通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业22二倍角公式与简单的三角恒等变换理新人教A版

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通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理5

第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α:sin 2α= .(2)公式C 2α:cos 2α= = = . (3)公式T 2α:tan 2α= . 2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式) (2)1±sin α= .(升幂公式) (3)sin 2α= ,cos 2α= , tan 2α= .(降幂公式) (4)sin α=2tanα21+tan 2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin 2α+cos 2α=tan π4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论半角公式: sin α2=±√1-cos α2,cos α2=±√1+cos α2,tan α2=±√1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.[教材改编] 已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 . 3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .题组二常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;a sinα+b cos α=√α2+α2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一三角函数式的化简例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos 2x-π12+sin 2x+π12= ( )A .1+12cos 2xB .1+12sin 2x C .1+cos 2x D .1+sin 2x (2)化简:tan α+1tan (π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cos α D .1sin α[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 √1+sin6+√1-sin6= ( ) A .2sin 3 B .-2sin 3 C .2cos 3D .-2cos 3探究点二三角函数式的求值角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725D .-1825(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tan α=4,则cos 2(α+π4)= ( ) A .15 B .14 C .13D .12[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25C .±4√27D .2√25(2)[2018·广州七校联考] 若sin π6-α=13,则cos (2π3+2α)的值为 ( )A .-13B .-79 C .13 D .79角度2 给角求值例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A .1 B .√3-12C .√3D .√32[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.变式题已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .探究点三三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a 的最大值为3. (1)求a 的值及f (x )的单调递减区间; (2)若α∈(0,π2),f (α2)=115,求cos α的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tan α1-tan 2α 2.(1)2sin 2α2 2cos 2α2 (2)sin α2±cos α22(3)1-cos2α21+cos2α21-cos2α1+cos2α(4)1-tan 2α21+tan 2α22tanα21-tan 2α2(5)√α2+α2sin(α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2α2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14 [解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,得{cos αcos α-sin αsin α=13,cos αcos α+sin αsin α=15, 解得{cos αcos α=415,sin αsin α=-115,所以tan αtanβ=sin αsin αcos αcos α=-14.4.-2425[解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcosθ=2×35×(-45)=-2425.5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79. 6.3π4 [解析] tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=7+431-7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22, 所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12 [解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sin α-cos α)2=-√1-2sin αcos α=-√1-34=-12.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(α-π12)+sin 2(α+π12)=1+cos (2α-π6)2+1-cos (2α+π6)2=1+12cos2x cos π6+sin 2x sin π6-cos 2x cos π6-sin 2x sin π6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sin αcos α+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sin αsin (π4+α2)+cos αcos (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cos αsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cos αsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=1cos α.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1-sin6=√(√1+sin6+√1-sin6)2=√1+sin6+1-sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23-1)=√4cos 23=-2c os 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sinβ=35,所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tan α=4,得sin αcos α+cos αsin α=4,即sin 2α+cos 2αsin αcos α=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-2sin αcos α2=1-2×142=14.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sinα=-2√23,tan α=-2√2,∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-4√2-7=4√27.(2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1-2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C [解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°-sin(30°-10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°-cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin(20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1-sin =-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12),又sin(β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos(β-α)=-√1-sin 2(α-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题 -3π4[解析] ∵α∈(0,π),tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-α)+tan α1-tan(α-α)tan α=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan α1+tan2αtan α=34+171-34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cos α-π6+π6,从而得到结果. 解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a=4cos x ·(√32sin α-12cos α)+a=2√3sin x cosx-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin (2α-π6)-1+a.当sin (2α-π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2α-π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35,又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45, ∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310.变式题解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (α+π3)+1.因为-2≤2sin (α+π3)≤2,所以-1≤2sin (α+π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3]. 令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2απ,π6+2απ],k ∈Z .(2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35,所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键. 例1 [配合例1使用] 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]= .[答案] sin β[解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β]=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( )A .-7B .-17C .17 D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=11-14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°,b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°,c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°, 又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减, ∴cos 28°>cos 30°>cos 32°,∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4[解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010, ∴cos α=√1-sin 2α=2√55,sin β=√1-cos 2α=3√1010,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22. 又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.。

2020高考数学总复习第三章三角函数、解三角形课时作业22 简单的三角恒等变换文(含解析)

课时作业22 简单的三角恒等变换1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式错误!的化简结果是（ D ）A．sin错误!B．－sin错误!C．cos α2D．－cos错误!解析: 错误!＝错误!＝错误!＝错误!，由于135°＜错误!＜180°，所以cos错误!＜0，所以化简结果为－cos错误!。

2.错误!等于（ C ）A．－错误!B．错误!C．错误!D．1解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

3．（2019·广州模拟）已知f（x)＝sin错误!,若sinα＝错误!错误!，则f错误!＝( B ）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!解析：因为sinα＝错误!错误!,所以cosα＝－错误!，f错误!＝sin错误!＝sin错误!＝错误!sinα＋错误!cosα＝－错误!.4．（2019·合肥质检）已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈错误!,若f(x1)＜f(x2），则一定有( D )A．x1＜x2B．x1＞x2C．x21＜x错误!D．x错误!＞x错误!解析：f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x cos2x＝错误!cos4x ＋错误!，4x∈[－π，π],所以函数f(x)是偶函数，且在错误!上单调递减，根据f(x1)＜f（x2)，可得f(|x1|)＜f(｜x2|），所以｜x1|＞|x2｜,即x错误!＞x错误!。

5．已知α∈R，sinα＋2cosα＝错误!,则tan2α＝（ C ）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析:因为sinα＋2cosα＝错误!，所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα＝104（sin2α＋cos2α），整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα＝0，则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－34。

6．（2019·豫北名校联考)若函数f（x）＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于( B )A．513B．－错误!C．1213D．－错误!解析:f（x)＝5cos x＋12sin x＝13错误!＝13sin(x＋α)，其中sinα＝错误!，cosα＝错误!，由题意知θ＋α＝2kπ－错误!(k∈Z），得θ＝2kπ－π2－α（k∈Z），所以cosθ＝cos错误!＝cos错误!＝－sinα＝－错误!.7．（2019·湖南湘东五校联考)已知sin（α＋β）＝错误!,sin(α－β）＝错误!，则log错误!错误!2等于（ C )A．2 B．3C．4 D．5解析：由sin（α＋β）＝错误!,得sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!，①由sin（α－β）＝错误!，得sinαcosβ－cosαsinβ＝错误!,②由①②可得sinαcosβ＝错误!，cosαsinβ＝错误!.∴tanαtanβ＝错误!＝错误!＝5.∴log5错误!2＝log错误!25＝4，故选C．8．(2019·武汉模拟)在△ABC中，A，B,C是△ABC的内角,设函数f(A)＝2sin错误!sin错误!＋sin2错误!－cos2错误!，则f（A）的最大值为错误!.解析：f(A）＝2cos错误!sin错误!＋sin2错误!－cos2错误!＝sin A－cos A＝错误!sin错误!,因为0＜A＜π,所以－错误!＜A－错误!＜错误!.所以当A－错误!＝错误!，即A＝错误!时,f(A）有最大值错误!.9．已知α，β∈错误!，tan（α＋β)＝9tanβ,则tanα的最大值为错误!.解析：∵α，β∈错误!，∴tanα＞0，tanβ＞0,∴tanα＝tan（α＋β－β）＝错误!＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!（当且仅当错误!＝9tanβ时等号成立），∴tanα的最大值为错误!.10．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1）的两根分别为tanα，tanβ,且α,β∈错误!,则α＋β＝－错误!.解析：依题意有错误!∴tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝1.又错误!∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－错误!＜α＜0且－错误!＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β）＝1,得α＋β＝－错误!.11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（－3，错误!)．（1)求sin2α－tan α的值；(2）若函数f (x )＝cos （x －α)cos α－sin(x －α)sin α,求函数g （x )＝错误!f 错误!－2f 2（x ）在区间错误!上的值域．解：（1）∵角α的终边经过点P （－3，错误!)，∴sin α＝12,cos α＝－错误!，tan α＝－错误!. ∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－错误!＋错误!＝－错误!.（2）∵f （x )＝cos(x －α)cos α－sin （x －α）sin α＝cos x ，x ∈R , ∴g (x )＝3cos 错误!－2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin 错误!－1，∵0≤x ≤错误!，∴－错误!≤2x －错误!≤错误!。

通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理新人教A版

第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α:sin 2α= .(2)公式C 2α:cos 2α= = = . (3)公式T 2α:tan 2α= . 2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式) (2)1±sin α= .(升幂公式) (3)sin 2α= ,cos 2α= , tan 2α= .(降幂公式)(4)sin α=2tanα21+tan 2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin 2α+cos 2α=tan π4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论半角公式: sin α2=±√1-cos α2,cos α2=±√1+cos α2,tan α2=±√1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.[教材改编] 已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 .3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 . 题组二常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;a sinα+b cos α=√α2+α2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一三角函数式的化简例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos 2x-π12+sin 2x+π12= ( )A .1+12cos 2xB .1+12sin 2x C .1+cos 2x D .1+sin 2x (2)化简:tan α+1tan (π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cos αD .1sin α[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 √1+sin6+√1-sin6= ( ) A .2sin 3 B .-2sin 3 C .2cos 3D .-2cos 3探究点二三角函数式的求值角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725D .-1825(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tan α=4,则cos 2(α+π4)= ( ) A .15 B .14C .13 D .12[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25C .±4√27D .2√25(2)[2018·广州七校联考] 若sin π6-α=13,则cos (2π3+2α)的值为 ( )A .-13 B .-79 C .13 D .79角度2 给角求值例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A .1 B .√3-12C .√3D .√32[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.变式题已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 . 探究点三三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a 的最大值为3. (1)求a 的值及f (x )的单调递减区间; (2)若α∈(0,π2),f (α2)=115,求cos α的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tan α1-tan 2α2.(1)2sin 2α2 2cos 2α2 (2)sin α2±cos α22(3)1-cos2α21+cos2α21-cos2α1+cos2α(4)1-tan 2α21+tan 2α22tanα21-tan 2α2(5)√α2+α2sin(α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2α2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14[解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,得{cos αcos α-sin αsin α=13,cos αcos α+sin αsin α=15, 解得{cos αcos α=415,sin αsin α=-115,所以tan αtanβ=sin αsin αcos αcos α=-14.4.-2425 [解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcosθ=2×35×(-45)=-2425.5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79. 6.3π4 [解析] tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=7+431-7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22,所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12[解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sin α-cos α)2=-√1-2sin αcos α=-√1-34=-12.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(α-π12)+sin 2(α+π12)=1+cos (2α-π6)2+1-cos (2α+π6)2=1+12cos2x cos π6+sin 2x sinπ6-cos 2x cos π6-sin 2x sin π6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sin αcos α+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sin αsin (π4+α2)+cos αcos (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cos αsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cos αsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=1cos α.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1-sin6=√(√1+sin6+√1-sin6)2=√1+sin6+1-sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23-1)=√4cos 23=-2c os 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sinβ=35,所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tan α=4,得sin αcos α+cos αsin α=4,即sin 2α+cos 2αsin αcos α=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-2sin αcos α2=1-2×142=14.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sinα=-2√23,tan α=-2√2,∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-4√2-7=4√27.(2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos 2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1-2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C [解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°-sin(30°-10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°-cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin(20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1-sin =-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12),又sin(β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos(β-α)=-√1-sin 2(α-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题 -3π4[解析] ∵α∈(0,π),tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-α)+tan α1-tan(α-α)tan α=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan α1+tan2αtan α=34+171-34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cosα-π6+π6,从而得到结果.解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a=4cos x ·(√32sin α-12cos α)+a=2√3sin x cosx-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin (2α-π6)-1+a.当sin (2α-π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2α-π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35, 又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45,∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310.变式题解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (α+π3)+1.因为-2≤2sin (α+π3)≤2,所以-1≤2sin (α+π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3].令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2απ,π6+2απ],k ∈Z .(2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35,所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键. 例1 [配合例1使用] 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]= . [答案] sin β[解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β]=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( ) A .-7 B .-17C .17 D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=11-14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√1+cos56°,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<b<aB .b<c<a11 C .a<b<c D .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°, b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°,c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°,又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减,∴cos 28°>cos 30°>cos 32°,∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4[解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010,∴cos α=√1-sin 2α=2√55,sin β=√1-cos 2α=3√1010,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22.又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.。

2020版高考数学一轮课时规范练22三角恒等变换理

课时规范练22 三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7. sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9. ∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sincos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=coscos+sinsin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13. f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∵关于t的二次函数在区间[1,)内是减少的,∴t=1时,y取最大值2.。

2020年高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题(含解析)(最新整理)

考点20 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试)在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1,sinB＝，则（tan 2A ﹣2）sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】在∆ABC 中，由sinB所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12，当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以,cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-)＜12，化简得：21sin 2cos 02A A +<,因为04A π<<，所以sin2A ＞0,即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- （tan 2A ﹣2）sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯- ＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+ ＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++ ＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =时取等号故答案为:5．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试)在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos 2α的值是__．【答案】79- 【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-．3．(江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率,则＝_______．【答案】【解析】双曲线的离心率，,因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin =2sin=故答案为：。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业22简单的三角恒等变换含解析

答案：B
4．若＝－，则sinα＋cosα的值为()
A．－ B．－
C. D.
解析：由已知得＝
＝－，整理得sinα＋cosα＝ .
答案：C
5．[2019·四川成都诊断]已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－
解析：通解因为cos ＝－sin2α＝，又 <α<π，所以 <α＋ < ，则由cos ＝2cos2 －1，解得cos ＝－，所以cosα－sinα＝ cos ＝ × ＝－，故选B.
解析：由cosβ＝，β∈ ，
得sinβ＝，tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈ ，β∈ ，
∴ <α＋β< ，∴α＋β＝ .
10．已知cos ＝，若 π<x< π，求的值．
解析：解法一由 π<x< π，得 π<x＋ <2π.
又cos ＝，所以sin ＝－，所以cosx＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝ × － × ＝－，
答案：2
7．[2019·河南商丘模拟]已知α∈ ，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.
解析：∵α∈ ，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练22三角恒等变换含解析

课时规范练22三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7.sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9.∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sin cos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=cos cos+sin sin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13.f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sinφ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β), 即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∴t=1时,y取最大值2.。

2020年高考数学一轮复习考点21二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题理含解析

考点21 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．设cos50cos127cos40cos37a =︒︒+︒︒，)sin 56cos56b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】由三角恒等变换的公式，可得cos50cos127cos 40cos37cos(50127)cos(77)cos77sin13a =︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=︒=︒，)sin 56cos5656sin(5645)sin11222b =︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒ 22222222sin 3911tan 39cos 39cos 39sin 39cos78sin12sin 391tan 391cos 39c ︒--︒︒===︒-︒=︒=︒︒+︒+︒，因为函数sin ,[0,]2y x x π=∈为单调递增函数，所以sin13sin12sin11︒>︒>︒，所以a c b >>，故选D.2．已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭αA ．17 B ．7 C ．17-D ．7-【答案】C 【解析】4cos ,(,0)5a απ=-∈-∴(,)2παπ∈--33sin ,tan 54αα∴=-=则tan 1tan 41tan πααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭31143714-==-+ 故选：C ． 3．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（） A．-B． C．D【答案】A 【解析】由题11sin 3sin 22a a a a -=-+桫，则tan 2α=- 故tan2α=22tan =1tan aa--故选：A ．4．函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为（） A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：D ．5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足，2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是（）A ．2b a =B ．2a b =C ．2A B =D ．2B A =【答案】B 【解析】依题意得()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-,2sin sin 12cos cos C A C A=-,()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B.6．若2sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=（） A ．19B ．19-C ．59D ．59-【答案】B 【解析】因为241212sin 124499cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+，所以1sin 29α=-，故选B.7．cos()2πθ+=cos2θ的值为（） A ．18 B ．716C ．18±D ．1316【答案】A 【解析】因为cos 24πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin θ=21cos 212sin 8θθ=-=. 故选A .8．已知2cos sin αα=，则cos2=α（）A ．12B ．32- C ．12D 2【答案】D 【解析】解：由2cos sin αα==21sin a -，可得1sin 2a =，由cos2=α212sin a -，可得cos2=α2122-⨯=⎝⎭，故选D. 9．若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】因为4tan 3α=，所以22242sin cos 2tan 243cos 2sin 22162sin cos 1tan 2519παααααααα⎛⎫+=-=-=-=-⨯=- ⎪++⎝⎭+，故选：A ．10．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________. 【答案】23【解析】由题意可得：212cos 1cos cos sin 6232333παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 11．已知tan 2α=，则3cos 2sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】1- 【解析】因为2222223cos sin cos sin cos 2sin()cos()22sin cos sin cos ππααααααααααα-++-=-++，所以2222223cos sin sin cos 1tan tan cos 2sin()cos()122sin cos 1tan ππαααααααααααα----++-===-++，应填答案1-。

2020年高考数学一轮复习考点21二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题理含解析2

考点21二倍角公式与简单的三角恒等变换1．设，，，则，，的大cos50cos127cos 40cos37a =︒︒+︒︒)sin 56cos56b =︒-︒221tan 391tan 39c -︒=+︒a b c 小关系是（）A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c>>c a b>>a c b>>【答案】D 【解析】由三角恒等变换的公式，可得，cos50cos127cos 40cos37cos(50127)cos(77)cos 77sin13a =︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=︒=︒)sin 56cos5656sin(5645)sin11b =︒-︒=︒-︒=︒-︒=︒ ，22222222sin 3911tan 39cos 39cos 39sin 39cos 78sin12sin 391tan 391cos 39c ︒--︒︒===︒-︒=︒=︒︒+︒+︒因为函数为单调递增函数，所以，sin ,[0,]2y x x π=∈sin13sin12sin11︒>︒>︒所以，故选D.a cb >>2．已知，，则4cos 5=-α()π,0∈-απtan 4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA ．B ．717C ．D ．17-7-【答案】C 【解析】4cos ,(,0)5a απ=-∈- ∴(,)2παπ∈--33sin ,tan 54αα∴=-=则 tan 1tan 41tan πααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭31143714-==-+故选：C ．3．已知，则（）sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2α=A ．B ．C ．D-【答案】A 【解析】由题，则 11sin 3sin 22a a a a ö÷-=-+÷øtan α=故tan 2α=22tan =1tan aa--故选：A ．4．函数的值域为（）()|sin |cos 2f x x x =+A ．B ．C ．D ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,190,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】.22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：D ．5．在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆，则等式成立的是（）2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-A ．B ．C ．D ．2b a =2a b=2A B=2B A=【答案】B 【解析】依题意得,,()2sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A =-+-2sin sin 12cos cos C AC A=-，即，由正弦定理得，故选B.()2sin cos cos sin sin A C A C A +=sin 2sin A B =2a b =6．若，则（）2sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=A ．B ．C ．D ．1919-5959-【答案】B 【解析】因为，241212sin 124499cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+所以，故选B.1sin 29α=-7．的值为（）cos()2πθ+=cos 2θA ．B ．C ．D ．1871618±1316【答案】A 【解析】因为，所以，所以.cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin θ=21cos 212sin 8θθ=-=故选.A 8．已知，则（）2cos sin αα=cos 2=αA B C ．D 122-【答案】D 【解析】解：由=，可得2cos sin αα=21sin a -sin a =由，可得，cos 2=α212sin a -cos 2=α2122-⨯=-故选D.9．若，则（）4tan 3α=cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．2425-725-7252425【答案】A 【解析】因为，4tan 3α=所以，22242sin cos 2tan 243cos 2sin 22162sin cos 1tan 2519παααααααα⎛⎫+=-=-=-=-⨯=- ⎪++⎝⎭+故选：A ．10．若，则________.1sin()63πα-=2cos ()62πα+=【答案】23【解析】由题意可得：，212cos 1cos cos sin 6232333παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即：，212cos 1623πα⎛⎫+-=⎪⎝⎭解方程可得：.22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭11．已知，则__________．tan 2α=3cos 2sin cos 22ππααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】1-【解析】因为，所以2222223cos sin cos sin cos 2sin()cos()22sin cos sin cos ππααααααααααα-++-=-++，应填答案。

2020高考数学总复习课时作业：三角恒等变换含解析

所以sin (2α－β)＝ × － × ＝ .
因为α为锐角、所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0、所以0＜2α＜、又β为锐角、所以－＜2α－β＜、所以2α－β＝ .
∴2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ、k∈Z、解得kπ－ ≤x≤kπ－、k∈Z；
∴f(x)的单调增区间为 (k∈Z)、即、k∈Z.]
6．已知θ是第四象限角、且sin ＝、
则tan ＝________.
解析：∵θ是第四象限角、
∴－＋2kπ<θ<2kπ、则－＋2kπ<θ＋ < ＋2kπ、k∈Z.
又sin ＝、
(1)求cos 2α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)因为点P的横坐标为、P在单位圆上、α为锐角、
所以cosα＝、所以cos 2α＝2cos2α－1＝ .
(2)因为点Q的纵坐标为、所以sinβ＝ .
又因为β为锐角、所以cosβ＝ .
因为cosα＝、且α为锐角、所以sinα＝、
因此sin 2α＝2sinαcosα＝、
解析：B[因为f(x)＝4 ·sinωx＋cos 2ωx＝2 sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋2· ＋cos 2ωx＝ sin 2ωx＋1.由函数y＝f(x)在区间上单调递增知、所以－ ≤ ＝、即3π≤ 、结合ω>0、可得0<ω≤ .所以正数ω的最大值为、故选B.]
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3、 )、
∴sinα＝、cosα＝－、tanα＝－ .
∴sin 2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－ .
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx、x∈R、

2020版高考数学第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课件理新人教A版

sin ± cos
1-cos2�� 2 1-cos2�� 1 + cos2��
,cos α= .(降幂公式)
2
,
课前双基巩固
(4)sin α=
�� 2 �� 1+ta n 2 2
2tan
,cos α=
�� 2 �� 1 + tan2 2 1-tan2
[答案]
1 2
- 2
3 2
[解析] sin 15° - 3cos 15° =2 sin15° cos15° =2(sin
30° sin 15° -cos 30° cos 15° )=-2cos(30° +15° )=-2cos 45° =- 2.
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知 f(x)=sin2x-2 (x∈R),则 f(x)的最小正周期是 .
4 15 1 1
cos��cos�� + sin��sin�� = ,
5
1
解
得
cos��cos�� =
,
sin��sin�� = - 15 ,
sin �� sin �� 1
所以 tan αtan
β=cos �� cos �� =-4 .
[解析] (1)∵α∈ α= ,∴sin α=1 3 3π ,2π 2
,sin
π 2
+ ��
1 = ,则 tan(π+2α)= 3
,sin
π 2
+ �� =cos
)
2 2 B.± 5 2 2 D. 5

江苏专用2020年高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题含解析

考点20 二倍角公式与简单的三角恒等变换1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB，则(tan 2A﹣2)sin2C 的最小值为_______．【答案】5【解析】在∆ABC 中，由sinB，所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12，当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-）＜12，化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=-(tan 2A﹣2)sin2C＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯-＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥-=当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =时取等号故答案为：5-．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos 2α的值是__．【答案】79-【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-．3．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率，则＝_______．【答案】【解析】双曲线的离心率，，因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin=2sin=故答案为： .4．（江苏省清江中学2018届高三学情调研考试）函数的最小正周期是________【答案】【解析】∵函数∴函数的最小正周期为故答案为.5．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．【答案】【解析】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理2222cos b c a bc A +-=，代入22233kS b c a ≤+-，有221sin 222cos 2k bc A b c bc A ⨯≤++，即22444cos sin b c bc A k bc A++≤恒成立，求出22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而22444cos 8bc 4cos 84cos sin sin sin b c bc A bc A A bc A bc A A++++≥=，当且仅当b c =取等号，令84cos sin Ay A+=，得：sin 84cos y A A =+，即sin 4cos 8y A A -=，)8A A =，令cos ϕϕ=，)8A ϕ-=，即sin()A ϕ-=所以01≤，两边平方，得：26416y ≤+，解得：y ≥=，即22444cos sin b c bc Abc A++的最小值为k ≤故答案为：6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC ∆1+,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】∵431tan tan A B+=，∴cos cos 431sin sin A BA B +=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB﹣cosAsinB，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA﹣cosA），即3sinC ＝sinB （sinA﹣cosA），∴3c ＝b （sinA﹣cosA），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A﹣cosAsinA）＝212b 1+，∴b 2=，∵3c ＝b （sinA﹣cosA）＞0，且0＜A ＜π，∴39A ,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A ＝58π时，b 2＝12，∴b 的最小值为AC 最小值为故答案为：．7．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】以点O 为坐标原点,以OA 所在直线作x 轴，以OB 所在直线作y 轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB 的方程为x+y-1=0,设P ，，所以PQ 的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：．8．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________．【答案】3925【解析】由题02x π<<，且1sin cos 5x x -=，，①两边平方可得11225sinxcosx -=：，解得24226sinxcosx = ，75sinx cosx ∴+=== ，②∴联立①，②解得： 4355sinx cosx ==，， 22433394455525sinxcosx cos x ∴-=⨯⨯-=（．故答案为39259．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =4C π=.（1）求BC 的长；（2）求sin(23A π+的值.【答案】（1）BC =（2【解析】（1）因为cos B =0B π<<，所以sin B ===.在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 5B C B C =+==.在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sinsin5ABBC AC=⨯==.（2）在ABC∆中，A B Cπ++=，所以()A B Cπ=-+，于是cos cos(())cos()A B C B Cπ=-+=-+3(cos cos sin sin)5B C B C=--=-=，于是4324sin22sin cos25525A A A==⨯⨯=，2222347cos2cos sin5525A A A⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin2sin2cos cos2sin333A A Aπππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭241725225⎛⎫=⨯+-=⎪⎝⎭.10．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在△ABC中，已知．（1）求内角B的大小；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，设的对边分别为，由正弦定理及得，，即，由余弦定理得，因为，所以.(2)因为在中，，所以所以，，而，所以.11．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知向量，且共线，其中.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）知，又，∴，∴∴，即，∴，即又，∴.12．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1).(2) .【解析】（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．13．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考）已知()1cos ,1a x ω=+-，)b x ω=，（ 0ω>），函数()f x a b =⋅，函数()f x 的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65fθ=+，求cos θ的值．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）()f x a b =⋅)1cos sin x x ωω=+-2sin 3x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为函数()f x 的最小正周期为2π,所以22ππω=, 解得1ω=.()2sin 3f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭(2) 由()65fθ=+, 得3sin 35πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ， ,336πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭, 4cos 35πθ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos cos cos sin sin 333333ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭413525⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭ 第（2）题另解：223{ 35sin cos 1sin πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭+=，2100cos 110θθ⇒-+=cos θ⇒=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ>，故cos θ=．14．（江苏2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．。

2020版高考数学一轮复习简单的三角恒等变换教案(理)(含解析)新人教A版

第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79.故选B.2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429. 3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45答案 D解析解法一：cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 解法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin 2θ＝45.4．(2019·南宁联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( ) A ．－43 B.34 C ．－34 D.43答案 D解析由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故选D. 5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22(cos α＋sin α)．又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 核心考向突破考向一三角函数的化简例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π 答案 C解析由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．2异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.3异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15答案 A解析 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.2．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2D.π4答案 B解析 ∵y ＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴此函数的最小正周期是T ＝2π2＝π.考向二三角函数的求值角度1 给值求值例2 (1)(2019·汕头模拟)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415D ．－35答案 B解析 cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45.故选B. (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案－12解析解法一：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，所以sin α＝12，cos β＝12，因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12×12－cos 2α＝14－1＋sin 2α＝14－1＋14＝－12.解法二：由(sin α＋cos β)2＋(cos α＋sin β)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝________.答案－13解析因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tanα2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练 3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan α＋β1＋tan2αtan α＋β＝－211.角度2 给角求值例3 (1)(2019·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°的值等于( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－ 3.故选D. (2)(2018·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练 4.(2019·九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1答案 C解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.5．(2019·上海模拟)计算tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________. 答案－4解析原式＝sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°sin24°cos24° ＝2sin 12°－60°12sin48°＝－4.角度3 给值求角例4 (1)(2019·四川模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.选A.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)已知正切函数值，则选正切函数．即时训练 6.(2019·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P (sin40°，1＋cos40°)，则α等于( )A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°答案 C解析由题意得tan α＝1＋cos40°sin40°＝2cos 220°2cos20°sin20°＝co s20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C.7．(2019·江苏徐州质检)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β的值为________．答案π3解析 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.考向三三角恒等变换的综合应用例5 (2019·广东模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－2sin 2x2.(1)若f (x )＝233，求sin2x 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值与单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝1＋sin x －(1－cos x )＝sin x ＋cos x ，又∵f (x )＝233，∴sin x ＋cos x ＝233，∴sin2x ＋1＝43，∴sin2x ＝13.(2)F (x )＝(sin x ＋cos x )·[sin(－x )＋cos(－x )]＋(sin x ＋cos x )2＝cos 2x －sin 2x ＋1＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，F (x )取得最大值，即F (x )max ＝2＋1.令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，从而函数F (x )的最大值为2＋1，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．触类旁通三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝sin x ＋φ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.即时训练 8.(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x∈R .(1)求f (x )的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求f (x )的闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )；由2x －π3＝k π(k ∈Z )得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．(2019·海口模拟)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin 60°＋40°－si n40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝ 3.2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案17250解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，由二倍角公式得sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．对点训练1．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13B ．－13C ．3D ．－3答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.2．(2019·合肥模拟)计算：tan20°＋4sin20°＝________. 答案3解析原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin 30°－10°＋2sin 30°＋10°cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°＋12sin10°cos20°＝3cos30°－10°cos20°＝ 3.。

第24讲倍角公式及简单的三角恒等变换

第24讲倍角公式及简单的三角恒等变换本文将介绍倍角公式以及一些简单的三角恒等变换。

在学习这些内容之前，我们需要对三角函数有一定的了解。

三角函数是在直角三角形中定义的，有三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数可以用于描述角度和边长之间的关系。

1.倍角公式倍角公式是用于计算角度的两倍的函数值的公式。

下面是三种常见的倍角公式：1）正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示角度的两倍的正弦值等于sinθ 乘以cosθ 的二倍。

2）余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表示角度的两倍的余弦值等于cos²θ 减去sin²θ。

3）正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式表示角度的两倍的正切值等于2tanθ 除以 1 减去tan²θ。

倍角公式在解决一些复杂的三角方程时非常有用。

三角恒等变换是一些关于三角函数的等式，它们可以用于简化或转换三角函数的表达式。

下面是一些常见的三角恒等变换：1）倒数恒等式：secθ = 1/cosθcscθ = 1/sinθcotθ = 1/tanθ这些恒等式表示正弦的倒数是余割、余弦的倒数是正割、正切的倒数是余切。

2）平方恒等式：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等式表示正弦的平方加上余弦的平方等于1、它是最基本的三角恒等式之一3）三角和差恒等式：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβtan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)这些恒等式表示两个角的和或差的正弦、余弦、正切之间的关系。

以上只是一些简单的三角恒等变换，还有其他更复杂的三角恒等变换，可以通过推导和运用倍角公式来得到。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训22三角恒等变换理含解析北师大版

课后限时集训(二十二) 三角恒等变换(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·南宁二模)已知cos 2α＝13，则ta n 2α＝( )A.23 B ．2 C.34D ．12D [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝13，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝13，即1－ta n 2α1＋ta n 2α＝13，∴ta n 2α＝12.] 2．(2019·湖北模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则sin α的值等于( )A.22－36 B ．22＋36C.26－16D ．－26－16C [由题可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝223，则sin α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π3＝223×32－13×12＝26－16，故选C.]3．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．ta n(α＋β)＝3ta n(α－β) B ．ta n(α＋β)＝2ta n(α－β) C ．3ta n(α＋β)＝ta n(α－β) D ．3ta n(α＋β)＝2ta n(α－β)A [法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得ta n(α＋β)＝3ta n(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β，所以ta n α＋βta n α－β＝sin α＋βcos α－βcos α＋βsin α－β＝12sin 2α＋sin 2β12sin 2α－sin 2β＝3sin 2βsin 2β＝3，即ta n(α＋β)＝3ta n(α－β)，故选A.] 4．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A ．－23B ．23C ．－13D ．13A [因为sin α＝13＋cos α，即sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsinπ4＝cos α－sin αcos α＋sin α22sin α＋cos α＝－1322＝－23，故选A.]5．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－ta n 239°1＋ta n 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞bD [∵a ＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(127°－50°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c ＝1－ta n 239°1＋ta n 239°＝cos 239°－sin 239°sin 239°＋cos 239°＝cos 78°＝sin 12°，又sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 13° 即b ＜c ＜a ，故选D ．] 二、填空题6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则ta n αta n β的值为________．13 [因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以ta n αta n β＝sin αsin βcos αcos β＝13.]7．已知sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，若α，β是锐角，则β＝________.π3 [sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，α，β是锐角，则cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，所以β＝π3.]8．(2019·长春质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x 的最大值为________．3 [函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤ 3. 故最大值为 3.] 三、解答题9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．[解] (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6，∴f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223，∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226. B 组能力提升1．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在x ＝θ时取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D ．32C [法一：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即θ＝π6＋2k π(k ∈Z )，于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C.法二：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －3sin x .又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴f ′(θ)＝cos θ－3sin θ＝0，即ta n θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(cos 2θ－sin 2θ)＝22×1－ta n 2θ－2ta n θ1＋ta n 2θ＝2－64，故选C.] 2．4cos 50°－ta n 40°＝( ) A. 2B ．2＋32C. 3 D ．22－1C [4cos 50°－ta n 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin 60°＋20°－sin 60°－20°cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin50°＋30°＋sin 50°－30°cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．－332[因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，2k π＋π3≤x ≤2k π＋π或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332.] 4．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图像的一条对称轴．(1)求函数f (x )的递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图像是由y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． [解] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图像的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。