复杂数列的通项公式求解问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(解析版)

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专题24 数列通项公式的求解策略-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】

n 专题24 数列通项公式的求解策略【高考地位】在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

方法一数学归纳法例1 若数列{a }的前n 项和为s ，且方程x2 -a x -a = 0 有一个根为s －1，n=1,2,3..(1) 求a1 , a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并用数学归纳法证明【变式演练1】【浙江省宁波市余姚中学2021 届高三月考】设数列{a }满足a = 3，a=a2 - 2na + 2 ，n = 1, 2, 3, ⋅⋅⋅（1）求a2 ，a3 ，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；n 1 n+1 n n（2）用数学归纳法证明你的猜想.方法二已知Sn 求an学习界的1 例 2在数列{a } 中，已知其前 n 项和为 S = 2n + 3，则 a = ．nnn【变式演练 2】【云南省曲靖市第一中学 2021 届高三上学期高考复习质量监测】已知数列{a n } 满足2a + 22 a + 23 a + + 2na= n (n ∈ N * ) ，若b =1，则数列{b }的前n 项和1 2 3nS n = .nlog a n ⋅l og 2 a n +1方法三累加法例 3数列{a n }满足 a 1 = 1 ，对任意的 n ∈ N *都有 an +1 = a 1 + a n+ n ，则 + 1 a 1 a 2+ + 1 a 2016 = （） 2015 A 、20164032B 、20174034 C 、20172016 D 、2017【变式演练 3】【炎德英才大联考 2019-2020 学年上学期高三月考数学试卷四】已知数列{a n } 满足a 1 = 1 ，1 1 1且对于任意 n ∈ N * 都有 a n +1 = a n + n +1 ，则 a + a + ⋅⋅⋅ + a = ．1 2 1001方法四累乘法n 2学习界的007a a第二步依次写出n,⋅⋅⋅, 2 ，并将它们累加起来；an-1a1a第三步得到n的值，解出a ；a n1第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.例4已知数列{a n}满足a1=2, a3n+1=nan + 1 n, 求an【变式演练4】【内蒙古赤峰市2020 届高三（5 月份）高考数学（理科）模拟】设数列{a n} 中a1 = 2 ，若等比数列{b n }满足a n+1 =a n b n ，且b1010 = 1，则a2020 =.方法五构造法一万能模板内容使用场景型如an+1 =pan+q （其中p, q 为常数，且pq( p -1) ≠ 0, ）解题模板第一步假设将递推公式改写为a n＋1＋t＝p(a n＋t)；q第二步由待定系数法，解得t =；p -1第三步写出数列{a +q} 的通项公式；n p -1第四步写出数列{a n }通项公式.例5 已知数列{ a }满足a =1，a = 2a +1 ( n ∈N *)，求数列{ a }的通项公式。

高中数学核心考点：数列难点1 复杂数列求通项 - 解析

进阶：复杂数列求通项公式一、取导数 1.)0(,11≠+=--mkb b ka ma a n n n 型，两边取导数得：mka mb a n n +=-11，当m b =时可以构造na 1的等差数列，当m b ≠，可构造公比为m b 的等比数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+m b k a n 1求解例1：已知数列{}n a 满足：132a =，且()1132,21n n n na a n n N a n *--=≥∈+-，则数列{}n a 的通项公式为_________思路：观察到递推公式的分子只有1n a -，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：111111312121212133333n n n n n n n n n na a n n n n a a n a na n na a a ------+---=⇒==+⇒=++-，从而找到同构特点，并设为辅助数列：n nnb a =，求出{}n b 通项公式后即可解出n a 解：11321n n n na a a n --=+- 11112121333n n n n a n n a na n na ---+--∴==+12133n n n n a a --∴=+ 设n n n b a =，则11233n n b b -=+，11123b a ==而()1112111333n n n n b b b b --=+⇒-=- {}1n b ∴-为公比是13的等比数列 ()111113n n b b -⎛⎫∴-=-⋅ ⎪⎝⎭ 113n n b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭即113nn n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭331113n n nn nn a ⋅∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭变式：在数列{}n a 中，11=a ，131+=+n nn a a a ，求数列{}n a 的通项公式2.)0(,11≠++=--mkbc bka cma a n n n 型对于一个函数f (x )，我们把满足f (m )＝m 的值x ＝m 称为函数f (x )的“不动点”．类似地，利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa p a k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qc a pca k --=）（2）若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111 （这里d a c k +=2）例2：已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4，求该数列的通项公式．解由方程x ＝7x －2x ＋4，得数列{a n }的不动点为1和2，a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4－2＝7a n －2－(a n ＋4)7a n －2－2(a n ＋4)＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2·⎝⎛⎭⎫65n －1，解得a n ＝12·⎝⎛⎭⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1，n ∈N *.变式：已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n －1＋22a n －1＋1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解解方程x ＝x ＋22x ＋1，化简得2x 2－2＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，令a n ＋1－1a n ＋1＋1＝c ·a n －1a n ＋1，由a 1＝2，得a 2＝45，可得c ＝－13，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n ＋1是以a 1－1a 1＋1＝13为首项，以－13为公比的等比数列，∴a n －1a n ＋1＝13·⎝⎛⎭⎫－13n －1，∴a n ＝3n －(－1)n3n ＋(－1)n .二、取对数)0,0(,1>>=-q p pa a q n n 型，两边取对数p a q a n n lg lg lg 1+=-，划归为熟知的问题求解，取对数实质是降次。

专题5.3-由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题-2019届高三数学提分精品讲义

专题五数列咨询题三：由庞杂递推关联式求解数列的通项公式咨询题一、考情剖析递推公式是给出数列的一种主要办法,常出如今客不雅题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.应用递推关联式求数列的通项时,平日将所给递推关联式进展恰当的变形收拾,如累加、累乘、待定系数等,结构或转化为等差数列或等比数列,而后求通项.二、经历分享(1)曾经明白S n，求a n的步调当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1；(3)对n＝1时的状况进展测验，假定合适n≥2的通项那么能够兼并；假定不合适那么写身分段函数方式．学=科网(2)曾经明白数列的前多少项，写出数列的通项公式，要紧从以下多少个方面来思索：假如标记正负相间，那么标记可用(－1)n或(－1)n＋1来调理.分式方式的数列，分子寻通项，分母寻通项，要充沛借助分子、分母的关联来处理.关于比拟庞杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列跟其余办法来处理.此类咨询题虽无牢固方式，但也有法则可循，要紧靠不雅看(不雅看法则)、比拟(比拟曾经明白的数列)、归结、转化(转化为等差、等比或其余特别数列)等办法来处理.(3)曾经明白数列的递推关联求通项公式的典范办法当呈现a n＝a n－1＋m时，结构等差数列；当呈现a n＝xa n－1＋y时，结构等比数列；当呈现a n＝a n－1＋f(n)时，用累加法求解；当呈现＝f(n)时，用累乘法求解．三、常识拓展假定数列满意，那么数列基本上公役为a的等差数列，假定数列满意，那么数列基本上公比为b的等比数列.四、题型剖析(一)用累加法求数列的通项【例1.】在数列中,,,那么该数列的通项公式=．【剖析】标题曾经明白前提是,且〕方式,用叠加道理求解.【剖析】因为,因而应用累加法即可失掉：,因而,故应填．【点评】当,且〕满意必定前提时,可用…来求通项,这种办法平日叫累加法.此题用到裂项相消求跟,相消时应留意消去的项法则,及消去哪些项,保存哪些项,因而前项的跟酿成首尾假定干多数项之跟.另有很多同窗会呈现的过错,认为或是常数,实践上或是个变量,变更随之改动.【小试牛刀】数列{a n}满意a1＝1,a2＝2,a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n,证实{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．【剖析】(1)证实：由a n＋2＝2a n＋1－a n＋2得,a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＋2,即b n＋1＝b n＋2.又b1＝a2－a1＝1.因而{b n}是首项为1,公役为2的等差数列．【点评】本例是典范的由数列的递推公式求通项公式的咨询题．第(1)咨询中要留意对数列{a n＋1－a n}的全体掌握．第(2)咨询顶用的是累加法．留意切忌疏忽对a1的验证．(二)应用累乘法求数列的通项【例2】设是首项为1的正项数列,且,那么.【剖析】不雅看曾经明白的递推式,用十字穿插法剖析因式,可求得与的关联式,再用累乘法求解.【点评】形如型的递推公式常用累乘法.当为常数且不等于0时,数列为等比数列,；当为函数时,.此题可思索为常数数列.【小试牛刀】【2018河南周口3月质检】数列中，前项跟为，(1)求数列的通项公式；学=科网(2)令，证实：.【剖析】(1)，，两式相减得：，收拾得：，〔叠乘法〕因为，因而，，…，，相乘得，且当=1、2时，满意此式，因而.(2)，因为，因而；.(三)用结构法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】曾经明白数列满意：，，〔〕，那么数列的通项公式为__________．【剖析】变形为,结构新数列求解.【谜底】【剖析】由得：，变形得：，因而是以2为公比的等比数列，因而，因而.【点评】数列是一种特别的函数,经过递推公式写出数列的前多少项再猜测数列的通项时,要验证通项的准确性.易呈现的过错是只思索了前3项,就猜测出.用结构法求数列的通项,要细心不雅看递推等式,选准要结构的新数列的方式,再断定系数.【小试牛刀】曾经明白数列满意,,,,那么．【谜底】．【剖析】且,,又,,是首项为,公役为的等差数列,,,．故应填．(四)应用与的关联求数列的通项【例4】【浙江省温州市一般高中2017届高三8月模仿】曾经明白数列的前项跟为,．〔1〕求的通项公式；〔2〕设,数列的前项跟为,证实：．【剖析】〔1〕曾经明白跟与项的关联,请求通项公式,可在曾经明白〔〕根底上,用代〔〕,得,两式相减得〔〕的递推式,求得,留意的值与的表白式的关联；〔2〕由〔1〕是分段函数方式,时,,思索到证实跟,因而可放缩以求跟,从而得,可证得不等式．【剖析】〔1〕事先,,解得；事先,,解得．事先,,,以上两式相减,得,∴,∴,∴．〔2〕．事先,,∴．【点评】由S n跟a n的关联求通项的留意咨询题：(1)应注重分类探讨的思维,分n＝1跟n≥2两种状况探讨．当n＝1时,a1不合适a n的状况要离开写,即a n＝n＝1，,S n－S n－1，n≥2.))(2)要留意a n跟S n互化存在双向性,既可由a n化为S n,也可由S n求a n.【小试牛刀】【河北省唐山市2018届高三第一次模仿】曾经明白数列为枯燥递增数列，为其前项跟，.〔1〕求的通项公式；〔2〕假定，为数列的前项跟，证实：.【剖析】〔Ⅰ〕当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，因而(a1－1)2＝0，即a1＝1，又{a n}为枯燥递增数列，因而a n≥1．由2S n＝a＋n得2S n＋1＝a＋n＋1，因而2S n＋1－2S n＝a－a＋1，收拾得2a n＋1＝a－a＋1，因而a＝(a n＋1－1)2．因而a n＝a n＋1－1，即a n＋1－a n＝1，因而{a n}是以1为首项，1为公役的等差数列，因而a n＝n．〔Ⅱ〕b n＝＝＝－因而T n＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＜．(五)递推公式为〔此中,均为常数〕.解法一〔待定系数——迭加法〕:【例5.】数列：,,求数列的通项公式.【剖析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为此中s,t满意.【解法一】〔待定系数——迭加法〕:由,得,且.那么数列是认为首项,为公比的等比数列,因而.把代入,得,,,,.把以上各式相加,得..【解法二】〔特点根法〕：数列：,的特点方程是：.,.又由,因而故.【小试牛刀】【新疆兵团农二师西岳中学2017届高三上学期学前测验】曾经明白数列{a n }前n 项跟为S n ,满意S n =2a n -2n(n ∈N*)．〔I 〕证实：{a n +2}是等比数列,并求{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕数列{b n }满意b n =log 2(a n +2),T n 为数列{}的前n 项跟,假定对正整数a 都成破,求a 的取值范畴【谜底】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕.〔Ⅱ〕因为,因而,依题意得：五、迁徙应用1.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】1．【2017学年辽宁西南育才黉舍段考】设各项均为负数的数列的前项跟为,且满意．那么数列的通项公式是〔〕A ．B ．C ．D ．【谜底】A2.【广东省惠州市2017届高三第一次调研测验】曾经明白数列满意,那么______.学！科网【谜底】【剖析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴．∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公役的等差数列,∴,∴．那么．故谜底为：．3．【2017河北故城县初级中学上期中】假定数列满意,那么〔〕A.B.C.D.【谜底】A【剖析】为等差数列,,,,.4．【2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检】数列满意,对恣意的都有,那么〔〕A 、B 、C 、D 、【谜底】B5.【2017河南西平县初级中学十月月考】曾经明白数列满意,那么的通项公式是_______.【谜底】【剖析】因为数列满意,因而事先,,收拾得,事先,,解得,上式也成破,因而数列的通项公式为.6.【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研测验】数列满意,记,那么数列的前项跟．【谜底】【剖析】由得,且,因而数列形成以1为首项,2为公役的等差数列,因而,从而失掉,那么,因而,,两式相减,得因而.7．【2017四川省成都七中试验黉舍下期中】数列满意：,且对恣意的都有：,那么．【谜底】5050【剖析】令,那么；8．【福建省莆田市2018届高三放学期教学品质检测】曾经明白数列满意，，那么__________．【谜底】【剖析】由，同时除以可得.等于认为首项，为公役的等差数列.因而，即.故谜底为：.9．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次品质调研】曾经明白数列的前项跟为，且,〔〕，假定,那么数列的前项跟_______________.【谜底】或【剖析】由可知，两式相减得，因为，因而，，结构，因而=1，数列是以1为公役，1为首项的等差数列，因而，当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上所述,故填或.10．【吉林省长春市一般高中2018届高三品质监测】在数列中，，且对恣意，成等差数列，其公役为，那么________.【剖析】因为，且对恣意，成等差数列，其公役为，因而事先,可得，事先，,因而,故谜底为.11．【黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学2018届高三上学期第一次月考〔】曾经明白数列中，且，那么__________．【谜底】【剖析】12．【2017届云南省师范年夜学隶属中学高三高考习惯性月考】曾经明白数列满意，且，那么__________．【谜底】13.【2017届山东胖都会高三上学期晋级统测】设数列的前跟为,曾经明白.〔1〕求出数列的通项公式；〔2〕求数列的前跟为.【谜底】〔1〕〔2〕【剖析】〔1〕由题意得,事先,由,得.〔2〕设.事先,因为,故.可知,事先,事先,,不合适式.事先,,合适式.因而.14.【江苏省泰州中学2017届高三摸底测验】曾经明白数列的前项跟满意：〔为常数,且,〕．〔1〕求的通项公式；〔2〕设,假定数列为等比数列,求的值；〔3〕在满意前提〔2〕的情况下,设,数列的前项跟为,假定不等式对恣意的恒成破,务实数的取值范畴．【谜底】〔1〕〔2〕〔3〕【剖析】〔1〕事先,,得．事先,由,即,①得,②①②,得,即,∴〔〕,∴是等比数列,且公比是,∴．〔2〕由〔1〕知,,即,假定数列为等比数列,那么有,而,,,故,解得,再将代入,得,由,知为等比数列,∴．〔3〕由,知,∴,∴,由不等式恒成破,得恒成破,设,由,∴事先,,事先,,而,,∴,∴,∴．15.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】曾经明白数列的前项跟,此中.〔I〕求的通项公式；〔II〕假定,求的前项跟.【谜底】〔I〕〔II〕【剖析】〔I〕事先,,解得事先,化简收拾得因而,数列是认为首项,为公比的等比数列.从而,〔II〕由〔I〕可得,16.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】曾经明白数列的各项都不为零,其前项为,且满意：．〔1〕假定,求数列的通项公式；〔2〕能否存在满意题意的无量数列,使得？假定存在,求出如此的无量数列的一个通项公式；假定不存在,请阐明来由．【谜底】〔1〕；〔2〕详见地析.〔2〕依照〔1〕,可得或,∴从第二项开场每一项都有两个分支,因而通项为的数列满意题意,使得〔其余契合的谜底相似给分〕．17.【山东省淄博市2018届高三3月模仿】曾经明白是公役为3的等差数列，数列满意．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项跟．【剖析】〔1〕由曾经明白且，得，∴是首项为4，公役为3的等差数列，∴通项公式为；〔2〕由〔1〕知，得：，，因而是首项为、公比为的等比数列，那么．18．【河南省南阳市2018届高三上学期期末】曾经明白数列的前项跟为，且满意〔〕．〔1〕求数列的通项公式；学￥科网〔2〕假定，求数列的前项跟．【剖析】〔1〕事先，，解得．事先，，，两式相减得，化简得，因而数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得．〔2〕由〔1〕得，当为偶数时，，；当为奇数时，为偶数，．因而数列的前项跟．。

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)

玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品专题01 复杂数列的通项公式求解问题一．方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．类型二点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y 顺次为直线11412y x =+上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为____________.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2n n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________. 类型三函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（） A.136B. 9C. 18D. 36 【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， ()()()*12101n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为（）． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 223n a n n =-+类型四由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（）A.B.C. D.【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设数列{}n a 中， 11222,,11n n n n n a a a b a a ++===+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________．类型五两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列{}n a 满足123a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452nn n a a +-≥⨯,则2017a =_________【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-< 122n +， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________．类型六下标为n a 形式的数列通项公式问题【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________．【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则}{n b 的通项公式____________.三．强化训练1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（）A. 64B. 65C. 71D. 722.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列{}n a 中， ()()()112141nn n n na n a n n +-+=+++，且11a =，记22i ni n i a T i =+=∑，则（）A. 19T 能被41整除B. 19T 能被43整除C. 19T 能被51整除D. 19T 能被57整除3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}n a 满足*1*,2{ ,2n n n na d N a nqa N ++∉=∈（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为()0a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（）A. n a a =或1n n a q -= B. ()11n n a a -=- C. n a a =或()11n n a a -=- D. 1n n a q -=4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n ∈N *，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，则a n 等于（） A.22sin 3n - B. 22sin 3n - C. 21cos 3n - D. 21cos 3n + 5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列{}n a 满足11a =， 213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A.112n - B. 121n - C. 113n - D. 1121n -+7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（）A. 0B. 1-C. 1D. 26．8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列{}n a 满足22,{2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.则{}n a 的通项公式__________.9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +⋅=，且11b =.则{}n b 的通项公式__________.10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：18 14， 18 38， 316， 332……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为i j a -，则（1）83a -=_________；（2）前20行中14这个数共出现了________次． 11.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________。

高考数学技巧如何快速计算复杂的数列题

高考数学技巧如何快速计算复杂的数列题数列是高考数学中常见的考点之一，也是很多同学感到头疼的难题。

在高考中，能够快速而准确地计算数列题目是取得高分的关键之一。

本文将介绍几种应用数学技巧的方法，以便快速计算复杂的数列题目。

一、等差数列等差数列是高考数学中最基础且常见的数列之一。

在解决等差数列的题目时，可以运用以下技巧：1. 求通项公式如果给定了等差数列的前几项或者某一项的值，我们可以通过求解通项公式来快速计算任意项的值。

通项公式的一般形式为：An = a1 + (n-1)d，其中An表示第n项，a1为首项，d为公差。

将已知条件代入，就可以得到计算结果。

2. 利用性质等差数列有一些性质，比如相邻两项的差值始终为常数，前n项和的公式等。

在解决题目时，可以善用这些性质，简化计算步骤，提高计算速度。

二、等比数列等比数列是高考数学中另一个常见的数列。

解决等比数列题目时，可以运用以下技巧：1. 求通项公式与等差数列类似，等比数列也有通项公式。

通项公式的一般形式为：An = a1 * q^(n-1)，其中An表示第n项，a1为首项，q为公比。

通过将已知条件代入通项公式，可以求得任意项的值。

2. 利用性质等比数列也有一些性质，如相邻两项的比值为常数，前n项和的公式等。

在解决题目时，利用这些性质可以简化计算过程，提高效率。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其定义为：F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 3）。

在解决斐波那契数列问题时，可以运用以下技巧：1. 利用递推关系斐波那契数列的递推关系非常明显，每一项都是前两项的和。

这个特点可以帮助我们快速计算第n项的值。

如果需要计算较大的斐波那契数列的项数，可以利用循环或递归的方法进行计算。

2. 利用性质斐波那契数列也有一些特殊性质，如相邻两项的比值逐渐趋近于黄金比例等。

在解决题目时，利用这些性质可以得到更多的信息，进一步简化计算过程。

【高中数学】高三数学复习：求数列通项公式的常用方法

【高中数学】高三数学复习：求数列通项公式的常用方法在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

求数列通项公式常用以下几种方法：一、题目未知或通过直观推理小说推论出来就是等比数列或等差数列，轻易用其通在项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

求解：由an+1=an+2(n1)及未知可以面世数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。

所以an=2n-1。

此类题主要就是用等比、等差数列的定义推论，就是较直观的基础大题。

二、已知数列的前n项和，用公式s1(n=1)sn-sn-1(n2)基准：未知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足用户5(a)9(b)8(c)7(d)6求解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8∴k=8挑选(b)此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、未知an与sn的关系时，通常用转变的方法，先求出来sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

求解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}就是以-领衔项，-1为公差的等差数列，∴-=-，sn=-，再用(二)的方法：当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，-(n=1)-(n2)四、用递增、积累的方法求通项公式对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

基准：设立数列{an}就是首项为1的正项数列，且满足用户(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，谋数列{an}的通项公式解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0又∵{a n}就是首项为1的正项数列，∴an+1+an≠0，∴-=-，由此得出结论：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相加得：∴-=-，又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)五、用结构数列方法求通项公式题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这就是将近一、二年去的中考热点，因此既就是重点也就是难点。

高三数学复习：求数列通项公式的常用方法

高三数学复习：求数列通项公式的常用方法高三数学复习：求数列通项公式的常用方法在高考数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

求数列通项公式常用以下几种方法：一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。

所以an=2n-1。

此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B) 此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn 与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……(1)求{an}通项公式 (2)略解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

求复杂地推关系数列通项公式，这个新方法高考前必看！

求复杂地推关系数列通项公式，这个新方法高考前必看！
超级高考生APP独家评星：★★★
建议100以上的同学掌握
高考中根据数列的递推公式求出通项公式问题是必考题型，通常在大题的第一问，而第一问能否快速求解直接影响到后面的计算，所以今天讲解的方法从方法技巧和解决速度的提升对同学们都是非常有用的。

常见求通项公式的方法有观察法，前n项和法，累加累乘法，构造辅助数列的待定系数法，取倒法，相除法
其中又以构造法最为复杂难懂，是求解数列通项公式的一个难点，通常会给出递推关系的一般形式，再配以相应的解决方法，加以练习，就能突破这个难点。

平时学习中不要把这个问题想的过于抽象复杂，其实很简单，打个比方，一般人见到红灯就会停，绿灯就行，这是一种惯性，见多了，自然就会做出最熟悉又正确的选择。

做题也是一样，解题首先要看这是属于那一类型的题目，相对应的有哪些解决方法，如果常规方法解决不出来，这个时候如何找到一直解决方法和未知题型之间的相通之处。

当然，这个就是老师今天要给同学们讲的重点课本的公式结论大多都是思维的结果，得到过程是很简略的，有的甚至没有，看看下面课本中的原题《人教A版必修五复习参考题二B组第6题》
一、题目：
先看教学参考书上给出的参考答案：
对于文中提到的课本中的解决办法，对于这个“神来之笔”，很多同学是想不到的，
下面给出老师思考分析解决这类问题的方法技巧
二、一般化
三、应用举例
符合“特征方程”的形式，解决办法就同上，直接代入公式得道通项公式，是不是非常简单呢，求解的过程中要注意复杂的根式计算，
避免出现计算错误。

高三数学备考数列通项公式的求法理试题

高三数学数列的通项公式【教学目的】一、知识目的1、解决形如()n S f n =、 ()n n S f a =、 1.()n n S S f n +=、 1()n n S S f n +=+、n+1p ()n a a f n =+(p 其中是常数）通项公式确实定。

2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。

二、才能目的在理论中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维才能。

通过对公式的应用，进步学生分析问题和解决问题的才能。

通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的才能。

三、情感目的通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊，表达“归纳—推理〞的思想方法。

【教学重点】：通过学习让学生可以纯熟准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。

【教学难点】：1、如何将n+1p ()n a a f n =+转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、理解和掌握n+1p ()n a a f n =+此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。

【知识点梳理】1. 数列的通项公式假如数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．S n 与a n 的关系S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在数列{a n }中，假设a n 最大，那么⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.假设a n 最小，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3、()⎩⎨⎧=-=+n f a a aa n n 11求数列通项公式用累加法4、()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法5、)(1n f pa a n n +=+求数列通项公式〔1〕：可转化为()()211≥-=--+n a a p a a n n n n 令n n n a a b -=+1，那么}{n b 成等比数列；〔2〕：可转化为)(1k a p k a n n +=++，那么{}k a n +为等比数列【典型例题】题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：()()()()().,5,0,5,0,55;,7777,777,77,74;,225,8,29,2,213;,31,15,7,3,12;,54,21,114,721 ---解析：()()()();122;3174311441-=-=-⋅-+=n n n a nn a()()()();110974;21321-=-=+n n n n a n a ()ππ21cos 52sin 55-==n a n a n n 或点拨：〔1〕解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联络，一般要将原数列变形后化为根本数列或者特殊数列，要熟知一些根本数列，如数列{}{}{}(){}nnnn n 1,2,1,,2-⎭⎬⎫⎩⎨⎧等.〔2〕归纳得出的数列的通项公式合适前几项即可，并且通项公式也不一定唯一【变式练习】1.写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….[审题视点] 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．题型二：由递推关系求通项〔1〕累加法：()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11求数列通项公式用累加法例1 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高三数学备考冲刺140分问题08由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题含解析

问题8由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.二、经验分享(1) 已知S n，求a n的步骤当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现a n＝a n－1＋m时，构造等差数列；当出现a n＝xa n－1＋y时，构造等比数列；当出现a n＝a n－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现a na n－1＝f(n)时，用累乘法求解．三、知识拓展若数列{}n a满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列{}n a满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、题型分析(一) 用累加法求数列的通项【例1.】在数列{}n a中,11 2a= , ,则该数列的通项公式na= ．【分析】题目已知条件是,且n*∈N）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填4342n n --．【点评】当,且n *∈N ）满足一定条件时,可用…来求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21d n n =-或21d n n =+是常数,实际上21d n n =-或21d n n=+是个变量,n 变化d 随之改变.【小试牛刀】数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝2,a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ,证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．【解析】 (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得,a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2,即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1), 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1 (2k －1), 所以a n ＋1－a 1＝n 2, 即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1,所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{a n ＋1－a n }的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a 1的验证． (二) 利用累乘法求数列的通项【例2】设{}n a 是首项为1的正项数列,且,则n a = .【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得n a 与1+n a 的关系式,再用累乘法求解.【解析】∵,∴,由于{}n a 得各项为正,∴,∴,即11n n a na n +=+, ∴2112a a =,3223a a =,4334a a =,…,11n n a n a n --=,将以上各式相乘得11n a a n=,又11a =, ∴.【点评】形如1()nn a f n a -=型的递推公式常用累乘法.当()f n q =为常数且不等于0时,数列为等比数列,11n n a a q-=⋅；当()f n 为n 函数时,. 本题可思考{}n na 为常数数列.【小试牛刀】数列{}n a 中，前n 项和为n S ， 2nn na S = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令，证明：.【解析】(1) 2nn na S =，，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-，相乘得21na n a =-，且当n =1、2时，满足此式，所以.(2) ，因为n b 2>，所以；.(三) 用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列{}n a 满足： 11a =，，（ *n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为__________．【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】121n na =-【解析】由得：，变形得：，所以1{1}na +是以2为公比的等比数列，所以，所以121n n a =-. 【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出n a .用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列}{}{n n b a ，满足211=a ,1=+n n b a , ,*∈N n ,则=2015b ．【答案】20152016．【解析】1n n a b +=∵且121nn nb b a +=-, ,又112b =,1121b =--∴,11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∴是首项为2-,公差为1-的等差数列,,1n n b n =+∴,．故应填20152016． (四) 利用n S 与n a 的关系求数列的通项【例4】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知数列的各项均不为0，其前n 项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【解析】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点评】由S n 和a n 的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n ＝1和n ≥2两种情况讨论．当n ＝1时,a 1不适合a n 的情况要分开写,即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. (2)要注意a n 和S n 互化具有双向性,既可由a n 化为S n ,也可由S n 求a n . 【小试牛刀】已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.【解析】（Ⅰ）当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a ＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a ＋n 得2S n ＋1＝a ＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a－a ＋1，整理得2a n ＋1＝a－a ＋1，所以a ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．（Ⅱ）b n ＝＝＝－所以T n ＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＜．(五) 递推公式为（其中p ,q 均为常数）. 解法一（待定系数——迭加法）: 【例5.】数列{}n a ：,,求数列{}n a 的通项公式.【分析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s,t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s .【分析二】(特征根法)：对于由递推公式,给出的数列{}n a ,方程,叫做数列{}n a 的特征方程. 若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为,其中A,B 由决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入,得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时,数列{}n a 的通项为,其中A,B 由决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入,得到关于A 、B 的方程组）.【解法一】（待定系数——迭加法）: 由,得,且.则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,32为公比的等比数列, 于是.把代入,得,,,⋅⋅⋅,.把以上各式相加,得..【解法二】（特征根法）：数列{}na：,的特征方程是：.,∴.又由,于是故.【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知数列中，，且.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，所以，即；（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.①若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意. 五、迁移运用1．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知数列{}n a 满足： 11a =，，（ *n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】121n n a =-【解析】由得：，变形得：，所以1{1}na +是以2为公比的等比数列，所以，所以121n n a =-. 2．【江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】设数列{}n a 的首项11a =，且满足与，则数列{}n a 的前20项和为__________．【答案】2056【解析】考查数列的奇数项，结合递推关系有：，且112a +=，则数列{}21n a -构成首项为2公比为2的等比数列，令：，则：，即：，而，据此可得：数列{}n a 的前20项和为.3．【江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研】设函数()f x 满足且()12f =，则()10f =________．【答案】492【解析】()f x 满足，，，，各式相加可得，，，故答案为492. 4．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知数列对任意满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．【解析】（1）因为①，所以②，①②两式相减，得，所以③．又当时，得，不满足上式．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以不成立，当时，，由，得．令，则为增函数，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为7．5．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因此，，成等比数列.设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.6．【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．【解析】（1）设等差数列的公差d，则，．又是等差数列，所以，即，解得d＝2．此时，，符合数列是等差数列，所以．（2）假设存在，使得，，成等比数列．则，由（1）可知，，代入上式，得，整理得．（*）法一：令，x≥1．则，所以在上单调增，所以在上至少有一个根．又，故是方程（*）的唯一解．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．法二：，即，所以方程（*）可整理为．因为，所以无解，故．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．（3）由可知，．又，，故，所以．依题意，对任意恒成立，所以，即，故．若，据，可得当，时，．由及可得．所以，当，时，，即．故当，时，，故不合题意．若，据，可得，即．所以，当，时，，当时，，得，所以．当，时，，所以，故．故当时，对任意都成立．所以正整数k的最小值为3．7．【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足.①若，求证：数列是等差数列；②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.【解析】（1）令，则由，得因为，所以，当时，，且当n=1时，此式也成立.所以数列的通项公式为（2）①【证法一】因为，，所以.由得，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列.【证法二】因为所以所以.所以，所以，记，两式相减得，所以，所以，当时，，由得，所以，当时，，当n=1时，上式也成立，所以，(iii)所以数列是等差数列.【证法三】因为所以，（i）所以，（ii）（i）-（ii）得，（iii）所以，（iv）（iii）-（iv）得，所以.由知.所以，所以数列是等差数列②不妨设数列超过三项，令，由题意，则有，即，代入，整理得（*），若p=q=1，则，与条件矛盾；若，当n=1时，，①当n=2时，，②②÷①得，p=q，代入（*）得b=c，所以，与条件矛盾.故这样的数列至多存在三项.8．【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺问题08由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题含解析

问题8由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题一、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.二、经验分享(1) 已知S n，求a n的步骤当n＝1时，a1＝S1；当n≥２时，a n＝S n－S n－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥２的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面考虑：如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法解决.(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法当出现a n＝a n－1＋m时，构造等差数列；当出现a n＝a n－1＋y时，构造等比数列；当出现a n＝a n－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现a na n－1＝f(n)时，用累乘法求解．三、知识拓展若数列n a满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列n a满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、题型分析(一) 用累加法求数列的通项【例1.】在数列n a中,11 2a , ,则该数列的通项公式n a= ．【分析】题目已知条件是,且n N）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填4342n n ．【点评】当,且nN）满足一定条件时,可用…求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21dnn或21dnn是常数,实际上21dnn或21dnn是个变量,n 变化d 随之改变.【小试牛刀】数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝2,a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ,证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得,a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2,即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列．(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1), 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a ＋1－a )＝∑nk ＝1 (2－1), 所以a n ＋1－a 1＝n 2, 即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1, 所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.【点评】本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{a n ＋1－a n }的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a 1的验证．(二) 利用累乘法求数列的通项【例2】设{}n a 是首项为1的正项数列,且,则na .【分析】观察已知的递推式,用十字交叉法分解因式,可求得n a 与1n a 的关系式,再用累乘法求解.【解析】∵,∴,由于{}n a 得各项为正,∴,∴,即11n na n a n ,∴2112a a ,3223a a ,4334a a ,…，11n na n a n,将以上各式相乘得11n a a n,又11a ,∴. 【点评】形如1()n na f n a 型的递推公式常用累乘法.当()f n q 为常数且不等于0时,数列为等比数列,11n n a a q；当()f n 为n 函数时,. 本题可思考{}n na 为常数数列.【小试牛刀】数列n a 中，前n 项和为n S ，2n nna S (1)求数列n a 的通项公式；(2)令，证明：.【解析】(1) 2n nna S ，，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以3221a a ，4332a a ，…，112n na n a n，相乘得21n a n a ，且当n =1、2时，满足此式，所以.(2) ，因为nb 2，所以；.(三) 用构造法求数列的通项【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列n a 满足：11a ，，（*n N ），则数列n a 的通项公式为__________．【分析】变形为,构造新数列求解.【答案】121nna 【解析】由得：，变形得：，所以1{1}na 是以2为公比的等比数列，所以，所以121nna .【点评】数列是一种特殊的函数,通过递推公式写出数列的前几项再猜想数列的通项时,要验证通项的正确性. 易出现的错误是只考虑了前3项,就猜想出n a .用构造法求数列的通项,要仔细观察递推等式,选准要构造的新数列的形式,再确定系数.【小试牛刀】已知数列}{}{n n b a ，满足211a ,1n nb a ,,N n,则2015b ．【答案】20152016．【解析】1n na b ∵且121nnnb b a ,,又112b ,1121b ∴,11nb ∴是首项为2,公差为1的等差数列,,1nn b n ∴,．故应填20152016．(四) 利用n S 与n a 的关系求数列的通项【例4】【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】已知数列的各项均不为0，其前n 项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【解析】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点评】由S n和a n的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥２两种情况讨论．当n＝1时,a1不适合a n的情况要分开写,即a n＝S n，n＝1，S n－S n－1，n≥2.(2)要注意a n和S n互化具有双向性,既可由a n化为S n,也可由S n求a n.【小试牛刀】已知数列为单调递增数列，为其前项和，. （1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.【解析】（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．由2S n＝a＋n得2S n＋1＝a＋n＋1，所以2S n＋1－2S n＝a－a＋1，整理得2a n＋1＝a－a＋1，所以a＝(a n＋1－1)2．所以a n＝a n＋1－1，即a n＋1－a n＝1，所以{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n．（Ⅱ）b n＝＝＝－所以T n＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＜．(五) 递推公式为（其中p ,q 均为常数）.解法一（待定系数——迭加法）【例5.】数列n a ：, ,求数列n a 的通项公式.【分析一】解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s,t满足qstp t s .【分析二】(特征根法)：对于由递推公式,给出的数列n a ,方程,叫做数列n a 的特征方程. 若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x 时,数列n a 的通项为,其中A,B 由决定（即把2121,,,x x a a 和2,1n,代入,得到关于A 、B 的方程组）；当21x x 时,数列n a 的通项为,其中A,B 由决定（即把2121,,,x x a a 和2,1n,代入,得到关于A 、B 的方程组）.【解法一】（待定系数——迭加法）由,得,且.则数列n na a 1是以a b 为首项,32为公比的等比数列,于是.把代入,得, , ,,.把以上各式相加,得..【解法二】（特征根法）：数列n a：,的特征方程是：.,.又由,于是故.【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知数列中，，且.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，所以，即；（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.①若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.五、迁移运用1．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知数列n a 满足：11a ，，（*n N ），则数列n a 的通项公式为__________．【答案】121nna 【解析】由得：，变形得：，所以1{1}na 是以2为公比的等比数列，所以，所以121nna .2．【江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】设数列na 的首项11a ，且满足与，则数列n a 的前20项和为__________．【答案】2056【解析】考查数列的奇数项，结合递推关系有：，且112a ，则数列21na 构成首项为2公比为2的等比数列，令：，则：，即：，而，据此可得：数列n a 的前20项和为.3．【江苏省淮安市盱眙中学2018届高三第一次学情调研】设函数f x 满足且12f ，则10f ________．【答案】492【解析】f x满足，，，，各式相加可得，，，故答案为49 2.4．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考（江苏卷)】已知数列对任意满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．【解析】（1）因为①，所以②，①②两式相减，得，所以③．又当时，得，不满足上式．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以不成立，当时，，由，得．令，则为增函数，又．因此要使成立，只需，故使成立的正整数的最小值为7．5．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因此，，成等比数列.设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.6．【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数的最小值．【解析】（1）设等差数列的公差d，则，．又是等差数列，所以，即，解得d＝2．此时，，符合数列是等差数列，所以．（2）假设存在，使得，，成等比数列．则，由（1）可知，，代入上式，得，整理得．（*）法一：令，≥1．则，所以在上单调增，所以在上至少有一个根．又，故是方程（*）的唯一解．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．法二：，即，所以方程（*）可整理为．因为，所以无解，故．所以存在，使得，，成等比数列，且该等比数列为3，9，27．（3）由可知，．又，，故，所以．依题意，对任意恒成立，所以，即，故．若，据，可得当，时，．由及可得．所以，当，时，，即．故当，时，，故不合题意．若，据，可得，即．所以，当，时，，当时，，得，所以．当，时，，所以，故．故当时，对任意都成立．所以正整数的最小值为3．7．【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足.①若，求证：数列是等差数列；②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.【解析】（1）令，则由，得因为，所以，当时，，且当n=1时，此式也成立.所以数列的通项公式为（2）①【证法一】因为，，所以.由得，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列.【证法二】因为所以所以.所以，所以，记，两式相减得，所以，所以，当时，，由得，所以，当时，，当n=1时，上式也成立，所以，(iii)所以数列是等差数列.【证法三】因为所以，（i）所以，（ii）（i）-（ii）得，（iii）所以，（iv）（iii）-（iv）得，所以.由知.所以，所以数列是等差数列②不妨设数列超过三项，令，由题意，则有，即，代入，整理得（*），若p=q=1，则，与条件矛盾；若，当n=1时，，①当n=2时，，②②÷①得，p=q，代入（*）得b=c，所以，与条件矛盾.故这样的数列至多存在三项.8．【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥２都有。

专题6.1 导数中的构造函数-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品

【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F n f x x x =；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e=．例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫<⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是() A．B．C．D．4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______. 16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．。

高中数学解题模板专题训练：数列通项公式的求解策略高中数学黄金解题模板

第二步，使用数学归纳法证明通项公式是成立的.学&科网
【变式演练 1】已知数列{an}满足 an+1 = an + (2n +81()n2 (+21n)+ 3)2 ，a1 = 98 ，求数列{an}的通项公式。
由此可知，当 n= k +1 时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何 n ∈ N * 都成立。
第三步，根据 a1 = S1 求出 a1 ，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据 a1 和{an}的递推公式求出 an .学/科网
【变式演练 2】已知数列{an} 的前 n 项和= Sn
1 3
an
+
2 3
，则
{an} 的通项公式 an
=（
）
A．
an =
【答案】
an
=
n2
−n 2
+
2
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方法四累乘法
使用情景：型如 an+1 an
=
f (n) 或 an+=1
an × f (n)
解题模板：第一步将递推公式写成 an+1 = f (n) ； an
第二步依次写出 an ,⋅⋅⋅, a2 ，并将它们累加起来；
an−1
a1
第三步
得到 an a1
的值，解出 an ；
an
满足 a1
=
1 2
，且 an+1
=
2an 2 + an
.
1
（1）求证：数列
an
是等差数列；
{ } （2）若 b=n an ⋅ an+1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .

通项公式的求法40道题——解析版

新版数列——通项公式综合训练（40道题)第1节课——抓住数列的核心问题——通项公式的求法一、填空题1．已知数列{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，则数列{}n b 的通项公式为________．【答案】223n n b +=-根据已知可得123n n b n b a b +==+,然后两边同时加上3,变形为132(3)n n b b ++=+,再利用等比数列通项公式可得答案.【详解】因为23n a n =+,所以123n n b n b a b +==+,所以132(3)n n b b ++=+, 又11335380b a +=+=+=≠,所以数列{3}n b +是首项为8,公比为2的等比数列,所以1382n n b -+=⨯22n +=,所以223n n b +=-.故答案为: 223n n b +=-2．数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________.（写出一个即可）【答案】221332n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭首先利用数列的递推关系式求出数列各项，进一步利用数列的周期的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-．当1n =时，211112a a =-=．当3n =时32111a a =-=-，当4n =时43112a a =-=．当5n =时541111122a a =-=-=．所以{}n a 是以3为最小正周期的数列sin()n a A n Bωϕ=++23T πω==23πω∴=2sin 3n a A n Bπϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭12sin 23a A B πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭①，241sin 32a A B πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭②，()3sin 21a A B πϕ=++=-③，①减②，得cos 2A ϕ=④②减③，得1cos sin 22A ϕϕ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭④除⑤，得tan ϕ=||2πϕ<3ϕπ∴=-代入④得A =12B =21332n a n ππ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭故答案为：221332n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．3．设11a =，212n n a a n +=+，则通项公式n a =______．【答案】127223n n n -⨯---令2n n a b sn tn k =+++（s 、t 、k 为待定的常数），则()()2221112222n n b s n t n k b sn tn k n ++++++=++++，即()()21212n n b b s n t s n k t s +=+++-+--．令10200s t s k t s +=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，解得123s t k =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则121172272nn n n b b b b +-=⎧⎨====⨯⎩．因此，172n n b -=⨯．故127223n n a n n -=⨯---．4．已知递推式()121n a n N +⎤=∈⎢⎥⎣⎦，02a =则通项公式n a =______.4122n ππ⎛⎫+⎪⨯⎝⎭令0,2n n n a πθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则03πθ=.代入递推式得 11cos cos 2828n n n n θθππθθ++⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭41224122n n n n a ππππθ⎛⎫⇒=+⇒=+ ⎪⨯⨯⎝⎭. 5．已知数列{}n a 的通项公式为2nn a =，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若1212n n S n +-+=，则数列{}n b 的通项公式为n b =__________．【答案】n根据题干得到n 2≥时，()1222n n S n -=-⋅+和原式相减得到2nn n a b n =⋅，所以n b n =，再检验n=1时满足通项公式.【详解】因为1212n n S n +-+=，所以()1122n n S n +=-⋅+.所以当2n ≥时，()1222n n S n -=-⋅+，两式相减，得2n n n a b n =⋅，所以n b n =；当1n =时，112a b =，所以11b =.综上所述，n b n =.故答案为n.6．（1）在数列{}n a 中，113,43n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =________________；（2）在数列{}n a 中，1111,63n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =________________．【答案】41n -； 113(23)n n -+-。