变化率与导数2学案
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2__第二章 变化率与导数2.2
f(1+������x)-f(1) ������x
= ������������������
������x→0
1+1������-1 ������
=
lim
Δ������→0
1+-1������=-1,
则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
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反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔ������������ = ������(������0+ΔΔ������������)-������(������0); (3)取极限,得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0).
3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
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变化率与导数教案
变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。
高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案 北师大版选修11
2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理lim x1→x0f x1－f x0x1－x0＝____________________知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n的斜率k n是多少？思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为________的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝________________________________________________________________________. (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________________________．类型一 利用定义求导数例1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．类型二 求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2上一点A (1,2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．类型三 导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f (x )＝x 2＋1与g (x )＝x 3＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值． 引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b2．曲线f (x )＝9x在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( ) A ．－4 B ．3 C ．－2D ．14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 5．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δxf ′(x 0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PP n 的斜率k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.思考2 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 梳理 (1)点P 处 (2)li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)(3)y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0) 题型探究例1 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ， ∴Δy Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝3Δx ＋4，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 跟踪训练1 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ， 于是f ′(2)＝lim Δx →0－Δx 2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li m Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0＋Δx 2－2×12Δx＝lim Δx →0 4Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4， ∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.跟踪训练2 －3 解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0＋Δx2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4， 曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵lim Δx →0 14x 0＋Δx 2－14x 2Δx＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝12x 0. ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程． 跟踪训练3 解 lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0x ＋Δx －x ＋Δx3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2] ＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0,2x 0－x 30)． ∴切线方程为y －2x 0＋x 30 ＝(2－3x 20)(x －x 0)． 又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0， ∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时， 切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0. 例4 解 因为f ′(x0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx2＋1－x 20＋Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x 0)＝2x 0， g ′(x0)＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋1－x 30＋Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20] ＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即6x 30＝－1，解得x 0＝－3366. 引申探究 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 20，k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 20，得x 0＝0或23.跟踪训练4 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵lim Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0x ＋Δx3－x ＋Δx2＋3－x 3－2x 2＋Δx＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)． 当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解 因为lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝lim Δx →0 －1＋Δx ＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.。
人教课标版高中数学选修2-2《变化率与导数(第2课时)》教案-新版
第一章导数及其应用1.1 变化率与导数(第2课时)教学目标1.核心素养通过导数的几何意义学习，体验数形结合中的“以直代曲”，感受数与形的联系，提高抽象概括能力．2.学习目标（1）1.1.3.1通过函数图像的割线，经历割线过渡到切线的过程，了解切线的形成过程..（2）1.1.3.2通过导数的几何意义，会写出切线方程．3.学习重点导数的几何意义；体会导数思想及内涵．4.学习难点（1）从割线到切线的逼近方法的理解，将导数多方面的意义联系起来．（2）能够理解“在某一点处的切线”与“过某一点的切线”的区别.一、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7，思考任意曲线的切线与抛物线的切线的定义的不同.任务2阅读教材P8，了解导数与切线斜率的关系.2．预习自测1. 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为（）A．－4 B．—1 C．4 D．1 解：D2. 若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则（）A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解：A3. 曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是 ( ) A ．－4 B ．0 C ．4D ．不存在解：A（二） 课堂设计 1.知识回顾（1） 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率是2121()()y f x f x x x x ∆-=∆-.（2） 函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3） 函数()f x 在0x x =处的导数的步骤分为“一差、二比、三趋近”. 2．问题探究问题探究一●活动一 观察图象移动割线函数的平均变化率的几何意义是什么？因为2121()()y f x f x x x x ∆--=∆称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -是横坐标之差， 类似地，21()()y f x f x ∆=-是纵坐标之差，所以平均变化率可以表示为过两点()()1122,(),,()x f x x f x 的直线的斜率. ●活动二 动态生成逼近思想导数的几何意义是什么？如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.根据活动一容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率k . 即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.●活动三 自主探究切线方程由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-. 例1 已知曲线x x y 1+=上一点)25,2(A ，求：（1）点A 的切线的斜率； （2）点A 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】 解：（1）)2()2(f x f y -∆+=∆x x xx x ∆+∆+∆-=+-∆++∆+=)2(2)212(212 00limlim 2(2)x x y x x x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆=+=⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦431)2(21lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+→∆x x所以点A 处的切线的斜率是34. （2）切线方程为)2(4325-=-x y 即0443=+-y x . 点拨：求切线的斜率就是求该点处的导数.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点． 【知识点：导数的几何意义】解：0003322200000000()()()lim lim lim()3x x x x x x f x f x x x f x x xx x x x x x x →→→--===++=--曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为320003()y x x x x -=⋅-，即230032y x x x =-，由3230032y x y x x x ⎧=⎨=-⎩得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为330000(,),(2,8)x x x x --； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)． 点拨：求切线方程分两类：1.求曲线()f x 在某点(切点)00(,)x y 处的切线步骤：（1）求0()k f x '=；（2）点斜式求方程000()()y y f x x x '-=- 2.求过某点(不一定是切点)12(,)x y 的切线 步骤：（1）设切点00(,)x y ，则00()y f x =（2）0()k f x '=，10101010()y y y f x k x x x x --==-- （3）联立方程组0010010()()()y f x y f x f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩解出0,x 10010()()y f x f x x x -'=-（4）点斜式求方程000()()()y f x f x x x '-=- 3．课堂总结 【知识梳理】(1)函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的斜率k .即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆(2)由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为_______________. 【重难点突破】（1）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的几何意义是：经过两点11(,())x f x 、22(,())x f x 两点的割线的斜率.（2）导数的丰富内涵：①导数就是瞬时变化率；②曲线()y f x =上0x x =处的切线斜率为函数在0x 处的导数0()f x '；③物体某时刻的瞬时速度为其位移时间函数()s f t =在该时刻处的导数.（3）以直代曲思想：由于大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，即以直代曲.以直代曲思想是微积分的基本思想之一.这个思想在本节有以下两个应用：①利用导数的正负说明曲线的升降；②依据切线倾斜程度的大小判断曲线升降的快慢. 4．随堂检测1．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为（ ） A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8【知识点：导数的几何意义】 解：C提示：由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 【知识点：导数的几何意义】解：A 提示：y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1. 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数图象在x ＝0处的切线方程为（ ）A ．x ln 2－y －1＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x ＋y ln 2－1＝0D ．x －y ln 2－1＝0【知识点：导数的运算；导数的几何意义】 解： B4．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.5．若曲线31y x x =+-在点P 处的切线与直线47y x =-平行，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)或(1,3)--C ．(1,3)或(1,1)--D ．(1,1)--【知识点：导数的运算】 解：B6．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：x －y －2＝0 提示：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0. （三）课后作业 基础型 自主突破1．曲线22y x =在点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4B. 16C. 8D. 2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：C2．已知函数2()24f x x =-的图像上有两点(1,2)M -及(1,(1))N x f x +∆+∆，则割线MN 的斜率为（ ）A ．4B ．4xC ．42x +∆D ．242()x +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：C3．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()y f x =从1x 到2x ，则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为_______________. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：3π提示：从1x 到2x 的平均变化率即为割线AB 的斜率. 4．曲线()y f x =在点5x =处的切线方程是y ＝－x ＋8，则(5)(5)f f '+=________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：2 提示：(5)(5)(58)(1)2f f '+=-++-=.5．已知P 是曲线y ＝x 2－3x 上一点，且曲线在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为_________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：39(,)24- 提示：设00(,)P x y ，00x x y ='=.6．已知函数()()f x x Q αα=∈.（1）当2α=时，求()f x 在1x =处的导数；（2）当1α=-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：（1）当2α=时，2()f x x =.由于22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，则2yx x∆=+∆∆，于是0(1)lim(2)2x f x ∆→'=+∆=.（2）当1α=-时，1()f x x=.00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x xx ∆→∆→∆→-+∆--+∆'====-∆∆+∆. 于是曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率1k =-，又(1)1f =从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. 能力型 师生共研7.已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<C ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<-来:D ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D 提示：(1)f '，(2)f '分别表示曲线在点(1,(1))f ，(2,(2))f 处的切线斜率，而(2)(1)f f -表示过点(1,(1))f ，(2,(2))f 的直线的斜率.8．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线垂直的直线方程为__________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：230x y +-= 提示：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线的斜率2k =，所以过P 与切线垂直的直线方程为12(1)2y x -=-+，即230x y +-=. 9．已知曲线31433y x =+.（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：先求31433y x =+的导数y '.333322141411()()[()][33()]333333y x x x x x x x x x x x ∆=+∆+-+=+∆-=∆⋅+∆+∆则222220001[33()]13lim lim lim [33()]3x x x x x x x x y y x x x x x x x∆→∆→∆→∆⋅+∆+∆∆'===+∆+∆=∆∆（1）曲线在(2,4)P 的切线斜率24x k y ='==， 从而切线方程为44(2)y x -=-，即440x y --=.（2）设切点为00(,)x y ，则020x x k y x ='==，所以切线方程为2000()y y x x x -=-，又3001433y x =+，切线过点(2,4)，所以3200144()(2)33x x x -+=-，解得：01x =-或02x =，所以切点为(1,1)-或(2,4)，故切线方程为11y x -=+或44(2)y x -=-，即切线方程为：20x y -+=或440x y --=.10．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于t 轴.所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<.所以，在1t t =附近曲线下降，即函数()h t 在1t t =附近单调递减.（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<.所以，在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近单调递减.由图可知，直线1l 的倾斜程度小于2l 的倾斜程度，这说明曲线()h t 在1t 附近比2t 附近下降得缓慢. 探究型 多维突破11.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.12.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．四、自助餐1．曲线212y x =在点1(1,)2P 处的切线方程为（ ） A ．102x y --=B ．302x y +-=C ．102x y -+= D ．302x y +-= 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A 提示：利用导数定义求出斜率，在用点斜式写切线方程.2．设0()0f x '=，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线（ ）A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B3．设y ＝f (x )存在导函数，且满足0(1)(12)lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为（ ）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：0(1)(12)lim (1)12x f f x f x∆→--∆'==-∆. 4．已知某物体的运动规律是221s t =+，则该物体在1t =到1t t =+∆这段时间内的平均速度为A ．4B ．4xC ．42t +∆D ．242()t +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C5．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D6．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.7．曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A8．已知函数1y ax x=+图像上各点处的切线斜率均小于1，则实数a 的取值范围是________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：1a ≤ 提示：由导数的定义可知：21y a x '=-，各点处切线斜率均小于1，于是211y a x '=-<，即211a x <+对于非零实数x 恒成立. 因为对于非零实数x ，2111x+>，所以1a ≤. 9．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：因为f ′(x )＝x ′·[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．12．已知函数3()7f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设点P 是曲线()y f x =上的任意一点.求曲线在点P 处的切线的倾斜角的取值范围.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：3300()()()()7(7)()lim lim x x f x x f x x x x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-+∆+--+'==∆∆ 3322200()lim lim (331)31x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆--∆==+⋅∆+∆-=-∆. （1）()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)2k f '==，又(1)7f =，所以切线方程为72(1)y x -=-，即250x y -+=.（2）设00(,)P x y ，则曲线在点P 处的切线斜率为20311k x =-≥-，设在点P 处的切线的倾斜角为α，则tan 1α≥-，则02πα≤<或34παπ≤<. 13．曲线2:4C y x x =-+上两点(4,0)A ，(2,4)B .（1）求AB 所在直线的方程； （2）在曲线上是否存在一点C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行？若存在，求出点C 的坐标并求出曲线在点C 处的切线方程；若不存在，请说明理由.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）4224AB k ==--，直线AB 的方程为2(4)y x =--，即280x y +-=. （2）假设存在这样的点C ，并设C 点坐标为00(,)x y ，则在C 点的切线斜率为0()f x '， 又220000000()()()4()(4)(42)f x x f x x x x x x x x x x x+∆--+∆++∆--+==-∆+-∆∆， 所以0000()lim (42)42x f x x x x ∆→'=-∆+-=-，又由于曲线在C 处的切线与AB 平行， 故曲线在点C 处的切线斜率00()422k f x x '==-=-，解得03x =，此时03y =，即存在点(3,3)C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行，所以曲线在点C 处的切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=. 数学视野微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学.微积分的基本概念是函数、极限、导数、积分等，其中极限是微积分的基石.微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分.微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的.积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的.微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘微的“割圆术”和公元5~6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘微割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率的近似值，他还相当精确的计算了球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可约量及面积与体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含上述萌芽.十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.此后柯西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善.。
人教版高中数学选修2-2学案变化率与导数
变化率与导数（复习课）
【学习目标】
.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；
.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；
.会求经过简单曲线上的点的切线方程.
【新知自学】
知识回顾
.平均变化率：函数在上的平均变化率为，若，,则平均变化率可表示为.
.导数的概念：设函数在区间上有定义，,当无限接近于时，比值无限趋近于一个常数，则称在点处可导，并称常数为函数在处的，记作.
.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的.
.导数的物理意义:一般地,设是物体的位移函数,那么的物理意义是 ;设是物体的速度函数,那么的物理意义是.
对点练习：
.函数在区间[]的平均变化率为.
.在内可导函数满足.
.自由落体运动的物体位移()与时间()的关系为,则时该物体的瞬时速度为.
.已知(),则.
【合作探究】
典例精析
例.若曲线在点处的切线垂直于直线，求点的坐标及切线方程.
例．若,则
.
【当堂达标】
.函数在的平均变化率为
.
.若物体位移,(单位:米)则当秒时,该物体的速度为米秒.
.若,则
.
.若函数()，且，求的值.。
2第2章变化率与导数全部导学案
2第2章变化率与导数全部导学案3、4生活中的优化问题举例序号授课时间班级姓名课型新授课备课人张怡审核人孙延海学习目标会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力、重点难点重点、难点：利用导数解决生活中的一些优化问题、将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题学习过程与方法一、创设情景、新课引入生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题、通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具、这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题、二、师生互动，新课讲解导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与利润及其成本有关的最值问题；例1（课本P101例1）、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具、利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案复备、笔记、纠错例2、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？1、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？课堂检测2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？资源网3、某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系为，且生产吨的成本为元。
高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案
第2章 变化率与导数导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则教案 2数学教案
简单复合函数的求导法则一、复习：1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2. 两个函数的和、差、积、商的求导法则法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、探究新课（一）、自主学习学生阅读课本49页“实例分析”。
1. 复合函数的定义：一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。
其中u 为中间变量。
2.复合函数))((x f y ϕ=的导数为：)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)3.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．（二）、典例精讲例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴ 32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑵ ⑶)4cos(x y -=π； ⑷． 解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成． 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2、求函数13+=x y 的导数。
「精品」高中数学选修22学案：变化率与导数-精品
变化率与导数（复习课）【学习目标】1.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；2.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；3.会求经过简单曲线上的点的切线方程.【新知自学】 知识回顾1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .3.导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点 处的 .4.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ________________________________________ ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 . 对点练习：1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 . 2.在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,kf k f k )2()2(lim0-+→= . 3.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .4.已知f(x)=x 2,则=')2(f ______________.【合作探究】 典例精析例1.若曲线y=x 2+6在点P 处的切线垂直于直线2x-y+5=0，求点P 的坐标及切线方程.例2．若0()2f x '=,则k x f k x f k )()2(lim 000--→= .【当堂达标】1.函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为_____________.2.若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒.3.若0()2f x '=,则0lim →k 00()()2f x k f x k --= .4.若函数f(x)=ax 2+c ，且2)1(f ='，求a 的值.【课时作业】1.汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.2.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+5，则f(1)+(1)f '=__________.3.直线y=x 2+ax+b 在点处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-14设函数y=f(x)为可导函数，且满足条件2)1()1(lim0-=∆∆--→x x f f k ，求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程.5.求过点A(2,0)且与曲线x 1y =相切的直线方程.。
【2019-2020】高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PPn的斜率kn是多少？思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝_____________________________________________________________ ___________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．类型二求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．反思与感悟过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)建立方程f′(x0)＝；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx ＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A．45° B．60°C．135° D．120°3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )A．－4 B．3C．－2 D．14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________. 5．求曲线y＝在点处的切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理f′(x0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PPn的斜率kn＝.思考2 kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)点P处(2)li ＝f′(x0)(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)题型探究例1 解∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴＝＝3Δx＋4，∴f′(1)＝＝ (3Δx＋4)＝4.跟踪训练1 解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝ΔΔxΔx＝ (－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li Δy Δx ＝ Δ2－2×12Δx＝4ΔΔΔx＝ (4＋2Δx)＝4，∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.跟踪训练2 －3解析 ΔyΔx＝ΔΔx＝ (4＋Δx)＝4，曲线y ＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，∵14Δ14x20Δx＝ (x0＋Δx)＝x0.∴＝x0，即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程．跟踪训练3 解ΔyΔx＝ΔΔΔx＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点坐标为(x0,2x0－x)．∴切线方程为y－2x0＋x30＝(2－3x)(x－x0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，即2x＋3x＝0，∴x0＝0或x0＝－.∴切点坐标为(0,0)或.当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当切点坐标为时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.例4 解因为f′(x0)＝Δ20Δx＝ (Δx＋2x0)＝2x0，g′(x0)＝Δ30Δx＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]＝3x，k1＝2x0，k2＝3x，因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即6x＝－1，解得x0＝－.引申探究解由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3x，k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.跟踪训练4 解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵ ΔΔx＝＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴当a＝时，切点坐标为(－，)；当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解因为＝＝＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.。
高二北师大数学选修22第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率导学案
第二章 变化率与导数第一节 变化的快慢与变化率学习目标1．理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某个区间上变化的快慢；3．会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢；4．理解瞬时速度，线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题；学法指导平均变化率、瞬时变化率是本节中的重要概念，是学习导数的前提和基础，要通过例题讲解学会求平均变化率和瞬时变化率，理解平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系，并理解平均变化率、瞬时变化率的几何意义。
知识点归纳1．平均变化率对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，它的平均变化率为： 。
通常我们把自变量的变化12x x -称作： ，记为： 。
函数值的变化()()21x f x f -称作： ，记为： ，这样，函数的平均变化率就可以表示为： ；平均变化率的几何意义是： 。
2．瞬时变化率对于一般的函数，在自变量x 从1x 变到2x 的过程中，若设,12x x x -=∆ ()()12x f x f y -=∆，则函数的平均变化率是 ，而当 时，平均变化率就趋于函数在 点的 ；瞬时变化率的几何意义是： 。
重难点剖析重点：理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念；难点：对平均变化率、瞬时变化率的值与函数值的变化快慢的关系的正确理解； 剖析：1．平均变化率在理解平均变化率时应注意以下几点：（1）1212)()(x x x f x f x f --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(11式子中的f x ∆∆,的值可正，可负，但x ∆的值不能为0，f ∆的值可以为0，若函数()x f 为常函数时，0=∆f 。
（2）平均变化率是指函数值的“增量”f ∆与相应自变量的“增量” x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
高中数学第二章变化率与导数2导数的概念及其几何意义教学案北师大版选修2278
§2 导数的概念及其几何意义[对应学生用书P16]一质点按规律s ＝2t 2＋2t 做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度． 提示：8米/秒．问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度． 提示：Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝14＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．问题3：对于函数y ＝f (x )，当x 从x 0变到x 1时，求函数值y 关于x 的平均变化率． 提示：Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题4：当Δx 趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．导数的概念1．定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数．2．记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题1：函数y ＝f (x )在[x0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx ，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率．问题2：当Δx 变化时，直线如何变化？ 提示：直线AB 绕点A 转动．问题3：当Δx →0时，直线变化到哪里？ 提示：直线过点A 与曲线y ＝f (x )相切位置．导数的几何意义 1．割线的定义：函数y ＝f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx，它是过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y ＝f (x )在点A 处的一条割线．2．切线的定义：当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，直线l 和曲线y ＝f (x )在点A 处“相切”，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数f (x )在点x 0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li m Δx →0ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在点x 0处就有导数． 2．f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在切点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[对应学生用书P17][例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求li m Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 2＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx ＋Δx2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －4－Δx ＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D.1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为： f ′(1)＝li m Δx →0 ＋Δx2－1Δx＝2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________.解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 [a＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝li m Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.[例2] [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 求曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14B.12C ．1D.2解析：f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0＋Δx2－1Δx＝li m Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案：A5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝li m Δx →0f －2＋Δx －f－Δx＝li m Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝li m Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[例3] 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． 解析：根据题意可设切点为P (x 0，y 0)， ∵Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x ) ＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， ∴ΔyΔx＝2x ＋Δx －3. ∴f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94.所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－947．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li m Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx＝li m Δx →0 －ΔxΔxx 0＋Δxx 0＝li m Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．[对应课时跟踪训练六1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D.－1解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.答案：A2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D.x ＋y －1＝0 解析：f ′(2)＝li m Δx →014＋Δx2－14×4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A. 答案：A3.已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：由y ＝x 3得Δy Δx ＝x ＋Δx 3－x 3Δx＝x 3＋3x 2·Δx ＋3x Δx 2＋Δx3－x3Δx＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.答案：B4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝li m Δx →0f ＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 11－＋Δx －11－2Δx＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？ 解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率k ＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义教案 2数学教案
2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。
二、探究新课多媒体演示，得出以下定义:1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线， 设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为 00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆．2． 切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念教案 2数学教案
2.1 导数的概念一、 复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
二、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(00001010lim lim 01。
（一）、探究：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：1. 求函数的变化率2. 求函数的平均变化率3.求极限（二）、典例精讲例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg ）是其工作时间x （单位：h ）的函数)(x f y =。
假设函数)(x f y =在x=1和x=3处的导数分别为4)1(='f 和5.3)3(='f ，试解释它们的实际意义。
例3、课本33P 例3例4、求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 三、课堂检测：1.课本33P 练习：1、2. 2. 专家伴读21页打基础1、7四、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：五、作业：。
高中数学 第2章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修2-2
§1 变化的快慢与变化率1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.(重点)2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的平均变化率阅读教材P 25～P 27“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零.( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 函数瞬时变化率阅读教材P 27“练习1”以下至P 30“练习2”以上部分，完成下列问题.1.定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率. 2.作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.【解析】 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋（Δt ）2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2.【答案】 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：[小组合作型]( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43D.0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝f (2＋0.1)－f (2)可得.(2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f （x 2）－f （x 1）→计算Δy Δx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2.求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的形式.[再练一题]1.函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( )【导学号：94210031】A.2B.2xC.2＋ΔxD.2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C12两人的速度哪个快？图211【精彩点拨】比较相同的时间Δt内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果.【自主解答】在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，故s1（t0）－s1（t0－Δt）Δt<s2（t0）－s2（t0－Δt）Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快.1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论.2.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.[再练一题]2.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图212所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )图212A.甲的日生产量大于乙的日生产量B.甲的日生产量小于乙的日生产量C.甲的日生产量等于乙的日生产量D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小【解析】由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.【答案】 B[探究共研型]探究1 h (t )＝－4.9t2＋6.5t ＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ 【提示】 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h （0）6549－0＝0.探究2 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？【提示】 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.探究3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？【提示】 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt ，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度.(时间单位：s ；位移单位：m)【精彩点拨】 先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度. 【自主解答】 当时间从3变到3＋Δt 时，v －＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt ＝3（3＋Δt ）2＋1－（3×32＋1）Δt ＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；(3)将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率.[再练一题]3.求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率.【导学号：94210032】【解】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2. ∴Δy Δx ＝7Δx ＋3（Δx ）2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.[构建·体系]1.在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A.Δx ＋1Δx ＋2B.Δx －1Δx －2C.Δx ＋2D.2＋Δx －1Δx【解析】 Δy Δx ＝（1＋Δx ）2＋1－2Δx ＝2＋Δx ，故选C.【答案】 C2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A.3Δt ＋6B.－3Δt ＋6C.3Δt －6D.－3Δt －6【解析】 Δs Δt ＝5－3（1＋Δt ）2－（5－3）Δt ＝－6－3Δt .【答案】 D3.已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的改变量Δy ＝________.【导学号：94210033】【解析】 Δy ＝21.5－22＝13.【答案】 134.设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________.【解析】 ΔC Δx ＝C （1 000）－C （900）1 000－900＝1912. 【答案】19125.在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与ΔsΔt ；(2)t ＝20时的瞬时速度.【解】 (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s). (2)∵Δs Δt＝10（20＋Δt ）＋5（20＋Δt ）2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝f (x )＝3x在x 从1变到3时的平均变化率等于( ) A.12 B.24 C.2D.－12【解析】 Δy ＝f (3)－f (1)＝33－31＝24， 则Δy Δx ＝243－1＝12.故选A. 【答案】 A2.函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A.3 B.2 C.1D.4【解析】 由已知得m 2－1－（12－1）m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2. 【答案】 B3.将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于( ) A.8πR ΔRB.8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C.4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D.4π(ΔR )2【解析】 球的表面积S ＝4πR 2，则ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2. 【答案】 B4.函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A.2 B.3 C.4D.5【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，则Δy Δx ＝3ΔxΔx ＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.故选B.【答案】 B5.一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度为( )A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s【解析】Δs Δt＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt＝Δt ＋5.当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于5，所以此物体在3 s 末的瞬时速度为5 m/s.【答案】 C 二、填空题6.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________.【导学号：94210034】【解析】 由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2. 【答案】 2.27.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94，则a ＝______.【解析】Δy Δx ＝f （a ）－f （2）a －2＝a 2－2a ＋3－（22－2×2＋3）a －2＝a 2－2a a －2＝a ＝94.【答案】 948.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图213所示.在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为-v 1，-v 2，-v 3，其三者的大小关系是________.图213【解析】 ∵-v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k MA ，-v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ，-v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC ，由图像可知：k MA <k AB <k BC ， ∴-v 3>-v 2>-v 1. 【答案】 -v 3>-v 2>-v 1 三、解答题9.比较y ＝x 3与y ＝x 2在x ＝2附近平均变化率的大小.【解】 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝（2＋Δx ）3－23Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12，y ＝x 2的平均变化率k 2＝（2＋Δx ）2－22Δx＝Δx ＋4.∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝⎝⎛⎭⎪⎫Δx ＋522＋74>0， ∴k 1>k 2.∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大.10.已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s). (1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求ΔsΔt ；(2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度. 【解】Δs Δt ＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt＝3（t ＋Δt ）2＋2－（3t 2＋2）Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， ΔsΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03 cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ， ∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12 cm/s.[能力提升]1.以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为( )A.v 0－gt 0－12g ΔtB.v 0－gt 0C.v 0－12g ΔtD.gt 0－12g Δt 【解析】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， ∴物体在t 0秒到t 0＋Δt 秒间的平均速度为v 0－gt 0－12g Δt . 【答案】 A2.一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) 【导学号：94210035】A.at 0B.－at 0C.12at 0D.2at 0【解析】 ∵Δs Δt ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝12a Δt ＋at 0，∴Δt 趋于0时，Δs Δt趋于at 0. 【答案】 A3.(2016·临沂高二检测)设c 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为c ＝c (q )，当产量为q 0时，产量的变化Δq 对成本的影响可用增量比Δc Δq ＝c （q 0＋Δq ）－c （q 0）Δq刻画，如果Δq 无限趋近于0时，Δc Δq无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本，它表明当产量为q 0时，增加单位产量需付出的成本为A ，它是实际付出成本的一个近似值.若某一产品的成本c 与产量q 满足函数关系c ＝3q 2＋1，则当产量q ＝30时的边际成本是________.【解析】 ∵Δc ＝3(30＋Δq )2＋1－(3×302＋1)＝180Δq ＋3(Δq )2，∴Δc Δq ＝180Δq ＋3（Δq ）2Δq＝180＋3Δq . 当Δq 趋于0时，Δc Δq趋于180， ∴当产量q ＝30时的边际成本为180.【答案】 1804.(2016·南充高二检测)某一运动物体，在x (s)时离开出发点的距离(单位：m)是f (x )＝23x 3＋x 2＋2x . (1)求在第1 s 内的平均速度；(2)求在1 s 末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?【解】 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f （1）－f （0）1－0＝113 m/s. (2)Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝23（1＋Δx ）3＋（1＋Δx ）2＋2（1＋Δx ）－113Δx＝6＋3Δx ＋23(Δx )2. 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于6， 所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s.(3)Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝ 23（x ＋Δx ）3＋（x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx )2＋2x ·Δx ＋Δx . 当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x 2＋2x ＋2， 令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x ＝2，即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.。
变化率与导数教案
变化率与导数教案教案标题：变化率与导数教案教案目标：1. 了解变化率的概念和意义；2. 理解导数的定义和计算方法；3. 掌握使用导数求函数在某一点的变化率；4. 能够应用变化率和导数解决实际问题。
教案内容和步骤：一、引入（5分钟）1. 激发学生学习本课内容的兴趣，例如，介绍一些实际应用中变化率的重要性和意义。
2. 提问引导学生思考：什么是变化率？我们可以如何计算它？二、理论讲解（15分钟）1. 介绍变化率的定义：变化率是指函数在某一点的增长速度或减少速度。
2. 解释变化率的计算方法：计算函数在两个点间的斜率，或者通过求函数的导数。
3. 引入导数的概念：导数是函数在某一点的变化率。
介绍导数的符号表示和几何意义。
4. 讲解导数的计算方法：通过限定增量趋近于零的极限来计算导数。
三、例题演练（15分钟）1. 给出一个函数，要求学生计算其一些特定点上的导数。
2. 指导学生使用限定增量计算导数的方法，理解导数的物理意义。
3. 利用导数计算函数在某一点的变化率，并解释其意义。
四、综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生应用导数和变化率的概念解决问题。
2. 通过问题的解答，巩固学生对导数和变化率的理解。
五、拓展延伸（10分钟）1. 引导同学思考：导数和变化率是否总是有意义的？有什么例外情况？2. 讲解导数在图像上的几何意义：导数表示函数图像的切线斜率。
3. 鼓励学生通过阅读相关书籍或课外资料，深入了解导数的应用领域。
六、总结与评价（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，强调变化率与导数的关系和应用。
2. 提醒学生复习导数计算的方法和应用技巧。
3. 鼓励学生提出问题和困惑，并对本节课的教学进行评价。
备注：根据实际教学情况，上述步骤的时间可以适当调整。
同时，可以在教案中加入多媒体教学资源、互动讨论等教育工具，以提高学生的参与度和理解能力。
北师大版《选修2-2—第二章变化率与导数》第二课时《导数的概念》优质课导学案
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
总结:导数是一种________定义.
导数符号语言的几种等价形式:
1.___________________
2.___________________
当堂检测:
1.设
f (x) 是可导函数,若 lim x0
f (x0
2x) x
x
x
x
当 x 趋于 0 时,平均变化率趋于 3；
所以,水管中的水在 2 秒时的瞬时水量是 3m3/s .
总结: f '(x0 ) 反映函数 f (x) 在 x0 处变化____程度. 当堂练习:求函数 f (x) x2 在 x 1时的导数值.
三、导数符号语言
f
' (x0 )
y lim x0 x
式为:s= 1 gt 2 ；试估计小球在 t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
析：当时间
t
从
t0
变到
t1
时，根据平均速度公式： v
s t
s(t1 ) t1
s(t0 ) t0
.
1. t1 6,t0 5 2. t1 5.1,t0 5
s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9m / s.
f
' (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
.
例 2：一条水管中流过的水量 y (单位:m3)是时间 x (单位:s)的函数,求
函数 y f (x) 3x 在 x 2 处的导数,并解释它的实际意义.
1.1变化率与导数第2课时 精品教案
1.1变化率与导数【课题】：1.1.2导数的概念（1）【设计与执教者】：广州市第九十七中学张莹莹zhangyingying2001@【学情分析】：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。
因此从上一节变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
学生在高一年级的物理课中学习过瞬时速度。
【教学目标】：（1）知识目标：使学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
（2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。
（3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、归纳表达能力。
【教学重点】：明确瞬时速度的含义，初步形成导数的概念【教学难点】：初步形成导数的概念【课前准备】：powerpoint【教学过程设计】：(基础题)1.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2.一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D. 8米/秒3. 已知函数f (x )=-x 2+x 的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx ,-2+Δy ),则Δy /Δx =( ) A . 3 B. 3Δx -(Δx )2 C. 3- (Δx )2D .3-Δx4.质点运动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中相应的平均速度为（ ） 9A.6B.6C.3D.9t t t t t+∆+∆++∆+∆∆ (难题)5．将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
如果第x (h )时，原油的温度（单位：0C ）为f (x )=x 2-7x +15(0≤x ≤8). 则在[2,2+△t]内的平均温度 为 .6.生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求 （1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率.答案:(基础题)1. B 2.C 3.D 4.A (难题)5. △t －3 6． 6.72 ;。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的几何意义学案 北师大版选修22
2.2导数的几何意义★ 学习目标1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。
2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。
3．会求简单函数在某点的切线方程。
★ 学法指导经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。
★ 知识点归纳1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为： ； ★ 重难点剖析重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；难点：理解导数的几何意义；剖析：函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。
函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。
★ 典例分析 例1 已知曲线331)(x x f y ==上一点)38,2(P ； 求（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程；分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。
变式练习1求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。
例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。
变式练习2直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；★ 基础训练1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)25,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο135 D ．ο1652．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（ ）A ．4B ．16C ． 8D ． 23．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（ ）A ．47+=x yB ．27+=x yC ．2-=x yD ．4-=x y4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（ ）A ．()8,1-B ．()8,1- 或()12,1--C ．()12,1--D ．()12,1- 或()8,1--6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线★ 能力提高1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线44313+-=x x y 在2=x 处的切线平行。
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§3.1.2 导数的概念
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；
2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
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复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V =求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.
复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2： 瞬时速度是平均速度t
s ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x
x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0
(3)
x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率 (4)导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.
※ 典型例题
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求
t
s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
小结：
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；
第二步：求平均变化率0()f x x y x x
+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim
x y f x x ∆→∆'=∆.
※ 动手试试
练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度
三、总结提升
※ 学习小结
这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =t
t ∆→∆
※ 知识拓展
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t
∆→∆∆为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；
Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度；
Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度
2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ）
A ．2x
B ．2
C ．2x +∆
D ．1 3. 在0000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x
k f x k
→--等于 1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：
2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时
的瞬时速度,并解释此时的运动状况.
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2
()1s t t =+表示，并且物体的动能212
U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.。