第2章 2.2.2 间接证明

2.2.2　间接证明1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题.(重点、难点)2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)[基础·初探]教材整理　间接证明阅读教材P85“例1”以上部分，完成下列问题.1.间接证明：(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.(2)常用方法：反证法.2.反证法(1)基本过程：反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).(2)证题步骤：1.判断正误：(1)反证法属于间接证明问题的一种方法.( )(2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )(4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角.( )【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，正确的反设是____.【导学号：01580047】【解析】　“至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”.【答案】　假设三个内角均大于60°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]利用反证法证明否定性命题　(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为________.(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.【自主解答】　(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数.【答案】　整数(2)假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝，所以a＋c＋2＝4，所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，所以＝，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.原假设错误，故，，不成等差数列.1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.反证法证明问题的一般步骤[再练一题]1.(2016·晋州高二检测)设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和.求证：数列{S n}不是等比数列.【证明】　假设数列{S n}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾.所以数列{S n}不是等比数列.用反证法证明存在性问题　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.【精彩点拨】　“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.【自主解答】　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.∴≥>＝.同理>，>.三式相加得＋＋>，即>，矛盾.所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q 至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q[再练一题]2.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.【证明】　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.[探究共研型]利用反证法证明唯一性命题探究1【提示】　否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确.探究2　应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用________.①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论.【提示】　反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.【答案】　①②③　已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面.【精彩点拨】　“有且只有”表示“存在且惟一”，因此在证明时，要分别从存在性和惟一性两方面来考虑.【自主解答】　因为a∥b，所以过a，b有一个平面±.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈±，B∈±.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂±，即过a，b，m有一个平面±，如图.假设过a，b，m还有一个平面²异于平面±，则a⊂±，b⊂±，a⊂²，b⊂²，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾.因此，过a，b，m有且只有一个平面.用反证法证明惟一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性.[再练一题]3.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【导学号：01580048】【证明】　由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾.因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1.“x＝0且y＝0”的否定形式为________.【解析】　“p且q”的否定形式为“綈p或綈q”.【答案】　x≠0或y≠02.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_______________________________________________.【解析】　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形.【答案】　没有一个面是三角形或四边形或五边形3.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【解析】　假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.【答案】　③4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为__________.【解析】　由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.【答案】　③①②5.若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根.【证明】　假设三个方程中都没有两个相异实根，则”1＝4b2－4ac≤0，”2＝4c2－4ab≤0，”3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________2.3　数学归纳法1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(重点)2.数学归纳法证明几何命题.(难点)3.归纳递推的论证.(易错点)[基础·初探]教材整理　数学归纳法阅读教材P88，完成下列问题.数学归纳法公理对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.1.判断正误：(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )(3)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )(4)应用数学归纳法证明2n＞n3时所取的第一个n的值为1.( )【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2.若f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n＝1时f(n)为________.【解析】　当n＝1时，f(n)＝1＋＋＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]用数学归纳法证明等式　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)①1；②1＋2；③1＋2＋3；④1＋2＋3＋4.(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【自主解答】　(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1).【答案】　(1)④　(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.[再练一题]1.下面四个判断中，正确的是________.(填序号)①式子1＋k＋k2＋…＋k n(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1；②式子1＋k＋k2＋…＋k n－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k；③式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋；④设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋.【解析】　①中，n＝1时，式子＝1＋k；②中，n＝1时，式子＝1；③中，n＝1时，式子＝1＋＋；④中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是③.【答案】　③用数学归纳法证明不等式　(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*).【精彩点拨】　(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可.(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】　(1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.【答案】　(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2.∴当n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.[再练一题]2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.【证明】　①当n＝2时，＋＝>.②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋>，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－＝＋＋－>＋＋－＝＋－＝＋>.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.归纳—猜想—证明　已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝且a1＝.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明.【精彩点拨】　(1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想a n，再用数学归纳法证明.【自主解答】　(1)a2＝＝，a1＝，则a2＝，类似地求得a3＝.(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：a n＝.证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝，那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝，得a k＝，a k＋1＝，所以S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)＝，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－.因此，k(2k＋3)a k＋1＝，所以a k＋1＝＝.这就证明了当n＝k＋1时命题成立.由①②可知命题对任何n∈N*都成立.1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2.“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.[再练一题]3.已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2).(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明.【解】　(1)因为f(1)＝2，f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N*).用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想正确，即f(k)＝2k，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以，当n＝k＋1时，猜想正确.由①②知，对任意的n∈N*，都有f(n)＝2n.[探究共研型]用数学归纳法证明整除性问题探究1【提示】　不一定，如证明n边形的内角和为(n－2)·180°时，第一个值为n0＝3.探究2　数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】　第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.　用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*).【精彩点拨】　在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.【自主解答】　(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N*成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.[再练一题]4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【导学号：01580051】【解析】　由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【答案】　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋61.(2016·成都高二检测)在用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝(a≠1，n ∈N*)时，在验证当n＝1时，等式左边为________.【答案】　1＋a＋a22.在用数学归纳法证明时，用到＋＋…＋，若设f(k)＝＋＋＋…＋(k∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.【解析】　由题意f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，则f(k＋1)－f(k)＝＋－＝－.【答案】　－3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.【导学号：01580052】【解析】　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.【答案】　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24.对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法________.(填序号)①过程全都正确；②n＝1验得不正确；③归纳假设不正确；④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确.【解析】　没用归纳假设.【答案】　④5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.【证明】　(1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k ＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋1)＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝.所以当n＝k＋1时等式成立.由(1)(2)知，对任意n∈N*等式成立.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。