高考数学选择试题分类汇编概率与统计

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【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编概率(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题14 概率与统计

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题14概率与统计1.(2019·全国1·理T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻 “”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 6326=516,故选A .2.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.15【答案】B【解析】设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2 只测量过该指标的概率为610=35,故选B .3.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) 【答案】D【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D.4.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【解析】由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},所以an=10n-4,n ∈N*, 若10n-4=8,则n=1.2,不合题意; 若10n-4=200,则n=20.4,不合题意; 若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C.5.(2019·全国2·理T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差【答案】A【解析】设9位评委的评分按从小到大排列为x1<x2<x3<x4<…<x8<x9.对于A,原始评分的中位数为x5,去掉最低分x1,最高分x9后,剩余评分的大小顺序为x2<x3<…<x8,中位数仍为x5,故A 正确;对于B,原始评分的平均数x =19(x 1+x 2+…+x 9),有效评分的平均数x '=17(x 2+x 3+…+x 8),因为平均数受极端值影响较大,所以x 与x '不一定相同,故B 不正确;对于C,原始评分的方差s 2=19[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 9-x )2],有效评分的方差s'2=17[(x 2-x ')2+(x 3-x ')2+…+(x 8-x ')2],由B 易知,C 不正确;对于D,原始评分的极差为x9-x1,有效评分的极差为x8-x2,显然极差变小,故D 不正确. 6.(2018·全国2·理T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112 B.114C.115D.118【答案】C【解析】不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=3C 102=115.7.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 【答案】D【解析】设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.8.(2018·全国1·理T10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3 【答案】A【解析】∵S △ABC =12AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12π·AB 22=π8AB 2,以AC 为直径的半圆的面积为12π·AC 22=π8AC 2, 以BC 为直径的半圆的面积为12π·BC 22=π8BC 2,∴S Ⅰ=12AB ·AC,S Ⅲ=π8BC 2-12AB ·AC,S Ⅱ=π8AB 2+π8AC 2-π8BC 2-12AB ·AC =12AB ·AC.∴S Ⅰ=S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1=SⅠS 总,p 2=SⅡS 总.∴p 1=p 2.∵S △ABC =12AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12π·AB 22=π8AB 2,以AC 为直径的半圆的面积为12π·AC 22=π8AC 2, 以BC 为直径的半圆的面积为12π·BC 22=π8BC 2,∴S Ⅰ=12AB ·AC ,S Ⅲ=π8BC 2-12AB ·AC , S Ⅱ=π8AB 2+π8AC 2-π8BC 2-12AB ·AC =12AB ·AC.∴S Ⅰ=S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1=SⅠS 总,p 2=SⅡS 总.∴p 1=p 2.9.(2018·江苏·T3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .【答案】90【解析】由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.10.(2018·全国1·理T3文T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A 不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C 正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A. 11.(2018·浙江·T7)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时,( )A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小【答案】D【解析】由题意可知,E(ξ)=0×(1-p 2)+1×12+2×p 2=12+p,D(ξ)=(0-12-p)2×1-p 2+(1-12-p)2×12+(2-12-p)2×p2=12(-2p 2+2p +12)=-(p 2-p +14-12) =-(p -12)2+12,p ∈(0,1).故当p 在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.12.(2018·全国3·理T8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【答案】B【解析】由题意,得DX=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,由p(X=4)<p(X=6)知C 104p 4·(1-p)6<C 106p 6(1-p)4,即p2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).13.(2018·全国3·文T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 【答案】B【解析】设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.14.(2017·全国3·理T3文T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.15.(2017·山东·文T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7【答案】A【解析】甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.16.(2017·全国1·理T2文T4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12πr 2=12π,所以此点取自黑色部分的概率为π24=π8.17.(2017·全国2·文T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A .110 B .15C .310D .25【答案】D【解析】从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图所示.总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为1025=25. 18.(2017·天津·文T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45 B.35C.25D.15【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A 包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)=410=25.故选C.19.(2017·山东·理T5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y ^=b ^x+a ^.已知∑i=110x i =225,∑i=110y i =1 600,b ^=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160B.163C.166D.170【答案】C【解析】由已知得x =110∑i=110x i =22.5,y =110·∑i=110y i =160,又b ^=4,所以a ^=y −b ^x =160-4×22.5=70,故当x=24时,y ^=4×24+70=166.故选C .20.(2016·全国1·文T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56【答案】C【解析】总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为P=23.21.(2016·全国3·文T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130【答案】C【解析】密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.22.(2016·北京·文T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.925【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.23.(2016·全国1·理T4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.24.(2016·全国2·理T10)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn【答案】C【解析】利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形=14π×1212=mn,所以π=4mn.25.(2016·山东·理T3文T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.140【答案】D【解析】自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.26.(2016·全国2·文T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.27.(2016·全国3·理T4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个【答案】D【解析】由题图可知,0 ℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20 ℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.28.(2015·全国2·理T3文T3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D错误.29.(2015·陕西·理T2文T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167【答案】C【解析】由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).故选C.30.(2015·北京·理T8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.31.(2015·湖北·理T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石【答案】B【解析】由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为28254=14127,所以1 534石米中夹谷约为14127×1 534≈169(石).32.(2015·陕西·理T11)设复数z=(x-1)+yi(x,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.12+1πC.12−1π D.14−12π【答案】D【解析】由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=14π×12-S △OAC=14π-12×1×1=π4−12.故所求事件的概率P=S 阴S圆=π4-12π×12=14−12π. 33.(2015·山东·文T7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo g 12(x +12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23C.13D.14【答案】A【解析】由-1≤lo g 12(x +12)≤1,得lo g 122≤lo g 12(x +12)≤lo g 1212,所以12≤x+12≤2,所以0≤x ≤32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.34.(2015·福建·文T8)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14C.38D.12【答案】B【解析】如图,设f(x)与y 轴的交点为E,则E(0,1). ∵B(1,0),∴yC=1+1=2.∴C(1,2). 又四边形ABCD 是矩形, ∴D(-2,2).∴S △DCE =12×[1-(-2)]×1=32.又S 矩形=3×2=6,∴由几何概型概率计算公式可得所求概率P=326=14.故选B .35.(2015·湖北·文T4)已知变量x 和y 满足关系y=-0.1x+1,变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与y 负相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z 负相关 D.x 与y 负相关,x 与z 正相关【答案】A【解析】由y=-0.1x+1知y 与x 负相关,又因为y 与z 正相关,故z 与x 负相关.36.(2015·湖北·文T8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<12B.p 1<12<p 2 C.p 2<12<p 1 D.12<p 2<p 1【答案】B【解析】设点P 的坐标为(x,y),由题意x,y ∈[0,1], 所以点P 在正方形OABC 内,S 正方形OABC=1×1=1. 画出直线x+y=12与正方形交于D ,E 两点,画出曲线xy=12与正方形交于M,N两点.而Rt△OAC的面积S=12.由图可知:S△OED<S△OAC<S曲边形OCMNA,所以p1<12<p2.故选B.37.(2015·全国1·文T4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.38.(2015·广东·文T7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【答案】B【解析】设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.39.(2015·湖南·文T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第3,4,5,6组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.40.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )A.90B.100C.180D.300【答案】C【解析】由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201600=15, 由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15, 所以样本中老年教师的人数为900×15=180.故选C.41.(2015·安徽·理T6)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.32【答案】C【解析】设数据x 1,x 2,…,x 10的平均数为x ,标准差为s,则2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的平均数为2x -1,方差为[(2x 1-1)-(2x -1)]2+[(2x 2-1)-(2x -1)]2+…+[(2x 10-1)-(2x -1)]210=4(x 1-x )2+4(x 2-x )2+…+4(x 10-x )210=4s 2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C.42.(2015·全国1·理T4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【答案】A【解析】由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C 320.62(1-0.6)+C 330.63=0.648.43.(2015·湖北·理T4)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【答案】C【解析】由曲线X的对称轴为x=μ1,曲线Y的对称轴为x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;由图象知σ1<σ2且均为正数,∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;对任意正数t,由题中图象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错.44.(2015·山东·理T8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)2=13.59%.=95.44%-68.26%245.(2014·陕西·文T9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2【答案】D【解析】由题意,得x=x1+x2+…+x1010,y i=x i+100,所以y1,y2,…,y10的均值为x+100,方差不变.故选D.46.(2014·重庆·文T3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )A.100B.150C.200D.250【答案】A【解析】由题意知,抽样比为703500=150,所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.47.(2014·湖南·文T3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3【答案】D【解析】由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.48.(2014·广东·文T6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20【答案】C【解析】由题意知分段间隔为100040=25,故选C.49.(2014·全国1·理T5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78【答案】D【解析】4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加活动的情况有24=16(种),其中4名同学都在周六或周日参加活动各有1种情况.所以所求概率为P=16-216=78.50.(2014·陕西·文T6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=410=25,故选B.51.(2014·湖南·文T5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=35,故选B.52.(2014·辽宁·文T6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8【答案】B【解析】所求概率为S半圆S长方形=12π×122×1=π4,故选B.53.(2014·全国2·理T5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8,故选A.54.(2013·陕西·理T5)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是()A .1-π4B .π2-1C .2-π2D .π4【答案】A【解析】S 矩形ABCD =1×2=2,S 扇形ADE =S 扇形CBF =π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为P=S矩形ABCD-S扇形ADE-S扇形CBFS矩形ABCD=2-π22=1-π4.55.(2013·四川·理T9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( ) A.14 B.12C.34D.78【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x ≤4,0≤y ≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率P=S阴影S正方形=16-416=34.56.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则ADAB =( ) A.12B.14C.√32D.√74【答案】D【解析】如图,设AB=2x,AD=2y. 由于AB 为最大边的概率是12,则P 在EF 上运动满足条件,且DE=CF=12x ,即AB=EB 或AB=FA.∴2x=√(2y )2+(32x)2,即4x 2=4y 2+94x 2,即74x 2=4y 2,∴y 2x 2=716.∴y x =√74.又AD AB =2y 2x =y x =√74,故选D .57.(2013·全国1·文T3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A .12B .13C .14D .16【答案】B【解析】由题意知总事件数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为1358.(2013·全国1·理T3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大,所以宜采用按学段分层抽样.59.(2013·江西·理T4文T5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.01【答案】D【解析】选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.60.(2013·陕西·理T4)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11B.12C.13D.14【答案】B【解析】840÷42=20,把1,2,…,840分成42段,不妨设第1段抽取的号码为l,则第k 段抽取的号码为l+(k-1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l+(k -1)·20≤720,得25+1-l20≤k≤37-l20.由1≤l≤20,则25≤k≤36.满足条件的k 共有12个.61.(2012·山东·理T4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15【答案】C【解析】由题意可得,抽样间隔为30,区间[451,750]恰好为10个完整的组,所以做问卷B 的有10人,故选C.62.(2012·北京·理T2)设不等式组{0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π-22C.π6D.4-π4【答案】D【解析】由题意知此概型为几何概型,设所求事件为A,如图所示,边长为2的正方形区域为总度量μΩ,满足事件A 的是阴影部分区域μA,故由几何概型的概率公式得P (A )=22-14×π×2222=4-π4.63.(2012·辽宁·文T11)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( ) A.16 B.13C.23D.45【答案】C【解析】此概型为几何概型,由于在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示. 因此所求概率为812,即23,故选C .64.(2012·安徽·文T10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )。

高考数学选择题试题分类汇编——概率与统计试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学选择题试题分类汇编——概率与统计〔2021文数〕4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本HY 差分别为sA 和sB,那么[B] (A)A x ＞B x ，sA ＞sB (B)A x ＜B x ，sA ＞sB (C)A x ＞B x ，sA ＜sB (D)A x ＜B x ，sA ＜sB解析：此题考察样本分析中两个特征数的作用A x ＜10＜B x ；A 的取值波动程度显然大于B ，所以sA ＞sB〔2021理数〕〔3〕两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品互相HY ，那么这两个零件中恰有一个一等品的概率为〔A 〕12(B)512(C)14(D)16【答案】B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，那么P(A)=P(A 1)+P(A 2)=211335+=43412⨯⨯ 〔2021理数〕11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王疑心大臣HY ，他用两种方法来检测。

方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和2p ，那么 A.1p =2p B.1p <2p C.1p >2p D 。

以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考察不放回的抽球、重点考察二项分布的概率。

此题是北师大的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，此题给出一个强烈的导向信号。

方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C -；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C -，作差得1p <2p 。

〔2021文数〕〔10〕甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线互相垂直的概率是〔A 〕318〔A 〕418〔A 〕518〔A 〕61810.C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条一共有36个根本领件。

2022年数学文高考真题分类汇编专题07概率与统计

2022年数学文高考真题分类汇编专题07概率与统计1.【2022高考新课标1文数】为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.1125B.C.D.3236【答案】A【解析】考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.2.【2022高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A.7533B.C.D.108810【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为故选B.考点：几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．3.[2022高考新课标Ⅲ文数]某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C．下面叙述不正确的是（）40155，408A.各月的平均最低气温都在0C以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20C的月份有5个【答案】D【解析】考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．学优高考网4.[2022高考新课标Ⅲ文数]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A.8111B.C.D.1581530【答案】C【解析】试题分析：开机密码的可能有(M,1),M(,2)M,(,3)M,(，M,4),(I,5)I,(,1)I,((,,4I2)),,((,I,53)(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N, 5)，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是选C．考点：古典概型．1，故15【解题反思】对古典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)m得出的结果才是正确的．n5.【2022高考山东文数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.140【答案】D【解析】考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.6.【2022高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是率为（）（A）11，甲获胜的概率是，则甲不输的概2356（B）25（C）16（D）13【答案】A【解析】试题分析：甲不输概率为115.选A.236考点：概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.7.【2022高考北京文数】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.1289B.C.D.552525【答案】B考点：古典概型【名师点睛】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式P(A)m求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，nm求概率.学优高考网n8.【2022高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是能力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可能性，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.9.【2022高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】考点：统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.学优高考网10.【2022高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则oglab为整数的概率=.【答案】【解析】16考点：古典概型.【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，4因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为A4，而满足题意的只有2个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．11.【2022高考上海文科】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】161.6【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有C246种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.【2022高考上海文科】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.13.【2022高考新课标1文数】（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数2420221060161718192022更换的易损零件数记某表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19,求y与某的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】（I）y【解析】,某19,3800(某N)（II）19（III）19,某19,500某5700（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.学优高考网14.【2022高考新课标2文数】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数保费0123452a0.85aa1.25a1.5a1.75a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数频数060150230330420510（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；（III）求续保人本年度的平均保费估计值.【答案】（Ⅰ）由公式求解.【解析】60503030求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算200200（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3，200故P(B)的估计值为0.3.(Ⅲ)由题所求分布列为：保费频率0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.05调查200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.考点：样本的频率、平均值的计算.【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题.15.[2022高考新课标Ⅲ文数]下图是我国2022年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2022年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi9.32，tiyi40.17，i1i1772(yy)0.55，7≈2.646.ii17参考公式：相关系数r(tt)(yy)iii1n(tt)(y2ii1i1nn，iy)2b中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：回归方程yab(ti1nit)(yiy)i(ti1nybt．，at)2【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．【解析】考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．学优高考网16.【2022高考北京文数】（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.【解析】所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w至少定为3．考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.【名师点睛】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.17.【2022高考山东文数】（本小题满分12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为某，y.奖励规则如下：①若某y3，则奖励玩具一个；②若某y8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（）【解析】5.（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.16所以，PB63.168则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,所以，PC因为5.1635,816所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.考点：古典概型学优高考网【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题较易，能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.18.【2022高考四川文科】（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.【答案】（Ⅰ）a0.30；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【解析】试题分析：（Ⅰ）由高某组距=频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为1，计算出a的值；（Ⅱ）利用高某组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率某样本总数=频数，计算所求人数；（Ⅲ）将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤某<2.5，再进行计算.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08某0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5某a+0.5某a，解得a=0.30.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。

2020年高考试题分类汇编(统计与概率)

2020年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1计数1.（2020·全国卷Ⅱ·理科）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.2.（2020·海南卷·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种 3.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名考点2数据的数字特征1.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设一座样本数据1x ，2x ，，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，，10n x 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．102.（2020·全国卷Ⅲ·理科）在一组样本中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A ．140.1p p ==，230.4p p ==B ．140.4p p ==，230.1p p ==C ．140.2p p ==，230.3p p ==D ．140.3p p ==，230.2p p == 3.（2020·北京卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，，[5.45,5.47]，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．36考点4回归分析1.（2020·全国卷Ⅰ·理科）某校一个课外学习小组为研究某作物的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，有实验数据(,)i i x y （1i =，2，，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+ 考点5概率1.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .2.（2020·北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随发芽率20%40% 60% 80% 100% 010 20 3040◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）3.（2020·全国卷Ⅰ·文科）某厂接受了一项加工业务，加工起来的产品（单位：件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元，对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂承接加工业务.甲分厂加工成本费25元/件，乙分厂加工成本费20元/件.厂家为决定由哪家分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两个分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（Ⅱ）分别求甲、乙两个分厂加工出来的100件产品的平均利润，厂家应选哪个分厂承接加工业务？4.（2020·全国卷Ⅰ·理科）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，福者下一场轮空，直至由一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.（Ⅰ）求甲连胜四场的概率；（Ⅱ）求需要进行第五场比赛的概率；（Ⅲ）求丙最终获胜的概率.考点6独立性检验及相关系数1.（2020·海南卷·山东卷）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的2.5PM和2SO浓度（单位：3/ug m），得下表：（Ⅰ）估计事件“该市一天空气中 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2.（2020·全国卷Ⅱ·文理科）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其方程面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(,)i i x y （1i =，2，，20），其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得2060i i x ==∑，201200ii y==∑，202()80i i x x =-=∑，202()9000i i y y =-=∑，20()()800i i i x x y y =--=∑.（Ⅰ）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（Ⅱ）求样本的相关系数（精确到0.01）；（Ⅲ）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一你认为更合理的抽样方法，说明理由.附：相关系数()()niix x y y r --=∑1.414≈.3.（2020·全国卷Ⅲ·理科）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（Ⅲ）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计解答题)汇编(附答案)

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计解答题）汇编考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==∑，2011200iiy==∑，202180iixx=-=∑（，2021)9000iiy y=-=∑（，201)800iiix yx y=--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r)ni ix yx y--∑（（≈1．414．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．6352．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．8283 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．8285．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．8286．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【答案解析】：(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲.分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；(2)选甲分厂，理由见答案解析．【答案解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=；(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：的记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．【答案】【答案解析】：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70．则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【答案解析】：(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁)． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积量i y0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑．【答案】(1)20.06m ；30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】：【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木总材积量估计为31209m2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，202180i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．的附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1．414．【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有【答案解析】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013P M ==； B 共有班次240次，准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则210()28074P N ==． A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78． (2)列联表准点班次数未准点班次数合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 2．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．828【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 3 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关．【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)75%；60%；的(2)能．答案解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=．(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400] (400，600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见答案解析．【答案解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．6．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。

2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编(学生版)

概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。

回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。

重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。

题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。

)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。

2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编排列组合与概率统计(学生版)

2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．四、二项式定理(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+⋯+C r n a n-r b r+⋯+C n n b n(n∈N∗)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的C r n a n-r b r做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T r+1=C r n a n-r b r，其中的系数C rn (r =0，1，2，⋯，n )叫做二项式系数，2.(2)两个常用的二项展开式：①(a -b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +L +-1 r C r n a n -r b r +L +-1 n C n n b n (n ∈N ∗)，②1+x n =1+C 1n x +C 2n x 2+L +C r n x r +L +x n(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)①每一行两端都是1，即C 0n =C n n ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n +1=C m -1n +C m n ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n =C n -m n ．③二项式系数和令a =b =1，则二项式系数的和为C 0n +C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n ，变形式C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n -1．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a =1，b =-1，则C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +⋯+(-1)n C n n =(1-1)n =0，从而得到：C 0n +C 2n +C 4n ⋅⋅⋅+C 2r n +⋅⋅⋅=C 1n +C 3n +⋯+C 2r +1n +⋅⋅⋅=12⋅2n =2n -1．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项T n 2+1的二项式系数C n 2n 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项T n +12，T n +12+1的二项式系数C n -12n ，C n +12n相等且最大．⑥求(a +bx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，⋅⋅⋅，A n +1，设第r +1项系数最大，应有A r +1≥A rA r +1≥A r +2 ，从而解出r 来．(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布1.n 重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．2.n 重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n 次；(2)各次试验的结果相互独立．3.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )4.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).六、超几何分布1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN，k =m ，m +1，m +2，⋯，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m =max {0，n -N +M }，r =min {n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布的期望E (X )==np (p 为N 件产品的次品率)．七、二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A 或A ，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )8.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).八、二项分布的两类最值(1)当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k (1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p kp k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −k k (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.(2)当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k(1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C k n kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.九、复杂概率计算(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：A i 表示“第i 局比赛胜利”，则A i表示“第i 局比赛失败”.(2)理解事件中常见词语的含义：A ,B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 都发生的事件为AB ；A ,B 都不发生的事件为；A ,B 恰有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 至多一个发生的事件为A ∪B ∪.(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P A =1-P A解出所求事件概率.十、条件概率1.条件概率定义一般地，设A ,B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )=P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．可以看到，P (B |A )的计算，亦可理解为在样本空间A 中，计算AB 的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即P (B |A )=n (AB )n (A )=n AB n Ω n A n Ω=P ABP A.特别地，当P (B |A )=P (B )时，即A ,B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B ).2.条件概率的性质设P (A )>0，全样本空间定义为Ω，则(1)P Ω|A =1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )=P B |A +P C |A ；(3)设事件A 和B 互为对立事件，则P (B∣A )=1-P (B ∣A )．十一、全概率公式与贝叶斯公式1.在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )=ni =1P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2.贝叶斯公式设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P B >0，有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k，i =1,2,⋯,n .在贝叶斯公式中，P A i 和P A i |B 分别称为先验概率和后验概率．十二、一维随机游走与马尔科夫链1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：P i ⋅j =P X n +1=j X n =i 为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若P X n +1=i X n =i ,X n -1=i n -1,⋅⋅⋅,X 0=i 0=P X n +1=j X n =i =P ij ，即未来状态X n +1只受当前状态X n 的影响，与之前的X n -1，X n -2，⋅⋅⋅，X 0无关.3.一维随机游走模型.设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t =0时，位于点x =i i ∈N + ，下一个时刻，它将以概率α或者βα∈0,1 ,α+β=1 向左或者向右平移一个单位. 若记状态X t =i 表示：在时刻t 该点位于位置x =i i ∈N + ，那么由全概率公式可得：P X t +1=i =P X t =i -1 ⋅P X t +1=i X t =i -1 +P X t =i +1 ⋅P X t +1=i X t =i +1 另一方面，由于P X t +1=i X t =i -1 =β，P X t +1=i X t =i +1 =α，代入上式可得：P i =α⋅P i +1+β⋅P i -1进一步，我们假设在x =0与x =m m >0,m ∈N + 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P 0=0，P m =1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：P i =a ⋅P i +1+b ⋅P i +c ⋅P i -1有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.十三、统计1.线性回归方程与最小二乘法(1)回归直线方程过样本点的中心(x ,y )，是回归直线方程最常用的一个特征(2)我们将y =b x +a称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ,a叫做b ，a 的最小二乘估计(leastsquaresestimate )，其中b =ni =1x i -xy i -y n i =1x i -x 2 =ni =1x i y i -nx ⋅y ni =1x 2i -nx2a =y -b x .(3)残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．(4)刻画回归效果的方式(i )残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(ii )残差平方和法：残差平方和ni =1y i -y i 2 ，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(iii )利用R 2刻画回归效果：决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．R 2=1ni =1y i -yi 2ni =1y i -y2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．第二部分.试题汇编一、单选题2.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))若二项式3x 2+1x2n展开式中存在常数项，则正整数n 可以是()A.3B.5C.6D.73.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13B.12C.23D.344.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)ax +y 5的展开式中x 2y 3项的系数等于80，则实数a =()A.2B.±2C.22D.±225.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.1091656.(广东省2023届高考一模)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()A.96种B.64种C.32种D.16种7.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P A =P B的充要条件是()A.P A ∪B =P A +P BB.P A ∪C =P B ∪CC.P AB =P ABD.P AC =P BC8.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A.100个B.125个C.225个D.250个9.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为()A.15B.310C.325D.62510.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2x-1xn展开式的常数项为()A.-160B.60C.120D.24011.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知x3+2x2n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为()A.60B.80C.100D.12012.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N4,σ2σ>0，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.113.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P B A=()A.79B.89C.911D.101114.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,B,C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为()A.193243B.100243C.23D.5915.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.310B.12C.35D.91016.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34B.0.37C.0.42D.0.4317.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知随机变量X 服从正态分布N 2,σ2 ，且P (X >3)=16，则P (X <1)=()A.13B.23C.16D.5618.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)(1+x )n 展开式中二项式系数最大的是C 5n ，则n 不可能是()A.8B.9C.10D.1119.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为X 1,X 2．设Y 1=X 1,X 1≥X 2X 2,X 1<X 2 ，设Y 2=X 1,X 1≤X 2X 2,X 1>X 2 ，记事件A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”，则P B ∣A =()A.19B.29C.15D.211二、多选题20.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则()A.P (X >32)>P (Y >32)B.P (X ≤36)=P (Y ≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车21.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数22.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中a的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.523.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()A.若样本数据x1，x2，⋯，x20的样本方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x20+1的方差为7B.经验回归方程为y =0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关C.对于随机事件A 与B ，P A >0，P B >0，若P A B =P A ，则事件A 与B 相互独立D.若X ∼B 7,12，则P X =k 取最大值时k =424.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率25.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)已知离散型随机变量X 服从二项分布B n ,p ，其中n ∈N ∗,0<p <1，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有()A.a +b =1B.p =12时，a =bC.0<p <12时，a 随着n 的增大而增大D.12<p <1时，a 随着n 的增大而减小26.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现2点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，D =“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有()A.A 与B 不互斥且相互独立B.A 与D 互斥且不相互独立C.B 与D 互斥且不相互独立D.A 与C 不互斥且相互独立27.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)在2x -1x 8的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256三、填空28.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________．29.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))在x -1x 6的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)30.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)1-x 5的展开式中x 3的系数为______(用数字做答)．31.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．32.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________.33.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))2-1x x -2 5的展开式中x 2的系数为________.34.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知二项式(2x -a )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中x 3项的系数为20，则实数a 的值为__________.35.x +2x4展开式中的常数项为__________.四、解答36.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．(结果保留整数)(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N (17，σ2)，其中σ2近似为(1)中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.9545，22≈4.7，23≈4.8，0.158653≈0.004．37.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；(2)(i )假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，⋯，(xn ，yn )，两个变量满足一元线性回归模型Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 (随机误差e i =y i -bx i )．请推导：当随机误差平方和Q =n i =1e 2i 取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii )令变量x =t -t ,y =w -w ，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 利用(i )中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数r =ni =1t i -t (w i -w)ni =1t i -t 2n i =1w i -w 2，5i =1w i -w 2=76.9，5i =1t i -t w i -w =27.2，5i =1w i =60.8，769≈27.738.(广东省2023届高考一模)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.39.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率40.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数X i(i∈N∗)的数学期望为E x i .①写出E X i-1与E x i 满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)：②若E x i>100，求i的最小值.41.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度=企业所有对新绩效方案满意的员工人数企业所有员工人数×100%．(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计选择题及填空题)汇编(附答案)

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计选择题及填空题）汇编考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________． 2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．.的考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．的2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．参考答案考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．【答案】64【答案解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种．故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【答案解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60【答案解析】：展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】(1)． 5; (2)． 10．【答案解析】:332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=故答案为5,10．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【答案解析】： 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项： ()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．【答案】(1)．80 (2)．122【答案解析】：5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，580a ∴=；113355135555222122a a a C C C ∴++=++=5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)．【答案】‐28【答案解析】：因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为‐28故答案为：‐28 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160.的【答案解析】：6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =．故答案：160．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．【答案】4- 【答案解析】：的展开式的通项令1240r -=，解得，故常数项为．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【答案解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【答案】，5【答案解析】9)x展开式的通项为919(0,1,2,,9)r r r r T C x r -+== ，当0r =时，可得二项式9)x +展开式的常数项是0919T C =．若系数为有理数，则(9)r -为偶数即可，故r 可取1,3,4,5,7,9，即246810,,,,T T T T T 共5项．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．【答案】28【答案解析】：83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2268311(2)286428864C x x ⎛⎫⋅⋅-=⨯⨯= ⎪⎝⎭．考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．为的【答案】①． 0.05 ②．35##0.6 【答案解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ，所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ，黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个，所以，()93155n P B n ==．故答案为：0.05；35． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635．【答案解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310【答案解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10= 甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P = 故答案为：3104．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①．23 ②． 2027【答案解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：23；2027．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1)．16 (2)． 23【答案解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23．故答案为：16；23．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．【答案】19【答案解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个．点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个． ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】27100【答案解析】法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：100271013310110=+-=P C P (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同) 8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710的【答案解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为371=1010－．考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．【答案】(1)．13(2)． 1 【答案解析】：因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=．2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．【答案】 ①．1635， ②． 127##517【答案解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为：1635，127．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．【答案】0.18 【答案解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则12120.60.40.50.60.072P C =⨯⨯⨯⨯=，若第3场或第4场输1场，则21220.60.50.50.60.108P C =⨯⨯⨯⨯=，所以甲以4：1获胜的概率是120.18P P +=．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．【答案】 (1)． 1 (2)． 89【答案解析】:2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为1；89．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14 【答案解析】因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．。

2021_2023年高考数学真题分类汇编专题14概率与统计填空题文

专题14概率与统计(填空题)近三年高考真题1．（2023•上海）现有某地一年四个季度的GDP （亿元），第一季度GDP 为232（亿元），第四季度GDP 为241（亿元），四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为（亿元）．【答案】946（亿元）．【解析】设第二季度GDP 为x 亿元，第三季度GDP 为y 亿元，则232241x y <<<，中位数与平均数相同， ∴23224124x y x y ++++=， 473x y ∴+=，∴该地一年的GDP 为232241946x y +++=（亿元）．故答案为：946（亿元）．2．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【答案】7．【解析】极差为18615432-=，组距为5，且第一组下限为153.5，32 6.45=，故组数为7组，故答案为：7．3．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．【答案】120；35．【解析】设盒子中共有球15n 个，则甲盒子中有黑球2n 个，白球3n 个，乙盒子中有黑球n 个，白球3n 个，丙盒子中有黑球3n 个，白球3n 个，从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为23154620n n n n n n ⨯⨯=；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率93155n n =．故答案为：120；35．4．（2022•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】3 10【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为310．。

(学生版)2024年高考数学真题分类汇编08：计数原理与概率统计

计数原理与概率统计一、单选题1．（2024·全国）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在[)900,1200之间，单位：kg）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2．（2024·全国）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．233．（2024·北京）(4x的二项展开式中3x的系数为（）A．15B．6C．4-D．13-4．（2024·天津）下列图中，相关性系数最大的是（）A．B．C．D．二、多选题5．（2024·全国）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u s ，()0.8413P Z u s <+»）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><三、填空题6．（2024·全国）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.7．（2024·全国）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．8．（2024·全国）1013x æö+ç÷èø的展开式中，各项系数的最大值是．9．（2024·全国）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是．10．（2024·天津）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．11．（2024·上海）在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．12．（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．13．（2024·上海）设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．四、解答题14．（2024·全国）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j £<£，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ³时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．15．（2024·全国）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？16．（2024·全国）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：(1)填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247»）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++17．（2024·北京）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i ）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X ，估计X 的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．18．（2024·上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++c 其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P c ³»．）。

2020年高考数学试题分类汇编——概率与统计选择

2020年高考数学试题分类汇编——概率与统计选择〔2018陕西文数〕4.如图，样本A 和B 分不取自两个不同的总体，它们的样本平均数分不为A B x x 和,样本标准差分不为sA 和sB,那么[B] (A) A x ＞B x ，sA ＞sB (B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C) A x ＞B x ，sA ＜sB (D)A x ＜B x ，sA ＜sB解析：此题考查样本分析中两个特点数的作用A x ＜10＜B x ；A 的取值波动程度明显大于B ，因此sA ＞sB〔2018辽宁理数〕〔3〕两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分不为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，那么这两个零件中恰有一个一等品的概率为〔A 〕12 (B)512(C)14 (D)16 【答案】B【命题立意】此题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的运算咨询题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，那么 P(A)=P(A 1)+ P(A 2)=211335+=43412⨯⨯〔2018江西理数〕11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发觉至少一枚劣币的概率分不为1p 和2p ，那么A. 1p =2pB. 1p <2pC. 1p >2p D 。

以上三种情形都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。

此题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，此题给出一个强烈的导向信号。

方法一：每箱的选中的概率为110，总概率为0010101(0.1)(0.9)C -；同理，方法二：每箱的选中的概率为15，总事件的概率为0055141()()55C -，作差得1p <2p 。

〔2018安徽文数〕〔10〕甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线相互垂直的概率是〔A 〕318 〔A 〕418 〔A 〕518 〔A 〕61810.C【解析】正方形四个顶点能够确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个差不多事件。

高考数学试题分类汇编

高等学校招生全国统一考试数学分类解析数学分类解析——概率统计一．选择题：1.(安徽理)（10）．设两个正态分布2111()(0)N µσσ>，和2222()(0)N µσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有（A ）A ．1212,µµσσ<<B ．1212,µµσσ<>C ．1212,µµσσ><D ．1212,µµσσ>>2.（福建理）(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（B ）A.16625 B.96625 C.192625 D.2566253.（福建文）(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（C ）A.12125 B.16125C.48125D.961254.（广东理）（3）．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A ．24B ．18C ．16D ．125.（湖南理）4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9),若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =(B)A.1B.2C.3D.46.（江西文）（11）．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（C ）A ．1180B ．1288C ．1360D ．14807.（辽宁理文）（7）.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,一年级二年级三年级女生373xy男生377370z则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C )A.13B.12C.23D.348.（山东理）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（B ）（A ）511（B ）681（C ）3061（D ）40819.（山东理）(8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（B ）（A ）304.6（B ）303.6(C)302.6(D)301.610.（山东文）9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（B ）分数54321人数2010303010A ．3B ．210C ．3D ．8510.（陕西文）（3）．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（C ）A ．30B ．25C ．20D ．1511.（重庆理）(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（D）(A)15(B)14(C)13(D)1212.（重庆文）(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（D ）(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法(D)分层抽样法13．（重庆文）(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（B ）(A)184(B)121(C)25(D)35二．填空题：1.（广东文）（11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品7420136203851192数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是13.2.（海南宁夏理文）（16）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356甲乙根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；②．以下任填两个：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．（2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．（3）．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ．（4）．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．3.（湖北文）11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是10.4．（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是0.98.5.（湖南理）15.对有n (n ≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m ｝和｛m +1、m +2,…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和f 同时出现在样本中的概率，则P 1m =4()m n m −;所有P if (1≤i ＜j ≤)n 的和等于6.6.（湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。

全国高考理科数学试题分类汇编概率与统计

年全国高考理科数学试题分类汇编：概率与统计一、选择题．（年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于分的人数是人,则该班的学生人数是（）．45．50 ．55．60【答案】．（年高考陕西卷（理））某单位有名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按, , , 随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间[, ]的人数为（）．．12 ．．【答案】．（年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯版））某班级有名学生,其中有名男生和名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为,五名女生的成绩分别为.下列说法一定正确的是（）．这种抽样方法是一种分层抽样．这种抽样方法是一种系统抽样．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】．（年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（）．抽签法．随机数法．系统抽样法．分层抽样法【答案】．（年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域的, 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（）．14π-．12π-．22π-．4π 【答案】．（年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过秒的概率是（）．14．12．34．78【答案】．（年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为组:[), [), [), [), [), [)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生名,据此估计,该模块测试成绩不少于分的学生人数为（）．．480 ．．【答案】．（年高考江西卷（理））总体有编号为,…的个个体组成。