2014届高三数学一轮复习专讲专练课件6.6综合法与分析法、反证法
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推理与证明(综合法、分析法与反证法)
推理与证明综合法与分析法学习目标： 教师备课 1． 理解综合法和分析法的概念及区别 学习笔记 2． 熟练的运用综合法分析法证题 学习重难点 :综合法和分析法的概念及区别 自主学习： 一：知识回顾1． 合情推理： 前提为真， 结论可能为真的推理。
它包括归纳推理与类比推理。
2． 演绎推理： 根据一般性的真命题 (或逻辑规则) 导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发 ,根据已知的定义 ,公理,定理直接推证结论的真实性 . 2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发 ,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题 .综合法是一种由因所 果的证明方法 . 3. 分析法 : 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已 知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法 .4.综合法的证明步骤用符号表示:0P (已知) 1Pn P(结论)5.分析法的证明“若 A 成立,则 B 成立”的思路与步骤;要正(或为了证明)B 成立,只需证明 A 1 成立(A 1 是 B 成立的充分条件).要证 A 1 成立,只需证明 A 2 成立( A 2 是 A 1 成立的充分条件).… ,要证 A k 成立,只需证明 A 成立(A 是 A k 成立的充分条件).. A 成立, ：B 成立.三 : 例题解析例 1: 已知 a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明 : 因为 b2+c 2 ≥2bc,a>0 又因为 c2+b2 ≥2bc,b>0所以 a(b2+c 2)≥2abc.教师备课学习笔记所以 b(c2+a 2)≥ 2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a 2)≥4abc.例 2: 已知:a,b,c 三数成等比数列 ,且 x,y 分别为 a,b 和b,c 的等差中项 . a b x y证明 : 依题意 , :a,b,c 三数成等比数列 , ： = , ： = ,b c a + b b + c又由题设: x =a + b, y =b + c,2 2a b 2a 2c 2b 2c 2(b + c)例 3. 设 a 、b 是两个正实数，且 a≠b， 求证： a3+b3＞a2b+ab2． 证明： (用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2 成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即证 a2-ab+b2＞ab 成立。
高考数学一轮总复习(知识梳理+聚焦考向+能力提升)6.6 直接证明与间接证明课件 理
第十六页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 二 分析法的应用(yìngyòng)
变式训练
2．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等 差数列，证明(zhèngmíng)：B为锐角．
证明：要证明 B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明 cos B＝
a2＋c2－b2 2ac ＞0，即需证 a2＋c2－b2＞0.
要证明
2
≥f( 2 )，
（3x1－2x1）＋（3x2－2x2） x1＋x2
x1＋x2
即证明
2
≥3 2 －2· 2 ，
3x1＋3x2
x1＋x2
因此只要证明 2 －(x1＋x2)≥3 2 －(x1＋x2)，
3x1＋3x2 x1＋x2 即证明 2 ≥3 2 ，
3x1＋3x2 因此只要证明 2 ≥ 3x1·3x2，
考 向 三 反证法
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·浙江杭州模拟)已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
(1)用增函数定义证明；(2)假设(jiǎshè)有 负数根，根据指数函数性质证出矛盾．
(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要 证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
第七页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 一 综合法的应用(yìngyòng)
例题(lìtí)精编
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
2014届高考数学总复习 第2讲 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版选修4-5
第2讲 证明不等式的基本方法
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使 用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证 明过程．
则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.
又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立．
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
1 1 1 ＋ ＋ 2≥6 a b c
3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3 abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明． 3
[证明]
2
因为a，b，c均为正数，
核心要点研究
例1 [2013· 广州模拟]已知a>0，b>0，求证：( b3≥ab＋ ab2.
[审题视点]
a
)3＋
本题主要考比较法证明．
[证明]
( a)3＋b3－(ab＋ ab2)
＝[( a)3－ab]＋[b3－ ab2] ＝a( a－b)－b2( a－b) ＝( a－b)(a－b2) ＝( a－b)[( a)2－b2] ＝( a－b)2( a＋b)． 因为a>0，b>0，所以 a＋b>0，又( a－b)2≥0， 所以( a －b)2( a ＋b)≥0，从而( a )3＋b3－(ab＋ a
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使 用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证 明过程．
则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.
又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立．
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
1 1 1 ＋ ＋ 2≥6 a b c
3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3 abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明． 3
[证明]
2
因为a，b，c均为正数，
核心要点研究
例1 [2013· 广州模拟]已知a>0，b>0，求证：( b3≥ab＋ ab2.
[审题视点]
a
)3＋
本题主要考比较法证明．
[证明]
( a)3＋b3－(ab＋ ab2)
＝[( a)3－ab]＋[b3－ ab2] ＝a( a－b)－b2( a－b) ＝( a－b)(a－b2) ＝( a－b)[( a)2－b2] ＝( a－b)2( a＋b)． 因为a>0，b>0，所以 a＋b>0，又( a－b)2≥0， 所以( a －b)2( a ＋b)≥0，从而( a )3＋b3－(ab＋ a
高考数学北师大理一轮复习课件：7.4 综合法、分析法、反证法
②解 (ⅰ)由(1),有 Sn= 1-2 =2n-1,
n
2×(1-2 )
k
k
故 Tn= ∑ (2 -1)= ∑ 2 -n=
-n=2n+1-n-2.
1-2
=1
k=1
( ++2 )
(2+1 --2++2)
·2+1
2+2
2+1
(ⅱ)证明 因为 (+1)(+2) = (+1)(+2) = (+1)(+2) = +2 − +1 ,
2
2
2
即 + + ≥a+b+c.
2
2
2
所以 + + ≥1.
1
当且仅当 a=b=c=3时,等号成立.
-10考点1
考点2
考点3
思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?
解题心得1.综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数
的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知
-3-
考点自诊
2.反证法
(1)反证法的定义:在假定命题结论 反面成立 的前提下,经过推
理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条
件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,
由此断定命题结论成立的方法叫反证法.
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;
1
1
1
1
1
1
<1+1×2 + 2×3+…+
n
2×(1-2 )
k
k
故 Tn= ∑ (2 -1)= ∑ 2 -n=
-n=2n+1-n-2.
1-2
=1
k=1
( ++2 )
(2+1 --2++2)
·2+1
2+2
2+1
(ⅱ)证明 因为 (+1)(+2) = (+1)(+2) = (+1)(+2) = +2 − +1 ,
2
2
2
即 + + ≥a+b+c.
2
2
2
所以 + + ≥1.
1
当且仅当 a=b=c=3时,等号成立.
-10考点1
考点2
考点3
思考综合法的适用题型是哪些?综合法证明问题是怎样实现的?
解题心得1.综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数
的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知
-3-
考点自诊
2.反证法
(1)反证法的定义:在假定命题结论 反面成立 的前提下,经过推
理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条
件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,
由此断定命题结论成立的方法叫反证法.
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;
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1
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1
1
1
<1+1×2 + 2×3+…+
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第5讲 综合法与分析法、反证法课件 理 北师大版
(3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要 依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A， 或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个 是正确的，不能有第三种情况出现．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间
考点三 反证法 设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， 所以 Sn＝a1（11－－qqn），
3.已知 a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，
a4 中至少有一个数大于 25. 证明： 假设 a1，a2，a3，a4 均不大于 25， 即 a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则 a1＋a2＋a3＋a4≤25 ＋25＋25＋25＝100， 这与已知 a1＋a2＋a3＋a4>100 矛盾，故假设错误．所以 a1， a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.
法二：由两直线平行可知 bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得
a·b2＋
c2－
a2＝
a2＋ b·
c2－
b2，
2bc
2ac
所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
高考理科数学一轮总复习课件第11章第3节综合法、分析法、反证法、数学归纳法
即 a2＋b2＋c2≥13.
点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条 件“一正、二定、三相等”；
(2) 应用重要不等式 a2＋b2≥2ab 放缩时要注意待证不等式的方向 性．
[跟进训练] 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B ＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C＝23π，求证：5a＝3b.
A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个偶数 B [“ 至少有一个” 的否定为“ 都不是” ，故 B 正确．]
1234
3．若 P＝ a＋6＋ a＋7，Q＝ a＋8＋ a＋5(a≥0)，则 P，Q 的
大小关系是( )
考点二 分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围
利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论 成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或 证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别 是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[典例 2] 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记 cn＝ 2abnn，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2 n，n∈N*.
[解] (1)设数列{an}的公差为 d， 由题意得aa11＋ ＋23dd＝ ＝43， a1＋3d， 解得 a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N*. ∴Sn＝n2－n，n∈N*.
(2)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在 性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现 结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．
点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条 件“一正、二定、三相等”；
(2) 应用重要不等式 a2＋b2≥2ab 放缩时要注意待证不等式的方向 性．
[跟进训练] 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin Asin B ＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C＝23π，求证：5a＝3b.
A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个偶数 B [“ 至少有一个” 的否定为“ 都不是” ，故 B 正确．]
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3．若 P＝ a＋6＋ a＋7，Q＝ a＋8＋ a＋5(a≥0)，则 P，Q 的
大小关系是( )
考点二 分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围
利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论 成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或 证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别 是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
[典例 2] 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记 cn＝ 2abnn，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2 n，n∈N*.
[解] (1)设数列{an}的公差为 d， 由题意得aa11＋ ＋23dd＝ ＝43， a1＋3d， 解得 a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N*. ∴Sn＝n2－n，n∈N*.
(2)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在 性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现 结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．
综合法、分析法、反证法
一、复习： 推 理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
直接证明
2.2.1 综合法
例1.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
文字语言
学会语言转换；还要细
致，找出隐含条件。
图形语言
符号语言
例3.在锐角三角形ＡＢＣ中， 求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
课堂练习：
1.已知a,b,c > 0,且不全等，求证： a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
直接证明
2.2.1 综合法
例1.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
文字语言
学会语言转换；还要细
致，找出隐含条件。
图形语言
符号语言
例3.在锐角三角形ＡＢＣ中， 求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
课堂练习：
1.已知a,b,c > 0,且不全等，求证： a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法、分析法、反证法
只需证 14 18
只需证 14<18,这显然成立 所以 2 + 7 3 + 6成立
例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证法1Q a + b ab
2
a + b ab 2
( a b)2
2
因为 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab成立
证法2要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
• 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
只需证 14<18,这显然成立 所以 2 + 7 3 + 6成立
例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
思考：请对综合法与分析法进行比
较，说出它们各自的特点。回顾以往 的数学学习，说说你对这两种证明方 法的新认识。
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
回顾基本不等式：a
+ 2
b
ab
分析法
(a>0,综b>合0)法的证明.
证法1Q a + b ab
2
a + b ab 2
( a b)2
2
因为 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab成立
证法2要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
• 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王 才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还 是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
b ac 由a,b,c成等比数列可得什么?
2
怎样把边,角联系起来?
点评：解决数学问题时，
高考数学(理科)一轮复习：单元七 不等式、推理与证明 7.4 综合法、分析法、反证法
7 .4
综合法、分析法、反证法
第七章
知识梳理 考点自测
7.4
综合法、分析法、反证法
关键能力
必备知识
-2-
1.综合法与分析法
内容
综合法
分析法
从命题的 条件 出发,利 从 求证的结论 出发,一步 用定义、公理、定理及运算 一步地探索保证前一个结 法则 ,通过演绎推理, 论成立的 充分条件 ,直到 定义 一步一步地接近要证明 的 结论 ,直到完成命题 的证明.我们把这样的思维 方法称为综合法. 由因导果 归结为这个命题的条件,或 者归结为定义、公理、定 理等.我们把这样的思维方 法称为分析法. 执果索因
关闭
要证√������ + √������ + 4<2√������ + 2,即证 2n+4+2√������2 + 4������<4(n+2),即证 √������2 + 4������<n+2,即证 n2+4n<(n+2)2,即证 0<4.
关闭
0<4
解析 答案
第七章
知识梳理 考点自测
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综合法、分析法、反证法
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因为证明过程是“从左往右”,即由条件推出结论.故选B.
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B
解析 答案
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综合法、分析法、反证法
关键能力
必备知识
-7-Biblioteka 1234
5
3.若实数a,b满足a+b<0,则( ) A.a,b都小于0 B.a,b都大于0 C.a,b中至少有一个大于0 D.a,b中至少有一个小于0
综合法、分析法、反证法
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关键能力
必备知识
-2-
1.综合法与分析法
内容
综合法
分析法
从命题的 条件 出发,利 从 求证的结论 出发,一步 用定义、公理、定理及运算 一步地探索保证前一个结 法则 ,通过演绎推理, 论成立的 充分条件 ,直到 定义 一步一步地接近要证明 的 结论 ,直到完成命题 的证明.我们把这样的思维 方法称为综合法. 由因导果 归结为这个命题的条件,或 者归结为定义、公理、定 理等.我们把这样的思维方 法称为分析法. 执果索因
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要证√������ + √������ + 4<2√������ + 2,即证 2n+4+2√������2 + 4������<4(n+2),即证 √������2 + 4������<n+2,即证 n2+4n<(n+2)2,即证 0<4.
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3.若实数a,b满足a+b<0,则( ) A.a,b都小于0 B.a,b都大于0 C.a,b中至少有一个大于0 D.a,b中至少有一个小于0
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第4节 综合法、分析法、反证法
2
)(a-b)>0,即证( - ) ( + )>0,a,b,c,d 都是正数且 a≠b,所以( −
)2>0, + >0,所以上式成立,所以 a +b >b +a 成立.
(2)因为 a,b,c,d∈(0,+∞),所以欲证 ac+bd≤ (2 + 2 )( 2 + 2 ),只需证
C+cos 2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=
2π
,求证:5a=3b.
3
证明:(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,
因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列.
(2)由C=
2π
即(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2<0,
与(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2≥0矛盾,所以假设不成立,
所以一元二次方程x2+ax+b-1=0,x2+bx+c-1=0和x2+cx+a-1=0中至少有一
个方程有实根.
本 课 结 束
论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从
而使原命题得证.
3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识
不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不
)(a-b)>0,即证( - ) ( + )>0,a,b,c,d 都是正数且 a≠b,所以( −
)2>0, + >0,所以上式成立,所以 a +b >b +a 成立.
(2)因为 a,b,c,d∈(0,+∞),所以欲证 ac+bd≤ (2 + 2 )( 2 + 2 ),只需证
C+cos 2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若C=
2π
,求证:5a=3b.
3
证明:(1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,
因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列.
(2)由C=
2π
即(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2<0,
与(a-2)2+(b-2)2+(c-2)2≥0矛盾,所以假设不成立,
所以一元二次方程x2+ax+b-1=0,x2+bx+c-1=0和x2+cx+a-1=0中至少有一
个方程有实根.
本 课 结 束
论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从
而使原命题得证.
3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识
不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不
【创新设计】高三数学一轮复习 第12知识块第2讲综合法、分析法、反证法课件 北师大
【例4】 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证： 反证中法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法 时，必须思在维假至点设少拨中有：罗一本列个题出成结各论立种以．与“原至命少题”相形异式的出结现论，，从缺正少面任思何考一有种多可能， 则反证都种是形不式完，全不的易．入手，故可用反证法加以证明．
A．M≥N ________．
B．M≤N
C．M＝N
D．不能确定
解析：由命题的否定可得．
解析：2M－2N＝2(x2＋y2)＋2－2(x＋y＋xy) 答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0
∴M≥N.
答案：A
用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择适当的 已知不等式作为依据．在证明时，常要用到以下证题依据： (1)若a，b∈R，则|a|≥0，a2≥0，(a－b)2≥0； (2)若a，b同号，则 (3)若a，b∈(0，＋∞)，则 a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.
2．设0<b<a<1，则下列不等式中成立的是
A．a2<ab<1
B．
C．ab<b2<1
D．2b<2a<2
解析：y＝2x是单调增函数，而0<b<a<1，
∴1<2b<2a<2，故D正确．
答案：D
()
3．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，
则M与N的大小关系是( ) 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是
即
≥a＋b＋c.
变式1：已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)－3. 证明：∵a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3 ＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1 ＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立． ∴原不等式成立.
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立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、
定义
定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或 与假定相矛盾，从而说明命题结论的 反面不可 能成立，由此断定命题的 结论成立．这种证明
方法叫作反证法．
证明 步骤
(1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出矛盾； (3)否定假设，肯定结论．
反证法
(1)否定性命题； (2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯 适 一”等词语的； 用 (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理 范 论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常 围 容易证明的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
的思维方法称为综合法.
法．
综合法
思维过程
由因导果
P(已知)⇒P1 证题步骤 ⇒P2⇒…
⇒Pn⇒Q(结论)
因为…，所以… 文字语言
或由…，得…
符号语言
⇒
分析法
执果索因
Q(结论)⇐Q1 ⇐Q2⇐… ⇐Qn⇐P(已知) 要证…，只需证…，即 证…
⇐
2．间接证明
反证法
在证明数学命题时，先假定命题结论的 反面 成
用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反 面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一 种可能，反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论出发进行推理，即应把结论 的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则， 仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证 法； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有 的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是 明显的．
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目 标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要 注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可 以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一 个重要步骤．
[典例] 已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝x22n＋xn1，
求证：0＜xn＋1－xn＜
假设为3 a≤ 3 b.
答案：3 a≤
3 b
5．要证明“ 3＋ 7<2 5”可选择的方法有以下几种，其
中最合理的是________．(填序号)
①反证法，②分析法，③综合法．
答案：②
1.证明方法的合理选择 (1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易， 一般用综合法． (2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分 析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述． 2．使用反证法的注意点 (1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要 准确，否则后面的部分毫无意义； (2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．
分析法的特点与思路 分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”， 逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论 等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达 中要注意叙述形式的规范．
2．已知 m＞0，a，b∈R，求证：a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2. 证明：∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要证原不等式成立， 只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证.
[小题能否全取] 1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺
推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；
⑤反证法是间接证法．其中正确的有 ( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，
①②③④⑤都正确．
答案：D
2．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角
3．(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理． 解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两 倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
1．直接证明
[知识能否忆起]
综合法
分析法
命题的条件
从 求证的结论 出发，一步
从
出发，利用
定义、公理演、绎定理及运算法
一步地探索保证前一个结论 成立的充分 条件，直到归
定 则，通过
推理，一步
义 一步地接近要证明的结论， 结为这个命题的条件，或者
直到完成命题的证明，这样 归结为定义、公理、定理等，
这样的思维方法称为分析
sin2θ＝cos 2θ”过程应用了
()
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
答案：B
4．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么3 a＞3 b”时，假设
的内容是________．
解析：“如果
a>b，那么3
3 a>
b”若用反证法证明，其
3．(2012·六安月考)设 x、y、z>0，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c
＝z＋1x，则 a、b、c 三数
()
A．至少有一个不大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不小于 2
D．都大于 2
解析：假设 a、b、c 都小于 2， 则 a＋b＋c<6. 而事实上 a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6 与 a ＋b＋c<6 矛盾， ∴a，b，c 中至少有一个不小于 2. 答案：C
1－21n－
n 2n＋1.
所以 Sn＝2－2n1－1－2nn＝2－n＋2n 2＜2.
又 Sn＋1－Sn＝n＋2n 2－n2＋n＋31 ＝n2＋n＋11 ＞0.
所以 Sn＋1＞Sn，即{Sn}是递增数列，则 Sn≥S1＝12.
故12≤Sn＜2.
教师备选题（给有能力的学生加餐） 1．已知非零向量 a，b 且 a⊥b，求证：|a|a|＋ ＋|bb||≤ 2.
至少有一个不大于60°”时，应假设
()
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°解析：假设为“三个来自角都大于60°”．答案：B
3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：
“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－
又1－1 a1＝1，故1－1an＝n.所以 an＝1－1n. (2)证明：由(1)得
bn＝1－
an＋1＝ n
n＋1－ n＋1·
n＝ n
1－ n
n1＋1，
n
n
Sn＝ bk＝
k＝1
k＝1
1－ k
k1＋1＝1－
n1＋1<1.
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件 出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综 合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段 论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎 规律，才能保证结论的正确性．
(2)证明：令 h(x)＝f(x)－g(x) ＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x＞－1)． h′(x)＝x＋1 1－x2＋x－1＝x－＋x13. h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即 f(x)≤g(x)．
分析法
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列． 当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2， S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3， 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． 由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2， ∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾． 综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时， {Sn}不是等差数列．
针对训练 已知 bn＝2nn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：12≤Sn＜2. 证明：因 bn＝2nn，
Sn＝12＋222＋233＋…＋2nn，
①
12Sn＝212＋223＋234＋…＋2nn＋1，
②
①－②得，12Sn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1
＝1211－－1212n－2nn＋1＝
反证法
[例3] 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n 项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ [自主解答] (1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝ S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， ∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0 相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．
[例2] △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A， B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. [自主解答] 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3 也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证 c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60°， 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°，即 b2＝c2＋a2－ac， 故 c2＋a2＝ac＋b2 成立． 于是原等式成立．
＝xn(1－xn)·1＋xn＋11＋2 xn－2，
其中 0＜xn(1－xn)≤14，1＋xn＋1＋2xn≥2 2，
因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故 0＜xn＋1
－xn＜14·2
21－2＝
2＋1 8.
[题后悟道] 本题技巧性较强，经过了两次放缩， 关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度， 以避免运算上的麻烦．第一次是利用基本不等式，将xn ＋1－xn转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号 不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错 之处，必须加以警惕，从而判定出0＜xn＜1；第二次放 缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项、 分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放 缩时要注意放缩的方向保持一致．