重庆市2017届高三下学期第一次月段考试数学理科试题Word版含答案

2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考
数学试卷（理科）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = A. 12i + B. 12i - C. 12i -+ D. 12i --
2.已知{}{},|12,|3U R M x x N x x ==-≤≤=≤，则()U C M N =
A. {}
|123x x x <-<≤或 B. {}|23x x <≤ C. {}
|123x x x ≤-≤≤或 D. {}|23x x ≤≤ 3.下列说法正确的是 A. 1
,"
1"a R a
∈<是"1"a >的必要不充分条件 B. “p q ∧”为真命题是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件
C. 命题"x R ∃∈,使得2230"x x ++<的否定是 "x R ∀∈,2230"x x ++>
D.命题:",sin cos 2"p x R x x ∀∈+≤
，则p ⌝是真命题
4.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且其图象向左平移
3
π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象 A. 关于直线12
x π
=
对称 B. 关于直线512
x π
=
对称 C. 关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D. 关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 取值范围是 A. (]2,4 B. ()2,+∞ C. (]4,10 D. ()4,+∞
7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式2
148
V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2
175
V L h ≈
相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 A. 256 B. 258 C. 253 D.254
8.等比数列{}n a 中，181,4a a ==，函数()()()()
()123n f x x x a x a x a x a =----，若
()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '=
A. 1
B. 02
C. 122
D.152
9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为 A.
110 B. 23 C. 13 D.14
10.已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为22，若直线
32y x =-与椭圆交于点M,满足12211
2
MF F MF F ∠=∠，则离心率是
A.
2
B. 31
C.
31- D. 3
11.点M 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为 A.
252π B. 52
π
C. 2102π
D.102π
12.已知函数())x f x x R =
∈，若关于x 的方程()()211
1022
f x mf x m -
+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是 A. 22,2e
e ⎛
⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 21,1e e ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
C. 21,12e e ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
D. 22,22e
e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (
5
ax x 的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = .
14. 已知
R α∈，则函数()()()()21sin cos sin f x x x x ααα=-++++的最大值
为 .
15. 一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左到右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是 .
16. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中正确的序号为 .
①DMN ∆可能是直角三角形；②三棱锥1A DMN -的体积为定
值；③平面DMN ⊥平面11BCC B ；④平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为
0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且cos 2cos C a c
B b
-=
，且 2.a c += （1）求角B;
（2）求边长b 的最小值.
18.（本题满分12分） 某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[]80,90间的矩形的高；
（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u 表示分数在[]80,90之间被选上的人数，v 表示分数在之[]90,100间被选上的人数，记变量
u v ξ=-，求ξ的分布列和期望.
19.（本题满分12分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于,G H 两点.
（1）求证：//AB FG ；
（2）若PA ⊥平面ABCDE ，且PA AE =，求平面PCD 与平面ABF 所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH 的长.
20.（本题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点()1,0F -，过点F 作与x 轴垂直的直线与
椭圆交于M,N 两点，且 3.MN = （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0F -的直线交椭圆于A,B 两点，线段AB 的中为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，若1
2
S S λ=，求λ的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数()()2
2ln .f x c x x c R =-∈
（1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）若1c =，设函数()()g x f x mx =-的图象与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点，且
120x x <<，又()y g x '=是()y g x =的导函数，若正常数,a b 满足1,a b b a +=≥，证明：
()120g ax bx '+<
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程为(
)
2sin a ρ
θθ-=，曲线2C 的参数方程为
sin cos 1sin 2x y θθ
θ
=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），且1C 与2C 有两个不同的交点. （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）求实数a 的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()223,1 2.f x x a x g x x =-++=-+ （1）解不等式()22g x x <-+；
（2）若对任意1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.。