中考数学复习指导：圆的基础性质公式定理

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中考数学复习指导：圆的基础性质公式定理

中考数学复习指导：圆的基础性质公式定理圆的基础性质⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，假设两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其他各组量都区分相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 假设一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有独一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD 与BC区分交PQ于X，Y，那么M为XY之中点。

(4)假设两圆相交，那么衔接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆的知识要领不只常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。

初三《圆》知识点及定理

《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学圆知识点总结

九年级数学圆知识点总结在九年级数学学习的过程中，我们接触到了许多关于圆的知识。

圆是几何学中的重要概念之一，它有着特殊的性质和应用价值。

接下来，本文将对九年级数学中的圆知识点进行总结。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上所有到一个给定点距离相等的点组成的图形。

这个给定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

2. 相关性质：- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径长度的两倍。

- 圆的半径相等，且平行于任意切线。

- 圆的弦是连接圆上任意两点的线段，直径是最长的弦。

- 相等弧所对的圆心角相等，且圆心角大于它所对的弧上任意角。

二、圆的周长与面积1. 周长：- 弧长：圆的周长也被称为圆的周长，用C表示。

弧长是圆上一段弧的长度，计算公式为：C = 2πr，其中r是圆的半径。

- 弧度制：弧度制是角度的一种衡量方式，常用的单位是弧度（radian）。

一个完整的圆周对应的弧度数为2π。

2. 面积：- 圆的面积：用A表示，计算公式为：A = πr^2，其中r是圆的半径。

三、圆的位置关系1. 内切与外切：- 内切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心重合，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为内切圆。

- 外切：当一个圆的圆心与另一个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆唯一的内外切点是同一个时，我们称这两个圆为外切圆。

2. 切线与割线：- 切线：从圆外一点引出的与圆相切的直线称为切线，切线与半径垂直。

- 割线：与圆相交于两点的直线称为割线。

四、圆的常见定理和应用1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么它与半径的垂直角都是直角。

2. 弧长与圆心角关系：弧长等于半径与对应圆心角的乘积。

3. 弧度制与角度制的转换关系：一周的弧度数为360°。

4. 圆心角、弦与弧的关系：圆心角的度数是对应的弧度数的两倍。

5. 弦切角定理：一个弦与切线所夹的角等于被切割的弧所对的圆心角。

九年级圆的知识点归纳与公式

九年级圆的知识点归纳与公式圆是数学中的一个基本几何图形，它在我们的日常生活中随处可见，比如轮胎、钟表和饼干等。

九年级是学习圆的基础知识的阶段，在这里我们将归纳总结九年级圆的知识点及相关的公式。

一、圆的基本概念在开始讨论圆的公式之前，我们首先要了解圆的基本概念。

圆是由一组与某一点距离相等的点所组成的图形。

这个距离称为半径，用字母r表示。

圆的中心是半径所在的点，通常用字母O表示。

二、圆的周长和面积圆的周长是指沿圆的边界一周所需的长度。

周长的公式为C = 2πr，其中π是一个常数，约等于3.14159。

可以看出，周长与半径成正比。

圆的面积是指圆所围成的平面区域的大小。

面积的公式为A = πr²。

从公式中可以看出，面积与半径的平方成正比。

三、弧长和扇形面积在圆上，连接圆心和两个任意点，形成一个弧。

弧长是指沿弧的长度。

弧长的公式为s = rθ，其中θ是弧所对的圆心角的大小。

扇形是由一条弧和两条半径所围成的图形。

扇形的面积可以通过扇形圆心角的大小来计算。

扇形面积的公式为A = ½r²θ，其中θ是扇形圆心角的大小。

四、圆的切线和切点圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。

切线与半径垂直，且切点在切线上。

圆的切点是切线与圆相交的点。

圆的切点数量与切线的数量相等。

五、相交圆和外切内切圆两个圆如果有公共的点，就称它们为相交圆。

相交圆的位置有很多种情况，可以是内切、外切或相互穿过。

外切圆是可以与三角形的三个顶点的某一边相切的圆。

三角形的外接圆是外切圆的一种特殊情况。

外接圆的半径等于三角形两边和斜边的乘积的一半。

内切圆是可以与三角形的三个边相切的圆。

三角形的内切圆是内切圆的一种特殊情况。

内切圆的半径等于三角形的面积除以其半周长。

六、圆的平行线和切割比例如果两个圆的半径相等，则称这两个圆为相等圆。

相等圆是可以互相平行的。

如果一条线与两个相等圆相交，并且该线垂直于这两个相等圆的半径，则称这条线为圆的平行线。

初中数学知识归纳圆的性质与运算

初中数学知识归纳圆的性质与运算圆是初中数学中常见的几何图形，具有独特的性质和运算规则。

了解圆的性质与运算对于学习数学和解决相关问题非常重要。

本文将对初中数学中与圆相关的知识进行归纳总结。

一、圆的性质1. 定义：圆是平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。

2. 圆的要素：(1) 圆心：圆的中心点，通常用大写字母O表示。

(2) 半径：以圆心为中心，连接圆心和圆上任意一点的线段，称为半径，通常用小写字母r表示。

圆的半径相等。

(3) 直径：通过圆心的两个点，称为直径，通常用大写字母D表示。

直径等于半径的两倍。

3. 圆的常见关系：(1) 切线与半径的关系：切线与半径的交点处的切线垂直于该半径。

(2) 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

半径是弦的中垂线。

(3) 弧：圆上两点间的弧。

圆上所有弧的长度都是360度。

(4) 圆周角：以圆心为顶点的角，所对的弧的弧度数称为圆周角。

(5) 正切线：与切点处的切线相交，且不在圆内的直线。

二、圆的运算1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上的弧长。

圆的周长公式为C=2πr，其中π≈3.14，r为半径。

2. 圆的面积：圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和。

圆的面积公式为A=πr²。

3. 圆的扇形面积：扇形是以圆心为基准的一部分圆，扇形的面积可以通过圆的面积公式和圆周角计算得出。

扇形面积公式为S=(θ/360)πr²，其中θ为圆心角的度数。

4. 圆柱体的体积：圆柱体是由圆形底面和侧面围成的立体图形。

圆柱体体积公式为V=πr²h，其中r为底面半径，h为高。

5. 图形的相似：如果两个图形具有相同的形状但大小不同，我们称它们为相似图形。

对于圆来说，它们的半径比例相等，面积比例是半径比例的平方。

三、圆的应用1. 圆的运动：圆在平面上可以进行旋转、平移等运动。

这些运动可以通过圆的几何性质进行分析和求解。

2. 圆的测量：利用圆的性质和运算规则，可以进行圆的周长、面积等测量问题的求解。

九年级圆的定理总结

九年级圆的定理总结如下：1.圆上三点确定一个圆，且确定一个唯一的圆心，该圆心是三点所连线段垂直平分线的交点。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。

3.切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

5.弦心距定理：弦心距平分弦所对的弧。

6.相交弦定理：弦与直径垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。

7.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点和圆心的连线平分两条割线的夹角。

8.直径所对的圆周角等于90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

9.同圆或等圆的半径相等，直径等于半径的两倍。

10.圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

11.如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（公共弦）垂直平分两圆的连心线。

12.如果两圆相切，那么两圆的半径之和等于圆心距，或两圆半径之差等于圆心距。

13.两圆的半径之比等于圆心距之比等于两圆周长之比。

14.圆内接四边形的对角互补，内角和等于360度。

15.弧长公式：l=nπr/18016.扇形面积公式：s=1/2lr=1/2nπr²17.圆锥侧面积公式：s=1/2rl=πrl18.点P在圆O内，PA切圆O于A，则OP<PA。

19.点P在圆O上，PA切圆O于A，则OP=PA。

20.点P在圆O外，PA切圆O于A，则OP>PA。

21.从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

22.从圆外一点因圆的两条割线，这一点到割线与圆交点的两条线段长的积等于这一点到圆心的距离与圆的半径的积。

23.直线和圆相交，则有公共点；直线和椭圆相交，则有公共点；直线和双曲线相交，则有公共点；直线和抛物线相交，则有公共点；平面解析几何适用范围要熟记。

2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理

2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理中考数学中圆的基础性质公式定理有以下几个：
一、圆周公式
圆的圆周C＝2πr，其中C为圆的圆周长，r为圆的半径。

二、圆的面积公式
圆的面积S＝πr2，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

三、圆心角公式
圆心角的大小θ等于弧长除以半径：θ＝l/r，其中θ为圆心角的大小，圆周长l，半径r。

四、圆切线与圆弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则圆心角的三个角相等：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆心角的三个角的大小。

五、圆周弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则两条切线上有等于圆弧的三次夹角：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆弧上三次夹角的大小。

六、圆的外接四边形关系
若四边形是圆的外接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r，其中DA,DB为四边形的两条对角线，r为圆的半径。

七、半径交点概念
若平面上有两条圆，以及它们的公共外接四边形，它们上的所有的交点都是半径交点，即两圆从它们公共外接四边形的对角线交点开始，向外射线，直到相交，所有相交的点都是它们的半径交点。

八、圆内接四边形关系
若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r。

初中数学圆知识点总结归纳

初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中定点称为圆心，定长称为半径。

圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。

二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。

圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。

三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。

切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。

相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。

圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。

弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。

相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。

余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。

正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

圆的所有定理公式大全

圆的所有定理公式大全圆是几何学中一个重要的基本图形，它具有许多特殊的性质和定理。

在这篇文章中，我们将介绍一些圆的定理和公式，帮助读者更好地理解圆的性质和应用。

1. 圆的基本性质：- 圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合。

- 圆心到圆上任意一点的距离称为半径（r）。

- 圆的直径（d）是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。

2. 圆的周长和面积：- 圆的周长（C）等于圆的直径（d）乘以π（圆周率）。

C = πd 或C = 2πr- 圆的面积（A）等于半径（r）的平方乘以π（圆周率）。

A = πr²3. 弧长和扇形面积：- 弧长（L）是圆的一部分的弧长。

它等于弧度（θ）乘以半径（r）。

L = θr （其中θ 的单位为弧度）- 扇形面积（A）等于角度（θ）比上360度再乘以圆的面积。

A = (θ/360)πr² （其中θ 的单位为角度）4. 圆的相交性质：- 弦：圆上连接两个点的线段称为弦。

如果一个弦通过圆心，它称为直径。

- 弦切角：如果两个弦的端点相连成一个角，则这个角叫做弦切角。

- 切线：与圆相切且与半径垂直的线段称为切线。

切线与半径的交点称为切点。

- 切线切割定理：一个切点与切点外的任意一点相连，此线段与切线的交点与切点相连的线段平方等于此直线与切线相交的两条弦构成的弧的两个弧度之积。

5. 圆的角度定理：- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于所对弧所对应的圆周角度数。

- 直径角：直径所对的角称为直径角，它的度数为 180 度。

- 弧角定理：圆上的两条弦所对的圆心角等于它们所对弧所对应的圆周角的一半。

6. 圆的判定定理：- 定理 1：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这个点在圆上。

- 定理 2：如果一个点在圆上，那么它到圆心的距离等于圆的半径。

7. 圆的位置关系：- 外切圆：与一个三角形的三边都相切的圆，叫做该三角形的外切圆。

- 内切圆：与一个三角形的三条边都相切于一个点的圆，叫做该三角形的内切圆。

干货：圆的相关定理，性质，公式盘点

干货：圆的相关定理，性质，公式盘点不要害怕拒绝他人，如果自己的理由出于正当。

当一个人开口提出要求的时候，他的心里根本预备好了两种答案。

所以，给他任何一个其中的答案，都是意料中的。

——三毛1、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是圆O的直径,CD⊥AB∴AP=BP,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD2、弧，弦，圆心角(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.∵ ∠COD =∠AOB∴AB=CD,弧AB=弧CD3、圆周角定理及推论在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

∠A =1/2∠O在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等。

相等的圆周角所对的弧相等。

∠C=∠D=∠E=1/2∠AOB半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

∵AB是⊙O的直径∴∠C=∠D=∠E=90°（∵∠C=90°，∴AB是⊙O的直径）4、点与圆，直线与圆的位置关系一、(1)点在圆外，d＞r;(2)点在圆上，d =r;(3)点在圆内，d＜r.二、 (1)当直线与圆相离时d＞r;(2)当直线与圆相切时d =r;(3)当直线与圆相交时d＜r.三、切线的判定与性质判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

∵OA是⊙O的半径,OA⊥ l∴直线l是⊙O的切线.性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.∵直线l是⊙O的切线,切点为A∴ OA⊥ l切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

∵PA、PB为⊙O的切线∴PA=PB,∠APO= ∠BPO5、三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点.三角形的内心是三角形各角平分线的交点.6、弧长，扇形面积，圆锥侧面积计算公式S侧面积=πra。

初中数学圆的基本性质公式定理

初中数学圆的基本性质公式定理初中数学圆的基本性质公式定理大全大家都知道：圆是定点的距离等于定长的点的集合，那么圆的半径、圆心等性质大家熟知了吗。

以下是小编为你整理的内容，欢迎阅读。

圆的基本性质1圆是定点的距离等于定长的点的集合2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4同圆或等圆的半径相等5到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

上面为大家带来的是初中数学公式定理大全之圆的公式定理，热爱数学的同学们应该熟记于心了吧。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

九年级圆知识点总结归纳完整版

九年级圆知识点总结归纳完整版圆是初中数学中一个重要的几何概念，它有着广泛的应用。

本文将对九年级圆的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、圆的定义圆是平面上的一个几何图形，由与其内部距离相等的所有点组成。

其中，距离圆心最远的点称为圆上的点，这个距离称为半径，用字母r表示。

圆上的任意两点之间的距离称为弦，圆的直径是一条穿过圆心并且与圆上的两点相接的弦，直径的长度是半径的两倍。

二、圆的性质1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个无理数，近似值为3.14或22/7。

周长是圆上一周的长度，也可以说是圆的边界长度。

2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A是圆的面积。

面积是圆所包围的平面区域的大小。

3. 切线的性质：切线是与圆只有一个交点的直线。

圆与切线相切时，切线与半径的夹角是直角。

4. 弦的性质：圆的直径是最长的弦，且直径平分圆。

如果两弦在圆内或圆上的交点连线通过圆心，则交线垂直于这两条弦。

三、圆的定位1. 圆的内切和外切：当一个圆与一个三角形的三条边都相切时，该圆称为三角形的内切圆；当一个圆与一个三角形的每条边的延长线相切时，该圆称为三角形的外切圆。

2. 圆的相似：两个圆的半径之比等于两个圆的周长之比，它们是相似的。

四、圆的推理与证明1. 直径在同一直线上的圆是同心圆：当两个圆的直径重合时，它们是同心圆。

2. 圆内接四边形的性质：一个四边形能够内切于一个圆的充要条件是，这个四边形的对角线互相垂直。

3. 正多边形外接圆的性质：一个正n边形可以内切与一个圆的充要条件是，这个正n边形的对角线互相垂直。

五、圆的应用1. 圆与三角形的应用：可以利用圆的性质来解决三角形的推理证明题，如证明三角形内切圆的性质、利用相似三角形证明圆的性质等。

2. 圆的平移、旋转和镜像：圆可以通过平移、旋转和镜像等变换来进行操作，这在解决几何问题时有着重要的作用。

中考数学之圆的公式定理整理

中考数学之圆的公式定理整理初中数学学习中，大家首先必须搞懂的就是公式定理，只有先记住了公式，才有可能在运算中活学活用。

下面是小编给大家带来的中考数学复习资料之圆的公式定理，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!中考数学复习资料之圆的基本性质与定理1。

点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2。

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

3。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4。

在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

7。

不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8。

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

9。

直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离)：AB与⊙O相离，PO>r;AB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO10。

圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

11。

圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r中考数学复习资料之圆的定义1。

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

2。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

中考数学专题复习圆

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

中考数学复习① 与圆的基本性质有关的计算与证明

类型①与圆的基本性质有关的计算与证明,备考攻略)1．圆的基本性质．(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧．(3)圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心．(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(5)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化．这在圆中的证明和计算中经常用到．1．垂径定理及垂径定理推论混淆．2．圆的基本元素之间不会转化．3．计算错误．先找准与圆的哪些要素有关，然后选择对应的性质定理求解．计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性．注意圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化．,典题精讲)【例】(2017孝感中考)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为________．【解析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°，∵AD ＝22，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.【答案】150°或30°1．(2017哈尔滨中考)如图，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝42°，∠APD ＝77°，则∠B 的大小是( B )A ．43°B ．35°C ．34°D ．44°2．(达州中考)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( C )A .13B ．2 2C .24D .223,(第2题图)) ,(第3题图))3．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°4．(青岛中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．,(第4题图)) ,(第5题图))5．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__.6．(安微中考)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图①，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tan B ＝OPOB ，∴OP ＝3tan 30°＝ 3.在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，∴OQ ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝6；(2)连接OQ.在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP ＝OB·sin 30°＝OB 2＝32，∴PQ 长的最大值为9－⎝⎛⎭⎫322＝332.7．(鄂州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线．以O 为圆心，OC 为半径作⊙O.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D ，tan D ＝12，求AEAC 的值；(3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．解：(1)作OF ⊥AB 于点F ，∵AO 是∠BAC 的平分线，∠ACB ＝90°， ∴OC ＝OF ， ∴AB 是⊙O 的切线；(2)连接CE ，∵ED 是⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°，∴∠ECO ＋∠OCD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECO ＝90°， ∴∠ACE ＝∠OCD ， ∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴∠ACE ＝∠ODC ， ∵∠CAE ＝∠CAE ， ∴△ACE ∽△ADC ， ∴AE AC ＝CE CD， ∵tan D ＝12，∴CE CD ＝12，∴AE AC ＝12； (3)先在△ACO 中，设AE ＝x ，由勾股定理得(x ＋3)2＝(2x)2＋32，解得x ＝2， ∴AO ＝AE ＋OE ＝2＋3＝5， ∴AC ＝AO 2－OC 2＝4. ∴AF ＝AC ＝4.∵∠BFO ＝90°＝∠ACO ，易证Rt △BOF ∽Rt △BAC ，得BF BC ＝BO BA ＝OFAC ，设BO ＝y ，BF ＝z ，z 3＋y ＝y 4＋z ＝34，即⎩⎨⎧4z ＝9＋3y ，4y ＝12＋3z ，解得z ＝727，y ＝757，∴AB ＝727＋4＝1007.8．(2017株洲中考)如图所示AB 为⊙O 的一条弦，点C 为劣弧AB 的中点，E 为优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE ＝EF ，线段CE 交弦AB 于点D.(1)求证：CE ∥BF;(2)若BD ＝2，且EA ∶EB ∶EC ＝3∶1∶5，求△BCD 的面积．(注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB)解：(1)连接AC ，BE ，作直线OC ，如图所示： ∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠EBF.∵∠AEB ＝∠EBF ＋∠F ， ∴∠F ＝12∠AEB.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵， ∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠AEC ＋∠BEC ， ∴∠AEC ＝12∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF ；(2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△CBE ， ∴AD CB ＝AE CE ，即AD CB ＝35. ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ， ∴△CBE ∽△CDB ， ∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝15， ∴CB ＝25， ∴AD ＝6， ∴AB ＝8，∵点C 为劣弧AB 的中点， ∴OC ⊥AB ，AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2，∴△BCD 的面积＝12BD·CG ＝12×2×2＝2.。

初三数学圆的知识点和公式总结

初三数学圆的知识点和公式总结数学圆的知识点和公式总结如下：1. 圆的定义：圆是由平面上所有到一个固定点的距离等于一个常数的点的集合。

2. 圆的要素：- 圆心：到圆上任意一点的距离相等的点，通常用大写字母O表示。

- 圆的半径：连接圆心和圆上任意一点的线段的长度，通常用小写字母r表示。

- 圆的直径：通过圆心的两个点之间的距离的两倍，即2r。

- 圆周：圆上所有的点构成的曲线。

- 圆内部：圆周所围成的区域。

3. 圆的相关公式：- 圆的周长：C=2πr，其中π≈3.14。

- 圆的面积：A=πr²。

- 圆的直径与周长的关系：C=πd，其中d为直径。

- 圆的直径与面积的关系：A=π(d/2)²。

4. 圆与圆的位置关系：- 相离：两个圆没有交点，且两个圆心之间的距离大于两个半径之和。

- 外切：两个圆内切于一个切点，且两个圆心之间的距离等于两个半径之和。

- 相交：两个圆有两个交点，且两个圆心之间的距离小于两个半径之和。

- 内切：一个圆在另一个圆的内部，且两个圆心之间的距离等于两个半径之差。

- 同心：两个圆的圆心重合，半径可以相等也可以不相等。

5. 圆的常用定理：- 弧长公式：弧长L=2πr(θ/360°)，其中θ为所对的圆心角的度数。

- 弦长公式：弦长l=2r*sin(θ/2)，其中θ为所对的圆心角的度数。

- 弧度制与角度制的转换：1弧度=180°/π，1°=π/180弧度。

- 正弦定理：在任意三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC。

- 余弦定理：在任意三角形ABC中，c²=a²+b²-2ab*cosC。

- 勾股定理：在直角三角形ABC中，a²+b²=c²。

希望以上总结对你有帮助！如有其他问题，请随时提问。

初中《圆》知识点及定理

初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。

2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。

二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。

2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。

3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。

4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。

5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。

6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。

7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。

8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。

三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。

2、圆上，任意两点之间的距离相等。

3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。

4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。

5、圆的面积A=πr²。

6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。

四、圆的有关定理。

初中圆知识点公式总结

初中圆知识点公式总结1. 圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的基本属性，其中：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为半径。

面积的计算公式为：A=πr²，其中π≈3.14，r为半径。

2. 圆心角和圆周角在圆上有两种特殊的角：圆心角和圆周角。

圆心角指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的弧度数。

圆周角指以圆周上的两点为端点的角，其度数等于所对圆弧的弧度数的一半。

圆周角的计算公式为：θ=πr / 180，其中θ为角的度数，r为所对圆弧的半径圆心角的计算公式为：θ=2πr/180，其中θ为角的度数，r为所对圆弧的半径。

3. 圆心角定理和圆周角定理圆心角定理指：圆周角的度数等于所对圆弧的度数的一半，即m(<AOB)=1/2m(ACB)。

圆周角定理指：对于同一个圆周角，其所对的圆弧的度数相等。

即m(ACB)=m(A'B')。

4. 弧长和扇形面积弧长是圆周上的一段弧的长度，扇形是以圆心为顶点的一个角和这个角所对的圆弧所围成的图形。

弧长的计算公式为：L=rθ，其中r为半径，θ为圆心角的度数。

扇形的面积的计算公式为：S=1/2r²θ，其中r为半径，θ为圆心角的度数。

5. 切线和切线定理切线是与圆相切的直线，切线与半径的交点处成90度。

切线定理指：切线与半径的关系，即切线与半径的乘积等于弦与这个弦所对的圆周角的乘积，即PA²=PB×PC。

其中P为切点，A为切线与圆相切的点。

6. 弦心角和弧心角弦心角指：以弦为一边的角，弧心角指：以弧为一边的角。

弦心角的关系：在同一个圆上，相同弦上的两个弦心角相等，不同弦上的弦心角不等。

弧心角的关系：在同一个圆上，相同弧上的两个弧心角相等，不同弧上的弧心角不等。

7. 圆的切线和切圆切圆是指从圆外一点到圆上有且只有一条切线的情况，切圆的判定和切线的判定是相似的。

以上就是初中阶段学习中关于圆的知识点和公式的总结，这些知识点和公式贯穿了初中数学的整个教学内容，掌握这些知识对于学生在学习和解题过程中具有很大的指导作用。

圆的定理公式大全

圆的定理公式大全1.圆的定义：圆是平面上与一个固定点的距离恒定的点的集合。

2.圆的直径定理：圆的直径是圆上任意两个点的连线中最长的一段。

3.圆的半径定理：圆的半径是圆上任意一条弦的垂直平分线。

4.圆心角定理：在一个圆上，一个弧所对的圆心角是它所对弧的两倍。

5.弧长定理：圆的弧长是它的圆心角所对的弧的弧度数与半径的乘积。

6.弦长定理：圆上一条弦的弦长等于弦与圆心连线的垂直距离的两倍。

7.弦心角定理：在一个圆上，当两个弦截取的弧相等时，弦所夹的弧所对的弦心角也相等。

8.弧与切线的关系：一个切线与圆的弦的相交弧的弧长相等。

9.切线定理：如果一个切线和半径相交，那么相交点与圆心的连线垂直于切线。

10.垂径定理：在一个圆上，由圆心至弦的中点的线段垂直于弦。

11.弦割定理：当两个弦相交时，两个弦的乘积等于它们所对的两个弧的乘积。

12.弦切角定理：当一个切线与一条弦相交时，切线与弦之间的夹角等于所对弧的圆心角。

13.同切圆定理：两个同切圆的半径之比等于它们对应圆的半径之比。

14.位似圆定理：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是位似的。

15.勾股圆定理：在一个直角三角形中，斜边的一半等于直角边的几何平均数。

16.外接圆定理：在一个三角形中，三个顶点到外接圆圆心的距离相等。

17.内切圆定理：在一个三角形中，三个角的平分线交于一个点，这个点到三边的距离相等，且这个点是内切圆的圆心。

18.旁切圆定理：在一个三角形中，三个顶点到旁切圆切点的距离相等。

19.拉比定理：两个圆的外公切线上的切点连线与两个圆心的连线垂直。

20.均角定理：在一个圆上，两个截取同一弦的弧所对圆心角相等。

21.与弦垂直的半径定理：一个圆的半径与其上的弦垂直，则半径平分弦。

22.正弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的正弦等于相应的边与直径的乘积。

23.余弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的余弦等于两个相邻边与直径的乘积之和减对角边与直径的乘积。

数学初三圆的知识

数学初三圆的知识初三数学圆的知识主要包括以下几点：1. 圆的基本性质：圆心到圆上任一点的距离都相等，等于半径；直径是最大的弦，且等于半径的两倍；弦是连接圆上任意两点的线段，且弦通过圆心；优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧。

2. 圆的周长：圆的周长等于2π乘以半径，或者π乘以直径。

这个公式用于计算圆的周长。

3. 圆的面积：圆的面积等于π乘以半径的平方。

这个公式用于计算圆的面积。

4. 圆和圆的位置关系：根据两个圆的圆心距与两个圆的半径之和或半径之差的关系，可以判断两个圆的位置关系。

具体来说，如果两个圆的圆心距大于半径之和，则两个圆相离；如果圆心距等于半径之和，则两个圆相切；如果圆心距小于半径之和，则两个圆相交。

5. 圆的切线判定定理：圆的切线是经过圆心的线段或直线，而且仅与圆有一个公共点。

可以通过一些条件判断一条直线是否为圆的切线，如：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。

6. 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

这个定理用于证明切线的性质。

7. 圆的弦的性质定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

这个定理用于证明弦的性质。

8. 圆的内接四边形：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，则这个四边形是圆的内接四边形。

内接四边形的对角互补，即对角和为180度。

9. 圆的垂径定理：经过圆心且垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的弧。

这个定理用于证明直径的性质。

10. 圆的对称性：圆既是中心对称图形，也是轴对称图形。

任何经过圆心的直线都可以将圆分为两个完全相等的部分。

以上是初三数学中关于圆的一些主要知识点。

通过掌握这些知识点，可以更好地理解圆的性质和应用，为进一步学习几何学打下基础。