数学：1.2.2《同角三角函数的基本关系》课件(新人教A版必修4)

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切. 商等于这个角的正切.
知识探究（ 知识探究（二）：基本变形
思考1 思考1：对于平方关系 sin α + cos α =1 可作哪些变形？ 可作哪些变形？ 2 2 2 2 sin α =1− cos α, cos α =1−sin α,
y P
sin α + cos α =1
2 2
P
O
x
思考3 设角α 思考3：设角α的终边与单位圆交于点 ），根据三角函数定义 根据三角函数定义， P（x，y），根据三角函数定义，有 y sinα = y ， α = x，tanα = (x ≠ 0) ， cos x 由此可得sinα cosα，tanα满足什 sinα， 由此可得sinα，cosα，tanα满足什 么关系？ 么关系？ sinα = tanα cosα 思考4 上述关系称为商数关系， 思考4：上述关系称为商数关系，那么商 商数关系 数关系成立的条件是多么？ 数关系成立的条件是多么？ π a ≠ kπ + (k ∈Z)
2
思考5 平方关系和商数关系是反映同一 思考5：平方关系和商数关系是反映同一 个角的三角函数之间的两个基本关系， 个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？ 这两个关系？
sin α + cos α =1
2 2
sinα = tanα cosα
证法2：因为
(1−sinx)(1+sinx) =1−sin x=cos x
2 2
=cosxcosx,
且1 − sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, 所以 cos x 1 + sin x . = 1 − sin x cos x
从例2可以看出,证明三角恒等式的方法冬种多样, 你能总结一下吗? 证法1：从一边开始证明它等于另一边,一般由 繁到简. 证法2：利用等价转化证明等式成立.
3 1 6 c o s α = 1 − s in α = 1 − − = , 2 5 5 3 4 是第三象限角， 若α是第三象限角，则 cosα = − 5 ，tanα = 4
2 2 2
.
若α是第四象限角，则 是第四象限角， 是第四象限角
4 3 cosα = ，tanα = − . 5 4
2 2
sinα 思考2 思考2：对于商数关系 cosα = tanα可作
哪些变形？ 哪些变形？
sin a = cos a a, tan
sinα cosα = . tanα
思考3 若已知sinα的值，如何求cosα 思考3：若已知sinα的值，如何求cosα sinα的值 tanα的值 的值？ 和tanα的值？
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、 1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别 任意角的正弦 是如何定义的？ 是如何定义的？ y sinα = y cosα = x tanα = (x ≠ 0) 2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、 2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、 在单位圆中 正切函数线分别是什么？ 正切函数线分别是什么？ y P MP=sinα， MP=sinα，
知识探究（ 知识探究（一）：基本关系
思考1 如图， 思考1：如图，设α是一个任意角，它 是一个任意角， 的终边与单位圆交于点P 那么， 的终边与单位圆交于点P，那么，正弦 MP和余弦线OM的长度有什么内在联 和余弦线OM 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 由此能得到什么结论？ 系？由此能得到什么结论？
A
x
OM=cosα， OM=cosα， AT=tanα.
M O T
x
3.对于一个任意角α sinα，cosα， 3.对于一个任意角α，sinα，cosα， 对于一个任意角 tanα是三个不同的三角函数 是三个不同的三角函数， tanα是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看， 的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系， 在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化， 正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据． 角恒等变形问题提供理论依据．
3.化简、求值、证明， 3.化简、求值证明，是三角变换的三个基本问 化简 具有一定的技巧性. 题，具有一定的技巧性.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
授课人：吴晓旭
教学目标： 1、通过三角函数的定义导出同角三角函数的基本 关系式，能运用同角三角函数的关系式进行三角 函数的化简与证明。 2、会进行求值、化简三角函数式、证明三角恒等 式。 3、通过三角函数的应用使学生养成探究、分析的 习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化 归的思想方法。
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点. 应用中具有灵活、多变的特点. 2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算， 2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算， 利用平方关系求值时往往要进行开方运算 因此要根据角所在的象限确定三角函数值符 必要时应就角所在象限进行分类讨论． 号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．
cos a = 1 - sin a,
sinα tanα = . cosα
2
2
理论迁移
3 例1 已知 sinα = − ,求 5
cosα ， α的值. tan 的值.
解：因为sinα＜0，sinα≠-1，所以 是第三或 因为 ＜ ， ，所以α是第三或 第四象限角.由 第四象限角 由 sin2 α +cos2得=1, α
变式 已知
1 sin α = , 5
求cosα，sinα. cosα，
求证: 例2 求证
cos x 1 + sin x = . 1 − sin x cos x
证法1： 证法 ：由cos x ≠ 0 ,知 sin x ≠ −1 ,所以1+sin x ≠ 0 知 所以
cosx (1+sinx) cosx (1+sinx) 于是，左边= = 2 (1−sin x)(1−sin x) 1−sin x cosx (1+sinx) 1+sinx = = = 右边 2 cos x cos x
y
MP + OM =1
2 2
P
1
sin α + cos α =1
2 2
M
O
x
思考2 上述关系反映了角α 思考2：上述关系反映了角α的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系 那么当角α 平方关系. 将它称为平方关系.那么当角α的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 在坐标轴上时，上述关系成立吗？