0618法与Fibonacci法
阿道夫撒旦法
随着无线通信技术的飞速发展，人们可以获得的带宽不断的增加，但仍然无法满足人们对于带宽的日益增长的需求。
一方面，人们不断开发新的无线通信技术，利用新的频段来提供各种业务；另外一方面，各种改进的调制和编码技术也使得现有频谱的利用效率得以提高。
然而，频谱资源终究是有限的。
将来会得到规模应用的MIMO和OFDM技术，在可以预见的情况下，能够将频谱的利用效率提高3～4倍，而对于人们对带宽的几十倍、上百倍的需求增长，这种提高显然不能完全的满足要求。
频谱资源作为一种极具价值的自然资源，其日趋紧张甚至枯竭已成为不争的事实，而真正要解决这种矛盾，必须对现在的频谱管理方法进行改进。
2.研究意义
目前认知无线电技术被认为是下一代最热门的无线技术之一。
频谱感知是在认知无线电技术的关键技术之一，认知无线电必须能够灵敏的感知外界环境，感知可利用频谱空洞，为认知用户提供可利用频段；检测授权用户的出现，以避免对授权用户的干扰。
作为认知无线电技术的必备技术，频谱感知的研究对认知无线电技术的实际应用具有重大意义。
3参考文献目录。
斐波那契数列与黄金分割
答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项 起，每一项是其前两项之和，则称该数 列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
解：设跳到第n格的方法有 tn种。
由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一
种方法，从而 t1 t2 1
22
而能一次跳入第n格的，只有第 n 1
和第 n 2 两格，因此，跳入第 n 格的方法
数，是跳入第n 1格的方法数 tn1，加上跳入
第 n 2 格的方法数 tn2 之和。
2
再作
A(AE)交 AB于 C ，则
AC
AB
5 1 ，C 即
2
为 AB的黄金分割点。
D
5
E
1
A
C
B2Βιβλιοθήκη 38证：不妨令 BD 1 ，则 AB 2 ， AD 22 1 5 ， AE AD ED 5 1，
AC AE
AC 5 1,
5 1
AB 2
证完。
39
4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“合谐”。 例如:
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
把第n 1条分数线上、下的部分都删去，就
得到该连分数的第n 次近似值，记作 un 。
vn
Fibonacci法
我们自然希望会有下面情况之一发生：
' ' x1 x2 , x1' x2 , x1 x2 , x1' x2 .
因为如果发生一种，我们就又得到每迭代一次只计算一个 函数值的算法.下面用直接验证来解决这个问题.
(2) Fk 1 Fk Fk 1
3 4 5 6
即 则称
k
0
1
2
Fk
{Fk }
1
1
2
3
4
8
13
为Fibonacci数列
ci法的推导过程：
(1)与黄金分割法一样,设初始区间[a1, b1]上有唯一的极小值 点，规定一共算n次函数值，取试探点
Fn 2 x (b1 a1 ) a1 1 Fn F ' x1 n 1 (b1 a1 ) a1 Fn
1 (b 1 a 1) L F n
由此可确定出计算函数值的次数n. 注意： 由于第1次迭代计算两个试探点，以后每次计算一个，这样 经过n-1次迭代就计算完n个试探点.但是，在第n-1次迭代中 并没有选择新的试探点，根据试探点的公式我们必有
1 ' xn 1 xn (an 1 bn 1) 1 2
bk 1 ak 1 bk xk Fn k 1 bk [ (bk ak ) ak ] Fn k 1 Fn k 1 1 F (bk ak ) n k 1 Fn k (bk ak ) Fn k 1
所以极小点
x [a6 , b6 ] [0.23077,0.38461]
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
如何选择化工风险辨识方法
在化工生产装置设计、运行、检修、技改和变更等过程中，为避免事故的发生，各个阶段均进行风险辨识，已达到“预防为主”的目的。
但是用于化工风险辨识方法较多，不能用一种辨识方法全面分析出所有的风险及级别，为全面有效的进行风险分析需对各种分析方法进行分析对比，最终找出符合实际工作的风险分析方法。
1、风险辨识方法目前化工生产的有多种风险辨识方法，分别是安全检查表(SCL)、作业危害分析(JHA)、预先危险性分析(PHA)、故障类型影响和危险性分析(FMEA)、事件树(ETA)、事故树(FTA)、作业条件危险性评价法(LEC)、危险性与可操作性分析(HAZOP)、安全完整性等级分析法(SIL)、保护层分析(LOPA)、定量风险评价(QRA)、基于风险评估的设备检验技术(RBI)、故障假设法(WI)，另外还有道化学公司指数法、帝国化学公司指数法是两种分析方法。
2、方法特点及优缺点常用风险辨识方法特点及优缺点3、辨识方法的选择通过各种辨识方法特点的对比，各种方法各有优缺点，为更加全面的分析出化工装置中的风险，应将各种方法进行系统合理结合，以便最终保障化工生产“预防为主”的效果。
风险分析方法根据对象的不同，可分为外部影响因素、原因发生的概率、后果严重性三大类。
外部影响因素辨识方法包括装卸料、包装等工作，利用故障假设法(WI)和安全检查表(SCL)；检修维修作业采用作业危害分析(JHA)；原因发生的概率辨识方法包括事故预防事件树(ETA)；后果严重性辨识方法包括事故分析事故树(FTA)和罐区储罐及反应器使用定量风险评价(QRA)。
动设备采用故障类型影响和危险性分析(FMEA)，静设备(管线、容器)采取基于风险评估的设备检验技术(RBI)。
4、结语通过以上分析，树立以危险性与可操作性分析(HAZOP)为中心进行风险综合辨识分析。
原因发生概率辨识为HAZOP提供偏离原因，后果严重性辨识为HAZOP提供偏离后果，外部影响因素辨识方法补充HAZOP分析内部原因以外的问题，通过HAZOP分析出相应的风险类别，再利用保护层分析（LOPA)辨识安全措施的充分性，解决HAZOP分析中残余风险不能定量化的不足，最后利用安全完整性等级分析法(SIL)对需要增加的安全仪表系统进行设计，并对LOPA分析结果进行验证。
斐波那契比例算法与中国古算法的相似性分析_冯林
斐波那契比例算法与中国古算法的相似性分析冯 林 郜舒竹（首都师范大学 １０００４８） 斐波那契（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ，１１７０—１２４５），又称比萨的莱昂那多，意大利数学家．为了向欧洲人介绍印度和阿拉伯的数字系统及其计算方法，他于１２０２年出版了《计算之书》（Ｌｉｂｅｒ Ａｂａｃｉ）．这是一部百科全书式的数学著作，涉及算术、代数和问题解决等在１３世纪广为人知的数学知识．该书问世后的３００多年中，一直是数学教科书的样板，在意大利甚至那个时代的欧洲，任何一位想成为商人或者想掌握数学的人都要学习此书．在《计算之书》中，斐波那契处理了许多比例问题，如商品买卖、物物交换、钱币换算、利润分配等．他解比例的方法不同于现在的代数法，而是基于表格的“之字变换法”（Ｚｉｇ Ｚａｇ ｍｅｔｈｏｄ）．分析该法的特点，发现其与中国古代的比例算法———今有术算法类似．１ 斐波那契的比例算法在所有的商品交易中一般会有四个成比例的数，其中已知三个，剩下的那个数未知．如，１００卷值４０镑，那么２镑能买多少卷？［１］在该题中，已知了三个数，两个是价钱，即４０和２，另外一个是商品数量１００．斐波那契列了一个表，将４０和１００写在同一行中，根据是１００卷值４０镑；２写在４０的下面，因为这两个数据都是表示价钱，一个在另一个下面，如图１所示．图１这样，总有两个已知的数在对角线上，把这两个数相乘再除以与未知数在同一对角线上的第三个数，那么第四个数总能得到．于是有２×１００÷４０＝５（卷）斐波那契给这种基于列表的方法取了一个名称，叫“之字变换法”［２］，即通过将题目中出现事物类别各成一列，如上题中的价钱与数量，然后依据对角线上已知数相乘再除以另一条对角线的所有数的法则，算出未知数．这种方法是解决比例问题的一般解法，可以推广到类别更多的情况下．如，一只鸡能换１５个蛋，一头牛能换１７只鸡，若２头牛值３比萨镑，那么１２比萨镑能换多少个蛋按照斐波那契的方法，首先将题目中出现事物类别分别列为表头，同时填上对应数据，见图２：图２根据对角线上已知的四个数相乘再除以另一条对角线上其他三个数，得到能换蛋的个数为１７×１５×１／２×２１×３×１＝８５（个）．２ 斐波那契比例算法的特点斐波那契基于表格的“之字变换法”作为一种解决比例问题的通法，也有不能成立的时候．当这种方法推广到更多类别的情况时，就会８５数学通报 ２０１３年 第５２卷 第３期出现问题，如在上述比萨镑换蛋中，一共有四个表头，如果这四个表头任意排顺序，根据排列组合知共有２４种排列方式，也就是说能用２４个表去解．但是当表头顺序为鸡———蛋———牛———比萨镑（见图３）时，这种方法便不适用了．分析如下：图３如果斐波那契的算法适用，得能换蛋的个数＝１７×１５×１×３１×２×１／２＝７６５（个）．这种结果显然不对．观察这种解法的表头发现，牛和鸡本来有直接的数量关系，即１头牛相当于１７只鸡，但是作为表头时却是间隔的，而正是这种间隔导致了算法的不适用．所以，斐波那契方法的限制条件为，有直接数量关系的物体作为表头时必须相邻，也意味着相邻表头之间必须有直接的数量关系．接下来的问题就是如何根据这些直接的数量关系设置表头了．可以追溯到当时的另一种方法，叫“箭头改变法”．用该法解决上面钱换蛋问题，作图４如下：图４如图４所示，若通过鸡求蛋，则乘以１５，箭头反之则除以１５．现在从钱直接到蛋无法求出，但是在图中可以间接求出来，观察钱－牛－鸡－蛋的逆时针方向，可得，可换蛋的数量＝１２×２３×１７×１５＝８５（个）．该法为斐波那契“之字变换法”设置表头顺序提供依据．此法形象地表达了相邻两物之间的数量关系，并且构成了一个回路．如果分别在回路的四条线中间剪开，便可得出四种斐波那契的表格顺序，除了上面介绍的一种，还有以下三种列表顺序：鸡———牛———比萨镑———蛋，牛———鸡———蛋———比萨镑，蛋———鸡———牛———比萨镑，这样便使得顺序的寻找有法可寻，避免了盲目地列表的问题．可见，斐波那契基于表格的“之字变换法”的一个显著特点是，该法推广到连比例问题中时，需要考虑表头的顺序，即有直接数量关系的物体作表头时必须相邻，而箭头法提供了顺序设置的依据．所以，通过上面的解题和特点分析归纳出“之字变换法”的步骤，可以分为以下几步：第一，有顺序地列表头．这是解比例问题最关键的一步，有没有理清题里的数量关系就体现在此．表头是题目中出现的可以买卖或交换的量，如，上面的卷和镑，鸡、牛、蛋、比萨镑等．找表头容易，但是当表头多于两个时，就会有一个设置表头排列的先后问题，而这种顺序的寻找是通过另一种算法才找全的，比如，鸡、牛、蛋、比萨镑互换那道题，就是通过当时的另一种算法“箭头变换法”去寻找的．第二，列表填数．当表头与表头顺序确定之后，就需要往表格里填相应的数据，原则是表示同一类的数据出现在同一列，属于不同类的、有直接数量关系的数据填在同一行．如上的１００卷值４０镑，１００和４０就成一行，问“２镑值多少卷”，２与４０是同一类数据，所以填在４０的下面，成为了一列．如果用一般的模式来表达这个表，不妨设Ａ、Ｂ、…是两个成比例的类别，其中ａ、ｂ、ｃ、…是已知的，ｄ是未知的．图５第三，运用“之字变换法”法则．根据对角线上所有已知数据相乘的积，再依次除以另一条对角线上的每个数据，可以把求未知数的公式表示为ｄ＝ｂ×ｃ÷ａ９５２０１３年 第５２卷 第３期 数学通报３ 中国的古算法与之类似的分析在中国古代的数学中，也有处理比例问题的方法———今有术，指的是用所有数乘以所求率①，再除以所有率，便得到所求数．用公式表示为：所求数＝所有数×所求率÷所有率．现在用今有术解决前面的“１００卷值４０镑，那么２镑能买多少卷？”问题．分以下几步进行：第１，寻找所求数、所有数、所求率与所有率．２是所有数，１００是所求率，４０是所有率．这个过程相当于斐波那契方法中的第一步，寻找表头．第２，根据今有术公式列式，有２×１００÷４０＝５（卷）．若将今有术的各元素对应到斐波那契表里，如图６所示：图６根据斐波那契对角相乘再相除的法则，正好也能得出所求数＝所有数×所求率÷所有率，与今有术的公式是一致的．所以，今有术与“之字变换法”的第三步也是类似的，都满足ｄ＝ｂ×ｃ÷ａ的形式．值得一提的是，当今有术推广到解决连比例问题中时，解法中涉及到的先后顺序也是有依据的．如，用今有术解答上面的比萨镑换蛋的问题，可以分以下几步进行．第一，２头牛值３比萨镑，那么多少头牛值１比萨镑其中，２和３分别是所求率和所有率，１是所有数，根据今有术公式得１×２÷３＝２３（头）．第二，一头牛相当于１７只鸡，那么２３头牛相当于多少只鸡？其中，１和１７分别是所有率和所求率，２３是所有数，根据今有术公式得２３×１７÷１＝３４３（只）．第三，１只鸡相当于１５个蛋，那么３４３只鸡相当于多少蛋其中，１和１５分别是所有率和所求率，３４３是所有数，根据今有术得３４３×１５÷１＝１７０（个）．第四，至此，已经得出了１比萨镑能换１７０个蛋，那么１２比萨镑能换多少个蛋？同样用今有术解出得８５个．实际上，以上四步也是受当时另一种比例算法的暗示得来的．用该法解决上面的题，如图７：图７该算法是把左边一列的数字全部相乘，再除以右边一列数字的积，所求蛋为１５×１７×２×１／２１×３×１＝８５（个）．观察图７可以发现，以上依次运用今有术的四步，要求１／２比萨镑能换多少蛋，依次用的关系是２牛与３比萨镑、１７鸡与１牛、１５蛋与１鸡，分别对应图７中的倒数第二行、第三行与第四行．可见，这种方法也为今有术解法的寻找数量关系的先后顺序提供了依据，同样与斐波那契解法中通过别的算法的暗示表头的顺序的思想一致．可以这么说，今有术中解题的步骤的先后顺序与斐波那契方法中的设置表头顺序都是难点，而突破难点的方法都是通过另一种方法的暗示．综上，斐波那契的“之字变换法”和中国的今有术有三个相同的地方：（１）都是一种解比例的通法；（２）突破算法的难点需要借助另一种算法；（３）最后运算的法则都满足ｄ＝ｂ×ｃ÷ａ的形式．（下转第６３页）０６数学通报 ２０１３年 第５２卷 第３期①率：是在古代的物物交换中，把商品交换中等价物各自的数量叫做率．如，１００卷值４０镑，那么１００是卷率，４０是镑率．确定２３４ Ｈ．根据引理，１２４ Ｈ、１２３ Ｈ、１３４ Ｈ有公共点；由于三者已两两有交点１２ Ｈ、１３ Ｈ和１４ Ｈ，所以１３４ Ｈ只能过圆１２３ Ｈ和１２４ Ｈ的另一个公共点Ａ．第一部分证毕．证明的第２部分 ２ｎ＋１个２ｎ级Ｃｌｉｆｆｏｒｄ点共圆．设有２ｎ＋１条两两相交且任意三条不共点的直线，由归纳前提和第一部分的证明，其中任意２ｎ条直线确定了一个２ｎ级点，要证明这２ｎ＋１个点共圆．为此只要证明其中任意四个点共圆．这四个点的编码中有２ｎ－３个数字是相同的，不妨设这２ｎ－３个数字均大于４．记Ｈ为大于４而不大于２ｎ＋１的所有自然数组成的码段，则三个２ｎ级点１２３ Ｈ、１２４ Ｈ、１３４ Ｈ确定一圆Ａ，只要证明第四个点２３４ Ｈ在圆Ａ上．Ｈ由２ｎ－３个数字组成，所以它是２ｎ－３级圆的编码．注意１２ Ｈ、１３ Ｈ、１４ Ｈ和Ｈ这４个圆有公共点１ Ｈ；根据引理，下面４圆共点：圆Ａ，是由１２ Ｈ、１３ Ｈ、１４ Ｈ的交点１２３ Ｈ、１２４ Ｈ、１３４ Ｈ确定；圆Ｂ，是由１２ Ｈ、１３ Ｈ、Ｈ的交点１２３ Ｈ、２ Ｈ、３ Ｈ确定，它即２３ Ｈ；圆Ｃ，是由１２ Ｈ、１４ Ｈ、Ｈ的交点１２４ Ｈ、２ Ｈ、４ Ｈ确定，它即２４ Ｈ；圆Ｄ，是由１３ Ｈ、１４ Ｈ、Ｈ的交点１３４ Ｈ、３ Ｈ、４ Ｈ确定，它即３４ Ｈ．于是，圆Ｂ和圆Ｃ的交点有２ Ｈ和２３４ Ｈ，圆Ｄ和圆Ｃ的交点有４ Ｈ和２３４ Ｈ，因此，四圆Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ所共点为２３４ Ｈ；圆Ａ过２３４ Ｈ，即１２３ Ｈ、１２４ Ｈ、１３４ Ｈ与２３４ Ｈ共圆．定理证毕．从证明过程可见，若把直线换成过同一点的圆，定理仍然成立．有趣的是，直线这样换成圆得到的定理，在球面上也成立．参考文献１ 张英伯，叶彩娟．五点共圆问题与Ｃｌｉｆｆｏｒｄ链定理［Ｊ］．数学通报，２００７，６：１－６（上接第６０页）４ 斐波那契方法来源猜测斐波那契的“之字变换法”与中国的今有术如此的类似，是否可以猜想它有可能来源于中国的今有术呢？斐波那契解比例的方法出自《计算之书》，已有研究表明，该书里有许多与中国类似的古算题与古算法．早在１２－１３世纪，意大利的学者们就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献，其中最有影响的是斐波那契，当时年幼的他随自己的父亲经商，常驻北非港口城市布吉亚，有很多机会接触来自各地的商人，由此学到许多商业知识，尤其是数学．那么他的《计算之书》有些内容可能取材于东方素材．Ｃ．Ｋａｒｐｉｎｓｋｉ在《算术史》中说：“１２０２年斐波那契的巨著中所出现的许多算术问题，其东方源泉不可否认．不只是问题的类型与早期中国及印度相同，有时甚至所用数字也相同，因此东方根源是显然的．这些算题后来为意大利算术家选用．之后又为其他欧洲国家选用．从这条通道，古代中国和印度的算题也流进了美国的教科书．”［３］再如Ｖ．Ｋａｔｚ在论述斐波那契的《计算之书》时说道：“……其中的多数问题都是在他的旅行中找到的，有些问题似乎最终源于中国或者印度，但是斐波那契可能是从阿拉伯译本中了解到得．”［４］所以，斐波那契的“之字变化法”可能存在着东方的来源．参考文献１ （意）斐波那契原著；（美）西格尔译；纪志刚等译．计算之书［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８：１１２２ Ｔｉｎａ Ｆｉｔｚｐａｔｒｉｃｋ，Ｄｉｎｎｅ Ｉｔｔｅｒ，Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ Ｌｅｎａｒｄ，Ｔｅｒｒｙ Ｍｉｌｌｓａｎｄ Ｌｅｘ Ｍｉｌｎｅ．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ａｎｄ Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ．Ｍａｔｎｅｍａｔｉｃａｌ ａｓｓｏｃｉ－ａｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｉｃｔｏｒｉａ，２００２３ ＪＬ．Ｃ．Ｋａｒｐｉｎｓｋｉ．Ｔｈｅ Ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ［Ｍ］．ＲａｎｄＭｃｂａｌｌｙ ＆Ｃｏｍｐａ２ｎｙ，１９２５：３０４ 马丁玲，纪志刚．斐波那契在中西数学交流上的历史意义与研究价值［Ｊ］．上海交通大学学报（哲学社会科学版），２００８，２：５４－５８３６２０１３年 第５２卷 第３期 数学通报。
斐波拉契黄金分割线之炒外汇中运用
斐波拉契黄金分割线之炒外汇中的运用日期: 2021年11月19日在量、价、时、空四大技术要素中，最难解决的应属，江恩理论与斐波拉契数列较好地解决了这一难题。
斐波拉契数列又称为大自然的数字，是意大利数学家斐波拉契在13世纪时所发觉的，为理论、分割等技术分析的数字基础。
其本身属于一个极为简单的数字系列，背后却隐藏着无穷的微妙，具有许多神奇的地方，如一个数字同其后一个数字的比值，大致接近于的黄金分割率，因此又称为神奇数字。
组成斐波拉契神一系列数字，全数依照上述简单的原那么，两个持续显现的相邻数字相加，等于奇数字的基础超级简单，由一、二、3开始，产生无穷数字系列，3为1与2之和，以后显现的一个后面的数字。
例如3加5等于8，5加8等于13，8加13等于21，……直至无穷。
因此神奇数字系列包括以下数字：一、二、3、五、八、13、2一、34、5五、8九、144、233、377、610、987、1597……直至无穷。
其实《道德经》第四十三章中早就道出了神奇数字的真理：“道生一，一生二，二生三，三生万物。
”目前无法提出有力的科学证据，证明股价波动周期与神奇数字存在绝对的关联，但现实市场中确实存在相当多的例子，许多重要的头部与底部，其波动周期往往为8周、8月、13周、13月、21周、21月等，与神奇数字不谋而合。
这与廿四骨气易转势相类似，数学与天文学在预测中的神奇发挥，产生了玄学般的结果。
为了更好地把握股价转势，要充分运用神奇数字时刻之窗。
神奇数字时刻之窗画法如下：第一确信起点，必需为一波的底点或高点，如反弹起点133九、1311，牛市终点2245等；第二从起点开始向后推算，其以后第3、五、八、13、2一、34、55…天（能够为周或月乃至年为单位）往往容易形成时刻之窗，股价会发生转势，终止上涨或下跌的时刻周期；当一段行情终止，又产生新的底点或高点，能够以该转势点作为新的起点，从头绘制神奇数字时刻之窗。
神奇数字时刻之窗最大用途确实是能够告知咱们股价可能会在何时转势，在上涨行情中当股价波动至神奇数字时刻之窗时，有可能形成高点；在下跌行情中当股价波动至神奇数字时刻之窗时，有可能形成低点。
最常用的化学残留限度计算方法主要有以下四种
最常用的化学残留限度计算方法主要有以下四种1基于最低日治疗剂量的千分之一标准计算公式如下：R=STDDnext SF SBS MTDD ⨯⨯⨯ R ：单位面积残留MTDD ：最低日治疗剂量SBS ：下一产品最小批量SF ：安全因子TDDnext ：下一产品最大日服用量S ：共用接触面积该计算方法通常适用于制剂产品。
对于原料药，如果明确其将来的制剂形式，也可以采用该方法计算化学残留限度。
该公式中有个计算陷阱，须格外注意。
分子中的MTDD 指的是上一批产品的最低日治疗剂量，为每天服用的有效成分（API ）的量。
分母中TDD 指的是下一批产品的每天的服用量，该服用量包括有效成分和辅料。
（记忆小技巧：分子应尽量小，分母应尽量大，以得到更严格的限度标准。
）2基于浓度的10ppm 标准R ：单位面积残留限度SBS ：下批产品最小批量SF ：安全因子S ：共用接触面积该计算方法应用面非常广，适用于大多数药品的清洁残留限度计算。
3基于毒理的限度标准MACO：最大允许残留量，从上一产品带入下一产品的最大可接受量PDE ：每日允许暴露量SBSnext：下一产品最小批量TDDnext：下一产品的最大日服用量NOAEL：无可见有害影响水平Weight adjustment：体重调节F1~F5：安全因子（安全因子F1到F5具体如何选择，也可以参考ICH Q3C的相关内容）基于毒理的残留限度计算方法可以参考欧盟在其官方网站上公布的《在共用设施生产不同药品使用风险辨识建立健康暴露限度指南》，并结合APIC（原料药委员会）发布的《原料药工厂清洁验证指南》的部分内容可以得到上述公式。
该计算方法中每日允许暴露量（PDE）的计算公式中NOAEL的查找和确定将是面临的一个困难。
目前制药企业可能没有足够的时间和精力去摸索每一个原料药的NOAEL值，而对于NOAEL的检索应基于科学的方法并制定相应的策略。
检索策略、检索记录和结果均应该记录，并应由相关的主题专家（SME）进行审核，因此对NOAEL的准确性判断将非常关键。
日本化工企业六阶段安全评价法
日本劳动省的“六阶段安全评价安全评价的方法有多种，前面已详细介绍，评价的角度和评价的目的不同，选取的安全评价方法可以有所不同。
有些在评价时可能从传统的管理和经验出发，总结提出安全检查表方法；有些是从系统安全的角度，提出系统安全工程方法；有些是根据生产特点和场所的情况，提出的评价方法，这种评价方法往往可以反映其特点。
无论哪种安全评价方法，往往只适用于一定的场合和一定的对象，具有一定的局限性。
因此，在安全评价中将几种方法结合起来，可以取得相对满意的效果。
目前国内外均有一些综合性的安全评价方法，比较具有代表性的有日本劳动省的“六阶段安全评价”方法，美国杜邦公司采用的(“安全检查表—故障类型及影响分析—故障树、事件树”)“三阶段安全评价”方法，以及我国光气三阶段安全评价方法“安全检查表—危险指数评价—系统安全评价方法”等方法。
以下详细介绍日本劳动省的“六阶段安全评价”方法。
日本劳动省的“六阶段安全评价”是—种最早的综合型的安全评价模式。
在这一综合的评价模式中，应用了定性评价(安全检查表)、定量危险性评价、按事故信息评价和系统安全评价(故障树、故障树分析)等评价方法。
评价分为六个阶段，采取逐步深入，定性和定量结合，层层筛选的方式对危险进行识别、分析和评价，并采用措施修改设计消除危险，评价程序如下。
1)第一阶段资料准备首先要准备下述资料。
（1）建厂条件如地理环境、气象及周边关系图；（2）装置平面图；（3）构筑物平面、断面、立面图；（4）仪表室和配电室平面、断面、立面图；（5）原材料、中间体、产品等物理化学性质及对人的影响；（6）反应过程；（7）制造工程概要；（8）流程图；（9）设备表；（10）配管、仪表系统图；（11）安全设备的种类及设置地点；（12）安全教育训练计划；（13）人员配置；（14）操作要点；（15）其他有关资料。
2)第二阶段定性评价(安全检查表检查)主要对厂址选择、工艺流程布置、设备选择、建构物、原材料、中间体、产品、输送储存系统、消防设施等方面用安全检查表进行检查。
小学数学_“黄金比”之美教学课件设计
0.618
下课
空间中的黄金比
小明想要自己设计一张 明信片，纸张的长设定 是固定的，请帮小明想 一想，宽要设定多少厘 米才能让这个图形看起
来更美观
纸张的长度
？厘米
斐波那契数列又叫做兔子数列。他的发明者，是意大利 数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），从 小就对数学非常的热爱。课下同学们可以上网查一查资 料。
埃及金字塔
古希腊巴特农神殿
下面哪张图片看起来更美
30 21
12
34
11
37
长方形序号 1号 2号 3号
宽/mm 21 11 12
长/mm 34 0 37
宽与长的比值
（保留三位小数）
0.618
0.367
0.324
21 34
34
BC：AB=0.618 AB：AC= 0.618 BC：AB=AB：AC=0.618
21
BC：AB=AB：AC，那么称线段AC被 点B黄金分割，点B为线段AC的黄金 分割点。BC与AB的比叫做黄金比
判断哪个点是黄金分割点
A 8 B 5 C8 D
平面中的黄金比
A
B
D
C
摄影构图通常运用三分法，就是黄金分割的演变，把长 方形画面的长、宽各分成三等分，整个画面呈井字分割， 井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心）的最佳 位置。
古希腊巴特农神殿的柱子的高度与 建筑总高度比接近0.618：1
黄金比不仅应用到美术作品中，音乐作品也有他们的
身影，有些音乐的高潮部分放在这首歌时长的黄金分割点处， 更郎朗上口，你知道为什么我们都喜欢春天吗？因为人体的 温度为37度。37×0.618=23左右，正好是春天的温度。我们 生活中还有很多这样的例子，等待着同学们去发现，去创造。
斐波那契数列及其应用
聊城大学本科生毕业论文题 目：斐波那契数列及其应用专业代码： 070101作者姓名：学 号：单 位：指导教师：年 月 日目 录前言 (1)1．斐波那契数列 (1)1.1 斐波那契 (1)1.2 斐波那契数列的引入 (1)1.3 斐波那契数列通项公式的若干推导 (2)1.4斐波那契数列性质及其简单证 (9)1.5人体中与斐波那契数列有关的知识 (10)2. 斐波那契数列与黄金分割 (11)2.1何为黄金分割与黄金分割数 (11)2．2二者之间的联系 (12)2．3黄金分割律在股市中的运用 (12)3. 斐波那契数列在生活中应用 (13)3．1斐波那契数列在几何上的应用 (13)3．2斐波那契数列在生物学上的应用.......... (14)3．3斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用.............. (15)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘 要斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。
而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。
因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。
关键词：斐波那契数列 ;黄金分割 ;斐波那契数列在生活中的应用AbstractFibonacci sequence since its advent, continuously demonstrated its important role in mathematical theory and applications. And Fibonacci slopeis satisfied that lease series in modern physical, and quasi crystal structure, and bio, and traffic, and chemical, area are has directly of application. this series is mathematics us of perfect reflected. and and many mathematics concept has close of contact, many looks seems to each other independent of mathematics concept, by Fibonacci wave that lease series, people found has which of mathematics contact. to further fired has people exploration mathematics of interest. on mathematics of cognitive more systematic. On the study of the Fibonacci sequence is a very important study, it can bring to all disciplines very well not only useful, it will have a long-term impact on our lives and prospects of the Fibonacci sequence are incalculable. Keywords: Fibonacci series The golden section Application of the Fibonacci sequence in the life斐波那契数列及其应用前 言大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政治、经济、军事等，各种现象中的规律都能找到斐波那契数的踪迹,斐波那契数列还是数学中的一种重要的特殊数列,在生产生活中有着重要的应用.本文通过具体的例题对斐波那契数列的性质及其应用作了详细探讨和分析.1．斐波那契数列1．1斐波那契数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发明者。
fibonacci法的算法步骤
Fibonacci法的算法步骤1. 引言Fibonacci法是一种用于生成Fibonacci数列的算法。
Fibonacci数列是一个无限序列，每个元素都是前两个元素的和，起始于0和1。
这个数列以意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）的名字命名。
Fibonacci法是一种递归算法，它可以被用于求解各种与Fibonacci数列相关的问题。
本文将详细介绍Fibonacci法的算法步骤，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这个算法。
2. 算法步骤Fibonacci法的算法步骤可以简单概括为以下几个步骤：步骤 1：确定问题的规模在使用Fibonacci法解决问题之前，我们需要明确问题的规模。
这个规模可以用一个整数n来表示，它指示了我们要找到Fibonacci数列中的第n个元素。
步骤 2：确定基本情况Fibonacci数列有两个基本情况：F(0)和F(1)。
在这些基本情况下，返回固定的值。
通常，我们定义F(0)为0，F(1)为1。
步骤 3：使用递归计算使用递归算法是Fibonacci法的核心步骤。
我们可以根据Fibonacci数列的递归定义来进行计算：F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
在这个步骤中，我们首先判断是否处于基本情况。
如果是，就返回基本情况对应的值。
否则，我们递归地调用函数，传入n-1和n-2作为参数，并将它们的结果相加，得到F(n)的值。
步骤 4：返回结果在完成递归计算后，我们将得到F(n)的值。
这是我们解决问题的最终结果。
3. 算法示例下面是一个使用Fibonacci法计算Fibonacci数列中第n个元素的示例代码：def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)# 测试代码n = 10result = fibonacci(n)print(f"The {n}th Fibonacci number is: {result}")在这个示例中，我们定义了一个名为fibonacci的函数，它接受一个整数n作为参数，返回Fibonacci数列中第n个元素的值。
合肥工业大学 最优化 618法与Fibonacci法
0.618法与Fibonacci法的关系
(1)式 lim Fk−1 = 5 − 1 = τ , 表明当 k → ∞时，
F k →∞ k
2
两者的区间缩短率相同 .
(2)Fibonacci法比0.618法更有效，但 0.618法简单易行， 应用更广泛 .
其他方法：二分法
原始区间长度的0.08倍．
解 函数 f (x) 在区间[−1,3] 上为单谷函数，且 ε ≤ (3+1)×0.08= 0.32
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法) 算法步骤
0.618.
=
Step3 若bk −ak ≤ ε ,则 τ = ak + bk 停, ；否则 转Step４. 2
τ 注： 缩短率
恰为黄金分割数，即它满足
τ 1
= 1−τ τ
.
几何意义：黄金分割数τ 对
应的点在单位长区间
[ 0,1]中的位置相当于其对
称点 1 -τ 在区间[0，τ ]中
的位置(如图6.2.2所示)
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法) 举例
例 用黄金分割法求函数 f (x) = x2 − x + 2 在区间 [−1,3] 上的极小点。 要求最终区间长度不大于
例 用Fibonacci法求函数 f (x) = x2 − x + 2 在区间 [−1,3] 上的极小点。 要求最终区间长度不大于
原始区间长度的0.08倍．
解： 函数 f (x) 在区间[−1,3] 上为下单峰函数， ε ≤ (3+1)×0.08= 0.32
由 Fn ≥ 1 / 0.08 = 12. 5 ,
λ
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k设Φ(a)=f(x k+ad k)这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
如果求得a k使目标函数沿方向d k达到极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。
斐波那契法
谢谢观看
斐波那契法与0.618法的主要区别在于：探索区间长度的缩短率不是采用黄金分割数，而是采用斐波那契数， 计算函数值的次数n也是已知的。
斐波那契数列
斐波那契数列
意大利数学家斐波那契，提出了一个著名的“兔子数列”，该数列从第3个数起，后面的每个数都是它前面 那两个数的和。如果把斐波那契数列的任何一项除以前一项，将会得到一个比值极限约为0.618，俗称黄金分割 点，因此斐波纳契数列又称黄金分割数列，用数列{Fn}表示，则有：
简介
简介
对闭区间[a，b]上的单峰函数f(t)，按相邻两斐波那契数之比，使用对称规则进行搜索的方法。其特点是： 逐步缩短所考察的区间，以尽量少的函数求值次数，达到预定的某一缩短率。设{Fn}是斐波那契数列，对于区间 [0，1]，确定搜索次数n，则选择两点：
比较f(t1)和f(t2)，消去其中较小值所在的一段区间；在缩短后的搜索区间上，再作第二步迭代；如此继 续迭代下去，共做n次迭代，搜索区间长度缩短为1/Fn(使小于给定值)。1953年，美国数学家基弗(Kiefer， J.C.)首先研究用斐波那契数搜索一维函数f(t)的局部最大值 。
计算步骤
计算步骤
Fibonacci法计算步骤如下： (1)给定初始区间和最终长度L。求计算函数值的次数n，使，辨别常数，计算试探点和，计算函数值和 ； (2)若，则转步骤(3)；若，则转步骤(4)； (3)令，计算试点： 若k=n-2，则转步骤(6)；否则，计算函数值，转步骤(5)； (4)令，计算试点： 若k=n-2，则转步骤(6)；否则，计算函数值，转步骤(5)； (5)置k:=k+1，转至步骤(2)； (6)令，计算和；若，则令；若，则令。停止计算，极小点含于。
这个级数与大自然植物的关系极为密切。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：菠萝表皮方 块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行）； 还有向日葵花盘等。直到最近的1993年，人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释：此级数中任何相 邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.……这个值，它的极限就是所谓的"黄金分割数"。斐波那契数列在 许多科技领域都得到了应用 。
不精确一维搜索
不精确一维搜索
不精确一维搜索方法 Questions
Why不精确一维搜索方法？
不精确一维搜索方法
不精确一维搜索方法
不精确一维搜索方法 Remark
六十年代中期以前，线性搜索方法是精确线性搜索方 法的一统天下。自从Armijo(1966), Goldstein(1965) 提出了不精确线性搜索方法以后，不精确线性搜索由 于计算量小、效率高成了现在流行的线性搜索方法。
不精确一维搜索方法
Questions
不精确一维搜索方法
不精确一维搜索方法
(*) (**)
Questions
Questions
Questions
A-J 方法会出现什么问题?
Remark
精确一维搜索不精确一维搜索区间收缩法函数逼近法牛顿法切线法抛物插值法三次插值法加步探索法进退法成功失败法fibonacci法0618法二分法questionswhy不精确一维搜索方法
精确一维搜索
索的方法
加步探索法（进退法、成功失败法） Fibonacci法 0.618法 二分法 牛顿法 （切线法） 抛物插值法、三次插值法
0.618法的原理
0.618法的原理0.618法，也被称为“黄金分割法”或“黄金比例”，是一种数学上的比例关系，其比值约等于0.618。
这一比例关系在许多方面都可以观察到，如自然界的植物生长、艺术品的构图、建筑物的设计等等。
0.618法在各个领域中有着广泛的应用，下面将详细介绍它的原理及其应用。
0.618法的原理可以追溯到古希腊数学家欧几里得所研究的黄金比例。
黄金比例是指将一条线段分成两部分，使整个线段与较长一部分的比值等于较长一部分与较短一部分的比值。
这个比值为0.618，或者其倒数1.618。
这种比例关系在古代被广泛应用于建筑物的设计，使得建筑物更加和谐美观。
0.618法的原理还可以通过斐波那契数列来解释。
斐波那契数列是一个每个数等于前两个数之和的数列，即0、1、1、2、3、5、8、13、21……可以发现，随着数列的增长，每个数与其前一个数的比值接近0.618。
当数列无限延伸时，这一比值会收敛至0.618。
0.618法就是利用斐波那契数列中的这一特性来进行计算和应用的。
在金融领域中，0.618法可以用于股票和市场趋势的分析。
通过观察股价的涨跌幅度，可以发现股价在上升的过程中，每次回调或调整的幅度都与前一次上升波动的幅度之比约等于0.618。
同样的，当股价下降时，每次反弹的幅度和前一次下降波动的幅度之比也约等于0.618。
基于这一原理，投资者可以利用0.618法来确定买入和卖出的时机，以获取更好的收益。
在艺术设计方面，0.618法被广泛应用于构图和布局的设计中。
根据0.618法，将画布或图像分成两部分，使较长部分与整个画布或图像的比值等于0.618。
这样的设计更符合人眼的观感，看起来更加和谐美观。
这一原理也可以应用于网页设计、平面设计等多个领域，提高作品的美感和视觉效果。
在自然界中，许多植物的生长和结构也遵循0.618法。
例如，树干和树枝的比例关系、花朵瓣的排列方式等都可以用黄金比例来解释。
这种黄金比例的存在使得植物看起来更加优美和谐，同时也便于水分和养分的传递和循环。
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３
４ ５ ６
否
否 否 是
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
问题的提出
由0.618法 知 ： 经 N - 1次 迭 代 后 的 搜 索 区 [ 间 a N , b N ]的 长 度 割法)
计算公式
注 第N -1次迭代后的搜索区间 [a N , bN ]的长度b N a N N1 (b1 a1 ).
注： 缩短率
恰为黄金分割数，即它满足
1
1
几何意义：黄金分割数 对应的点在单位长区间 [ 0,1]中的位置相当于其对 称点 1 - 在区间[0， ]中 的位置(如图6.2.2所示)
第四次迭代： a 0.077, b 0.846 0.538 f 2 1.751 F1 0.077 0.846 0.077 0.231 f1 1.822 F3 f1 f 2 , 缩短后区间为 0.231, 0.846
0.618法与Fibonacci法
其他方法：二分法
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci方法评价
Fibonacci法的优点
效率最高，有限个试点的情况下，可将最优点所在 的区间缩小到最小．
0.618法与Fibonacci法 Fibonacci方法评价
Fibonacci法的缺点 （１）搜索前先要计算搜索的步数； （２）每次搜索试点计算的公式不一致．
0.618法与Fibonacci法
单谷函数(Unimodal Function)---定义
0.618法与Fibonacci法
单谷函数-----性质
注：通过计算区间 [ a , b ] 内两个不同点的函数值，就可以 确定一个包含极小点的子区间.
0.618法与Fibonacci法
单谷函数-----性质
当事先给定搜索算法的迭代次数N时，问按何种规则选取 试探点可以使给定的搜索区间长度最快地缩短?
思路
由0.618法的推导过程知：在一般搜索算法的迭代过程 中，缩短率满足 且 1 k 1.
2
又 知： 经 N - 1次 迭代 后 的 搜索 区 [ 间 a N , b N ]的 长度 b N a N 1 2 N 1 (b1 a1 ).
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
举例
第三次迭代：
a 0.077, b 1.462 0.538 f1 1.751 F3 0.077 1.462 0.077 0.846 f 2 1.870 F4 f1 f 2 , 缩短后区间为 0.077, 0.846
其中 FN-k 为Fibonacci数，即
F0 F1 1, Fi 1 Fi Fi 1 , i 1,2,...
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
Fibonacci 法迭代公式
=
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
注意事项
(1) 迭代次数n-1的确定
0.618法与Fibonacci法
问题的提出
(1) (2) (3)
数;
;
如何寻求t ??
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法)--思路
通过选取试探点使包含极小点的区间不断缩短， 直到区间长度小到一定程度，此时区间上各点的函数 值均接近极小值。 Golden Section Search
情形1. 若 (k ) ( k ) , 则令 ak 1 ak , bk 1 k ; 情形2. 若 (k ) ( k ) , 则令 ak 1 k , bk 1 bk .
如何确定 k 与 k？
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法)
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
举例
第一次迭代：
a 1, b 3 F4 a b a
F6 5 1 4 13 0.538 F5 8 a b a 1 4 1.462 f 1.751, f 2.675 1 2 F6 13 f1 f 2 , 缩短后区间为 1, 1.462
n n 1
或n n1 an1 bn1 / 2 , n n1 0.1bn1 an1
an1 bn1 , n n1 , 其 中 0为 辨 别 常 数 . 2
Fibonacci法
算法步骤
k 1
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
举例
第二次迭代：
a 1, b 1.462
0.538
F3 f 2 1.751 1 F 1.462 1 0.077 f1 2.083 5 f1 f 2 , 缩短后区间为 0.077, 1.462
要求其满足以下两个条 件：
计算公式
(1) k 和k 在区间 [ak ,bk ]中的位置对称 .
ak
bk k k ak , bk 1 ak 1
k
uk
bk
缩短率 1 k (bk ak ), k 1. (1) 2
( 2) k a k k (bk ak ) k ak (1 k )(bk ak ) (3)
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法)
计算公式
下面推导黄金分割法的计算公式.
设第 k 次迭代时，搜索区间为 [ak , bk ].为进一步缩短搜索区间 ， 取试探点k , k [ak , bk ], 且k k .
计算 (k ) 和 ( k ) , 分两种情况：
.
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法)
算法步骤
0.618.
=
Step3 若bk ak ,则 ak bk 停； , 否则 转Step４. 2
0.618法与Fibonacci法
0.618法(黄金分割法)
举例
2 例 用黄金分割法求函数 f x x x 2 在区间 1, 3 上的极小点。 要求最终区间长度不大于
例 用Fibonacci法求函数 原始区间长度的0.08倍．
1, 3 上的极小点。 要求最终区间长度不大于
解： 函数 f x 在区间 1, 3 上为下单峰函数，
3 1 0.08 0.32
由 Fn 1 / 0.08 12. 5 ,
可知 n 应取６F6 13.
f1 f 2 ,缩短后区间为 0.056, 1.472.
迭代 次数 ０
１ ２
a, b
1,3
0.528
1.472
f1
f2
ba
否 否 否
1.751
2.695
1,1.472 -0.056 0.528 2.059 1.751
0.056,1.472 0.528 0.888 1.751 1.901 0.056,0.888 0.305 0.528 1.788 1.751 0.305,0.888 0.528 0.665 1.751 1.777 0.305,0.665 0.443 0.528 1.753 1.751 0.443,0.665 0.528 0.580 1.751 1.757
举例 Fibonacci法 第五次迭代： a 0.231, b 0.846 1 / 2(0.231 0.846) 0.5385, f1 1.75148 f 2 1.8148 0.001 0.5386
f1 f 2 , 缩短后区间为[0.231, 0.5386].
k a k k (bk ak ) bk k k (bk ak )
0.618法(黄金分割法)
一个新的试探点 .
计算公式
( 2)为减少计算量，在第 k 1次迭代中，保留一个旧 的试探点， 只增加
1
情
每次迭代区间长 度的缩短率相同
0.618法与Fibonacci法
0.618法与Fibonacci法
0.618法与Fibonacci法的关系
Fk 1 (1)式 lim k F k 5 1 ,表明当 k 时 ， 2
两 者 的 区 间 缩 短 率 相.同
( 2)Fibonacci 法 比0.618 法更有效，但 0.618法 简 单 易 行 ， 应用更广泛 .
k ,
+
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
算法步骤
或n n1 an1 bn1 / 2 , n n1 0.1bn1 an1
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
举例
2 f x x x 2 在区间
若原始区间为 a, b,要求最终区间长度 bn an ( 0) ,
Fn1 F1 F1 F2 1 则 bn an (bn1 an1 ) (b a ) (b a ) , F2 F2 F3 Fn Fn
b-a 可确定n-1. 即，Fn . (2) 第n-1次迭代中两个试点的选取方式
0.618法与Fibonacci法
Fibonacci法
思路
待解决的问题转化 为优化问题：
m i n 1 2 N 1 s .t . k 1 k 1 k , k 1,2,..., N 2,
1 k 1, k 1,2,..., N 1. 2 FN k 可以证明，此优化问题的最优解为 k , k 1,2,..., N 1, FN k 1