2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文科)试卷参考答案

直线 AM 与直线 PC 所成的角为 600
∴ ∠AMN = 600
在 ΔACN 中，由勾弦定理得 AN = 2
在 RtΔAMN 中， MN = AN ⋅ cot ∠AMN = 2 × 3 = 6 33
在 RtΔBNH 中， NH = BN ⋅sin ∠ABC = BN ⋅ AC = 1× 5 = 5
=
2n−1 a1
=
2n−1 lg
x1 x1
+2 −2
=
2n−1 lg 3 ，
即 lg xn + 2 = 2n−1 lg 3 ，从而 xn + 2 = 32n−1
xn − 2
xn − 2
( ) 2 32n−1 +1
所以 xn = 32n−1 −1
( ) 2 32n−1 +1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 xn = 32n−1 −1
AB
55
6 在 RtΔMNH 中， tan ∠MHN = MN = 3 = 30
NH 5 3
5
故二面角 M − AB − C 的平面角大小为 arctan 30 3
（Ⅲ）因多面体 PMABCs 就是四棱锥 A − BCPM
PC = MN = 6 , PM = 1 3
∴ VPMABC
= VA−BCPM
∴ OA⋅ OB = x1x2 + y1 y2 > 0
又
y1 y2
=
( kx1
+
2 ) ( kx2
+
2)
=
k 2 x1x2
+
2k
( x1
+
x2
)+
4
=
3k 2 k2 + 1
+
−8k 2 k2 + 1
+
4
=
−k2 +1 k2 + 1
4
4
4
∵ 3 + −k 2 +1 > 0 ，即 k 2 < 4 ∴ −2 < k < 2 ②
( ) 由题意知 1 3x2 − 8 = − 5 ，即 x = 1 ，又 x > 0 ∴ x = 1
3
4
从而 y2 = 1− x2 = 3 ，而 y > 0 ∴ y = 3
44
2
故点
P
的坐标是
⎛ ⎜⎜⎝1,
3⎞ 2 ⎟⎟⎠
( ) ( ) 解法二：易知 a = 2,b = 1, c = 3 ，所以 F1 − 3, 0 , F2 3, 0 ，设 P ( x, y) ，则
（13） 8
（14） π 6
（15） x = 3 （16）① ④ 2
三、解答题：
（17）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察运用所学知识与方法解决实 际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
( ) 用对立事件A来算，有 P ( A) = 1− P A = 1− 0.24 = 0.9984
∴ AC ⊥ BM
（Ⅱ）取 BC 的中点 N ，则 CN = 1 ，连结 AN , MN ，
∵ 平面PCBM ⊥ 平面ABC,平面PCBM ∩ 平面ABC = BC, PC ⊥ BC
∴ PC ⊥ 平面ABC
//
//
∵ PM CN ，∴ MN PC
∴ MN ⊥ 平面ABC
=
=
作 NH ⊥ AB 于 H ，连结 MH ，则由三垂线定理知， AC ⊥ MH ， 从而 ∠MHN 为二面角 M − AC − B 的平面角
，知 xn+1
+2
=
xn + 2 2 xn
2
，同理， xn+1 − 2 =
xn − 2 2 2 xn
故
xn+1 xn+1
+ −
2 2
=
⎛ ⎜ ⎝
xn xn
+ −
2 2
⎞2 ⎟ ⎠
从而
lg
xn+1 xn+1
+ −
2 2
=
2 lg
xn xn
+ −
2 2
，即
an+1
=
2an
{ } 所以，数列
an
成等比数列，故 an
2
2
2
PF1 ⋅ PF2
=
PF1
⋅
PF2
⋅ cos ∠F1PF2
=
PF1
⋅
PF2
⋅
PF1
+ PF2 2 PF1 ⋅
− F1F2 PF2
( ) ( ) =
1⎡ 2 ⎢⎣
x+
2
3 + y2 + x −
3
2
+
y2 −12⎤⎥⎦ =
x2 +
y2 − 3 （以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线 x = 0 不满足题设条件，可设直线 l : y = kx − 2, A( x1, y2 ), B ( x2 , y2 ) ，
⎞ ⎟⎠
n−1
b1
∴ T1 = b1 + b2 + + bn
<
b1
+
1 3
b1
+
+
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞n ⎟⎠
−1
b1
=
b1
⎡ ⎢1 − ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞n ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
1− 1
3
=
3
− 3⎛⎜⎝
1 3
⎞n ⎟⎠
<
3
( ) 综上，Tn < 3 n ∈ N *
2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（文科）试卷
参考答案
一、选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5分，满分60分
（1） A （2） C （3） B
（4） D
（5） A
（7） B （8） A （9） B （10） C （11） B
（6） C （12） D
二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 4分，满分16分
k2 + 1 k2 + 1
4
4
故由①、②得 −2 < k < − 3 或 3 < k < 2 22
（22）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决 问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得 f ' ( x) = 2x
( ) 所以过曲线上点 x0, f ( x0 ) 的切线方程为 y − f ( xn ) = f ' ( xn )( x − xn ) ，
=
1 × 1 ( PM
32
+
BC ) ⋅ PC ⋅ AC
=
1 (1+ 2)⋅
6
6 ×1= 3
6 6
（20）暂缺
（21）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识 解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知 a = 2, b = 1, c = 3
( ) ( ) 所以 F1 − 3, 0 , F2 3, 0 ，设 P ( x, y) ，则
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知 识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和 推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵ 平面PMBC ⊥ 平面ABC, AC ⊥ BC, AC ⊂ 平面ABC ∴ AC ⊥ 平面PMBC ， 又∵ BM ⊂ 面PMBC
∴ bn
=
xn
−2
=
4 32n−1 −1
>
0
∴ bn+1 bn
=
32n−1 −1 32n −1
=
1 32n−1 + 1
<
1 32n−1
≤
1 321−1
=1 3
当 n = 1 时，显然 T1 = b1 = 2 < 3
当
n
>
1 时， bn
<
1 3
bn−1
<
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞2 ⎟⎠
bn−2
<
<
⎛ ⎜⎝
1 3
所以商家拒收这批产品的概率为 27 95
（18）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角 以及计算能力。
解：（Ⅰ）由 cosα = 1 , 0 < α < π ，
7
2
得 sinα =
1− cos2 α =
1
−
⎛ ⎜⎝
1 7
⎞2 ⎟⎠
=
43 7
∴ tanα = sinα = 4 3 × 7 = 4 3 ， cosα 7 1
( ) 于是 tan 2α
= 2 tanα 1− tan2 α
= 2×4 1− 4
3
2
3
=
−8 3 47
（Ⅱ）由 0 < α < β < π ，得 0 < α − β < π
2
2
又∵ cos (α − β ) = 13 ，∴ sin (α − β ) =
14
1− cos2 (α − β ) =
1
−
⎛ ⎜⎝
⎧ y = kx − 2
联立
⎪ ⎨ ⎪⎩
x2 4
+
y2
，消去
=1
y
，整理得：