No.43解直角三角形的应用 (3)
解直角三角形的应用ppt课件
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，
tan63°≈2.0， ≈1.73）
26.4 解直角三角形的应用
解：（1）∵MC=AB=10 cm，∠ACM=63°，
重 ∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan63°≈10×2.0=20（cm）.
难
题 答：AM 的长为 20 cm；
直接测量的物体高度或长度
26.4 解直角三角形的应用
归纳总结
考
点
（1）仰角和俯角是视线相对于水平视线而言的，可巧记
清
单 为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要
解
读 放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平
视线；（3）在解有关俯角、仰角的问题中，常作水平线或
铅垂线来构造直角三角形.
，
∴tan30°=
=
−
+
=
，解得
x=60 +90，经检验
x=60 +90 是原方程的解且符合题意，∴AB=（60 +90） m
，
26.4 解直角三角形的应用
变式衍生 3 某中学依山而建，校门 A 处有一坡角
重
难
题 α=30°的斜坡 AB，长度为 30 m，在坡顶 B 处测得教学
26.4 解直角三角形的应用
（2）如答案图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，则
重
难
题 DG=BH=30 m，DH=BG.设 BC=x m，
型
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，
突
破
∴AB=BC·tan45°=x m，
∴AH=AB-BH=（x-30） m，
最新人教版九年级全一册数学培优课件第88课时 解直角三角形的应用(3)——坡度
解：（1）如答图28-88-1，过点A作AD⊥HB交HB的延长线于点D. 则∠ADB=90°. 由题意，得i=1∶ AB=40 m，
∴
即BD＝ AD.
又∵AB2=AD2+BD2，∴402＝AD2+( 解得AD=20（m）. 答：山坡的高度为20 m.
AD)2.
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（2）如答图28-88-1，过点A作AE⊥GH于点E. 又∵AD⊥BH，GH⊥BH， ∴四边形ADHE是矩形. 由题意可知∠GAE=30°，BH=60 m， ∵BD＝ AD＝20 (m)，∴AE＝DH＝BH+BD=60+20 在Rt△AGE中，tan∠GAE＝
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解：（1）在Rt△CBD中，sin∠CBD= ∴CD=BC·sin∠CBD≈10×0.21=2.1（m）. 答：坡高CD约为2.1 m.
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（2）在Rt△CBD中，cos∠CBD= ∴BD=BC·cos∠CBD≈10×0.98=9.8(m). 在Rt△CAD中，tan∠CAD=
∴AD=
为（ A ） A. 75 m
B. 50 m
C. 30 m
D. 12 m
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B组 7. 如图1-28-88-9，扶梯AB的坡比为1∶2，滑梯CD的坡比为1∶
若AE=40 m，BC=30 m，某人从扶梯上去，经过顶部BC，再 沿滑梯滑下，共经过多少路径（结果精确到0.1 m)？(参考数据 ：
≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
≈23.33(m).
∴AB=AD－BD≈23.33－9.8≈13.5(m). 答：斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5 m．
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C组 9. 如图1-28-88-11，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部 点H左侧水平距离60 m的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i=1∶ 山坡坡底点B到坡顶A的距离AB=40 m，在坡顶A处测得铁塔顶点G 的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）． （1）求山坡的高度； （2）求铁塔的高度GH（结果保留根号）.
解直角三角形的应用ppt课件
A
DF 30°
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
7
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h.
l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有 i＝ h = tan a.
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01)
2.0
C
D
1:2.5 1:2
A
B
E
F
17
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
18
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
19.4.6
15
作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知
DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.
在Rt△ADE中，因为 i DE 4.2 tan 32
AE AE
所以 AE 4.2 6.72(米)
在Rt△BCF中，同理可得
tan 32
BF 4.2 7.90(米) tan 28
移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标
系．
y/km
北
A
东
C
x/km
O
第二十八章 第7课 解直角三角形的应用(3)
(1)
答案图 (2)PB＝ 2PO＝80 2≈113(海里) 北偏西 45°方向，距离 B 处 113 海里处
4．如图，在东西方向的海岸线 MN 上有 A、B 两艘船，均收到 已触礁搁浅的船 P 的求救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 60°方向，船 P 在船 B 的北偏西 35°方向，AP 的距离为 30 海里．求 PB 的长．(精确到 0.1 海里，参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
约 36 海里/小时 提示：过 P 作 PC⊥AB 于 C PC＝PA·sin∠PAC ＝40×2×sin40°＝51.2(海里) PB＝siPn4C5°＝512.2≈71.68(海里)
2 ∴712.68＝35.84≈36
1．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔 船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏 东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东 60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距 离为多少海里？ (取 3≈1.7，结果精确到0.1海里)．
解：(1)作CE⊥BA，交BA延长线交于点E. 答案图
∴由题意可知∠EAC＝53.2°. 在Rt△ AEC中，sin∠EAC＝EACC，∴EC＝800(m) ∴S△ ABC＝21AB·EC＝12×1400×800＝560 000(m2) ∴△ABC的面积为560 000平方米．
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则DF∥CE. ∵D为BC中点，∴DF＝12EC＝400(m)，且F为BE中点 ∵AE＝AC·cos53.2°≈600(m)，∴BE＝BA＋AE＝2000(m) ∴AF＝EF－AE＝21BE－AE＝400(m) 由勾股定理得AD＝ AF2＋DF2 ＝ 4002＋4002 ＝400 2 ≈565.6(m) ∴A、D间的距离为565.6米．
解直角三角形的应用3-坡度课件
02
坡度在生活中的应用
道路修建中的坡度
道路的坡度决定了车辆行驶的 稳定性和安全性。
适当的坡度可以减少车辆的摩 擦阻力，提高道路的通行效率。
在山区或丘陵地带，道路修建 需要合理规划坡度，以确保车 辆能够安全、顺畅地行驶。
桥梁设计中的坡度
桥梁的坡度设计关乎到桥面排水和行车安全。
在河流、峡谷等跨越障碍物的地方，桥梁的坡度设计需要充分考虑地形、水文等因 素。
应用
通过测量斜边和其中一条直角 边的长度，利用三角比计算锐 角的度数，进而求得坡度。
04
坡度计算的实例分析
实例一：道路修建中的坡度计算
确定道路起点和终点的坐标
根据道路规划图，确定道路起点的坐 标（x1, y1）和终点的坐标（x2, y2）。
计算斜边长度
利用勾股定理计算斜边长度c。
计算坡度
根据斜边长度和垂直距离h，利用坡 度公式计算坡度i。
坡度i。
根据计算得到的坡度i，结合屋 面材料和设计规范，确定屋面
的坡度和排水方式。
05
总结与展望
解直角三角形在坡度计算中的应用总结
坡度概念
坡度是描述斜坡倾斜度的一种方式，通常用角度或比例来 表示。在解直角三角形中，坡度可以通过对边和邻边的比 值计算得出。
实际应用
解直角三角形在坡度计算中有广泛的应用，例如在道路建 设、水利工程、土地测量等领域中，需要利用解直角三角 形的方法来计算斜坡的角度和倾斜度。
在几何学中，斜率是直线或曲 线的倾斜度的量度，通常用比 值或比例来表示。
对于直线，斜率等于直线上任 意两点的纵坐标之差与横坐标 之差的比值，即 $text{斜率} = frac{Delta y}{Delta x}$。
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
4.3解直角三角形的应用3湘教版
五、（2003.哈尔滨）今年入夏以来，松花江哈尔滨段 水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江 某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东 60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北 偏东45°方向上，在以航标C为圆心，120米长为半径 的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有 被浅滩阻碍的危险？
九、甲、乙两只渔船同时从O港出海捕鱼，甲船以 15√2 km/h的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以 15km/h的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达A 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速 （匀速）沿北偏东75°方向追赶，结果两船在B处相遇， 甲船从A处追赶乙船用了多少时间？追赶速度是多少？
八、2005年哈市人民经历一次重大考验， 由于吉林石化厂爆炸造成了松花江水污 染，市政府采取果断措施停水4天，全市 人民同心协力渡过了难关。11月23日某 观测点观测到污染团上午10点到达位于 观测点南偏东60°的四方台镇取水口， 污染团继续沿松花江向正北方向移动， 速度大约是2公里/小时，在晚上7时到达 防洪纪念塔，该塔位于观测点北偏东 45°的松花江畔，求观测点到防洪纪念 塔的距在C、D两处测得山顶A的仰角分 别为30°和45°，若CD=100米，求山 高AB。
一、如图，山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得 地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A 的俯角β=45°，已知塔高BC=60米，求山高。
二、（2004.哈尔滨）如图，在测量塔高AB时， 选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D 两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别为30° 和60°，已知测量仪器高CE=1.5米，CD=30米， 求塔高（答案保留根号）
三、为响应哈尔滨市人民政府“形象重于生命” 的号召，在甲建筑物上从C点到E点挂一长为30 米的宣传条幅，在工地建筑物顶部A点测得条幅 顶端C的仰角为45°，测得条幅底端E的俯角为 30°，求底部不能直接到达的甲乙两建筑物之间 的水平距离BD？（答案可保留根号）
解直角三角形及其应用
01 Chapter定义30度45度60度030201特殊角的三角函数值03利用三角函数分析物理现象01利用三角函数求解直角三角形02利用三角函数制作图表三角函数的应用02 Chapter直角三角形锐角三角形钝角三角形定义利用勾股定理利用三角函数利用面积法解直角三角形的方法几何学在工程学中，解直角三角形被广泛应用于测量、设计和建造建筑物和桥梁等结构。
工程学物理学应用03 Chapter面积三角形面积定义一般三角形面积计算公式直角三角形面积计算公式计算公式为进一步计算三角形周长、判断三角形形状等提供基础数据。
应用数学学科中实际生活中04 Chapter01 020102构。
架等。
梁、道路等。
05 Chapter三角形全等如果两个三角形完全相同，即它们的对应边和对应角都相等，则称这两个三角形全等。
全等符号在数学中，我们用“≌”表示两个三角形全等。
定义01020304边边边定理（SSS）角边角定理（ASA）边角边定理（SAS）角角边定理（AAS）判定方法应用证明几何命题全等三角形是证明几何命题的有力工具，通过证明两个三角形全等，可以得到一些线段或角相等的关系。
计算距离在解直角三角形中，全等三角形可以帮助我们计算距离、高度、角度等。
构造全等在数学竞赛中，常常需要构造全等三角形来解决问题。
06 Chapter定义相似三角形相似比定义法两角对应相等两边对应成比例且夹角相等平行线分线段成比例判定方法测量可以利用相似三角形的原理进行距离、高度的测量和计算。
证明利用相似三角形的性质可以证明一些几何命题，如等腰三角形的判定、直角三角形的勾股定理等。
建筑设计在建筑设计中，可以利用相似三角形的原理进行构图和设计。
应用THANKS。
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用例1：有一块三角形余料，三个角均为锐角，三边分别为a ，b ，c ，且满足a ＞b ＞c ，现要把它加工成正方形的半成品，使其四个顶点都在三角形边上，问两个顶点放在哪一边可使得正方形的面积最大？解：设ΔABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别为h a 、h b 、h c ，在各边上的正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ，ΔABC 的面积为S ，则由于ΔAPQ ∽ΔABC ， 可得a a a a h x h a x -=，整理得x a ＝aa a h a s h a ah +=+2 同理得xb ＝a h b s +2，xc ＝ah c s +2 用比差法比较x a ，x a 的大小，x a －x b ＝))(()]()[(222b a a a a a h b h a h h a b s h b s h a S ++-+-=+-+ ＝))(()1)(sin (2))(()]sin sin ()[(2b a b a h b h a c b a s h b h a c b c a a b s ++--=++-+- ∵ sin c －＜0，a ―b ＞0∴ x a －x b ＜0，同理，x a －x c ＜0，∴x a ＜x b ＜x c∴ 在最小边C 上的内接正方形的面积最大．例2．已知a ，b ，c ，为ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，当m>0时，关于x 的方程b(x 2＋m)＋c(x ―m)―2m ax ＝0，有两个相等的实数根，且sinC ·cosA ―cosC ·sinA ＝0，试判断ΔABC 的形状．解：(a ＋c)x 2―2m a x ＋m(b ―c)= 0∵ 关于x 的方程有两个相等的实数根∴ Δ＝B 2－4AC ＝(―2m a)2－4m(b ＋c)(b －c)＝4m(a 2―b 2＋c 2)＝0∵ m ＞0∴ a 2―b 2＋c 2＝0∴ b 2＝a 2＋c 2∴ ΔABC 为直角三角形，且∠＝90°，∴∠A 与∠C 互余，∴ cosA ＝sinC ，cosC ＝sinA ．∵ sinC •cos A －cosC•sin A ＝0＝sin 2C=sin 2A∴∠C ＝∠A ，∴a ＝CABC 为等腰直角三角形例3．ΔABCD 中，∠A ＝60°，最大边与最小边的长分别是方程3x 2―27x ＋32＝0的两实根，求ΔABC 的内切圆的面积．解：∵三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠A ＝60°，∠A 必须是最大边与最小边的夹角，设大边为c ，小为b ，由韦达定理b ＋c ＝9，bc ＝332． ∵S ΔABC ＝21b ·h ＝21b ·csin A ＝21×332×33823= 过点C 作CD ⊥AB 交AB 于∵∠ACD ＝30°，∴AD ＝21AC ＝21b CD ＝2322=-AD AC b BD ＝AB －AD ＝C －21b, BC 2＝CD 2＋DB 2＝222123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b C b ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c) 2－3bc ＝81－3×332＝49 ∴a ＝BC=7设ΔABC 的内切圆半径为r ，圆心为0,∴S ΔABC ＝S ΔO AB ＋S ΔO BC ＋S ΔO CA∴ r ＝339733822=+⨯=++∆c b a S ABC ∴三角形内切圆面积S ＝πr 2＝π31332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 例4．在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，CD ＝m ，AD ＝n ，AB ＝p ，以BC 为直径作圆分别交AB 和AD 于E 和H 、F ，（1）求tg ∠DCF ＋tg ∠DCH 的值．（2）求证：tg ∠DCF 和∠DCH 是方程mx 2－nx ＋p ＝0的两个根．解：（1）连接CE ，AE ＝DC ＝m ，连结CF ，EH ，则∠DFC ＝∠CEH ，而∠CEH ＝∠AHE ，∴∠DFC ＝∠AHE ，∴Rt ΔAEH ≌Rt ΔDCFDF ＝AH, AF ＝DH∵tg ∠DCF=m DF DC DF =, tg ∠DCH mDH DC DH = (1) ∵AH ·AF ＝AF ·AB∴tg ∠DCF ·tg ∠DCH ＝m p mmp m AB AE m AF AH m DH DF ==⋅=⋅=⋅2222 ∴mx 2－nx ＋p ＝0例5．已知矩形的长大于的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．解：∵矩形ABCD 的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，∴AD ＞4，AB ＜2，根据题意，可分为以下两种情况第一种情况如（一）图当tg ∠BAE ＝21时，设CE ＝x ，BE ＝m ， 则AB ＝DC ＝2m ，AD ＝m ＋x ，∵AB ＋AD ＝6，∴2m ＋m ＋x ＝6，m ＝36x - S 梯形＝21(AD ＋EC)·DC ＝21[(m ＋x)＋x] ·2m =m(m ＋2x)＝9535636-=+⋅-x x x 2＋38x ＋4 其中3＜x ＜6，第二种情况如图二当tg ∠DAE ＝21时，在矩形ABCD 中，AD//BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴tg ∠AEB ＝21，∴tg ∠AEB ＝21，设CE ＝x, AB ＝CD ＝n ，则BE ＝2n ，AD ＝2n ＋x ，∵矩形的周长为12，∴AB ＋AD ＝6 ∴n ＋2n ＋x ＝6，n ＝36x - S 梯形ABCD ＝21 (AD+EC)·DC ＝21[(2n+x)+x]·n ＝(n+x)·n ＝9236326-=-⋅+x x x 2＋32x ＋4 其中0＜x ＜6例6．已知A 是⊙o 上一点，以A 为圆心作圆交⊙o 于B ，C 两点，E 是弦BC 上一点，连结AE ，并延长交⊙o 于D ，连结BD, CD 设∠BDC ＝2α（1）求证：BD ·CD ＝AD ·ED（2）若ED ∶AD ＝43cos 2α，求作一个以AD BD 和ADCD 为根的一元二次方程， 并求出BD ∶CD 的值．证明：（1）连结AB ，AC ，则AB ＝AC∴AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝α又∴∠BAD ＝∠BCD ∴ΔABD ∽ΔCED∴BD ∶ED ＝AD ∶CD BD ·CD ＝AD ·ED（2）在等腰ΔABC 中，作AF ⊥BC 于F ，F 为BC 的中点，BC ＝BF ＋FG ＝2FC ， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝α，∴FC ＝AC ·cos αCOS ，BC ＝2AC ·cos α在ΔABE 和ΔADB 中，∵∠ABE ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠BAE ，∴ΔABE ∽ΔADB ∴BD ∶AD=BE ∶AB同理ΔAEC ∽ΔACD ，∴CD ∶AD ＝ED ∶AC由（1）BD ·CD ＝AD ·ED ∴432==⋅=⋅AD ED ADFD AD AD CD AD BD cos 2α ∴x 2―2cos ·x ＋43cos 2α=0 解得x 1＝21cos α, 当BD ＜CD 时， 31cos 23cos 21:21===ααx x AD CD AD BD 当BD ＞CD 时，321==x x CD BD练习：1、已知方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是直角三角形的两个锐角的余弦值．（1）求证：m 2＝2n ＋1；（2）若P(m ，n)是一次函数y ＝―21x ―83图象上一点，求点P 的坐标．2、已知在ΔABC 中，若AC 和BC 边的长是关于x 的方程x 2―(AB ＋4)x ＋4AB ＋8＝0的两根，且25BC ·sinA ＝9AB ，DB 为半圆的直径，0为圆心，AC 切半圆于E ，BC 交半圆于F ，（1）求ΔABC 三边的长．（2）求AD 的长．3、已知ΔABC 内接于⊙o ，弦AE 交BC 于D（1）求证：DEAD BE AC CE AB =⋅ （2）如果AE 是直径，那么DE AD 与tgB 和tgC 具有什么关系？并简要说明理由。
解直角三形应用举例
解直角三形应用举例解直角三角形应用举例在我们的日常生活和实际工作中，解直角三角形的知识有着广泛的应用。
它不仅能帮助我们解决数学问题，还能在建筑、测量、导航等领域发挥重要作用。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入了解解直角三角形的实际应用。
想象一下，你站在一座高楼前，想要知道这座楼的高度。
这时，解直角三角形就能派上用场。
假设你在离楼一定距离的地方，测量出你与楼底部的水平距离，以及你仰望楼顶时视线与水平线的夹角。
通过这些测量数据，就可以利用解直角三角形来计算出楼的高度。
例如，你与楼底部的水平距离为 50 米，视线与水平线的夹角为 60°。
我们设楼的高度为 h 米。
在这个直角三角形中，水平距离是邻边，楼的高度是对边。
因为正切函数等于对边比邻边，所以 tan60°＝ h/50。
而 tan60°＝√3，所以 h ＝50√3 米。
通过这样简单的计算，我们就能知道楼的大致高度了。
再比如，在道路建设中，需要确定道路的坡度。
坡度就是坡面的垂直高度与水平距离的比值。
假设一段道路的垂直高度上升了 10 米，水平距离前进了 50 米，那么坡度就是 10/50 ＝ 02。
而这个坡度对应的角度可以通过解直角三角形来求得。
在测量领域，解直角三角形更是不可或缺的工具。
当测量人员需要测量不可直接到达的两点之间的距离时，他们会利用解直角三角形的原理。
比如，有一条河流，要测量河对岸两点 A 和 B 之间的距离。
测量人员可以在河的这一侧选取一点 C，然后测量出 AC 和 BC 与河岸的夹角，以及 AC 的长度。
通过这些数据，就能够计算出 AB 的长度。
假设测量得到∠ACB ＝ 60°，∠CAB ＝ 45°，AC ＝ 100 米。
首先，在三角形 ABC 中，因为∠CAB ＝ 45°，所以∠ABC ＝ 180° 60° 45°＝ 75°。
九年级数学解直角三角形的应用3
[单选]关于腕关节的描述中正确的是（）A.近侧关节面由桡、尺骨构成B.可做屈、伸、收、展及环转运动C.囊内有关节盘，位于桡骨下端的下面D.远侧关节面由大多角骨、小多角骨、头状骨及钩骨的近侧面构成E.远侧关节面由舟骨、月骨、三角骨及豌豆骨的近侧面构成 [单选]喷锚暗挖法二次衬砌应在（）后施工。A.初期支护变形稳定B.地层变形稳定C.隧道贯通D.防水层施工完成 [问答题,简答题]吸入GAFAC如何急救？ [单选]为明确上消化道大出血原因，首选的检查方法是（）A.上消化道造影B型超声检查C.纤维内镜检查D.选择性动脉造影检查E.胸片 [单选]利用设置在航道右侧的前后两个浮标导航，如航行中发现本船位于两标连线的右侧，表明本船（）。A．行驶在航道内，应保向航行B．已进入航道左侧的浅水区，应立刻向右转向C．已进入航道右侧的浅水区，应立刻向右转向D．已进入航道右侧的浅水区，应立刻向左转向 [单选]认为社会只是单纯的名称，只有个人才是真实的存在的是（）A．唯名论B．唯实论C．功能冲突D．冲突论 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关标准姿势的叙述，错误的是（）A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢，足尖外展 [单选]产后胎盘附着部位子宫内膜全部修复约需（）.A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周 [单选]外阴鳞状上皮增生的主要组织病理变化是()A．表皮层角化不全B．表皮层角化过度C．表皮层角化过度或角化不全D．表皮层角质栓塞E．棘层细胞规则增厚 [单选,A1型题]不属于正治法的是（）A.寒者热之B.热者寒之C.通因通用D.虚则补之E.实则泻之 [单选,A4型题,A3/A4型题]某男，从事放射性工作长达20年。近来主诉头痛、头晕、乏力。化验检查白细胞和血小板数量下降等症状采集病史时应考虑接触的有害因素为（）。A.噪声B.振动C.X射线和γ射线
解直角三角形及其应用
l
α为坡角
h
α
l
铅
α =tan
垂 线
仰角 俯角
水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
二、题型探究：
问题导入1： 直接考查解直角三角形知识 例 1 如图 X3－1，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，
AC＝2 3，求 AB 的长．
图 X3－1
例2： 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°；在A、C之间 选择一点B(A、B、C三点在同一直线上)，用测角仪测得塔 顶D的仰角为75°，且A、B间的距离为40 m.求塔高CD(结 果用根号表示)．
考点聚焦
归Hale Waihona Puke 探究回归教材三、综合运用
A
D
4
B
CQ E
总结：本节课你学到了那些知识？
作业：完成练习册P130-131(2，3，4， 5)
中考探究：
D A
B
C
专题复习 解直角三角形及应用
一、知识点回顾：
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 2.三边之间的关系:
直 a2+b2=c2
角 三 角
Ａ
sinA＝
a c
形
3.边角之间
cosA＝
b c
的关系
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
视线
h
（2）坡度 i ＝
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
3解直角三角第3课ok
§4.3 解直角三形及其应用(3)
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点 A
C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又
A
测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结
果精确到0.1m).
B
3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mmm).
（2若堤坝长150米。问建造这个堤坝需用多 少土石方精确到1立方米？
i1＝1∶3
i2=1∶2.5
例
体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45M 。在弯道处，以跑道离内侧0，3M处的弧线（图1-19中的 虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道 的内侧线半径为36M，问在设定A栏架后，B栏架离栏架 的距离是多少（ π 取3。14，结果精确到0。1M）。
解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b ∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得： a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB ∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
☆ 考点范例解析
C)(2)(4) D)(1)(2)(3) 解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型
数学篇数苑纵横解直角三角形在实际生活问题中的应用十分广泛，主要应用于测量距离、度量尺寸、测高或测角等方面.解答这类应用问题的一般步骤是：（1）弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；（3）寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.本文就三类解直角三角形的应用问题举例说明.一、仰角与俯角问题初中阶段的“俯角与仰角”问题主要是测量问题，如图1，其中的仰角是指从下向上看时，水平线与视线的夹角；俯角是指视线从上往下看时，水平线与视线的夹角.在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛.解答此类问题时往往要用到解直角三角形的知识点与“转化”思想.图1例1数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 前的椰子树CD 的高度．如图2，当无人机从位于楼底B 点与椰子树底D 点之间的地面F 点，垂直起飞到正上方50米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 和椰子树的顶端C 的俯角分别为30°和76°（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．已知楼AB 高44米，楼底端B 与椰树底D 的水平距离为20米．（1）填空：∠AEC ＝，∠ECD ＝；（2）求点E 到楼顶A 的距离AE ；（3）求椰树CD 的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00，3≈1.732)图2图3解：（1）如图3，延长DC 交GH 于点M ，由题意得：DM ⊥GH ，∴∠DME ＝90°，∵∠ECD 是△EMC 的一个外角，运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型重庆陈永安23数学篇数苑纵横∴∠ECD ＝∠EMC +∠MEC ＝166°，∵∠GEA ＝30°，∴∠AEC ＝180°-∠GEA -∠MEC ＝74°，故答案为：74°；166°；（2）如图3，延长BA 交GH 于点N ，由题意得：EF ＝BN ＝MD ＝50（米），∵AB ＝44（米），∴AN ＝BN -AB ＝50-44＝6（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，∴AE ＝2AN ＝12（米），∴点E 到楼顶A 的距离AE 为12（米）；（3）由题意得：BD ＝NM ＝20（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，AN ＝6（米），∴EN ＝3AN ＝63（米），∴EM ＝NM -NE ＝（20-63）（米），在Rt△EMC 中，∠MEC ＝76°，∴MC ＝EM ⋅tan 76°≈4×(20-63)=(80-243)（米），∴CD ＝MD -MC ＝50-(80-243)=243-30≈11.6（米），∴椰树CD 的高度约为11.6米．点评：解答仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.同时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．二、方向角问题方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角，一般表示为北(或南)偏东(或西)多少度，可借助十字坐标帮助理解，如图4.在实际生活中，方位角可以用来确定物体的位置；在示意图中，通过方位角确定几个物体的位置后，可以量出它们之间的距离，进而算出物体之间的实际距离.在解答有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系.有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角转化为所需要的角．图4例2如图5，某动物园熊猫基地D 新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A 、B 之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A 进入园区之后可步行到达点C ，然后可以选择乘坐空中缆车从C →D ，也可选择乘坐观光车从C →B →D ．已知点C 在点A 的北偏东45°方向上，点D 在点C 的正东方向，点B 在点A 的正东方向300米处，点D 在点B 的北偏东60°方向上，且BD ＝400米．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236）（1）求CD 的长度（精确到个位）；（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D ，应选择乘坐空中缆车还是观光车？图5图6解：（1）作CM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，24数学篇数苑纵横如图6，∵CD ∥AB ，∴四边形MBNC 是矩形，∴CM ＝BN ，CN ＝MB ，∵∠DBN ＝60°，∴BN ＝12BD ＝12×400＝200（米），∵tan∠NBD ＝DN BN =3，∴DN ＝2003（米），∵∠CAM ＝45°，∴△AMC 是等腰直角三角形，∴AM ＝CM ＝200（米），∴MB ＝AB -AM ＝100（米），∴CD ＝CN +ND ＝100+2003≈446（米）；（2）由勾股定理得到BC ＝MC 2+MB 2=1005（米），∴BC +BD ＝400+1005≈623.6（米），∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），∴应选择乘坐观光车．点评：本题考查了方向角问题以及勾股定理.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题．三、坡度、坡角问题坡度、坡角问题，涉及的知识点有:①坡角，如图7，坡角指坡面与水平面的夹角，记作α.②坡度，坡面的铅垂高度h 与水平长度l 的比，是坡面的坡度，记作i ，即i =hl，一般情况下坡度要写成1:n 的形式，如1:2.③坡度与坡角的关系为:坡度是坡角的正切值，即i =h l=tan α.坡度和坡角是两个相关概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用来衡量地势的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.例3如图8所示，已知BC 是水平面，AB 、AD 、CD 是斜坡．AB 的坡角为42°，坡长为200米，AD 的坡角为60°，坡长为100米，CD 的坡比i ＝1：22．（1）求坡顶A 到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD 的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，3≈1.73）图8图9解：（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图9所示.在Rt△ABE 中，∠B ＝42°，AB ＝200（米），则AE ＝AB ⋅sin B ≈200×0.70＝140（米），答：坡顶A 到水平面BC 的距离约为140米；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，DG ⊥AE 于G ，如图9所示.则四边形EFDG 为矩形，∴GE ＝DF ，在Rt△AGD 中，∠ADG ＝60°，AD ＝100(米)，则AG ＝AD ⋅sin ∠ADG ＝100×（米），∴DF ＝GE ＝AE -AG ＝53.5（米），∵CD 的坡比i ＝1：22，∴DF ：FC ＝1：22，∴DF ：CD ＝1：3，∴CD ＝3DF ＝160.5≈161（米），答：斜坡CD 的长度约为161（米）．点评:掌握坡度的概念和锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．图725。
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课题解直角三角形的应用(3) 课型新授
教学目标知识
与技能
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。
过程
与方法
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。
培养学生有数学的意识，渗透理论联系实际的观点。
情感
与态度
培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学
问题，提高学习数学的热情和积极性.
教学重点解决有关坡度的实际问题
教学难点理解坡度的有关术语（坡度i表示为1：m）
教具准备几何画板
教学过程
教师活动学生活动一、出示目标、明确目的
通过前面例题的教学，学生已基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问
题抽象为几何问题加以解决。
但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较
生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关
键是使学生理解坡度与坡角的意义。
二、结合图形、新知讲授
1、坡度与坡角（如图）
α
i ＝h ∶l
l h 24
教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。
即i ＝
l h ，坡度一般写成1∶m 的形式，如i ＝1∶5(或i ＝5
1)。
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。
引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？
答：i ＝l
h ＝αtan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固。
坡度越大，山坡越陡。
三、当堂练习、消化巩固
（1）一段坡面的坡角为60º，则坡度i ＝____ __；
（2） 已知一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为32，则坡度i ＝_____，坡角α＝______度。
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
（1）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明。
（2）坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明。
答：如图，铅直高度AB 一定，水平宽度BC 增加，α将变小，坡度减小，因为αtan ＝BC
AB ，AB 不变，αtan 随BC 增大而减小。
与（1）相反，水平宽度BC 不变，α角随铅值高度增大而增大，αtan 也
随着增大，因为αtan ＝BC
AB ，所以BC 不变时，αtan 随AB 的增加而增大。
四、合作探究、讲授新课
例1 如图，一山坡的坡度i ＝1∶1.8 ，小刚从山坡脚下点P 上坡走了240
米到达点N ，他上升了多少米？（精确到0.1米）？这座山坡的坡角是多少度（精
确到1′）
i ＝1∶3 i ＝1∶2.5 24
23
6F E
D C
B A
例2：如图：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，把底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1m ）
引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，梯形就被分割成Rt ⊿ABE ，矩形BEFC 和Rt ⊿CFD ，AD ＝AE ＋EF ＋FD ，AE 、DF 可在⊿ABE 和⊿CDF 中通过坡度求出，EF ＝BC ＝6m ，从而求出AD 。
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯。
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力。
解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，Rt ⊿ABE 、Rt ⊿CDF 中，
h
N M P
l
31=AE BE 5
.21=FD CF ∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)
FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)
∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)
因为斜坡AB 的坡度i ＝αtan ＝
31≈0.3333，查表得α≈62180' ∵αsin =AB
BE ∴3162
.023sin ==αBE AB ≈72.7(m) 答：斜坡AB 的坡角α约为62180'，把底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米。
再求AB 时，也可由3
1=AE BE 及勾股定理得出BE ∶AB ＝1∶10，所以AB ＝1023
≈72.7(米)。
五、课堂小结、升华提高
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力。
1、弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当的把实际问题转化为数学问题。
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。
3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。
4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。
六、作业布置、课外延伸
书P121 B练习书P126 C 教学后记：。