复习重积分

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二重积分复习题

二重积分复习题二重积分复习题第九章二重积分复习题一、选择题 1.设D{(x,y)|x2y24}，则二重积分dxdy（）（A）（B）2（C） 3（D） 4 3. 设区域D是单位圆x y21在第一象限的部分，则二重积分xydxdy（）dy (B) 0dyxydy (D) 0y2a2 (a>0) 所围成区域的面积为S ，则 a0a2x2dx=（ (A) S (B)1 2 S (C) 1 3 S (D) 1S 5. 交换二次积分顺序后，f(x,y)dy=（）f(x,y)dx (B) 00 f(x,y)dxf(x,y)dx (D) 0f(x,y)dxdxdy（），其中D由直线y x,y2x,y1所围.(C) 1 (D)7. 设D由y1,x2及y x所围成，则f(x,y)dxdy（）f(x,y)dy 2f(x,y)dyf(x,y)dx (D) 0f(x,y)dx8. 设D:xy21,则xdxdy＝（）(A) (B)1 (C)0 (D) 29. 设区域D为1x2,3y4，积分(C) 0 (D) ln210. 二次积分f(x,y)dx（）f(x,y)dy （B）dxf(x,y)dyf(x,y)dy （D）f(x,y)dy11. 若区域D为xy21，则二重积分f(x,y)dxdy化为累次积分为（）（A）（C）f(x,y)dy f(x,y)dy（B）（D）f(x,y)dyf(x,y)dx14. 设区域Ｄ是由x轴 y轴和直线x+y=1所围成,则2dxdy＝（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 15. 设f(x,y)连续，则dxf(x,y)dy( )arcsinyf(x,y)dx (B)arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dxarcsinyf(x,y)dx (D)arcsiny16. 设区域D由y1,x2和y x围成，则f(x,y)dxdy（(A) (C)dy f(x,y)dx(B) (D)dx f(x,y)dxdy f(x,y)dxdx f(x,y)dx18. 设D是由|x|1,|y|1围成的平面区域，则二重积分xd（） (A) 1 (B) 2 (C) 20. 设D由y x,y0及x2y21所围 ,则d( ).(C) (D) 248222221. 设D{(x,y)|x y4}，则二重积分(x y)dxdy（）(A) (B)(A)2 (B) 4 (C)6 (D) 8二、填空题 1.xedxdy = （D由y x、x轴和x1所围）f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.3．改变二次积分f(x,y)dy的积分次序得f(x,y)为连续函数，则交换二次积分dy2f(x,y)dx的次序为 . -x --x2f(x,y)dy的积分次序后为 .6. 设D为矩形0x 1 , 1y 1 ，则二重积分 3 dxdy D1,则f(x,y)dxdy化为二次积分为 . 7. 设D:9. 交换二次积分顺序后，10.f(x,y)dy=______________.f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.12. 改变二次积分13. 交换积分次序dx f(x,y)dy的顺序dy f(x,y)dx= .14. 变换积分顺序后，15．二次积分f(x,y)dy .f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是18. 交换二次积分的次序19.f(x,y)dy_________________，其中D由x________dxdy__________y21所围.20. 交换积分21. 交换dx f(x,y)dy dxx 2 2xf(x,y)dy的次序得f(x,y)dy的积分顺序为22. 交换积分顺序后23. 交换积分f(x,y)dy .f(x,y)dy的次序得24. 二次积分三、解答题 1. 计算dx f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是 .2x ydxdy，其中D由y0,y x,x1所围 Dy x,y,x2所围 ()dxdy,其中D由xDxdxdy,其中D由y x,y x2所围xD4. 计算二重积分，其中D:y x yxydxdydxdy，D由y2x,x2y与x2围成的第一象限中的区域xD,y x,y2围成，求二重积分(x1)dxdy xDe dxdy，其中Ｄ是闭区域：｜x｜＋｜y｜≤１ D10. 计算二重积分12. 设D是以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形区域，求13、计算积分15、求16. 求17. 求xcos(x y)dxdy.(x1)dxdy,D由yx1及x轴围成.e dxdyD,其中D{(x,y)|0x1,x y1}．xyxe dxdy.D是矩形:1x 2 , 1y 3. D2y)dxdy D:0x1,0y2ye dxdy，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域. D 18. 计算二重积分19. 计算20. 计算(x6y)dxdy,D由y x,y3x,x1围成xydxdy，其中D由y x,y1,x2所围.21、利用二重积分求由平面x2y22. 计算23. 求z1和三个坐标面围成的体积.(x y)dxdy，其中D由y x,y1,x2所围.(x2y)dxdy D：由yx,x2,y0所围.26. 求edxdyy x,y0及x1所围27. 交换积分顺序并计算dy exdx。

重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

第一轮复习之积分学

(二) 无界函数广义积分：被积函数无界的情形。
1、设 f(x)在 (a, b] 上有定义，且在任意一个区间 a , b 上可积，其
中 0 ，f(x)在 a 点的右邻域无界，定义：

a
b
f ( x ) d x lim

i 1
f (a
③ 若某类和式 ai 可以表示成 ai
i 1
i 1
n
i 1
n
1
i f ( ) ，其 n
中 f(x) 是
n
[ 0 1] 上已知的连续函数，则
n
lim
ai lim
i 1
n

i 1
n
1 i f ( ) f ( x)dx n n 0
x 2
解得 x
at 2 ，求微分将 1 t2
非常复杂，如果令
t
a ax 则 x ， 1 t2 x
cos x
1 ta n 1 ta n
2
2
x 2 x 2
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
2 sin 2 x 1 cos 2 x
2 cos 2 x 1 cos 2 x
积分学
一、内容概要： ① 一元函数积分学是整个积分学的基础，重积分、曲线积分、与曲面积分的概念都与定积分相似。 ② 积分学包括定积分和不定积分。 ③ 积分运算中，主要包括：分项积分法、分段积分法、换元积分法、与分部积分法。 ④ 牛顿-莱布尼茨公式 ⑤ 积分学的应用：分割 ----近似 ------求和 -----极限
ln ( x
x2 a2 ) C
a>0

高等数学第十章《二重积分》复习课件

y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,
则
D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域向某轴（例如z 轴）投影，得
投影区间 [a, b] ；
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行截，得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去

二重积分复习题

二重积分复习题 1. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解：积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+Dd y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解：积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=222]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解：⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解：积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x⎰-=π0)s i n 2(s i n dx x x x ⎰--=π0)c o s 2c o s 21(x x xd+--=0|)c o s 2c o s 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=..2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是⎰⎰D d y xσ⎰⎰=102dy y x dx xx⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x .(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; 解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy yy Dσ1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=111111x x y xx x yxDyx dy e dx e dy e dx e d eσ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e ex x y x x x y x⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ 613)832419(2023=-=⎰dy y y .3. 改换下列二次积分的积分次序: (1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰y ydx y x f dy 2202),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以⎰⎰y ydx y x f dy 222),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx .(3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解：由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y ydy y x f dx dx y x f dy(4)⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ;解：由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ⎰⎰-+-=101122),(y ydx y x f dy .(5)⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy4. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解：积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解：积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解：积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d .(4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解：积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 120)sin ,cos (d f d .5. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解：积分区域D 如图所示. 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(11⎰⎰=4s e c)s i n ,c o s (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24c s c)s i n ,c o s (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 32220)(;解：积分区域D 如图所示, 并且 }sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D , 所示⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34s e c 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--2111),(x xdy y x f dx ;解：积分区域D 如图所示, 并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解：积分区域D 如图所示, 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d6. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解：积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=. (2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解：积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxad d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a . (3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解：积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ212122102)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解：积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a a d d dx y x dy θρρρ222022)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.7. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解：在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以⎰⎰⎰⎰=+DDy x d d e d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ. (2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解：在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(2012-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xyDarctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解：在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xy θρρθθρρθσ)arctan(tan arctan ⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d . 8. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)dxdy yx D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. 解：因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以d x d y y x D22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=. (2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解：在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解：因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰. (4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解：在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ.。

重积分的计算方法

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

重积分练习题

第6章重积分练习题习题6.11．设xoy 平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(y x u 的电荷，且),(y x u 在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q 的二重积分表达式．2．由平面1342=++z y x ，0=x ， 0=y ，0=z 围成的四面体的体积为V ，试用二重积分表示V ．3．由二重积分的几何意义计算⎰⎰--Dd y x Rσ222，222:R yx D ≤+．4．⎰⎰=Dd y x f I σ),(．y y x D 2:22≤+，写出I 的累次积分式．5．交换下列累次积分的积分顺序： ⑴⎰⎰--aa x a dy y x f dx 22),(． ⑵⎰⎰⎰⎰-+31301020),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy ．6．计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Dyx d eσ23．2||,2||:≤≤y x D ． ⑵⎰⎰+Dd y x σ)(22．1||||:≤+y x D ．⑶⎰⎰+Ddxdy yx221．10,10:≤≤≤≤y x D ． ⑷⎰⎰--Ddxdy y x )2(21．2,:x y x y D ==．7．运用极坐标变换计算下列二重积分： ⑴⎰⎰+Ddxdy y x 22．1:22≤+yx D ．⑵⎰⎰+Ddxdy y x )(22．y y x D 6:22≤+．⑶⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22．4:22≤+y x D ，0≥x ，0≥y ．8．现有一平面薄片，占有xy 平面上的区域D ，在点),(y x 处的面密度为),(y x u ，且),(y x u 在D 上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a 的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydz z xy V42⎰⎰⎰．31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V ．⑵dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)sin(．V 由平面0=x ，0=y ，0=z ，2π=++z y x 围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzy xV⎰⎰⎰+)(22，其中V 由旋转抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydz zy x z y x V⎰⎰⎰++++222222cos ，222224:ππ≤++≤z y x V ．4．运用三重积分求半径为R 的球体的体积．5．运用三重积分求球面z z y x 2222=++和锥面（以z 轴为轴，顶角为︒90）所围部分的体积．6．求曲面z z y x 8)(2222=++围成部分的体积．习题6.31．求球面16222=++z y x 被平面1=z 和2=z 所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC ，其中)0,0(A 、)0,1(B 、)1,0(C ，三边上点),(y x 处的线密度为y x +，求这段铁丝的质量．3．求⎰τzds ，τ为圆锥螺线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t t y t t x sin cos ．4．求ds y x ⎰+τ22，其中τ为圆周x y x 222=+．5．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 是由点)0,1(沿上半圆122=+y x 到)0,1(-．6．)0,0(A ， )1,1(B 在抛物线2x y =上，一质点从A 移动到B 沿上．在点),(y x 处所受的力F 等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F 所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dy y x dx y x )()(222+++⎰τ，τ为区域10≤≤x ，x y x ≤≤2的正向边界曲线．8．计算ydx x dy xy 22-⎰τ，其中τ为圆周122=+y x ．9．计算球面的质量m ，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算⎰⎰++SdS z y x )(．4:222=++z y x S ，0≥z ．11．计算⎰⎰SzdS ．S 是平面1=++z y x 在第一卦限部分．12．计算⎰⎰++Szdxdy ydxdz xdydz ．S 为球面1222=++z y x 的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(≥y x f ，则⎰⎰Ddxdy y x f ),(的几何意义是以区域D 为底、曲面),(y x f z =为曲顶的曲顶柱体的体积．（）2．若设}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则0≥⎰⎰dxdy xe Dxy ．（）3．若设D 是由1=+y x 、1=-y x 和0=y 所围成的区域，则有=⎰⎰dxdy xy Ddy xy dx x x⎰⎰--111．（）4．⎰⎰⎰⎰=11ln 0),(),(eeexydxy x f dy dy y x f dx ．（）5．若设L 是围成区域D 的边界曲线，则dy y x Q dx y x P L ),(),(+⎰σd yQ xP D)(∂∂-∂∂=⎰⎰．（）二、填空题1．设}2||,1|||),{(≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．2．设}14|),{(22≤+=y xy x D ，则⎰⎰=Ddxdy ．3．设}|),{(222R y x y x D ≤+=，由重积分的几何意义得⎰⎰=--Dd y x R σ222．4．若dr r r f r d dy y x f dx aa xa ⎰⎰⎰⎰--=)sin ,cos (),(22θθθβα，则=),(βα．5．设L 为椭圆14922=+yx的正向边界，=+⎰Lydy xdx cos 3 ．三、选择题1．若D 是由kx y =)0(>k ，0=y 和1=x 围成的三角形区域，且⎰⎰=Ddxdy xy 1512，则=k （）A ．1B ．354 C ．3151 D ．3522．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ⎰⎰=θπθθθsin 20)sin ,cos (化为直角坐标系下的二次积分，则=I （）A ．⎰⎰--+--11111122),(y y dx y x f dy B ．⎰⎰---202222),(xx xx dyy x f dx C ．⎰⎰----112222),(yy yy dxy x f dy D ．⎰⎰--+--11111122),(xxdyy x f dx3．二次积分⎰⎰2142),(x dy y x f dx 交换积分次序为（）A ．⎰⎰2014),(ydxy x f dy B ．⎰⎰2040),(ydx y x f dyC ．⎰⎰1040),(ydx y x f dy D ．⎰⎰1024),(ydxy x f dy4．若D 是由2x y =和2y x =所围成的区域，L 为区域D 的正向边界，则⎰-Ldxy dy x 222131= （）A ．143 B ．91 C ．41 D ．52415．若L 是围成平面内一闭区域D 的正向边界曲线，则曲线积分⎰+Lxy dy x dx xe 2可化为二重积分（）A ．⎰⎰-Dxy d x e x σ)2(2 B ．⎰⎰-Dxy d e x x σ)2(2C ．⎰⎰+Dxy xy d e x e σ)(2 D ．⎰⎰-Dxy xy d e x e σ)(2四、解答题1．区域D 是由抛物线yx =，直线0=x 和0223=+-y x 围成，计算⎰⎰Dxdxdy 的值2．设}|),{(222π≤+=y x y x D ，求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin3．计算dy y e dx y y e x Lx )1cos ()sin (-+-⎰，其中Ｌ是圆周x y x 422=+，且正向为逆时针方向4．求半径为R ，高为H )(R H <的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222R y x =+与222R z x =+所围成的立体的体积。

高等数学下册复习第九章(二重积分)

1 1 x 2 0 1 x
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式并计算积分值（2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ，其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2

y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则

D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章二重积分
内容要点一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义：和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d

D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1

0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy

9重积分总复习

D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为
(1,0),(1,1), (2,0).
y
解三角形斜边方程 x y 2 1 在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
o
于是ln( x y) ln( x y)2,
D
12x
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算方法:
方法1 . 投影法 (“先z后xy”) 方法2 平行截面法当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。
方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
例计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆
域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
e z dv 2 ezdv
上
2
1[
0
dxdy ]e z dz
D(z)
201 (1 z2 )ezdz 2.
例 4 计算三重积分 z2dxdydz 其中是由
f
( y)dy
1b
n 1a
(b
y)n1
f
(
y)dy.
b
证
b
a
dx
x
a
(
x
y)n2
f
( y)dy
b
a
dy
b
y
(
x
y)n2
f
( y)dx
a
b
a

重积分复习资料

D
D
性质３对积分区域具有可加性 (D D 1 D 2),
f (x ,y ) d f (x ,y ) d f (x ,y ) d .
D
D 1
D 2
性质４若 Ω为D的面积， Ω1dd.
D
D
性质５若在D上有 f(x ,y)g (x ,y),
则有 f(x,y)d g (x,y)d .
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D2
00
b0
1 (ea2b2 1), 2ab
从而 I得 4(ea2b21). ab
七、二重积分的极坐标计算公式
极坐标系中的面d积元 dd素
dxd yd d
x cos
y
sin
二重积分的变量从直角坐
标到极坐标的变换公式
d
d
d
f(x,y)dxdy
O
D
f(cos,sin)dd
D
d
适用范围
重积分复习资料
二、二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。
二重积分的几何意义二重积分是各部分区域
上柱体体积的代数和，在xoy 平面上方的取正，在xoy平面下方取负．
z
0
y
x
例1 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.
a 2 x 2 y 2 d, D :x 2 y 2 a 2 ，
若 D 1 记 {x ,(y )|0 x a ,0 y a b x },
D 2 {x ( ,y)|0y b ,0x a by }, y
b
则在 D1上 , m b 2 x a 2 ,a 2 x y 2 } { b 2 x 2 , D2

n 重积分

高等教育出版社
数学分析第二十一章重积分
*§7 n 重积分
由于三维以上的空间中区域的体积没有直观的几何意义, 因此本节先定义n 维长方体的体积, 再定义n 维区域的体积, 最后建立起 n 重积分的理论与计算方法.
一、n 重积分的物理背景二、n 重积分的定义三、n 重积分的计算
*点击以上标题可直接前往对应内容
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分物理背景定义
计算
x1 x1 L
1 2
J
( x1 , x2 ,L
(1 ,2 ,L
, xn )
,n )
x2
1
M
x2
2
M
L
x1
n
x2
n 0,
M
xn xn L xn
1 2
n
则成立下列 n 重积分的换元公式：
6 7n8
I L f ( x1,L , xn )dx1 L dxn
2
π
dx1 L
x12 x22 L xn22 1
dxn2
n2 ,
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分物理背景定义
计算
}n2
其中 n2 L dx1L dxn2 为 n 2 维单位球体体 x12 x22 L xn22 1
积,因而由例2 得 n 维球面面积为
Sn
2 π n-2
V1
2R,
V2
πR2 ,
V3
4 3
πR3 .
数学分析第二十一章重积分
高等教育出版社
§7 n 重积分物理背景定义
计算
本题也可用 n 维球坐标变换求得, n 维球坐标变换

重积分的计算方法

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

高数重积分复习题

高数重积分复习题一、选择题1. 对于二重积分 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy\)，下列说法正确的是：A. 积分区域 D 必须为矩形B. 积分区域 D 可以是任意形状C. 函数 f(x, y) 必须连续D. 积分结果与积分顺序无关2. 在计算二重积分时，若积分区域 D 为圆形，通常采用的坐标变换是：A. 极坐标变换B. 直角坐标变换C. 球坐标变换D. 柱坐标变换3. 对于三重积分 \(\iiint_V f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz\)，下列说法不正确的是：A. 积分区域 V 可以是任意形状B. 积分区域 V 必须为立体图形C. 函数 f(x, y, z) 可以是任意函数D. 积分结果与积分顺序有关二、填空题4. 假设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，计算区域为单位圆 \( D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\} \)，则 \(\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \) ________。

5. 若 \(\iint_D xy \,dx\,dy\) 为 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分，则积分结果为________。

三、计算题6. 计算下列二重积分：\[\iint_D (3x^2 - 2y^3) \,dx\,dy\]其中 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \)。

7. 计算下列三重积分：\[\iiint_V (x + y + z) \,dx\,dy\,dz\]其中 \( V = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq x + y\} \)。

四、证明题8. 证明：对于任意的连续函数 \( f(x, y) \)，若 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = 0\) 对于所有简单连通区域 \( D \) 成立，则\( f(x, y) \equiv 0 \)。

第08章重积分习题详解

第八章重积分习题8-11•设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为卩二艸x,y)的电荷，且Kx,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解用一组曲线将D分成n个小闭区域AcTi,其面积也记为icTiU =1,2, H「，n) •任取一点(D迂g ,则心6上分布的电量如止4E f h) Abi•通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为Q 二1 也2円©, r) gl二JJ4 (x, y) dcr,卅「n D其屮A二max {Abi的直径}.2•设li= ff (x s +y0a db 其中Di ={( X, y) —1 <x <1,-2 <y〈2}；又b 二ff (x s + yjdbDi D:其中D2二{ (x,y) o <x<l,0<y <2} •试利用二重积分的几何意义说明b与E之间的关系.解由二重积分的几何意义知，h表示底为D、顶为曲面z二(x曾厂的曲顶柱体Oi的体积；12表示底为D?、顶为曲面z二(x巧r)啲曲顶柱体02的体积.由于位于Di上方的曲面Z = (x: +y:)咲于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将ci分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为02 .由此可知「41：.3.利用二重积分定义证明：(1)JJdb二0〃(其中0■为D的面积)-JJkf (x, y)d b =k JJ f (x, y)d (其屮k 为常数)；D DJJf (X, y) db = JJf (x, y) db + JJf (X, y) db,其中二DAJ D2, Du D2 为两个无公共D Di D：内点的闭区域.证(1)由于被积函数f (x, y)三1,故由二重积分定义得n nJJdb二jm 送f(q, ni)Ac7i HjmS Abi =iim b =bD Hi zt i =t Hn(2)JJkf (X, y)db 二1 也S kfRIMa 二kl 也S f CiljS =k JJf (x, y) dcr.D JL ° i A i D(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D’和D2的公共边界永远是一条分割线。

微积分期末复习多元函数重积分

多元函数重积分复习一、客观题： 1．判断1）．已知),(2),(),(lim ),(0b a f xb x a f b x a f b a x f x x '=--+∂∂→存在，则（ √ ）2）．若二元函数),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z 在点的两个偏导数存在，则在点==可微。

( × ）3）．若二元函数的两个偏导在点不可微，则在点),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。

数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 4）．若二元函数.),(),(),().(0000不可微在点则的两个偏导数不连续，在点y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。

数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 2.选择题1）. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微分,是),(y x f 在),(00y x 处连续的_________条件.A ．充分条件 B. 既充分又必要条件 C ．必要条件 D. 既非充分又非必要条件答案：A2）．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的________. A. 必要条件 B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件答案：D3）．设函数),(y x f z =在（0，0）处存在偏导数，且,0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(===f f f y x 那么。

A. ),(lim 0y x f y x '→→ 必定存在 B ．),(y x f 在（0，0）处必连续C. 0=dz D ．0,0),(lim 220==+→→dz yx y x f y x 则若答案：D4）．设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（）。

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

4. :x2A.5．A. C.A)B)C)D) y2 z2B.{(x,y) x2a22r0 sinxyxyxyxyxcosxcosxcosxyxyxyxcos xydxdydxdydxdydxdyzln(x2C. 0x22y2cos2a2,y 0}，其中dr B. 0da 0( r3sin cos )dr D. 02d2 xydxdyD12 xcos xy dxdy D12 (xy xcos(xy))dxdy D1z2 1) dxdydzz2 1D.0，则3r sina3r sin43xy dcoscosdrdr - a3r sin cos dr 第九章重积分一选择题1.I= (x2y2z2)dv, :x2y2z21球面内部，则= [ C ]A.dv 的体积22B. 2 d 2 d001r40 sin drC. 202 d 014d r sin dr 0 2D. d d 00 01r4 sin dr2.是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1 所围闭区域，则xdxdydz [ B ]则[B ] 1 1 2x 1 x 2yA. 0dx 0 dy 0 xdzB. 0dx 1 x dy 0102x 2y xdzC. 02dy 1 y102 dx 0xdzD. 01dy 2y dx 1 x 2y0 xdz3. 设区域D 由直线y x, y x 和x 1 所围闭区域，D1是D 位于第一象限的部分，22 x 28.交换二次积分 2dx x f (x, y)dy 的积分顺序为( A )A.aB. 12 a2C. a 2D.7．积分 2 dcos 0 f (r cos ,r sin )rdr 可写为D1 y y 21 1 y 2A.dy 0 0f (x,y)dxB. dy00 f (x,y)dx111 x x 2B.dx 00 f (x,y)dyD. dx00f ( x, y)dy6．设 a 0, f(x) g(x) 42(A) dy yf ( x, y)dx y2x 2f (x,y)dx 04 (C) 0dy(B) (D) 9.设平面区域D 由 x 0,0,14 , x I 2 (x D y)3dxdy, I 3[sin( xD(A) I 1I 2I 3 (B)I 3I 2 I110． y 2 41x 大于零 11．设积分区域 (A) 22sin x y 22 xy(B) 小于零 D 由|x| a,|y| dxdy 的值 a(a (A)1(B) 14 4dy4dyyf (x, y)dxy2f (x, y)dxy 1围成，若 I 1[ln(x y)]3dxdy,D则I 1,I 2, I 3的大小顺序为( C ). y)]3dxd y, (C) I 1B ). (C) 00)围成， (C) 0I 3 I 2(D) I 3 I 1 I 2(D) 不能确定 xydxdy ( C ).(D) A, B, C 都不对12．1(A) 大于零13.把二次积分 1 dx 0 22y dxdy的值y 2(B) 小于零1 x2 x 2 y 2 1 x 2e B ).(C) 0 (D) 不能确定 dy 化为极坐标形式的二次积分( B ). (A ) re r dr21 r 2(B) d 0re r dr (C) 2d212e rdr 02 (D) 0 d12e r dr 0a,0 x 1 ，D 为全平面，则 f (x)g(y x)dxdy C 0, 其余 Ddxdy 14. 设积分区域D是由直线y=x,y=0,x=1 围成，则有D( A )1 x 1 ydx d ydy dx（A ）0（B ）011ydx d ydy dx（C ）0x（D ）0x15. 设 D 由y x, y2x,ydxdy1围成，则 D（ B）113 （A ） 2 （B 4（C ）1D ） 216．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是（ B ）；（A ）（x 1）d 0,D ： x ≤1， y ≤1；（B ）（x 1）d 0,D ： x ≤1， y ≤1；DD11（A ） 1 ( B ) 2 （C ） 4 （D ）219.x 2 y 2 13 x 2 y 2dxdy 的值等A）xy13 6C.6；D.3 A. ； B.4752xydxdy0x120. 二重积分 0 y 1（C ）11（A ）1 ( B ) 2（C ） 4（D ）22x,y |x22y a , 又有2x2y dxdy 821. 设D 是区域D，则 a=（ B ）（A 1(B ) 2 （C ）4（D ）8(C) ( x 2 D y 2)d0,D ： x 2 y2 ≤17．x 2y 2 dxdy ( C ）， D(A)2πdr 2dr 1(C) 2 π2d 012r dr ；18. xydxdy0x1二重积分 0 y 1（C ）1；(D) ln(x 2 y 2)d0,D ： x+ y ≤1D 22D ：1≤ x 2 y 2 ≤4；2 π4(B) 0 d 1 rdr ；012 π2(D) d r dr22. 若D 是平面区域 x,y |0 x1, 1 ye ，则二重积分 xdxdy D y三、计算与证明2. 计算 I= sin x 2 y 2 dxdy , D={(x, y) D解：令 x=rcos , y=rsine1（A ） 2（B ）2（C ） e 23. 设D 由 y x,y 2x,y 1 围成，则 11（A ） 2（B ）4 （C ）1二、填空题1．变换积分次序0 22dy 1 y 2 2 dy 0f (x,y) dx（D ） 1 dxdyD （B ）3（D ） 2221 1 x2 2dx 02 f(x, y)dy2dx 0f (x,y)dy2．D 是以（0,0）,（1, 1）,（1,1）为顶点的三角形3． 4．5. 6、7、 (x 2 y 2)dxdyD1变换积分次序 12dyx 2 y 2dxdy D 4 y 2f(x,y)dxy 2交换二次积分的积分次序 2xdx 11121 x 4 1dx xf (x, y)dy 1dx xf (x,y)dy42f x,y dy= dy f x, y dx1y交换 dy e x dx 的积分次序后的积分式为1 x 1dx 0e x dy ，其积分值为 12 e 1交换二次积分的积分次序后，交换二次积分的次序1 dx 01 1 yf (x ，y)dy= 0dy 0 f (x,y)dxa 2ax x 2dx0xf ( x, y)dyaydy aa 2 y 2f(x,y)dx1. 计算xy 2dxdy, 其中 DD 是抛物线 y 2=2x1与直线 x= 1 所围闭区域121解： xy 2dxdy = 1dy 21D 2yxy 2dx112 (y 18 12118 y 6 )dy 8 2x 2 y24 2}比较大小：则 I==623. 设 G(x)在 0 x 1上有连续的 G ''(x) , 求 I= xyG ''(x 2 y 2 )dxdy , 其中 D 为 D x 2 y 2 1的第一象限部分解：在极坐标下计算积分， D={(r, ) 0 r 1,0 }22 '' 2 I= r sin cos G (r )rdrd D=1 1r 3G ''(r 2)dr201 1 '' = 1uG '' (u)du401'= [G '(1) G (0) G(1)] 44. xy dxdy,其中是以 a 为半径，坐标原点为圆心的圆4x 2 )xdx ( 1 分) = 2解：xy dxdy=a a(a 2 x 2) x dx =5.sin x 2 y 2 dxdy 解：sin x 2 y 2dxdy =x 2y 2 42r sin rdr =22r sin rdr6．ze (x 2 y622z )dxdydz ，其中为球体x 2 y 2 z 21在 z 0 上的部分。

考研数学冲刺难点复习：二重积分解法

考研数学冲刺难点复习：⼆重积分解法
考研数学进⼊重点复习阶段了，⼩编为⼤家提供考研数学冲刺难点复习：⼆重积分解法，希望⼤家能好好消化，争取把这个知识点全部弄懂！
考研数学冲刺难点复习：⼆重积分解法
计算⼆重积分的基本思路是将其化作累次积分(也即两次定积分)，要把⼆重积分化为累次积分，有两个主要的⽅式：⼀是直接使⽤直⾓坐标，⼆是使⽤极坐标。

这是我们计算⼆重积分的两个主要的武器。

⾸先，对直⾓坐标来说，主要考点有两个：⼀是积分次序的选择，基本原则有两个：⼀是看区域，选择的积分次序⼀定要便于定限，说得更具体⼀点，也就是要尽量避免分类讨论;⼆是看函数，要尽量使第⼀步的积分简单，选择积分次序的最终⽬的肯定是希望是积分尽可能地好算⼀些，实践表明，⼤多数时候，只要让⼆重积分第⼀步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会⽐较简洁，所以我们在拿到⼀个⼆重积分之后，可以根据它的被积函数考虑⼀下第⼀步把哪个变量看成常数更有利于计算，从⽽确定积分次序。

⼆是定限，完成定限之后，⼆重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。

以上是我们计算⼆重积分的主体思路，在此基础之上，我们还可以利⽤对称性，它在⼆重积分的计算中虽然属于辅助性的技能，但如果恰当使⽤的话，还是可以明显地简化计算。

⼆重积分中的对称性分为两种：⼀是奇偶性，⼆是轮换对称性。

⼀般来说，对称性应该使⽤在拿到⼀个⼆重积分之后的第⼀步，只要积分区域关于某坐标轴是对称的，就要先检验被积函数是否具有相应的对称性，尤其要注意有没有奇函数，以尽可能地简化计算。

三重积分的概念与计算复习过程

作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x,y,z) C ,求分布在内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
被积函数是 z的奇函数,球面
关于xoy面对称
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
例计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭区域.
解 (xyz)2
x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
f(x, y,z)dv
21 f
(x,
y,z)dv，f关于x(z,
y)为偶函数 .
0，f关于x(z, y)为奇函数
例利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解积分域关于三个坐标面都对称，
b2(1c z2 2)
ab(1
z2 c2
),
原式
0cab(1cz22 )zdz
1 abc2 .
4
例. 计算三重积分
cz Dz z
解: :
c z c Dz:ax22by221cz22
a
by
x
用“先二后一 ”
z2dxdydzccz 2 d z Dz dxdy
ccz2ab(1cz22)dz
4
15

高等数学重积分计算复习PPT课件

三重积分的几何意义
总结词
理解三重积分的几何意义有助于直观地理解其物理意义和应用。
详细描述
三重积分表示三维空间中体积和质量的量值，其几何意义可以通过三维图形或实体模型来解释。例如，一个密度不均匀的物体质量可以通过三重积分来计算。
04
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
计算立体体积
通过重积分可以计算出三维空间中物体的体积，如球体、圆柱体等。
纠正方法
针对这些常见错误，提供有效的纠正方法和技巧，帮助学生避免类似错误再次发生。
综合练习与提高
要点一
综合练习题
设计一些涉及多个知识点和技巧的综合练习题，以提高学生的综合运用能力和解题技巧。
要点二
解题方法总结
对综合练习题的解题方法进行总结和归纳，帮助学生掌握更多的解题技巧和策略。
感谢您的观看
利用直角坐标系将二重积分转化为累次积分，再逐一计算。
极坐标系下的计算方法
利用极坐标变换将二重积分转化为极坐标形式，再逐一计算。
二重积分的几何意义
面积的近似计算
二重积分可以用来近似计算平面区域的面积。
体积的近似计算
二重积分可以用来近似计算空间区域的体积。
03
三重积分计算
三重积分的定义与性质
总结词
高等数学重积分计算复习 ppt课件
目录
• 重积分概述 • 二重积分计算 • 三重积分计算 • 重积分的应用 • 复习与巩固
01
重积分概述
重积分的定义与性质
重积分的定义
重积分是定积分概念的推广，它涉及到二维或更高维度的积分计算。在二维情况下，重积分可以看作是面积的积分，而在三维情况下，重积分可以看作是体积的积分。

复习重积分

二重积分复习题

重积分的计算方法

第一轮复习之积分学

高等数学第十章《二重积分》复习 课件

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高等数学下册复习第九章(二重积分)

9重积分总复习

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