第1章 1.5.1 二项式定理 学业分层测评
二项式定理(测试卷含答案)
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n ，称为二项式定理 二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )通项 T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1，…n ) 二项式定理的特例 (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n nx n 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C m n ＝C n－mn；(2)性质：C k n ＋1＝C k －1n ＋C kn ；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即1122CCn n nn -+=最大；(4)二项式系数之和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 答案 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.∴x 2的系数为C 25＋a C 15，则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项即为(2x －1x )5的展开式中1x 与x 的系数之和．(2x －1x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k x 5－2k (－1)k ， 令5－2k ＝1，得k ＝2，∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80， 令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x 的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40， ∴(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项为80－40＝40.命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 答案6322解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25， ∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k ⎝⎛⎭⎫x2＋1x 15k －(2)1k (k 1＝0,1,2，…，5)． 当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －的展开式的通项公式为21k T '＋＝215C k k -⎝⎛⎭⎫x 2125k k －－⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝215C k k -⎝⎛⎭⎫12125k k －－·1252k k x －－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1. ∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝6322.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5 ＝132x 5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 1解析 ∵512 015＋a ＝(52－1)2 015＋a ＝C 02 015522 015－C 12 015522 014＋C 22 015522 013－…＋C 2 0142 015521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1， 解得9.4≤k ≤10.4.∵0≤k ≤n ，k ∈N *，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝(12)12·C 1012·410·x 10＝16 896x 10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 解 依题意得2n －22n －1＝－112，整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(x lg x )4＝1 120，化简得x 4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.2.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－1)k x 6－2k.令6－2k ＝0解得k ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.3．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 答案 C解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n－1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 4．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552kx -(－1)k a k ·2kx -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.5．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案 128解析 由已知条件可得a 5＝C 38·(－m )3＝－56m 3＝56，∴m ＝－1， 则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(1＋1)8＋(－1＋1)82＝128.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．课时作业一、选择题1．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31 答案 B解析 由已知条件得(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6.C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝32. 2．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( ) A ．20 B ．24 C ．30 D ．36 答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式 T k ＋1＝C k 6·(－1)k x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x3项的系数为C36·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20.3．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A．210 B．120 C．80 D．60答案 B解析在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3的项为C46x4C342·y3＝120x4y3.故含x4y3项的系数为120.4．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n 的值为()A．0 B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.5．9192被100除所得的余数为()A．1 B．81 C．－81 D．992答案 B解析利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．方法一(100－9)92＝C09210092－C19210091×9＋C29210090×92－…－C9192100×991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81.方法二(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9092902＋C919290＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于()A．5 B．6 C．7 D．8答案 B解析∵(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C m2m，.∴a＝C m2m.同理，b＝C m＋12m＋1∵13a＝7b，∴13·C m2m＝7·C m＋1，2m＋1∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6.7．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 易知T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ， 令k ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.二、填空题8．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 1解析 (a －x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k a 5－k C k 5x k，令k ＝2，得a 2＝a 3C 25＝80， 知a ＝2，令二项展开式的x ＝1，得 15＝1＝a 0＋a 1＋…＋a 5.9．在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________． 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8. 展开式共n ＋1＝8＋1＝9项． 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 10．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 答案 1.34解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.11．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 答案 －2解析 在(1－2x )7的二项展开式中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1＝－2.12．已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27， 令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 14＝27－1. (2)由(1)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27，① 令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝67，②由①－②得：2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13)＝27－67， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝27－672.13．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m5m－A 2m －211－3m (m ∈N *)，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2k 展开式中的常数项，其中k 为7777－15除以19的余数，求通项公式a n .解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2，解得117≤m ≤135，∵m ∈N *，∴m ＝2，∴a 1＝C 710－A 25＝100，又7777－15＝(1＋19×4)77－15＝C 077＋C 177(19×4)＋…＋C 7777(19×4)77－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5，∴7777－15除以19的余数为5，即k ＝5. 又T k ′＋1＝C k ′5⎝⎛⎭⎫52x 5－k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2k ′ ＝C k ′5⎝⎛⎭⎫525－2k ′5153k x '-(－1)k ′，令5k ′－15＝0可解得k ′＝3， ∴d ＝C 35⎝⎛⎭⎫525－6(－1)3＝－4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝104－4n . 四、探究与拓展14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________. 答案 －3或1解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中， 令x ＝－2，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9， 即[(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝m 9， 令x ＝0，可得(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)∵(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，∴[(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)][(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝39， ∴(2＋m )9m 9＝(2m ＋m 2)9＝39， 可得2m ＋m 2＝3，解得m ＝1或－3.15．已知f (x )＝(1＋x )m ，g (x )＝(1＋5x )n (m ，n ∈N *)． (1)若m ＝4，n ＝5时，求f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项；(2)若h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，那么当m ，n 为何值时，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值？(3)若(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项．解 (1)当m ＝4，n ＝5时，f (x )＝(1＋x )4＝C 04x 0＋C 14x 1＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4， g (x )＝(1＋5x )5＝C 05(5x )0＋C 15(5x )1＋…＋C 55(5x )5，则f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为(C 24·50C 05＋C 14·5C 15＋C 04·52C 25)x 2，即f (x )·g (x )的展开式中含x 2的项为356x 2.(2)因为h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )的展开式中含x 的项的系数为24，则C 1m ＋5C 1n ＝24，即m ＝24－5n (其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又h (x )的展开式中含x 2的项的系数为 C 2m ＋52C 2n＝m (m －1)2＋25n (n －1)2 ＝(24－5n )(23－5n )2＋25n (n －1)2＝25n 2－130n ＋276＝25⎝⎛⎭⎫n －1352＋107(其中1≤n ≤4，n ∈N *)， 又因为⎪⎪⎪⎪2－135>⎪⎪⎪⎪3－135， 所以当n ＝3时(此时m ＝9)，h (x )的展开式中含x 2的项的系数取得最小值111.(3)在(1＋5x )n (n ≤10，n ∈N *)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C n －1n ·5n －1，C n －2n ·5n －2，C n －3n ·5n －3， 又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以2C n －2n ·5n －2＝C n －1n ·5n －1＋C n －3n ·5n －3， 整理得n 2－33n ＋182＝0， 解得n ＝7或n ＝26，又因为n ≤10，n ∈N *，所以n ＝7，n ＝26(舍去)．.；. 设二项式(1＋5x )7的展开式中系数最大的项为第k ＋1项(即T k ＋1＝C k 7(5x )k )，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －17·5k －1≤C k 7·5k ，C k ＋17·5k ＋1≤C k 7·5k ， 整理并解得173≤k ≤203， 又因为n ≤10，n ∈N *，所以k ＝6，即(1＋5x )n 的展开式中系数最大的项为T 7＝C 67(5x )6＝109 375x 6.。
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
苏教版数学选修2-3：第1章 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________．【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝ C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r . 令6－2r ＝2得r ＝2，∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【导学号：29440030】【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010，∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8.【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1 第1行1 1 第2行 12 1第3行1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1。
高中数学1.3.1二项式定理课时分层作业含解析人教A版选修2_3.doc
课时分层作业(七) 二项式定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5D [原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A ．17 B ．－17C ．7D ．－7B [T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.]3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．28C [T k ＋1＝C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝(－1)k ·C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k·x 8－43k ，当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38C [T k ＋1＝C k6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－1)k 22k －6·C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，则k ＝1，所以x 2的系数为(－1)1×2－4×C 16＝－38，故选C.]5．(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24A [展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.]二、填空题6．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第7项为________． －210 [由通项公式得T 7＝C 610·(－i)6＝－C 610＝－210.]7．(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )10展开式中x 3的系数为________． 330 [x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310＝C 411＝330.]8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________.8 [T k ＋1＝C k n (3x 2)n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C kn x2n －5k3，由题意知k ＝2时，2n －5k3＝2，所以n ＝8.]三、解答题9．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)rx－r3＝C rn (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2. 即405x 2，－61 236,295 245x －2.10．记⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n的展开式中第m 项的系数为b m . (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m，所以b m ＝2n ＋1－m·C m －1n .(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝26－k ·C k 6·x 6－2k.依题意，6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.1．(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0D ．3A [∵(1－x )4(1－x )3＝(1－4x ＋6x 2－4x 3＋x 4)(1－3x 12＋3x －x 32)， ∴x 2的系数是－12＋6＝－6.] 2．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12D [512 018＋a ＝(13×4－1)2 018＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 018＋a 能被13整除．]3．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.－2 [T k ＋1＝C k 5·(ax 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k 5·a 5－kx 10－52k .令10－52k ＝5，解得k ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]4．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n(n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．(填序号)①④ [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]5．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解] 由题设知m ＋n ＝19，又m ，n ∈N *， 所以1≤m ≤18.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.所以当m ＝9或10时，x 2的系数的最小值为81， 此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。
苏教版数学高二作业 第1章 二项式系数的性质及应用 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(a －b )7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________ 项，系数最大的项是第________项．【解析】 展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】 4或5 52．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的所有二项式的各项系数和是________． 【解析】 令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 【答案】 2n ＋1－23．(2015·天津高考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r＝ C r 6⎝⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r. 令6－2r ＝2得r ＝2， ∴x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 【答案】 15164．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝________. 【解析】 ∵C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，又C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝C 010＋C 210＋C 410＋C 610＋C 810＋C 1010， ∴C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝29.【答案】 295．233除以9的余数是________．【解析】 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－ (1)∴233除以9的余数是8. 【答案】 86．如图1-5-6，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.图1-5-6【解析】 此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.【答案】 667．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝________.【解析】 512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016522 016－C 12 016522015＋…＋C 2 0152 016×52×(－1)2 015＋C 2 0162 016×(－1)2 016＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0162 016×(－1)2 016＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】 128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-7所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行1 2 1第3行 1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-5-7【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 二、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．【解】 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100，① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100，② 由①②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 2n 的展开式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．【解】 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210展开式中含x 3的项． 由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r 10x －10－r 4＋2r 3，得－10－r 4＋2r 3＝3，－30＋3r＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的展开式共有11项，系数最大项是第6项． ∴T 6＝C 510(x －14)5·(x 23)5＝252x 2512.[能力提升]1．设m 是正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.【解析】 由题意可知13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6. 【答案】 62．(2016·杨州高二检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024，则展开式中x 项的系数为________．【解析】 由4n＝1 024，得n ＝5.∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－3x r＝(－3)r C r5x 5－3r 2，令5－3r2＝1，解得r ＝1，∴T 2＝C 15(－3)1x ＝－15x ，故其系数为－15.【答案】 －153．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________.【解析】 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.【答案】 －24．(1)求证：5151－1能被7整除； (2)求1.9975精确到0.001的近似值．【解】(1)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950·2＋…＋C5051 49·250＋C5151·251－1，易知除C5151251－1以外其余各项都能被7整除．又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117716＋…＋C16177＋C1717－1＝7(C717716＋C117715＋…＋C1617)显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)1.9975＝(2－0.003)5＝C0525－C15×24×0.003＋C25×23×0.0032－C35×22×0.0033＋C45×21×0.0034－C55×20×0.0035≈32－0.24＋0.000 72≈31.761.。
高中数学北师大版选修2-3学业分层测评 第1章 5.1 二项式定理 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．设＝(－)＋(－)＋(－)＋，则等于( )．(－) ．(－)．．(＋)【解析】＝＝.【答案】．已知的展开式的第项等于，则等于( )．－．．－【解析】＝＝，则＝－.【答案】．若对于任意实数，有＝＋(－)＋(－)＋(－)，则的值为( )．．．．【解析】＝，＝×＝.【答案】．使(∈＋)的展开式中含有常数项的最小的为( )．．．．【解析】＋＝()－＝－，当＋是常数项时，－＝，当＝，＝时成立．【答案】．在)))的展开式中，含项的系数为( )．．．．【解析】因为)))＝)))＝(＋)＋(＋))＋…＋)))，所以项只能在(＋)的展开式中，所以含的项为，系数为＝，故选.【答案】二、填空题．在(＋)的展开式中，的系数为．(用数字作答)【解析】设通项为＋＝－，令＝，则的系数为×＝×＝.【答案】．设二项式(>)的展开式中的系数为，常数项为.若＝，则的值是．【解析】对于＋＝－(－)＝(－)·，＝(－)，＝(－).∵＝，>，∴＝.【答案】．被除所得的余数为. 【导学号：】【解析】法一：＝(－)＝·－··＋··－…＋，展开式中前项均能被整除，只需求最后一项除以的余数．∵＝(－)＝·－·＋…＋·－·＋，前项均能被整除，后两项和为－，因余数为正，可从前面的数中分离出，结果为－＝，故被除可得余数为.法二：＝(＋)＝·＋·＋…＋·＋·＋.前项均能被整除，剩下两项和为×＋＝，显然除以所得余数为.【答案】三、解答题．化简：＝－＋－＋…＋(－)(∈＋)．【解】将的表达式改写为：＝＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝＝(－).∴＝(－)＝(\\(，为偶数时，,－，为奇数时.))．在的展开式中，求：()第项的二项式系数及系数；()含的项．【解】()第项的二项式系数为＝，又＝()＝·，所以第项的系数为＝.()＋＝()－＝(－)－－，令－＝，得＝.所以含的项为第项，且＝－.．若＋＋…＋能被整除，则，的值可能为( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝【解析】＋＋…＋＝(＋)－，分别将选项，，，代入检验知，仅适合．【答案】．已知二项式的展开式中第项为常数项，则＋(－)＋(－)＋…＋(－)中项的系数为( )．－．。
（完整版）二项式定理单元测试题
（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。
数学高一-(试题1)1.5二项式定理水平测试
1.5二项式定理水平测试一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知n 为等差数列－4，－2,0，…中的第8项，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x n 展开式中常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项2．若(x ＋1x)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．1203．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项5．若C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝56．若(1－2x)2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0C ．－1D ．－2二、填空题(每小题6分，共18分)7． (x y －y x)4的展开式中x 3y 3的系数为________． 8．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．9.已知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，则cos θ＝______________.三、解答题(共46分)10．(15分)已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于(165x 2＋1x)5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．11．(15分)已知⎝⎛⎭⎪⎫441x ＋3x 2n 展开式中的倒数第三项的二项式系数为45. (1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．12．(16分)已知f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋2x)n(m ，n∈N ＋)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数的最小值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x 的奇次幂项的系数之和．参考答案：1、【解析】 由前几项可得通项为a m ＝2m －6，a 8＝2×8－6＝10，T r ＋1＝C 10r x 20－2r ·2r x －r 2＝2r C 10r x20－52r ， 令20－52r ＝0，得r ＝8. 故为8＋1＝9项，故选C.【答案】 C2、【解析】 ∵2n ＝64，∴n＝6，∴T k ＋1＝C 6k x 6－k (1x)k ＝C 6k x 6－2k ， ∴当k ＝3时，T 4为常数项，∴T 4＝C 63＝20.【答案】 B3、【解析】 方法一：(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的一次项为： C 60·C 42(x)2＋C 62(－x)2·C 40＋C 61(－x )·C 41(x)＝6x ＋15x －24x ＝－3x ，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是－3.方法二：由于(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2的展开式中x 的一次项为： C 41(－x)·C 20＋C 40·C 22(－x)2＝－4x ＋x ＝－3x ，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是－3.【答案】 B 4、【解析】 T r ＋1＝C 24r (x)r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 24－r ＝C 24r ·x r 2·x－24－r 3＝C 24r ·x r 2－24－r 3 ＝C 24r ·x 5r －486， ∴r＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，故选C.【答案】 C5、【解析】 由C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x)n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．【答案】 C6、【解析】 (1－2x)2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122009＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 200922009＝－1. 【答案】 C7、【解析】 (x y －y x)4的展开式的通项为C 4r x 4－r y2－r 2·(－1)r y r x r 2＝(－1)r C 4r x4－r 2y2＋r 2. 令⎩⎪⎨⎪⎧4－r 2＝3，2＋r 2＝3，得r ＝2. 故展开式中x 3y 3的系数为C 42＝6. 【答案】 6 8、【解析】 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5， 则T r ＋1＝C 5r ·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r ＝C 5r ·x 10－5r ， 令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项T 3＝10.【答案】 5 109、【解析】 (xcos θ＋1)5＝(1＋xcos θ)5，展开式中x 2的系数为C 52cos 2θ. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋x 4，展开式中x 3的系数为54C 43. 由题意可知C 52cos 2θ＝54C 43，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝±22. 【答案】 ±2210、【解析】 由(165x 2＋1x)5得， T r ＋1＝C 5r (165x 2)5－r (1x)r ＝(165)5－r ·C 5r ·x 20－5r 2. 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，∴r＝4，∴常数项T 5＝C 54×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3， ∴C 42a 4＝54，∴a＝± 3.11、【解析】 (1)由已知得C nn －2＝45，即C n 2＝45， ∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10，由通项公式得T r ＋1＝C 10r ⎝⎛⎭⎪⎫4·x－1410－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23r . ＝C 10r ·410－r ·x－10－r 4＋23r. 令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6， ∴含有x 3的项是T 7＝C 106·44·x 3＝53 760x 3.(2)∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 105⎝⎛⎭⎪⎫4x －145⎝ ⎛⎭⎪⎫x 235＝258 048x 2512. 12、【解析】 (1)由已知C m 1＋2C n 1＝11，∴m＋2n ＝11，x 2的系数为C m 2＋22C n 2＝m(m －1)2＋2n(n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m)⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. ∵m∈N ＋，∴m＝5时，x 2的系数取最小值22， 此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第1章 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．(－)的展开式中，二项式系数最大的项是第项，系数最大的项是第项．【解析】展开式共项，二项式系数最大的项是第，第项，系数最大的项为第项．【答案】或．(＋)＋(＋)＋…＋(＋)的所有二项式的各项系数和是．【解析】令＝，得＋＋＋…＋＝＋－.【答案】＋－．(·天津高考)在的展开式中，的系数为．＝－＝【解析】设通项为＋－.令－＝得＝，∴的系数为＝.【答案】．＋＋＋＋＝. 【导学号：】【解析】∵＋＋…＋＝，又＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋，∴＋＋＋＋＝.【答案】．除以的余数是．【解析】＝＝(－)＝－＋－…－，∴除以的余数是.【答案】．如图--，在“杨辉三角”中，斜线的上方，从开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：，…，记此数列为{}，则＝.图--【解析】此数列依次为；，；，；，；…；，；…；＝＝＝.【答案】．设∈，且≤<，若＋能被整除，则＝.【解析】＋＝(－)＋＝)－)＋…＋)××(－)＋)×(－)＋.因为能被整除，所以只需)×(－)＋能被整除，即＋能被整除，所以＝.【答案】．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图--所示．那么，在“杨辉三角”中，第行会出现三个相邻的数，其比为∶∶.第行第行第行第行第行第行图--【解析】根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，有＝且＝.化简得＝，＝，联立解得＝，＝.故第行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】二、解答题．已知(＋)＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)，求＋＋＋…＋的值．【解】令＝，可以得到＝＋＋＋…＋，①令＝，可以得到＝－＋－…＋，②由①②得＋＋＋…＋＝(－)．。
高中数学人教A版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评2 Word版含答案
学业分层测评一、选择题1．用一个平面去截一个几何体得到的截面是圆面这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面但截棱柱一定不会产生圆面．【答案】 D2．在日常生活中常用到的螺母可以看成一个组合体其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱选B【答案】 B3．一个正方体内接于一个球过球心作一截面如图1-1-21所示则截面可能的图形是()图1-1-21A．①③B．②④C．①②③D．②③④【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③当截面过正方体的体对角线时得②当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①但无论如何都不能截出④【答案】 C二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形则这个几何体是________【09960010】图1-1-22【解析】一个长方形和两个圆折叠后能围成的几何体是圆柱．【答案】圆柱7．一圆锥的母线长为6底面半径为3用该圆锥截一圆台截得圆台的母线长为4则圆台的另一底面半径为________．【解析】作轴截面如图则r 3＝6－46＝13∴r＝1【答案】 1三、解答题8．指出如图1-1-23(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．图1-1-23【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 9．一个圆台的母线长为12 cm 两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得上底半径O 1A ＝2(cm) 下底半径OB ＝5(cm)又因为腰长为12 cm 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示延长BAOO 1CD 交于点S 设截得此圆台的圆锥的母线长为l 则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25解得l ＝20(cm)即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm[自我挑战]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π它们位于球心的同一侧且距离为1那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．05【解析】 如图所示∵两个平行截面的面积分别为5π、8π∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5r 2＝2 2∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21d 2＝R 2－r 22∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1∴R 2＝9∴R ＝3 【答案】 B11．一个圆锥的底面半径为2 cm 高为6 cm 在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S; 【09960011】 (2)当x 为何值时S 最大？【解】 (1)如图设圆柱的底面半径为r cm 则由r 2＝6－x6得r ＝6－x 3∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6 ∴当x ＝3时S max ＝6 cm 2。
高中物理(沪科版选修3-1)学业分层测评：第1章 静电与生活 含答案
①静电除尘②静电喷涂③静电复印④雷雨天高大树木下避雨⑤飞机上的静电⑥电视荧屏上常有一层灰尘【解析】有利的是静电除尘、静电喷涂、静电复印，有害的是雷雨天到高大树木下避雨、电视机屏上的灰尘、飞机上的静电．【答案】有利的是①、②、③，有害的是④、⑤、⑥9．(多选)下列哪些措施是为了防止静电的危害( )A．油罐车的后边有条铁链搭到地上B．农药喷洒飞机喷洒的农药雾滴带正电C．家用电器如洗衣机接有地线D．手机一般都装有天线【解析】油罐车的后边有条铁链搭到地上，目的是把油罐车产生的静电荷导到地下，保证油罐车的安全，家用电器也一样，A、C 对．农药喷洒飞机喷洒的农药雾滴带正电，而叶子上都带有负电，农药不会被风吹走，B错误．手机接有天线的目的是为了很好地接收信号，D错误．【答案】AC10．(多选)如图133为静电除尘器除尘原理的示意图．尘埃在电场中通过某种机制带电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列表述正确的是( )【导学号：29682045】图133A．到达集尘极的尘埃带正电荷B．到达集尘极的尘埃带负电荷C．尘埃可以带负电，也可带正电D．放电极带负电荷【解析】集尘极接电源正极，带正电荷，故尘埃应带负电荷，B 正确，放电极接电源负极，带负电荷，故D正确．【答案】BD11．(多选)如图134所示，在玻璃管中心轴上安装一根直导线，玻璃管外绕有线圈，直导线的一端和线圈的一端分别跟感应圈的两放电柱相连，开始，感应圈未接通电源，点燃蚊香，让烟通过玻璃管冒出．当感应圈电源接通时，玻璃管中的导线和管外线圈间就会加上高电压，立即可以看到不再有烟从玻璃管中冒出来了，过一会儿还可以看到管壁吸附了一层烟尘，这是因为( )【导学号：29682046】图134A．烟尘在高压电场作用下带上了负电B．烟尘在高压电场作用下带上了正电C．带负电的烟尘吸附在玻璃管壁上，因此看不到有烟冒出D．带正电的烟尘吸附在直导线上，因此看不到有烟冒出【解析】烟尘在直导线和管外线圈形成的高压电场作用下，带上了负电．带负电的烟尘颗粒在电场力作用下被吸附到了与带正电的线圈紧密接触的玻璃管壁上，因此看不到有烟冒出，A、C项正确．【答案】AC12．某同学设计了一个证明电荷守恒的实验，实验装置如图135所示．实验步骤如下：图135(1)用一根细金属丝连接两只相同的验电器，让带电的有机玻璃棒靠近右侧验电器，两只验电器的箔片均张开，为什么？(2)在两只验电器的箔片均张开的情况下，先移走金属丝，再移走带电的有机玻璃棒，这时验电器的箔片是否保持张开状态？为什么？(3)再用金属丝连接两只验电器，将会出现什么现象？这个现象说明了什么？这个实验能证明电荷守恒吗？为什么？【解析】(1)当带电的有机玻璃棒靠近右侧验电器的金属球时，由于静电感应两验电器的金属球将带等量的异种电荷，从而使两验电器的金属箔片张开．(2)保持张开状态．因为验电器所带的电荷没有失去．箔片因电荷的斥力仍然处于张开状态．(3)验电器的金属箔片又重新闭合．说明两验电器所带电荷量相等，电性相反．能证明电荷守恒．因为它说明了电荷不是创造的，只。
高中数学北师大版必修五学业分层测评第一章 数列 1 Word版含解析
学业分层测评(一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．数列－，，－，，…的一个通项公式是( )．＝－．＝．＝．＝【解析】项的符号可以用(－)调节，项的绝对值可以写成，，，，…∴通项公式为＝.【答案】．数列，，，，…的第项为( )．．【解析】数列的通项公式为＝，所以＝＝.【答案】．数列{}中，＝＋(－)，则＋＝( )．．．．【解析】因为＝＋(－)，所以＝＋(－)＝.＝＋(－)＝，所以＋＝.【答案】．已知数列，，，，…，，…则是它的( )．第项．第项．第项．第项【解析】由题意知＝，由＝得＝.【答案】．用火柴棒按如图--的方法搭三角形：图--按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是( )．＝＋．＝－．＝－．＝＋【解析】当＝时，＝；当＝时，＝；当＝时，＝；当＝时，＝，…，依次类推＝＋，因此火柴棒数{}与所搭三角形个数的关系式为＝＋.【答案】二、填空题．已知数列{}的通项公式＝－＋＋，则其第、项分别是，.【解析】＝－＋×＋＝.＝－＋×＋＝.【答案】．数列，，，，，…的一个通项公式是．【解析】数列，，，，，…即数列，，，，，…故＝.【答案】＝．已知数列{}，＝－，且＝，则为该数列的第项．【解析】由＝－＝，解得＝，∴＝－，∴令－＝，解得＝.【答案】三、解答题．根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式．()－，－；()－，－；()，…；()，，，.【解】()各项绝对值为，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为＝(－). ()各项绝对值可以写成××××，…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为＝(－).()将数列变形为(－)，(－)，(－)，(－)，…，所以＝(－)．()因为分母可看作－－－－，故通项公式为＝＝.．在数列{}中通项公式是＝(－)－·，写出该数列的前项，并判断。
学业分层测评 第1章 5.1 二项式定理
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A.17B ．－17C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6.【答案】 B4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10B ．30C ．45D ．120【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.【答案】 C二、填空题6．在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)【解析】 设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40.【答案】 407．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x6－r (－a )r ＝C r 6(－a )r ·，B ＝C 46(－a )4，A＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2. 【答案】 28．9192被100除所得的余数为________. 【导学号：62690022】【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N ＋)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时. 10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．【解析】 T r ＋1＝C r 20x 20－r (43y )r ＝C r 20 x 20－r y r ，其系数为C r 20.要使C r 20为有理数，r 4∈Z ，又0≤r ≤20，则r ＝0,4,8,12,16,20，因此，系数为有理数的项共有6项．【答案】 64．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项． 【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。
高中数学 第1章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质学业
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质学业分层测评 北师大版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项【解析】 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件． 【答案】 B2．(2016·吉林一中期末)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n－12C ．2n ＋1D.3n＋12【解析】 令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.【答案】 D4．(2016·信阳高二检测)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a的值为( ) 【导学号：62690024】A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A 5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】 因为S ＝x －22 010－x ＋22 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】 －17．若n 是正整数，则7n＋7n －1C 1n＋7n －2C 2n＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n－C nn ＝8n－1＝(9－1)n－1＝C 0n 9n(－1)＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图154所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图154【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.能力提升]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图155所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…… 图155A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b 10＝102－10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 【答案】 B3．(2016·孝感高级期中)若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．【解析】 令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5.【答案】 54．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n(m ，n ∈N ＋)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和.【导学号：62690025】【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m m －2＋2n (n －1)＝m 2－m2＋(11－m )·⎝⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。
高中数学 第1章 1.5 二项式定理同步练测 苏教版选修23
1.5 二项式定理同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.由展开所得的关于的多项式中，系数为有理数的共有_________项.2.的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_________.3.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_________.4.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则_________.5.已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则等于_________.6. 0.9915精确到0.01的近似值是 .7．展开式中的偶次项系数之和是_________.8．的展开式中有理项有_________.项. 9．若与同时有最大值，则等于_________. 10.在的展开式中,的系数为_________.11.的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若，那么_________.12.的展开式中的系数等于_________.13.展开式中各项系数绝对值之和是 .14.已知的展开式中3x的系数为，则常数a的值为_________.二、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，(1)求的值；(2)写出展开式中的第项和第项.16．已知的展开式中，第五项与第三项17．求展开式中系数最大的项的二项式系数之比为143，求展开式的常数项1.5 二项式定理同步练测答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题15.16.17.1.5 二项式定理同步练测答案一、填空题 1.17 解析：由2k ∈N ，3k∈N ，∈｛0，1，2，…，100｝，得 =0，6，12，18，…，96，所以系数为有理数的共17项. 2.解析：令=1，得=64，所以=6.通项为=令得∴ 常数项为.3.45 解析：依题意可得，化简得.解得或（舍去），∴ 通项.令得， ∴ 常数项为.4.10 解析：的系数是C ，当只有C 最大时，.5.6 解析:由题意知,即,∴.6. 0.96 解析:0.9915=(1-0.009)5=0155C C 0009096..-+≈L . 7． 解析：设,偶次项系数之和是8．4 解析：通项2177C (2)C 2r rrr r T +==，当时，均为有理项，故有理项有4项.9．4或5 解析：要使17C n最大，因为17为奇数，则1712n -=或17182n n +=⇒=或，要使8C m最大，则.若，要使9C m最大，则912m -=或9142m m +=⇒=或.综上知，.10.240 解析：11.1+105解析：∴，由已知有 由，得解得舍去).12.-10解析：∴ 的系数为-10. 13. 35解析:展开式中各项系数绝对值之和实为展开式系数之和，故令，则所求和为3514. 解析：令3932r -=，得8r =.依题意，得8849899C (1)24a ---⋅⋅=，解得4a =. 二、解答题 15.解：(1)第项和第项的二项式系数分别是和，⇔∴.(2)，.16．解：依题意4242C :C 14:33C 14C n n n n =⇒=，∴设第项为常数项，又1051021101022C ()()(2)C rr rr r rr T x x x--+=-=-， 令105022r r -=⇒=，222110C (2)180T .+∴=-=故所求常数项为180 17．解：设的系数最大，则的系数不小于与的系数，即有1211311212121211211112121212C 2C 2C 2C 2C C C 2C 2r r r r r r r r r r r r----+-+-⎛≥⎧≥⎪⇒ ⎨ ≥≥⎪⎩⎝，，⇒1134433r ,r ≤≤∴=.∴ 展开式中系数最大的项为第5项，=8488122C 126720x x =.。
20-21版：1.3.1 二项式定理（步步高）
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*). (1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共 有 n＋1 项. (3)二项式系数：各项的系数 Ckn (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.
思考 二项式定理中项的系数与二项式系数有什么区别？
答案 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数指 C0n， C1n，…，Cnn，与 a，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数 部分，它不仅与各项的序号有关，还与 a，b 的值有关.
知识点二 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ Cknan－kbk .
x－2xn 的展开式中第 5 项是常数项，则自然
数 n 的值可能为
A.6
B.10
√C.12
D.15
解析
x－2xn 的展开式的通项为 Tk＋1＝Ckn·(
x)n－k－2xk＝(－2)kCkn
x
n3k 2
,
n 12
T5＝(－2)4·C4n·x 2 ,
∴n－212＝0，∴n＝12.
(2)2x－1x5 的展开式中第三项的二项式系数为_1_0__，展开式中 x3 项的系 数为_－__8_0_.
苏教版数学高二作业 第1章 1.5.1 二项式定理 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2015·广东高考)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．【解析】 T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·(－1)r . 令r ＝2，则C 24(－1)2＝6.【答案】 62.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． 【解析】 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x 16－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r . 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 【答案】 －C 316x 103．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)【解析】 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，即a 3＝18，解得a ＝12.【答案】 124．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，含有x 项的系数为________．【解析】 C 13＋C 23＋C 33＝3＋3＋1＝7.【答案】 75．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________． 【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x n －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 56．在(1＋x )6·(1－x )4的展开式中，x 3的系数是________．【解析】 (1＋x )6·(1－x )4＝(1＋x )2·(1＋x )4·(1－x )4＝(1＋2x ＋x 2)(1－x 2)4. ∴x 3的系数为2·C 14·(－1)＝－8. 【答案】 －87．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．【解析】 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56. 【答案】 568．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 2二、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数的最小值．【解】 (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ，∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n .∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n＝16n 2－148n ＋612＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－374n ＋1534， ∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.[能力提升]1．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.【答案】 －562.⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项是________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23＝(1－|x |)6|x |3， 在(1－|x |)6中，|x |3的系数A ＝C 36(－1)3＝－20.即所求展开式中常数项是－20.【答案】 －203．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________.【解析】 T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.【答案】 24．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．【解】 ∵T r ＋1＝C r n ·x n －r 2·2r ·x －r 3＝C r n ·2r ·x 3n －5r6，据题意，C 0n ＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129，解得n ＝8， ∴T r ＋1＝C r 8·2r ·x 24－5r6，且0≤r ≤8.由于24－5r 6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又24－5r 6＝4－5r 6，∴当r ＝0或r ＝6时，24－5r 6∈Z ，即展开式中存在有理项，它们是：T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1＝1 792x .。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2015·广东高考)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．
【解析】 T r＋1＝C·()4－r·(－1)r.
令r＝2，则C(－1)2＝6.
【答案】 6
2.16的二项展开式中第4项是________．
【解析】 展开式的通项公式为T r＋1＝C·x16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r.
所以第4项为T4＝(－1)3C·x10＝－C x10.
【答案】 －C x10
3．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)
【导学号：29440025】【解析】 展开式中x7的系数为C a3＝15，即a3＝，解得a＝.
【答案】
4．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，含有x项的系数为________．
【解析】 C＋C＋C＝3＋3＋1＝7.
【答案】 7
5．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
【解析】 T r＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－r x n－r，当T r＋1是常数项时，n－r＝0，当r
＝2，n＝5时成立．
【答案】 5
6．在(1＋x)6·(1－x)4的展开式中，x3的系数是________．
【解析】 (1＋x)6·(1－x)4＝(1＋x)2·(1＋x)4·(1－x)4＝(1＋2x＋x2)(1－x2)4.
∴x3的系数为2·C·(－1)＝－8.
【答案】 －8
7．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为T r＋1＝C x8－rr＝C x8－2r，令8－2r＝－2，解得r＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.
【答案】 56
8．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 对于T r＋1＝C x6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·C x，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)T k＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－k C x3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
【解】 (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为
t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
＝16n2－148n＋612
＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，
∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.
[能力提升]
1．8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
【解析】 8的通项T r＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)r C x16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.
【答案】 －56
2.3展开式中的常数项是________．
【解析】 3＝，
在(1－|x|)6中，|x|3的系数A＝C(－1)3＝－20.
即所求展开式中常数项是－20.
【答案】 －20
3．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.
【导学号：29440026】
【解析】 T r＋1＝C(ax2)6－r·r＝C a6－r·b r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所
以C a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
【答案】 2
4．已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．
【解】 ∵T r＋1＝C·x·2r·x－＝C·2r·x，
据题意，C＋C·2＋C·22＝129，解得n＝8，
∴T r＋1＝C·2r·x，且0≤r≤8.
由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．
又＝4－，∴当r＝0或r＝6时，∈Z，
即展开式中存在有理项，它们是：
T1＝x4，T7＝26·C·x－1＝.。