Boltztrap能带计算手册
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能带理论学习资料课件
Formal Charge High spin;
Automatic Low spin: 0
8: 0.00
eV P: 0.00
eV
0.00
eV
Formal spin
Spin state; Direction
High
Spin:
Help
Help
20
CASTEP Calculation
Setup Electronic] Propeties| Job Control
上面的右图可以发现， Pb 的 6s和 O2p 有态密度共振，也成键；另外 Pb6d 和 Pb6d 在 O2p 态密度处有明显的峰(有贡献),所以O2p 与Pb6s,6d 也是成键的。
15
七.识图
原则 1.能带和DOS一一对应，并相互印证 2.能带是分子轨道按能量大小排列
3.应结合PDOS进行分析
1
7.带宽：能带的最高和最低之间的能量差值。 其数值和几何构型有着密切的关系。
8.Caste和Dmol只能绘制散点图和线形图，并 且很不美观。后续通常需要origin进行处理。
2
二.费米能级
1.费米能级（fermi level ）是绝对零度下的最 高能级。
2.在Castep 中费米能级的默认值是0 。这给我 们带来了很大的方便。（在计算能带宽度 时）。
apha beta
5
四.性质
1.能带是能量关于d(k) 的函数 2.横坐标是布里渊区上的高对称性点（其距
离受到smearing 的影响） 3.在计算过程中只能简单的调节G点
6
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条
能带。
5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上
固体物理学-能带理论之紧束缚方法
m
改写为
—— 晶格周期性函数 — 简约波矢，取值限制在简约布里渊区
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 应用周期性边界条件
的取值有N个，每一个 值对应波函数
k r
1 N
eikRm i
r Rm
m
晶体中电子波函数 原子束缚态波函数
—— 两者存在么正变换
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 晶体中电子波函数 k r
1 N
eikRm i
r - Rm
m
—— N个波函数表示为
k1
k2
kN
e , e ik1R1
ik1R2
1
e , e ik2R1
ik2 R2
N
e , e ikN R1
ik N R2
eik1 R N eik2 RN
i i
(r (r
R1 ) R2)
2
2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
Rm
)
ii
(r
Rm
)
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
晶体中电子的波函数
满足的薛定谔方程
2
2m
2
U
(r)
(r)
E
(r)
—— 晶体的周期性势场___所有原子的势场之和
eik N RN
i
(r
RN
)
能量本征值 E k i J (Rs )eikRs
s
—— 对于原子的一个束缚态能级 ___ k有N个取值
改写为
—— 晶格周期性函数 — 简约波矢，取值限制在简约布里渊区
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 应用周期性边界条件
的取值有N个，每一个 值对应波函数
k r
1 N
eikRm i
r Rm
m
晶体中电子波函数 原子束缚态波函数
—— 两者存在么正变换
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 晶体中电子波函数 k r
1 N
eikRm i
r - Rm
m
—— N个波函数表示为
k1
k2
kN
e , e ik1R1
ik1R2
1
e , e ik2R1
ik2 R2
N
e , e ikN R1
ik N R2
eik1 R N eik2 RN
i i
(r (r
R1 ) R2)
2
2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
Rm
)
ii
(r
Rm
)
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
晶体中电子的波函数
满足的薛定谔方程
2
2m
2
U
(r)
(r)
E
(r)
—— 晶体的周期性势场___所有原子的势场之和
eik N RN
i
(r
RN
)
能量本征值 E k i J (Rs )eikRs
s
—— 对于原子的一个束缚态能级 ___ k有N个取值
超晶格第四章半导体超晶格
�XPS主要在表面附近约2nm�光电子的逃逸深度� 处进行。而在表面附近�由于电荷分布的变化�会造 成能带在表面附近的弯曲�延伸到100nm��则实验 测得的核心能级和价带能级的位置与真正体内的能级 会有差别。但由于这种由静电势产生的能带弯曲对所 有的带都相同�因而能带弯曲的影响可以相互抵消。
�光电子谱有一定的线宽�约0.8eV��而且有一定 的无规噪声背景�因此从实验测得的光电子谱很难精 确确定价带顶的位置。
1�量子阱光跃迁光谱�把异质结生长成在两个宽带 材料之间夹一个极薄的窄带区。导带和价带的能带带 阶在窄带区分别形成电子和空穴的势阱。当窄带材料 的厚度足够薄时�势阱中的载流子在垂直于异质结结 面方向上的运动将会受到限制�该方向的运动能量将 会量子化。
量子阱中的电子产生光跃迁时� 在吸收光谱或荧光光谱上将会出 现一系列反映能级量子化的峰。
异质结界面性质直接影响eanderson定则中用电子亲和势差来确定误差较大22江崎等在提出超晶格概念的同时假定两种不同材料的势在界面附近是突变的势的变化范围在一两个原子层的尺度范围内
第四章 半导体超晶格
§1 引言 §2 异质结 §3 超晶格量子阱中的新现象 §4 超晶格电子态理论 §5 超晶格晶格振动 §6 超晶格量子阱的光学性质 §7 超晶格量子阱的垂直输运性质 §8 超晶格量子阱应用例举 §9 量子Hall效应 *§10 低维超晶格和微结构
�测量得到的带阶与异质结两层的生长顺序有关。
3�电学方法�C-V法�
当有外加电压Va存在时�势垒的宽度和高度的关系为�
( x0
−
x1 )
=
[
2ε1ε 2N D
qN A (ε1N A + ε 2N D
)
(VD
− Va
�光电子谱有一定的线宽�约0.8eV��而且有一定 的无规噪声背景�因此从实验测得的光电子谱很难精 确确定价带顶的位置。
1�量子阱光跃迁光谱�把异质结生长成在两个宽带 材料之间夹一个极薄的窄带区。导带和价带的能带带 阶在窄带区分别形成电子和空穴的势阱。当窄带材料 的厚度足够薄时�势阱中的载流子在垂直于异质结结 面方向上的运动将会受到限制�该方向的运动能量将 会量子化。
量子阱中的电子产生光跃迁时� 在吸收光谱或荧光光谱上将会出 现一系列反映能级量子化的峰。
异质结界面性质直接影响eanderson定则中用电子亲和势差来确定误差较大22江崎等在提出超晶格概念的同时假定两种不同材料的势在界面附近是突变的势的变化范围在一两个原子层的尺度范围内
第四章 半导体超晶格
§1 引言 §2 异质结 §3 超晶格量子阱中的新现象 §4 超晶格电子态理论 §5 超晶格晶格振动 §6 超晶格量子阱的光学性质 §7 超晶格量子阱的垂直输运性质 §8 超晶格量子阱应用例举 §9 量子Hall效应 *§10 低维超晶格和微结构
�测量得到的带阶与异质结两层的生长顺序有关。
3�电学方法�C-V法�
当有外加电压Va存在时�势垒的宽度和高度的关系为�
( x0
−
x1 )
=
[
2ε1ε 2N D
qN A (ε1N A + ε 2N D
)
(VD
− Va
7.2 布洛赫函数
7
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
7.2. 2 .
布洛赫波
哈特利方程 周期场中的单电子 周期场中的单电子 运动问题
复杂的多电子 复杂的多电子 体系问题
讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 单电子
h2 2 v Hφ = − ∇ + V (r )φ = Eφ 2m
e2 H j + 4 πε 0
哈特利方程
第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作 用势， 用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 所有晶格离子的周期场 其它电子的平均场中运动的单电子问题 其它电子的平均场中运动的单电子问题
TH = H l T l
H 的本征函数
具有共同的本征函数
晶体中电子 可选为 Tl 的本征函数 的本征函数
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
对平移算符， 对平移算符，其本征函数应具备的性质 v v v v λ l 、 λm 为 Tlφ (r ) = φ (r + Rl ) = λlφ (r ) v v v v 本征值 Tmφ (r ) = φ (r + Rm ) = λmφ (r ) 由于平移算符具有性质： 由于平移算符具有性质： 所以
其中， v 其中， (r ) 包括晶体离子势和其它电子的平均势 V
v v v V (r + Rl ) = V (r ) 晶格周期性，周期性势场 晶格周期性， v v v v 任意格矢 Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3 , l1 , l2 , l3 ∈ Z
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
7.2. 2 .
布洛赫波
哈特利方程 周期场中的单电子 周期场中的单电子 运动问题
复杂的多电子 复杂的多电子 体系问题
讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 讨论晶体中的电子态即为求解单电子薛定谔方程 单电子
h2 2 v Hφ = − ∇ + V (r )φ = Eφ 2m
e2 H j + 4 πε 0
哈特利方程
第 j 个电子在所有其它电子作平均分布时的电子间库仑作 用势， 用势，从而在一定程度上计及了点自己相互作用 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 问题简化为在一个所有晶格离子的周期场以及 所有晶格离子的周期场 其它电子的平均场中运动的单电子问题 其它电子的平均场中运动的单电子问题
TH = H l T l
H 的本征函数
具有共同的本征函数
晶体中电子 可选为 Tl 的本征函数 的本征函数
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 7 章 能带
7.2 . 布洛赫函数
对平移算符， 对平移算符，其本征函数应具备的性质 v v v v λ l 、 λm 为 Tlφ (r ) = φ (r + Rl ) = λlφ (r ) v v v v 本征值 Tmφ (r ) = φ (r + Rm ) = λmφ (r ) 由于平移算符具有性质： 由于平移算符具有性质： 所以
其中， v 其中， (r ) 包括晶体离子势和其它电子的平均势 V
v v v V (r + Rl ) = V (r ) 晶格周期性，周期性势场 晶格周期性， v v v v 任意格矢 Rl = l1a1 + l2 a2 + l3 a3 , l1 , l2 , l3 ∈ Z
固体能带理论(谢希德)课本导读
1 dr1dr2 2 i j
2
2
i* (q1 )i (q2 ) * j ( q2 ) j ( q1 )
rij
]
13
Hartree-Fock方程与Hartree方程的区别是因为：
例如
a11
a12
a21 a22
=a11a22 a12 a21
在Hartree-Fock方程中
* dr 1 i (q1 )ii (q1 ) i
7
Slater行列式Li原子举例
Li原子轨道图
则，相应的Slater行列式为
1 = 1S (1) (1) 1S (2) (2) 1S (3) (3) 6 2 S (1) (1) 2 S (2) (2) 2 S (3) (3)
1S (1) (1)
1S (2) (2)
1S (3) (3)
* j
此为单电子哈密顿量第三项（电子间相互作用项）。 两书最终都推导出Hartree方程
1 [ V (r ) ( j ) j ( j )d j ]i (i) ii (i) rij i j
2 i * j
12
福克近似（Hartree-Fock方程）
Hartree波函数
n
n
用来求近似。
2 i =- r V (ri ) i i 1 i 1
n
n
=
i 1 i
n
Hartree波函数
(r ) 1 (r n (rn ) 1 )2 (r 2 )...
10
哈特利（Hartree）方程
把多电子的薛定谔方程化为单电子方程。
=
½ 系数可以避免重复求和 作时产生。
14
2
2
i* (q1 )i (q2 ) * j ( q2 ) j ( q1 )
rij
]
13
Hartree-Fock方程与Hartree方程的区别是因为：
例如
a11
a12
a21 a22
=a11a22 a12 a21
在Hartree-Fock方程中
* dr 1 i (q1 )ii (q1 ) i
7
Slater行列式Li原子举例
Li原子轨道图
则，相应的Slater行列式为
1 = 1S (1) (1) 1S (2) (2) 1S (3) (3) 6 2 S (1) (1) 2 S (2) (2) 2 S (3) (3)
1S (1) (1)
1S (2) (2)
1S (3) (3)
* j
此为单电子哈密顿量第三项（电子间相互作用项）。 两书最终都推导出Hartree方程
1 [ V (r ) ( j ) j ( j )d j ]i (i) ii (i) rij i j
2 i * j
12
福克近似（Hartree-Fock方程）
Hartree波函数
n
n
用来求近似。
2 i =- r V (ri ) i i 1 i 1
n
n
=
i 1 i
n
Hartree波函数
(r ) 1 (r n (rn ) 1 )2 (r 2 )...
10
哈特利（Hartree）方程
把多电子的薛定谔方程化为单电子方程。
=
½ 系数可以避免重复求和 作时产生。
14
紧束缚近似
紧束缚近似的出发点是将晶体中的单电子波函数看成是N个 简并的原子波函数的线性组合，即：
(r ) ami (r Rm )
Rm
且近似认为：
*(r i
Rn )i (r
Rm )dr
mn
即：同一格点上的i 是归一化的，不同格点上的 i 因轨道
交叠甚小而正交。式中 Rm m1a1 m2a2 m3a3 格矢
它依赖于
at i
(r
Rn
)与
at i
(r
Rs
)
的重叠程度，Rs Rn
重叠
最完全，即Jss最大，其次是最近邻格点的波函数的重叠积分，
涉及较远格点的积分甚小，通常可忽略不计。
i (k )
at i
J ss
e J / ik (Rn Rs ) sn
Rn
近邻
at i
J ss
e J ik (Rn Rs ) sn
层的电子的情况。 (Linear Combination of Atomic Orbitals)
1.布洛赫函数—原子轨道线性组合(LCAO)
假设原子位于简单晶格的格点上，格矢：Rm m1a1 m2a2 m3a3， 有一个电子在其附近运动，若不考虑其它原子的影响，则电子
满足孤立原子中运动的薛定谔方程
且： k (r )
1 N
eik •Rmi (r Rm )
Rm
下面验证 k (r ) 为布洛赫函数
按照布洛赫定理，只要证得：
k
(r
Rn )
eik •Rn k
(r )
即可。
令：Rn Rm Rl
(r ) k
1 N
eik •Rmi (r Rm )
Rm
k (r Rn )
(r ) ami (r Rm )
Rm
且近似认为：
*(r i
Rn )i (r
Rm )dr
mn
即：同一格点上的i 是归一化的，不同格点上的 i 因轨道
交叠甚小而正交。式中 Rm m1a1 m2a2 m3a3 格矢
它依赖于
at i
(r
Rn
)与
at i
(r
Rs
)
的重叠程度，Rs Rn
重叠
最完全，即Jss最大，其次是最近邻格点的波函数的重叠积分，
涉及较远格点的积分甚小，通常可忽略不计。
i (k )
at i
J ss
e J / ik (Rn Rs ) sn
Rn
近邻
at i
J ss
e J ik (Rn Rs ) sn
层的电子的情况。 (Linear Combination of Atomic Orbitals)
1.布洛赫函数—原子轨道线性组合(LCAO)
假设原子位于简单晶格的格点上，格矢：Rm m1a1 m2a2 m3a3， 有一个电子在其附近运动，若不考虑其它原子的影响，则电子
满足孤立原子中运动的薛定谔方程
且： k (r )
1 N
eik •Rmi (r Rm )
Rm
下面验证 k (r ) 为布洛赫函数
按照布洛赫定理，只要证得：
k
(r
Rn )
eik •Rn k
(r )
即可。
令：Rn Rm Rl
(r ) k
1 N
eik •Rmi (r Rm )
Rm
k (r Rn )
凝聚态物理：第三章能带理论
aa
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。
(0) k
1 eikx L
和
(0) k
1 eikx L
零级近似的波函数是这两个简并态的线性组合。
在k和k’接近布里渊区边界时
{ k n 1
a
k n 1
a
1
零级近似的波函数也必须写成
(0)
A
( k
0)
B
(0) k
代入Schrödinger方程
L Na
电子势能为实数， U*(x)=U(x)
Un*=U-n
1. 非简并微扰
H k E k k
H
2
2m
d2 dx2
U
x
2
2m
d2 dx2
U0
Un
n0
exp
i
2 nx
a
H0 H
H0
2
2m
d2 dx2
U0
—— 零级近似
H
Un
n0
exp
i
2 nx
a
—— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数(k)展开
Hkk
E a (0) (1) k k
E (1) k
k k
❖ k’ = k
E (1) k
H kk
k H k
L
0
(0 k
)
H
( k
0)dx
1 L
L 0
eikx
n0
U
n
exp i
2 nx
a
eikxdx
0
❖ k’ k
a (1) k
H kk
E(0) k
E(0) k
由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰 方程来求出二级微扰能量，方法同上。
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。
(0) k
1 eikx L
和
(0) k
1 eikx L
零级近似的波函数是这两个简并态的线性组合。
在k和k’接近布里渊区边界时
{ k n 1
a
k n 1
a
1
零级近似的波函数也必须写成
(0)
A
( k
0)
B
(0) k
代入Schrödinger方程
L Na
电子势能为实数， U*(x)=U(x)
Un*=U-n
1. 非简并微扰
H k E k k
H
2
2m
d2 dx2
U
x
2
2m
d2 dx2
U0
Un
n0
exp
i
2 nx
a
H0 H
H0
2
2m
d2 dx2
U0
—— 零级近似
H
Un
n0
exp
i
2 nx
a
—— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数(k)展开
Hkk
E a (0) (1) k k
E (1) k
k k
❖ k’ = k
E (1) k
H kk
k H k
L
0
(0 k
)
H
( k
0)dx
1 L
L 0
eikx
n0
U
n
exp i
2 nx
a
eikxdx
0
❖ k’ k
a (1) k
H kk
E(0) k
E(0) k
由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰 方程来求出二级微扰能量，方法同上。
化学物理实验3：碳纳米管的第一性原理计算
4
1
电荷密度相等， 基态能量与真实能量相等。 交换相关能量泛函的一个最初的简单近似势是局 域密度泛函近似（LDA），即用具有相同密度的均匀电子气的交换相关泛函作为对应的非 均匀系统的近似值，这个近似能给出比较好的结果，因而得到了广泛的应用。但是 LDA 也 有不足之处，如高估了系统的结合能，这个可以通过引入广义梯度近似（GGA）来克服,此 时交换相关能是电子密度和其梯度的泛函。PBE 就是广义梯度近似的一种，通常 GGA 内含 的参数由拟合大量计算数据或者通过考虑标度关系和渐进行为等获取。 2.4 第一性原理计算 需要自洽过程求解： 首先给一个基态密度的初始猜测， 然后通过这个密度函数构造哈密 顿量，求解本征方程，利用得到的 KS 轨道，计算得到电子密度，判断是否收敛，若收敛， 则退出，否则利用新的电子密度构造哈密顿量，迭代求解本征方程。 2.5 赝势方法 在实际计算中，为了达到合理的精度，通常需要用很大的基组展开 KS 轨道，增大了所 处理问题的维度，而体系中每个电子态都对应一个 KS 轨道，也就是说，需要考虑的电子态 越多， 计算量越大。 所以在实际计算中， 我们可以将每个原子的所有电子态粗略地分为两类， 其内层电子态对化学成键一般只有微弱的影响，称为芯态；外层电子态参与化学成键，对体 系的物理化学性质有着显著的影响，称为价态。介于此，我们引入赝势（Poseudopotentials） 的概念， 就是讲芯态电子跟核放在一起考虑， 认为价态电子是在芯态电子屏蔽过的核的势场 中运动，这个被屏蔽了的势即为赝势。 赝势的导出不是唯一的，最初的是经验赝势，后来随着计算方法的发展和应用，出现了 从头算赝势。从头算赝势致力于不附加任何经验参数的赝势，有多种生成方法，比如模守恒 赝势，超软赝势，投影缀加平面波赝势等，目前都有广泛的应用。 2.6 基组 前面提到了我们需要在一个 Hilbert 空间展开 KS 轨道， 这就是将 KS 轨道写为基组的线 性组合的形式。高精度的计算要求基组尽量完备性好，平面波系列就是一个合适的基组。此 外，由于平面波内在的周期性，很适合用于周期性体系的计算。目前，人们普遍认为固体的 高精度平面波计算完全可以作为其他方法的基准。 除了平面波基组， 还有源于量子化学方法 的原子轨道基组，此时基组的形状跟所要展看的 KS 波函数相近，只需要较少的项就可以达 到较高的精度。目前也有关于混合基组的工作。 由 Fourier 分析的知识我们知道平面波序列是一个完备的基组，但是这是一个无限的序 列，在实际计算中不可能达到。因此我们用一个截断（cutoff）标志实际采用的平面波的数 目。截断的量纲是能量，对应着最大波数的平面波的动能，动能大于截断能量的平面波将不 予考虑。 2.7 VASP 使用简介 VASP 全称是 Vienna Ab-initio Simulation Package（维也纳从头计算模拟程序包）。它是 用赝势平面波方法进行分子动力学模拟的软件包。 于同类软件相比， 它比较早的实现了超软 赝势， 计算量相对于一般模守恒赝势方法大为减少。最近 VASP 又加入了 PAW 方法的支持。 在下个版本中可能会实现杂化泛函和 GW 方法。 使用 VASP 进行计算需要用到四个输入文件： INCAR：包含所有的控制参数，没有具体指定的参数使用缺省值。 POSCAR：包含晶体构型的所有信息，比如坐标、原子数目与类型、单胞描述等。 KPOINTS：包含 k 点选取方案。 POTCAR：包含赝势信息。 VASP 计算能带结构需要两步，首先要进行一次静态计算（指原子位置不变），等自恰 收敛以后，再进行能带结构的计算。两步计算需要的参数不同，主要表现在 INCAR 和
1
电荷密度相等， 基态能量与真实能量相等。 交换相关能量泛函的一个最初的简单近似势是局 域密度泛函近似（LDA），即用具有相同密度的均匀电子气的交换相关泛函作为对应的非 均匀系统的近似值，这个近似能给出比较好的结果，因而得到了广泛的应用。但是 LDA 也 有不足之处，如高估了系统的结合能，这个可以通过引入广义梯度近似（GGA）来克服,此 时交换相关能是电子密度和其梯度的泛函。PBE 就是广义梯度近似的一种，通常 GGA 内含 的参数由拟合大量计算数据或者通过考虑标度关系和渐进行为等获取。 2.4 第一性原理计算 需要自洽过程求解： 首先给一个基态密度的初始猜测， 然后通过这个密度函数构造哈密 顿量，求解本征方程，利用得到的 KS 轨道，计算得到电子密度，判断是否收敛，若收敛， 则退出，否则利用新的电子密度构造哈密顿量，迭代求解本征方程。 2.5 赝势方法 在实际计算中，为了达到合理的精度，通常需要用很大的基组展开 KS 轨道，增大了所 处理问题的维度，而体系中每个电子态都对应一个 KS 轨道，也就是说，需要考虑的电子态 越多， 计算量越大。 所以在实际计算中， 我们可以将每个原子的所有电子态粗略地分为两类， 其内层电子态对化学成键一般只有微弱的影响，称为芯态；外层电子态参与化学成键，对体 系的物理化学性质有着显著的影响，称为价态。介于此，我们引入赝势（Poseudopotentials） 的概念， 就是讲芯态电子跟核放在一起考虑， 认为价态电子是在芯态电子屏蔽过的核的势场 中运动，这个被屏蔽了的势即为赝势。 赝势的导出不是唯一的，最初的是经验赝势，后来随着计算方法的发展和应用，出现了 从头算赝势。从头算赝势致力于不附加任何经验参数的赝势，有多种生成方法，比如模守恒 赝势，超软赝势，投影缀加平面波赝势等，目前都有广泛的应用。 2.6 基组 前面提到了我们需要在一个 Hilbert 空间展开 KS 轨道， 这就是将 KS 轨道写为基组的线 性组合的形式。高精度的计算要求基组尽量完备性好，平面波系列就是一个合适的基组。此 外，由于平面波内在的周期性，很适合用于周期性体系的计算。目前，人们普遍认为固体的 高精度平面波计算完全可以作为其他方法的基准。 除了平面波基组， 还有源于量子化学方法 的原子轨道基组，此时基组的形状跟所要展看的 KS 波函数相近，只需要较少的项就可以达 到较高的精度。目前也有关于混合基组的工作。 由 Fourier 分析的知识我们知道平面波序列是一个完备的基组，但是这是一个无限的序 列，在实际计算中不可能达到。因此我们用一个截断（cutoff）标志实际采用的平面波的数 目。截断的量纲是能量，对应着最大波数的平面波的动能，动能大于截断能量的平面波将不 予考虑。 2.7 VASP 使用简介 VASP 全称是 Vienna Ab-initio Simulation Package（维也纳从头计算模拟程序包）。它是 用赝势平面波方法进行分子动力学模拟的软件包。 于同类软件相比， 它比较早的实现了超软 赝势， 计算量相对于一般模守恒赝势方法大为减少。最近 VASP 又加入了 PAW 方法的支持。 在下个版本中可能会实现杂化泛函和 GW 方法。 使用 VASP 进行计算需要用到四个输入文件： INCAR：包含所有的控制参数，没有具体指定的参数使用缺省值。 POSCAR：包含晶体构型的所有信息，比如坐标、原子数目与类型、单胞描述等。 KPOINTS：包含 k 点选取方案。 POTCAR：包含赝势信息。 VASP 计算能带结构需要两步，首先要进行一次静态计算（指原子位置不变），等自恰 收敛以后，再进行能带结构的计算。两步计算需要的参数不同，主要表现在 INCAR 和
二维拓扑绝缘体的自旋陈数与拓扑性质的研究共3篇
二维拓扑绝缘体的自旋陈数与拓扑性质的研究共3篇二维拓扑绝缘体的自旋陈数与拓扑性质的研究1二维拓扑绝缘体的自旋陈数与拓扑性质的研究随着物理学基础理论的不断发展，人们对物质世界的理解也日益深入。
其中，在拓扑物态学上，人们对拓扑绝缘体的研究成果持续涌现。
与此同时，人们也逐渐认识到自旋陈数与拓扑性质在拓扑绝缘体研究中的巨大作用。
拓扑绝缘体是一种在能带理论中的新型物态，与普通绝缘体不同，它不需要在体态能隙内引入任何杂质或者施加剧烈的压力等非常规处理能够表现出特殊的拓扑性质。
对于二维拓扑绝缘体，人们发现其表现出一些令人惊异的性质，例如存在零模边缘态、反常的霍尔效应等等。
这些特殊性质牢固地基于材料的拓扑性质。
而在拓扑性质中，自旋陈数继承于物理学领域的陈数概念，它反映了朗道能级在强自旋轨道耦合下的循环、涡旋与自旋耦合。
它的出现往往意味着系统具有非平庸的状况，在两个不同材料的交界面上通常可以产生非平庸的拓扑态。
在从朴素自旋-轨道耦合近似的情形下，自旋陈数是一个连接哈密顿量带与拓扑性质的非平庸拓扑不变量，其得到的结果对于研究二维拓扑绝缘体非常重要。
近年来，许多物理学家纷纷进行了拓扑绝缘体自旋陈数的探究，并发现它与基态平滑度的拓扑相变、自旋Hall效应与量子霍尔效应等基本物理量紧密相关。
相比于其他物理量，自旋陈数在实验中更加直观、稳健，因此路人、玉碎、耿原等著名学者在实验室里进行了多次数据集的测量和分析。
他们的研究表明，在二维拓扑绝缘体中，自旋陈数体现出非常重要的作用，为理解模型的特性和实际物理体系的分析提供了一种新思路。
自旋陈数的解析计算资源需求比较大，需要高超的理论专业知识和工程实践能力，同时数据采集、计算过程中也要注意有效性和科学严谨性。
但是非常值得一提的是，在自旋陈数理论框架下进行的实验研究可以给人们带来更深刻的物理认识和理论理解。
正如天文学家测量质点所量产生的重力场一样，即使观测数据在现实中不可见，它的存在也可以检验和补充对理论的理解。
第九章半导体异质结结构
精选课件
4
School of Electronic Engineering & Optoelectronic Techniques
如从图中可见，在形成异质结之前，p型半导体的费米能
级EF1的位置为
EF1Ev11
(9-1)
而n型的半导体的费米能级EF2的位置为
EF2Ec22
(9-2)
当这两块导电类型相反的半导体材料紧密接触形成异质结
q D V q D 1 V q D 2 V E F 2 E F 1 (9-3)
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显然 VDVD 1VD2
处于热平衡状态的pn异质结的能带图如图9.1（b）所示。
从图中看到有两块半导体材料的交界面即附近的能带可反 应出两个特点：1.能带发生了弯曲。2.能带再交界面处不 连续，有一个突变。
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2
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如果从一种半导体材料向另一种半导体材料得过渡只发生 于几个原子范围内，则称为突变型异质结。如果发生于几 个扩散长度范围内，则称为缓变形异质结。 1.不考虑界面态时的能带图 （1）突变反型异质结能带图
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16
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当悬挂键起受主作用时，则pn、np、pp异质结的能带图 如图9-9中的（d）（e）（f）图所示。 以上讨论可知，当两种半导体的晶格常数极为接近时，晶 格间匹配较好，一般可以不 考虑界面态的影响。但是在 实际中，即使两种半导体材 料的晶格常数在室温时相同 ，但考虑它们的热膨胀系数 不同，在高温下，也将发生晶格适配从而产生悬挂键，在
能带论计算方法简介
a
21
三、总结
凝聚态物理的核心问题之一是关于多粒子系统的电子性质，基于单电子近似的能带理 论为解释固体中电子的绝大部分性质提供了一个概念框架：按电学性质把晶体分为金属、 半导体和绝缘体；不但可以解释晶体的导电性质，也可以解释晶体的光学、磁学和热学性 质。因此发展了许多近似方法来计算晶体的能带，本文简单介绍了一些常用的方法，从宏 观上对能带计算方法有一个把握。
布洛赫函数能带计算的两能带计算的两种途径种途径用自由原子用自由原子的轨道的轨道波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基用自由电子用自由电子平面波平面波波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基不同能带计算方法的特征区别在两个方面1采用不同的函数集来展开晶体波函数
能带计算方法简介
a
2
能带论的中心任务是求解晶体周期势场中的单电子薛定谔方程：
其解应具有Bloch函数形式：
布洛赫函数
a
3
能带计算的两种途径
用自由原子的轨道 波函数作为传导电
子波函数基础
用自由电子平面波 波函数作为传导电
子波函数基础
不同能带计算方法的特征区别在两个方面 （1）采用不同的函数集来展开晶体波函数； （2）根据研究对象的物理性质对晶体势作合理的、有效的近似处理。
a
1
一、引言
能带论是研究固体运动的一个主要理论基础。它是以量子力学的观点发 展起来的。它的出发点是：固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整 个固体内运动。
要确定能带的结构是一个非常复杂的多体问题，难于严格求解，量子力 学能够严格求解的只是二体问题。为求解多体问题，需经绝热近似、静态近 似、单电子近似等把问题简化为单电子问题来处理。单电子理论虽然是一个 近似理论，但实际的发展证明它成为某些重要领域精确概括电子运动规律的 基础或半定量的经典理论。
第三章 能带的计算方法
第三章 能带的计算方法周期场中的单电子波动方程除了少数几种简单的理想模型外，都只能用近似方法求解。
目前，主要的近似方法有：准自由电子近似，紧束缚近似，原胞法，正交化平面波法，赝势法和P K∙法等。
每一种近似方法都有其优点，也有其局限性，只能用于一定的情况。
在这一章中简单介绍两种。
§3-1准自由电子近似法在这种近似方法中假设原子的外层电子在晶体的周期性势场中运动，且势能的周期性变化部分很小，可作为微扰来处理。
这种处理，电子的运动一方面和自由电子相近，另一方面又能反映出周期场中运动的电子所具有的周期性特征。
这种方法较粗糙，适用于金属中的电子。
一．一维情况设周期为a 、长度为L 的线状晶体沿x 方向。
电子波动方程为)()()](2[222x E x x V dx d m ψψ=+-（3-1） 式中，∑∑≠≠+=+=02000)(m ax mi m m xiK m eV V eV V x V m π （m aK m π2=为任意倒格矢）具有晶格的周期性，V 0是电子在晶体中的平均势能。
由于V(x)为实数，故有*m m V V =-令：W(x)为势函数中周期性变化部分，则 ∑≠=02)(m axmi meVx W π （3-2）于是波函数可改写为)()()](2[0222x E x x W V dx d m ψψ=++-（3-3） 根据准自由电子近似的基本假设，W(x)很小，可当作微扰。
从而可先求解无微扰的电子波动方程)()(]2[0000222x E x V dxd m k k ψψ=+- （3-4） 其解为平面波ikx k e Lx 1)(0=ψ （3-5）相应的能量谱值02202)(V mk k E += （3-6） 这里，k 是平面波的波矢量。
在周期性边界条件下，k 只能取断续值：l Lk π2=， ,3,2,1,0±±±=l 这些满足周期性边界条件的平面波彼此正交并归一化'''',,0)(20)(11l l k k L Lxl l i L x k k i dx e L dx e L δδπ===⎰⎰-- （3-7）当存在周期性变化的微扰W(x)时，波动方程的零级能量谱值为E 0(k)。
紧束缚模型理论介绍和能带结构
ℏ2 2 − 2������ ������
+ ������ ������ =
ℏ2 2 − 2������ ������
−
������ 2 ������
原子轨道波函数：������ ������������������ = ������������������ ������ ������������ ������ ������, ������
������ ������4×4 ������ ������ ������4×4 ������
������������ ������
小结
步骤一：选定体系，如石墨烯，查阅量子力学相关书籍得到C原子在特定 位置������ 处的轨道波函数，如s轨道������ ������ − ������ 、px轨道������������ ������ − ������ 等；
位于������ 处能级为������������������的氢原子轨道：������ ������������������ ������ − ������
将布洛赫函数展开为瓦尼尔函数的线性组合：������������������ ������ =
实际上为实空间和倒空间的傅立叶变换
������
引入波恩-卡门条件：
������������������ ������ + ������������ ������������ ������ + ������������ ������������ ������ + ������������ ������������ ������ = ������������������ ������
1 =������1 ������ − ������1
������1
+ ������ ������ =
ℏ2 2 − 2������ ������
−
������ 2 ������
原子轨道波函数：������ ������������������ = ������������������ ������ ������������ ������ ������, ������
������ ������4×4 ������ ������ ������4×4 ������
������������ ������
小结
步骤一：选定体系，如石墨烯，查阅量子力学相关书籍得到C原子在特定 位置������ 处的轨道波函数，如s轨道������ ������ − ������ 、px轨道������������ ������ − ������ 等；
位于������ 处能级为������������������的氢原子轨道：������ ������������������ ������ − ������
将布洛赫函数展开为瓦尼尔函数的线性组合：������������������ ������ =
实际上为实空间和倒空间的傅立叶变换
������
引入波恩-卡门条件：
������������������ ������ + ������������ ������������ ������ + ������������ ������������ ������ + ������������ ������������ ������ = ������������������ ������
1 =������1 ������ − ������1
������1
第四章-固体能带理论I4.6
4.6 LMTO 方法1 单中心展式和结构常数前一节给出了可以作为基函数的一种缀加的Muffin-tin 轨道式 (4.5.46)。
对于三维晶体，用这样一些周期性排列的、互不交叠的势阱()MT v V -r r 来描述其势场，势场中心处于v r ，为原子的位置；势阱埋在一个常数势场之中，如式 (4.5.2) 所示。
相应的晶体波函数可以用这种Muffin-tin 轨道的线性组合来描述，()()(),,,L L E c E ψχκ=∑kLr k r(4.6.1)其中布洛赫和L χk定义为()(),,,,vvi L L v E e E χκχκ⋅=-∑k r kr r r r(4.6.2)上式是一个多中心展式，下面将证明波函数可以按如下形式，即用一个单中心展式来表示：()()()()'',,,,J ,L L L L L L E E B χκχκκκ=+∑kk r r r(4.6.3)上式中引进KKR 结构常数：()()''''''''4n v v i L L LL L L v L B c e r κπκκ⋅*≠=∑∑k r kr(4.6.4)它在Muffin-tin 轨道尾部的单中心展式中起着系数的作用。
这些结构常数与势场无关。
式 (4.6.3) 在原点处的Muffin-tin 球内；以及如图所示，在以原点为中心、穿过最近邻Muffin-tin 球中心的大球内、各个最近邻球外的球间区域内收敛 (图中的小格子区域)。
这时可将式 (4.6.2) 写为()()(),,,,,,vv i L L L v E E e E χκχκχκ⋅≠=+-∑k r kr r r r r(4.6.5)其中后一项实际就是晶体中原点以外所有Muffin-tin 轨道尾部的求和。
这些尾部函数，不管是正常诺依曼函数还是缀加诺依曼函数，都服从前节所述的一个展开定理，因此上式中尾部求和可以写为一个单中心展式，()()()''0'N ,J ,vv i l v L L L L eB κκκκ⋅≠-=∑∑k r kr r r r(4.6.6)这就给出了式 (4.6.3) 所要的形式。
6 能带理论Ⅱ 华理材料固物
KKR方法不仅成功用于金属能带计算，并已推 广为处理无序体系的一个有效方法。
在APW方法基础书发展起来计算方法的除去 KKR 以外还有： 糕模轨道方法（MTO）； 线性APW方法（LAPW）； 线性MTO方法（LMTO）。
§ 6.1
能带的计算方法
五、KKR方法（格林函数法）
KKR计算出的金属 AI 能带（价带）
k
是一个平面波。
在离子实处，原子波函数是显著的，引起快速振荡的作用。 如果将 wk 代入薛定谔方程并整理各项，则有：
§ 6.1
能带的计算方法
2 2 U 2m wk E k wk
三、赝势方法
式中：
2 2 2m U ' k E k k U ' U bi vi U vi i
§6.3
密度泛函理论
近代的能带计算也采用建立在密度泛函理论基础 上的局域密度近似（Local density approximation） 方法，理论基础是非均匀相互作用电子系统的基态能 量唯一的由基态电子密度确定，是基态电子密度 n(r) 的泛函。
正交化项起着抵消势能的作用，给出一个弱得多 的有效势。
上述结果很有趣，有效势场不是 U，而是 U’， 通常 U’<U ，起作用的是一个很弱的势U’，被 称作赝（假的、伪造的）势给出的波函数叫赝波 函数。
§ 6.1
能带的计算方法
三、赝势方法
§ 6.1
能带的计算方法
三、赝势方法
§ 6.1
能带的计算方法
傅里叶展开系数：
原胞
§ 6.1
能带的计算方法
一、平面波方法
展开后代入： 得到本征能量值En(k) ◇平面波方法概念简单，结果物理意义清晰。
在APW方法基础书发展起来计算方法的除去 KKR 以外还有： 糕模轨道方法（MTO）； 线性APW方法（LAPW）； 线性MTO方法（LMTO）。
§ 6.1
能带的计算方法
五、KKR方法（格林函数法）
KKR计算出的金属 AI 能带（价带）
k
是一个平面波。
在离子实处，原子波函数是显著的，引起快速振荡的作用。 如果将 wk 代入薛定谔方程并整理各项，则有：
§ 6.1
能带的计算方法
2 2 U 2m wk E k wk
三、赝势方法
式中：
2 2 2m U ' k E k k U ' U bi vi U vi i
§6.3
密度泛函理论
近代的能带计算也采用建立在密度泛函理论基础 上的局域密度近似（Local density approximation） 方法，理论基础是非均匀相互作用电子系统的基态能 量唯一的由基态电子密度确定，是基态电子密度 n(r) 的泛函。
正交化项起着抵消势能的作用，给出一个弱得多 的有效势。
上述结果很有趣，有效势场不是 U，而是 U’， 通常 U’<U ，起作用的是一个很弱的势U’，被 称作赝（假的、伪造的）势给出的波函数叫赝波 函数。
§ 6.1
能带的计算方法
三、赝势方法
§ 6.1
能带的计算方法
三、赝势方法
§ 6.1
能带的计算方法
傅里叶展开系数：
原胞
§ 6.1
能带的计算方法
一、平面波方法
展开后代入： 得到本征能量值En(k) ◇平面波方法概念简单，结果物理意义清晰。
固体物理 第四章(1)Bloch定理
i
ˆ H i i r i Ei i r i
（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一 个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。
周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个 电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所 有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有 电子都适用，是所有电子的解。 如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出 现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电 子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N
（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且
ik r r e uk r
（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再 是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r
能带论4
数）。所以赝势法的基本精神是适当地选取一种平滑势，波
函数用少数平面波展开，就可以使计算出的能带结构与实际 晶体接近，赝势方法除去在能带计算上（Be,Na,K,Ge,Si 等 金属和半导体的能带）取得很大成功外，也从理论上回答了 尽管在晶体中电子和离子的相互作用很强，近自由电子模型 在很多情形下仍十分成功的原因。
这是一个近似图，并不准确。
r0 a 0
原胞法示意图
根据Bloch定理，方程的解为： k r e
ik r
uk r
其中表征周期部分的函数 u(r) 应该在原胞的两个对称点上 例如 p1和 p2 点上取值相同。 为了方便地处理周期性的要求， Wigner和Seitz用相同体积的WS球代替实际原胞，原胞内的势 场也看成球对称的，因而可以数值求解，在 k＝0 点得到的波
1937年Slater 从原胞法结果中发现晶体离子之间的广大 区域里，晶体势几乎没有变化，因此采用了一种特殊的势重 新求解。“muffin-tin” （糕模势）在离子实处就是自由离子 势，在离子实外面严格是一个常数（见下页图）。因此波函
数为在
r r0
时是平面波： k
1 V
e
ik r
,
而在 r r0 时，为原子波函数。r0 是离子实半径。后者可 以通过求解自由原子的薛定谔方程得到，边界条件是在离子 实的表面 r0 处和平面波连续衔接。
现在假定电子处在 A 原胞中，求解运动方程时，可以认 为它只受到此原胞中离子势场的影响，其它原胞中离子势场 对A原胞中电子的影响可以忽略不计。
2 U r 2m
2 k
r
E k
k
r
只要求出一个原胞中的波函数就可以把整个晶体的问题解决 了（平均地说，每个原胞都被另一个传导电子所占据，这些电 子往往有屏蔽离子的作用，从而强烈地消弱了离子势场。）
第三章 第九节 铁磁性的能带理论模型
4s
3 d
原子间距
电子数相等；而对于3d能带， 由于交换分裂导致其正负副 能带高度不等（3d负副能带 高），充满电子的程度也不 一样。
由3d正负副能带中电子 浓度差数即可得到原子磁矩 (如教材P148表3－10)，(非μB 的整数倍)。
图3-29 3d和4s正、负能级及电子 分布
3d电子有部分 成为4s自由电 子，对磁性没 有贡献。
1945年12月，珀塞尔和他的小组在石蜡样品中观察到质子的核磁共振吸收 信号，1946年1月，布洛赫和他的小组在水样品中也观察到质子的核感应信号。 他们两人用的方法稍有不同，几乎同时在凝聚态物质中发现了核磁共振。他 们发现了斯特恩开创的分子束方法和拉比的分子束磁共振方法，精确的测量 了核磁矩。以后许多物理学家进入了这个领域，形成了一门新兴实验技术， 几年内便取得了丰硕的成果。
能带模型的简单介绍：
根据集体电子论，过渡金属的4s电子在晶格中游动，其
总能量即为动能：
E
1 2
2k 2 m*
m*：电子的有效质量 由能带论知，具有能量为E的电子数目按能态密度D(E)分布：
D(E)
D
1 K E
dA
D：状态分布密度；dA：等能面的面积元； K E 沿等能面
法线方向能量的改变率。
因此，电子分布于若干密集能态组成的能带中。
1952年诺贝尔物理学奖 ——核磁共振
珀塞尔
布洛赫
1952年诺贝尔物理学奖授予美国加利福尼亚州斯坦福大学的布洛赫（Felix Bloch，1905—1983）和美国马萨诸塞州坎伯利基哈佛大学的珀塞尔 （Edward Purcell，1912—1997），以表彰他们发展了核磁精密测量的新方法 及由此所作的发现。
§3.5能带的计算方法
—— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
—— 能级间“排斥作用”
E
1 2
{Ek0
E
0 k'
(Ek0 Ek0' )2 4Vn 2 }
ii)
波矢k非常接近
，k状态的能量和k’能量差别很小
将
按
泰勒级数展开
E
1 2
{Ek0
Ek0'
2Vn
(Ek0 Ek0' )2 } 4Vn
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
k0dx
kk
'
0
2）微扰下电子的能量本征值
—— l 为整数
哈密顿量
根据微扰理论，电子的能量本征值
Ek
Ek0
E (1) k
E (2) k
.
一级能量修正
E (1) k
0
二级能量修正
Ek(2)
k'
k'| H'|k 2 Ek0 Ek0'
——
—— 按原胞划分写成
Vn 2 (k
n 2 )2 ]
2m
a
计入微扰后电子的能量
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
2m
a
3）微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(
x)
.
0 k
(
x)
1 eikx L
波函数的一级修正
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