浅谈用放缩法证明数列中的不等关系

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浅谈用放缩法证明不等式

目录引言 (2)1.放缩法的常用技巧……………………………………………………………………（3）1.1增减放缩法………………………………………………………………………（3）1.2公式放缩法………………………………………………………………………（5）1.3利用函数的性质…………………………………………………………………（6）1.4综合法……………………………………………………………………………（9）1.5数列不等式的证明………………………………………………………………（11）2.放缩法要放缩得恰到好处……………………………………………………………（12）2.1调整放缩量的大小………………………………………………………………（12）2.2限制放缩的项和次数……………………………………………………………（13）2.3将不等式的一边分组进行放缩…………………………………………………（14）总结 (16)致谢 (17)参考文献 (18)浅谈用放缩法证明不等式学生：指导老师：淮南师范学院数学与计算科学系摘要：本文介绍了放缩法的基本概念, 在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。

关键词：不等式;放缩法;技巧;适当Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent：Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract:This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method. And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality. In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects. They do much help to demonstrating inequality.Key words:inequality; amplification and minification; skill; appropriate引言在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：①掌握放缩法的一些常用策略和技巧；②放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.1 放缩法的常用技巧1.1 增减放缩法1.1.1 增加（减去）不等式中的一些正（负）项在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.例1 设c b a ,,都是正数,1=++ca bc ab ,求证：3≥++c b a . 证明：()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()[]()ca bc ab a c c b b a +++-+-+-=321222 ()33=++≥ca bc ab,3≥++∴c b a 当且仅当33===c b a 时取等号.1.1.2 增大（减小）不等式一边的所有项将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.例2[1](02年全国卷理科第21题) 设数列{}n a 满足121+-=+n nn na a a ,且() ,3,2,12=+≥n n a n ,求证：2111111111321≤++++++++n a a a a 证明：由121+-=+n nn na a a ,得：()11+-=+n a a a n n n , 2≥-n a n ,121+≥∴+n n a a ,()01211>+≥+∴+n n a a ,nn a a +⋅≤+∴+1121111,于是有：12112111a a +⋅≤+, 12231121112111a a a +⋅≤+⋅≤+, 13341121112111a a a +⋅≤+⋅≤+,……,1111121112111a a a n n n +⋅≤+⋅≤+--, 21311211211211112121211111111111112321=+⋅≤+⋅--=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤++++++++∴-a a a a a a nn n1.1.3 增大（减小）不等式一边的部分项在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.例3 求证()2,2214131212222≥∈-≥++++*n N n n n n. 证明：()11111112+-=+>⋅=n n n n n n n, ()nn n 11111,,413131,312121222-->-->->∴. 把以上（n-2）个不等式相加,得()n n n n 22121114131212222-=->-++++ ()n n nn n n n 22122111413121222222->+->+-++++∴故原不等式成立.1.1.4 增大（减小）分子或分母的值增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.例4 求证()()*24112125191N n n ∈<++++ . 证明：()()(),111141)1(41112112122≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-+<+k k k k k k k()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅<+++∴111312121141121251912n n n,4111141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n即().41121251912<++++n1.2 公式放缩法即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式1以及()b a R m b a ma ma b a <∈++<+,,,,,下面分别举例说明. 1.2.1 均值不等式例5 若,1,*>∈n N n 求证：()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 证明：,2121222222nn n n+++<⋅⋅⋅ 而()()216121222++=+++n n n n故()()121612122++<⋅⋅⋅n n n n n即()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 例6 已知:()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n均值不等式：()n i R a n a a a a a a i nnn ,2,1,2121=∈+++≤+.求证:()()21212+<<+n S n n n . 证明:()()211++<+<⨯=n n n n n n n()13221+⨯++⨯+⨯=∴n n S n 2122523+++<n()()21212+<+=n n n 又()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n ()2121+=+++>n n n1.2.2()b a R m b a ma m ab a <∈++<+,,,, 例7[4] 若正数c b a ,,满足,c b a >+求证：.111cc b b a a +>+++ 证明：;0,>-+∴>+c b a c b a()(),111111b b a a b a b b a a c b a c c b a c c c +++<+++++=-+++-++<+∴即原不等式成立.1.3 利用函数的性质主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩. 1.3.1 利用特殊函数的单调性这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等. 例8 求证：.4log 3log 32> 证明：我们先给出常规解法；,3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 4log 3log 232⋅⋅-=-=-,3lg 29lg 28lg 24lg 2lg 4lg 2lg 2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅.4log 3log ,04log 3log 3232>∴>-∴另外,还有更简便的方法..4log 16log 16log 27log 3log 39882=>>=1.3.2 利用特殊函数的有界性这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如0,1|cos |,1|sin |2≥≤≤x x x 等. 例9[5] 已知βα,为整数,并且,πβα≤+求证：.2sin2sin 1sin 1222βαβα+≥+证明： ,,0,0πβαβα≤+>>()(),1cos cos ,0sin ,0sin ≤-<+>>∴βαβαβα()()().2sin2cos 14cos cos 4sin sin 2sin 1sin 1222βαβαβαβαβαβα+=+-≥+--=≥+∴(当且仅当βα=时取等号).1.3.3 利用一般函数的性质利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.例10 求证3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 证明：令()(),1312111N n n n n n f ∈++++++= ()()()()().04323132114313312311>+++=+-+++++=-+n n n n n n n n f n f()(),1n f n f >+∴()n f 是增函数,其最小值为()()(),12134131211,1min =++==f n f f故对一切自然数,()11213>≥n f ；再由3≤a ,知,152≤-a 比较得：当3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 例11 设定义在R 上的函数()ax xx f +=2,求证：对任意的R y x ∈,,()()1||<-y f x f 的充要条件是.1>a证明：利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：()().21,21min max ax f ax f -==根据()(),21,21min max ax f ax f -==得()(),11a y f x f a≤-≤-即()(),1||max ay f x f =-故对,,R y x ∈()()()().1111||1||max >⇔<⇔<-⇔<-a ay f x f y f x f例12 已知n n n n T t t t a ],2,21[,121∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=是{}n a 的前n 项和求证:nn n T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<222. 证明:令()⎪⎭⎫⎝⎛+=n n t t t f 121,则: ()⎪⎭⎫⎝⎛+='+-1112n n t t n t f 令()0='t f ,得1=t .当121<≤t 时, ()0<'t f ；当21≤<t 时, ()0>'t f ; 从而可知()t f 在]1,21[上递减,在]2,1[上递增,故：(){}()n n f f t f 2122,21max max +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=()n n t f 212+≤∴ 即 ,2,1,212=+≤n a n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++≤nn n T 2121212222122 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nn2112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=nn211212 nn ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅->2112212nn ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2221.4 综合法对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.例13[7](1985年高考题)()()()()N n n n n n n ∈+<+++⋅+⋅<+,2113221212证明：()n n n n =≥+21()()212113221+=+++≥++⋅+⋅n n n n n ① 而()()211+<+n n n n()()2123222113221++++++<++⋅+⋅∴n n n n2122523212122523++++<+++=n n②()()().212211212+=⋅+++=n n n 在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.例14 数列{}n a 满足11=a 且()1211121≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n n(Ⅰ)用数学归纳法证明()22≥≥n a n ； (Ⅱ)已知不等式()x x <+1ln 对0>x 成立. 证明：(Ⅰ)用数学归纳法证明,略； (Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有()1,21112111221≥⎪⎭⎫⎝⎛+++≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n a n n n n n 两边取对数并利用已知不等式得：n n n a n n a ln 2111ln ln 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+ nn n n a 211ln 2+++≤ ()1,211ln ln 21≥++≤-∴+n n n a a n n n上式从1到1-n 求和可得： ()12121212111321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-∴n n n n n a a 211211211113121211-⎪⎭⎫⎝⎛-+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nnn221111<-+-=n n 证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.1.5 数列不等式的证明在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.这里“叠加”模型指的是形如：()n f a a a n ≤+++ 21,这里的≤也可以是≥、<或>.例15 已知N n n ∈≥,2,证明n n n113121222-≤+++ 证明：2111211212-=⋅<； 3121321312-=⋅<；……()nn n n n 1111112--=-<；各式相加,得：n n n n11113121222-≤-<+++ 例16 若*,131211N n nS n ∈++++=求证：()n S n n 2112<<-+ 证明：()121221--=-+<+=k k k k k k k又()k k k k kk k -+=++>+=121221当n n k ,1,,3,2,1-= 时, ()()01211122-<<-()()12221232-<<-……()()2121112---<-<--n n n n n()()12112--<<-+n n nn n将上式相加,得到：()n S n n 2112<<-+.在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索n 项相加的递推式,然后逐项相消.2 放缩法要放缩得恰到好处2.1 调整放缩量的大小放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.例17 已知nS n 131211++++= ,求证：(Ⅰ)n S n ≥； (Ⅱ)()112-+>n S n ； (Ⅲ)n S n 2<. 证明：(Ⅰ) nS n 131211++++=n nn nnn =⋅=+++≥1111 ；(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度, 12221++>=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =-+=nS n 131211++++=∴()()()n n -+++-+->12232122().112-+=n(Ⅲ)改变放缩方向,故12221-+<=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =--=nS n 131211++++=∴()()()12122012--++-+-<n n().2n =例18 求证(Ⅰ)2!1!21!11<+++n ；(Ⅱ) ().,47!1!21!11N n n ∈<+++证明：(Ⅰ)()()1222112211!1⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()3211≥=-n n∴左边132212121!211-+++++<n 1212--=n(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：()()12333112211!1⋅⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()43212≤⋅=-n n 则左边232321321321!31!211-⋅++⋅+⋅+++<n 473121472<⋅-=-n2.2 限制放缩的项和次数若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求证().,31366112111*222N n n n n∈≥-<+++ 证明：这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法：()n n n 1132121111121112222-+⨯+⨯+<+++ n12-= 由nn 1366112->-,显然放得过大,要减少放大的项；先试试减少一项：()n n n 1143132121111211122222-+⨯+⨯++<+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n 11141313121411 n147-= 由nn 13661147->-.再试试减少两项：()n n n 1143131211112111222222-+⨯+++<+++ n13661-=如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标. 2.3 将不等式的一边分组进行放缩把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.例20 已知数列的通项公式是()nn n a 23--=(Ⅰ)求证：当k 为奇数时,113411++<+k k k a a ；(Ⅱ)求证：()*2121111N n a a a n ∈<++ . 证明：(Ⅰ) 略(Ⅱ) 当n 为偶数时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-n n n a a a a a a a a a 1111111111432121 n34343434642++++< 2131121<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n 当n 为奇数时,因为011>+n a ,则：121211111111++++<++n n n a a a a a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+14321111111n n a a a a a a 164234343434+++++<n 21311211<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n 例21 求证1021413121510<++++<证明：由于122121213121=⋅=+<+；14414141414171615141=⋅=+++<+++；…… ……12212121211211212199299910999=⋅=+++<-++++；由12110<,将上面的不等式两边相加,得到： 102141312110<++++又由于2121=；2124141414131=⋅=+>+；214818181818181716151=⋅=+++<+++；…… ……92101010109921212121221121+++<+++++ 21221910=⋅=；将上面的不等式两边相加,得到：52141312110>++++ ；于是,综上得到1021413121510<++++< .总结综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：(1)在放缩过程中不等号的方向必须一致；(2)运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；(3)不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.致谢感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。

不等式证明之放缩法

不等式证明之放缩法放缩法是一种常用的不等式证明方法，它通过对不等式两边进行一系列放缩操作，从而逐步缩小不等式范围，最终达到证明不等式成立的目的。

本文将对放缩法的基本思想和几种常用的放缩方法进行详细介绍。

首先，我们来介绍放缩法的基本思想。

放缩法的核心思想是通过对不等式两边进行放缩操作，把原来的不等式转化为一个更容易证明的不等式。

在放缩过程中，我们可以利用不等式的性质、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等数学工具，结合实际问题的特点，灵活选择适当的放缩方法，从而得到具有更强的推理力度的不等式，最终完成不等式的证明。

接下来，我们介绍几种常用的放缩方法。

1.替换法：通过替换变量，将原不等式中的复杂变量替换为新的变量，使得不等式形式变得更加简单，更易证明。

这个方法可以常常应用于含有多个变量的不等式中，通过替换变量后，使得原来复杂的不等式简化为只含有一个变量的不等式。

2.增量法：通过引入一个增量，将原不等式中的变量加上增量后，得到一个更容易证明的不等式。

这个方法常常适用于原不等式中含有与增量具有类似性质的变量，可以通过增量的引入，改变原不等式的结构，使得证明变得更加简单。

3.分割法：将整个证明过程分为若干个子证明，通过对每个子证明的分割和放缩操作，最终得到整个不等式的证明。

这个方法常常适用于原不等式较为复杂或不易直接证明的情况，通过将证明分割为若干个子证明，分别证明每个子证明的不等式，最后再将这些子证明的不等式组合起来，得到原不等式的证明。

4.对称法：通过对不等式的两边同时进行操作，得到具有对称性的不等式，从而实现原不等式的放缩。

这个方法常常适用于原不等式中含有对称性的项，通过对称性的放缩操作，不仅可以得到更容易证明的不等式，也可以将原不等式变得更加简洁明了。

以上只是常用的放缩方法中的一部分，实际应用中还有很多其他的放缩方法，需要根据具体问题的情况选择适当的方法。

无论使用哪种放缩方法，都需要注意选择合适的放缩范围，并保证放缩后的不等式在放缩范围内成立，才能保证最终得到的不等式是正确的。

放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式数列不等式是指对于数列${a_n}$，能够证明其满足其中一种特定的不等关系。

放缩法是一种常用的证明数列不等式的方法，其核心思想是通过数学推导和合适的放缩操作，将需要证明的不等式转化为已知的不等式或者已有的数学结论。

下面我将详细阐述放缩法的步骤，并通过一个具体的例子来演示放缩法如何证明数列不等式。

步骤一：首先，我们要明确需要证明的不等式形式。

通常，数列不等式可以分为两种情况：单调性不等式和两边夹逼不等式。

单调性不等式需要证明数列${a_n}$的单调性（如$a_{n+1}>a_n$），而两边夹逼不等式需要证明数列${a_n}$的极限（如$\lim_{n\to\infty}a_n=a$）。

在这里，我们以两边夹逼不等式为例来进行讲解。

步骤二：建立需要用到的不等式。

通常，需要利用已知的数学不等式或结论来辅助证明原不等式。

常见的不等式包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反证法等。

在这里，我们以柯西-施瓦茨不等式为例进行讲解。

步骤三：利用放缩操作将原不等式转化为已知的不等式或数学结论。

放缩操作的核心是通过合适的代换或变形，对不等式进行放大或缩小，使得我们能够应用已知的不等式或数学结论。

在这里，我们以一个具体的例子来演示放缩操作的过程。

假设我们要证明数列${a_n}$满足以下不等式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}<2$。

我们可以采用放缩法来证明这个不等式。

首先，我们知道对于任意的实数$x$，都有$x^2\geq 0$。

这是由平方数的非负性质可得，也可以通过推导得出。

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(a_n\cdot 1-a_{n+1}\cdot 1)^2\geq 0$，即$a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n\cdot a_{n+1}\geq 0$。

然后，利用放缩操作，我们可以将上述不等式改写为$a_n^2+a_{n+1}^2\geq 2a_n\cdot a_{n+1}$。

用放缩法证明数列中的不等式

用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。

该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。

本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。

假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。

我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。

我们将使用数学归纳法来证明这个结论。

首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。

因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。

接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。

然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。

由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。

根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。

综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。

放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。

放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。

上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。

根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。

对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。

假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。

可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。

首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。

递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。

一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。

放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。

常见的递推关系有加减法、乘除法等。

证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。

放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。

放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。

用放缩法证明数列中的不等式

思路二将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
从第二项开
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(n
2)
始放缩
左边
1
1 2
(1
1) 3
(
1 2
1) 4
(
1 n
1
n
1 1)
1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 (1 1) 7 (n 2)
2 2 n n1
2 24
当n = 1时，不等式显然也成立.
1 2
(
1 2
1) (1 43
1) 5
(
1 n 1
n 1 1)
1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 (1 1) 5 (n 3)
4 2 2 3 n n 1
4 22 3 3
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
分析变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
例3 (2009珠海二模理20第(2)问)
求S 1 1 1 1 的整数部分.
23
100
分析不能直接求和式 S ，须将通项 1 放缩为裂项相消模型后求和。 n
思路为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个
整数之间.
2( n 1
n)
2 n 1
1 2 n n 2n
2
2( n n 1)
用放缩法证明数列中的不等式
张家界市第一中学高三数学组
放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！

例谈放缩法证明不等式的基本策略

03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等式的两边，以达到证明不等式目的的方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整的不等式，通过逐步调整该不等式的两边，使不等式的左边逐渐增大，右边逐渐减小，从而证明原不等式成立。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。

利用放缩法证明数列型不等式

利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>；（II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

用放缩法证明与数列和有关的不等式

用放缩法证明与数列和有关的不等式本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅2．放缩后成等比数列，再求和例3．等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….注：在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论2232n n +、22)1(+n n 为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论31)211(31<-n 为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论1213-+-n n 为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论221232+-+-+n n n 为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．练习1. 设2>a ，给定数列{}n x ，其中a x =1，且满足()1221-=+n nn x x x 。

放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？

放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
关于数列的不等式证明，一直以来都是老大难问题。

因为部分涉及到放缩技巧，但是放缩有些时候掌控不好尺寸就容易出现错误。

从数列的不等式证明来看，一共是两种方式，一种是直接求和再放缩。

还有一种是先放缩在求和。

那么放缩到底有哪些方式那？主要放缩成成等差数列、等比数列、裂项相消、错位相减（等差数列乘以等比数列）等。

另外放缩的时候，大部分都会留首项或者前两项，防止放缩过大或者过小的问题。

具体类型题
数列的放缩除了以上几种方式，还有比如根据不等式的性质，去构造糖水不等式进行缩放。

无论是哪一种类型题，一定要多去尝试多去做。

而且我们平时考察的题目，大部分是缩放成等差数列或者等比数列。

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是一种广泛应用于不等式证明的方法，也被称为根式方法。

其主要思想是通过构造合适的不等式，将原不等式左右两边的某些部分用其他式子代替，从而使原不等式更易于证明。

这篇文章将从以下几个方面详细讲解如何使用放缩法证明数列不等式。

1. 理解数列不等式的分类在利用放缩法证明数列不等式之前，我们需要了解数列不等式的分类。

数列不等式分为单调不等式和非单调不等式两种类型。

单调不等式是指对于给定的数列，其元素之间的大小关系一直保持不变的不等式，如$a_1<a_2<...<a_n$，$a_1+a_2+...+a_n\leq na_n$等。

证明单调不等式时，我们需要利用数学归纳法，或者利用插值法对元素进行逐一插值，然后利用柯西不等式或均值不等式来进行求解。

2. 理解放缩法的基本思路放缩法的基本思路是在原不等式两侧添加一些恰当的式子，使得这些式子与原不等式等价，且这些新式子在证明过程中更容易处理。

比如，如果我们想证明$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\geq(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2$，我们可以考虑构造一个辅助不等式$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2\geq 0$，这样左右两侧都有$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2+\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i\geq 0$，即$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2\geq(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2$。

3. 运用放缩法证明单调不等式对于单调不等式，放缩法的证明比较简单，我们只需要合理运用一些基本不等式即可。

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题(解析版)

数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.目录题型一通项放缩 (3)题型二与导数结合的放缩 (8)题型三数列恒成立问题 (9)1．常见的裂项公式：必须记例如：n n n n n )1(11)1(12−<<+或者12112−+<<++n n n n n 等 2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++这样的话，可得：1)(−−>−n n n a b a b a ，就放缩出一个等比数列. 3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<. 4.利用导数产生数列放缩：由不等式1ln −≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型（1）()()21111211<=−≥−−n n n n n n；（2）()2111111>=−++n n n n n ；（3）2221441124412121 =<=− −−+n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=−≥−−−rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；二、根式型（5(()22=<=+≥n ；（7(2>=；（8<2=−()22<−≥n；（9<)2==≥n ；三、指数型（10）()()()()()()()1211222211212121212122212121−−−=<==−−−−−−−−−−nn n n n n n n n n n n n()2≥n ；（11）()1111111312231+<+++++< ××−nn n n ；（12）()()01211122221111111=<==−−++−+++−n n n n n C C C n n n n ；（13）()()()111121122121212121−−−<=−≥−−−−−n nn n n n n ．（14）=<<．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n ∗+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S << D ．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++ ==−2111122n a +∴<+⇒<12<11122n n −++=，当且仅当1n =时取等号，112311n n n n a n a a a n n ++∴≥∴=≤=+++. 一方面：252111)1(41002>⇒+−+>+>S n n n a n . 另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S≤−+−+−++−=−<，即100332S <<．故选：A ．题型一通项放缩1．已知1n a n =+，若数列21n a的前n 项和为n T ，求证：23n T <.【详解】证明：由（1）得()*1n a n n =+∈N ，重点题型·归类精讲所以()()()()()22221144411221232123141411na n n n n n n n ==<==− ++++ +++−，所以()222211*********1222223435577921231nT n n n =+++⋅⋅⋅+<−+−+−+⋅⋅⋅+− ++ +111111111122235577921233233n n n −+−+−+⋅⋅⋅+−=−< +++1121212331333n n n n a +=×<×=+，所以2341112321111112222111931333333313n n n n a a a a ++− ++++<++++==−<−3．（2014全国2卷）已知312n n a −=，证明：1231112n a a a ++<…+.解析：1231n n a =−，因为当1n ≥时，13123n n −−≥×，所以1113123nn −≤−× 于是2-112311-111111313311-1332321-3n n n na a a a ++++<+++==< （）. 所以123111132na a a a ++++< . 注：此处13123n n −−≥×便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132−=<−n n n ，请读者自行尝试.4．已知21na n =−，{}n a 的前n 项和为n S ，0nb >，2121n n b S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T n <+.【详解】2n S n =，则21(1)n S n +=+，2221(1)n b n =++.22223(1)nn n b n ++=+，则n b =∴()()211121n b n n −=<=+⋅+ 2111(1)1n n n <−++.∴121111n n T b b b n n n =+++<+−<++5） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【分析】注意到据此可得答案. 【详解】..故，即整数部分为4.<>< 152<> 12>−+−+−++−92>=952<<2023届·广东省综合素质测试（光大联考）【详解】（1）当2,N n n ∗≥∈时，由22211121211n n n n n n n n n n a a S S S S S S S S −−−−−=−⇒=−⇒−=，所以数列{}2n S 是等差数列；（2）112211211S S S S =−⇒=，由（1）可知数列{}2n S 是等差数列，且公差为1，所以21(1)1n Sn n =+−⋅=，又因为数列{}n a 是正项数列，所以=n S，即1n S=，1001)1)1)18T >−+++> .2024届·广州·仲元中学校考7．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明：【答案】(1)， (2)证明见解析【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，（2）由放缩法与错位相减法求和证明．【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故，对于等比数列，，则，而公比，解得，故（2）令，则，两式相减得，得，故，原式得证{}n a {}64.n b 14b =3248.b b −={}n a {}n b *21,N n n n c b n b =+∈)*N n k n =<∈21na n =−4n nb ={}n a 81878642S a d ×=+=2d =11a =21na n =−{}nb 14b =232)484(b q b q −=−=0q >4q =4n n b =2144nn n c =+<212222n n S =+++ 2311122222n nS +=+++ 2111111112222222n n n n n n S ++=+++−=−− 112222n n nS −=−−<nk =<<【详解】121212311n n n T a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=××⋅⋅⋅×=++．所以2221222211123(1)n n S T T T n =+++=++++ 111111111112334(1)(2)23341222n n n n n >++=−+−++−=−××+++++ ．又因为11111122222n n a n n ++−=−=−++，所以112n n S a +>−．【分析】当1n =时，验证所证不等式成立，当2n ≥时，由放缩法可得出11134n n b −≤⋅，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【详解】解：由141nn n b na =−=−，所以，1111441344134n n n n n b −−−−=⋅−=⋅+−≥⋅，所以，11134n n b −≤⋅，当1n =时，111439b =<，当2n ≥时，211211*********144111344394914nn nn b b b −⋅−+++<++=⋅=−<− . 综上所述，对任意的n ∗∈N ，1211149n b b b +++< .10．已知11223n n n a ++=−，若2nn n b a a =−，n S 为n b 的前n 项和，证明：1215n S ≤<．【解析】11223n n n a ++=− ,2n n nb a a =−,111211112223123232323n n n n n n n n n n b a a +++++++ ∴=−−=× −−−− =, 11111123N ,230,0,122323n n n n n n n b S S b +∗+++∈−>∴=×>∴≥==−− ，1111112323116,232323232323n n n n n n n n n b ++++++ ×<×− −−−−−−21224121525S b b ∴=+=+<，123445131N ,3,1111116232323232323241124654126121215,25232325525n n n n n n S b b ∗++∴∈≥ <++−+−++−−−−−−− =++−=++=+<−− 1215n S ∴≤<.题型二与导数结合的放缩利用导数产生数列放缩：由不等式1ln −≤x x 可得：+∈<+<+N n n n n ,1)11ln(11.11．（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =−−．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x −−>，令112nx =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=−<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b − ≠=− = 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立. 进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b−>−+，即111ln ln ()2b a b a a b −<+−.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +−<++，所以111ln(1)ln ()21n n n n +−<++①.(,)L a b <1ln ln ln 2ln (1)a a b x x x b x ⇔−<⇔<⇔<−=>其中，接下来令t=2−>1(1)lnn>+，1()nlnn+>②.12．已知函数(1)()ln(1)1x xf x xxλ++−+，设数列{}na的通项111123nan=++++，证明：21ln24n na an−+>.解析：由上述不等式①，所以111ln(1)ln()21n nn n+−<++，111ln(2)ln(1)()212n nn n+−+<+++，111ln(3)ln(2)()223n nn n+−+<+++…，111ln2ln(21)()2212n nn n−−<+−.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln2ln()2123212n nn n n n n n−<+++++++++−，即111211ln22123214n n n n n n<+++++++++−，故11211ln212324n n n n n+++++>+++，即21ln24n na an−+>.13．已知函数()ax xf x xe e=−．（1）当1a=时，讨论()f x的单调性；（2）当0x>时，()1f x<−，求a的取值范围；（3）设*n N∈(1)ln n+…+>+．【答案】（31()nlnn+>，进一步求和可得：11231()(...)(1)12n nk kk nln ln ln nk n=++>=×××=+∑， (1)ln n+>+．题型三数列恒成立问题14．已知等差数列{}n a的前n项和记为n S（*n∈N），满足235326a a S+=+,数列{}n S为单调递减数列，求1a的取值范围. 【答案】(),2−∞【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得2d =−，求得n S ，由数列的单调性列不等式即可得1a 的取值范围；【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由于235326a a S +=+，所以()()1113225106a d a d a d +++=++，解得2d =−，所以()()211112n n n S na d n a n −=+=−++，若数列{}n S 为单调递减数列，则10n n S S +−<对于*n ∈N 恒成立，所以()()()()221111111120n n S S n a n n a n a n + −=−++++−−++=−<在*n ∈N 上恒成立，则12a n <，所以()1min 2a n <，又数列{}2n 为递增数列，所以()min 2212n =×=，即12a <，故1a 的取值范围为(),2−∞15．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=.设()232n n b nn a −−⋅，若对于任意的N n ∗∈，n b λ≤恒成立，则实数λ的取值范围为【答案】1,2+∞【分析】由11a =，12n n a a +=可得112n n a −=，进而得到21322n n n n b −−−=，结合()152n nnn n b b +−−=−，分15n ≤≤和6n ≥分类讨论，确定数列{}n b 的单调性，求出n b 最大值，进而得解.【详解】由数列{}n a 满足11a =、1n n a a +=得：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， ∴112n n a −=，∴21322n n n n b −−−=，∴()()()22111312532222n nn n nn n n n n n b b +−+−+−−−−−=−=−，当15n ≤≤时，10n n b b +−≥，∴1n n b b +≥，当且仅当5n =时取等号，65b b =，当6n ≥时，10n n b b ，∴1n n b b +<，当5n ≤时，数列{}n b 单调递增，当6n ≥时，数列{}n b 单调递减，则当5n =或6n =时，()24max 2512152n b −==−，而任意的N n ∗∈，n b λ≤恒成立，则12λ≥，∴实数λ的取值范围为1,2+∞.16．已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为 . 【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则a n+1=a n +a 1，a n+1－a n =a 1=1，所以数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为1，所以a n =n ，所以λa n ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n，又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增，当3n =或4n =时，min 12()7n n+=所以7λ≤【分析】先由题设求得n a ，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ−+>成立转化为12k λλ<+对任意0λ>恒成立，再利用基本不等式求得12λλ+的最小值，即可得到答案.【详解】由()()211231222113n n a a a a n n n −++++=+− ，当2n ≥时，()()2212311222123n n a a a a n n n −−++++=−− ，两式相减可得：()()()()()112111213n n a n n n n n n n n −=+−−−−=−， ∴()112n n n n a −−=，由10a =，显然成立，设()()22211112232222n nnn n nn n n n n n n n n na a +−+−+−+−+−=−==， ∴当03n <≤时，10n n a a +−>，当4n ≥时，10n n a a +−<，因此，03n <≤，数列{}n a 单调递增，当4n ≥时，数列{}n a 单调递减，由332a =，432a =，故当3n =或4n =时，数列{}na 取最大值，且最大值为32，对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ−+>成立，可得2322k λλ−+>，因此，212k λλ<+，即12k λλ<+对任意0λ>恒成立，由12λλ+≥12λλ=，即λ=min 12k λλ <+ ∴实数k 的取值范围是(−∞.18．已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是．【答案】15,4 +∞【分析】先分离参数将问题转化为232n n n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，构造232n nn nb +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围. 【详解】因为23n a n n =+，且2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，所以232nn n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，即2max 3()2n n n λ+≤，令232n nn n b +=，则2221113(1)(1)3354222n nn n n n n n n n n b b +++++++−++−=−=，因为21302b b −=>，32104b b −=>，43102b b −=−<，且21135402n nn n n b b ++−++−=<对于任意3n ≥恒成立，所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3315()24nn n b +==，所以实数λ的取值范围是15,4+∞【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ ，得到118a =，1433nn n a a −=×−，变形后得到3n n a 是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出()423nn a n =+⋅，故代入n a ≥3n n ≥，利用作差法得到3n n 单调递减，最小值为13，列出不等式求出答案.【详解】当1n =时，2111332a S a ==−，解得：118a =，当2n ≥时，111333322n n n n n n n a S a a S −−+==−+−−，整理得1433nn n a a −=×−，方程两边同除以3n ，得11343n n nn a a −−−=，又163a =，故3n n a 是等差数列，首项为6，公差为4，所以()123644nnn n a =+−=+，故()423n n a n =+⋅，经验证，满足要求，所以n a ≥为()423nn +⋅≥故3nn≥，对任意N n +∈恒成立， 111113123333n n n n n n n n n+++++−−−==，当1n ≥时，111120333n n n n n n +++−−=<，故1133n n n n ++<， 3n n 单调递减，当1n =时，3nn 取得最大值13，故13≥，解得：136k ≥，则k 的最小值为136【分析】先利用等差数列通项公式求解n a ，再利用数列的单调性求解数列()()221212n n n b n −−=−⋅的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.【详解】由()*122n n n a a a n ++=+∈N 可知数列{}n a 是等差数列，设其公差为d ，解方程218650x x −+=得5x =或13x =，又73a a >， ∴37513a a ==，，73135424d a a d −−=∴== ，， ()52321n a n n ∴=+−=−.由()()2241n n n a a λ−>−得()()()2224212n n n λ>−−−，()()2212142n n n λ−−>−∴−，设()()221212n n n b n −−=−⋅，则()()()()2232111221252212212412n n n n n n n n n b b n n n −+−−−−+−−=−=+⋅−⋅−⋅，由()21412n n −−⋅>0对于任意*n ∈N 恒成立，所以只考虑32252n n −+−的符号，设()()322521f n n n n =−+−≥，()()2610235f n n n n n ′=−+=−−，令()0f n ′>解得513n ≤<，即()f n 在513n ≤<上单调递增，令()0f n ′<解得53n >，即()f n 在53n >上单调递减，()11f =，()22f =，()311f =−，当3n ≥，()()30f x f ≤<，当1n =，2n =时，()0f n >，即10n n b b +−>，123b b b ∴<<，当3n ≥，()0f x <，即()221132520412n n n n n b b n +−−+−−=<−⋅，即从3n ≥，n b 开始单调递减，即325≤=n b b ，245λ∴−>，即185λ<，λ∴的取值范围为185−∞ ，.解：14122n n nb n na −−−=，则()()211112135222n n nT −−=−+−×+−×++ ，则()2111132121322222n n n n n T −−−=−×+−×+++ ，两式相减得：()()2312111111112121122212()123+122222222212nn n n n n n n n n T −−−−−−=−+−×++++−=−+−×−=−−− 于是得3112126+2n n n n T −−−=−−，由1361122n nn T +>−+得：12512n n −+<，即12250n n −−−>，令1225n n c n −−−，N n ∗∈，显然，16c =−，27c =−，37c =−，45c =−，51c =，由111(227)(225)220n n n n n c c n n −−+−=−−−−−=−>，解得2n >，即数列{}n c 在3n ≥时是递增的，于是得当12250n n −−−>时，即510n c c ≥=>，5n ≥，则min 5n =，所以不等式1361122n nn T +>−+成立的n 的最小值是5.22．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+−∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +×+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n −+++=×=，所以1221n n a n +−−.(2)()()()231122325221n n n S a a a n + =+++=−+−++−+ ()()23122235721n n ++++−+++++ ()()222212321122242n n n n n n +−++=−−−−−，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+−−−+>，可得22222n n n n λ+⋅>+−即2242nn n λ+>−对于任意正整数n 恒成立，所以2max 242n n n λ +>− ，令()242n n n n b +=−，则21132n n n n b b ++−−=，所以1234b b b b <>>>…，可得()222max222422n b b +×==−=−，所以2λ>−，所以λ的取值范围为()2,−+∞。

几种常见的放缩法证明不等式的方法

For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1）用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。

放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例谈证明不等式的四种常用措施

=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
÷ç
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略

放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。

这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。

下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。

2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。

3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。

4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。

用放缩法证明数列中的不等式(学案)

用放缩法证明数列中的不等式放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力。

一. 放缩目标模型——可求和1(n ii a k k =<∑为常数）形（一）如2311111()2222n n *++++<∈N 求证：例1231232()2222n n n *++++<∈N 求证：变式12311111()21212121n n *++++<∈++++N 求证：变式2231232()2122232n n n n *++++<∈++++N 求证：变式3201319)11111()133557(21)(21)2n n n *++++<∈⨯⨯⨯-+N (广东文第(3)问求证：例222211112()23n n *++++<∈N 求证：变式12221117(201319(3))1()234n n *++++<∈N 广东理第：问求证变式222211151()233n n *++++<∈N 求证：变式3*22211151()35(21)4n n ++++<∈-N 求证：nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(1111222222--=-<⋅=<+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<)3()111(2)1(21212)1(1)(1)11(12n 21210≥+-⋅=+<-∴+=+>-⋅⋅⋅+++=-+=-n n n n n n n C C C C C n n n n n n n )1(212n 22112)1(2--=-+<=<++=-+n n n n n n n n n 常见的裂项放缩技巧：)2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n1111231(2009200)0S =++++珠海二求模理第(2)的整.问例数部分322331(2011113()3232322193(3))22n n n *++++<∈----N 求广东理第：问证例423111117()3214323232n n *++++<∈----N 求证：例4变式(1)(2)1223(1)()22n n n n n n n *++<⋅+⋅+++<∈N 例求证：5二. 放缩目标模型——可求积135211()24(2060922121(2))n n n n *-⨯⨯⨯⨯<∈+N 求证东理：例广第问6（变式练习2）(1998全国理25第(2)问)*3111(11)(1)(1)(1)31()4732n n n ++++>+∈-N 求证：我们可以这样总结本节课学到的放缩方法：。

浅析用放缩法证明数列不等式的策略

浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。

当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。

下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。

具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。

举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。

策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。

对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。

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(1 3 )
n －1
n －1
（ n ≥ 2），
1 1 1 + +… + a1 a2 an 1 －＜评注
(1 3 )
1 1 － 3
＜
3 （ n ≥ 2）． 2
第（ 2 ）问要证明不等关系成立， 1 = an
“根源 ”是通过放缩回到基本的等比数列，通过结论 1 、结论 2 来进行放缩处理．从
｛ a n ｝满足 a1 = 1 ， a n +1 = 3 a n + 1 ．（ 1 ）证明 a n + 1 是等比数列，并求 2 ｛ a n ｝的通项公式；（ 2 ）证明：解 ʑ ʑ 1 1 1 3 + +… + ＜． a1 a2 an 2 1 2
评注
首先看不等关系式不包含相等关系，所以不 1 = 考虑从数列单调性去证明．其次从 an 1 通项特征的形式可以看出，它具备 n（ 2 n + 1 ）了裂项求和的形式，但裂项求和的通项必须满足分裂出的两项的 n 前面的系数要相同这条根源；再根据所需证明的不等关系，可以对它进行适当的放缩达到要求．为此，可以选择下面两种方法进行放缩．方法 1 ：－ 1 ； n +1 方法 2 ： 1 1 2 = = ＜ 2 n（ 2 n + 1 ） an n（ 2 n + 1 ） 1 1 1 1 = ＜ = a n n（ 2 n + 1 ） n（ n + 1 ） n
x
数 f （ x）的单调性；方法 2 侧重分析临界情况（直线 y = ax 与曲线 y = e 相切）；方法 3 、方
· 15·
高中数学教与学
ʑ 1 1 1 1 + + +…+ ＜ 1． a1 a2 a3 an 第（ 2 ）问要证明不等关系成立，例2
2017 年
（ 2014 年全国高考题）已知数列
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
易知说法 B 正确，说法 C 错误．分析选项 D：结合函数 f （ x）的单调性（前可知 f （ x）有极小值点 x0 = 述方法一已给出）， ln a．又由 e
x1
法 4 均侧重于构造新函数（出发点不同：前者分离参数，后者两边取对数），并利用新函数 C 时，的图象和性质．分析选项 B、需要借助 “换元 ” ， “x1 ， x 2 ”的不等式问题有利于将关于 “t ”的不等式问题，巧妙地转化为关于以便灵活运用导数知识加以思考（方法 1 的思维出发点是利用作差法比较大小，然后分解因式、构造函数；方法 2 的思维出发点是利用分析法转化目标问题，然后构造函数）．分析选项 D 时，需要先求得 x0 ，再由题设得到关于零点的两个等式，以便结合目标问题灵活求解．
（ 2 ）若 a n +1 － a n ≤ d 对 n ∈ N * 恒成立，
* 则 a n ≤ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ∈ N 也恒成立．
结论 4
对于数列｛ a n ｝，
（ 1 ）若 a n +1 － a n ＞ d 对 n ∈ N * 恒成立， n ∈ N * 也恒则 a n ＞ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ≥ 2 ，成立．（ 2 ）若 a n +1 － a n ＜ d 对 n ∈ N * 恒成立， n ∈ N * 也恒则 a n ＜ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ≥ 2 ，成立．例3 （ 2014 年全国高考题）函数 ax （ a ＞ 1）． x+a
2 2 a），则 f ' （ x）＞ 0 ，f （ x）单调增；若 x ∈ （ a －
1 1 1 ；结论 3 （ 2 ）可以得到 ≤ 1 + （ n － an 2 2 2 2 ＞得以解决．同理可 n +1 n +2
1），问题 a n ≥
2 a， 0 ），则 f ' （ x）＜ 0 ，f （ x）单调减；若 x ∈ （ 0 ，+ ɕ ），则 f ' （ x）＞ 0 ，f （ x）单调增．（ ii ）当 a = 2 时， f ' （ x） ≥ 0 ， f（ x）在（－ 1 ， + ɕ ）内是增函数．（ iii ）当 a ＞ 2 时， 0），若 x ∈ （－ 1，则 f ' （ x）＞ 0 ， f （ x）单调增；若 x ∈ （ 0 ，a2 － 2 a），
2 2
首先利用第（ 1 ）问的结论，得到 a n +1 ＞立， 2an ；再经过适当的放缩，通过两边取倒数 an + 2 变形，放缩成等差数列的形式，得到＜ 1 1 － a n +1 an
+ ɕ ），f ' （ x） =
（ i）当 1 ＜ a ＜ 2 时，若 x ∈ （－ 1 ，a －
a1 q n －1 对 n ≥ 2 ， n ∈ N * 也恒成立．
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第7 期
结论 3 对于数列｛ a n ｝，有
*
高中数学教与学
ln（ a n + 1 ）＞ 2an 1 1 1 ，－＜． 2 a n + 2 a n +1 a n
（ 1 ）若 a n +1 － a n ≥ d 对 n ∈ N 恒成立，
{
}
(a {a
n
（ 1 ） ȵ a n +1 = 3 a n + 1 ，
n +1
+
) = 3( a
n
+
1a1 + 公比为 2 2 2
}
3 的等比数列， ʑ an + 1 3 1 = ·3 n －1 = ·3 n ， 2 2 2 an = 1 1 ·3 n －． 2 2
a1 q n －1 对 n ∈ N * 也恒成立． a n +1 * （ 2）若 ≤ q 对 n ∈ N 恒成立，则 an ≤ an a1 q n －1 对 n ∈ N * 也恒成立．结论 2 对于正项数列｛ a n ｝， a n +1 （ 1）若＞ q 对 n ∈ N * 恒成立，则 an ＞ an a1 q
证明
（ 1 ）由条件，得
a n +1 an = + 2， n +1 n
an a n +1 a － = 2，所以数列 n 是首项为 3 ， n +1 n n （ 2 ）由（ 1 ）知 an = 3 + （ n － 1） ˑ 2 = 2n + 1， n ʑ ʑ a n = n（ 2 n + 1 ）， 1 1 1 = ＜ an n（ 2 n + 1 ） n（ n + 1 ） = ʑ 1 1 ，－ n n +1
（ 2 ）只证 n ≥ 2 时的情形．易得 a n +1 ＞ 3 a n ＞ 0，所以 1 1 1 ＜ · ．由结论 2 ，得 a n +1 3 an 1 ＜ an 所以
2 1 1 = －．（ 2n － 1）（ 2n + 1） 2n － 1 2n + 1 它们都可以使问题得以解决．放缩选择放大还是选择缩小，要根据不 “根源 ”还是分等关系来决定．实际上，例1 的裂变量求和的思想，只有把分裂变量求和法的实质弄清楚了，才能进行适当的放缩达到要求．下面给出几个容易证明的常用结论：结论 1 （ 1）若对于正项数列｛ a n ｝， a n +1 * ≥ q 对 n ∈ N 恒成立，则 an ≥ an
* 则 a n ≥ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ∈ N 也恒成立．
由结论 3 （ 2 ），得 1 1 2 2 an ≥ ＞． ≤ 1 + （ n － 1）， 2 an n +1 n +2 f（ x）在（ 0 ，由（ 1 ）的结论知，当 a = 3 时， 3 ）内是减函数，所以 f （ x）＜ f （ 0 ） = 0 （ 0 ＜ x ＜ 3），即 ln （ x + 1 ）＜ a n +1 = ln（ a n + 1 ）＜由结论 3 （ 1 ），得 1 1 3 an ≤ ， ≥ 1 + （ n － 1）， an 3 n +2 所以评注 2 3 ＜ an ≤ ． n +2 n +2 第（ 2 ）问要证明数列不等关系成 3x （ 0 ＜ x ＜ 3），所以 3 +x 3an 1 1 1 ，－＞． a n + 3 a n +1 a n 3
n ∈ N 也恒成立．对 n ≥ 2， a n +1 ＜ q 对 n ∈ N * 恒成立，则 an ＜ an
*
1 ＜ an
(1 3 )
n －1
（ n ≥ 2），问题得
（ 2）若
以解决（此题还可以用数学归纳法进行证明，留给读者去证，两种方法可以进行对照）．类似地，容易证明．
{ }
公差为 2 的等差数列．
{ an }是等差数列；
n
+ (1 － 1 2 ) 1 1 1 1 1 = －－ )+ ( － )+… + ( (1 2 3 3 4 n n + 1) 1 1 1 1 + + +…+ ＜ a1 a2 a3 an 1 － 1 ＜ 1． n +1