【金版教程】2017届高考理科数学二轮复习训练：1-5-3-1 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题.doc
2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)课件：专题5 解析几何 第2讲
解析 由双曲线方程可知 a＝4，b＝3， 3 所以两条渐近线方程为 y＝± 4x. 3 答案 y＝± 4x
x2 y2 2.(2016· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 7 － 3 ＝1 的焦距是________.
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则 c2＝7＋3＝10， 故焦距为 2c＝2 10.
答案 (1)9 (2)(－1，3)
热点二
圆锥曲线的几何性质
【例 2】 (1)(2016· 全国Ⅲ卷改编)已知 O 为坐标原点，F 是椭 x2 y2 圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左， 右顶点.P 为 C 上一点， 且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点， 则 C 的离心率为________.
→
→
解
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1＜0，y2＞0.
(1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2. 3（x－c）， y＝ 联立 x2 y2 得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0. ＋ ＝1， a2 b2 － 3b2（c＋2a） － 3b2（c－2a） → 解得 y1＝ ，y2＝ .因为AF＝ 3a2＋b2 3a2＋b2 3b2（c＋2a） － 3b2（c－2a） 2FB，所以－y1＝2y2，即 ＝2· ， 2 2 2 2 3a ＋b 3a ＋b
的中点为 D，则
am m m 0 ， D 又 B， D， M 三点共线， 所以 ＝ ， ， 2 （ a － c ） 2 （ a － c ） a ＋ c
1 a＝3c，e＝3. (2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形
2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：3-5解析几何
x2 所以椭圆 G 的方程为 ＋y2＝1. 4
(2)因为 P 在长轴上，所以点 A，B，P，Q 在直线 l 上的顺序无 外乎两种：A，Q，P，B 或 A，P，Q，B，无论哪种顺序，由|AQ| ＝|BP|都有 AB 与 PQ 的中点重合． 因为 P，Q 不重合，直线 l 斜率存在，设其方程 y＝k(x－t)，且 k≠0. |kt| 由于直线 l 与圆 O 相切，则圆心 O 到 l 的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 即 k2t2＝k2＋1.③ 1 2 → → 设切点 Q(x0， y0)， 由OQ· PQ＝0 得 x0(x0－t)＋y0 ＝0， 即 x0＝ ， t
2 2 x ＋4y ＝4， 联立 化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝ y＝k（x－t），
0. 8tk2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝ . 1＋4k2 8tk2 因为线段 AB， PQ 中点重合， 即有 x1＋x2＝t＋x0， 因此 1＋4k2 1 ＝t＋ .④ t 1 联立③④化简得 k ＝ ，将其代入③式，可得 t＝± 3. 2
2
调研二 定点、定值问题 x2 y2 (2016· 北京)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 a b 3 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证：|AN|· |BM|为定值．
k2＋2 2 ∴ AB 的 中 点 P 的 坐 标 为 ( 2 ， ) ， |AB| ＝ x1 ＋ x2 ＋ 2 ＝ k k 4（k2＋1） . k2 k2＋2 1 2 1 又 l′的斜率为－ ， 其方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， 即 x＝－ky k k k k 2 ＋3＋ 2. k 2 x＝－ky＋3＋ 2， k 消去 x 并整理，得 y2＋4ky－4(3＋ 22)＝0. 由 k 2 y ＝4x， 2 2 其判别式 Δ2＝(4k)2＋16(3＋ 2)＝16( 2＋k2＋3)>0. k k
【山东省】2017年高考数学(理科)-圆锥曲线中的综合问题-专题练习及答案解析
山东省2017年高考数学（理科）专题练习圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆22221()0x y C a b a b：＋＝＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，点3(0)B ，为短轴的一个端点，260OF B ∠︒＝．图154（1）求椭圆C 的方程；（2）如图154，过右焦点F 2，且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线3x ＝于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k '．试问k k '是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．2．已知椭圆22221()0x y C a b a b：＋＝＞＞，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点()P a b ，与F 1，F 2围成等腰三角形，且123S PF F ＝． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线4x ＝－与QA ，QB 分别交于M ，N 两点． (i)当1QF MN λ＝时，求Q 点坐标；(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．3．(2016·淄博二模)已知点16(,)24是等轴双曲线22221y x C a a ：－＝上一点，抛物线20)2(x py p ＝＞的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．图155（1）求抛物线的方程；（2）若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆22()11x y ＋－＝内切于PAB ，求PAB 面积的最小值．4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点2(2,)2．图156（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ 面积的取值范围．山东省2017年高考数学（理科）专题练习圆锥曲线中的综合问题答案解析1．[解]（1）由条件可知2a ＝．3b ＝．故所求椭圆方程为22143x y ＋＝．4分（2）设过点20(1)F ．的直线l 的方程为(1)y k x ＝－． 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22224384)20(1k x k x k ＋－＋－＝．5分 因为点2()1,0F 在椭圆内．所以直线l 和椭圆都相交．即0∆＞恒成立．设点1122(,)(,)E x y D x y ．． 则2212122284124343k k x x x x k k -++＋＝．＝．6分 因为直线AE 的方程为112()2y y x x -＝－．直线AD 的方程为222()2yy x x -＝－． 令3x ＝．可得11(3,)2y M x -．22(3,)2y N x -．所以点P 的坐标121213,()222y y x x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭．8分 直线PF 2的斜率为k '＝12121()022231y y x x +----1221242(x y x y x x +-121223142(kx x x x --22222222412823434343412844244343k k k k k k k k k kk k --+++=---+++k k '为定值34-．12分解]（1）1()0F c －．．2()0F c ．．由题意可得123S PF F ＝可得．122c b bc ＝＝两式联立解得a ＝3．∴椭圆的方程为）(ⅰ)∵1QF MN λ＝．∴1QF MN ．∴由（1）知．21c ＝．∴1()10F －．． ．则有21143y ＋＝．∴32y ±＝)y ．．则y k ＝．直线QA 20209(4)14x y +000001222)()PAB y Sy y y y -＝＝＝－＋22)－＝时．上式取等号．此时04y ＝．x PABS的最小值为8．13分解]（1）由题意可设椭圆方程为221(y b ＝2212y k x x ＝0．所以2k 由于直线OP ．OQ 为点O 到直线2故OPQ 面积的取值范围为。
2017届高三数学高考二轮复习(书讲解课件)第一部分 专题五 第三讲 圆锥曲线的综合应用(一)
试题
解析
考点一
考点二 考点三
设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22， 当且仅当 t2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为 22.
第五页，编辑于星期六：一点 十六分。
第三讲 圆锥曲线的综合应用(一)
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
第二十一页，编辑于星期六：一点 十六分。
第三讲 圆锥曲线的综合应用(一)
考点一
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试题
解析
考点一
考点二 考点三
[巩固训练·增分练] (2016·贵阳模拟)设点 F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1) 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且P→F1·P→F2的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1M⊥l，F2N⊥ l 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值．
第十二页，编辑于星期六：一点 十六分。
第三讲 圆锥曲线的综合应用(一)
考点三
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题 解析
考点一
考点二
考点三
由 2|AM|＝|AN|得3＋24k2＝3k2k＋4， 即 4k3－6k2＋3k－8＝0. 设 f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则 k 是 f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋ 3＝3(2t－1)2≥0，所以 f(t)在(0，＋∞)单调递增．又 f( 3)＝15 3 －26＜0，f(2)＝6＞0，因此 f(t)在(0，＋∞)有唯一的零点，且零 点 k 在( 3，2)内，所以 3＜k＜2.
全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用课件理
热点考向探究
考点 典例示法 典例 1
求轨迹方程
[2016· 全国卷Ⅰ]设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆
心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P， Q 两点， 求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
y＝kx＋m， x2 y2 2＋ 2＝1 b a
0. 由于 l 与 C 只有一个公共点， 故 Δ＝0， 即 b2－m2＋a2k2 ＝0，解得点 P
2 2 a km b m － ， 的坐标为 2 2 2 2 2 2 . b ＋ a k b ＋ a k
又点 P 在第一象限，
1(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在 第一象限．
(1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b.
[解]
(1) 设 直 线 l 的 方 程 为 y ＝ kx ＋ m(k<0) ， 由 消去 y 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝
d＝
1＋k
2
2
，
2.
整理得 d＝
a2－b2
2 2 2
b b ＋a ＋a k ＋k2
2 b 因为 a2k2＋k2≥2ab，
所以
a2－b2 ＝a－b， 2≤ 2 2 b b ＋a ＋2ab 2 2 2 2 b ＋a ＋a k ＋k2
高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题练习 理(202
创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习理一、填空题1。
在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，错误!)且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为________.解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋错误!,与椭圆的方程联立，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2＞0，解得k＜－错误!或k＞错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!。
答案错误!∪错误!2.F1，F2是椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则错误!·错误!的最大值是________。
解析设P（x,y)，依题意得点F1(－错误!，0)，F2（错误!，0)，错误!·错误!＝（－错误!－x）（3－x）＋y2＝x2＋y2－3＝错误!x2－2，注意到－2≤错误!x2－2≤1，因此错误!·错误!的最大值是1。
答案13。
已知椭圆错误!＋错误!＝1（0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF＋AF2的最大值为5，则b的值是________。
2017高考数学二轮复习与策略课件 专题13 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)
2017版高三二轮复习与策略
(1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点．是否存在常数 λ，使得O→A·O→B＋λP→A·P→B为定值？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．
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第十六页，编辑于星期六：二十点 五十七分。
2017版高三二轮复习与策略
图 13-1
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第八页，编辑于星期六：二十点 五十七分。
2017版高三二轮复习与策略
(1)求椭圆 C 的方程． (2)过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)， 且 M 是线段 PN 的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于 点 B. ①设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明k′k 为定值； ②求直线 AB 的斜率的最小值．
2017版高三二轮复习与策略
核
心
知
识
·
聚
专
焦
题
专题十三 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)
限 时
集
训
热
点
题
型
·
探
究
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第一页，编辑于星期六：二十点 五十七分。
2017版高三二轮复习与策略
提炼 1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关． (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值． (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令 其系数为零，可以解出定点坐标．
2017年高考文数二轮复习精品资料 专题13 圆锥曲线(教学案) 含解析
1。
以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2。
每年必考一个大题，相对较难,且往往为压轴题,具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度,成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐,本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义｜PF1｜＋|PF2|＝2a（2a>｜F1F2｜)｜｜PF1｜－|PF2｜｜＝2a(2a<｜F1F2｜）定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF｜＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋错误!＝1（a〉b〉0）焦点在x轴上错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几范围｜x｜≤a，｜｜x|≥a，y∈R x≥0，y∈R【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2,双曲线中c2＝a2－b2的区别．2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．考点一 椭圆的定义及其方程例1．【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1（m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1（n >0）的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1，C 2的离心率,则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m 〉n 且e 1e 2〈1C ．m <n 且e 1e 2〉1D ．m <n 且e 1e 2<1【答案】A 【解析】【变式探究】已知椭圆E ：错误!＋错误!＝1(a 〉b >0）的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A.错误!＋错误!＝1 B 。
《2017参考》金版教程2016高考数学理二轮复习训练2-1-5解析几何Word版含解析
1.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A.52B. 5C.2 5 D ．3 5答案 B解析 易知双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，选B. 2.若动圆的圆心在抛物线x 2＝12y 上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A.(0,2) B ．(0，－3) C.(0,3) D ．(0,6)答案 C解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3).3.以双曲线x 23－y 26＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆上任意一点P 与椭圆的两个焦点构成的三角形面积的最大值为( )A.3 6 B ．3 2 C.2 3 D ．2 2 答案 B解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的顶点坐标为(±3，0)，焦点为(±3,0)，所以椭圆的长半轴长a ＝3，半焦距c ＝3，短半轴长b ＝a 2－c 2＝6，当P 为短轴端点时，P 与椭圆的两个焦点构成的三角形的面积最大，且最大值为12×23×6＝32，选择B.4.已知P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点，且x 1＋x 2＝2.若线段PQ 的垂直平分线经过定点A ，则点A 的坐标为( )A.(1,0)B ．(1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 C解析 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆x 24＋y 22＝1上，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，所以线段PQ的垂直平分线的方程为y －n ＝2n (x －1)，即y ＝2n ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，该直线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0；当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.故线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.5.已知双曲线mx 2＋ny 2＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点重合，则此双曲线的方程为( )A.y 2－x23＝1B ．x 2－y23＝1C.x 22－y 26＝1 D.y 22－x 26＝1答案 A解析 因为抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为(0,2)，所以m <0，n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝421n＝2，即n ＝1，m ＝－13，所以双曲线方程为y 2－x23＝1.6.设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |＝( )A.3 B ．9 C.12 D ．18答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，则A 、B 、C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F (0,3)，准线方程为y ＝－3. 因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.又根据抛物线的定义可得|F A |＝y 1－(－3)＝y 1＋3，|FB |＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC |＝y 3－(－3)＝y 3＋3，所以|F A |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18.7.[2015·河北名校联盟质检]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．答案 233解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.8.已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A 、B 两点，AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x 或y 2＝8x解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，与抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0)联立可得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p24＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋p k 2＝3p k ＝2，解得k ＝1，p ＝2或k ＝2，p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .9.已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是________．答案 (0,4)解析 解法一：如图，延长PF 2，F 1M ，交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，xy ≠0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)(－a <x 0<a )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故|PF 1|＝(x 0＋c )2＋y 20＝(x 0＋c )2＋b 2－b 2x 20a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 02＝a ＋ex 0，同理|PF 2|＝a －ex 0，∴|OM |＝12||PF 1|－|PF 2||＝12|2ex 0|＝12×2e |x 0|＝e |x 0|，∵点P 是椭圆上与四个顶点不重合的点，故|x 0|∈(0，a )，故|OM |∈(0，c )，对于x 225＋y 29＝1，c ＝4，故|OM |的取值范围是(0,4)．解法二：由椭圆的对称性，只需研究动点P 在第一象限内的情况，当点P 趋近于椭圆的上顶点时，点M 趋近于点O ，此时|OM |趋近于0；当点P 趋近于椭圆的右顶点时，点M 趋近于点F 1，此时|OM |趋近于25－9＝4，所以|OM |的取值范围为(0,4)．解法三：如图，延长PF 2，F 1M 交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|OM |＝12|2|PF 1|－10|＝||PF 1|－5|，又|PF 1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM |∈(0,4)，故|OM |的取值范围是(0,4)．10.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，M 是椭圆C 上的一点，且点M 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，P (0，t )是y轴上一点，满足|PA |＝|PB |，PA →·PB →＝4，求实数t 的值．解 (1)由已知得2a ＝4，则a ＝2， 又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知A (－2,0)，设B (x 1，y 1)，根据题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，把它代入椭圆C 的方程，消去y ，整理得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由根与系数的关系得－2＋x 1＝－16k 21＋4k 2，则x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝k (x 1＋2)＝4k1＋4k 2，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. ①当k ＝0时，则有B (2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是P A →＝(－2，－t )，PB →＝(2，－t )，由P A →·PB →＝－4＋t 2＝4，解得t ＝±2 2.②当k ≠0时，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 因为P (0，t )是线段AB 垂直平分线上的一点， 令x ＝0，得t ＝－6k 1＋4k 2，于是P A →＝(－2，－t )，PB →＝(x 1，y 1－t )，由P A →·PB →＝－2x 1－t (y 1－t )＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，解得：k ＝±147， 代入t ＝－6k 1＋4k 2，解得t ＝±2145. 综上，满足条件的实数t 的值为t ＝±22或t ＝±2145.。
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【高效整合篇】专题五 圆锥曲线 （一）选择题（12*5=60分）1．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】直线50ax y +-=截圆C ：224210x y x y +--+=的弦长为4，则a =（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】C【解析】圆心为()2,1，半径为2r =，弦长为4等于半径，故直线过圆心，即2150,2a a +-==.2．【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】若过点(1,1)P 可作圆C ：2220x y mx my ++++=的两条切线，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)-+∞C ．(2,)-+∞D ．(4,2)(2,)--+∞【答案】A3．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】已知双曲线6，则该双曲线的标准方程为（ ）A 【答案】AA. 4．【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆）D.3y x =± 【答案】A的焦点坐标为()0,2±，所以5．【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】（0a >，0b >）的右焦点F 作直线的垂线，垂足为A ，交双曲线的左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D 【答案】C6．【2017届湖南五市十校高三12月联考】已知抛物线22y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，则A点到原点的距离为（）A．4 D．8【答案】B，因此(2,2)A±，其到原点的距离为 B.7．【2017届四川双流中学高三必得分训练10】的左右焦点分别为1F，2F，点P 在椭圆上，且满足129PF PF⋅=，则12||||PF PF⋅的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】D8．【2017届河北武邑中学高三周考12.4】设,m n R∈，若直线()()1120m x n y+++-=与圆()()22111x y-+-=相切，则m n+的取值范围是（）A13,⎤⎡++∞⎦⎣C222,⎤⎡+⎦⎣【答案】D)(21m nm n+++2mn m n=++，由基本不等式得2，令t m n=+，则2480t t --≥，解得222,⎤⎡+⎦⎣9．【2017的左右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2MF 的中点，O 为坐标原点，等于（ ）A ．1 C ．2 D ．4 【答案】D22MF a -=D.10．【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】已知长方体1111D C B A ABCD -的外接球O ，其中21=BB ，则三棱锥ABC O -的体积的最大值为（ ） A.1 B.3 C.2 D.4 【答案】A【解析】由题意设外接球的半径为R ,则由题设可得由此可得2=R .记长方体的三条棱长分别为2,,y x ,422++y 由此可得1222=+y x ,因棱锥ABC O -的体积2612+⨯y x 故应选A.11．【2017届河北唐山市高三上学期期末】已知O 为坐标原点，F 是双曲线的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若 Γ的离心率为 （ ）A.3B.2C.【答案】A【解析】易证得MFAEOA ∆∆，同理MFB NOB ∆∆，，所以2()c a a c -=+，整理，得故选A.12．【2017届重庆市一中高三上学期期中】的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足921=⋅PF PF ，则 ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．15 【答案】D（二）填空题（4*5=20分）13．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】已知双曲线C ：右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，(0,2)M ，则△PFM 周长最小值为 ．【解析】依题意，双曲线2,1c a ==，所以1F 为左焦点，1,,M P F 三点共线时，14．【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知圆C :228150x y x +++=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点 B C ，都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为 ．【答案】()229225x y +-=1413cos 9OT θ=-⨯=，∴圆T 方程为()229225x y +-=.16．【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中考查】如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．（三）解答题（10+5*12=70分）17．【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】已知椭圆Γ：（0a b >>）的右焦点为，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点1F ，2F的距离之和为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l ：y x m =+（m R ∈）与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且0(,2)P x 满足||||PA PB =，求0x 的值．【解析】（1，∴2224b a c =-=，∴椭圆Γ的（2得22463120x mx m ++-= ①∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴223616(312)0m m ∆=-->，得216m <，，解得2m =±．据题意知，点P 为线段AB 的中垂心与直线2y =的交点，设AB 的中点为00(,)E x y ，则，此时，线段AB 的中垂，得03x =-．当2m =-时，，即1y x =-+．令2y =，得01x =-．综上所述，0x 的值为3-或1-．18．【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离多1． （1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l与曲线C 交于D ，E 两点，若||8DE =，求点M 的坐标． 【解析】（1）由题意可知，点P 到点F 和到直线1x =-的距离相等，故曲线C 是顶点为原点，点F 为焦点的抛物线，设曲线C 的方程为22(0)y px p =>，即2p =,故曲线C 的方程为24y x =．（2∵直线MA ，MB 的倾斜角互补，∴MA MB k k =-，即1202yy y +=-，∴，故直线l 的方程为，代入24y x =得，2222000(216)0y x y x y -++=，∴解得02y =±，故点M 的坐标为(1,2)或(1,2)-．19．【河南省豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线1l :2x =-的距离为1d ，到点(1,0)F -的距离为2d ，直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒. （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设(,)P x y ，，，∴椭圆C 的方程为（2）(0,1)A ，(1,0)F -∴，又∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，:1(1)1BF y x x =-+=--.得0,1,x y =⎧⎨=-⎩（舍）即直线l 的方程为（3）解法一：∵180OFA OFB ∠+∠=︒，∴0AF BF k k +=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB方程为y kx b =+.代直线AB 方程y kx b =+入∴()()()()()()1221121211=22kx b x kx b x kx x k b x x b+++++++++∴20b k -=， ∴直线AB 方程为()2y k x =+，直线l 总经过定点()2,0M -.解法二：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点1B 在直线AF 上.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，'22(,)B x y -，直线AF 方程为(1)y k x =+.，令0y =，得又∵()111y k x =+，()221y k x -=+，∴.∴直线l总经过定点()2,0M -.20．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】已知椭圆，两焦点分别为12F F 、，过1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，且2MF N ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(),0P m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C 于A B 、两点，求弦长【解析】（1 48a =，所以．又222b a c =-，所以1b =，即椭圆C 的方程为（2，设切线l 的方程为()(),0y k x m k =-≠，由()22222148440k xk mx k m +-+-=．设()()1122,,A x y B x y 、，则()()42222264161444480km k k m k ∆=-+-=>．由过点()(),01P m m ≠±的直线l 与圆221x y +=相切得2．21．【河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中】已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于,A B 两点，求 【解析】（1）设圆C 的方程为：()()2220x a y r r -+=>，因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()2222211a r a r⎧=⎪⎨--+=⎪⎩．解得1,1a r =-=．所以圆C 的方程为()2211x y ++=． （2）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤，由圆C 和圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作的两条切线的斜率必存在，设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以，因为,PA PB 是圆C 的切线，所以12,k k 满足，即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，因为()220044y x =--，所以由026x ≤≤，可知()0f x 在22．【2017届陕西西安铁一中高三上学期三模】已知定点()0,1M 和直线1-=x 上的动点()t N ,1-，线段MN 的垂直平分线交直线t y =于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（I ）求曲线E 的方程；（II ）直线)0(≠+=k b kx y 交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点B A ,，点B 关于x 轴的对称点为P ，点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：Q P A ,,三点共线.【解析】（I ）由题意可知：RM RN =，即点R 到直线1-=x 和点M 的距离相等，根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点. 设R 的轨迹方程为：所以R 的轨迹方程为：x y 42=.。
2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题5第3讲圆锥曲线中的综合问题含答案
第3讲圆锥曲线中的综合问题最值、范围问题共研典例类题通法圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．（2016·合肥第二次质量检测)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为错误!.(1)求椭圆C的方程;（2）若直线y＝kx＋1与曲线C交于A,B两点，求△OAB面积的取值范围．【解】(1）设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1(a>b>0），由条件可得a＝2，c＝错误!，b＝1，故椭圆C的方程为错误!＋x2＝1.(2)设A(x1,y1），B（x2，y2)，由错误!得,(k2＋4）x2＋2kx－3＝0,故x1＋x2＝－错误!，x1x2＝－错误!,设△OAB的面积为S，由x1x2＝－错误!〈0，知S ＝错误!（｜x 1｜＋|x 2｜)＝错误!|x 1－x 2|＝错误!错误!＝2错误!，令k 2＋3＝t ,知t ≥3,所以S ＝2错误!.对函数y ＝t ＋错误!（t ≥3)，知y ′＝1－1t2＝错误!〉0， 所以y ＝t ＋1t在t ∈[3，＋∞)上单调递增， 所以t ＋错误!≥错误!,所以0〈错误!≤错误!，所以S ∈错误!。
求解范围、最值问题的五种方法解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等),建立目标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解．（1）利用判别式来构造不等式,从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;（3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4）利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围;(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．［跟踪训练］（2016·江西重点中学4月联合考试)已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(0<b<2）的离心率为错误!，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B(如图所示)，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2,设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且错误!＝错误!错误!。
2017年高考数学(理)一轮复习精品资料 专题53 圆锥曲线的综合问题(教学案) 含解析
圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低,但在第（2)问或第（3）问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．高频考点一圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的离心率为错误!，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1。
（1)求椭圆C的方程；(2）设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，点P是直线x＝1上的动点,直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N。
求证：直线MN经过一定点．联立得错误!即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，(8分）可知－2x M＝错误!，所以x M＝错误!，则错误!同理得到错误!（10分)由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0），又k MQ＝错误!，k NQ＝错误!，k MQ＝k NQ，所以化简得（8m－32）t2－6m＋24＝0，令错误!得m＝4，即直线MN经过定点（4，0）．(13分)探究提高（1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．（2）定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图,已知双曲线C:错误!－y2＝1（a〉0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA （O为坐标原点)．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P(x0,y0)(y0≠0）的直线l：错误!－y0y＝1与直线AF 相交于点M,与直线x＝错误!相交于点N。
2017年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。
2017届高三数学二轮复习(通用版)第一部分课件 重点保分题题型专题(十七) 圆锥曲线的方程与性质
第三页，编辑于星期六：一点 十四分。
法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，
第二十页，编辑于星期六：一点 十四分。
[典例] (2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y ＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p＞0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.
(1)求||OOHN||； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由．
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方
程为( )
A.x82＋y62＝1
B.1x62 ＋y62＝1
C.x82＋y42＝1
D.1x62 ＋y42＝1
第六页，编辑于星期六：一点 十四分。
解析：选 A 设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由点(2， 3)在椭圆上得a42＋b32＝1 ①. 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，ac＝12 ②. 又∵c2＝a2－b2 ③，联立①②③得 a2＝8，b2＝6. 即椭圆方程为x82＋y62＝1.
第一页，编辑于星期六：一点 十四分。
[典例] (1)(2016·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则
金版教程2016高考数学文二轮复习课件：1-5-3-2 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
易知，点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(－x2，y2)． 又 kQA＝y1x－1 2＝kx1x－1 1＝k－x11， kQB′＝y－2－x22＝kx－2－x21＝－k＋x12＝k－x11， 所以 kQA＝kQB′，即 Q，A，B′三点共线． 所以||QQAB||＝|Q|QBA′| |＝||xx12||＝||PPAB||.
由已知 Δ＞0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0. 则 x1＋x2＝41k＋k－2k12，x1x2＝21k＋k－2k22. 从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAP＋kAQ＝y1x＋1 1＋y2x＋2 1＝kx1＋x12－k＋kx2＋x22－k＝2k＋(2－k)x11＋x12＝2k＋(2－k)x1x＋1x2x2＝2k＋(2－ k)·42kkkk－ －12＝2k－2(k－1)＝2.
第二十页，编辑于星期日：二十一点 三十四分。
[2015·课标全国卷Ⅱ]已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22，点(2， 2)在 C 上． (1)求 C 的方程； 解 (1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1， 解得 a2＝8，b2＝4. 所以 C 的方程为x82＋y42＝1.
大二轮·文
第一页，编辑于星期日：二十一点 三十四分。
第一编 专题整合突破
第二页，编辑于星期日：二十一点 三十四分。
专题五 解析几何
第三页，编辑于星期日：二十一点 三十四分。
第三讲 高考中的圆锥曲线(解答题型)
第四页，编辑于星期日：二十一点 三十四分。第Βιβλιοθήκη 课时 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
则(*)变为 3x2－4mx＋2m2－4＝0，
2017届高三数学高考二轮复习(书讲解课件)第一部分 专题五 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)
第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)
考点三
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练 上页 下页
试题
解析
考点一 考点二 考点三
(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又点 P 的坐标为(0,1)，且P→C·P→D＝－1，
1－b2＝－1， 于是ac＝ 22，
第十九页，编辑于星期六：一点 十七分。
第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)
课前自主诊断 课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
考点一
试题 解析
考点一 考点二
考点三
(1)依题意 e＝ca＝ 23， 过焦点 F 与长轴垂直的直线 x＝c 与椭圆xa22＋by22＝1 联立解得弦长为2ab2＝1， 所以椭圆的方程为x42＋y2＝1. (2)证明：设 P(1，t)，
第十二页，编辑于星期六：一点 十七分。
第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)
考点三
课前自主诊断 课堂对点补短 限时规范训练 上页 下页
考点一
考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评
价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
第三页，编辑于星期六：一点 十七分。
第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)
课前自主诊断
考点一
考点一 考点二
考点三
(2)由(1)知 F(1,0)， 设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)， 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由 xD>0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2,0)． 故直线 AB 的斜率 kAB＝－y20. 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b， 代入抛物线方程得 y2＋y80y－8yb0 ＝0， 由题意 Δ＝6y420 ＋3y20b＝0，得 b＝－y20.
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题12-圆锥曲线的综合问题
专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级 姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A⊥PF ，则点P 的坐标为 ．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12． 二、方法联想1．椭圆上一个点问题 （1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解． （2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 AB ＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜． F 1 F 2O xyBC A方法3 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法4 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． 答案：（1）椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（2）略．〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念． 2．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径． 3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程． 二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M ，N 的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T 的坐标（x ，y ），利用两条直线方程，把M 或N 点的坐标表示出来，x y OTMP QN再代入椭圆方程，得出关于x ，y 的方程．本题解法二的计算量相对小一点．例2 如图，A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若椭圆C 的离心率为12，且右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标． 答案：（1）椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1．（2）R 点的坐标为（－12，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．k MA k MB ＝－b 2a2．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系． 二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22x ＋1 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：（1）椭圆的基本量计算．（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：（1）问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．（2）问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD →转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．四、反馈练习1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________. 答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ________.答案：x 24－y 25＝1（考查：双曲线中的基本量的计算） 6．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________. 答案：32 （考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率) 10．已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案：x 2－y 23＝1 （考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x .（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点） 13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程． 答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2.（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
《金版新学案》高三数学一轮复习高考总复习测评卷 圆锥曲线方程 章末质量检测 (理)
《金版新学案》高考总复习配套测评卷 ——高三一轮数学『理科』卷(八)圆锥曲线方程————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)、(7，0)B ．(0，－7)、(0，7)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)2．若拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(1,0)3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，拋物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－125．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2 36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( )A.22 B ．±22 C.12D ．±127．如图所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积为ab π，过坐标原点的直线l 、x 轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s 、t ，则s 关于t 的函数图象大致形状为图中的( )8．椭圆x225＋y216＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点M 满足|M |＝1，·＝0，则|M |的最小值为( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 29．两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是4.若a >b ，则双曲线x 2a －y 2b＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±24xD ．y ＝±22x10．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977D.9411．直线l 过抛物线C ∶y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．直角或钝角 12．已知点F 为双曲线x 216－y 29＝1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5,1)，则4|MF |＋5|MA |的最小值为( )A ．12B ．20C ．9D ．1613．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·，则动点P 的轨迹C 的方程是________．14．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________．15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M ·＝0，则离心率e 的取值范围是________．16．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为22，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形；③抛物线x ＝2y 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0；④双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y ＝±57x .其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.求椭圆及双曲线的方程．18．(本小题满分12分)若一动点M 与定直线l ：x ＝165及定点A (5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设所求轨迹C 上有点P 与两定点A 和B (－5,0)的连线互相垂直，求|PA |·|PB |的值． 19．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．21.(本小题满分12分)如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点．(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围；(3)求证；直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．22．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C 的方程为y 2a2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A 是椭圆C 的短轴左顶点，过A 点作斜率为－1的直线交椭圆于B 点，点P (1,0)，且BP ∥y 轴，△APB 的面积为92.(1)求椭圆C 的方程； (2)在直线AB 上求一点M ，使得以椭圆C 的焦点为焦点，且过M 的双曲线E 的实轴最长，并求此双曲线E 的方程．答案： 一、选择题1．C c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，c ＝5.2．B 根据p 的几何意义可知p ＝4，故焦点为(2,0)．3．D 依题意得e ＝2，拋物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116，选D.4．D 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21，所以OP 的斜率k 2 ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1， 所以k 1k 2＝－12.5．A 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.6．B 由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22得a 2＝2b 2，设交点的纵坐标为y 0，则y 0＝kb ，代入椭圆方程得b 22b 2＋k 2b 2b2＝1，解得k ＝±22，选B. 7．B 根据椭圆的对称性，知s ＋t ＝12ab π，因此选B.8．B 依题意得F (3,0)，MF ⊥MP ，故|M |＝|P F →|2－|M F →|2＝|P F →|2－1，要使|M |最小，则需|P |最小，当P 为右顶点时，|P |取最小值2，故|M |的最小值为3，选B.9．B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10ab ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2(a >b )．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x＝±12x (在这里注意a ，b 与双曲线标准方程中的a ，b 的区别，易由思维定势而混淆)．10．D 设椭圆短轴的一个端点为M . 由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b . ∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7得y 2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－716＝9216，∴|y |＝94.即P 到x 轴的距离为94.11．B 如图，由抛物线定义可知AA 1＝AF ，故∠1＝∠2，又AA 1∥x 轴，故∠1＝∠3，从而∠2＝∠3，同理可证得∠4＝∠6，故∠A 1FB 1＝∠3＋∠6＝12×π＝π2， 故选B.12．C 由题意可知，a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴e ＝54，右准线方程为x ＝165，且点A 在双曲线张口内．则|MF |＝e ·d ＝54d (d 为点M 到右准线的距离)．∴4|MF |＋5|MA | ＝5(d ＋|MA |)，当MA 垂直于右准线时，d ＋|MA |取得最小值，最小值为5－165＝95，故4|MF |＋5|MA |的最小值为9. 二、填空题13．.【解析】 设点P (x ，y )则Q (－1，y )，由·＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x .故填y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x14．【解析】 双曲线x 24－y 25＝1的中心为O (0,0)，该双曲线的右焦点为F (3,0)，则拋物线的顶点为(0,0)，焦点为(3,0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x .【答案】 y 2＝12x 15．【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，则＝(x ＋c ，y )，＝(x －c ，y )． 由·＝0，得 x 2－c 2＋y 2＝0.①又由点M 在椭圆上，得y 2＝b －b 2x 2a 2，代入①，解得x 2＝a 2－a 2b 2c2.∵0≤x 2≤a 2，∴0≤a 2－a 2b 2c 2≤a 2，即0≤2c 2－a 2c 2≤1，0≤2－1e2≤1.∵e ＞0，解得22≤e ≤1.又∵e ＜1， ∴22≤e ＜1. 【答案】 [22，1) 16．【解析】 对①，(x －1)2＋y 2＝0，∴x ＝1，y ＝0， 即表示点(1,0)．对②，若e ＝c a ＝22，则b ＝c .∴两焦点与短轴两端点构成正方形．对③，抛物线方程为y 2＝12x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0.对④，双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y 7±x5＝0，即y ＝±75x .【答案】 ②③ 三、解答题17．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)则根据题意，双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1且满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝452a 2＋b 2＝234解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2＝9∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程x 225－y 29＝118．【解析】 (1)设动点M (x ，y )，根据题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －165(x －5)2＋y 2＝45， 化简得9x 2－16y 2＝144，即x 216－y 29＝1. (2)由(1)知轨迹C 为双曲线，A 、B 即为C 的两个焦点，∴|PA |－|PB |＝±8.①又PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝100.②由②－①2得|PA |·|PB |＝18.19．【解析】 (1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ， 得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1.∵|AB |＝8611，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0， ∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1311，－211.假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴x 0＝1511.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，0，∴|CD |＝2211. 又∵|CD |＝32|AB |＝12211， 故矛盾，∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形． 20．【解析】 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由· ＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16＞0， 故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由＝λ1，＝λ2，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，∴λ1＋λ2＝－2－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＝－2－2m·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.21．【解析】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b 9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2＝2，所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1(2)∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ， ∴直线l 方程为： y ＝13x ＋m 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋m x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0∵直线l 交椭圆于A 、B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2(9m 2－18)>0⇒－2<m <2 m 的取值范围为－2<m <2，且m ≠0.(3)证明：设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2， 则问题只需证明k 1＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－3，k 2＝y 2－1x 2－3.由2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0得x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝92m 2－9.又y 1＝13x 1＋m ，y 2＝13x 2＋m ，代入k 1＋k 2＝(y 1－1)(x 2－3)＋(y 2－1)(x 1－3)(x 1－3)(x 2－3)，整理得k 1＋k 2＝ 23x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)＋6－6m (x 1－3)(x 2－3)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫92m 2－9＋(m －2)(－3m )＋6－6m (x 1－3)(x 2－3)＝0∴k 1＋k 2＝0，从而直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形．22．【解析】 (1)S △APB ＝12AP ·PB ＝92，又∠PAB ＝45°，AP ＝PB ，故AP ＝BP ＝3.∵P (1,0)，∴A (－2,0)，B (1，－3)．∴b ＝2，将B (1，－3)代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，1b 2＋9a2＝1，解得a 2＝12，∴所求椭圆的方程为y 212＋x 24＝1. (2)设椭圆C 的焦点为F 1，F 2，则易知F 1(0，－22)，F 2(0,22)，直线AB 的方程为x ＋y ＋2＝0，因为M 在双曲线E 上，要使双曲线E 的实轴最长， 只需||MF 1|－|MF 2||最大，∵F 1(0，－22)关于直线AB 的对称点为F 1′(22－2，－2)， ∴直线F 2F 1′与直线l 的交点为所求M . ∵F 2F 1′的方程为y ＋(3＋22)x －22＝0， ∴联立⎩⎨⎧y ＋(3＋22)x －22＝0，x ＋y ＋2＝0，得M (1，－3)，又2a ′＝||MF 1|－|MF 2||＝||MF 1′|－|MF 2||≤|F 2F 1′| ＝(22－2－0)2＋(－2－22)2＝26，故a ′max ＝6，b ′＝2， 故所求双曲线的方程为y 26－x 22＝1.。
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1.[2015·兰州双基过关]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．解 (1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，∴c ＝2，又∵e ＝c a ＝63，∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a 2b 2|PF 2|，即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则 x ＋2 2＋y 2＝3 x －2 2＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝⎛⎭⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝⎛⎭⎫3－522＋ 3－0 2＝372， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|.2.[2015·云南统测]已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋1＋x 2＋y 2－2x ＋1＝4，经过点(－1,0)作斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，l 与直线x ＝－4交于点D ，O 是坐标原点．(1)若OA →＋OD →＝2OB →，求k 的值；(2)是否存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)由x 2＋y 2＋2x ＋1＋x 2＋y 2－2x ＋1＝4得 x ＋1 2＋y 2＋ x －1 2＋y 2＝4>2.∴曲线C 是以F 1(－1,0)、F 2(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆． ∴曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12.∵直线l 经过点(－1,0)，斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． ∵直线l 与直线x ＝－4交于点D ，∴D (－4，－3k )． 设A (x 1，kx 1＋k )，B (x 2，kx 2＋k )．由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12y ＝k x ＋1 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.由OA →＋OD →＝2OB →得2x 2－x 1＝－4.由2x 2－x 1＝－4和x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2得x 1＝43＋4k 2，x 2＝－4＋8k 23＋4k 2.∵x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴43＋4k 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋8k 23＋4k 2＝4k 2－123＋4k 2，化简得4k 4－k 2－5＝0， 解得k 2＝54或k 2＝－1<0(舍去)．∴k 2＝54，解得k ＝±52.(2)由(1)知，A (x 1，kx 1＋k )、B (x 2，kx 2＋k )，x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∵OA →＝(x 1，kx 1＋k )，OB →＝(x 2，kx 2＋k )，OA →·OB →＝x 1x 2＋(kx 1＋k )(kx 2＋k ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2 ＝－5k 2－123＋4k 2<0，∴∠AOB >π2.∴不存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形.3.[2015·甘肃诊断]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解 (1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，∵DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵M 点的横坐标为1， ∴MA ⊥x 轴， ∵|MA |＝12|BD |，∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.4.[2015·南宁适应性测试(二)]已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. ∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′⎪⎪⎪x ＝k4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB .证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，∴m ＝k ，即l 1∥AB .(2)假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2， ∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫k 22－4× －1 ＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N .5.[2015·潍坊一模]已知点M 是圆心为C 1的圆(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点C 2(1,0)，若线段MC 2的中垂线交MC 1于点N .(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，O 为坐标原点，若OP →·OQ →＝μ，且23≤μ≤45，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由线段MC 2的中垂线交MC 1于点N ，得|MN |＝|NC 2|， 则|NC 1|＋|NC 2|＝|NC 1|＋|NM |＝22>|C 1C 2|＝2，所以动点N 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，以22为长轴长的椭圆， 故2a ＝22，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，得b 2＝1， 所以动点N 的轨迹方程为：x 22＋y 2＝1.(2)因为直线y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线， 所以|t |1＋k2＝1，即t 2＝k 2＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以Δ＝(4kt )2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8k 2>0， 即k 2>0，所以k ≠0，所以x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1·x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以y 1·y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1·x 2＋t ·k (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k 2，又t 2＝1＋k 2，所以x 1·x 2＝2k 21＋2k 2，y 1·y 2＝1－k 21＋2k 2所以OP →·OQ →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝1＋k 21＋2k2＝μ，又23≤μ≤45， 所以23≤1＋k 21＋2k 2≤45，即13≤k 2≤1， 又|PQ |＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1·x 2 ＝2·2 k 4＋k 24 k 4＋k 2＋1，令λ＝k 4＋k 2， 因为13≤k 2≤1，所以λ∈⎣⎡⎦⎤49，2，|PQ |＝22λ4λ＋1＝2·12－12 4λ＋1 在⎣⎡⎦⎤49，2上为递增函数．所以425≤|PQ |≤43.又因为直线PQ 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以点O 到PQ 的距离为1，所以S △OPQ ＝12|PQ |，即225≤12|PQ |≤23，故△OPQ 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤225，23.6.[2015·太原一模]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为4π3. (1)求a 、b 的值；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解 (1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2内切圆面积取最大值，设此时△PF 1F 2内切圆半径为r ，则πr 2＝4π3，r ＝233.此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，又∵S △PF 1F 2＝12·(|F 1F 2|＋|F 1P |＋|F 2P |)·r ＝233(a ＋c )，∴bc ＝233(a ＋c )，∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴b ＝23，a ＝4.(2)∵F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0，∴直线AC 与BD 垂直相交于点F 1，由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2,0)，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14， ②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，其方程为y ＝k (x ＋2)， 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2 x 216＋y212＝1， 消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，∴|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24 k 2＋13＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．同理，由⎩⎨⎧y ＝－1kx ＋2x 216＋y212＝1，可得|BD →|＝24 k 2＋13k 2＋4，∴|AC →|＋|BD →|＝24 k 2＋1 4k 2＋3＋24 k 2＋13k 2＋4＝168 k 2＋1 23k 2＋4 4k 2＋3，令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，∴|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2， ∵t >1，∴0<t －1t 2≤14，∴|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14. 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。