线面垂直的判定和性质定理习题课

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线面垂直的判定答案习题详细答案

【规范训练】(12分)如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.
【解题设问】(1)由PA⊥圆O所在平面会得到线线垂直，根据是什么？_线__面__垂__直__的__定__义___. (2)欲证AE⊥平面PBC.可利用_线__面__垂__直__的__判__定__定__理____.
2.如图所示：
直角△ABC所在的平面外一点S，SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. 则直线SD与平面ABC的位置关系为______.
【解析】1.选B.对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的. 2.∵SA=SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 连接BD,在Rt△ABC中，则AD=DC=BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴SD⊥BD.又AC∩BD=D, ∴SD⊥平面ABC. 答案：垂直.
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法. (4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α .
线面垂直的判定定理的理解【技法点拨】正确把握线面垂直的判定定理 (1)记法及意义：“线线垂直，则线面垂直”中“线线”指一条直线和平面内的两相交直线；“线面”指这条直线和两相交直线所在的平面. (2)成立的条件：直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线与两相交直线有无公共点均可.

线面垂直的判定答案习题详细答案公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

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第28页
由已知计算得AD=2 ,A1D=2 ,AA1=2. ∴AD2+A1D2=AA12, ∴A1D⊥AD. ∵A1C1∩A1D=A1, ∴AD⊥平面A1DC1.
第29页
【思考】(1)鉴定线面垂直依据主要有哪些？ (2)利用线面垂直鉴定定理时易出现哪方面失误？
第30页
提醒：(1)直线与平面垂直定义以及鉴定定理都是判断直线与平面垂直依据，但前者要阐明直线与平面内所有直线情况，后者只需阐明直线与平面内两条相交直线情况就能够了. (2)在证实出所要证直线与平面内两条直线垂直后，易忽略阐明这两条直线是相交直线.
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【解析】1.选C.连接AC,由于ABCD是菱形，因此BD⊥AC.又 MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.由于AC∩MC=C,因此BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，因此MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD位置关系是垂直但不相交.
第27页
2.∵AA1⊥底面ABC, 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°， ∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B, ∴A1C1⊥AD.
第37页
∵AB⊂平面APB③， ∴PC⊥AB.……………………………………………………5分连接CH，∵H为△ABC垂心， ∴CH⊥AB，…………………………………………………7分 ∵PC∩CH=C①，PC⊂平面PHC,CH⊂平面PHC②， ∴AB⊥平面PHC，PH⊂平面PHC③， ∴AB⊥PH.…………………………………………………9分同理可证PH⊥BC.…………………………………………10分 ∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC=B①， ∴PH⊥平面ABC.……………………………………………12分

高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

线面垂直

●知识点

１.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.

２.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3．三垂线定理和它的逆定理．

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.

逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例１】如图所示，已知点S是平面ＡBC外一点，

∠ＡＢＣ=９0°，ＳＡ⊥平面ABC，点A在直线ＳB和SＣ上的

射影分别为点E、F，求证:EF⊥ＳC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设

ＥF⊥SC成立，结合AＦ⊥ＳC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE,结合AE⊥SB，可推证AＥ⊥平面ＳＢC,因此证明

ＡＥ⊥平面SＢC是解决本题的关键环节．由题设SA⊥平面ABC，

∠ＡＢC＝90°，可以推证BC⊥ＡE，结合ＡE⊥SB完成AE⊥平

例1题图

面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】题设中条件多，图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.

【例2】已知：M∩N＝ＡB,PQ⊥M于Q,ＰO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:ＱR⊥AB.

线面垂直的性质定理习题含详细答案(课堂PPT)

42
【规范答题】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ………………………………………………4分又CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD.又∵AE⊂平面 PAD，∴AE⊥DC. ………………………………………………8 分又∵AE⊥PD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD. 又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l. ……………………………12分
(4)作用：①线面垂直⇒__线__线__平__行__；②作平行线.
4
1.垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？提示：共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. 2.三角形的两边可以垂直于同一个平面吗？提示：不可以.若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构成三角形.
11
【解析】1.选C.∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m. 2.由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直，也可能平行，故③不正确. 答案：①④
12
线面垂直的性质定理的应用【技法点拨】证明线线平行的方法 (1)在平面内证明线线平行的方法 ①三角形、梯形中位线的性质. ②平行四边形对边平行的性质. ③平行线分线段成比例的性质. ④两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行).

线面垂直与面面垂直垂直练习题

线面垂直专题练习

一、定理填空： 1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。二、精选习题：

M 表示平面，a 、b 表示直线，给出以下四个命题：

①

M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭

⎬⎫

⊥b a M a //b ⊥M .

其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④ 2.如下图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BCDE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )

A.DP ⊥平面PEF

B.DM ⊥平面PEF

C.PM ⊥平面DEF

D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，以下命题正确的选项是 ( )

a 、

b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 a 一定可以作一个平面与b 垂直 a 一定可以作一个平面与b 平行

线面垂直与面面垂直垂直练习题

第一篇：线面垂直与面面垂直垂直练习题

2012级综合和高中练习题

2.3线面垂直和面面垂直

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//b⎫a⊥M⎫a⊥M⎫a//M⎫②③b∥M④⇒⇒b⊥M⇒a//b⎬⎬⎬⎬⇒b ⊥M.a⊥b⎭a⊥M⎭b⊥M⎭a⊥b⎭

其中正确的命题是()

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有() 第3题图

A.DP⊥平面PEF

B.DM⊥平面PEF

C.PM⊥平面DEF

D.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

线线垂直与线面垂直知识点加习题

3.设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面内，则“ l ”是"l m且l n"的
条件
4．已知点 A 和点 B 到平面的距离分别为 4cm 和 6cm，则线段 AB 的中点 M 到平面的距离是
5.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是
。
问题探究：
问题 1.如图，ABCD 为正方形，SA 垂直 ABCD 所在的平面，过 A 且垂直 SC 的平面分别交 SB，
SC，SD 于 E，F，G。求证： AE SB, AG SD.
S
F
G E
D
C
A
B
问题 2.如图 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥平面 ABC，
AE⊥BD 于 E，AF⊥CD 于 F，
求证：⑴平面 BCD 平面 ACD ⑵BD⊥平面 AEF
问题 3.如图，在三棱锥 P－ABC 中，△PAC 和△PBC 是边长为 2的等边三角形，AB＝2，O 是 AB
6.如图，四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2，BC= 2 的矩形，侧面 PAB 是等边三角形，且侧面 PAB⊥
底面 ABCD （I）证明：侧面 PAB⊥侧面 PBC；（II）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角；（III）求直线 AB 与平面 PCD 的距离．
7.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点．求证：(1)直线 EF∥平面 PCD；(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

线面垂直的判定定理(公开课)课件

学习目标
理解线面垂直的判定定理
培养空间思维
学生应能够理解并掌握线面垂直的判定定理。
通过本主wenku.baidu.com的学习，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
应用判定定理
学生应能够运用判定定理解决实际问题。
02
线面垂直的基础知识
线面垂直的定义
直线与平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
直线与平面垂直的符号表示
直线a与平面β垂直，记作a⊥β。
线面垂直的判定定理
线面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
判定定理的应用
在解决实际问题时，可以根据已知条件构造两条相交的直线与给定直线垂直，从而判断给定直线与平面是否垂直。
线面垂直的性质
线面垂直的性质
则直线a与平面β的关系是 __________。
习题解答
判断题
错。一条直线与平面内的一条直线垂直，并不意味着这条直线与该平面垂直。它需要与平面内两条相交的直线都垂直才能判定与
该平面垂直。
选择题
B。根据线面垂直的判定定理，若直线a在平面α外，且直线a与平面α内的两条相交直线都垂直，则线面垂直。其他选项均不满
线面垂直的判定定理(公开课)课件
• 引言 • 线面垂直的基础知识 • 线面垂直的判定定理证明 • 线面垂直的应用 • 习题与解答 • 总结与回顾

高一必修2-直线、平面垂直的性质及判定(习题及答案)

高一必修2 直线、平面垂直的性质及判定（习题及答案）

典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（）．

A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线

B ．过直线外一点与该直线平行的平面

C ．过平面外一点与平面平行的直线

D ．过一点作已知平面的垂线

分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．

说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2 已知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．

上述命题正确的是（）．

A ．（1）、（2）

B ．（2）、（3）

C ．（3）、（4）

D ．（2）、（4）

分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．

解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；

线面垂直的性质定理习题含详细答案【爆款】.ppt

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18
【解析】1.选B. 若l∥α,l∥β，则α,β可能相交故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故 α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α则l 与β关系不确定，故D错．
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2.解题流程：
线线平行
取AB的中点G，连接FG、GC，则 FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.
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3
直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一平面的两条直线__平_行___.
a⊥α (2)符号语言：
b⊥α (3)图形语言：
⇒__a_∥__b_.
(4)作用：①线面垂直⇒__线__线__平__行__；②作平行线.
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1.垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？提示：共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. 2.三角形的两边可以垂直于同一个平面吗？提示：不可以.若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构成三角形.
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5
3.过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且只有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
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6
4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_____. 【解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平面平行的判定定理推得. 答案：平行

直线与平面垂直的判定和性质(第一课时)

3.直线和平面垂直的判定
a
m α
b
（分析：要证明一条直线和平面垂直，只要证明分析：要证明一条直线和平面垂直，这条直线和平面内的任意一条直线垂直即可。）这条直线和平面内的任意一条直线垂直即可。）
证明： m是α内的任意一条直线设
a ⊥α ⇒ a ⊥ m m ⊂ α ⇒b ⊥ m a // b ⇒ b ⊥α m ⊂ α
任意a ⊂ α , 都有l ⊥ a ⇒ l ⊥ α
B
2.两个真命题
1.过一点有且只有一条直线和一个平面 1.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。垂直。 2. 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。垂直。例题1. 求证：例题1. 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。个平面。已知：求证：已知：a // b, a ⊥ α 求证：b ⊥ α
问题2.随着时间的变化，影子的位置会动，问题2.随着时间的变化，影子的位置会动，而
我们就说直线l 相互垂直，记为l 直线l 我们就说直线l和平面 α 相互垂直，记为l ⊥ α ，直线l叫做平面 2.掌握线面垂直的判定定理 α 的垂线，平面 α 叫做直线l的垂面。若l与 α 相互垂直，则l与的垂线，叫做直线l的垂面。相互垂直，并能简单进行应用。 α 一定相交，交点叫做垂足. 一定相交，交点叫做垂足.

线面垂直的判定和性质定理习题课

线面垂直的判断和性质定理（习题课）

A组1C2B3D4D5C6③7①②8a或2a 106

9(2)d＝5.10(2)V＝3(3)4

433

B组1D2①②③3(2)3(3)2

A组基础训练

一、选择题

1．已知平面α与平面β订交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不必定存在直线与m平行，不必定存在直线与m垂直

C．β内不必定存在直线与m平行，但必存在直线与 m垂直

D．β内必存在直线与m平行，不必定存在直线与m垂直

【分析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之

垂直．但却不必定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．

【答案】 C

2．已知两个平面垂直，以下命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的随意一条直线．

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

此中正确命题的个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】依据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平

面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．

【答案】 B

3．(2013·广东高考)设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，以下命题中正确的选项是( )

A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n

B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n

C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

【分析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，

高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设

EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明

AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，

∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平

例1题图

面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.

【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

线面垂直的判定和性质定理(习题课)

线面垂直的判定和性质定理（习题课）

A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8a或2a

9 (2) d＝10

5. 10 (2) V＝ 3 (3)

B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)43

3(3)

A组基础训练

一、选择题

1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()

A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．【答案】 C

2．已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确命题的个数是()

A．3B．2C．1D．0

【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．

【答案】 B

3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β