理论力学---第二章第三章

空间力对轴之矩
z
Fz
F
O
M x F yFz zFy
Fy
Fy
y
Fx
M y F zFx xFz
M z F xFy yFx
x
Fx
F
空间力对轴之矩
推论：
1、力沿作用线滑动后，Fxy 与h 不变，故力对轴之矩不变；
2、力F 与轴共面（相交或平衡）时，力对轴之矩为零。
力螺旋：（FR'，Ｍ0） 力系合成为一个力（作用于简化中心）和一个力偶，且这个力垂直于 这个力偶的作用面。这样的一个力和一个力偶的组合称为力螺旋。
右手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相同（图a）。 左手螺旋：力矢F与力偶矩MO指向相反（图b）。
4、当FR'=0，Ｍ0 =0，空间力系平衡
F F F
z B
z′
x
F2
b A
F1
α
O
c y
a
1. 求F1力对 x，y，z 轴的矩。 解：如图所示
z B z′
cos
c a2 b2 c2
x
M x ( F1 ) M x ( F1z ) M x ( F1xy )
F2
F1z
b A
F1
α
O
c y
bF1 cos 0
M y ( F1 ) M y ( F1z ) M y ( F1xy )
力。
解：研究AB梁，受力分析如图 因为力偶只能与力偶平衡 由 即
FA = FB
M A FA d B FB
M
i
0
M FAd = 0 FA = FB = M/d
例 如图所示的铰链四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平 衡。已知OA= r，DB= 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。
另一方面指出：一个力和一个力偶可以进一步合成为一个力。
§2-4 力系向一点简化
FR’=∑Fi’=∑Fi
任一空间 空间汇 交力系 空间力 偶系 合成为一 个力 合成为一 个力偶
力系向一
点简化
MO=∑Mi =∑MO(F)
力系的主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和称为该力系的主矢,用 FR‘表示， 即FR’=∑Fi。 主矩：力系各力对简化中心之矩的和称为该力系对简化 中心的主矩，ＭO 表示,即 ＭO =∑ＭO （F）
同一平面内两力偶的等效条件是：
力偶矩大小相等，转向相同;
力偶矩矢量
力偶矩矢量是一自由矢量，而力 矢量对刚体来说是一滑动矢量！
1. 同一平面内两力偶的等效条件是：
力偶矩大小相等，转向相同;
2、不同平面内两力偶的等效条件是：力偶作
用面平行（即作用面方位相同）、力偶矩
大小相等以及力偶转向相同。 或简单叙述为： 两力偶矩矢量相等.
x y
0 0 0
6个独立的平衡方程
z
x
M F 0 M F 0 M F 0
y z
平面力系的合成结果
主矢
主矩 0 非0
合成结果 合力 合力
R' 0
R' 0
非0
0
力偶
平衡
合力矩定理
平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中 的各力对同一点的矩的代数和。
y
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果。 求主矢FR 。
F2
60°
A 2m
B
F3
FRx Fx
F1
C O
F4
30°
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598
3m
x
FRy Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30
F1xy
a
aF1 cos 0
M z (F1 ) 0
思考题
2.求F2力 对 z′轴的矩。
应用力矩关系定
z B
z′
理，先求力F2 对点A的
矩。然后再投影到 z′轴 上。
x
F2
b A
F1
α
O a
c y
M A (F2 ) F2b
M z (F2 ) M A (F2 ) cos
F ' Rx1 F1 F ' Ry1 F2
M x1 F2 s
M y1 F1 l s
因为向D点简化是力螺旋，即有F'R//MD ,故
F 'Rx1 F 'Ry1

M x1 M y1
,
F1 F2 s F2 F1 l s
从而解得所求距离
F1 s 2 l 2 F1 F2
因为 则得 FAB = FBA M2 = 2 M1
M2
α FD D
C
M2
例 如图所示机构的自重不计。
圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑
A r O
导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶 M1 矩为M1=2 kN· ， OA = r =0.5 m。图 m 示位置时OA与OB垂直,角α=30o , 且系 统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的 矩 M2 及铰链O，B处的约束力。
2
问题
• 简化结果与主矢主矩之间的关系？ • 同一力系向不同点简化的结果之间有什么关 系？ • 常见力系简化结果？
第三章 平面力系的平衡问题
§3-1 平面力系平衡方程 §3-2 刚体系统的平衡问题、静定、静不定问题
§3-1平面力系的平衡方程
力系平衡的充要条件是主矢主矩同时等于零。
平面力系的平衡方程（基本形式） ∑Fx ＝0 ∑Fy ＝0 ∑ＭO（F ）＝0
O — 矩心； h —力臂;
力矩的正负号规定 “+”表示逆钟向； “-”表示顺钟向； MO（F ) =±2ΔOAB面积
空间力对点之矩
平面力系中，力对点之矩用代数量表示已足够 但是在空间力系中，有必要用一个矢量 ＭO（F） 表示空间任一力对点之矩
｜ＭO（F）｜＝F h ＝2 (△OAB 面积）
空间力对轴之矩
y
A B
F
F , y 3754'
O
C
x
求主矩。
y
A 2m
F2
60°
M O M O Fi
B
F3
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
2. 求合成结果。
合成为一个合力F，F的大小、方
O
F1
C
F4
30°
3m
x
y
A B
向与FR相同。其作用线与O点的
。
结论：力系向简化中心简化，可以得到一个力和一 个力偶，这个力的大小和方向与力系的主矢相同， 作用于简化中心；这个力偶的力偶矩矢量等于力系 对简化中心的主矩 。主矢与简化中心的选择无关， 主矩与简化中心的选择有关。
同一力系向不同简化中心简化，结果之间有何关 系？
力系简化结果讨论
空间力系合成结果： 1、合成为一个力偶 3、合成为一个力螺旋
B FBA FAB M2 M1 B
A
α
M1
M2
A D FO O
O
D FD
解：杆AB为二力杆。 AO杆与BD杆的受力如图所示。
解：杆AB为二力杆。 AO杆与BD杆的受力如图所示。
A α FAB
分别写出杆AO和BD的平衡方程：
由
M
i
0
FO
M1 O
得
M1 r ·AB cosα= 0 F
FBA
B
M2 + 2r · BA cosα= 0 F
§2-2 力偶的概念和性质
力偶：大小相等、方向相反而不共线的两个平
行力所组成的力系，称为力偶。
力偶作用面：由力偶的两个力的作用线所决定的平面； 力偶臂：力偶的两个力的作用线间的垂直距离，一般用 d 表示。 力偶的转向：力偶使静止刚体转动的方向； 力偶矩：在平面力偶的情况下，力偶矩用代数量表示，Ｍ = ±Ｆd
第二章 作用于刚体上的力系等效与简化
§2-1 力矩 §2-2 力偶的概念和性质 §2-3力偶系的合成与平衡 §2-4 力的平移定理 §2-5 空间力系简化及合成结果讨论
§2-1 力矩
平面内力对点之矩
力对点之矩是度量一个力使物体绕某点转动的作用。 在平面力系的情况下，力对点之矩用代数量表示。 MO（F ) =±Fh
0.768
y
A 2m
F2
60°
B
F3
2 2 FR FRx FRy 0.794
F cosFR , x Rx 0.614 FR
F1
C O 3m
F4
30°
x
F , x 526'
FRy cosFR , y 0.789 FR
度量力F 使刚体绕此轴转动的作用。 定义: ＭZ(F )＝±|ＭO(Fxy)|＝±Fxy h
即：力对Z 轴之矩等于此力在垂直与该轴的平面上的
投影Fxy 对该轴与此平面交点之矩 。
力对轴之矩等于力对点O 之矩矢量在相应轴 上的投影。
式中： x, y, z ——力F 作用点的坐标； Fx，Fy,Fz ——力F 沿三轴的投影。
2、合成为一个力 ４、平衡
１、当FR'＝0 ，Ｍ0≠0 时， 空间力系合成为一个力偶
力系简化结果讨论
2.1、FR'≠0，Ｍ0 ＝0时，空 间力系合成为一个力。 FR'=∑F 作用线过O点
2.2、FR‘≠0，Ｍ0 ≠0且FR’⊥ Ｍ0 时，空间力系仍合成为一 个力
力系简化结果讨论