最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》知识讲解2

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离散型随机变量的均值PPT课件(人教版)

问题提出
某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3︰2︰1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量X的概率散布列：
X
18
24
36
3
2
1
P
6
6
6
思考：每1kg混合糖果的合理定价与这个散布列有什么关系？
合理定价＝随机变量的每个取值×其对应的概率
已知离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的散布列是什么？（2） EY= aEX b
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
例题选讲
【例1】已知离散型随机变量 ξ的散布列为：
ξ
0
P
1/4
1/2
1/4
求η1=3ξ+2与 η2=ξ2 的散布列和期望。
期望的运算只能用于线性关系的情况
例题选讲
【例2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分 X的均值是多少？
基本结论
1、若随机变量X服从两点散布，则 EX=p 2、若X～B(n，p)，则 EX＝np
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…

《离散型随机变量的均值》知识解读

《离散型随机变量的均值》知识解读1.离散型随机变量的均值的概念一般地,若离散型随机变量X 的分布列为则称11221()ni i n n i i i E X x p x p x p x p x p ==+++++=∑为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.对离散型随机变量的均值的理解均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映了随机变量取值的平均水平.随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的,分布列中随机变量X 的一切可能值i x 与对应的概率()i P X x =的乘积的和就叫作随机变量X 的均值. 由于离散型随机变量X 的每一种可能取值的概率满足11ni i p ==∑,因而离散型随机变量X 的均值()E X 是以概率i p 为权数的加权平均.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的,但二者大有不同.分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率,而均值建立在分布列的基础之上,它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置. 3.随机变量的均值(数学期望)与平均数对于n 个数()12121,,,,n n x x x x x x x n=+++为这n 个数的平均数.从随机变量的角度解决这个问题,设X 为从这n 个数中任取的一个数,则X 所有可能的取值便为12,,,n x x x .因为(P X =)1(1,2,,)i x i n ==,所以X 的分布列为1231111()n E X x x x x n n nn =⋅+⋅+⋅++⋅(2311)n x x x x n=++++.不难看出均值(数学期望)的定义是初中所学平均数定义的推广. 4.随机变量的均值与样本的平均值的区别和联系区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值. 5.对随机变量均值的线性性质的理解如果Y aX b =+,其中X 是随机变量,,a b 是常数,随机变量X 的均值是()E X . (1)当0a =时,()E b b =,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当1a =时,()()E X b E X b +=+,即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数之和.(3)当0b =时,()()E aX aE X =,即常数与随机变量X 乘积的均值等于这个常数与X 的均值的乘积. 公式证明:如果Y aX b =+,其中,a b 为常数,X 是随机变量,那么Y 也是随机变量.因为()(),1,2,3,,i i P Y ax b P X x i n =+===,所以Y 的分布列为于是()()()1122()n n E Y ax b p ax b p ax b p =++++++=()()112212()n n n a x p x p x p b p p p aE X b +++++++=+,即()()E aX b aE X b +=+.。

人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念（2）能计算简单离散型随机变量的方差（3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？问题探究二常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值．解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ，所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -；（3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业基础型自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。

人教A版高中数学选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值2

证明： P(ξ k) C p q
k n k n k
(k 0,1,2, , n)
0 n 1 1 n 1 Eξ 0 C 0 p q 1 C n np q k n k n n 0 kCk p q nC n np q
0 n 1 1 1 n 2 np(C0 p q C p n 1 n 1 q
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
3.某商场的促销决策：统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 1 3 0.7
证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np
2. 决策问题：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能
你动心了吗?
五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

《离散型随机变量的均值》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.1课时)

新知探究
例题5 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.
新知探究
例题2 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.
x
1
2
3
4
5
6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
解：EX = 1 1 + 2 1 + ... + 6 1 = 7
66
62
新知探究
例题3 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球 1次的得分X的均值是多少？
18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg).
它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是1/2，1/3和1/6. 权是秤锤，权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数. 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
18
24
36
P
1/2
1/3
1/6
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
新知探究
知识要点 1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1

人教新课标版数学高二-选修2-3课件离散型随机变量的均值

方法二由题意可知，X服从N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布. ∴E(X)＝MNn＝21×53＝25.
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课堂检测
1.若随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 E(X)的值为( A )
4
8
13
8
A.3
B.3
C. 3
D.9
解析 E(X)＝np＝4×13＝43.
1234
解析答案
2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
答案
1.离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 2.均值的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
b
(1)求b；解由随机变量的分布列的性质，得0.5＋0.1＋b＝1，解得：b＝0.4.
解析答案
(2)求a；解 E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3. 解得：a＝7. (3)若η＝2ξ－3，求E(η). 解由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 得：E(η)＝E(2η－3)＝2E(η)－3＝2×6.3－3＝9.6
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E(Y)＝np＝10×0.4＝4.
反思与感悟解析答案
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值. 解设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p ＝0.6. (1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20. 所以X的均值是20人.

数学人教A版选修2-3知识导航：2.3离散型随机变量的均

2.3 离散型随机变量的均值与方差知识梳理1.离散型随机变量的均值则称_____________为随机变量X的均值或数学期望.(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_____________.(3)若Y=aX+b，其中a、b为常数，则EY=E(aX+b)=____________.(4)若随机变量X服从两点分布，则EX=____________.(5)若X—B(n,p)，则EX=____________.2.离散型随机变量的方差则称DX=______________为随机变量X的方差(variance),其算术平方根DX为随机变量X 的______________,记作______________.(2)随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的______________，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的______________.3.D(aX+b)= ______________.若X服从两点分布，则DX=______________.若X—B(n,p)，则DX=______________.知识导学要学好离散型随机变量的均值与方差，首先要理解什么是随机变量，其次是能列出随机变量的分布列，这归根到底是要掌握概率的相应知识.这一节内容事实上是概率知识的引申，而随机变量的均值与方差是统计中两个最重要的量.对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.对于离散型随机变量的方差，要了解掌握它的必要性.因为在实际问题中，有时仅凭均值还难以确切地反映随机变量的分布特征，还必须进一步考虑其偏离均值的离散程度，即方差大小.方差与均值相同，也是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，也不具有随机性，它反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.疑难突破1.求离散型随机变量的均值或方差剖析:求离散型随机变量的均值常分为两步：①列出随机变量的分布列；②计算随机变量的均值.求离散型随机变量的方差常分为以下三步：①列出随机变量的分布列；②求出随机变量的均值；③求出随机变量的方差.2.如何证明下列结论？(1)D(aX+b)=a2DX；(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)；(3)若X—B(n,p)，则DX=np(1-p).剖析:证明：(1)D(aX+b)=∑=+-+ni i ip b aX E b ax12)]()[(=DX a p EX xap aEX ax ni i ini i i212212)()(=-=-∑∑==.(2)若X 服从两点分布，则EX=p ，所以 DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).(3)若X —B(n,p)，则EX=np ，设q=1-p ， DX=kn k k n nk kn k k nnk q p C p n npk k qp Cnp k -=-==+-=-∑∑022202)2()( =∑∑∑=--==-+-nk k n k k nkn knk k nnk kn k knq p Cpn qp kC np qp C k220022=22022p n np np q p C knk k n k k n +∙-∑=-=∑=--nk k n k k n p n q p C k0222=∑∑=-=-+-nk kn k k n nk kn k knq p kC qp Ck k 0)1(, 而np q p C k k qp C knk kn k k n nk kn k kn+-=∑∑=-=-22)1( =∑=------+-nk k n k k n np q p Cpn n 2)2()2(2222)1(=n(n-1)p 2+np,∴DX=n(n-1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p) =np q p C k k qp kC qp Ck k kn k k n nk nk kn kk nnk kn k k n+-=+--==-=-∑∑∑2)1()1( =)2()2(22222)1(----=--∑-k n k nk k n q p Cpn n +np=n(n-1)p 2+np.∴DX=n(n-1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p).。

高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值教案新人教版选修2-3

§2．3离散型随机变量的均值与方差 §2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ:B （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1… k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n qp C -＝b(k ；n ，p)．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯Λn 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯Λ04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯Λ04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为ξ x 1x 2… x n… η b ax +1 b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(… ＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(5.若ξ:B （n,p ），则E ξ=np 证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 1 2 3 4 56P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。

人教版A版高中数学选修2-3：2.1.1 离散型随机变量(3)

4.二项分布的均值：若X～B(n，p)，则EX＝np
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值．
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称 EX＝x1 p1＋x2 p2＋…＋xi pi＋… 为X的均值或数学期望，数学期望又简称为期望．
2.离散型随机变量的均值的性质： E(aX＋b)＝aEX＋b
3.两点分布的均值：若X服从两点分布，则EX=p
4.二项分布的均值：若X～B(n，p)，则EX＝np
六、布置作业
方法二:先求解解答一个选择题的得分的均值，再乘以20即可.
思考7：甲同学一定能得90分吗？
90分代表什么呢？
四、针对性训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ= 2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
3、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取每次一个，共取5次，则取到红球次数的期望是 3.
五、小结巩固
掌握离散型随机变量的均值的概念、性质及计算: 1.离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2

高一数学选修2-3课件：离散型随机变量的均值

[对点训练] 若将题型一中的[对点训练]中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验 5 次取到好电池次数 X 的数学期望．
3 解：每次检验取到好电池的概率均为， 5 3 故 X～B(5， )， 5 3 则 E(X)＝5× ＝3. 5
均值问题的实际应用
[例 3] 甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同
甲
)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝
8.8，E(X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有 E(X 甲)>E(X 乙)，所以估计甲的水平更高．
[类题通法] 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．
可能取值是 0,1,2.
2 4 1 P(X＝0)＝P( A · B )＝P( A )· P( B )＝1－3×1－5＝； 15
2 4 2 4 2 P(X＝1)＝P(A· B )＋P( A · B)＝ ×1－5＋1－3× ＝； 3 5 5 2 4 8 P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝ × ＝ . 3 5 15
2．两点分布与二项分布的均值 X E(X) X 服从两点分布 X～B(n，p)
p(p 为成功概率)
np
【常考题型】
求离散型随机变量的均值
[例 1]
甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译
2 4 出密码的概率是，乙破译出密码的概率是，设破译出该 3 5 密码的人数为 X，求其数学期望．
[ 解]
设 A、B 分别为甲、乙破译出该密码的事件，X 的

人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值

当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=

人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》(共13张PPT)教育课件

•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎不去做或者做了坚持不了多久。其实成功的关键是做很坚持。上帝没有在我们出生的时候给我们什么额外的装备，也许你对未来充满迷惑，也许你觉得是在雾里看花，但是只要我们不停的去做，去实践，总是可以走到一个鲜花盛开的地方，也许在那个时候，你就能感受到什么叫柳暗花明。走向成功的过程就好像你的起点是南极，而成功路径的重点在北极。那么无论你往哪个方向走，只要中途的方向不变，最终都会到达北极，那就在于坚持。
复习巩固
21布..3离列.1散及离型其散随性型的机质随均变机值量变X量的概率分 2.两点分布 3.二项分布
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义，能计算简单离散型随机变量的均值．
2.理解离散型随机变量均值的性质．
3.掌握两点分布、二项分布的均值．
问题引入
某商场要将单价分别为18元/kg，24元 /kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电

2.3.1 离散型随机变量的均值课件2(人教A选修2-3)

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3．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．解析：从 1,2,3,4,5 中任取不同的两个数，其乘积 X 的值为 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是 110，∴E(X)＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15 ＋20)＝8.5. 答案：8.5
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[精解详析] (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
分)
且 P(X＝3)＝CC3395＝452，P(X＝4)＝CC14·C39 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211
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1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
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则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
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[例1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
[思路点拨] 明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算均值．
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[精解详析] X 可取的值为 1,2,3，则 P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝130， P(X＝3)＝25×14×1＝110. 抽取次数 X 的分布列为

人教版高中数学选修2-3《2.3.1离散型随机变量的均值》

X P 18
3 6
24
2 6
36
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
1.定义
X
p 则称
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 …… …… …… ……
x1 p1
x2 p2
x3 p3
xn pn
EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为X的均值或数学期望.
2.3.1离散型随机变量的均值
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
2.3.1离散型随机变量的均值
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X P 1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10

最新人教A版选修2-3数学公开课课件：2.3.1《离散型随机变量的均值》ppt课件

已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 P (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 1 4 1 3 2
1 1 m 5 20
【思路启迪】解答本题可先由分布列的性质求出m的值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而对于(3)可以直接利用公式E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可以先写出Y的分布列，再求E(Y)．
解：设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X的可能取值是0,1,2. P(X＝0)＝P( A · B )＝P( A )· P( B )
2 4 1 ＝1－3×1－5＝15；
P(X＝1)＝P(A· B )＋P( A · B) 2 4 2 4 2 ＝3×1－5＋1－3×5＝5；
要点导学
要点一
求离散型随机变量的均值
离散型随机变量的均值也称离散型随机变量的数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，随机变量X在分布列中的一切可能值x；与对应的概率P(X＝xi)的乘积的和就是随机变量X的均值．
袋子里装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，求X的分布列及 E(X)．
提示：随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．
2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y ＝axi＋b)＝ P(X＝xi) ＝ aE(X)＋b . ，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)
1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均

人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》名师课件2

跟踪训练在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了 A， B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题 A 可获奖金 1 000 元，答对问题 B 可获奖金 2 000 元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题 A，B 的概率分别为12，14. (1)记先回答问题 A 的奖金为随机变量 X，则 X 的取值分别是多少？ (2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．
而P( X 18) 1 , P( X 24) 1 , P( X 36) 1
2
3
6
所以X分布列为
x
18
24
36
p
1/2
1/3
1/6
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
1．某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后
可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%，
下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：
投资成功投资失败
192 次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是__4__76_0___元．
解析投资成功的概率是129020，投资失败的概率是2800，所
所以 X 的分布列为
X1 2 3 33 1
P 5 10 10
(2)E(X)＝1×35＋2×130＋3×110＝1.5，即平均抽取 1.5 次可取到好电池．
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子