2019届世纪金榜高三数学文二轮复习练习教师独具标准仿真模拟练一.docx

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【世纪金榜】高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用

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专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.【解析】选D.因为m∥n,所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).所以2B=,所以B=.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a 与b一定满足( )A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin β=,cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=.答案:8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为. 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以,sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值.(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为a∥b,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x====.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(a·b+sin2x),m为正实数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)=m[sin(x+)cos x-sin2x+sin2x]=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得y=2msin(x+),再向右平移个单位,得y=2msin[(x-)+],所以:g(x)=2msin x.由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m,所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点.当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点,当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.【解析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0°<A<180°,所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以S△ABC=bcsinA=×××=.【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b===,所以S△ABC=absinC=×1××=.12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,y min=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<π,所以<x+<π,所以x+=π,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos==cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α).因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,所以x-α=.因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0,所以sin(x+α)+2sin2α=0,即sin+2sin2α=0.所以sin2α+cos2α=0,所以tan2α=-.关闭Word文档返回原板块。

2019届高考数学仿真模拟练(二)文(20190404193004)

π π ) ，当 x＝时， y＝ 1， 3 12
说明函数图象关于直线答案： D
x＝
π 对称，故选 D. 12
5．设 A． a>c>b C． c>a>b
则 a， b， c 的大小关系是 B ． a>b>c D ． b>c>a
(
)
解析：因为幂函数 y ＝
在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增，所以 a＝
m表示数学成绩
ai <90 的学生人数，则
＝ 18； n 表示数学成 m
绩 90≤ ai ≤ 120 的学生人数，则故选 B. 答案： B
n＝ 33； k 表示数学成绩
ai >120 的学生人数，则
k ＝ 9，
x＋ 3 y＋ 5≥０
9．已知实数 x， y 满足：
x＋ y － 1≤０ x＋ a≥０
| b－ 3| 2 ＝ 2 2 ，所以 b＝ 7 或 b＝－
心为 ( － 2,1) ，半径为 2 2，则圆心到直线的距离为 1. 所以所求的直线方程为
y ＝ x ＋ 7 或 y ＝ x－ 1.
答案： y ＝ x ＋ 7 或 y ＝ x － 1 14．两位女生和两位男生站成一排照相，则两位男生不相邻的概率是 ________．
3 1 a －c 6 c ≤ <1 ，∴ ≥ >0. 2 3 3 a a 答案： C 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 13．平行于曲线为 ________ ．解析：因为 y ＝ e ，所以 y ′＝ e ，所以曲线 y＝ e 在点 (0,1) 处的切线的斜率＝ e ＝ 1 ，所以可设所求直线的方程为
答案： B 10. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑

2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：仿真考(二) Word版含解析

2．(2018·宁夏六盘山期中)已知集合A＝{x|x2＋x－6≤0，x∈R}，B＝{x| ≤4，x∈Z}，则A∩B＝()
A．(0,2) B．[0,2]
C．{0,2} D．{0,1,2}
答案：D
解析：由题意，得A＝[－3,2]，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}，所以A∩B＝{0,1,2}．
3．(2018·广东七校联考)命题：“∃x0>0,2x0(x0－a)>1”，这个命题的否定是()
∴输出a＝0.
故选D.
7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为，如图，所求的夹角为，故选C.
8．(2018·甘肃天水检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()
在△PBC中，NH∥BC，且NH＝ BC＝1，AM＝ AD＝1.
又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，
∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH，
又AH⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.
优解关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化简为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝5 ，所以－5a＝5 ，所以a＝－ .
5四棱锥的最长棱的长度为()
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.

2019年高考文科数学二轮复习仿真模拟训练题6份

φ)(0<φ<3)的图象都关于直线 x＝－ 1π2对称，则 ω 与 φ 的值分别为
() A．8，712π B．2，712π C．8，1π2 D．2，1π2
8．[2018 ·天津一中、益中学校月考 ]已知 f(x)是定义在区间 [ －1,1]
上的奇函数，当 x<0 时， f(x)＝x(x－1)．则关于 m 的不等式 f(1－m) ＋f(1－m2)<0 的解集为 ( )
x∈D 的概率是 ( ) 731 1
A.10B.5C.10D.5 3．[2018 ·山东沂水一中期中 ]已知集合 A＝{x ∈ Z|x2＋3x<0} ，则
满足条件 B? A 的集合 B 的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．8 x2 y2
4．[2018 ·安徽省皖江八校联考 ]已知双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)，
2019 年高考文科数学二轮复习
仿真模拟训练题 6 份
目录
仿真模拟训练 (一 ) .................................................................................................................... 1 仿真模拟训练 (一 ) .................................................................................................................... 6 仿真模拟训练 (二 ) .................................................................................................................. 13 仿真模拟训练 (二 ) .................................................................................................................. 19 仿真模拟训练 (三 ) .................................................................................................................. 26 仿真模拟训练 (三 ) .................................................................................................................. 31 仿真模拟训练 (四 ) .................................................................................................................. 38 仿真模拟训练 (四 ) .................................................................................................................. 45 仿真模拟训练 (五 ) .................................................................................................................. 52 仿真模拟训练 (五 ) .................................................................................................................. 57 仿真模拟训练 (六 ) .................................................................................................................. 64 仿真模拟训练 (六 ) .................................................................................................................. 70

2019届高三数学第二次模拟考试试题文新人教版

2019届高三数学第二次模拟考试试题文第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=(){}lg 21x x -<，集合B={}2230x x x --<，则．A ∪B 等于A ．(2，12)B ．(－1，3)C ．(－1，12)D ．(2，3)2．已知复数z 满足3iz i =-+，z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．计算0sin 35sin 65cos145sin 25-等于A ．-B ．12-C ．12D 4．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m α⊥，l 与m 无交点”是“l ∥m ，l α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某年级的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是：150，则该年级的学生人数是 A ．600 B ．550 C ．500D ．4506．函数()()()2ln ln f x x e x e x =+-+的图象大致为7．根据如下程序框图，运行相应程序，则输出n 的值为A ．3B ．4C ．5D ．68．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,22p-)，则该抛物线的方程为 A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．216y x =9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为A．3π+B．()41π+C．(4π+D ．()41π+10．设函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕ=+>>的最小正周期为π，且()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是 A ．()f x 的一个零点为8π-B ．()f x 的一条对称轴为8x π=C ．()f x 在区间35,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 是偶函数 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 为减函数，则不等式()()132log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为 A ．541216xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．132x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．541132162xx x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭或D ．541132162x x x ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或 12．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若OF FB =，则C 的离心率是A．3B．2CD ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题。

《世纪金榜》2019届高三数学(人教版理)二轮复习课件：高考大题·规范答题示范课(一)

2 2
各得1分;
⑤正确得出结论得1分;
第(2)问踩点说明 (针对得分点⑥⑦⑧⑨):
⑥正确写出两根的范围得1分;
⑦将问题转化为函数的单调性,找到其对应的函数得2
分;
⑧正确构造函满分心得】 1.牢记求导法则,正确求导:在函数与导数类解答题中,
x 2 ex>f(0)=-1，所以x>0时， x2
所以(x-2)ex+x+2>0.
(e x a)x 2 2x(e x ax a) (2)g′(x)= x4 x(xe x 2e x ax 2a) x4 x2 x (x 2)( e a) 1). x 2a∈[0，， x3 2 x 由(1)知，当x>0时，f(x)= x · e 的值域为(-1， x2 2 et=-a，t∈(0，2]. +∞)，只有一解，使得 t · t2
2
2
故f(x)存在两个零点; …………………2分
2
得分点③
③设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥- e ,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,
2
f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<- e ,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,
2
f′(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞) 上单调递增,
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.

2019届全国名师精编高三第二次模拟考试卷文科数学(二) 教师版

2019届好教育云平台高三第二次模拟考试卷文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·乐山调研]若iia b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3【答案】A 【解析】∵()()2i i i i i ia b a b b a +-+==--，()21i 2i -=-，又i ia b +与()21i -互为共轭复数，∴0b =，2a =-，则2a b -=-．故选A ． 2．[2019·济南外国语]已知集合{A x x =<，{}220x B x x =-->，则A B =（）A．{x x < B．{1x x -<< C．{}1x x <- D ．{}12x x -<<【答案】C【解析】∵集合{A x x =<，{}220x B x x =-->，∴{A x x =<，{}12B x x x =<->或，∴{}1Ax x B =-<-．故选C ．3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，()πln πcos πln π10f =-=+>，排除C ，故选B ．4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b -=a b （） A ．2 BCD【答案】A【解析】根据题意得，()2222-=+-⋅a b a b a b ，又()22221426+=+⋅+=++⋅=a b a a b b a b ，∴21⋅=a b ， ∴()21414-=+-=a b ，∴2-=a b ．故选A ．5．[2019·湘潭一模]以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（） A ．221x y -= B ．2219x y -=C ．22193x y -=D ．22199x y -=【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为()3,0±，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴3a b ==，则该双曲线的方程为22199x y -=．故选D ．6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =，45B =︒，则角A =（）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒【答案】A【解析】∵1a =，b =，45B =︒，∴由正弦定理可得1sin 1sin 2a BA b===，∵1a b =<=045A ︒<<︒，∴解得30A =︒．故选A ．7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（） A ．6i <；i s s a =+ B ．6i ≤；i s a = C ．6i ≤；i s s a =+D ．6i >；12i s a a a =+++【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数， ∴该程序框图要算出126s a a a =+++所得到的和，①当1i =时，1s a =，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此i 变成2，进入下一步； ②当2i =时，用前一个s 加上2a ，得12s a a =+，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成3，进入下一步； ③当3i =时，用前一个s 加上3a ，得123s a a a =++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成4，进入下一步； ④当4i =时，用前一个s 加上4a ，得1234s a a a a =+++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成5，进入下一步； ⑤当5i =时，用前一个s 加上5a ，得12345s a a a a a =++++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成6，进入下一步；⑥当6i =时，用前一个s 加上6a ，得123456s a a a a a a =+++++，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的s 值，由以上的分析，可得图中判断框应填“6i ≤”，执行框应填“i s s a =+”．故选C ．8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（） A ．19B ．318C ．29D ．518【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有021，001，031，130共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为42189=，故选C ． 9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（）ABCD 【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，取CD 中点N ，连结MN ，BN ，∴M 是棱AD 的中点，∴MN AC ∥，∴BMN ∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角），BM BN =1MN=，∴222cos 2BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯，∴异面直线BM 与AC ，故选C ． 10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3tan24θ=，则()f x 的图象对称中心可以是（）A ．()0,0B ．()1,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合题意，绘图又132tan 244BC θ==，6BC =，∴周期2π6T ω==，解得π3ω=，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππ2π2π236k k ϕ=+-=+，令0k =，得到π6ϕ=，∴ππ2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ36x m +=，m ∈Z ，得对称中心13,02m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，令1m =，得到对称中心坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，即有()()()2f x f x f x -==--，即为()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x +=-+=，可得()f x 的最小正周期为4，故①错误；②正确；由()()2f x f x +=-，可得()()11f x f x +=--，又()()11f x f x --=+，即有()()11f x f x --=--，故()1f x -为奇函数，故③正确；由()()33f x f x --=+，若()3f x -为偶函数，即有()()33f x f x --=-，可得()()33f x f x +=-，即()()6f x f x +=，可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B ．12．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BCD ．12【答案】C【解析】由题意可得直线AB 与直线l 的交点()2,1P ，1AB K =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=，∵A 、B 是椭圆22221x y a b+=上的点，∴2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①﹣②得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()1212222x x y y a b --=-，∴21221221AB y y b K x x a -==-=--，∴222a b =，∴c a ==C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______．【答案】1【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =．故答案为1．14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为____．【答案】5【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大，由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=_______．【答案】78-【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】52π【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线12OA SB =，由4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥，因此Rt BSC △中，中线12OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴SB =12r SB =，因此，外接球的表面积24π52πS r ==，故答案为52π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =；（2）21nn +．【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+，当1n =时，1122a a =+，∴12a =，当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）()212221log log log 122n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．（12分）[2019·惠州调研]随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？5.48≈5.74≈5.92）【答案】（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =；（3）50%．【解析】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40；则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=，则有()()()()()22222219283848386837883898310s ⎡=-+-+-+-+-⎣()()()()()222227483838378837783898333+-+-+-+-⎤⎦-+=，∴均值83x =，方差233s =．（3）由题意知评分在(83-+，即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为50.550%10==． 19．（12分）[2019·揭阳毕业]如图，在三棱锥P ABC -中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB BC =，O 是AC 中点，OH PC ⊥于H ．（1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB =A BOH -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）12．【解析】（1）∵AB BC =，O 是AC 中点，∴BO AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，∴BO ⊥平面PAC ，∴BO PC ⊥，又OH PC ⊥，BO OH O =，∴PC ⊥平面BOH ．（2）∵HAO △与HOC △面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==， ∵BO ⊥平面PAC ，∴13B HOC OHC V S OB -=⋅△，∵OH =30HOC ∠=︒，∴1HC =，∴12OHC S CH OH =⋅=△，∴1132B OCH V -=，即12A BOH V -=． 20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．（1）求C 的方程；（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．【答案】（1）24x y =；（2）在x轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上．【解析】（1）联立224x pyy x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=，即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =．（2）设线段AB 的中点为()00,N x y ，由（1）知，12022x x x +==，0046y x =+=，则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+．联立248x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-．假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，∵AB ==，∴PA =DP =．∵0m>，∴4m =+ 若P 的坐标为()8,16-，则PA =DP =>P 的坐标不可能为()8,16-．故在x 轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．（12分）[2019·遵义联考]已知函数()()21ln 1f x a x x =-++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上是减函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）当14a =-时，()()2211131ln 1ln (0)4424f x x x x x x x =--++=-+++>，()()()21111(0)222x x f x x x x x-+'=-++=->，由()0f x '>解得02x <<，由()0f x '<解得2x >，故当02x <<时，()f x 的单调递增；当2x >时，()f x 单调递减，∴当2x =时，函数()f x 取得极大值()32ln 24f =+，无极小值．（2）()()1'21f x a x x=-+，∵函数()f x 在区间[]2,4上单调递减， ∴()()1'210f x a x x =-+≤在区间[]2,4上恒成立，即212a x x ≤-+在[]2,4上恒成立，只需2a 不大于21x x -+在[]2,4上的最小值即可．而()2211241124x x x x =≤≤-+⎛⎫--+⎪⎝⎭，则当24x ≤≤时，2111,212x x ⎡⎤∈--⎢⎥-+⎣⎦， ∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最小值．【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2．【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ，则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（2）由题设知2OC =，212cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△，当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-．（1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13a ≤≤．【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， ∴13a ≤≤．。

广西2019届高考数学二轮复习仿真模拟练

仿真模拟练(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合A=--,B={y|y=lg x,x∈A},则A∪B=()A.{1}B.⌀C.[0,10]D.(0,10]2.复数-=()A.1B.-1C.iD.-i3.在区间[0,8]上随机取一个x的值,执行如图的程序框图,则输出的y≥3的概率为()A.3B. C.3D.34.根据三视图求空间几何体的体积为()A.2B.3C.3D.35.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有()盏灯.A.2B.3C.5D.66.(2018福建泉州质检)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色,则两个小球颜色不同的概率为()A.3B.C.3D.7.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3=3,且a2 016+a2 017=0,则S101等于()A.3B.303C.-3D.-3038.已知向量a=(x-1,3),b=(1,y),其中x,y都为正实数.若a⊥b,则3的最小值为() A.2 B.2C.4 D.239.已知平面区域D=-33-,Z=.若命题“∀(x,y)∈D,Z≥m”为真命题,则实数m的最大值为()A. B. C.3D.10.设点M,N为圆x2+y2=9上两个动点,且|MN|=4,若点P为线段3x+4y+15=0(xy≥ 上一点,则||的最大值为()A.4B.6C.8D.1211.在平面直角坐标系中,若不同的两点A(a,b),B(-a,b)在函数y=f(x)的图象上,则称(A,B)是函数y=f(x)的一组关于y轴的对称点((A,B)与(B,A)视为同一组),则函数f(x)=3关于y轴的对称点的组数为()A.0B.1C.2D.412.已知F1,F2分别是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,若的最小值为3,则椭圆的离心率是()A. B.3C. D.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(2018全国Ⅲ,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.14.抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点(x0,2)到焦点的距离为3,则抛物线方程为.15.(2018江苏,10)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.16.设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2sin A cos C=2sin B-sin C.(1)求A的大小;(2)在锐角三角形ABC中,a=3,求c+b的取值范围.18.(12分)某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机用户(200名女性,300名男性)进(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不计算具体值,给出结论即可);女性用户男性用户(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户,求两名用户中评分都小于90分的概率.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E,F,G分别为PC,AD,PD的中点,OP=OA,PA⊥PD.求证:(1)FG∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PCD.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.21.(12分)已知函数f(x)=e x sin x-cos x,g(x)=x cos x-e x(其中e是自然对数的底数).(1)∀x1∈,∃x2∈使得不等式f(x1)+g(x2 ≥m成立,试求实数m的取值范围;(2)若x>-1,求证:f(x)-g(x)>0.22.选修4—4坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=3,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,点R的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时点P的直角坐标.23.选修4—5不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x ≥ -|2x-5|;(2)若关于x的不等式f(x ≤ 的解集为[-1,7],且两正数s和t满足2s+t=a,求证:≥ .仿真模拟练答案1.D 解析集合A=- -={x|1<x ≤ } B={y|y=lg x ,x ∈A }={y|0<y ≤ } ∴A ∪B={x|0<x ≤ }=(0,10].故选D .2.D 解析--=-i 2 017=-(i 4)504·i =-i .故选D .3.B 解析由题意 ≤x ≤ x- ≥3 ∴ ≤x ≤ .∵6<x ≤ 3≥3无解,∴输出的y ≥3的概率为- -,故选B .4.B 解析由三视图得到几何体为如图的三棱台:其中上底面是腰长为1的等腰直角三角形,下底面是腰长为2的等腰直角三角形,棱台的高为2,所以体积为 3 ×2=3,故选B .5.B 解析设第七层有a 盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a 为首项,以2为公比的等比数列,则由等比数列的求和公式可得- -=381,解得a=3,因此顶层有3盏灯,故选B .6.C 解析三种不同的颜色分别用A,B,C 表示,随机事件所包含的基本事件有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9个,其中表示两个小球颜色不同的有6个,则两个小球颜色不同的概率为P=3.故选C . 7.A 解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,且a 2 016+a 2 017=0,∴ 3解得a 1=3,q=-1, ∴S 101=- -3 - -- -3=3.故选A .8.C 解析 ∵a ⊥b ,∴a ·b =x-1+3y=0,即x+3y=1.又x ,y 为正实数,∴3 =(x+3y )3 =2+33 ≥ +2 3 ·3 =4,当且仅当x=3y=时取等号.∴3的最小值为4.故选C . 9.B 解析由题意命题“∀(x ,y )∈D ,Z ≥m ”为真命题即求Z 的最小值,平面区域如图:Z=表示区域内的点与定点(-2,0)连接直线的斜率, 所以与过点N 的n 直线斜率最小,由 - 3 3 -得到N (5,2),所以最小值为,所以实数m ≤ ,所以m 的最大值为,故选B .10.D 解析由已知得| |=| |=3,则| |2=| |2=| |2+| |2-2 =32,得2 =-14.| |=| |=|2 |, 而| |=·= - =2.如图,由图可知,当P 在点(5,0)处,且向量2 与向量( )同向共线时,| |有最大值为12.故选D .11.C 解析由题意,在同一平面直角坐标系内,作出y 1=(x>0),y 2=|log 3x|(x>0)的图象,根据定义,可知函数f (x )=3关于y 轴的对称点的组数就是关于y 轴对称后图象交点的个数,所以关于y 轴的对称点的组数为2,故选C .12.B 解析令| |=s ,| |=t ,则为,其最小值为3,则的最小值为3.由椭圆mx 2+y 2=m ,得x 2+=1.∵0<m<1,∴椭圆的长轴长为2. ∴-+s- ≥3,∴+s ≥ 33,由+s= 33,解得s=3或s=3(舍).由对勾函数的单调性可知,当s 有最大值为a+c=3时,有最小值为3, 即1+c=3,得c=3.∴椭圆的离心率e=3.故选B .13.分层抽样解析因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.14.x 2=4y 解析由题意可知抛物线方程为x 2=2py ,抛物线上一点(x 0,2)到焦点的距离为3,可得 =1,解得p=2,所求的抛物线方程为x 2=4y. 15.3 解析由题图可知,该多面体为两个全等的正四棱锥的组合体,且正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为 ,所以该多面体的体积为2×3×1×( )2=3. 16.2 解析因为b ≠0,所以b =x e 1+y e 2,x ≠0,y ≠0.又|b|2=(x e1+y e2)2=x2+y2+3xy,33,不妨设=t,则3,当t=-3时,t2+3t+1取得最小值,此时取得最大值,所以的最大值为2.17.解 (1)∵B=π-(A+C),∴2sin A cos C=2sin B-sin C=2sin A cos C+2cos A sin C-sin C,∴2cosA sin C=sin C.∵sin C≠0,∴cos A=.由A∈(0,π),可得A=3.(2)∵在锐角三角形ABC中,a=3,由(1)可得A=3,B+C=3,∴由正弦定理可得:33=2,∴c+b=2sin C+2sin B=2sin B+2sin3-=3sin B+3cos B=23sin.∵B∈,可得B+33,∴sin3,可得b+c=23sin∈(3,23].18.解 (1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下图:女性用户男性用户由图可得女性用户更稳定.(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分的有6人,其中评分小于90分的人数为4,记为A,B,C,D,评分不小于90分的人数为2,记为a,b,设事件M为“两名用户评分都小于90分”,从6人中任取2人,基本事件空间为Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D, b),(a,b)},共有15个元素.M={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个元素.P(M)=.19.证明 (1)连接OE,GE,GF,FO.∵点E,F,G分别为PC,AD,PD的中点,四边形ABCD为平行四边形,∴GE∥DC,且GE=DC,OF∥DC,且OF=DC,∴OF∥GE且GE=OF,故得四边形OFGE为平行四边形.∴FG∥EO,EO⊂平面BDE,FG⊄平面BDE,∴FG∥平面BDE.(2)由题意,FG∥AP,PA⊥PD,∴FG⊥PD.∵FG∥EO,∴EO⊥PD,又OP=OA,取AP的中点Q,连接OQ, 则OQ⊥AP,OQ∥PC,∴PC⊥AP,AP∥FG∥EO,∴EO⊥PC,∵⊂平面⊂平面∴EO⊥平面PCD.∵EO⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面PCD.20.解 (1)由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D-,又N(0,-m),所以|ND|2=-,整理得|ND|2=3,因为|NF|=|m|,所以3=1+3.令t=8k2+3,t≥3故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+3,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤ +3=4,由(*)得-<m< 且m≠0,故.设∠EDF=2θ,则sin θ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为3,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值3.21.(1)解∵f(x1)+g(x2 ≥m,∴f(x1 ≥m-g(x2),∴f(x1)min≥ m-g(x2)]min,∴f(x1)min≥m-g(x2)max,当x ∈时,f'(x )=e xcos x+(e x+1)sin x>0,函数f (x )在上单调递增,∴f (x )min ≥f (0)=-1.由已知g'(x )=cos x-x sin x- e x,∵x ∈,∴ ≤c x ≤ x sin x ≥ e x ≥ e,∴g'(x ≤ ∴函数g (x )在上单调递减,∴g (x )max ≥g (0)=- , ∴- ≥m+ ,∴m ≤-1- ,∴实数m 的取值范围为(-∞,-1- ].(2)证明当x>-1,要证f (x )-g (x )>0,只要证f (x )>g (x ),只要证e x sin x-cos x>x cos x- e x ,即证e x(sin x+ )>(x+1)cos x , 由于sin x+ >0,x+1>0, 只要证,令h (x )=(x>-1), ∴h'(x )=,当x ∈(-1,0)时,h'(x )<0,h (x )单调递减,当x ∈(0,+∞)时,h'(x )>0,h (x )单调递增,∴h (x )min =h (0)=1.令k= ,其可看作点A (sin x ,cos x )与点B (- ,0)连线的斜率, ∴直线AB 的方程为y=k (x+ ),由于点A 在圆x 2+y 2=1上,∴直线AB 与圆相交或相切, 当直线AB 与圆相切且切点在第二象限时,直线AB 的斜率取得最大值为1, ∴当x=0时,k=<1=h (0),当x ≠0时,h (x )> ≥k , 综上所述,当x>-1,f (x )-g (x )>0.22.解 (1)由于x=ρcos θ,y=ρsin θ,曲线C 的方程为ρ2=3,转化成3+y 2=1.点R 的极坐标转化成直角坐标为R (2,2). (2)设P ( 3cos α,sin α), 由题意不妨设Q (2,sin α),则|PQ|=2- 3cos α,|QR|=2-sin α, 所以|PQ|+|QR|=4-2sin3.当α=时,(|PQ|+|QR|)min =2,矩形的最小周长为4,点P 3. 23.(1)解当a=2时,不等式f (x ≥ -|2x-5|,可化为|x-2|+|2x-5|≥ .①x ≥ .5时,不等式可化为x-2+2x- ≥ ∴x ≥ 33;② ≤x<2.5,不等式可化为x-2+5-2x ≥ ∴x ∈⌀;③x<2,不等式可化为2-x+5-2x ≥ ∴x ≤3.综上所述,不等式的解集为 -∞3 33 ∞ .(2)证明不等式f (x ≤ 的解集为[a-4,a+4]=[-1,7],∴a=3,∴ 3 (2s+t )= 3≥ 当且仅当s=,t=2时取等号.。

2019届高考数学仿真模拟试卷及答案(二)

2019届高考数学仿真模拟试卷及答案（二）（总分：150分时间：120分钟）一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1.设复数z 满足i i21=+z，则 z =( )A.i 2+-B.i 2--C.i 2+D.i 2- 考察内容：复数的四则运算、共轭复数答案：C 解析：省略点评：本题考查基础知识，较简单，全国卷命题特点也是把复数作为第一小题考查2.设集合{}0,0)6103(|20>=+-⎰=x dt t t x P x,则集合P 的非空子集个数是( )A.2B.3C.7D.8 改编考查内容：定积分的计算、集合的真子集个数答案：B 解析：省略点评：本题具有一定的综合性3．如图给出的是计算1＋13＋15＋17＋19的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是 ( ) A．2,5?n n i =+>B ． 2,5?n n i =+= C．1,5?n n i =+=D ．1,5?n n i =+>考查内容：程序框图答案：A 解析：省略点评：本题考察基础知识，只要学生读懂程序框图即可 4.已知R x x ∈21,，则021>+x x 是221>+x x e e 的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件原创考查内容：命题的充分必要条件答案：A解析：充分性可由基本不等式得到，反之，已知221>+x x e e ，可举出反例，比如， 1,321=-=x x5.在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（） A.)3,0(π B.]3,0(π C.),3[ππ D.),3(ππ考查内容：余弦定理与导数答案：D 解析：省略点评：本题具有一定的综合性6.已知y x ,的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且 ax y +=∧95.0，则=a （）x0 1 3 4 y2.2 4.3 4.8 6.7A.2.6B. 2.9C. 2.8D.2.2考查内容：线性回归方程答案：A解析：由样本中心点在回归直线上可得正确答案点评：本题考察基础知识，实际上，从近三年全国卷的命题特点看，统计和概率什么地方都可能考7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A.π36B.π9C.π29 D.π827考查内容：三视图，球心位置的确定，球的体积公式答案：C解析：可以把几何体补成一个正四棱柱求解点评：本题难点在于球心位置的确定8.已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PB PA ,是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，B A ,为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（）A ．4B ．22C ．2D ．2 考查内容：直线与圆答案：C 解析：省略点评：9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．()1+∞，B ．(]1,2C ．(1,3⎤⎦D ．(]1,3考查内容：双曲线的定义，基本不等式，离心率的计算答案：D解析：利用定义，把||1PF 换掉，再由基本不等式可得正确答案点评：本题具有一定难度10.已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=，若函数)(x f 在)21,0(上无零点，则a 的一个值可以是（）A.4-B.2-C.1-D.21-改编考查内容：导数答案：D解析：分离变量法求出a 的范围即可，也可由排除法得出正确答案点评：从近三年看，导数都作为选择题的压轴题，命题与全国卷相符合.第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.4)31(x x -的展开式中常数项为 .（用数字表示）考查内容：二项展开式答案：23解析：根据二项式定理直接展开，可得出正确答案点评：本题考察基础知识，属于容易题12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为 . 考查内容：向量答案：[]4,6 解析：可以建系求解点评：本题在向量当中属于中档题，全国卷中考察的向量较为简单13.已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()()()(111098=+++x f x f x f x f ，则2015x 的值为．原创考查内容：函数单调性、奇偶性、数列答案：4011解析：1,1109=-=x x ，可推出2015x 的值点评：本题具有一定的综合性，有一定的难度，质量不错14.圆122=+y x 上有三点，坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，且0321321=++=++y y y x x x ，则=++232221x x x ．改编：考查内容：三角函数定义，三角恒等变换答案：23解析：省略点评：本题是北京大学自主招生考试上的大题改编的，改成填空题已经降低了难度，学生可以去特殊值进行计算，具有一定的区分度15.如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1(不含端点）上的动点，则下列结论正确的有 .①11DC D P ⊥ ②平面11D A P ⊥平面1A AP ③1APD ∠的最大值为90 ④1AP PD +的最小值为22+⑤当P 为B A 1中点时，用过P 点、1CC 中点、1D 的平面去截正方体，则所得的截面为菱形. 改编考查内容：立体几何答案：①②④ 解析：省略点评：本题具有一定的综合性，有一定的难度，尤其考了几何体的展开与截面问题，是一道好题三.解答题(本大题共6小题,共75分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等) 16．（本小题满分12)如图，已知单位圆上有四点()()1,0,cos ,sin ,E A θθxy AEBCO θ（第16题图）（第15题图）()()cos 2,sin 2,cos3,sin 3,03B C πθθθθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为12S S 和. （1）用sin cos θθ，表示12S S 和；（2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值. 考查内容：三角函数，三角形的面积公式，三角恒等变换解析：（1）根据三角函数的定义，知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠=所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=，所()11111sin 3sin222S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S =+四边形OABC 的面积＝θsin ，所以()21s i n s i 2S θθθ=-=-. （6分）（2）由（1）知()12sin 1cos sin cos sin cos 12sin 1cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭. 因为03πθ<≤，所以4412πππθ-<-≤，所以262sin()sin 24124ππθ--<-≤=，所以12cos sin S S θθ+的最大值为4232+，此时θ的值为3π. （12分）点评：本题属于基础题，较简单 17.（本小题满分12分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核. （1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X ，X 的分布列为求数学期望EX ；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小. （只需写出结论）考查内容：抽样、分布列及数学期望、方差答案：（1）男3，女2（2）：2323551(3)10A A P X A ===. 因为 321105a b +++=，所以15b =.所以 113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）2212s s =.解析：第三问可由方差的性质得到，即)()(2x D a b ax D =+点评：本题主要考察基础知识，第三小问考察了学生的观察能力，如果硬算，既费时也费力18.（本题满分12分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点．在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点G ， H .（1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且AE PA =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，X 3 21 0 Pab310 25并求线段PH 的长．考查内容：线线平行的证明方法、线面角解析：（Ⅰ）在正方形MADE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ，又因为AB ⊄平面PDE 所以//AB 平面PDE因为AB ⊂平面ABF ，且ABF ⋂平面PDE FG =，所以//AB FG（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AB PA AE ⊥⊥如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =，设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-，所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==⋅因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π设点H 的坐标为(,,)u v w ，因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-，所以2,,22u v w λλλ===-因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH ⋅=，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--= 解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,)333，所以222424()()()2333PH =++-=点评：学生在学习立体几何时，容易遗忘线面平行的性质定理，而本题恰恰考了该考点，很好19．(本题满分13分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围.改编考察内容：函数的极值，求参数范围解析： 2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内，Ⅲ12-Ⅰy xⅡO Ⅳ（第19题） Ⅲ12-ⅠyxⅡO Ⅳ（第19题）于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………∵210x +>，∴l n (21)21x a x +>+．令l n (21)()21x h x x +=+，∴222l n (21)()(21)x h x x -+'=+．令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增， e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1e a >． ……………………………………………点评：本题将图与函数结合起来，要求学生具有很好的推理能力，该题考察了学生的能力20.（本题满分13分）已知椭圆的焦点坐标为1F )0,1(-，2F )0,1(，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点，且3||=PQ .（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点N M ,，则MN F 1∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.考察内容：椭圆的标准方程、内切圆半径公式，直线与圆锥曲线的位置关系解析：(1)设椭圆方程为12222=+by a x （a >b >0）,由焦点坐标可知1=c 由3=PQ 可得1,332222=-=b a b 得3,2==b a 故椭圆的方程为13422=+y x . (2)设),,(),,(2211y x N y x M 不妨1y >0,2y <0,设MN F 1∆的内切圆半径为R ,则MN F 1∆的周长为8，=S ,4)(2111R R N F M F MN =++因此要使S 最大，则R 最大.=S 212121)(21y y y y F F -=- 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为,1+=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113422my x y x 得439,436096)43(22122122+-=+-=+=-++m y y m m y y m y y m1113121)1(3112431124)(2222222122121+++=+++=++=-+=-=m m m m m m y y y y y y S 当0=m 时S 取最大值为3，∴=R 43.这时所求内切圆的面积最大值为π169，此时的直线方程为1=x .点评：本题具有一定的综合性，有一定难度21.（本题满分13分）设函数2)1()(x x x f n n -=在]1,21[上的最大值为n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：),2()2(12*∈≥+≤N n n n a n ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：)(167*∈<N n S n . 改编：考察内容：用导数的方法研究函数的最值、二项式定理放缩证明不等式、数列放缩求和解析：点评：该题将函数与数列结合起来，综合性大，难度大。

2019届高考数学二轮复习仿真冲刺卷一文(含答案)

仿真冲刺卷(一)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=+i5的共轭复数为( )(A)1-2i (B)1+2i (C)i-1 (D)1-i2.(2018·安徽淮北一模)已知A={x|x2-2x-3≤0},B={y|y=x2+1},则A∩B等于( )(A)[-1,3] (B)[-3,2] (C)[2,3] (D)[1,3]3.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2018·吉林调研)从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示:若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为( )第4题图(A)30 (B)25 (C)22 (D)205.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若∥,则实数m的值为( )(A)(B)-(C)3 (D)-36.函数f(x)=x2+ax+b的部分图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )第6题图(A)(,) (B)(1,2) (C)(,1) (D)(2,3)7.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )第7题图(A)7 (B)8 (C)9 (D)108.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则簪裹得( )(A)一鹿、三分鹿之一 (B)一鹿(C)三分鹿之二 (D)三分鹿之一9.(2018·上饶校级一模)观察下列各式:=2·,=3·,=4·,…,若=9·,则m等于( )(A)80 (B)81 (C)728 (D)72910.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )(A)29π (B)30π (C) (D)216π11.已知O为坐标原点,点A的坐标是(2,3),点P(x,y)在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则·的取值范围是( )(A)[4,10] (B)[6,9] (C)[6,10] (D)[9,10]12.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(0)=-f(),在(0,)上有且仅有三个零点,则ω可能为( )(A)(B)2 (C)(D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·泉州质检)已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .14.已知函数f(x)=4x+1,g(x)=4-x.若偶函数h(x)满足h(x)=mf(x)+ng(x)(其中m,n为常数),且最小值为1,则m+n= .15.(2018·河南一诊)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,若S99=,则k= .16.(2018·浙江高考全真模拟)设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,b s i n(-C)-csin(-B0=a.(1)求B和C;(2)若a=2,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求三棱锥D AA1C1的体积.19.(本小题满分12分)某校高三年级为了解文科班学生对会议的知晓情况,随机对100名学生进行调查,调查问卷共10道题,答题情况如表:答对题目数[0,8) 8 9 10 女 2 13 12 8男 3 37 16 9 (1)如果某学生答对题目大于等于9,就认为该学生对会议的知晓情况比较好,试估计该校高三文科班学生对会议知晓情况比较好的概率;(2)从答对题目数小于8的学生中选出2人做进一步的调查,求选出的2人中至少有一名女生的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2- 4ρ(sin θ+cos θ)+4=0.(1)写出直线l的极坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π).23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求实数a的取值范围;(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.1.A 因为z=+i5,所以z=+i=i(1-i)+i=1+2i.所以=1-2i.故选 A.2.D A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={y|y=x2+1}={y|y≥1},则A∩B={x|1≤x≤3}=[1,3],故选D.3.B ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.4.D 50×(1.00+0.75+0.25)×0.2=20,故选 D.5.D 向量=(3,-4),=(6,-3),=(3,1),=(2m,m+1),若∥,可得3m+3=2m,解得m=-3.故选 D.6.C 由图象得a+b+1=0,0<b<1,所以-2<a<-1,因为g(x)=ln x+2x+a在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=a+2>0,g()=a+1-ln 2<0,所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是(,1).7.D 根据程序框图,知当i=4时,输出S,因为第一次循环得到:S=S0-2,i=2;第二次循环得到:S=S0-2-4,i=3;第三次循环得到:S=S0-2-4-8,i=4;所以S0-2-4-8=-4,解得S0=10.8.B 由题意可知,五人按等差数列进行分五鹿,设大夫得的鹿数为首项a1,且a1=1+=,公差为d,则5a1+d=5,解得d=-,所以a3=a1+2d=+2×(-)=1,所以簪裹得一鹿,故选 B.9.C =2·=2·,=3·=3·,=4·=4·,…所以=n·,所以=9·=9·,所以m=93-1=729-1=728;故选 C.10.A 由三视图复原几何体,几何体是底面为直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,它的对角线的长为球的直径d==,球的半径R=.该三棱锥的外接球的表面积S=4×π×()2=29π,故选 A.11.C 设z=·,则z=2x+3y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+3y得y=-x+z,平移直线y=-x,由图象可知当直线y=-x+z经过点C(3,0)时,直线y=-x+z的截距最小,此时z最小,此时z min=2×3=6,直线y=-x+z经过点B时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,由解得即B(2,2),此时z max=2×2+3×2=10,故6≤z≤10.故选 C.12.C 由f(0)=-f()得sin(-)=-sin(-),所以-=+2kπ或π+2kπ,k∈Z,所以ω=+4k或2+4k,k∈Z,又f(x)在(0,)上有且仅有三个零点.所以T<<1.5T,由f(x)=0得ωx-=nπ,n∈Z,x=+,n∈Z,当n=0时x=,当n=1时x=,当n=2时x=,当n=3时x=,所以<≤得<ω≤,由ω=+4k,当k=1时ω=.故选C.13.解析:由椭圆方程知A(-2,0),B(0,),F(1,0),则=(2,),=(3,0),所以·=6. 答案:614.解析:由题意,h(x)=mf(x)+ng(x)=m·4x+m+n·4-x,h(-x)=m·4-x+m+n·4x,因为h(x)为偶函数,所以h(x)=h(-x),所以m=n,所以h(x)=m(4x+4-x)+m,因为4x+4-x≥2,所以h(x)min=3m=1,所以m=,所以m+n=.答案:15.解析:当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,即为(k-S n)(S n-)=-,所以kS n-kS n-1-+S n S n-1=-.即k(S n-1-S n)=S n S n-1.所以k(-)=1,即-=.所以-=,-=,…-=,故-=.所以-=.所以=1+.可得S n=.由S99=,可得=,解得k=2.答案:216.解析:(1)当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1为增函数,f(x)>-1,当x>1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=-1, 当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增,故当x=时,f(x)min=f()=-1,(2)设h(x)=2x-a,x<1,g(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1,令h(x)=0,则2x=a,因为x<1,所以0<2x<2,即当0<a<2时,函数h(x)有一个零点;令g(x)=0,易知函数g(x)的零点与x=a,x=2a有关.当a≤0时,g(x)无零点;当a>0时,若2a<1时,即0<a<时,g(x)无零点.若a<1≤2a时,即≤a<1时,g(x)有一个零点.若a≥1时,g(x)有两个零点,综上所述,可知当≤a<1或a≥2时,函数f(x)恰有2个零点.答案:(1)-1 (2)≤a<1或a≥217.解:(1)由正弦定理得bsin(-C)-csin(-B)=a可化为sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.所以sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=, 即sin Bcos C-cos Bsin C=1,所以sin (B-C)=1.因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=.又A=,所以B+C=π,解得B=π,C=.(2)由(1)B=π,C=,由正弦定理,得b===4sin π.所以△ABC的面积S=absin C=×2×4sin πsin=4sinπsin=4cos sin=2sin =2.18.(1)证明:因为AC=3,AB=5,BC=4,所以AC⊥BC.由题意得CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以AC⊥CC1,又BC∩CC1=C,BC?平面BCC1B1,CC1?平面BCC1B1,所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1?平面BCC1B1,所以AC⊥BC1.(2)证明:设CB1与C1B的交点为E,连接DE.因为四边形BCC1B1是平行四边形,所以E是BC1的中点.因为D是AB的中点,所以DE∥AC1.又因为DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.(3)解:===S△ABC·CC1=××3×4×4=8.因为D是AB的中点,所以==4.19.解:(1)答对题目数小于9的人数为55,记“答对题目数大于等于9”为事件A,P(A)=1-=0.45.(2)设答对题目数小于8的学生为A,B,C,D,E,其中A,B为女生,任选出2人包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种,至少有一名女生的事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,共7种,记“选出的2人中至少有一名女生”为事件M,则P(M)==0.7.20.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0?m2<4.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d==.因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值 2.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增, 故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].22.解:(1)因为直线l的参数方程为(t为参数), 所以消去参数t,得到直线l的普通方程x+y-2=0,再将代入x+y-2=0,得ρcos θ+ρsin θ=2. (2)联立直线l与曲线C的极坐标方程因为ρ≥0,0≤θ<2π,所以解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2,0),(2,).23.解:(1)由f(x)≤2-|x-1|,即为|x-|+|x-1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x-|+|x-1|≥|-1|,由不等式f(x)≤2-|x-1|有解,所以|-1|≤1,即0≤a≤4.所以实数a的取值范围为[0,4].(2)当a<2时,知<1.所以f(x)=如图可知f(x)在(-∞,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f()=-+1=3,得a=-4<2(合题意),即a=-4.。

2019高考数学模拟试卷(一)(文科)[1]

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高三数学（文）试题（第1页共12页）高三数学（文）试题（第2页共12页）2019年高考数学模拟试卷（一)（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}2,1{-=A ，{|02}B x Z x =∈≤≤，则=B A A ．}0{B ．}2{C ．}4,3,1,0{D ．∅2．已知i 为虚数单位，复数)2(i i z -=，则=||z A ．1B ．3C ．5D ．33．长方体内部挖去一部分的三视图如图所示,则此几何体的体积为A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234．若)1,1(=a ,)1,1(-=b ,)4,2(-=c ，则以a 、b 为基底表示的c 等于4高三数学（文）试题（第3页共12页）A ．b a 3-B ．b a 3+-C ．b a -3D ．b a +-35．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最小值为A ．32B ．12-C ．3D ．3-6．已知某程序框图如图所示,A ．1-B ．21C ．1D ．27．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人，次日转多七人,每人日支米三升”。

2019年浙江高考数学二轮复习练习：仿真卷1 Word版含答案

2018年浙江高考仿真卷(一) (对应学生用书第163页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A. 3 B. 5 C. 6D.7B [由题意得z ＝11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，则|2z －3|＝|－2＋i|＝－22＋12＝5，故选B.]2．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 C [⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝1＋4a b ＋b a ＋4≥5＋24ab·ba＝9，当且仅当2a ＝b 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为9，故选C.] 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34D ．±33A [因为点M 到抛物线的焦点的距离为2p ，所以点M 到抛物线的准线的距离为2p ，则点M 的横坐标为3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，±3p ，所以直线MF 的斜率为±3，故选A.]4．函数f (x )＝x ecos x(x ∈[－π，π])的图象大致是( )B [由题意得f (－x )＝－x ecos(－x )＝－x ecos x＝－f (x )(x ∈[－π，π])，所以函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点成中心对称，排除A 、C.又因为f ′(x )＝e cos x＋x ecos x·(－sin x )，则f ′(0)＝e ，即函数f (x )在原点处的切线的斜率为e ，排除D ，故选B.]5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )图1A ．14B.2132 C ．22 D.2732A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×12×2×3＋13×2×12×2×3＝14，故选A.]6．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，PA ＝2，则三棱锥P ABC 外接球的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28πD ．32πA [因为∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，所以△ABC 为边长为23的等边三角形，则其外接圆的半径r ＝232sin 60°＝2，则三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＝5，则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝20π，故选A.]7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A．50 B．80C．120 D．140B[当甲组有两人时，有C25C23A22种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C35A22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C25C23A22＋C35A22＝80种不同的分配方案，故选B.]8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的实数x的取值范围为( )A．{x|x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)B[设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)<2，即2f(x)＋xf′(x)－2<0，所以当x>0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]<0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x<0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]>0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)<x2－1⇔x2f(x)－x2<f(1)－1⇔g(x)<g(1)⇔|x|>1，解得x<－1或x>1，故选B.]9．已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2B[∵f(x)＝x2＋3x，∴f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，∴|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，∵|x－a|≤1，∴a－1≤x≤a＋1，∴2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B.]10．如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则( )图A ．α<∠A ′CDB ．α>∠A ′CDC ．α<∠A ′CAD ．α>∠A ′CAD [∵AB ∥CD ，∴∠A ′BA 为异面直线CD 与A ′B 所成的角α，假设四边形ABCD 是正方形，AB ＝2，平面A ′BD ⊥平面ABCD ，连接AC 交BD 于点O ，连接A ′A ，A ′C ，则A ′O ⊥平面ABCD ，A ′O ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC ＝2，∴A ′A ＝A ′C ＝A ′B ＝A ′D ＝2，∴△A ′BA ，△A ′CD 是等边三角形，△A ′CA 是等腰直角三角形，∴∠A ′CA ＝45°，∠A ′CD ＝∠A ′BA ＝60°，即α>∠A ′CA ，α＝∠A ′CD ，排除A ，B ，C ，故选D.]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________，∁R A ＝________.(1,4) (－∞，－1]∪[4，＋∞) [A ＝(－1,4)，B ＝(1,5)，所以A ∩B ＝(1,4)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．]12.⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式中常数项为________(用数字作答)．135 [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝36－r C r6x，令6－32r ＝0，得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式中常数项为32C 46＝135.] 13．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OB →·OC →＝____________，cos A ＝__________.－45 1010 [由4OB →＋5OC →＝－3OA →，|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1得(4OB →＋5OC →)2＝9OA →2，即16＋25＋40 OB →·OC →＝9，OB →·OC →＝－45，OB →·OC →＝1×1×cos∠BOC ＝－45，解得cos ∠BOC ＝－45，因为∠BOC ＝2∠A ，所以cos A ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1010.] 14. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，x ≥1，点(x ，y )对应的区域的面积________，x 2＋y 2xy的取值范围为________．85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 [不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75为顶点的三角形区域，该区域的面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫135－1＝85.yx 的几何意义是可行域上的点(x ，y )与原点连线的斜率，当(x ，y )为点⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝713，当(x ，y )为点(1,3)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，令y x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，则x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1t ＋t ，当t ＝1时，取得最小值2，当t ＝3时，取得最大值103，故x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.]15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线的渐近线方程为________．2x ±y ＝0 [由题意不妨设|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c >2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.]16．甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________，方差D (X )＝________.23 49 [由题意可得X 的可能取值有0,1,2，P (X ＝0)＝2×23×3＝49，P (X ＝1)＝C 12×23×3＝49，P (X ＝2)＝13×3＝19，则数学期望E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23，方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×19＝49.] 17．若函数f (x )＝x 2(x －2)2－a |x －1|＋a 有四个零点，则a 的取值范围为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＝－3227或－1<a <0或a >0[显然x ＝0和x ＝2为函数f (x ) 的两个零点．当x ≠0且x ≠2时，令x 2(x －2)2－a |x －1|＋a ＝0得a＝x 2x －22|x －1|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －2，x ≥1，－x x －22，x <1，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －2，x ≥1，－x x －22，x <1，则由题意得直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g (x )的图象如图所示，由图易得当a ＝－3227或－1<a <0或a >0时，直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，即a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＝－3227或－1<a <0或a >0.] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12.(1)求b ；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S .[解] (1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋B ＋π3，由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以B ＝π6＋k π，k ∈Z .5分又0<B <π，故B ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝ 3.7分 (2)因为B ＝π6，b ＝3，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝32，12分所以A ＝π3或A ＝2π3.当A ＝π3时，△ABC 的面积S ＝332；当A ＝2π3时，△ABC 的面积S ＝334.14分19．(本小题满分15分)如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.图3(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． [解] (1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°， ∴AB ＝2.∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. 2分∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ，5分∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面BFED .7分(2)由(1)可建立以直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP ＝λ(0≤λ≤3)，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0，λ，1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BP →＝(0，λ－3，1)，8分设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BP →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，λ－3y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝(3，1，3－λ).12分 ∵n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝13＋1＋3－λ2×1＝1λ－32＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝3时，cos θ有最大值12.∴θ的最小值为π3.15分20．(本小题满分15分)设函数f (x )＝1－x ＋1＋x . (Ⅰ)求函数f (x )的值域；(Ⅱ)当实数x ∈[0,1]，证明：f (x )≤2－14x 2.[解] (Ⅰ)函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∵f ′(x )＝1－x －1＋x21－x2，当f ′(x )>0时，解得－1<x <0，当f ′(x )<0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增， 4分 ∴f (x )min ＝f (1)＝f (－1)＝2，f (x )max ＝f (0)＝2， 7分∴函数f (x )的值域为[2，2]．(Ⅱ)证明：设h (x )＝1－x ＋1＋x ＋14x 2－2，x ∈[0,1]，h (0)＝0，∵h ′(x )＝－12(1－x )－12＋12(1＋x )－12＋12x＝12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－21－x21＋x ＋1－x ，10分∵1－x 2(1＋x ＋1－x )＝1－x 2·2＋21－x 2≤2， ∴h ′(x )≤0.∴h (x )在(0,1)上单调递减， 13分又h (0)＝0，∴h (x )≤h (0)＝0， ∴f (x )≤2－14x 2.15分21．(本小题满分15分)已知椭圆C 1：x 24＋y 23＝1，抛物线C 2：y 2＝4x ，过抛物线C 2上一点P (异于原点O )作切线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．图4(1)求切线l 在x 轴上的截距的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设P (t 2,2t )(t ≠0)，显然切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为y －2t ＝k (x －t 2)，即y ＝k (x －t 2)＋2t .1分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t 2＋2t ，y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y －4kt 2＋8t ＝0，由Δ＝16－16k (－kt 2＋2t )＝0，得k ＝1t，从而切线l 的方程为x ＝ty －t 2，3分令y ＝0，得切线l 在x 轴上的截距为－t 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －t 2，x 24＋y23＝1，得(3t 2＋4)y 2－6t 3y ＋3t 4－12＝0，令Δ＝36t 6－12(3t 2＋4)(t 4－4)>0，得0<t 2<4，则－4<－t 2<0，6分故切线l 在x 轴上的截距的取值范围为(－4,0).7分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知y 1＋y 2＝6t 33t 2＋4，y 1y 2＝3t 4－123t 2＋4，|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋t 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫6t 33t 2＋42－43t 4－123t 2＋4 ＝43·1＋t 2·－t 4＋3t 2＋43t 2＋42， 9分原点O 到切线l 的距离为d ＝t 21＋t2，∴S ＝12|AB |×d ＝23·t 4－t 4＋3t 2＋43t 2＋42. 12分令3t 2＋4＝u ，∵0<t 2<4，∴4<u <16，则有S ＝23·u －429⎣⎢⎡⎦⎥⎤－u －429＋u u2＝239·u 2－8u ＋16－u 2＋17u －16u 2，∴S ＝239·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u －8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u＝239·－⎝⎛⎭⎪⎫u ＋16u 2＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u －136. 令y ＝u ＋16u，∵4<u <16，∴y ＝u ＋16u在(4,16)上为增函数，得8<y <17，∴S ＝239·－y 2＋25y －136，当y ＝252∈(8,17)时，S max ＝239·－6254＋6252－136＝ 3. 14分由y ＝u ＋16u ＝252得u ＝25＋3414，有t ＝3＋412<2，故当t ＝3＋412时，△OAB 面积S 有最大值 3. 15分22．(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n a n ＝13n ＋r .(1)若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，设b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ≥2n 3n ＋1. [解] (1)令n ＝1，得13＋r ＝1，∴r ＝23，1分则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，∴S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，两式相减得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)， 3分∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31·42·53·…·n ＋1n －1，化简得a n a 1＝n n ＋11×2(n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n (n ≥2)，6分又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n . 7分 (2)证明：由(1)知a 2n －1＝(2n －1)·2n ， ∴b n ＝1a 2n －1＝12n －12n ＝12n －1－12n ，∴T 1＝12≥23＋1不等式成立， ∴T n ＝11－12＋13－14＋15－16＋…＋12n －1－12n (n ≥2)，∴T n ＝11＋12＋13＋…＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝11＋12＋13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋…＋1n ，∴T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，10分 ∴2T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋12n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋k ＋12n －k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1n ＋1.∵1n ＋k ＋12n －k ＋1＝3n ＋1n ＋k 2n －k ＋1≥43n ＋1(仅在k ＝n ＋12时取等号)，∴2T n ≥4n 3n ＋1，即结论T n ≥2n3n ＋1成立. 15分。