高三数学-2018南丰中学高三滚动练习(四) 精品

2018南丰中学高三滚动练习（四）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的（1）设全集U = R ，A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<01x x ，则U A= （ ）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>01x x （B ）｛x | x > 0｝ （C ）｛x | x ≥0｝ （D ）⎩⎨⎧x x 1≥0⎭⎬⎫（2）在等差数列｛n a ｝中，2a =－5，646+=a a ，则1a 等于 （ ）（A ）－4 （B ）－5 （C ）－7 （D ）－8 （3）函数y = 11+-x (x ≠－1)的反函数是 （ ） （A ）y =x 1-–1 (x ≠0) （B ）y =x1-+1 (x ≠0)（C ）y = –x + 1 (x ∈R) （D ）y = – x –1 (x ∈R)（4）若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）π125 （5）函数y=3sinx+4cosx+5的最小正周期是 （ ） （A ）5π （B ） 2π（C ） （D ） 2 （6）已知定义域在[－1,1]上的函数y=f(x)的值域为[－2,0]，则函数y=f(cos x )的值域为 （ ）（A ） [－1,1] （B ） [―3,―1] （C ）[－2,0] （D ）不能确定 （7）关于x 的不等式ax －b>0的解集为(1,+∞)，则关于x 的不等式2-+x bax >0的解集 为 （ ）（A ） (－1,2) （B ） (－∞,－1)∪(2,+∞) （C ） (1,2) （D ） (―∞,―2)∪(1,+∞) （8）函数)26sin(2x y -=π]),0[(π∈x 为增函数的区间是 （ ）（A ）. ]3,0[π（B ）. ]127,12[ππ （C ）. ]65,3[ππ （D ）. ],65[ππ（9）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数。

若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ ） （A ）. 21-（B ）. 21 （C ）. 23- （D ）. 23 （10）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则=a （ ）（A ）42 （B ） 22 （C ） 41 （D ） 21（11）设函数，则的值为 （ ）（A ）a （B ） b （C ）a 、b 中较小的数 （D ）a 、b 中较大的数 （12）①g (x )＝sin x (1－sin x )1－sin x ；②g (x )＝sin(52π＋x )；③g (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x；④g (x )＝lg sin x ；⑤g (x )＝lg (x 2＋1＋x )；⑥g (x )＝2e ＋1－1。

其中可以使函数F (x )＝f (x )·g (x )是偶函数的函数是 ( )(A) ①⑥ (B) ①⑤ (C) ⑤⑥ (D) ③⑤二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置（13）把y = sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数________________________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_____________________的图象。

（14）将长度为a 的铁丝折成矩形，则矩形面积y 关于一边长x 的函数关系是____________，其定义域为_________________．（15）若指数函数f(x)=a x(x ∈R)的部分对应值如下表：则不等式1-f(|x －1|)<0的解集为 。

（16）若两个向量a 与b 的夹角为 ，则称向量“a ×b ”为“向量积”，其长度|a ×|=||•||•sin θ 。

今已知||=1，||= 5，•=－4，则|×|= 。

（17）.对于实数a 、b 、c 、d ，定义运算“⊙”：(a ，b )⊙(c ，d )＝(ac －bd ，ad ＋bc )，那么，(0，1)⊙(0，1)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（18）已知)(x f 是定义在（-∞，+∞）上的减函数，其图像经过A （－4，1），B （0，－1）两点，)(x f 的反函数是)(1x f -，则=-)1(1f ＿＿＿＿＿；不等式1|)41(|<-xxf 的解集是＿＿＿＿三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤（19）(本小题满分12分)已知：tan ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4= 2，求：（Ⅰ）tan α的值；（Ⅱ）sin2ααα2cos sin 2++的值 （20）（本小题满分12分)已知实数[4,2]x ∈-,向量23(,4),(,)2a x xb x x =-=(1)试用x 表示a b ⋅；(2)求a b ⋅ 的最大值及此时a 与b夹角的余弦值.（21）（本小题满分12分）为迎接2018年的奥运会，北京市政府提出“绿色奥运”的口号，为此，北京市掀起大规模的园林建设热潮，其中正在建设中的二环路广场的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为20000m 2的十字型域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200元／m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元／m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元／m 2．(1)设总造价为s 元，AD 长为x (m )，试建立s 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时s 最小？并求出这个最小值． （22）（本小题满分14分） 已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈++-=(1)若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，试求b a ,的值(2)在(1)的条件下，当]6,2[-∈x 时，)(x f ＜2｜c ｜恒成立，求c 的取值范围（23）本小题满分14分）已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }对任意正整数n 均有113232211)1(+-+=++++n nn na nb mc b m c mb cb c 成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n ．滚动练习（四）补练(1)设a =(1+cos α, sin α)，b =(1－cos β, sin β), c =(0,1), α∈(0,π), β∈(π,2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，θ1－θ2=6π，求sin 8βα-的值。

(2)已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值2-。

（1）求)(x f 的单调区间和极大值；（2）证明对任意1x ，)1,1(2-∈x ，不等式4)()(21<-x f x f 恒成立。

（3）数f (x )的定义域为D : {x | x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1· x 2) = f (x 1)+ f (x 2) ．（1）求f (1)的值；（2）判断f (x )的奇偶性并证明；（3）如取值范围．果f (4) = 1，f (3x + 1) + f (2x – 6)≤3，且f (x )在（0，+∞）上是增函数，求x 的范围（4）设{a k }为等差数列，公差为d ，a k ＞0，k ＝1，2，……，2n ＋1．(1)证明a 22n ＞a 2n －1·a 2n ＋1；(2)记b k ＝a 2k a 2k －1，试证lgb 1＋lg b 2＋……＋lg b n ＞12lg a 2n ＋1－12lg a 1．（5）.设函数f (x )＝｜x －a ｜，g (x )＝ax (a ＞0)． (1) 解关于x 的不等式：f (x )＜g (x )；(2) 记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值． （6）已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，n *∈N ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （n *∈N ）；（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；答案一选择题（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A （11）C （12）．C 二.填空题（13）22a y x x =-+，(0,)2a（14）y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=321sin πx y （15）－4 }41|{>x x（16）3（17）(－1，0)（18）(0,1)∪(1,2) 三.解答题（19）⎪⎭⎫⎝⎛+απ4tan =ααtan 1tan 1-+= 2，∴tan 31=α．（Ⅱ）解法一：sin2α+sin 2α+ cos 2α= sin 2α+ sin 2α+ cos 2α– sin 2α = 2sin αcos α+ cos 2α= αααααααα2222cos sin cos cos sin 21cos cos sin 2++=+ =231tan 1tan 22=++αα． （Ⅱ）解法二：sin2α+ sin 2α+ cos2α= sin2α+ sin 2α+ cos 2α– sin 2α = 2sin αcos α+ cos 2α （1）∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角． 当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入（1）得2sin αcos α+ cos 2α=23；当α为第三象限角时，sin α=101-，cos α=101-，代入（1）得2sin αcos α+ cos 2α=23．综上所述：sin2α+ sin 2α+ cos2α=23．（20）解: (1)由已知有()332334622a b x x x x x x ⋅=+-=+- 且[,]42x ∈-(2)令y a b =⋅,则/2336y x x =+-,当/0y =时,即220x x +-=,12x x ⇒==-且[,]42x ∈-列表如下:故此函数的最大值为10,此时2x =-∴(,),(,)2643a b =--=-∴cos a b a b θ⋅===⋅ （21）设DQ ＝y ，则4xy ＋x 2＝20000y ＝20000－x 24xS ＝x 2·4200＋2104xy ＋2·y 2·80＝4200x 2＋210×(20000－x 2)＋160·(20000－x 2)16x 2＝4000x 2＋4×109x 2＋3800000≥2·16×1012＋3800000 ＝8×118＋3.8×118＝11.8×118元＝1180万元 当且仅当 4000x 2±4×109x 2即x ＝1010时，S min ＝1180万元（22） （1）∵函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，∴－1，3是方程0232=+-b ax x 的两根，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-=+-933313231b a ba （2）963)(,93)(2'23--=+--=x x x f c x x x x f ，当x 变化时，有下表而]6,2[54)6(,2)2(-∈∴+=-=-x c f c f 时f(x)的最大值为c+54要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可 当c ≥0时c+54<2c ∴c>54 当c ＜0时c+54<－2c ，∴c ＜－18 ∴c ∈（-∞，－18）∪（54，+∞） （23）：（Ⅰ）由题意得：(a 1 + d )(a 1 + 13d ) = (a 1 + 4d )2．整理得2a 1d = d 2． ∵a 1 = 1，解得d = 2（d = 0不合题意舍去），∴a n = 2n – 1(n = 1，2，3，…)由b 2 = a 2 = 3，b 3 = a 5 = 9，易求b n = 3n – 1 (n = 1，2，3，…) ． （Ⅱ）当n = 1时，c 1 = 6；当n ≥2时，14)1(11+=-+=+-n na a n b m c n n nn n ，∴c n = (4n + 1)m n – 1b n = (4n + 1)(3m )n – 1． ∴c n =⎩⎨⎧=+=-4 , 3 , 2 ,)3)(14(,1 ,61n m n n n当3m = 1即m =31时，S n = 6 + 9 + 13 +…+(4n + 1) = 6 +2)149)(1(++-n n= 6 +(n – 1)(2n + 5) = 2n 2 + 3n + 1．当3m ≠1即m ≠31时，S n = c 1 + c 2 + … + c n 都S n = 6 + 9 · (3m ) + 13 · (3m )2 + … + (4n – 3)(3m )n – 2 + (4n + 1)(3m )n– 1（1）3mS n = 6 · 3m + 9 · (3m )2 + 13 · (3m )3 +…+ (4n – 3)(3m )n – 1 +(4n + 1)(3m )n （2） （1）–（2）得（1 – 3m ）S n = 6 + 3 · 3m + 4 · (3m )2 + 4 · (3m )3 +…+ 4· (3m )n – 1 – (4n + 1)(3m )n= 6 + 9m + 4[(3m )2 + (3m )3 +…+(3m )n – 1] – (4n + 1)(3m )n= 6 + 9m +n n m n mm m )3)(14(31])3()3[(42+---∴22)31(])3()3[(431)3)(14(96m m m m m n m S n n n --+-+-+=． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--+-+-+=++=.31 ,)31(])3()3[(431)3)(14(96,31 ,132222m m m m m m n m m n n S nn n滚动练习（四）补练答案（1）462- （2）1）解：由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈即d cx ax d cx ax ---=+--33 ∴ 0=d 因此，cx ax x f +=3)( c ax x f +='23)(由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a解得1=a ，3-=c因此，x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f0)1()1(='=-'f f当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数 当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f（2）解：由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M )(x f 在]1,1[-上的最小值2)1(-==f m所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f 上是增函数（3）Ⅰ）解：令x 1 = x 2 = 1，有f (1 × 1) = f (1) + f (1)，解得f (1) = 0． （2分）（Ⅱ）证明：令x 1 = x 2 = – 1，有f [(–1)× (–1)] = f (–1) + f (–1)，解得f (–1) = 0．令x 1 = –1，x 2 = x 有f (– x ) = f (–1) + f (x )，∴f (– x ) = f (x ) ． ∴f (x )为偶函数． （6分） （Ⅲ）f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2，f (16 × 4) = f (16) + f (4) = 3．∴f (3x + 1) + f (2x – 6)≤3即f [(3x + 1)(2x – 6)]≤f (64) （1） ∵f (x )在(0，+∞)上是增函数， ∴（1）等价于不等式组⎩⎨⎧-+-<-+⎩⎨⎧-+>-+64. )62)(13(,0)62)(13(64, )62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--<>.,3315, 37,313R x x x x x 或或∴3 < x ≤5或37-≤x <31-或31-< x < 3．∴x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<--<-533313137x x x x 或或． （13分）（4）(1)证明：a 22n－a 2n －1·a 2n ＋1＝[a 1＋(2n －1)d ]2－[a 1＋(2n －2)d ][a 1＋2nd ]＝a 12＋(4n －2)a 1d ＋(2n －1)2d 2－[a 12＋(4n －2)a 1d ＋(4n 2－4n )d 2] ＝d 2＞0 (d ＞0) ∴ a 22n＞a 2n －1·a 2n ＋1 …………………… (5分)≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤(2)由(1)知a2 2n a2 2n －1＞a 2n ＋1a 2n －1∴ a 22 a 21 ＞ a 3 a 1 a 24 a 23 ＞ a 5 a 3 a 26 a 25 ＞ a 7 a 5 ……a 2 2n a 2 2n －1＞a 2n ＋1a 2n －1∴( a 2 a 1 )2·( a 4 a 3 )2·( a 6 a 5 )2 ·…·(a 2n a 2n －1)2＞( a 3 a 1 )·( a 5 a 3 )·( a 7 a 5 )·…·a 2n ＋1a 2n －1＝a 2n ＋1a 1即 b 21·b 22·b 23·…·b 2n ＞a 2n ＋1a 1……………………… (11分)∴lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＞12lg a 2n ＋1－12lg a 1 …………… (12分)（5）（1）①当1=a 时，21>x ； ②当10<<a 时，a a x a a -<<+11 ③当1>a 时，aax +>1 …6分（2）①当1=a 时，1)(min -=x F ；②当10<<a 时，2min )(a x F -=③当1>a 时， min )(x F 不存在． …12分（6）1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． …4分 （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．2018年高三数学答题卷一．选择题：(每题5分，共60分)二．填空题：(每题4分，共24分)13．14．15．16．17 18．三．解答题（66分）19．20．21．22．23．。