第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固(培优课程讲义例题练习含答案)

《平行线的证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.要点诠释：（1）命题一般由条件和结论组成.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）公认的真命题叫做公理.(4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明:除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明.要点诠释：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,•如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.【答案与解析】解：是一个命题,•例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.举一反三：【变式】下列命题中,真命题有( ) .①若x＝a，则x2－(a+b)x+ab＝0②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离③如果242xx--＝0,那么x＝±2④如果a＝b,那么a3＝b3A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．【答案】证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)，即直线AB、CD相交于点O，所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)．【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．类型二、平行线的性质与判定3.（春•胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．【思路点拨】（1）由∠BCD=150°，∠ACB=90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD可得出结论；（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．【答案与解析】解：（1）∵∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°，∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°﹣90°=60°，∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°﹣60°=30°；（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=180°；（3）当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB．如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°；如图③，根据内错角相等，两直线平行，当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB．【总结升华】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．4.（春•海珠区期末）如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．【思路点拨】欲证∠3+∠4=180°，需证BE∥DF，而由AD∥BC，易得∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠2=∠3，即可求证．【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BE∥DF，∴∠3+∠4=180°．【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．举一反三：【变式1】（春•大名）如图：AD ∥BC ，∠DAC=60°，∠ACF=25°，∠EFC=145°，则直线EF 与BC 的位置关系是 ．【答案】 解：平行． ∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠DAC=60°， ∵∠ACF=25°， ∴∠FCB=35°，∴∠EFC+∠FCB=145°+35°=180°， ∴EF ∥BC ，故答案为：平行．【变式2】已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，且∠1＝∠3. 求证：AB ∥DC.【答案】证明：∵∠ABC ＝∠ADC,∴11ABC ADC 22∠∠＝（等式性质）. 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC,∴∠1＝ABC 21∠，∠2＝ADC 21∠（角平分线的定义）. ∴∠1＝∠2 （等量代换）.又∵∠1＝∠3（已知）, ∴∠2＝∠3（等量代换）.∴AB ∥DC(内错角相等，两直线平行). 类型三、三角形的内角和定理及推论5.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算一下，∠ABP ＋∠ACP ＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？【答案与解析】解：∠ABP ＋∠ACP ＋∠A ＝∠BPC ，∠BPC ＞∠A 。

证明：如下图，延长BP 到D ， 则∠PDC ＝∠A ＋∠∠ABP ，∠PDC>∠A. 同理，∠BPC ＝∠PDC ＋∠ACP ，∠BPC>∠PDC. 所以∠BPC ＝∠ABP ＋∠ACP ＋∠A ，∠BPC ＞∠A .举一反三：【变式1】如图,△ABC 的两外角平分线交于点P,易证∠P ＝90°-12∠A ；△ABC•两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC ＝90°+12∠A ；那么△ABC 的内角平分线BM 与外角平分CM•的夹角 ∠M ＝_____∠A.MQPCBA【答案】12【变式2】如图,E 是BC 延长线上的点,∠1＝∠2.求证:∠BAC ＞∠B.【答案】证明：∵∠2＝∠B+∠DABCPD21EDC B A∴∠B＝∠2-∠D又∵∠BAC＝∠1+∠D ∠1＝∠2∴∠BAC>∠B类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，真命题是（）.A．任何数的绝对值都是正数 B．任何数的零次幂都等于1C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°3．（春•通川区期末）如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（）（1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；（5）∠BFG=∠BDC．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）. A ．同位角 B ．同旁内角 C ．内错角 D. 同位角或内错角5.（•南湖区一模）如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO +∠CFO=98°，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°6. 如图，已知∠A ＝∠C ，如果要判断AB ∥CD ，则需要补充的条件是（ ）． A ．∠ABD ＝∠CEF B ．∠CED ＝∠ADB C ．∠CDB ＝∠CEF D ．∠ABD+∠CED ＝180°7.如图，1753DE //AB,CAE CAB,CDE ,∠=∠∠=65B ∠=，则∠AEB ＝（ ）． A ．70 B ．65 C ．60 D ．558. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB ＝32°，则下列结论不正确的有（ ）．ABFE D CBCD E A BC 'D 'CDE FGA.32='∠EF C B. ∠AEC ＝148° C. ∠BGE ＝64° D. ∠BFD ＝116° 二、填空题9．(荆州二模)如图所示，AB ∥CD ，点E 在CB 的延长线上．若∠ECD ＝110°，则∠ABE 的度数为________．10.如图，l ∥m ，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝ ．11.如图所示，AB ∥CD ，MN 交AB 、CD 于E 、F ，EG 和FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线，那么EG 与FG 的位置关系是 ．12．（春•南陵县期中）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．13．（春•苏州）如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE ，∠ADE=∠EDF ，∠CED=∠FEG ．则∠F= ．14. 我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°＝2×180°,五边形的内角和等于540°＝3×180•°，……”试猜想十边形的内角和等于度．15. 五角形的五个内角的和是________.16. 如图，下面四个条件：（1）AD AE =，（2）AC AB =，（3）OC OB =，（4）C B ∠=∠， 请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果 ，那么 ．（只填序号即可）三、解答题17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AQ ，BN ，CN ，DQ 分别是∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ， ∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a ∥b ，b ∥c ，d ∥e ，a ∥c ．19. 如图所示，已知AB ∥CD ，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x 的大小．20. （春•沛县期末）已知在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°． （1）∠ABC+∠ADC= ；（2）如图1，若DE 平分∠ABC 的外角，BF 平分∠ABC 的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并证明．DABC O（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E的度数．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】A；【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.3. 【答案】C；【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，（2）正确；∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCB，∴FG∥DC，（1）正确；∴∠BFG=∠BDC，（5）正确；正确的个数有3个，故选：C．4. 【答案】D；【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.5. 【答案】B；【解析】解：如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，∵∠CDO+∠CFO=98°，∴2∠DAO+2∠FBO=98°，∴∠DAO+∠FBO=49°，∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．6. 【答案】B；7. 【答案】B；【解析】1175=2533CAE CAB,∠=∠=⨯∠EAB＝75°－25°＝50°.8.【答案】B；【解析】选项B中，∠AEC＝180°－32°×2＝116°，所以选项B错误.二、填空题9. 【答案】70°；【解析】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70°．10.【答案】150°；【解析】∠1＋∠2＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－（115°＋95°）＝150°．11.【答案】垂直；【解析】解：EG⊥FG，理由如下：∵AB∥CD，∴∠BEN+∠MFD＝180°．∵EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，∴∠GEN+∠GFM＝12(∠BEN+∠MFD)＝12×180°＝90°．∴∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°．∴EG⊥FG．12.【答案】50°；【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．13.【答案】70°；14.【答案】1440°；【解析】十边形的内角和:(10-2)×180°＝1440°，由此得n边形的内角和:(n-2)×180°．15.【答案】180°；【解析】如下图，∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，而∠1＋∠2＋∠E＝180°，从而得答案．16.【答案】（2）（4），（1）；（答案不唯一，只要答案合理即可）【解析】通过证明全等可得答案．三、解答题17.【解析】解：四边形PQMN为长方形．在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠N＝90°，同理∠CMD＝∠Q＝∠APB＝90°，又∵∠CMD＝∠NMQ，∠APB＝∠NPQ，∴四边形PQMN为长方形．18.【解析】解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，所以∠1+∠2＝180°．所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．又因为∠4＝50°(已知)，所以∠3＝∠4(等量代换)．所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，所以∠5＝50°(等式的性质)．所以∠4＝∠5(等量代换)．所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．因为a∥b，b∥c(已知)，所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．19.【解析】解：过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°．因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD．所以∠4＝180°-∠2＝55°．所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．20.【解析】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°；故答案为：180°；（2）解：延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°45°，延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°﹣45°=45°．。