浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含精品解析)

浙江省杭州市学军中学 2018-2019 学年高一上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1.已知集合
，
，则
（）
A.
B.
【答案】B
【解析】
C.
D.
试题分析：由题意知
，故选 B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
2.函数 f（x）= ln（1-x2）的定义域为（ ）
③当 t 1＜0，f（x）在 R 上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理 t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由 f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得 1＞t ．
综上可得， t≤2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域， 同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
A.
B.
【答案】C
C. 3 D. 以上都不对
【解析】
【分析】
根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于 A，α＝﹣1 时，f（x）＝x 1，其定义域不是 R，不符合题意；
对于 B，α 时，f（x）
，其定义域不是 R，不符合题意；
对于 C，α＝3 时，f（x）＝x3，其定义域为 R 且为奇函数，符合题意；
的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是______．
把 f（x）
的定义域为 R 转化为
x∈R 恒成立，再由判别式小于等于 0 求解．
0 对任意 x∈R 恒成立，即 x2+2ax a≥0 对任意

【详解】∵f（x）
的定义域为 R，
∴
0 对任意 x∈R 恒成立，
即
恒成立，
即 x2+2ax a≥0 对任意 x∈R 恒成立，
10.设函数
，其中
表示 中的最小者.下列说法错误的（ ）
A. 函数 为偶函数 B. 若
时，有
C. 若 时，
D. 若
时，
【答案】D 【解析】
【分析】
先根据定义作 的图像，然后依据图像逐个检验即可．
【详解】在同一坐标系中画出 故 的图像为图所示．
的图像（如图所示），
的图像关于 轴对称，故 为偶函数，故 A 正确．
由图可知
时，有
从图像上看，当
时，有
，故 B 成立． 成立，令
，则 ，故
，故 C 成立．
取 ，则 综上，选 D．
，
，
，故 D 不成立．
【点睛】一般地，若
（其中
表示 中的较小者），则 的图像是由
这
两个函数的图像的较低部分构成的．
二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分）
11.若
，则
．
【答案】10
造三角形函数”．已知函数 f（x）= 是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】 【分析】 因对任意实数 a、b、c，都存在以 f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则 f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将 f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由 t﹣1 的符号 决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论 k 转化为 f（a）+f（b）的最小值与 f（c）的最大值的不等式，进而求出实数 k 的取值范围． 【详解】由题意可得 f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R 都恒成立，
＝loga（x1x2…x2018）2 ＝2loga（x1x2…x2018） ＝2×4＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.设 A={x|2≤x≤4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若 B 真包含于 A，则实数 a 的取值范围是（ ）
三、解答题（本大题共 5 小题，共 62.0 分）
18.已知集合 U=R，集合 A={x|x2-（a-2）x-2a≥0}，B={x|1≤x≤2}． （1）当 a=1 时，求 A∩B； （2）若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）{x|1≤x≤2}； （2）{a|a≤1}. 【解析】 【分析】 （1）代入 a 的值，求出集合 A，从而求出 A∩B； （2）由 A 与 B 的并集为 A，得到 B 为 A 的子集，表示出 A 的中不等式的解集，根据数轴确定出满足题意 a 的范围即可． 【详解】（1）a=1 时，A={x|x≥1 或 x≤-2}， 故 A∩B={x|1≤x≤2}； （2）∵A∪B=A， ∴B⊆A， 由 x2-（a-2）x-2a≥0，得（x+2）（x-a）≥0， 当 a＜-2 时，如数轴表示，符合题意；
同理，当-2≤a≤1，也合题意； 但当 a＞1 时，不合题意， 综上可知{a|a≤1}． 【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
19.设函数 f（x）=
+
+．
（1）设 t= + ，求 t 的取值范围；
故选：C．
【点睛】本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略 B＝∅的情况，是易错题．
8.函数 f（x）=log2（-x2+ax+3）在（2，4）是单调递减的，则 a 的范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由复合函数的单调性可知内层函数在（2，4）上为减函数，则需要其对称轴小于等于 2 且当函数在 x＝4
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．
故答案为：[﹣1，0]．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
14.设 max{a，b}表示 a，b 两数中的最大值，若 f（x）=max{|x|，|x-t|}关于 x=1 对称，则 t=______． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用函数 y＝|x|的图象和函数 y＝|x t|的图象关于直线 x
对称，从而得出结论．
【详解】f（x）＝max{|x|，|x t|}
，
由函数 y＝|x|的图象关于 x＝0 对称，函数 y＝|x t|的图象关于 x＝t 对称，
即有函数 f（x）的图象关于 x
对称，
f（x）＝max{|x|，|x t|}关于 x＝1 对称，
A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的解析式结合对数的运算性质即可得解. 【详解】∵函数 f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4， ∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4， ∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）
时的函数值大于等于 0，由此联立不等式组得答案．
【详解】令 t＝ x2+ax+3，则原函数化为 y＝log2t， ∵y＝log2t 为增函数， ∴t＝ x2+ax+3 在（2，4）是单调递减，
对称轴为 x ，
∴ 且﹣42+4a+3≥0，
解得：
．
∴a 的范围是[ ，4]． 故选：B． 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题． 9.对于函数 f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称 f（x）为“可构
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于 0，对数式的真数大于 0 联立不等式组求解．
【详解】由 ∴函数 f（x）
，得 0≤x＜1． ln（1 x2）的定义域为[0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.已知函数 f（x）=
，则 f[f（ ）]等于（ ）
即有 1，求得 t＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的对称性，属于基础题． 15.设方程 x2-mx+2=0 的两根 α，β，其中 α∈（1，2），则实数 m 的取值范围是______． 【答案】（2 ，4） 【解析】 【分析】 由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数 m 的取值范围． 【详解】∵方程 x2 mx+2＝0 的两根 α，β，∴△＝m2﹣8≥0，求得 m≥2 ，或 m≤ 2 ①．
由于 f（x）
1
，
①当 t 1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为 1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当 t 1＞0，f（x）在 R 上是减函数，1＜f（a）＜1+t 1＝t，
同理 1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故 f（a）+f（b）＞2．
再由 f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得 2≥t，结合大前提 t﹣1＞0，解得 1＜t≤2．
对于 D，错误，
故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的性质，关键是掌握幂函数的性质，属于基础题．
5.已知集合 M，N，P 为全集 U 的子集，且满足 M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( )
A. ∁UN⊆∁UP
【答案】D
B. ∁NP⊆∁NM
C. (∁UP)∩M＝∅
【解析】
因为 P⊆N，所以∁UN⊆∁UP，故 A 正确； 因为 M⊆P，所以∁NP⊆∁NM，故 B 正确；
∵g（x）＝f（x）
（a＞0，a≠0），
∴g（ x）＝f（ x）
f（ x）
，
故 g（x）+g（ x）＝f（x）+f（ x）+1＝3，