【考点训练】第19章四边形 19.3 梯形：梯形-1

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新人教版初中数学八年级下册 19.3梯形1(含答案)

19.3 梯形课型:新授主备: 审稿人:____________ 审定人:_____________ 班级:_______________ 学生姓名:________________[学习目标]１、掌握梯形的有关概念和性质２、梯形的有关分类[学习重点]梯形的性质。

[学习难点][情感目标]通过观察、实验、探究，猜想结论，并能积极的快乐的学习。

一、预习看书117—119页，用铅笔记下你的疑问和收获。

二、完成下列预习作业：１、回忆：平行四边形的性质和判定？矩形、菱形、正方形的性质和判定？２、梯形的定义____________________________________.在下面作一个梯形。

指出梯形的底（上底、下底）高，梯形的面积公式。

3、你学过哪些特殊的梯形？并且画一个。

观察一下有什么性质？用你所学过的知识证明你所得到的结论。

（1）等腰梯形的同一底边上的两底角相等。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

问题:_等腰梯形还有其它的性质吗？应该从哪些方面来了解他的性质？______________________________________________________________________________ 小组评价：_____________________________________________ 组长签字：__________ 三、合作探究，解决问题：（1）有两个角相等的梯形是 ______A、等腰梯形B、直角梯形C、一般梯形D、等腰梯形或直角梯形（2）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形和圆中，既是轴对称又是中心对称图形有___________A、6种B、5种C、4种D、3种（3）梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30度，∠C=45度AD=AB=8cm，求腰CD和下底BC的长度。

四、达标检测：1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD 的中点，则△ABE是_______A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形2、在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A:∠B:∠C:∠D可能为__________A、3:5:6:4B、3:4:5:6C、5:4:6:3D、6:5:4:33、下列命题是假命题的是_______A、等腰三角形的两条对角线相等B、对角线相等的四边形是等腰三角形C、等腰三角形是轴对称图形D、梯形的两底之和小于两对角线之和4、等腰梯形中上底：腰：下底=1：2：3，则下底角的度数为_____________5、如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8m,BC=17m, ∠C=70度，∠B=55度，求BC的长度。

19.3 梯形 (第1课时)等腰梯形和直角梯形

下列图形中有你熟悉的图形它们有什么共同特点吗？
人教版八年级（下册）
第十九章四边形
19.3 梯形（第1课时）
教学目标
知识与能力知道梯形,等腰梯形,直角梯形的有关概念,能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，通过添加辅助线,把梯形问题转化成平行四边行或三角形问题,会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力。
等腰梯形的性质1
等腰梯形同一底边上的两个角相等。
已知：在梯形ABCD中，AD ∥ BC， AB=DC。求证： ∠ B = ∠ C
证明方法2
证明：过A，D分别作AE⊥BC， DF⊥BC，垂足分别为点E，F。
因为AE⊥BC，DF⊥BC，
A
D
所以 AE
∥
DF。
因为AD ∥ BC，所以四边形AEFD是平行四边形。所以AE＝DF。
对角线等腰梯形的对角线相等对称性等腰梯形是轴对称图形对称轴是过上、
下底中点的直线
例1：如图，延长等腰梯形ABCD腰BA与 CD，相交于点E，求证∆EBC和∆EAD是等腰三角形。
证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
E
所以∠ B= ∠ C。所以∆EBC是等腰三角形。
A 1 2 D
因为AD∥BC，
3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
A
D
B
A
E
C
D
B
E
F
C
常用技巧
4.平移一条对角线作用：得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和.
D
练习1
A
E
A
C
D
B
5. 当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长与一个底的延长线相交。作用：可得△ADE≌△FCE, BF B 等于上、下底的和. 6. 当有一腰中点时，过中点作另一腰的平行线。作用：可得到平行四边形和全等三角形. B

梯形和四边形的知识点总结

梯形和四边形的知识点总结梯形和四边形是数学中常见的几何图形。

它们在我们的日常生活和工作中都有着广泛的应用，所以了解梯形和四边形的性质和特点对我们学习和工作都有着重要的意义。

梯形的定义梯形是一个四边形，它有两边是平行的，这两边被称为梯形的上底和下底。

其他两条边被称为梯形的腰。

梯形的上底和下底的长度不一定相等。

梯形的性质梯形的对角线互相平分，且它们的中点连线平行于上底和下底的中线。

梯形的相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。

梯形的上底和下底的中线等长。

梯形的面积等于上底和下底的平均数乘以梯形的高。

四边形的定义四边形是一个有四条边的几何图形。

四边形包括多种类型，如矩形、正方形、平行四边形、菱形等。

四边形的性质根据四边形的类型，它们有着不同的性质和特点。

下面我们来分别讨论矩形、正方形、平行四边形和菱形的性质。

矩形的性质矩形是一个有四条边的四边形，其中所有的内角都是直角。

矩形的对角线相等且互相平分。

矩形的相对边相等且互相平行。

正方形的性质正方形是一个特殊的矩形，它的所有边相等，且所有的内角都是直角。

正方形的对角线相等且互相平分，且对角线互相垂直。

平行四边形的性质平行四边形是一个有两对边互相平行的四边形。

平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的交点将平行四边形分成两个相等的三角形。

菱形的性质菱形是一个有四条边相等的四边形。

菱形的对角线互相平分，并且对角线互相垂直。

菱形也是平行四边形的特殊情况，其特点是四条边都相等。

应用梯形和四边形在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用。

在建筑工程、制图设计、商业建模、地理测量等领域都有梯形和四边形的身影。

在建筑工程中，梯形和四边形常常用于计算建筑物的面积以及规划建筑的布局。

在制图设计中，梯形和四边形也是常见的图形，在设计海报、名片、宣传册等时都需要使用到这些图形。

在商业建模中，梯形和四边形可以用于计算商铺的面积以及规划商业用地的布局。

在地理测量中，梯形和四边形常常用于测量地图上的面积和规划自然保护区的范围。

19.3 梯形(含答案)-

19．3 梯形一、选择题1．梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8 C．4：2：8：6 D．8：4：2：62．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，AC、BD相交于点O，•则图中面积相等的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．（2006·长沙）如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，•BC=8，则此等腰梯形的周长为（）A．19 B．20 C．21 D．22(1) (2)4．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形5．梯形的对角线（）A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分C．不相等D．不可能互相垂直6．在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若等腰梯形的两底之差等于一腰的长，那么它的下底角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°8．顺次连接等腰梯形各边中点，得到的四边形为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形9．下列命题中，真命题有（）①有两个角相等的梯形是等腰梯形;②有两条边相等的梯形是等腰梯形;③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分.A．1个B．2个C．3个D．4个(3) (4)10．（2006·天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、•BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm二、填空题11．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______，∠A=______．12．梯形ABCD中，AD∥CB，AB⊥BC，∠C=60°，BC=CD=4cm，则AD=______，AB=_____，S梯形ABCD=_______．13．直角梯形的一条腰长12cm，这条腰与上底的夹角为135°，则这个梯形的上、下底相差为______cm．14．（2006·湖北常德）等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，•则等腰梯形的下底角为________．15．（2006·河南课改）如图4，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B 的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=______km．16．•写出等腰梯形ABCD（••AB•∥CD）••特有而一般梯形不具有的三个特性：__________________________．三、解答题17．（2006·北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90•°，•∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=22．求：BE的长．18．（2006·河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．19．（2006·贵州课改）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，P•为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．（1）写出图中三对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择（1）中写出的全等三角形中任意一对进行证明．20．（2006·江苏南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E．求证：四边形ABFE是等腰梯形．21．已知梯形ABCD，其中AB∥CD．现要求添加一个条件，例如BC=AD，使梯形ABCD 是等腰梯形，那么除了BC=AD外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？•甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件：甲：∠A=∠B；乙：∠B+∠D=180°；丙：∠A=∠D；丁：此梯形是轴对称图形．哪些同学的条件符合要求？给种理由．能添加其他的一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？22．阅读材料：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD=12AC·BD．证明：∵AC⊥BD，∴1,21.2ACDABCS AC PDS AC BP∆∆⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩gg∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC·PD+12AC·BP=12AC（PD+PB）=12AC·BD．解答问题：（1）上述证明得到的性质可叙述为_______________．（2）已知：如图甲，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，•且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．（3）如图乙，用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，•并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？甲乙23．要剪切如图19-3-17所示的甲、乙两种直角梯形零件，•且使两种零件的数量相等，现有两种面积相等的矩形铁板，第一种长500mm，宽300mm，•第二种长600mm，•宽250mm 可供选用．（1）填空：为了充分利用材料，应选用第_____种铁板，•这里一块铁板最多能剪甲、乙两种零件共______个，剪下这几个零件后，剩余的边角料的面积是_____mm2．（2）画图：选出要用的铁板示意图，•在上面画出剪切线并把边角余料用阴影表示出来．答案:1．A 2．C 3．D 4．C 5．B6．A 点拨：正确的是②．7．B 点拨：平移一对角线，可得出等边三角形．8．C 点拨：由等腰梯形对角线相等可得出．9．B 点拨：真命题有③④．10．D 11．102°125°12．2cm 3cm 63cm213．214．60°15．316．AD=BC；∠A=∠B；∠C=∠D17．点拨：过D作DF⊥BC于F，在等腰Rt△DFC中，用勾股定理求出FC=2，所以BC=3，•在等腰Rt△BEC中，再由勾股定理求出BE=32218．解：△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C．∵E为BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，∵AB DCB C BE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形．∴AB=DE．∵AB=AD，∴AD=AE=DE．∴△ADE为等边三角形．19．解：（1）△APB≌△DPC，△ABE≌△DCF，△BEP≌△CFP，△BFP≌△CEP （2）假设是△ABP≌△DCP证明：∵PA=PD，∴P点在线段AD的中垂线上．又∵ADCB为等腰梯形，AD、BC分别为上下底，由对称轴可知P点也是在BC的中垂线上，∴PB=PC，∴△ABP≌△CDP．20．证明：过点D作DG⊥AB于G．在直角梯形ABCD中，∠DCB=∠CBA=90°，•∵∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形，∴DC=BG．又∵AB=2CD，∴AG=GB，∴DA=DB，∠DAB=∠DBA．又∵EF∥AB，AE与BF相交于D点，∴四边形ABFE是等腰梯形．21．解：甲、乙、丁三位同学的条件均符合要求．理由：甲从同一底上两个角进行限定．乙则从对角及邻角之间关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B+∠C=180°，从而可由∠B+∠D=180°，得∠C=∠D．• 丁则从对称性进行限定，这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．对于丙的限定，由于∠A+∠D=180°，故∠A=∠D=90°，从而梯形ABCD是直角梯形，可添加∠C=∠D或AC=BD．22．解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．（2）S梯形=25cm2．（3）∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴S梯形ABCD=12AC·BD=12AC2=800．∴AC=BD=40cm．答：竹条的长是40cm．23．解：（1）两块铁板的面积都是150000mm2，第一块铁板可剪出甲、乙零件各2•个，第二块铁板可剪出甲、乙零件各1个，为了充分利用铁板，故应选用第一种铁板，•最多能剪出甲、乙两种零件共4件，这时剩余的边角料的面积为[500×300-（100+300）•×200-（100+300）×150]mm2=10000mm2（2）如图所示剪切线，阴影部分为余料．。

19.3 梯形 (第2课时)等腰梯形的判定

1、如图，梯形ABCD中， AD∥BC，∠A与、如图，梯形中 ∥ ，与互补，是等腰梯形。 ∠C互补，求证：梯形互补求证：梯形ABCD是等腰梯形。是等腰梯形 D A D A
B
C E 第1题题第2题题 2、如图，四边形、如图，四边形ABCD由三个全等的等边由三个全等的等边三角形组成，它是一个等腰梯形吗？为什么？三角形组成，它是一个等腰梯形吗？为什么？
思考题：思考题：
如图，梯形如图，梯形ABCD中， AD∥BC，AB=CD，中 ∥ ，，对角线AC⊥ ，对角线 ⊥BD，AD=4，BC=10，，，求梯形ABCD的面积。求梯形的面积。的面积 A D
B
C
今日作业
第一组：课本P110习题第一组：课本P110习题 P110 10题第7题，第10题；第二组：课本P109习题第二组：课本P109习题 P109 课本P110 P110习题第第3题，课本P110习题第 7题；第三组：课本P108练习第三组：课本P108练习 P108 题第3 题第3题，第4题。
对角线
定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。命题：上两个角相等的梯形是等腰梯形命题：中 ∥ ，＝已知：已知：在梯形 ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C . E 求证：梯形ABCD是等腰梯形求证：梯形是等腰梯形 A 证明方法一方法一: 证明方法一：证明方法二方法二：证明方法二方法三：证明方法三 CD交于点证明方法三：交BC于点，过点A作、D两点作过点作AE∥ 两点作于点E，分别过A、分别过 ∥ 延长BA、延长、相交于点E， 1 所以∠ ，CD相交于点所以∠1 = ∠C 相交于点，。BC，垂足 AE⊥BC， DF⊥ ， ⊥ ⊥ 利用“等角对等边” ∠1=∠B．利用“等角对等边”分别证明． E E 因为∠ 、F 。所以∠ ∠ B 因为∠B=∠C，所以分别为E、分别为 ∠ ， EB=EC，EA=ED，所以AE＝AB． △ 所以， ABE≌，DCF即可。＝再证明△ 即可。再证明△ ． ≌ 即可从而得到AB=DC 。从而得到 ∥BC，又因为AD∥ ，又因为所以四边形AECD是平行四边形。是平行四边形。所以四边形是平行四边形所以AE＝。所以＝CD。所以AB=DC．所以．所以梯形ABCD是等腰梯形。是等腰梯形。所以梯形是等腰梯形 D

数学：19.3《梯形》达标训练(人教版八年级下)

数学：19.3《梯形》达标训练（人教版八年级下）基础·巩固1.如图19-3-16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）图19-3-16A.1对B.2对C.3对D.4对思路分析：根据等腰梯形的性质，结合全等三角形的判方法判断即可.△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,△AOB≌△DOC,共3对答案：C2.如图19-3-17，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,∠A=60°，AB=9，CD=5，BC的长是（）图19-3-17A.3B.4C.5D.6思路分析：过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，可得到AD=CE.又因为AD=BC,所以CE=BC.因为∠A=60°，所以∠CEB=60°，△CEB是等边三角形，可求得BC的长.过C点作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形，∴AD=CE,AE=CD=5.又∵AD=BC,∴CE=BC.∵∠A=60°，所以∠CEB=60°，即△CEB是等边三角形，∴BC=BE=AB-AE=9-5=4.答案：B3.如图19-3-18,在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数.图19-3-18思路分析：根据等腰梯形的知识，结合方程的思想，本题可易解得.解：∵AD=AB=DC，∴△ABD是等腰三角形，梯形ABCD是等腰梯形，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°.设∠ABD=x,则∠ADB=∠CBD=x,∠ADC=∠A=90+x.又∵∠A+∠ABC=180°，∴90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠C=∠ABC=2x=60°.综合·应用4．如图19-3-19，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6 cm，BC=15 cm.求CD的长.图19-3-19思路分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题.其方法是：平移一腰，过点A 作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC-EC=BC-AD=9 cm.解：（略）5.如图19-3-20，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O.求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE2.图19-3-20思路分析：点E、F分别是AB、AC的中点，所以EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF ∥BC.因为AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，所以BE=CF,可证得四边形EFCB是等腰梯形.（2）因为CE⊥BF于点O，四边形EFCB是等腰梯形，所以△OEF和△OBC都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可证得结论.证明：（1）在等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF∥BC，BE=CF,∴四边形EFCB是等腰梯形.（2）∵CE ⊥BF 于点O ，四边形EFCB 是等腰梯形，∴△OEF 和△OBC 都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可得： OE 2+OF 2=EF 2,OB 2+OC 2=BC 2, ∴EF 2+BC 2=2OE 2+2OB 2=2BE 2.6.如图19-3-21，上底AD=3，下底BC=5，P 为腰CD 上任意一点，当点P 在何处时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半.图19-3-21思路分析：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2.在直角梯形ABCD 中，∠C=45°，可得△CED 是等腰直角三角形，所以CE=DE=2,梯形ABED 的面积为21(AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8.当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半，我们可以求出三角形PBC 的高PF,从而确定出P 点所处的位置. 解：分别作DE ⊥BC 于E,PF ⊥BC 于F,则四边形ABED 是矩形，BE=AD=3,CE=2. ∵在直角梯形ABCD 中，∠C=45°， ∴△CED 是等腰直角三角形，∴CE=DE=2, 梯形ABED 的面积为21 (AD+BC)×DE=21(3+5)×2=8. ∵当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，△PBC 的面积也是梯形ABCD 面积的一半， △PBC 的面积为21BC ×PF=21×5×PF=4,解得PF=58.∵PF ∥DE,∴54258===CD CP DE PF ,即14=PD CP 时，四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半. 7.证明：对角线相等的梯形是等腰梯形.如图19-3-22，梯形ABCD 中，对角线AC=BD. 求证：梯形ABCD 是等腰梯形.图19-3-22思路分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.在△ABC 和△DCB 中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证△ABC ≌△DCB 得到AB=DC.证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又 AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC.∵ AC=BD，∴ DE=BD，∴∠1=∠E.∵∠2=∠E，∴∠1=∠2.又AC=DB，BC=CE，∴△ABC≌△DCB.∴ AB=CD.∴梯形ABCD是等腰梯形.说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如右图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证Rt△ABC≌Rt△CAE，得∠1=∠2.8.已知：如图19-3-23，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠CAB=∠ABC，BE⊥AC于E.求证：BE=CD.图19-3-23思路分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD.证明：略另证：如题图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可.9.已知：如图19-3-24，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足.求证：四边形ABGE是等腰梯形.图19-3-24思路分析：先证明OE=OG ，从而说明∠OEG=45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG ≠AB.得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形. 证明：（略）10.画一等腰梯形，使它上、下底长分别为4 cm 、12 cm ，高为3 cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积. 思路分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.解：如右图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图.画法：①画△ABE ，使BE=12-4=8 cm. AB=AE=2234 =5 cm. ②延长BE 到C 使EC=4 cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D. 四边形ABCD 就是所求的等腰梯形. 解：梯形ABCD 周长=4＋12＋5×2=26 cm. S 梯形ABCD =21×(4+12)×3=24 cm 2. 答：梯形周长为26 cm ，面积为24 cm 2。

(完整版)梯形全章知识点总结

(完整版)梯形全章知识点总结
一、梯形的定义
梯形是指一个四边形，其中有两边是平行的。

梯形的两边平行的那一对叫做梯形的底边，与底边不平行的两条边叫做梯形的腰。

梯形的两个非平行边的夹角叫做梯形的顶角。

二、梯形的性质
1. 梯形的底边平行。

2. 梯形的对角线互相平分。

3. 梯形的两个底角之和等于180度。

4. 梯形的两对角线交点与底边中点连线垂直。

三、梯形的面积计算
梯形的面积计算可以使用以下公式：面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2
四、梯形的应用领域
梯形在日常生活和实际应用中具有广泛的应用，包括但不限于以下方面：
1. 建筑设计：梯形形状常用于建筑物的屋顶、天窗等设计中。

2. 道路设计：交通标志、道路线划等常常使用梯形形状。

3. 数学教育：梯形是数学教育中的基础概念，涉及到几何学的知识点。

五、梯形的实际例子
1. 楼梯：楼梯的形状通常是梯形，其中的台阶就是梯形的腰。

2. 水坝：水坝的形状也常常是梯形，用于控制水流。

3. 野球场：野球场的内外场界限线常常使用梯形形状。

六、梯形的重要性
梯形作为一种基本的几何形状，在数学和实际生活中具有重要的意义。

掌握梯形的性质和计算方法可以帮助我们理解更复杂的几何概念，应用于实际问题的解决中。

以上是对梯形的全章知识点总结，希望对您有所帮助。

如有任何疑问，请随时提出。

新人教版八年级数学下册第十九章四边形19.3梯形ppt课件

F
C
B
E
∴ DC=EB ，∠ 1= ∠ B 。 ∵ ∠ A= 40°， ∠ B= 70° ∴ ∠ 1= ∠ 2= 70° ∴ AD=AE 。 ∵ AB=AE+EB。 ∴ AB=AD+CD ．
反馈练习： 1、判断题：（1）一组对边平行的四边形是梯形 (× ) （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形 ( √ ) （3）等腰梯形的两个底角相等. (× ) （4）等腰梯形的对角线相等. ( √ ) 2、填空题: (1)已知等腰梯形的一个锐角等于75°,则其它三个角 75°、105°、105° 分别等于___________________. (2)梯形ABCD中,AD∥BC, AB⊥BC,且∠C=45°,AB=3, A D 5 AD=2,则BC=_____. B E C
自主探索四：等腰梯形是轴对称图形吗？
如何证明呢？ E
A
D
B
C
例1：等腰梯形的对角线相等
已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC. 求证：AC=BD.
证明：在梯形ABCD中， ∵AB＝DC， ∴∠ABC＝∠DCB， B 又∵BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴AC＝BC.
A
D
C
例2（补充）如图,已知梯形ABCD中，DC∥AB， ∠A=40°，∠B=70°． D 求证：AB=AD+CD． A 证明：过点D作DE ∥ BC 交AB于点E。 ∵ DE ∥ CB DC ∥ BC 2 1
前面，我们研究的平行四边形是两组对边分别平行的特殊四边形；现在如果只有一组对边平行的四边形它会是什么形状？请同学们动手画一画！
三、自主探索（1）：
画一个梯形，然后给梯形下一个定义，并指出梯形的上底下底，画出梯形的高。

梯形(1)

B
例
过等腰梯形ABCD的D作AC的平行线
交BC的延长线于F
请你判断△BDF是什么三角形？并说明理由。
A B
D
F
C
等腰三角形
AC∥DF AD∥BC
等腰梯形 ABCD
｛
｝
AC=DF DF=BD
AC=BD 等腰直角三角形
若AC⊥DB，又怎么样？
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC 求∠C的度数。 D A
A D
B
C

等腰梯形的性质：
１、等腰梯形是轴对称图形
一、对称性二、角的关系
２、等腰梯形同一底边上的两个内角相等.
三、对角线的数量关系３、等腰梯形的两条对角线相等。
A Ｏ B D
C
边
等腰梯形的两腰相等
A
O B
D
两底平行且不相等;
角
C
等腰梯形在同一底上的两底角相等
对角线等腰梯形的两条对角线相等
在已经过去了五百年了丶他们是不是还活着,现在还真不清楚,根汉后来来过壹回浩瀚仙城,也没有想到去找过他们丶想到林家,根汉又扫了扫这个胖子の元灵,这五号外城当中,自然也有林家の分部丶林家是浩瀚仙城の,八大世家之壹,实力很强大の,比之天宝还要强大不少丶就这个胖子所知, 他所统领の这片区域内,林家の分部就有壹百多家丶有时候他也需要,与林家の人打照面,互相之间关系还是不错の丶这浩瀚仙城各种势力鱼龙混杂,他这个小守将,需要协调の关系实在是太多了丶仙城内,有太多惹不起の人,还有势力了,像八大世家就是其中最可怕の壹批丶仅次于仙主府了, 而且对于这个林家来说,现在也有许多传言,有传说他们已经与星盟の人达成同盟,也有说,可能与天盟走の很近丶『加入书签,方便阅读』肆叁1肆徐云龙の情报梦『部

八年级数学下册第十九章平行四边形 19.3 梯形(2)

19.3梯形
梯形问题中经常用到的辅助线
1．下列说法中正确的是( )
A．等腰梯形两底角相等B．等腰梯形的一组对边相等且平行C．等腰梯形同一底上的两个角都等于90°D．等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm，上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_____cm．
3．等腰梯形中一个锐角为70°，则另外三个角分别为____，____，
A D
____．
4.已知：等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一
腰垂直，这个梯形的各个角的度数为．
5. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD =2，BC =4，
高DF =2，求腰DC 的长．你有几种方法?
如果将本题改为 (1)已知下底、腰、高，求上底； (2)已知上底、下底、腰，求高．你能解决这个问题吗？
说出你的思路．
6已知：如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD =BC ，AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 的面积．
A B C D
F D A B
C
F
7.已知：如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD =3cm ，BC =7cm ．求梯形的面积．
8. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，
∠D =150°，CD =8cm ，则AB
A B D。

人教版八年级数学下册第19章四边形19.3梯形教案1

B CA DE19.3梯形(2) 【学习目标】知识与技能：1.能说出和证明等腰梯形的判定定理.2.能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算.3.会画出符合条件的等腰梯形. 过程与方法：能够运用梯形的有关概念和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力．情感态度与价值观：在应用等腰梯形的判定的过程养成独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验．【学习重点】梯形的判定及应用【学习难点】解决梯形问题的基本方法.【自主探究】1.(1)在等腰三角形中,能够得到一个等腰梯形?根据画图的过程，你能说出符合什么条件的图形是等腰梯形？如上图:梯形ABCD 中,______∥BC ， ___=___, 则得等腰梯形ABCD 。

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形吗?为什么?已知: 如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C .求证：四边形ABCD是等腰梯形.证明：过Ｄ点作___ ∥AB,交BC于E。

∴∠B＝∠DEC,∵ AD∥BC,即 AD∥BE。

∴四边形ABED是______四边形(两组对边分别_____的四边形是平行四边形)∴DE=______(平行四边形的______相等)。

又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠DEC。

∴ DE=CD。

∴AB=CD 。

∴ABCD是等腰梯形(______相等的梯形是等腰梯形)。

方法1 (定义) _______相等的梯形叫做等腰梯形。

方法2 同一底上的________相等的梯形是等腰梯形。

【精讲点拨】例2 （教材P108）如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DC∥AB.DE＝DC,∠A＝100°,求梯形其他三个内角的度数．【课堂检测】1.判断正误：（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. ( )（2）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形. ( )（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形.A B C DM A B CD ( )（4）对角互补的梯形一定是等腰梯形.（）（5）有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形 . ( )2.下列说法中，错误的是（）A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形；B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形；C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形；D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

19.2——19.3特殊的平行四边形以及梯形巩固加强

19.2——19.3特殊的平行四边形以及梯形-----巩固加强：1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

知识拓展：（1）正方形除了上面的定义还有下面的两个定义：①邻边相等的矩形叫正方形；②有一个角为正方形的菱形叫正方形。

（2）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和特殊的菱形，它与平行四边形、矩形、菱形的包含关系。

（3）一条对角线把正方形分为两个全等的等腰三角形，对角线与边的夹角是450，两条对角线把正方形分为四个全等的等腰三角形。

2、本章知识点总结：例1.在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点0，过点0作直线EF,GH,分别交平行四边形的四条边与E,G,F,H四点,，连接EG,GF,FH,HE.（1）如图19-143（1）所示，四边形EGFH的形状是；（2）如图19-143（2）所示，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图19-143 （3）所示，在（2）的条件下，若AC=BD，则四边形EGFH的形状是；（4）如图19-143（4）所示，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由。

【综合应用】1.（2011.贵阳中考）如图，点E是正方形ABCD内的一点，⊿CDE是等边三角形，连接EB,EA,延长BE交边AD于点F.（1）求证⊿ADE≌⊿BCE;（2）求∠AFB的度数。

【用割补法构造正方形求线段的长】1.如图，四边形ABCD中，AD=DC,∠ADC=∠ABC=900，DE⊥AB,若四边形ABCD的面积为16，求DE的长。

【易错题】特殊平行四边形的概念和识别方法1、下面结论：①有一组对边平行，且两个角是直角的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有一个角是600,的平行四边形是菱形；④有两边相等的平行四边形是菱形；⑤有一组邻边相等的矩形是正方形；⑥两组对边分别相等的四边形是矩形；⑦有三边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形；⑧对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

人教版八年级数学下册第19章四边形19.3梯形教案2

梯形问题常见辅助线的作法梯形是在学习了三角形和平行四边形后学习的又一种特殊的四边形，因此，利用化归的思想方法，我们可利用平移、旋转等作出辅助线，通过割补、拼接，把梯形的问题转化为我们已经熟悉和解决了的三角形和平行四边形问题，从而用三角形和平行四边形的有关知识解决梯形问题。

下面通过例题具体说明梯形问题常见的辅助线的做法及其应用。

一、平移梯形一腰，将梯形转化成平行四边形。

即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。

例1、如图1，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=DC ，BD ⊥DC ，且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20cm ，求此梯形的中位线长。

解：如图1，过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，由已知AD ∥BC ，AB=DC ，BD 平分∠ABC ，易得：四边形ABED 为菱形，从而有AD=BE=DE=DC ， ∵BD ⊥DC ，∴EC=BE=AD=AB=DC ，又∵梯形的周长为20cm ，∴AD=4cm ，BC=8cm ∴梯形ABCD 的中位线长为12（4+8）=6cm 。

二、平移梯形的一条对角线，将梯形转化成平行四边形的直角三角形。

即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题。

例2、如图2，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形中位线的长等于 cm 。

解：如图2，过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则由已知得：AD=CE ，DE=AC ，BD ⊥DE 。

∴BE=222251213BD DE +=+=cm∴梯形中位线的长等于11()22AD BC BE +==6.5cm 。

应填6.5思考：分别过A 、B 、C 三点作对角线的平行线，是否可以解出此题呢？（提示：可以，解法同上。

四边形梯形精讲精练

四边形梯形精讲精练1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).六、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.1．在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，矩形ABCD中8AB=把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若254AF=，则AD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．四条边相等的四边形是矩形D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是矩形D．当AC垂直平分BD时，它是正方形5．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定ABE ADF≌的是（）A．BE DF∠=∠∠=∠C．AE AF=B．BAF DAE=D．AEB AFD 6．下列说法不正确的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别平行且相等7．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．8．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则∠E的度数为_____．9．已知：如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE BD⊥于点E，CF BD⊥于点F．求证：OE OF=．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．。