两角和与差的正弦公式的有趣证明

两角和与差的正弦公式的有趣证明

江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300

一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式

如图1(a)，在一个边长为a＋b的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2＋b2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有a2＋b2＝c2，亦即证明了勾股定理．

我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2：

如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β)，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其

面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β)＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！

二、无意中导出两角差的正弦公式

邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________．

他的答案是)sin(sin sin βαβ

α-⋅a ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来：

在ΔABC 中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得

)sin(sin βαβ-=a AC ， 即)sin(sin βαβ-=a AC ．

在RtΔACD 中，)

sin(sin sin sin βαβαα-=⋅=a AC AD ． 我说对啊！他却说老师的正确答案是：αβcot cot -=

a AD ．解题过程如下： 在RtΔABD 中，βcot ⋅=AD BD ；在RtΔACD 中，αcot ⋅=AD CD ，

所以a CD BD AD =-=-)cot (cot αβ，

即α

βcot cot -=a AD ．

我看了一下，完全正确．那他的老师为什么说他错呢？我动了一下笔，既然两个答案都正确，那么应该有

α

ββαβαcot cot )sin(sin sin -=-a a ， 化简，得

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-．

我告诉他，他的答案与老师的答案，本质上是一致的，但老师没有发现两者的关系，应该和老师沟通一下．同时，他在不经意中给出了两角差的正弦公式的一个很好的证明，这个公式到高中后会用到．