次分式函数值域的求法

合集下载

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。

定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。

在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。

下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。

一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。

2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。

3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。

4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。

5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。

6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。

7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。

二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。

2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。

例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。

3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。

4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。

5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。

分式函数求值域问题

分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式：一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。

高考数学复习函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

之袁州冬雪创作高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文先容了函数求值域最常常使用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，连系函数的解析式，求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域.点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域.解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3.∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性.本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷了然，不失为一种巧法.操练：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域.解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝.点评：操纵反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一.操练：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以操纵配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，操纵二次函数的最值求.解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不单要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.操练：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．辨别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用辨别式法求函数的值域.例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的辨别式，从而确定出原函数的值域.解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解.∴函数的值域为2＜y≤10/3.点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其辨别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.操练：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域.（答案：值域为y≤－8或y>0）.五．最值法对于闭区间[a,b]上的持续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与鸿沟值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且知足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将方针函数消元、配方，可求出函数的值域.解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x 代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上持续，故只需比较鸿沟的大小.当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4.∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝.点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域.操练：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）.六．图象法通过观察函数的图象，运用数形连系的方法得到函数的值域.例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.点拨：根据相对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象.解：原函数化为－2x+1(x≤1)y=3(-1<x≤2)2x-1(x>2)它的图象如图所示.显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞].点评：分段函数应注意函数的端点.操纵函数的图象求函数的值域，体现数形连系的思想.是处理问题的重要方法.求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域七．单调法操纵函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝.点评：操纵单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，连系函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域.操练：求函数y=3+√4-x的值域.(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.例2求函数y=x-3+√2x+1的值域.点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，操纵二次函数的最值，确定原函数的值域.解：设t=√2x+1（t≥0）,则x=1/2(t2-1).于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝.点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.操练：求函数y=√x-1–x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的布局特征，赋予几何图形，数形连系.例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域.解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1.由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共线时取等号.∴原函数的知域为｛y|y≥5｝.点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c 均为正数)，都可通过构造几何图形，由几何的性质，直观了然、方便简捷.这是数形连系思想的体现.操练：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝）以上九种是函数求值域最常常使用的方法,下面先容三种特殊情况下求值域的几种方法.十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入方针函数，进而求出原函数的值域.例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数.解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识.操练：已知x,y∈R，且知足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．操纵多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.点拨：将原分式函数，操纵长除法转化为一个整式与一个分式之和.解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1).∵1/(x+1)≠0，故y≠3.∴函数y的值域为y≠3的一切实数.点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数都可操纵这种方法.操练：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式.解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x<1.∴函数的值域（0，1）.点评：考察函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域.不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛.是数学解题的方法之一.。

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。

- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。

- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。

2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。

具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。

- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。

- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。

3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。

- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。

- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。

这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。

在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法【最新版】目录1.引言2.分式函数的定义和基本性质3.三种值域求法a.直接解法b.反函数法c.数形结合法4.结论5.示例正文一、引言分式函数是初等函数中的一种重要类型，它在实际问题中有广泛的应用。

求解分式函数的值域是研究分式函数特性的关键，本文将介绍三种求值域的方法。

二、分式函数的定义和基本性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。

分式函数的基本性质包括：定义域、值域、奇偶性、周期性等。

三、三种值域求法1.直接解法对于简单的分式函数，可以直接通过解方程或不等式求得函数的值域。

例如，对于函数 f(x)=(x+1)/(x-1)，我们可以通过解不等式|x+1|≠0 得到 x≠-1，从而得到函数的定义域，进而求得值域为 R-{1}。

2.反函数法对于复杂的分式函数，可以通过求反函数的方法求得值域。

首先求出原函数的反函数，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域。

例如，对于函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们可以求得它的反函数为f^-1(x)=sqrt(x^2+1)-1/x，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。

3.数形结合法对于含有参数的分式函数，可以通过数形结合的方法求得值域。

例如，对于函数 f(x)=(x+a)/(x^2+a^2)，我们可以通过观察函数的图像，发现函数的值域为 (-∞,-|a|]∪[|a|，+∞)。

四、结论分式函数的值域求法是研究分式函数特性的重要手段，三种方法各有特点，需要根据具体问题灵活运用。

求函数值域(最值)的方法

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去；（2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

求函数的值域、最值的13种方法

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

次分式函数值域的求法

次分式函数值域的求法 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】二次分式函数值域的求法甘肃王新宏一定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x 的二次方程2 方程有实根，△≥03 求的函数值域例1：求y=22222+++-x x x x 的值域解：∵x 2+x+2>0恒成立由y=22222+++-x x x x 得，（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y ≠2时,∵x ∈R∴方程（y-2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)2-(y-2)×(y-2)≥0∴3y 2-18y+15≤0∴1≤y ≤5∴函数值域为[]5,1练习1：求y=432+x x 的值域 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43 二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。

先来学习“√”函数。

形如y=x+x k(x>0,k>0)的函数，叫“√”函数图像单调性：在x ∈[]k ,0时，单调递减。

在x ∈[]+∞,k 时，单调递减。

值域：[]+∞,2k解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围②把原函数化为关于t 的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域例2求y=12122-+-x x x （321≤<x ）的值域解令2x-1=t,得0<t ,5≤x=21+t∴y=2112++t t212+≥ 当且仅当t t12=时，即t=2时，取“=”。

∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,212练习2求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=edx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y=3312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得t ∈()+∞,0且x=t-1∴y=12++t t t =tt 111++ ∵1+t+t13≥(t=1时取“=”) ∴y 31≤且y>0 ∴值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 练习3:求y=12+x x 的值域？ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。

高中函数求值域的九种方法和例题讲解

高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.令狐采学一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法分式函数是指由多项式函数构成的有理函数。

它包含了一个或多个分子和一个分母，其中分子和分母可以是多项式。

分式函数在数学和实际问题中的应用广泛，了解如何求解分式函数的值域对于我们理解和解决问题至关重要。

在这篇文章中，我将介绍三种常见的方法来求解分式函数的值域，它们分别是图像法、限制法和分解法。

这些方法各有特点，可以帮助我们更加全面地了解和解决分式函数的问题。

让我们来学习图像法。

图像法是通过绘制分式函数的图像来确定其值域的一种方法。

我们可以根据分式函数的定义域和其在定义域内的行为来判断其值域。

具体来说，我们可以观察分式函数的图像是否有水平渐近线、垂直渐近线或者有界。

水平渐近线表示分式函数在无穷远处趋于某个值，垂直渐近线表示分式函数在某个点处的值趋于无穷大或无穷小，而有界表示分式函数在某个区间内的值处于有限范围内。

通过观察这些特征，我们可以确定分式函数的值域。

让我们来学习限制法。

限制法是通过限制分式函数的变量取值范围来确定其值域的一种方法。

对于分式函数，我们通常会限制其变量的取值范围，避免分母为零或分式函数没有定义的情况。

通过解决限制条件，我们可以确定分式函数的值域。

让我们来学习分解法。

分解法是通过将分式函数拆分成更简单的形式来确定其值域的一种方法。

我们可以将分式函数进行因式分解，得到其最简形式。

在分解过程中，我们可能会发现一些因子可以抵消，使得分式函数的值域更加清晰和简单。

通过分解分式函数，我们可以更好地理解其值域。

通过以上三种方法，我们可以综合考虑分式函数的图像、限制条件和分解形式，来确定其值域。

对于每个具体的问题，我们可以根据实际情况选择最适合的方法来求解。

对于分式函数三种值域求解法的个人看法，我认为每种方法都有其独特的优势和适用场景。

图像法可以将抽象的数学概念通过图像的形式呈现出来，直观易懂，适合直观思维的人。

限制法可以通过限制变量的取值范围，直接对分式函数的值域进行约束，适合求解特定范围内的问题。

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法摘要：一、引言二、分式函数的定义与性质三、求解分式函数的值域的方法1.代数法2.图像法3.反函数法四、总结正文：一、引言分式函数在数学中是一种常见的函数类型，它由分子和分母组成，分母不能为零。

求解分式函数的值域是数学中的一个基本问题，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

本文将介绍三种求解分式函数值域的方法。

二、分式函数的定义与性质分式函数的一般形式为：f(x) = (分子)/(分母)，其中分母不能为零。

分式函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。

三、求解分式函数的值域的方法1.代数法代数法是通过求解分式函数的导数为零的点，来确定函数的极值点和拐点，从而确定函数的值域。

具体步骤如下：- 求导数：对分式函数进行求导，得到f"(x) = (分子" * 分母) / (分母)^2- 求导数为零的点：令f"(x) = 0，解得x = -分子" / 分母- 分析导数为零的点：如果分母不为零，则x = -分子" / 分母是函数的极值点；如果分母为零，则需要通过其他方法来确定函数的极值点。

2.图像法图像法是通过观察分式函数的图像，来确定函数的值域。

具体步骤如下：- 画出函数的图像：根据函数的表达式，画出函数的图像。

- 观察图像：观察函数的图像，确定函数的单调区间和极值点。

- 确定值域：根据函数的单调区间和极值点，确定函数的值域。

3.反函数法反函数法是通过求解分式函数的反函数，来确定函数的值域。

具体步骤如下：- 求解反函数：对分式函数进行变形，得到反函数。

- 分析反函数的值域：根据反函数的定义，确定反函数的值域。

- 确定原函数的值域：根据反函数的值域，确定原函数的值域。

四、总结本文介绍了求解分式函数的值域的三种方法：代数法、图像法和反函数法。

求解函数值域的三种典型方法

Җ㊀山东㊀马建国㊀㊀求解函数值域是函数学习的一个关键环节,正确求解值域对函数的运用和计算都十分重要,如果值域的求解错误,运用过程可能会受到阻碍．因此,在教学中应注重函数值域求解方法的选择,化繁为简,提高解题效率．本文从求解函数值域的三种典型方法着手进行研究．１㊀换元法换元法是指将函数中某个式子看成一个整体,用一个变量去替换它,从而将问题进行简化．在运用换元法求函数值域的过程中,通常是将复杂的复合函数进行换元,然后根据新函数的定义域对函数值域进行求解．例１㊀已知函数y＝x２＋x２－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x２－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件得出原函数的值域．解㊀令x２－１＝t,则x２＝t２＋１,所以y＝t２＋t＋１．又因为tȡ０,所以y＝t２＋t＋１＝(t＋１２)２＋３４ȡ１,则函数y＝x２＋x２－１的值域是[１,＋ɕ)．例２㊀已知函数y＝２x－x－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件,得出原函数的值域．解㊀因为x－１＝t,x＝t２＋１,所以y＝２(t２＋１)－t＝２(t－１４)２＋１５８．又因为tȡ０,所以yȡ１５８,则函数y＝２x＋x－１的值域是[１５８,＋ɕ)．２㊀判别式法判别式法是在一元二次方程中,判断方程有没有根以及有几个根的方法．当b２－４a c＜０时,方程无实根;当b２－４a c＝０时,方程有两个相等的实根;当b２－４a c＞０时,方程有两个不相等的实根．在利用判别式法求值域的过程中,首先要构造出一个一元二次方程(将y看作常数),利用判别式Δȡ０,求得函数的值域．例３㊀已知函数y＝２x１＋x２,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知目标函数是分母为一元二次函数的分式函数,因此先将函数变形为一元二次方程,即y x２－２x＋y＝０,然后根据y＝０和yʂ０的情况进行分析,同时利用判别式法对一元二次方程的根进行判断,从而可以得出函数的值域．解㊀因为y＝２x１＋x２,所以y(１＋x２)＝２x,即y x２－２x＋y＝０．当y＝０时,－２x＝０,则x＝０．当yʂ０时,根据Δ＝４－４y２ȡ０,得－１ɤyɤ１．综上所述,函数y＝２x１＋x２的值域是[－１,１]．例４㊀已知函数y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,求解该函数的值域．分析㊀已知函数是分子㊁分母均为一元二次函数的分式函数,可以利用判别式法进行值域求解,先将函数变形为一元二次方程,即(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１,再根据y－３＝０和y－３ʂ０的情况分析,从而得出函数的值域．解㊀因为y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,所以(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１＝０．当y－３＝０时,y＝３,３－１＝０不存在．当y－３ʂ０时,则Δ＝(y－３)２－４(y－３)(y－１)ȡ０,１３ɤy＜３．综上所述,y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１的值域是[１３,３)．３㊀分类讨论法分类讨论法指的是在求解一类问题时,有时会遇到多种情况,无法用同一种方法去解决,需要分类进行讨论,最后再归纳总结得出最终结论．求解函数值域４的分类讨论法通常是用在分段函数求值域或者是含绝对值函数求值域,其主要思路是分别根据定义域分类进行值域求解,最终再汇总结果．例５㊀已知函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知函数带有绝对值符号,首先考虑去绝对值符号,从而发现分段区间函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,将函数的定义域求出后,分别代入函数式,就可以得出原函数的值域．解㊀该函数的定义域可分为x ɤ－１,－１＜x ɤ２,x ＞２．在定义域内的函数表达式为y ＝－２x ＋１,x ɤ－１,３,－１＜x ɤ２,２x －１,x ＞２．ìîíïïïï当x ɤ－１时,y ＝－２x ＋１ȡ３;当－１＜x ɤ２时,y ＝３;当x ＞２时,y ＝２x －１＞３．综上所述,函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|的值域是[３,＋ɕ)．例６㊀已知函数y ＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０,{求解该函数的值域．分析㊀观察已知函数,分段区间内函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,求得x 的取值范围,再代入函数式,就可以得出函数值域．解㊀令x １＝２,则y １＝－１,令x ２＝－２,则y ２＝－１．当０＜x ＜５时,x ２－４x ＋３的值域为[－１,８);当－３ɤx ɤ０时,x ２＋４x ＋３的值域为[－１,３]．综上所述,y＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０{的值域为[－１,８)．换元法㊁判别式法㊁分类讨论法是函数求值域中典型的三种方法,使用这三种方法时,应注意换元后表达式的等价变形㊁判别式的正确使用㊁分段函数的定义域划分等．这三种方法是值域求解的重要方法,应该要求学生要对方法熟练掌握㊁融会贯通．(作者单位:山东临沂高新区高级中学)Җ㊀湖南㊀蒋迎芳㊀㊀高考对集合问题的考查多与函数㊁不等式进行交会,问题难度不大,只要准确理解集合的关系及运算即可．集合是高中生学习的第一个数学知识,为什么把它放在第一章?因为集合是学习其他模块的基础,与其他知识具有紧密的联系．下面谈一谈笔者的几点感悟,供读者参考．１㊀集合的关系和运算丰富了其他问题的求解视角１)集合之间的关系包括子集㊁真子集㊁相等．２)集合之间的运算包括交㊁并㊁补．集合的关系和运算可应用到其他知识的学习或问题的求解中．例如,集合的关系和运算与充分㊁必要条件之间的关系:若A 是B 的子集,即A ⊆B ,则A 是B 的充分条件;若A ＝B ,则A 与B 互为充要条件;若A ɘB ＝∅,则A ,B 之间既不是充分条件,也不是必要条件．再如,集合的关系和运算与概率之间的关系:若A ,B 为互斥事件,则A ɘB ＝∅;若A ,B 为对立事件,则A ɘB ＝∅,且B ＝∁U A ;事件A ,B 至少有一个发生,记为A ɣB ,称为A,B 的和事件;事件A ,B同时发生,记为A ɘB ,称为A ,B 的积事件．例１㊀某高校数学学院举行２０２０届毕业典礼,主席台上有并排的六个座位,出席典礼的甲㊁乙㊁丙等六位院系的教师可随意就座,则甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的概率为．设U ＝{六位教师任意就座的所有情况},A ＝{甲㊁丙两位教师的座位相邻的情况},B ＝{乙㊁丙两位教师的座位相邻的情况},则A ɘB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲或乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的情况}．本题即求P (A ɣB ),而P (A ɣB )＝１－P (A ɣB ),故只需求P (A ɣB )．因为P (A ɣB )＝P (A )＋P (B )－P (A ɘB ),而５。

一次分式型函数值域

一次分式型函数值域
分式型函数是指形如$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$的函数，其中$a,b,c,d$为常数且$c\neq0$。

对于一次分式型函数的值域求解，可以采用以下方法：
- 当定义域为$R$时，可以采用判别式法求值域。

- 当定义域不为$R$时，需要根据函数关系的特征，采用分离常数法将其转化为标准形式，即$f(x)=\frac{ax+b}{x}$。

此外，还可以利用函数图像来求解值域。

一次分式型函数图像可以经过反比例函数图像平移得出，因此可以画出函数图像，求出其值域。

也可以根据函数单调性，做出函数的大致图像，因为这类函数在第一象限的图像象一个“红对勾”，所以我们称这类函数是对勾函数，通过图像求出其值域。

在求解分式型函数的值域时，需要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，才能有效地解决问题。

常见分式函数值域的求法

题型!形如 ?& :'h!:) B,$:B?":+A"!*% 且 ,*% 的函数%
例
)
求函数
?& :'
h$ :) j):j(
":+#
j(
"9
$
的值域%
解!令 %& :'h:) j):j( h& :j$') j3":+# j("9$ "则 %& :' h
#
j3"$)$ "所以函数
?& :' 的值域是&
时为 %"$"?不同时为 %%
例
1
求函数
?& :'
h):) B:j$ :) j:B$
":+#
)
"(
$
的值域%
解!原函数等价转化为
Bh)
B(:j( :) j:B$
":+#)"(
$
"令
4h:j$"
则
Bh)
B (4 4) B4B$
h)B ( 4B$
"4+#$")$ "由此可得函数 B$
?& :' 的值
4
域是# )% "($ % 1
例
9
求函数
?& :'
h :) :) j3:B$
":+#
$ (
"$$ 的值域%
解!?& :'h $ h
$ :)
j3:B$

函数的值域求法

求函数值域的几种模型:一、二次函数模型的值域例1 求函数f(x ）=2x -ax+6的值域。

例2 求函数f(x ）=2x -x+6在[-1，1]上的值域。

例3 求函数f(x)=2x -ax+6在[-1，1]上的值域。

二、指数函数和对数函数模型的值域例4 求函数f(x)=22(26)log x x -+的值域。

例5 求函数f(x)=4x +12x ++6的值域。

三、分式函数模型的值域例6 求函数f(x)=231x x ++的值域。

例7 求函数f(x)=231x x ++在[0，1]上的值域。

例8 求函数f(x)=2331x x x +++的值域。

例9 求函数f(x)=2331x x x +++在[0，1]上的值域。

四、三角函数模型的值域例10 求函数f(x)=3sinx+4cosx+2的值域。

例11 求函数f(x)=3sin2x+4cos 2x +2的值域。

例12 求函数f(x)=cos2x+4cosx+2的值域。

例13 求函数f(x)=sin2x+2cosx-2sinx 的值域。

例14 求函数例15 求函数[-2π，2π]上的值域。

五、绝对值函数模型的值域例16 求函数f(x)=51x x +--的值域；例17 求函数f(x ）=22223x x x x +-+-的值域。

六、根式函数模型的值域例18 求函数例19 求函数例20 求函数例21 求函数例22 求函数求下列函数的值域：2.f(x)=212(46)log x x ++ 3.f(x)=221x x x x --+ 4.f(x)=12133xx +⋅+ 5.f(x)=11133x x -+- 6.f(x)=cos 26cos 7cos 1x x x +++ 7.f(x)=(sinx+2)(cosx-2) 8.f(x)=2cosx-2sin(x+6π)2x函数值域的11种求法：1.直接观察法例1.求函数f(x)=1x的值域；例2求函数2.配方法例3 求函数f(x)=2x -2x+5的值域； 3.判别式法例4 求函数f(x)=2211x xx +++的值域；例5 求函数4.反函数法例6 求函数f(x)=3456x x ++的值域； 5.函数有界性法例7 求函数f(x)=11x x e e -+的值域；例8 求函数f(x)=cos sin 3x x -的值域； 6.函数单调性法例9 求函数f(x)=52x -+3≤x ≤10)的值域；例10 求函数7.换元法例11 求函数例12 求函数例13 求函数f(x)=34221x x x x -++的值域；例14 求函数f(x)=(sinx+1）（cosx+1),x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域；例15 求函数8.数形结合法例16 求函数例17 求函数例18 求函数9.不等式法例19 求函数f(x)=21(sin)sinxx++21(cos)cosxx+-4的值域；例20 求函数f(x)=2sinxsin2x的值域；10.一一映射法例21 求函数f(x)=1321xx-+的值域；11.多种方法综合例22 求函数的值域；例23 求函数f(x)=234241212x x x xx x+-++++的值域；。