时，'0y >. 则当x =2时，函数有极小值-4.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B A D C D D A A18 解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线221412y x -=的焦距为21c ，离心率为1e ，（2分），则有： 2141216c =+=，1c ＝4 （4分） ∴1122c e == （6分） ∴133255e =-=，即35c a = ①又1b c =＝4 ②222a b c =+ ③由①、 ②、③可得225a =∴ 所求椭圆方程为2212516x y += 19 解：命题甲：m>2，命题乙：1<m<3. 故 1<m ≤2,或m ≥3 20 解：由函数f (x )图象过点（－1，－6），得3a b -=-, ……①由32()2f x x ax bx =++-，得()f x '=3x 2＋2ax ＋b , 则()()6g x f x x '=+=3x 2+(2a +6)x +b ;而g (x )图象关于y 轴对称，所以－2623a +⨯＝0，所以a =－3, 代入①得b =0. 于是f ′(x )＝3x 2－6x =3x (x －2). 由f ′(x )>0得x>2或x <0,故f (x )（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的；由f ′(x )<0得0<x <2, 故f (x )在（0，2）上是减少的.21解：由2222332e c a b a =∴=∴=∴双曲线方程为22222x y a -=设直线1122:,(0,),(,),(,)l y x m R m P x y Q x y =+则1222222222122220........(1)222x x m y x m x mx m a x y a x x m a+==+⎧⎧⇒---=∴⎨⎨-==--⎩⎩ 又因为3,4,OQ PQ RQ ∙=-=OP则有：21212121232()30.........(3)x x y y x x m x x m +=-∴++++=212122122143.......(2)4()34x x x x x y y y m y y m -==-⎧⎧⇒⎨⎨-=-+=⎩⎩ 由（1），（2）得2221,3,x m x m m a =-==代入（3）得221,1m a ==221,1,2m a b ∴=±==所以，所求的直线与双曲线方程分别是221,12y y x x =±-=。

北师大版高中数学选修1-1本章高效整合.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第4章(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：对于B项，y′＝(x e x)′＝e x＋x e x，当x>0时，y′>0恒成立．答案： B2．如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的()解析：由f(x)的图象可知，函数f(x)从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f′(x)的图象从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负，故选A.答案： A3．设f(x)＝x a－ax(0<a<1)，则f(x)在[0，＋∞)内的极大值点为x0等于()A．0 B．aC．1 D．1－a解析：令f′(x)＝ax a－1－a＝0(0<a<1)，得x a－1＝1，所以x＝1.答案： C4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在点x ＝－3处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在点x ＝－3处取得极值，所以f ′(－3)＝3×(－3)2－6a ＋3＝0，所以a ＝5.答案： D5．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，故选A.答案： A6．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析： f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x≤0.考虑到定义域x ＞0，故x 2－1≤0. 答案： A7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值又是函数的最大值点．答案： A8．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如上图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．答案： A9．已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f (x )＝x 2－4x . ∴f (1)＝－3，f (－1)＝5. 答案： C10．已知函数f (x )＝13x 3－3x ，则函数f (x )在区间[－2,2]上取得最大值的点是( )A ．0B ．－2C ．2D ．－ 3 解析： ∵f ′(x )＝x 2－3，令f ′(x )＝0，则x ＝±3.又f (－2)＝103，f (－3)＝23，f (3)＝－23，f (2)＝－103.∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为23，其对应点为－ 3. 答案： D11．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13解析： f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时，显然有a <0，此时x ＝1a ln(－3a)，由x >0，得0<－3a <1，所以参数a 的范围为a <－3.答案： B12．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π解析： y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x＋1e x ＋2又e x ＋1ex ≥2∴－1≤y ′<0，即－1≤k <0 ∴34π≤α<π 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝12x 2－1x (x <0)的最小值是________．答案： 3214．函数f (x )＝x ln x (x >0)的单调递增区间是________．解析： ∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1.由f ′(x )≥0，即ln x ＋1≥0，∴x ≥1e .∴单调递增区间为⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. 答案： ⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 15．已知函数f (x )＝103x 3＋3x 2＋2，若f ′(a )＝4且a ∈{a |a 2－2a >0}，则a ＝________.解析：因为f ′(x )＝10x 2＋6x ，所以f ′(a )＝10a 2＋6a ＝4，所以a ＝－1或a ＝25，又因为a 2－2a >0，所以a <0或a >2，所以a ＝－1.答案：－116．如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)，且y ＝f (x )在区间(0,1)上单调递增，并且方程f (x )＝0的根在区间[－2,2]内，则b 的取值范围是________．解析： ∵f ′(x )＝－3x 2＋b >0(0<x <1)，b >3x 2(0<x <1)，故b ≥3，又f (x )＝0的根在区间[－2,2]，故有±b ∈[－2,2]，∴b ≤2，b ≤4，∴3≤b ≤4.答案： [3,4]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)求函数f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1(－6≤x ≤6)的单调区间、极值．解析： ∵f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－2x －8，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝4. 当x ∈(－6，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2,4)时，f ′(x )<0；当x ∈(4,6)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为[－6，－2]，[4,6]，单调减区间为[－2,4]．当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝313；当x ＝4时，f (x )取得极小值f (4)＝－773.18．(12分)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解析：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100－x ，记正方形与圆的面积之和为S ，则S ＝π(x 22π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．S ′＝x 2π－18(100－x )．令S ′＝0，则x ＝100ππ＋4(cm)．由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100ππ＋4cm 时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为100ππ＋4cm 时，两种图形面积之和最小． 19．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1.试确定a 、b 的值，并求出f (x )的单调区间．解析： f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，又f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0，∴a ＝13，b ＝－12.∴f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．当x <－13或x >1时，f ′(x )>0；当－13<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )的单调增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调减区间为(－13，1)．20．(12分)已知某商品生产成本y 与产量x 的函数关系式为y ＝100＋4x ，价格m 与产量x 的函数关系式为m ＝25－x8.求产量x 为何值时，利润L 最大？解析：总的收入是mx ＝x ⎝⎛⎭⎫25－x 8＝25x －18x 2，所以L ＝⎝⎛⎭⎫25x －x 28－(100＋4x )＝－x28＋21x －100(0<x <200)，所以L ′＝－14x ＋21，由L ′＝0，即－14x ＋21＝0，得x ＝84.当x <84时，L ′>0，当x >84时，L ′<0，所以函数在x ＝84处取得极大值，并且这个极大值就是L 的最大值，即产量为84时，利润最大．21．(12分)设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解析： (1)f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(2)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，12a ＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.(2)x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )极小值极大值∴在x ＝1处，函数f (x )取得极小值56；在x ＝2处，函数f (x )取得极大值43－23ln2.22．(14分)已知f (x )＝x ＋mx(m ∈R)，(1)若m ＝2，求函数g (x )＝f (x )－ln x 在区间⎣⎡⎦⎤1，32上的最大值； (2)若函数y ＝log 12[f (x )＋2]在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝2时，g (x )＝x ＋2x－ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－2x 2－1x ＝x 2－x －2x 2，由g ′(x )＝x 2－x －2x2<0，得x 2－x －2<0. 又x >0，可解得0<x <2，即函数g (x )在(0,2)上单调递减，从而函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，32上单调递减，故g (x )的最大值为g (1)＝3.(2)令h (x )＝f (x )＋2，则由条件得h (x )在区间[1＋∞)上是增函数，且h (x )>0在区间[1，＋∞)恒成立，而h ′(x )＝f ′(x )＝1－mx 2≥0，则m ≤x 2在区间[1，＋∞)上恒成立，得m ≤1.又f (x )＋2>0在区间[1，＋∞)恒成立，得f (1)＋2>0，即m>－3，所以实数m的取值范围是(－3,1]．。

高中数学模块综合测评(含解析)北师大版高二选修1-1数学试题

选修1-1 模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．【答案】 D2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x －1)，令x＝0得y＝9.【答案】 C4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A．“p或q”是真命题 B．“p且q”是真命题C．“﹁p”为真命题 D．以上都有可能【解析】若“﹁p且﹁q”是真命题，则﹁p，﹁q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题．【答案】 C5．下列命题的否定为假命题的是( )A．对任意x∈R，都有－x2＋x－1<0成立B．对任意x∈R，都有|x|>x成立C ．对任意x ，y ∈Z ，都有2x －5y ≠12成立D ．存在x ∈R ，使sin 2x ＋sin x ＋1＝0成立【解析】对于A 选项命题的否定为“存在x ∈R ，使－x 2＋x －1≥0成立”，显然，这是一个假命题．【答案】 A6．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A ．33B ．2 3C ．2 D. 3【解析】抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，则准线与渐近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．∴所围成三角形面积S ＝12×3×23＝3 3.【答案】 A7．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|的值为y 1＋y 2＋2＝8.【答案】 C8．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 23＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|有( )A ．最大值16B ．最小值16C ．最大值4D ．最小值4【解析】由椭圆的定义知a ＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8.由基本不等式知|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以|PF 1|·|PF 2|有最大值16.【答案】 A9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )图1A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．【答案】 B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(1,2] D ．(1，2] 【解析】由双曲线的定义知， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 2|＝a .即双曲线的右支上存在点P 使得|PF 2|＝a . 设双曲线的右顶点为A ，则|AF 2|＝c －a . 由题意知c －a ≤a ， ∴c ≤2a .又c >a ，∴e ＝c a≤2且e >1，即e ∈(1,2]．【答案】 C11．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图2所示的是y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )图2A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)【解析】由图像知，f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0， ∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增；在(－2,2)上单调递减．∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 【答案】 C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x 【解析】a >0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则右焦点坐标为________.【解析】由x 24－y 2b 2＝1得渐近线方程为y ＝±b2x ，∴b 2＝12，b ＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5， ∴右焦点坐标为(5，0)．【答案】 (5，0)14．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．【解析】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加；当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少．【答案】 (－1,11)15．已知命题p ：对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x成立，命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是____________.【解析】因为对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x成立，所以a ≥e.由存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p 且q ”是真命题，所以p 、q 同为真，所以e≤a ≤4.【答案】 [e,4]16．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．【解析】抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与⊙C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，且与⊙C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解】设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得，|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ，∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为2a ＝4的椭圆，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝g ′1f 1＝g 1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3.∴a ，b 的值分别为3,3.19．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值X 围．【解】考虑命题p 为真命题时a 的取值X 围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a3，当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意；当a <0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a >－12，综上可知－12<a <0，故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值X 围是a ≤－12或a ≥0.20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【解】 (1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32 ＝25·64x －x2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·x ＋32x －16x ＋82，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0；所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f (x )的最小值记为g (t )．(1)求g (t )的表达式；(2)讨论g (t )在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g (t )|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值X 围．【解】 (1)f (x )＝(x －t )2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f (x )取得其最小值g (t )，即g (t )＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t )＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，列表如下：t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12－12 ⎝⎛ －12，⎭⎪⎫12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 g ′(t ) ＋0 －0 ＋g (t )极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12极小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12由此可见，g (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2上单调递减． (3)∵g (1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，g (－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，∴g (t )最大值＝4，g (t )最小值＝2，又∵|g (t )|≤k 恒成立，∴－k ≤g (t )≤k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥4，－k ≤2，∴k ≥4.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为23，右焦点F 与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点D (－4,0)，且满足DA →＝λDB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12，求直线AB 的斜率的取值X 围．【解】 (1)由已知得b ＝3，c ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵DA →＝λDB →，∴D ，A ，B 三点共线，而D (－4,0)，且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为y ＝k (x ＋4)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)y 2－24ky ＋36k 2＝0，由Δ＝144k 2(1－4k 2)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＋y 2＝24k3＋4k 2，y 1·y 2＝36k23＋4k2，①又由DA →＝λDB →得：(x 1＋4，y 1)＝λ(x 2＋4，y 2)， ∴y 1＝λy 2②将②式代入①式得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋λy 2＝24k3＋4k2，λy 22＝36k23＋4k2，消去y 2得：163＋4k2＝1＋λ2λ＝1λ＋λ＋2.当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12时，h (λ)＝1λ＋λ＋2是减函数， ∴92≤h (λ)≤12124， ∴92≤163＋4k 2≤12124，解得21484≤k 2≤536，又因为k 2<14，所以21484≤k 2≤536，即－56≤k ≤－2122或2122≤k ≤56. ∴直线AB 的斜率的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，－2122∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，56.。