第1章点线面的投影

投影面平行线判别口诀： 一斜两直线，定是平行线；斜线在哪面，平行哪个面 （投影面）
Z b
3、一般位置直线
b b
Z
a
B a X A a

O
a
X b
O
b YW

b a Y a
YH 投影特性：1） a b、 ab、a b均小于实长 2） a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3）不反映 、 、 实角
1.2.2 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经 常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又 最为方便简捷。
(a) 直观图
(b) 利用水平投影求实长
(c) 利用正面投影求实长
[例题1.3] 已知一般位 置直线AB的两面投影， 见图1-13（a），求直 线对H投影面的倾角a 和实长。
3、一般位置平面
b a b b a
B
b
a
c A
b a C c a
投影特性：（三框） 1、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2、不反映、、 的真实角度
c
a c
b c
投影面平行面判别口诀： 一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面 （投影面）
（1）铅垂面
V P B A a a C PH c W a b c c
a
b

c
b
H

b
投影特性：（一线两框） 1、水平投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为ABC的类似形 3、abc 与OX、OY的夹角反映、角的真实大小
（2）正垂面
V
QV a c Q C a A B W a α
b
b c
b
c a

c
H
投影特性：（一线两框）
b
1、正面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OX、OZ的夹角反映α、 角的真实大小
（3 ）侧垂面 b
V
b c β c α a
（1）水平面
V
a A b c B b a a b c b a c
C b a H
c
W
b
a c
c
投影特性：（一框两线） 1、水平投影abc 反映 ABC实形 2 、abc、 abc 分别积聚为一条线
V
b a B
（2）正平面
b
b W A a c b a c b a c a b a c
[例题1.1] 已知点B的正面与侧面投影，求点B的水平投影。
Z b b
X
O
YW
b YH
四、 点的空间坐标
Z
1、点的空间位置可用 直角坐标表示： X坐标=A点到W面的距离Aa Y坐标=A点到V面的距离Aa X Z坐标=A点到H面的距离Aa 2、书写形式为A (X，Y，Z) 。
V
a
y
az
A x O a W
为了便于建立空间概念，加深对投影原理的理解，常常需 要画出具有立体感的直观图。根据点的投影，画其直观图的 方法步骤见例2.2。 【例3.2】 已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24， 12)、D(0，0，28)四点，试画出其直观图与投影图。
(a) 直观图
(b) 投影图
1.2 直线的投影
第1章 点、直线和平面的投影
1.1 点的三面投影 1.2直线的投影
1.3平面的投影
1.1点的三面投影
二、三面投影体系的建立 1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。
Z
（1）投影面
正立投影面--V (正面） 水平投影面--H (水平面） 侧立投影面--W (侧面）
V
（2）投影轴
OX轴 --- V H OY轴 --- HW OZ轴 --- VW
1.3.1 平面的表示法
1、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2） 一直线和直线外一点； （3） 平行二直线； （4） 相交二直线； （5） 任意平面图形。
b a c c b a a b
1、用几何元素表示平面 b d a a a c b c
[例题1.4] 已知直 线AB的水平投影 ab和点A的正投 影a′见图1-14 （a），并知AB 对H面的倾角a 为 30°，求直线AB 的倾角β。
[例题1.5] 已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b'[如图 (a)所示]， 线段AB与H面的夹角 =30°，求出线段AB的正面投影a'b'。
c
C
c
H
投影特性：（一框两线） 1、正面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线
（3 ）侧平面
V
c
B b a A a
b b W a c a b a
b
c
a b C
Hc
c
c 投影特性：（一框两线） 1、侧面投影abc 反映 ABC实形 2 、abc 、 abc 分别积聚为一条线
X
O
W
H
Y
（3）原点
O ---原点
2、三面投影的展开
规定正面V不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，侧 面W绕OZ轴向右旋转90°，就得到如下图所示的在同一平面 上的三个视图。
三、点的三面投影
1、点三面投影的形成
Z V a A
V
Z a a
W
X
a H
O
a W
X
O
YW
A点的水平投影 — a A点的正面投影 — a A点的侧面投影 — a
A X
O
abΒιβλιοθήκη Yab YH
投影特性： 1) a b = AB 2) ab OX ; a b OZ 3) 反映、角的真实大小
Z a A b X a
（3）侧平线
a
Z
a

a
X b

O
b

YW

O b
a
B
Y b b YH
投影特性： 1) ab = AB 2) ab OZ ; ab OYH 3) 反映 、 角的真实大小
六、 两点的相对位置及重影点的可见性
1、两点的相对位置
X坐标确定左右：大者在左； Y坐标确定前后：大者在前； Z坐标确定上下：大者在上。
2、重影点及可见性判别
重影点
----若两点位 于同一条垂直 某投影面的投 射线上，则这 两点在该投影 面上的投影重 合，这两点称 为该投影面的 重影点。
点直观图的画法
Y
a
H
YH
2、点的投影规律(特性) Z V az a y X A x O a W
V
Z a az
a
W
ax a H
X
ax ay
O
ay
YW
z
ay Y H
a
•分析： aaz = aay =o ax aax = aay = o az aaz = aax = o ay
YH
aa ox （长对正） aa oz （高平齐） aaz = aax（宽相等）
ax
a H
z
ay Y
[例题1.2] 已知点A和点B的坐标值分别为A（25,15,10）、B （16,10,0），求作这两个点的三面投影。
五、点的空间方位
正面图（V面）反映形体的上、下和左、右，不反映前、后； 平面图（H面）反映形体的前、后和左、右，不反映上、下； 侧面图（W面）反映形体的上、下和前、后，不反映左、右。
2、投影面平行线 ——与一个投影面平行，而与另两个倾斜的直线。
（1）水平线——与H面平行，与V、W面倾斜； （2）正平线——与V面平行，与H、W面倾斜； （3）侧平线——与W面平行，与V、H面倾斜。 3、一般位置直线 ——与三个投影面都倾斜的直线。
（1）铅垂线
Z a A b X O B X b a(b) O a a b
Z
a b
（3）侧垂线
a
Z b ab
ab
A X O a a b Y b
B
X
O
YW
YH
投影特性：1) ab 积聚 成一点 2) ab OYH ; ab OZ 3) ab = ab =AB
投影面垂直线判别口诀： 一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直哪个 面（投影面）
Z
a b YW
a(b)
Y
YH
投影特性：1) a b 积聚 成一点 2) a bOX ; a b OY 3) a b = a b = AB
Z ab A B O a b
（2）正垂线
ab a
z
a b
b
X a
O
X
YW
Y
b YH
投影特性： 1) ab积聚 成一点 2) ab OX ; ab OZ 3) ab = ab =AB
[例题1.6] 已知点 K从属于直线AB， 且点K将线段分成 2：3，求点K的 投影，见图1-17。
[例题1.7] 已 知侧平线AB 的两面投影 及从属于AB 的一点K的水 平投影κ， [见图1-19 （a）]，试 在两面投影 体系中求出 点K的正面投 影κ′。
1.3 平面的投影 1.3.1 平面的表示法 1.3.2 各类平面的投影及其投影特性
S
B
SW b
W c a
a
C A H
b
c
a 投影特性：（一线两框）
1、侧面投影abc 积聚为一条线 2、abc、abc 为 ABC的类似形 3、abc 与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小
投影面垂直面判别口诀： 两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面 （投影面）