安培环路定理3

B=
µ0 IR 2
2( R + x )
2 2 3 2
x
I
r r ∞ 0 ∞ B ⋅ dl = ∫ Bdx + ∫ Bdx = 2∫ Bdx ∫
l
−∞
0
0
= 2∫
∞
µ0 IR
2
2 2 3 2
0
2( R + x )
dx = µ0 IR
2
x R
2
∞ 2 0
R +x
2
= µ0 I
其实并不局限于无限长直线电流和圆电流， 其实并不局限于无限长直线电流和圆电流，严 稳恒电流模型 格的理论分析证明，对任意形式的稳恒电流模型， 格的理论分析证明，对任意形式的稳恒电流模型， 上述结果也都正确。 上述结果也都正确。
r r 根据安培环路定理： ∫ 根据安培环路定理： B ⋅ dl = Bab = μ0 nabI
l
长直载流螺线管内的磁场： 得长直载流螺线管内的磁场：
B = μ0 nI
例题2 ：
普通物理学教案
已知： 已知：I 、N、R1、R2，求密绕载流螺绕 、 ，求密绕载流螺绕 环内的磁场分布。 环内的磁场分布。 解：由柱称性， 由柱称性， 取同心圆安培环路 r r ∫ B ⋅ dl = Bdl = 2π rB ∫
例题1 ：
普通物理学教案
长直密绕载流螺线管， 长直密绕载流螺线管，单位长度上电流 求螺线管内的磁感应强度分布。 匝数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
I
r B
解： 对称性分析 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零 无漏磁！ 无漏磁！
r B
r B
a
b
I
在螺线管内取安 培环路如图： 培环路如图： r r B ⋅ dl ∫
r r B ⋅ dl = ∫ Bdl + ∫ Bdl cos90° ∫
l 1 2
2
+ ∫ Bdl + ∫ Bdl cos90°
3 4
r B
3
1
4
= 2Bl
r r B ⋅ dl = µ0 il ∫
l
r B
∴
1 B = µ0 i 2
电场、磁场中典型结论的比较 电场、
电 电
λ E= 2 0r πε
l
得
μI B= 0 2 r π
r B
r
如图示，当 r < R 时 如图示， 作积分回路如图 r 则 B沿该闭合回路的环流为 r r B ⋅ dl = Bdl = 2π rB ∫ ∫
l l
µ0I 2π R
o
B
r
R
I R
根据安培环路定理： 根据安培环路定理： r r B ⋅ dl =μ0 I ′ ∫
S
ε0
∑q
i
电场线起于正电荷 止于负电荷 静电场是有源场
磁感应线闭合 无自由磁荷 磁场是无源场
二、安培环路定理的应用 当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。 需要指出的是，对任意形式的稳恒电流模型， 需要指出的是，对任意形式的稳恒电流模型，安 稳恒电流模型 培环路定理都正确。 培环路定理都正确。 但要利用它确定给定电流的磁场分布， 但要利用它确定给定电流的磁场分布，意味着要 解积分方程。 解积分方程。 因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 因而， 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
µ0I B 2 R π
r
O
R
同轴电缆的内导体圆柱 课堂练习 半径为R 半径为 1，外导体圆筒内外 半径分别为R 半径分别为 2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。 有电流 ，求磁场的分布。
R1
µ0 I B= r r < R1 2 2π R1 µ0 I B= R1 < r < R2 2π r 2 µ0 I ( R3 − r 2 ) B= r > R2 2 2 2π r ( R3 − R2 )
总结
r 在真空中的稳恒电流磁场中， 在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿 r 任意闭合曲线的线积分 闭合曲线的线积分（ 的环流） 任意闭合曲线的线积分（也称 B 的环流）, 等于穿过 该闭合曲线的所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为 边界的任意曲面的电流强度）的代数和的µ 边界的任意曲面的电流强度）的代数和的 0倍。
l
I
选择安培环路如图所示： 选择安培环路如图所示： r 沿闭合回路的环流为： B 沿闭合回路的环流为： r r B ⋅ dl ∫
l b
r B
a
d
b
c
r r c r r d r r a r r = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = Bab
a b c d
S
静电场
稳恒磁场
r r B ⋅ dl = µ0 ∑ I i ∫
l
r r E ⋅ dl = 0 ∫
l
电场有保守性， 电场有保守性，它是 保守场， 保守场，或有势场
r r 1 E ⋅ dS = ∫
S
磁场没有保守性， 磁场没有保守性，它是 非保守场， 非保守场，或无势场
r r B ⋅ dS = 0 ∫
15.4 安培环路定理
一、安培环路定理 静电场的环流为零 说明静电场是保守场； 说明静电场是保守场； 稳恒磁场的环流如何呢？ 稳恒磁场的环流如何呢？
r r E ⋅ dl = 0 ∫
l
r r B ⋅ dl = ? ∫
lห้องสมุดไป่ตู้
对任何矢量场基本性质的研究， 对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的 通量和环流。 通量和环流。
闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。 闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。 注意环路方向与电流方向的右旋关系。 ③注意环路方向与电流方向的右旋关系。
例题4 ：
普通物理学教案
载有稳恒电流， 无限长导体板宽度 2a 载有稳恒电流，单位宽 度上的电流强度为 i 。求：板中垂线外一点的磁感 应强度。 应强度。 建坐标、 解： 建坐标、 取元电流 dI = i dy y
r r B ⋅ dl = µ 0 ∑ I內 i ∫
L i
—安培环路定理 安培环路定理
与环路成右旋关系的电流取正
+ I1
− I2
讨论
r r B ⋅ dl = µ 0 ∑ I內 i ∫
i
① 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关， 环路上一点的磁感应强度是由环路内 上一点的磁感应强度是由环路内、 环路上一点的磁感应强度是由环路内、外电流 共同产生的。 共同产生的。 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一， ② 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁 场是有旋场，是非保守场，故磁场中不能引入 场是有旋场 是非保守场， 势能的概念。 势能的概念。 ③ 当电流呈体分布时 r r r r B ⋅ dl = µ 0 ∫ j ⋅ dS ∫
l
I2 I3
r
r dl
如果环路内还有其它无限长直线电流 根据叠加原理， 根据叠加原理，可知
r r B ⋅ dl =μ0 ( I1 + I 2 − I3 ) ∫
l
3.回路不环绕电流 回路不环绕电流
r r B4 ⋅ dl ∫
l
µ0 I 4 = ∫ 2π r4 cos θ 4dl4 l
I1
r
I4
l
I = µ0 π r2 π R2
I′
r
得
µ0 I B= r 2 2π R
讨论
长直载流圆柱面。已知： 、 长直载流圆柱面。已知：I、R
r r B⋅ dl = Bdl = 2πrB ∫ ∫
r r 0 B ⋅ dl = µ0 I ∫ r<R r>R
I
R
所以
r<R 0 B = µ0 I 2π r r > R
长 直 内 圆 柱 面 长 直 内 圆 柱 体
µ0I B= 2 r π
B=0
E=0
λ E= 2 0r πε
λ E= r 2 2πε0 R
µ0I B= 2 r π µ0 I B= r 2 2π R
µ0I B= 2 r π
λ E= 2πε0r
l
b
r B
d
c
r r c r r d r r a r r = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
a b c d
= Ba ab + 0 − Bd cd + 0
由于环路内没有包围任何电流， 由于环路内没有包围任何电流，按安培环路定理 r r 均匀场！ B ⋅ dl = 0 ∴ Ba = Bd = Bb = Bc 均匀场！ ∫
l
I
而当电流走向与环路方向与右手 螺旋方向相背时
r r B ⋅ dl = −μ0 I ∫
l
2.无限长直线电流，任意积分回路 无限长直线电流， 无限长直线电流 r r B ⋅ dl = B cosθdl ∫ ∫
l
µ0 I1 = ∫ 2π r cos θ dl l
l
I1
dϕ
得
µ0 I1 µ0 I1 = ∫ 2π r rdϕ = 2π dϕ ∫ l r r B ⋅ dl =μ0 I1 ∫
r 分析 dB
i
i
2a
o
θ
r θ
r dB
p
x
µ0 idy µ0 dI = dB = 2π r 2π x 2 + y 2