用数学思想解即时定义创新题
高中数学“新定义”题型的解题策略
高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。
可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。
而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。
２.“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。
（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。
（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。
如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。
３.“新定义”题型的讲评建议（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。
（２）加强审题能力的培养。
现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。
（３）拓宽学生的视野。
可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。
数学复习数学思维与创新解题的实例分析
数学复习数学思维与创新解题的实例分析数学是一门需要思维和创新的学科，它既要求我们具备扎实的基础知识，又要求我们能够在解题中不断创新。
本文将通过实例分析来探讨数学思维与创新解题的方法和技巧。
一、数学思维的培养在解题过程中，我们需要培养一种合理的数学思维方式。
首先，我们应该学会理性思维，即通过分析问题的特点和条件，找出解决问题的关键步骤和方法。
其次，我们应该培养直观思维，即通过形象的图像或实例来帮助我们理解和解决问题。
最后，我们还应该发展逻辑思维，即通过合理的推理和演绎来求解数学问题。
例如，在解决数学题目中，我们经常会使用到数学归纳法。
数学归纳法是一种基于逻辑推理的方法，它的基本思想是从特殊到一般，通过验证特殊情况成立，再由特殊情况的成立推断出一般情况的成立。
通过数学归纳法可以解决很多数列、函数等数学问题。
二、创新解题的技巧在数学解题中，创新是非常重要的。
创新解题不仅能够提高我们的解题思维能力，还能够培养我们的创新意识和创造力。
下面，我们将介绍几种常用的创新解题技巧。
1. 反证法反证法是一种常用的创新解题方法，它的基本思想是通过假设结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出结论成立的结论。
在使用反证法时，我们要学会逆向思维，即从结果出发，通过逆向推理来找到解决问题的方法。
2. 分析类比法分析类比法是一种通过类比和分析已有解法来解决问题的方法。
通过分析相似的问题或已经解决过的问题，我们可以找到解决当前问题的思路和方法。
这种方法能够激发我们的创造力，帮助我们找到独特的解决问题的方式。
3. 迭代法迭代法是一种通过不断逼近来解决问题的方法。
在某些数学问题中，我们可以通过逐步迭代来找到近似解或精确解。
迭代法要求我们有耐心和细致的分析能力，同时还需要注意选取合适的迭代初始值和迭代次数。
三、实例分析接下来，我们通过几个实例来具体分析数学思维与创新解题的方法和技巧。
1. 实例一：解决费马大定理费马大定理是数学界著名的难题之一，它的基本表述是“对于大于2的任何整数n，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解”。
2020年中考数学压轴解答题15 新定义与创新型综合探究问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题15 新定义与创新型综合探究问题【类型综述】阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路,或介绍一种解题方法,或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料,然后要求大家自主探索,理解其内容、思想方法,把握本质,解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”,其中最关键的是理解材料的作用和用意,一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.【方法揭秘】阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型,新公式应用型,纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题,函数图象信息题,图形语言信息题,统计图表信息题等。
解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想,类比思想,化归思想；常用的数学方法有分析法,比较法等．【典例分析】【例1】在求1+3+32+34+35+36+37+38的值时,张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍,于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①,然后在①式的两边都乘以3,得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②,②﹣①得：3S ﹣S=39﹣1,即2S=39﹣1,∴S=9312-．请阅读张红发现的规律,并帮张红解决下列问题：（1）爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m≠0且m≠1）,应该能用类比的方法求出1+m+m 2+m 3+m 4+…+m 2018的值,对该式的值,你的猜想是______（用含m 的代数式表示）． （2）证明你的猜想是正确的． 【例2】阅读材料,解答相应的问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么称这个正整数为“智慧数”,否则,称这个正整数为“非慧数”。
例如：222222222222213;325;318;437;4212;4115-=-=-=-=-=-=… 因此：3,5,8,……都是“智慧数”；而1,2,4……都是“非智慧数”。
高考数学创新题型思维方法归纳
高考数学创新题型思维方法归纳高考数学一直以来都是学生们最为关注的科目之一，也是决定着他们整体成绩的重要因素。
而面对着日益增多且不断创新的数学题型，学生们的压力也逐渐加大。
因此，为了更好地应对高考数学中的创新题型并提升自己的思维能力，本文将对一些常见的数学创新题型思维方法进行归纳总结。
1.解析式题型解析式题型是高考中常见的一种题型，特别是在数学选择题中。
对于此类问题，首先要考虑的是问题本身的语义。
有些问题看起来很抽象，但只要确立一个指导性的概念，就可以将问题解决。
例如，在求解某个极限的时候，若考生觉得难以通过微积分原理简化表达式，可以考虑将函数类型置于个别限制条件下。
此时，便于考生利用函数本身的特殊性质，直接进行简单的代入求解。
2.观察题型观察题型是考验学生思维能力的重要题型。
此类问题要求考生从已知信息中提取价值，并以此作为进一步进行推断的基础。
对于此类问题，建议学生采用尝试错误的方法，通过不停地试错来完善解法。
另外，需要注意的是，这类题目的结果可能是难以通过观察及分析得到的，必须通过多次尝试来得出正确结论。
3.计算便捷题型计算便捷题型主要是考察考生的计算能力。
此类题目特点是，计算量大且题目难度不高，但是考生需要完成大量重复的计算，并需要保证计算过程的准确性。
针对这类题目，学生需要掌握数学基本运算的规律，尤其是运算评分规则和公式的使用，可以采用逆算法等方式，将计算规模最小化。
4.逻辑推理题型逻辑推理题型是让学生思考问题解决过程的题型。
解决此类问题必须善于从问题条件中寻找因果关系，并通过运用逻辑推理的方式，将这种因果关系转化为可靠的推断结论。
在做这类问题时，考生需要充分利用其他科目的知识，建立一个概念框架，并根据问题提供的信息去规范自己的解析思路。
5.分数异化题型分数异化题型主要是考察考生的数学思维能力。
此类题目特点是对考生分数计算的运算规律进行改变，充分考察考生对分数的把握能力。
针对这类问题，学生需要将这种运算转换成为其他基本计算方法，例如，可以将所有分数收集再进行归并，最终得到答案。
如何求解新定义型创新题
解题宝典新定义型创新题常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以所学知识为依托，重点考查同学们理解问题、解决问题的能力.新定义型创新题一般会给出一些新设定的定义及运算法则，要求同学们根据新定义及运算法则，结合已有的知识、经验，将问题转化为熟悉的问题，运用所需的知识解题.下面以几道题为例，谈一谈求解新定义型创新题的方法.例1.若x ∈A ，则1x ∈A ，则称A 是伙伴关系集合，集合M ={}-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是_____个.解析：解答本题，我们需仔细研究新定义“伙伴关系集合”，可发现具有伙伴关系集合中的元素可互为倒数，所以集合M 中具有伙伴关系的元素是-1，12，2，则具有伙伴关系的集合有3个：{-1}，{12,2}，{-1,12,2}.与集合有关的新定义型创新题，一般侧重于考查集合中元素之间的联系以及规律.因此在解题时，我们只需紧扣新定义，把握集合中元素之间的联系，根据集合的定义、运算法则进行求解即可.例2.（多选）已知点M ()1,0，直线l ：x =-2，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）.A.点P 的轨迹曲线是一条线段B.点P 的轨迹与直线l '：x =-1没有交点C.y =2x +6不是“最远距离直线”D.y =12x +1是“最远距离直线”解析：解答本题要抓住“最远距离直线”的定义.先根据题意与抛物线的定义，可得点P 的轨迹方程为y 2=4x ，再根据“最远距离直线”定义确定点P 的轨迹与直线l '：x =-1没有交点、y =2x +6不是“最远距离直线”、y =12x +1是“最远距离直线”，所以BCD 正确.本题主要考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义以及圆锥曲线的轨迹问题.解题的关键在于理解“最远距离直线”这一定义.创新圆锥曲线新定义问题一般会直接给出一个新定义的曲线，我们根据椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质就能快速解题.例3.函数y =f (x )图象上两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)处的切线的斜率分别是k A ,k B ，规定φ(A ,B )=|k A -k B ||AB |2叫做曲线y =f (x )在点A ，B 之间的“平方弯曲度”.若曲线y =e x +x 上有不同两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，且x 1-x 2=1，则φ(A ,B )的取值范围是____．解析：我们需先弄懂曲线y =f (x )在点A ，B 之间的“平方弯曲度”的定义，然后根据定义得到ϕ(A ,B )=||k A -k B ||AB 2ex 1x 2，接着将||e x 1-e x2换元，令u =|e x 1-ex 2，就能得到熟悉的表达式ϕ(A ,B )=u u 2+2u +2=1u +1u+2，运用基本不等式就能得到答案æèçû.解答本题的关键是正确理解曲线y =f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”这一新定义，然后依据此定义建立目标函数ϕ(A ,B )=||k A -k B ||AB 2=||e x 1-e x 2(1+(e x 1-e x 2+1)2)2，将问题转化为熟悉的最值问题来求解.在解答与函数有关的新定义型创新题时，要首先正确理解新定义，然后结合基本函数的性质和图象来解题.由此可见，解答新定义型创新题的基本思路是：第一步，正确理解新定义；第二步，根据新定义建立关系式；第三步，结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；第四步，运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.新定义型创新题侧重于考查同学们的创新和分析、解决问题的能力.在日常学习中，同学们不仅要熟练掌握基础知识、方法，还要重视培养自主分析问题、解决问题的能力以及创新能力.（作者单位：西安交通大学苏州附属中学）耿海音41。
七年级数学下---问题定义创新
七年级数学下---问题定义创新引言本文档旨在探讨如何在七年级数学下创新问题定义，以促进学生对数学的兴趣和理解。
通过引入一些创新的问题定义方法，可以帮助学生在解决数学问题时培养创造力和思维能力。
问题定义的重要性问题定义是解决数学问题的关键步骤之一。
合理的问题定义可以引导学生思考并找到解决问题的途径。
创新的问题定义方法能够激发学生的兴趣，提高他们对数学的参与度和理解能力。
创新问题定义方法1. 基于现实生活场景引导学生将数学与现实生活相结合，通过观察、实践和分析问题，发现数学存在的实际应用场景。
例如，可以提出与日常生活相关的问题，如购物折扣计算、运动员比赛成绩分析等，让学生在解决问题的过程中理解数学的实际意义。
2. 基于可视化和图形使用可视化工具和图形来定义问题。
通过图表、图像或模型等形式，让学生更直观地理解数学问题的本质。
例如，可以使用图表来描述一组数据的变化趋势，或利用几何模型解决空间几何的问题。
3. 引导提问和思考通过引导学生提出问题和思考，激发学生的好奇心和求知欲。
鼓励学生提出不同角度的问题，挑战他们的思维方式。
例如，可以提出开放性的问题，让学生自己思考并提供多个解决方案。
4. 组合不同数学概念将不同的数学概念进行组合，创造出新的问题定义。
通过连接不同概念，培养学生的综合思维能力。
例如，结合几何和代数的知识，设计一个涉及到两个学科的问题。
结论通过采用创新的问题定义方法，可以激发学生对数学的兴趣和热情，提高他们的研究参与度和理解能力。
教师在教学中可以灵活运用以上方法，鼓励学生自主思考和探索，帮助他们发现数学的美妙和实用性。
以上是关于七年级数学下的问题定义创新的讨论，希望对教师在教学中有所启发和帮助。
小学数学奇思妙想认识数学中的创新思维
小学数学奇思妙想认识数学中的创新思维小学数学奇思妙想：认识数学中的创新思维在小学阶段，数学是一个重要且基础的学科。
然而，有些学生认为数学是一门枯燥乏味的科目，缺乏创造性和趣味性。
然而，事实上，数学是一门富有创新思维的学科。
本文将探讨小学数学中的创新思维，并提供一些激发学生创新思维的方法。
一、问题拓展在数学教学中，老师可以通过提出问题来激发学生的创新思维。
问题拓展是指在基本问题的基础上，提出更加深入和具有挑战性的问题。
例如，老师可以提出一个简单的几何问题，例如计算一个正方形的面积。
然后，老师可以考虑更复杂的情况，例如计算一个不规则形状的面积。
通过这样的问题拓展，学生将被鼓励思考更多创新的解决方法。
二、数学游戏数学游戏是激发学生创新思维的另一种方法。
数学游戏可以帮助学生学习和巩固数学概念，同时提供有趣和富有挑战性的任务。
例如，老师可以设计一个数独游戏，要求学生用数字填充空白，同时满足每行、每列和每个九宫格内数字之和为固定值的条件。
通过解决这些数学游戏，学生将培养逻辑思维和创新解决问题的能力。
三、实践探究在小学数学教学中，老师可以鼓励学生通过实践探究的方式学习数学。
实践探究是指将数学概念应用于现实生活中，并通过实际操作和观察来理解数学现象。
例如，教师可以将学生带到操场上测量不同地块的面积，让他们亲自感受到数学在现实中的应用。
通过这样的实践活动，学生将培养创新思维和实际应用数学的能力。
四、开放性问题开放性问题是指没有固定答案的问题，鼓励学生进行独立思考和探索。
通过提出开放性问题，学生将被激发创新思维和解决问题的能力。
例如，老师可以提问：“有限的资源如何分配才能使尽可能多的人受益？”这个问题没有固定答案，学生可以通过思考不同的方法，尝试不同的解决方案。
这样的问题能够培养学生的创造力和创新精神。
五、合作学习合作学习是激发学生创新思维的有效途径。
通过与同学合作，学生可以交流和分享想法，合作解决问题。
例如，在数学小组活动中，学生可以共同研究一个问题，并找到多种解决方法。
研究数学创新题一般思路
研究数学创新题一般思路数学作为一门科学，一直以来都在不断地发展和创新。
研究数学创新题是数学工作者们的重要任务之一。
在进行数学创新题研究时，需要遵循一般的思路和方法，下面将从几个方面介绍研究数学创新题的一般思路。
首先，研究数学创新题需要对已有的数学知识有深刻的理解和掌握。
数学是一门高度抽象和逻辑严谨的学科，需要研究者具备扎实的数学基础知识。
只有对数学基础知识有深刻的理解，才能在研究中灵活运用这些知识，发现问题的本质，提出创新的思路和方法。
其次，研究数学创新题需要具备创新意识和思维。
数学创新题通常是一些尚未解决的难题或者是需要对已有理论进行扩展和深化的问题。
在研究数学创新题时，需要有敏锐的洞察力和创新意识，能够发现问题中的规律和特点，提出新的研究思路和方法。
此外，研究数学创新题需要善于运用数学工具和方法。
数学是一门工具性很强的学科，研究者需要熟练掌握各种数学工具和方法，包括数学分析、代数、几何、概率论等方面的知识。
在研究过程中，需要根据问题的特点选择合适的数学工具和方法，进行分析和求解。
最后，研究数学创新题需要具备坚韧不拔的毅力和耐心。
数学研究往往是一个漫长而艰难的过程，需要不断地思考和尝试，甚至需要反复修改和完善研究思路和方法。
在面对困难和挫折时，需要有坚韧不拔的毅力和耐心，不断地努力和坚持下去。
总之，研究数学创新题需要对数学基础知识有深刻的理解和掌握，具备创新意识和思维，善于运用数学工具和方法，以及具备坚韧不拔的毅力和耐心。
只有在这些方面都具备的情况下，才能够在数学研究领域取得突破性的创新成果。
用数学思想解即时定义创新题
用数学思想解即时定义创新题掌握新知识、认识新事物的能力,是重要的数学素养之一是高考追求的目标与必然归宿，即时定义型创新题为我们提供了这种切实可行的平台，这类题新颖脱俗,匠心独具,能较好地考查应用新知识来解决新问题的能力,如何培养这种能力? 是一个值得我们探索的课题. 一.历年高考即时定义型创新题精选1.(1994年∙全国)在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n 次测量分别得到 n a a a ,,,21 共n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其 他近似值比较, a 与各数据的差的平方和最小,依此规定,从n a a a ,,,21 中推出=a ___2.(2001年∙上海春招)若记号“*”表示求两个实数的算术平均数的运算,即b a *2b a +=则两边均含有“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是____ 3.(2002年∙上海春招)对于函数)(x f ,若存在R x ∈0,使00)(x x f =成立,则称0x 为)(x f 的不动点,已知函数)0)(1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1)当2,1-==b a 时,求函数)(x f 的不动点;(2)若对任意实数b ,函数)(x f 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若)(x f y =图象上B A ,两点的横坐标是函数)(x f 的不动点,且 B A ,两点关于直线1212++=a kx y 对称,求b 的最小值.4.(2003年∙北京春招)在直角坐标系xOy 中,已知AOB ∆三边所在的直线方程分别为0=x ,0=y ,3032=+y x ,则AOB ∆内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点) 的总数是( )A.95B.91C.88D.75 5.(2003年∙全国文科)在平面几何中,有勾股定理:“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直,则222BC AC AB =+”拓展到空间,类似平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB ”两两垂直,则____________________答案:1.na a a a n+++=212.)(*)()*(c a b a c b a ++=+3.(1)两个不动点为3,1-, (2)10<<a , (3)42min -=b 4.B5.2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++二.例题讲析(1).紧扣定义,注重函数与方程思想例1.][x 表示不超过x 的最大整数(称为x 的整数部分),如,3]1.2[,3]7.3[-=-=函数][x y =称为高斯函数,它的定义域为R ,值域为整数集. 试作函数])[(||x x x y -=在]1,1[-上的图象练习1.给定实数x ,定义[x ]为不大于x 的最大整数,如[3]=3,[-3.9]=-4,[2.5]=2,则下列结论不正确的是( )A.x -[x ]0≥B.x -[x ]1<C.x -[x ]是周期函数D.x -[x ]是偶函数练习2.若定义在区间D 上的函数)(x f 对于D 上任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足: )()]()()([12121nx x x f x f x f x f nnn +++≤+++ ,则称)(x f 为D 上的“凸函数”,已知x y sin =在区间),0(π上是凸函数,则在ABC ∆中,C B A sin sin sin ++的最大值是__________x(2).沟通表里,利用数形结合思想例2.定义:},,m ax {21n a a a 为n a a a ,,21中的最大值,已知函数}66,2m ax {)(2-+--=x x x x f ,且)(x f 在区间)0](,0[>a a 上的最大值为)(a f ,求a 的取值范围练习.已知非空集合M 和N ,定义“差集”M x x N M ∈=-|{但}N x ∉,那么=--)(N M M ( )A.N MB.N MC.MD.N(3).弄清内涵,把握分类讨论思想例3.定义:1)2(22=-+y m mx 的方程叫“全能”方程，当m 变化时，讨论方程表示的曲线形状，并画出简图练习.设集合}31|{},43|{n x n x N m x m x M ≤≤-=+≤≤=,且集合N M ,都是集合}10|{≤≤x x 的子集,定义a b -为集合}|{b x a x ≤≤的“长度”,那么集合N M 的“长度”的最小值为___________(4).及时迁移,落实转化与化归思想例4. 对于定义在实数集上的函数)(x f ,若存在0x ,使得00)(x x f =成立,那么0x 叫作)(x f 的一个“不动点”,已知函数12)(2++=ax x x f 不存在“不动点”,则a 的取值范围是____________三.课后练习1.定义数对),(y x 满足∈y x ,N 的点为“好点”,已知集合}2,1,{},1,{y Q x P == 其中}9,,2,1{, ∈y x ,且Q P ⊆,则Q P ,确定的“好点”个数为2.设集合},,2,1{n S n =,若X 是n S 的子集,把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(规定 空集的容量为)0,若X 的容量为奇(偶)数,则称X 为n S 的奇(偶)子集,已知4=n ,则 n S 的所有奇子集的容量之和为______________3.定义集合,36*|),{(==b a b a M },*N b a ∈中的的元素),(b a 满足:若b a ,的奇偶性相 同,则b a b a +=*;若奇偶性相反,则b a b a ⨯=*,那么M 中的元素个数为 4.设}6,5,4,3,2,1{=S ,集合A 是集合S 中含有4个元素的子集,若A x ∈,有A x ∉-1且 A x ∉+1,则称x 为A 的“孤立元素”，则无“孤立元素”的集合A 的个数为 个 5.设}4,3,2,1{=I ,A 与B 是I 的子集,若}3,1{=B A ,则称),(B A 是 一个“理想配集”，那么符合条件的“理想配集”的个数是6.若集合21,A A 满足A A A =21 ,则称),(21A A 是A 的一个拆分,并规定:当且仅当 21A A =时,),(),(1221A AA A =,则},,{c b a A =的不同拆分种数为x7.数列1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,…的通项公式为=n a ______________ 8.若139+与139-的小数部分分别为a 与b ,求234-+-b a ab9.定义“符号函数”:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(1)0(0)0(1sgn )(x x x x x f ，则①不等式xx x sgn )2(2->+的解集是 ,②方程xx x sgn )12(1-=+的解集为10.定义:函数D x x f y ∈=),(,若存在常数C ,对于任意D x ∈1,存在惟一的D x ∈2,使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ，已知函数x x f lg )(=，]100,10[∈x ,则函数x x f lg )(=在]100,10[∈x 上的均值为( ) A.23 B.43 C.101 D.1011.给出下列四个函数:①x y sin =;②2x y -=;③x y lg =;④x y )21(=对于定义域内的任意1x 、)(212x x x ≠都有2)()()2(2121x f x f x x f +≥+成立的函数是 ______12.在经济学中,定义)()1()(x f x f x Mf -+=成立时的函数)(x Mf 为函数)(x f 的“边际函数”,某企业的一种产品的利润函数]25,10[(101030)(23∈++-=x x x x p 且*N x ∈),则它的边际函数=)(x Mp ____________________________13.导数)(x f '图象如下图的函数)(x f ,定义为:“脉冲函数”,则)(x f 的图象可能是( )x14.“渐升数”(如34689)是指每个数字比其左边的数字大的正整数,已知有12659=C 个五位“渐升数”,若把这些数从小到大的顺序排列,则第100个数为____________15.给定))(2(log 1N n n a n n ∈+=+,定义使k a a a a ⨯⨯⨯⨯ 321为整数的数)(N k k ∈叫 做企盼数,试求区间)2005,1(内的所有企盼数的和M16.存在一个正数a ,使得函数)(x f 对于定义域D 内任意两个不相等的实数21,x x 都有: |||)()(|2121x x a x f x f -≤-成立,则称函数)(x f 为D 上的利普希茨函数,下列函数 不能作为利普希茨函数的是( )A.x x f =)(B.)0(1)(≥+=x x x fC.1)(2-=x x fD.32)(+=x x f17.对任意函数)()(x g x f 、,在公共定义域内,规定:)}(),(min{)()(x g x f x g x f =⊗,若32)(,3)(-=-=x x g x x f ,则)()(x g x f ⊗的最大值为_____________18.定义集合A x x B A ∈=|{*或B x ∈,且}B A x ∉,则=A B A *)*(_______19.电子计算机中使用二进制,它与十进制的换算关系如下表所示:观察二进制1位数、2位数、3位数时，对应的的十进制的数，当二进制为6位数时， 能表示十进制中的最大数是 _ 20.对于定义在],[b a 上的函数)(),(x g x f ,若对任意的],[b a x ∈,总有101)()()(≤-x f x g x f则称)(x f 可被)(x g “替代”,下面给出的函数中,在区间]16,4[上能替代x x f =)(,x]16,4[∈x 的是( )A.)6(51)(+=x x g B.16)(+=x x g C.62)(+=x x g D.6)(+=x x g:key (1).14 (2).7 (3).41 (4).6 (5).9 (6).27 (7).⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32n(8).-3 (9).),5(+∞-,}4171,0,2{+- (10)A (11).②③(12).]25,10[,295732∈++-x x x 且*N x ∈ (13).D (14).24789(15)解:k a a a a ⨯⨯⨯⨯ 321)2(log )2(log 5log 4log 3log 21432+=+⋅⋅⋅⋅=+k k k为整数,则N m k m∈=+,22,)2005,1(∈k ,∴)2007,3(2∈+k , ∴=+2k 10322,,2,2 ,=k 22,,22,221032---202692)222(1032=⨯-+++= M(16).C (17).1 (18).B (19).63 (20).A。
数学学习中的创新思维与问题解决技巧
数学学习中的创新思维与问题解决技巧数学学习是培养创新思维和问题解决技巧的重要途径。
通过数学学习，我们可以培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创造思维能力，提高他们解决问题的能力。
本文将介绍数学学习中的创新思维和问题解决技巧，并探讨如何应用这些技巧来解决实际问题。
一、创新思维在数学学习中的应用创新思维是指在解决问题时采取独特、新颖的思考方式。
在数学学习中，创新思维是非常重要的，它可以激发学生的求知欲和兴趣，培养学生的创造力和创新意识。
首先，创新思维要求学生独立思考和自主探索。
传统的数学学习模式往往是教师讲解，学生听讲和记忆。
而创新思维强调学生的主动性，要求学生在解决问题时要独立思考，积极探索。
例如，在学习几何学时，教师可以提供一些基础知识和问题，引导学生自主探索，寻找问题的解决方法。
其次，创新思维鼓励学生勇于提出问题和挑战权威。
传统的数学学习中，教师提问，学生回答。
而创新思维要求学生勇于提出问题，质疑权威，并尝试通过自己的思考去解决问题。
例如，学生可以提出一些与数学定理相悖的情况，引发对数学知识的深入思考和讨论。
最后，创新思维要求学生善于运用多种思维方法和工具。
数学学习需要学生具备运用多种思维方法和工具解决问题的能力。
例如，在解决数学应用题时，学生可以运用代数、几何、统计等多种数学方法，选择最适合的方法解决问题。
二、问题解决技巧在数学学习中的应用问题解决技巧是指在解决数学问题时采用的一些方法和策略。
良好的问题解决技巧可以帮助学生更加高效地解决问题，并培养他们的逻辑思维和分析能力。
首先，理清问题的要求和限制条件。
在解决数学问题时，学生应先理清问题的要求和限制条件，明确问题的目标和范围。
只有对问题有清晰的认识，才能找到解决问题的方法。
其次，分析问题的关键点和难点。
数学问题往往有一些关键点和难点需要突破，学生应重点分析这些点。
例如，在解决代数方程时，学生应该分析方程中的系数和未知数之间的关系，找到解方程的关键步骤。
数学学习中的创新思维与解题技巧
数学学习中的创新思维与解题技巧数学是一门需要创新思维和解题技巧的学科，它不仅仅是一堆公式和定理的堆砌，更是一门培养逻辑思维和解决问题能力的学科。
在数学学习中，我们需要培养创新思维，掌握一些解题技巧，以应对各种数学难题。
首先，创新思维在数学学习中起着重要的作用。
创新思维是指超越传统思维模式，寻找新的解决问题的方法和途径。
在解决数学问题时，我们常常会遇到一些复杂的难题，传统的思维模式可能无法解决这些问题。
这时，我们就需要发挥创新思维，尝试新的解题方法。
比如，在解决几何问题时，我们可以运用创新思维，将几何问题转化为代数问题，从而采用代数的方法解决。
这种创新思维的应用，不仅能够拓宽解题思路，还能够培养我们的创造力和想象力。
其次，解题技巧在数学学习中也是至关重要的。
解题技巧是指在解决数学问题时，运用一些特定的方法和策略，以提高解题效率和准确性。
在数学学习中，我们需要掌握一些常用的解题技巧，如找规律、分析归纳、逆向思维等。
举个例子，当我们遇到一个复杂的代数方程时，我们可以运用逆向思维，从方程的解出发，逆向推导出方程的表达式。
这样，我们就能够更加快速地解决问题。
掌握解题技巧，不仅能够提高我们的解题能力，还能够培养我们的逻辑思维和分析能力。
此外，在数学学习中，我们还需要注重实践和应用。
数学不仅仅是理论知识，更是一门需要实践和应用的学科。
我们需要将所学的数学知识应用到实际问题中，通过实践来巩固和深化对知识的理解。
比如，在学习统计学时，我们可以通过收集和分析实际数据，来研究和解决实际问题。
通过实践和应用，我们能够更好地理解数学的概念和原理，提高我们的解题能力和创新思维。
最后，我们还需要培养数学学习的兴趣和乐趣。
数学学习并不是一件枯燥无味的事情，相反，它可以是一种有趣的探索和挑战。
我们可以通过参加数学竞赛、解决数学难题等方式，来培养对数学的兴趣和乐趣。
当我们对数学产生了浓厚的兴趣，我们就会更加主动地去学习和探索数学，从而提高我们的解题能力和创新思维。
数学学习的创新思维用数学思维解决现实生活中的问题
数学学习的创新思维用数学思维解决现实生活中的问题数学学习的创新思维：用数学思维解决现实生活中的问题数学是一门既抽象又具体的学科，它不仅存在于课本和考卷上，更贯穿于我们的生活之中。
数学的核心思维方式是一种创新的思考方式，通过数学思维，我们能够更好地理解和解决现实生活中的问题。
本文将探讨数学学习中的创新思维，并介绍如何运用这种思维方式来解决实际问题。
一、抽象思维与问题建模数学学习中的抽象思维能够帮助我们从复杂的问题中提取出关键信息，进行简化和概括。
通过把问题抽象为数学模型，我们能够更清晰地理解问题的本质，为解决问题提供思路与方法。
例如，在日常生活中，我们经常会遇到排队等候的情况。
如何合理组织队伍，使得等候时间最短成为了一个重要问题。
通过数学思维，我们可以将其抽象为一个排队论的问题。
可以利用排队论中的模型和方法，比如马尔可夫链、排队队形优化等，来解决这个问题，使得队伍的等候时间达到最优。
二、逻辑思维与问题求解数学学习强调逻辑思维和问题求解能力的培养。
通过训练逻辑思维，我们可以学会从问题的已知条件和目标出发，通过合理的推理和分析，找到解决问题的方法和路径。
举个例子，当我们购买商品时，我们经常会面临多种选择。
如何在有限的预算下，选择到最合适的商品？这个问题可以通过数学的最优化方法来解决。
通过建立数学模型，将商品的价格、质量、个人需求等因素纳入考虑，利用最优化理论，可以找到一个最佳的选择方案。
三、归纳思维与模式识别数学学习培养了我们的归纳思维能力，使我们能够从大量的事实和数据中寻找共同点和规律，进而形成新的认识和解决问题的方法。
比如，面对一个复杂的问题，我们可以通过归纳思维将其分解为多个小问题，分而治之。
同时，在解决小问题的过程中，我们可以通过观察和总结，找到问题的通用解决方法，从而实现对整体问题的解决。
四、创造思维与新问题的发现数学学习中的创造思维能力培养了我们的创新和发现潜能。
通过开放性的数学问题和探索性的活动，我们可以培养发散思维和创造力，从而在解决问题的过程中提出新的观点和方法。
数学学习的创新思维用数学思维解决现实问题
数学学习的创新思维用数学思维解决现实问题数学是一门旨在研究数量、结构、变化以及空间等概念和模式的学科。
然而，数学不仅仅是一种学科，更是一种思维方式和工具，可以应用到各个领域，解决现实生活中的问题。
数学学习的创新思维，强调在数学知识的基础上，发展学生的创造力和解决问题的能力。
本文将探讨数学学习的创新思维，并举例说明如何用数学思维解决现实问题。
1. 创新思维在数学学习中的重要性数学学习的创新思维是指教育者和学生在学习数学过程中，超越传统的思维方式，采用不同的视角和方法来理解和解决问题。
这种思维方式注重培养学生的创新意识、探究精神和自主思考能力。
创新思维能够激发学生的求知欲望和好奇心，激发他们发现问题、解决问题的能力，培养他们的创造力和创新能力。
在当今信息爆炸的社会中，创新思维成为培养学生终身学习能力和适应未来社会发展的关键。
2. 数学思维解决实际问题的例子2.1 金融领域在金融领域，数学思维被广泛应用于风险评估和投资决策等方面。
通过建立数学模型，可以对个人或企业的风险承受能力进行量化评估，从而帮助他们制定合理的投资策略。
数学思维还可以通过建立金融衍生品的定价模型，帮助投资者进行风险管理和资产配置。
2.2 健康领域在健康领域，数学思维可以应用于生物医学工程和疾病模型等方面。
例如，在癌症治疗中，数学模型可以用来预测肿瘤的发展和预测不同治疗方案的效果，从而帮助医生制定个性化的治疗方案。
此外，数学还可以应用于分析医疗数据，挖掘潜在的疾病模式和规律。
2.3 城市规划在城市规划中，数学思维可以应用于交通流量模拟和城市布局规划等方面。
通过数学模型，可以预测交通拥堵情况，从而优化交通信号灯的配时方案和道路设计。
此外，数学思维还可以通过建立城市增长模型，辅助城市规划者制定有效的发展策略。
3. 如何培养数学学习的创新思维3.1 引导学生提出问题教育者应鼓励学生提出问题，培养他们的好奇心和求知欲望。
通过提出问题，学生可以激发思维，培养解决问题的能力。
创新教案：用创新的思维方式解决中班数学难题
中班是一个非常重要的教学阶段，教师需要具备一定的专业知识和创新思维，以制定有效的教学计划和教案，帮助学生更好地掌握数学知识。
本文将介绍一种创新的教学方法，利用创新的思维方式帮助中班解决数学难题。
我们需要了解中班学生的数学学习特点。
中班学生的数学学习主要集中在简单的数学概念和基础数学运算上。
他们需要掌握的知识点包括数字、形状、大小、方向、位置等基础概念，和加减乘除等基本的数学运算。
在这个阶段，学生的数学能力和兴趣的培养非常重要，而对于教师而言，如何利用创新的教学方法帮助学生更好地学习数学是一项关键任务。
创新的教案制定是解决这一问题的关键。
我们可以从以下几个方面入手：1.基于学生的实际情况制定教学目标制定教学目标是制定教案的第一步。
在制定教学目标时，我们需要关注学生的实际情况和特点。
比如，我们可以设置“通过游戏活动，帮助学生掌握数字概念”、“通过绘画活动，培养学生的观察能力和形状认识”等目标，针对学生不同的需求和学习情况，制定相应的教学步骤和活动方案。
2.利用游戏活动和情境化教学法在中班教学中，游戏活动和情境化教学法是非常受欢迎和有效的教学方法。
游戏活动能够吸引学生的注意力，提高他们的参与度和兴趣，而情境化教学法则能够让学生更好地理解和应用数学知识。
比如，我们可以设计一些数字游戏或者形状游戏，让学生在游戏中体验数字和形状的变化、组合和分解，通过游戏体验，激发学生的数学学习兴趣和创造力。
3.引导学生进行自主学习和实践在制定教案时，我们需要关注学生的主动性和自主性，引导学生进行自主学习和实践。
比如，我们可以让学生设计一种数学游戏，让他们感受到创造的乐趣；或者给学生布置一些有趣的数学作业，让他们在实践中加深对数学知识的理解和掌握。
通过以上教学方法的运用，我们可以构建一种以创新思维为核心的教学模式，让学生在轻松、愉快的学习氛围中掌握基础数学知识。
这一创新教学模式不仅能够提高学生的学习效果，还能培养他们的创造力和创新意识，为他们未来的学习和生活奠定坚实的数学基础。
巧用数学思想妙解数学问题
课程探讨数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。
在小学数学课堂教学的实践中，数学思想不仅能指导教师深入理解教材，进行高效的教学设计，更能帮我们巧妙地解决一些数学难题。
一、利用对应思想解决数学问题对应是人们对两个集合元素之间联系的一种思想方法。
这种思想方法是在两个事物之间建立起来的一种关系，即对应关系，从而揭示事物之间的联系。
运用对应思想可以让一些数学问题的数量关系变得简洁、明了。
例如：幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？这是一道盈亏类型的题目，解决这道问题的常用思路：这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍，因此，这箱饼干全分给小班的小朋友，每位小朋友可以多分6×1.5=9（块），一共可以分到6+9=15（块）。
但在实际的教学过程中，五年级的学生并不能很好地理解这种教学思路。
因此，在教学本道题目的时候，我就利用对应的思想来解决这道题目，收到了良好的教学效果。
“把这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分4块。
”通过对这句话的分析和理解，我们可以知道，如果只分给中班的小朋友，那么中班小朋友每人手中的6块饼干可以不用考虑，只考虑把小班小朋友的饼干重新分配给中班就可以。
认真观察，我们可以发现小班2个小朋友手中的饼干是6×2=12（块），这12块刚好分给中班的3个小朋友。
这样小班的2个小朋友和中班的3个小朋友之间就建立起一种对应关系。
因此，如果这箱饼干只分给小班的小朋友，每人就可以多分6×3÷2=9（块），每人共分6+9=15（块）。
最新高考数学 需要抽象概括的创新试题
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.题型一 定义新概念【例1】设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b P ∈，都有a b +、a b -，ab 、abP ∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}F a b Q =+∈，也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.解析：对于整数集Z ，当1a =，2b =时，12b Z a =∉,故①错；对于满足Q M ⊆的集合{}2M Q=，1M +不是数域，②错；若P 是数域，则存在a P ∈且0a ≠，依定义，2a ，3a ，4a ，,均是P 中元素，故P 中有无数元素，③正确；类似数集{}F a b Q =+∈，也是数域，④正确，故选③④.易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件. 变式与引申1.定义若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{}(,)|x y r A <⊆，称A 为一个开集．给出下列集合：①{}22(,)|1x y x y +=；② {}(,)|20x y x y ++>；③{}(,)6x y x y +≤；④ {}22(,)|0(2)1x y x y <+-<．其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号） 题型二 定义新数表根据以上排列规律，数阵中第n （3≥n ）行的从左向右的第3个数是 点拨：由数阵找到1n -（3n ≥）行的最后一个数.数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第1n -（3n ≥）行的最后一个数为2(1)(11)222n n n n -+-=-，则第n 行的第3个数为23(3)22n nn -+≥. 易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手. 变式与引申2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 题型三 定义新数列【例3】若数列{}n a 满足212n na pa +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 点拨： 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如2010年上海卷的“对称数列”、2009年湖北卷的“等方比数列”、2008年江苏卷的“绝对差数列”、2007的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.解析：由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即221121n nn n a a q q a a +++=⇒=则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即221121n n n na a q q a a +++=⇒=±即公比不一定为q ， 则命题乙不成立，故选B.易错点：是由2112n n n na a p a a ++=⇒=，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.变式与引申3.对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；本节主要考查：数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学如函数、数列问题，运用相应的数学知识求解．新定义问题的求解通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向;(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法;(3)对定义中提取知识进行转换，有效地输出.其中对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是一个难点.点评：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养，从而不断提高自身的数学素养，增强分析问题和解决问题的综合能力.如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的纵横发展，注重多元性，拓展发散思维.另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的灵活性、综合性、发散性和迁移性.以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题.习题9－11．(2011年高考江西卷·文)如图9-1-1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在源点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X 轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为2．设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0M >,使|()f x M x ≤对一切实数x 均成立,则称)(x f 为“倍约束函数”.现给出下列函数:①x x f 2)(=; ②1)(2+=x x f ; ③x x x f cos sin )(+=;④3)(2+-=x x xx f ;⑤)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数,且对一切21,x x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-.其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图9-1-2，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则200920102011a a a ++=_______.4．图9-1-3展示了一个由区间0,1到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图9-2中的图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f mn .1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y6x 6y图9-1-2(Ⅰ)方程0f x 的解是x;(Ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①114f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数;③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图像关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称． 【答案】变式与引申 1. ②④提示：本题将大学拓扑学的基本概念引入，下面画图进行判断： 对于①，如图9-1-1.图9-1-2显然存在面集⊆面集，该集合符合题目要求. 对于③，如图9-1-32.解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--，即112()1n n n nS S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第31行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥3.解：（Ⅰ） 0532A ：，，，10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．习题9-11．A 2. C提示：①x x f 2)(=显然存在M 符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;②当0=x 时, 1)0(=f ,此时不可能存在M 符合题目要求,所以1)(2+=x x f 不是“倍约束函数”③1)0(=f 此时不可能存在M 符合题目要求,所以x x x f cos sin )(+=不是“倍约束函数”④0)0(=f 且经过分析可以确定其图象大致如下，如图9-1-5:2-2-4-5510图9-1-5可以肯定存在M 符合题目要求,所以3)(2+-=x x xx f 是“倍约束函数”⑤)(x f 是奇函数,过原点,所以)0(2)(>+=k k x x f 不成立 又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在M 符合题目要求. 所以①④⑤均符合题目要求,选择C 3.1005提示：依题得4321424124n k n k k n k a k n k kn k=-⎧⎪-=-⎪=⎨-=-⎪⎪=⎩，则20092010201150310055031005.a a a ++=+-=4. (Ⅰ)21； (Ⅱ) ③④。
对初中数学试题中“新定义”题的想法与尝试
段折线上 ，可设 Ｅ（ｍ，Ｉｍ＋２１），则 ＝Ｉｍ＋２Ｉ，边 上 的
１
高长 Ｉ】一ｍ Ｊ，５△＾ Ｆ＝÷ Ｉｍ＋２ Ｊ·Ｊ】一ｍＪ＿２，然后通过解 二
一
。 ｆ
－
：
一 ４－３一
１ ２ ３ ４ ５ ｉ
●
－
一 ｄ －
一
｜
５ ４ ３ ２ ｌ
１ ２ ３ ４ ５ ｉ
＿
－
＿
图 ３
图 ４
解法点拨 第一 问 ，延续 自编题 １，仍然是作 图题 ，可 以
利用绝对值的性质，得到ｙ＝｛ ４，＜ｘ￣一２－．２然后做出分
段 函数 图像．第 二问 ，并 不知 道 “Ｖ形 折线 ”Ｙ＝ｍ ｆ２ 十４ Ｊ （ｍ≠Ｏ）的开 口方 向，可 以讨论 ｍ的正负性．如果 ｍ＞０，则 开 口向上 ，当 ｍ＜ ＜ｍ＋１时 ，Ｙ随 的增大 而减 小 ，可以启 发 学 生 利 用 “数 形 结 合 ”的 思 想 方 法 ，ｍ ＋２≤ 一２，ｍ≤ 一４， 与 ｍ ＞０矛 盾 ，舍 去 ；如 果 ｍ ＜０，则 开 口向 下 ，一２≤ｍ ＜０，综 上所述 ，一２≤ｍ＜０．此 问考查 了学生 函数单调性 的知识点 ， “分类 讨 论 …‘数 形 结 合 ”的思 想 方 法．第 三 问 ，函数 Ｙ＝ Ｉ２ ＋４Ｉ一１是把 函数 Ｙ＝ｆ２ｘ＋４ｌ图像 向下移动 了一个单位 长度 ，在 “Ｖ 形 折 线 ”Ｙ＝ Ｉ ２ ＋４ｌ一１上 有 两 点 Ａ（ｍ，Ｙ ）， Ｂ（ｍ＋Ｉ，Ｙ２），由于两点都 是动 点 ，可 以启 发学 生观 察 ｍ 为 何值 时 Ｙ ＝Ｙ：，易发现 ｍ＝一２．５，由于 点 Ａ，曰的横 坐标相 差 １，在点运动的过程 中，观察 比较 Ｙ。，Ｙ２的大小．此问 的研 究对 学生 以后 学习二次函数有帮助 ，和二次 函数 中“定轴 动 区间”问题类似．由此 联想 ，笔者 可 以继 续第 四 问，“动轴定 区间”问题 ，难度上 升很 多 ，能够进 一步培 养学 生 的数学思 维 能 力 ．
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用数学思想解即时定义创新题掌握新知识、认识新事物的能力,是重要的数学素养之一是高考追求的目标与必然归宿，即时定义型创新题为我们提供了这种切实可行的平台，这类题新颖脱俗,匠心独具,能较好地考查应用新知识来解决新问题的能力,如何培养这种能力? 是一个值得我们探索的课题. 一.历年高考即时定义型创新题精选1.(1994年∙全国)在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n 次测量分别得到 n a a a ,,,21 共n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其 他近似值比较, a 与各数据的差的平方和最小,依此规定,从n a a a ,,,21 中推出=a ___2.(2001年∙上海春招)若记号“*”表示求两个实数的算术平均数的运算,即b a *2b a +=则两边均含有“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是____ 3.(2002年∙上海春招)对于函数)(x f ,若存在R x ∈0,使00)(x x f =成立,则称0x 为)(x f 的不动点,已知函数)0)(1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1)当2,1-==b a 时,求函数)(x f 的不动点;(2)若对任意实数b ,函数)(x f 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若)(x f y =图象上B A ,两点的横坐标是函数)(x f 的不动点,且B A ,两点关于直线1212++=a kx y 对称,求b 的最小值.4.(2003年∙北京春招)在直角坐标系xOy 中,已知AOB ∆三边所在的直线方程分别为0=x ,0=y ,3032=+y x ,则AOB ∆内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( )A.95B.91C.88D.75 5.(2003年∙全国文科)在平面几何中,有勾股定理:“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直,则222BC AC AB =+”拓展到空间,类似平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB ”两两垂直,则____________________答案:1.na a a a n+++=212.)(*)()*(c a b a c b a ++=+3.(1)两个不动点为3,1-, (2)10<<a , (3)42min -=b 4.B5.2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++二.例题讲析(1).紧扣定义,注重函数与方程思想例1.][x 表示不超过x 的最大整数(称为x 的整数部分),如,3]1.2[,3]7.3[-=-=函数][x y =称为高斯函数,它的定义域为R ,值域为整数集. 试作函数])[(||x x x y -=在]1,1[-上的图象练习1.给定实数x ,定义[x ]为不大于x 的最大整数,如[3]=3,[-3.9]=-4,[2.5]=2,则下列结论不正确的是( )A.x -[x ]0≥B.x -[x ]1<C.x -[x ]是周期函数D.x -[x ]是偶函数练习2.若定义在区间D 上的函数)(x f 对于D 上任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足: )()]()()([12121nx x x f x f x f x f nnn +++≤+++ ,则称)(x f 为D 上的“凸函数”,已知x y sin =在区间),0(π上是凸函数,则在ABC ∆中,C B A sin sin sin ++的最大值是__________x(2).沟通表里,利用数形结合思想 例2.定义:},,max{21n a a a 为n a a a ,,21中的最大值,已知函数}66,2max{)(2-+--=x x x x f ,且)(x f 在区间)0](,0[>a a 上的最大值为)(a f ,求a 的取值范围练习.已知非空集合M 和N ,定义“差集”M x x N M ∈=-|{但}N x ∉,那么=--)(N M M ( )A.N MB.N MC.MD.N(3).弄清内涵,把握分类讨论思想例3.定义:1)2(22=-+y m mx 的方程叫“全能”方程，当m 变化时，讨论方程表示的曲线形状，并画出简图练习.设集合}31|{},43|{n x n x N m x m x M ≤≤-=+≤≤=,且集合N M ,都是集合}10|{≤≤x x 的子集,定义a b -为集合}|{b x a x ≤≤的“长度”,那么集合N M 的“长度”的最小值为___________(4).及时迁移,落实转化与化归思想例4. 对于定义在实数集上的函数)(x f ,若存在0x ,使得00)(x x f =成立,那么0x 叫作)(x f 的一个“不动点”,已知函数12)(2++=ax x x f 不存在“不动点”,则a 的取值范围是____________三.课后练习1.定义数对),(y x 满足∈y x ,N 的点为“好点”,已知集合}2,1,{},1,{y Q x P == 其中}9,,2,1{, ∈y x ,且Q P ⊆,则Q P ,确定的“好点”个数为2.设集合},,2,1{n S n =,若X 是n S 的子集,把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(规定 空集的容量为)0,若X 的容量为奇(偶)数,则称X 为n S 的奇(偶)子集,已知4=n ,则n S 的所有奇子集的容量之和为______________3.定义集合,36*|),{(==b a b a M },*N b a ∈中的的元素),(b a 满足:若b a ,的奇偶性相 同,则b a b a +=*;若奇偶性相反,则b a b a ⨯=*,那么M 中的元素个数为 4.设}6,5,4,3,2,1{=S ,集合A 是集合S 中含有4个元素的子集,若A x ∈,有A x ∉-1且 A x ∉+1,则称x 为A 的“孤立元素”，则无“孤立元素”的集合A 的个数为 个 5.设}4,3,2,1{=I ,A 与B 是I 的子集,若}3,1{=B A ,则称),(B A 是 一个“理想配集”，那么符合条件的“理想配集”的个数是6.若集合21,A A 满足A A A =21 ,则称),(21A A 是A 的一个拆分,并规定:当且仅当 21A A =时,),(),(1221A AA A =,则},,{c b a A =的不同拆分种数为x7.数列1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,…的通项公式为=n a ______________ 8.若139+与139-的小数部分分别为a 与b ,求234-+-b a ab9.定义“符号函数”:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(1)0(0)0(1sgn )(x x x x x f ，则①不等式x x x sgn )2(2->+的解集是 ,②方程x x x sgn )12(1-=+的解集为10.定义:函数D x x f y ∈=),(,若存在常数C ,对于任意D x ∈1,存在惟一的D x ∈2,使得C x f x f =+2)()(21,则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ，已知函数x x f lg )(=，]100,10[∈x ,则函数x x f lg )(=在]100,10[∈x 上的均值为( ) A.23 B.43 C.101 D.1011.给出下列四个函数:①x y sin =;②2x y -=;③x y lg =;④x y )21(=对于定义域内的任意1x 、)(212x x x ≠都有2)()()2(2121x f x f x x f +≥+成立的函数是 ______12.在经济学中,定义)()1()(x f x f x Mf -+=成立时的函数)(x Mf 为函数)(x f 的“边际函数”,某企业的一种产品的利润函数]25,10[(101030)(23∈++-=x x x x p 且*N x ∈),则它的边际函数=)(x Mp ____________________________13.导数)(x f '图象如下图的函数)(x f ,定义为:“脉冲函数”,则)(x f 的图象可能是( )xxx14.“渐升数”(如34689)是指每个数字比其左边的数字大的正整数,已知有12659=C 个五位“渐升数”,若把这些数从小到大的顺序排列,则第100个数为____________15.给定))(2(log 1N n n a n n ∈+=+,定义使k a a a a ⨯⨯⨯⨯ 321为整数的数)(N k k ∈叫做企盼数,试求区间)2005,1(内的所有企盼数的和M 16.存在一个正数a ,使得函数)(x f 对于定义域D 内任意两个不相等的实数21,x x 都有: |||)()(|2121x x a x f x f -≤-成立,则称函数)(x f 为D 上的利普希茨函数,下列函数不能作为利普希茨函数的是( )A.x x f =)(B.)0(1)(≥+=x x x fC.1)(2-=x x f D.32)(+=x x f 17.对任意函数)()(x g x f 、,在公共定义域内,规定:)}(),(min{)()(x g x f x g x f =⊗,若32)(,3)(-=-=x x g x x f ,则)()(x g x f ⊗的最大值为_____________18.定义集合A x x B A ∈=|{*或B x ∈,且}B A x ∉,则=A B A *)*(_______19.电子计算机中使用二进制,它与十进制的换算关系如下表所示:观察二进制1位数、2位数、3位数时，对应的的十进制的数，当二进制为6位数时，能 表示十进制中的最大数是 _ 20.对于定义在],[b a 上的函数)(),(x g x f ,若对任意的],[b a x ∈,总有101)()()(≤-x f x g x f则称)(x f 可被)(x g “替代”,下面给出的函数中,在区间]16,4[上能替代x x f =)(,x]16,4[∈x 的是( )A.)6(51)(+=x x g B.16)(+=x x g C.62)(+=x x g D.6)(+=x x g:key (1).14 (2).7 (3).41 (4).6 (5).9 (6).27 (7).⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32n(8).-3 (9).),5(+∞-,}4171,0,2{+-(10)A (11).②③ (12).]25,10[,295732∈++-x x x 且*N x ∈ (13).D (14).24789 (15)解:k a a a a ⨯⨯⨯⨯ 321)2(log )2(log 5log 4log 3log 21432+=+⋅⋅⋅⋅=+k k k为整数,则N m k m ∈=+,22,)2005,1(∈k ,∴)2007,3(2∈+k , ∴=+2k 10322,,2,2 ,=k 22,,22,221032---202692)222(1032=⨯-+++= M(16).C (17).1 (18).B (19).63 (20).A。