高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案2 新人教A版选修2-2
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好尊敬的各位评委、老师：大家好！我说课的内容选自：普通高中课程人教A版数学《选修2-2》第一章第三节“1.3.1函数的单调性与导数”。
下面我将从教材、学情分析、教学目标设计、教法、学法设计、教学过程设计、教学评价设计等五个方面对本节课进行说明一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
（四）教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计 (2)
人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标1.了解导数的定义及其应用；2.了解利用导数研究函数的方法；3.能够应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；4.能够应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
二、教学内容1.导数的定义及其意义；2.导数的性质；3.利用导数研究函数的方法；4.应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；5.应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
三、教学重点1.学生对导数的定义及其应用有较为深刻的理解；2.能够应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；3.能够应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
四、教学难点1.导数的应用；2.函数的极值和拐点的判断。
五、教学方法1.讲授导数的定义及其应用，并配合实例进行解析；2.配合讲解示意图，仿真实验，在操作中理解概念；3.学生自主探究、归纳总结。
六、教学过程第一步导入新课教师可以通过展示一道应用导数的问题，引入本节课的主题。
如：一个点在直线的下方某个位置，如何确定直线的斜率从而求出点到直线的距离？第二步热身教师可以通过出示一个基础的导数问题，让学生巩固导数基础，为后续教学做好准备。
如：求函数y=x2在x=2处的导数。
第三步导入正文1.通过图形展示课本中提供的经典案例，让学生了解导数的意义和性质；2.通过例题的方式，向学生介绍如何利用导数研究函数的方法；3.通过实例的方式，向学生展示如何应用导数分析函数的单调性、增减性、极值、拐点等特征；4.通过图形展示的方式，向学生展示如何应用导数研究曲线的凹凸性及拐点。
第四步练习通过练习巩固本节课所学知识点，教师可以在练习中逐步深入地让学生理解导数的应用。
第五步总结通过总结的方式，教师可以让学生对本节课所学知识点进行梳理，强化记忆和理解。
七、作业1.完成教师布置的单元测试；2.自主完成导数分析的实例题。
八、教学资源1.《人教版高中数学选修2》；2.数学软件Geogebra。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案章节一：导数的概念及计算1. 教学目标(1) 理解导数的定义及其几何意义。
(2) 学会计算常见函数的导数。
(3) 能够运用导数研究函数的单调性。
2. 教学重点与难点(1) 重点：导数的定义，导数的计算。
(2) 难点：导数在研究函数单调性中的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾函数的图像，引导学生思考如何判断函数的单调性。
(2) 讲解：介绍导数的定义，通过几何意义解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
(3) 练习：计算基本函数的导数，引导学生发现导数的计算规律。
(4) 应用：利用导数判断函数的单调性，举例说明。
4. 课后作业(1) 复习导数的定义及计算方法。
(2) 练习判断给定函数的单调性。
教案章节二：导数在研究函数极值中的应用1. 教学目标(1) 理解极值的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的极值。
(3) 能够运用极值解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：极值的概念，利用导数研究函数的极值。
(2) 难点：实际问题中极值的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的极值。
(2) 讲解：介绍极值的概念，讲解如何利用导数求函数的极值。
(3) 练习：举例求解函数的极值，引导学生发现求极值的规律。
(4) 应用：运用极值解决实际问题，如最优化问题。
4. 课后作业(1) 复习极值的概念及求解方法。
(2) 练习求解给定函数的极值。
教案章节三：导数在研究函数凹凸性中的应用1. 教学目标(1) 理解凹凸性的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的凹凸性。
(3) 能够运用凹凸性解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：凹凸性的概念，利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 难点：实际问题中凹凸性的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 讲解：介绍凹凸性的概念，讲解如何利用导数判断函数的凹凸性。
学高中数学导数及其应用函数的单调性与导数教师用书教案新人教A版选修
３.３导数在研究函数中的应用３.３．１函数的单调性与导数学习目标核心素养１．理解函数的单调性与导数的关系．（重点）２．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．（重点）３．能根据函数的单调性求参数．（难点）１．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．２．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.１．函数的单调性与导数的关系（１）在区间（a，b）内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′（x）>0单调递增f′（x）<0单调递减f′（x）＝0常函数（２）在区间（a，b函数的单调性导数单调递增f′（x）≥0单调递减f′（x）≤0常函数f′（x）＝0思考：在区间（a，b[提示] 必要不充分条件．２．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．１．函数y＝x３＋x的单调递增区间为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，＋∞）D[y′＝３x２＋１>0，故选Ｄ．]２．函数f（x）＝２x—sin x在（—∞，＋∞）上（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减Ｄ．先减后增A[∵f（x）＝２x—sin x，∴f′（x）＝２—cos x>0，∴f（x）在R上是增函数．]３．若函数f（x）的导数f′（x）＝x（x—２），则f（x）在区间________上单调递减．[0,２] [∵f′（x）＝x（x—２），由f′（x）≤0得，0≤x≤２，∴f（x）在[0,２]上单调递减．]导数与函数图象的关系的图象可能是（）（２）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f′（x）的图象可能是图中的（）（１）D（２）C[（１）由f′（x）>0（f′（x）<0）的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示：x（—∞，0）（0,２）（２，＋∞）f′（x）＋—＋f（x）↗↘↗由表可知f（x有D，故选Ｄ．（２）由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′（x）的正、负情况如下表：x（—１，b）（b，a）（a,１）f（x）↘↗↘f′（x）—＋—由表可知函数y＝f′（x轴下方；当x∈（b，a）时，函数图象在x轴上方；当x∈（a,１）时，函数图象在x轴下方．故选Ｃ．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.错误!１．函数y＝f（x）在定义域错误!内可导，其图象如图所示，记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）<0的解集为__________．错误!∪（２,３）[根据导数和图象单调性的关系知当x∈错误!∪（２,３）时f′（x）<0．]利用导数求函数的单调区间（１）f（x）＝３x２—ln x；（２）f（x）＝—错误!ax３＋x２＋１（a≤0）．[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!―→错误![解] （１）函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝6x—错误!＝错误!，令f′（x）>0，则错误!>0．又x>0，则6x２—１>0，解得x>错误!.所以函数的单调增区间为错误!.令f′（x）<0，则错误!<0，解得0<x<错误!，所以函数的单调减区间为错误!.（２）因为f′（x）＝—ax２＋２x（a≤0），当a＝0时，f′（x）＝２x，函数在（—∞，0）上是递减的，在（0，＋∞）上是递增的，当a<0时，令f′（x）>0，则—ax２＋２x>0，解得x>0或x<错误!，所以函数的单调增区间为错误!，（0，＋∞）．令f′（x）<0，则—ax２＋２x<0，解得错误!<x<0，所以函数的单调减区间为错误!.综上，当a＝0时，函数在（—∞，0）上是递减的，在（0，＋∞）上是递增的；当a<0时，函数在错误!和（0，＋∞）上是递增的，在错误!上是递减的．利用导数求函数f x的单调区间的一般步骤１确定函数f x的定义域；２求导数f′x；３在函数f x的定义域内解不等式f′x>0和f′x<0；４根据３的结果确定函数f x的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.错误!２．求下列函数的单调区间：（１）f（x）＝错误!；（２）f（x）＝错误!；（３）f（x）＝e x—x.[解] （１）函数定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.令f′（x）>0，即１—ln x>0，解得0<x<e；令f′（x）<0，即１—ln x<0，解得x>e.所以函数的单调递增区间是（0，e），递减区间是（e，＋∞）．（２）函数定义域为R，f′（x）＝错误!＝错误!.令f′（x）>0，即４—x２>0，解得—２<x<２；令f′（x）<0，即４—x２<0，解得x<—２或x>２；所以函数的单调递增区间是（—２,２），递减区间是（—∞，—２）和（２，＋∞）．（３）函数定义域为R，f′（x）＝e x—１．令f′（x）>0，即e x—１>0，解得x>0；令f′（x）<0，即e x—１<0，解得x<0；所以函数的单调递增区间是（0，＋∞），递减区间是（—∞，0）．已知函数的单调性求参数的取值范围１．在区间（a，b）内，若f′（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x３在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上递增的充分条件．２．一般地，在区间（a，b）内函数的单调性与导数有什么关系？提示：函数的单调性导数单调递增f′（x）≥0且f′（x）不恒为0单调递减f′（x）≤0且f′（x）不恒为0常函数f′（x）＝0【例３】３（１）若f（x）在区间（１，＋∞）内为增函数，求a的取值范围；（２）若f（x）的递减区间为（—１,１），求a的取值范围；（３）若f（x）在区间（—１,１）上不单调，求a的取值范围．[解] （１）因为f′（x）＝３x２—a，且f（x）在区间（１，＋∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（１，＋∞）上恒成立，即３x２—a≥0在（１，＋∞）上恒成立，所以a≤３x２在（１，＋∞）上恒成立，即a≤３．（２）f′（x）＝３x２—a.１当a≤0时，f′（x）≥0，无减区间，不满足条件．２当a>0时，令３x２—a＝0，得x＝±错误!；当—错误!<x<错误!时，f′（x）<0．因此f（x）在错误!上为减函数．所以错误!＝１，即a＝３，综上a的取值范围为{a|a＝３}．（３）f′（x）＝３x２—a，当a≤0时，—a≥0，f′（x）≥0恒成立，满足在区间（—１,１）上是递增的，不符合题意，舍去；当a>0时，由f′（x）＝0，得x＝±错误!（a>0）．因为f（x）在区间（—１,１）上不单调，所以0<错误!<１，即0<a<３．综上a的取值范围为（0,３）．１．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路（１）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．（２）先令f′（x）>0（或f′（x）<0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意．２．恒成立问题的重要思路（１）m≥f（x）恒成立⇒m≥f（x）max.（２）m≤f（x）恒成立⇒m≤f（x）min.错误!３．已知向量a＝（x２，x＋１），b＝（１—x，t），若函数f（x）＝a·b在区间（—１,１）上是增加的，求t的取值范围．[解] 由题意得f（x）＝x２（１—x）＋t（x＋１）＝—x３＋x２＋tx＋t，∴f′（x）＝—３x２＋２x＋t.若f（x）在（—１,１）上是增加的，则在（—１,１）上f′（x）≥0恒成立．即t≥３x２—２x在区间（—１,１）上恒成立．考虑函数g（x）＝３x２—２x＝３错误!错误!—错误!，x∈（—１,１）显然g（x）<g（—１），故t≥３x２—２x在区间（—１,１）上恒成立⇔t≥g（—１），即t≥５．而当t≥５时，f′（x）在（—１,１）上满足f′（x）>0，即f（x）在（—１,１）上是增加的．故t的取值范围是[５，＋∞）.１．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．２．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．３．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．特别提醒：（１）在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．（２）当不等式f′（x）>0或f′（x）<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f（x）的单调区间．（３）区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．１．判断正误（１）“在区间I上，f′（x）<0”是“f（x）在I上单调递减”的充分不必要条件．（）（２）若函数f（x）在（a，b）上单调递增，则f（x）在（a，b）上各点处的切线的倾斜角都是锐角．（）（３）单调递增函数的导函数也是单调递增函数．（）（４）如果函数f（x）在（a，b）上变化得越快，其导数就越大．（）[答案] （１）√（２）√（３）×（４）×２．函数f（x）＝x＋ln x在（0,6）上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．在错误!上是减函数，在错误!上是增函数Ｄ．在错误!上是增函数，在错误!上是减函数A[∵f（x）＝x＋ln x的定义域为（0，＋∞），又f′（x）＝１＋错误!>0，∴f（x）在（0,6）上是增函数．]３．在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′（x）<0的解集为（）Ａ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｂ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｃ．（—２，—１）∪（１,２）Ｄ．（—∞，—２）∪（２，＋∞）A[当x>0时，f′（x）<0，此时0<x<１，当x<0时，f′（x）>0，此时x<—１，因此xf′（x）<0的解集为（—∞，—１）∪（0,１）．]４．若函数f（x）＝ax３—x２＋x—５在（—∞，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．[解] 因为f′（x）＝３ax２—２x＋１，由题意可知f（x）在R上是增加的，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，即３ax２—２x＋１≥0在R上恒成立．所以错误!解得a≥错误!.当a＝错误!时，f′（x）＝x２—２x＋１＝0，有且只有f′（１）＝0．所以实数a的取值范围为错误!.。
高中数学选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》全套教案
导数在函数中的应用1.3.1《函数的单调性与导数》【教法分析】（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。
强调数形结合思想、转化思想的应用。
同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
(2)学法:探究与合作学习想结合。
教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。
【教学目标】1.知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。
2.过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。
体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。
3.情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。
【教学重点难点】教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。
教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。
【学前准备】：多媒体，预习例题提出问题1：通过观察，找到h(t)的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。
提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？探讨：下列函数的单调性与其导函数正负的关系。
1.3.2函数的极值与导数【教学目标】【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念；2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3．掌握求可导函数的极值的步骤；【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
【学前准备】：多媒体，预习例题当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状。
解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”。
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示。
(新)高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性教案新人教A版选修2-
《利用导数研究函数的单调性》)(.)()(3为增函数的充要条件是）（xfxf>'2.（教材改编）如下图所示是函数f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列判断中正确的是（ A ）四、突破考点【考点1】求函数的单调区间的单调区间。
，求（自编）已知函数例)(322331)(.123xfxxxxf++-=【小结】求函数单调区间的步骤：（1）确定定义域（2）求f '(x)（3）令f '(x)>0,得递增区间令f '(x)<0,得递减区间【考点2】求含参函数的单调区间的单调区间。
为常数），求（已知函数变式)(32131)(.123xfaaxxaxxf+++-=的递增区间。
），求为常数，且（已知函数变式)(3213)(.223xfaaxxaxaxf≠+++-=【小结】求含参三次函数的单调区间的基本步骤：（1）确定定义域，求（2）判断开口方向（2）判断是否有根（3）比较两根大小（4）确定单调区间五、课堂小结1、函数的单调性与导数有什么关系？2、如何利用导数去研究函数的单调性，怎么求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）？3、这节课主要体现了什么数学思想？六、课后作业)(xf')(='xf)(.)(,0)(2在此区间上没有单调性则函数内恒有）如果函数在某个区间（xfxf=')(xf'《利用导数研究函数的单调性》教学反思本节内容是高考的重点考查内容，也是难点内容，一般出现在高考数学压轴大题当中，并且与后面函数极值、最值的求法紧密联系，所以占据着重要地位。
在课堂引入当中，解读考纲以及近几年高考考点，对学生起到了积极的作用，激发学习兴趣。
整节课紧紧围绕教学目标展开，由一道例题出发，进而产生两个变式，分为三个层次进行，层层递进，由易到难，再化难为易，回扣主题，解决重难点问题。
所以，课程内容和流程的设计上，很好地照顾到了不同知识水平的学生，易于理解和掌握，提高了课堂效率，达到了预期的目标。
高中数学《导数在研究函数中应用函数单调性与导数》教案2新人教A版选修22
函数的单调性与导数〔二〕一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程⑴〔一〕复习1．确定以下函数的单调区间：y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．〔4〕f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a,b)内单调递增的A．充分而不必要条件 B ．必要但不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件( A)〔二〕举例例1．求以下函数的单调区间(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；(2)(log(3x2)x(3)3(2x1)(1x)2〔4〕f(x)ln(3xb)〔b>0〕〔5〕判断f(x)lg(xx2)的单调性。
分三种方法：〔定义法〕〔复合函数〕〔导数〕例2．〔1〕求函数y1x31(aa2)x2a3xa2的单调减区间.2〔2〕讨论函数f(x)bx(11,b0)的单调性.x2〔3〕)a–+1x+1)，≥–)的单调设函数=x()ln(其中1，求区间.a〔1〕解：y′=2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.〔1〕当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a 2)；〔2〕当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；3〕当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；4〕a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数y1x3aa2)x2a3xa2的单调减区间为(a,a2)；3当0＜a＜1时的函数y 112322a)；x(aa)xax的单调减区间为(a,32当a=0，a=1时，无减区间.〔2〕解：∵f(x)bxbx f(x)，∴f(x)在定义域上是奇函数.(x)21x21在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=b(xbx21x(x21)bx22x21=bx22(x21)2(x21)2(x21)2假设b＞0，那么有f ′(x)＜0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递减的；假设b＜0，那么有f ′(x)＞0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.〔3〕解：由得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且f(x)ax1(a≥–1).x1〔1〕当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.1〔2〕当a＞0时，由f′(x)=0，解得x.a′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,1)1(1, )a a af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈(1,1a)时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(1,1)上单调递减a.当x ∈( 1, a )时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,a)上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数a f(x)在(1,a)上单调递增.作业：?习案?作业八。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用学案新人教A版选修2-2 (2)
3.3导数在研究函数中的应用一、 学习目标：进一步理解和掌握用导数研究函数的单调性、极值、求函数最大（小）值的方法；通过题组训练，注意培养自己归纳能力和分析解决综合问题的能力；体验重要数学思想方法的运用，学会合作与分享，增强学习数学的信心。
二、导学过程（一）复习回顾1.⑴导数在研究函数中有哪些应用？⑵怎样利用导数研究函数的这些性质？2.活动1：⑴如果函数的导函数图象如图所示，给出下列判断：①函数()f x 在1(3,)2--内单调递增；②函数()f x 在1(,3)2-内单调递减；③函数()f x 在(2,2)-内单调递增；④当12x =-时，函数()f x 有极大值；⑤当2x =时，函数()f x 有极大值。
则上述判断正确的是_____________.⑵已知函数()3232f x x x =-+，则①函数的单调递增区间是____________________；②当_____x =时，函数取极大值是________，当_____x =时，函数取极小值是________；③函数在区间[]1,4-上的最大值是_________，最小值是_________。
（二）合作探究活动2：利用导数探究函数的单调性问题（题组一） 1.求函数()3232f x ax x =-+的单调递减区间。
2.若函数()322f x x bx cx =+++的单调递减区间是()1,3-，则____,_____b c ==。
3.若函数()32(2)1f x x bx b x =++-+在区间()1,0-上单调递减，则_____b ∈。
4.若函数()321f x x x ax =-++在区间()1,2上不单调，则_____a ∈。
合作交流：探究了题组一，说说你对“用导数探究函数单调性”的认识： 活动3：利用导数探究函数的极值问题（题组二）1.若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则___,___a b ==。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修22
1.3.1函数的单调性与导数
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习
习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案
新人教A版选修22
教学目标：
⑴知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
⑵ 能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
（3）情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：
问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
二、观察与表述
（探索函数的单调性和导数的关系）
1 •这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。
2 •教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。
由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
3 •得出结论后，教师强调正确理
解“某个区间”的含义, 它必需是
定义域内的某个区
六、板书计划。
高中数学1.3.1利用导数研究函数的单调性导学案新人教A版选修2-2
3.3.1利用导数研究函数单调性一、【教材知识梳理】函数的单调性与其导数正负的关系：一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。
二、课前预习1、以函数34)(2+-=x x x f 的图像来研究，回忆以前的知识我们还知道，函数在某点处的导数的几何意义是函数在该点处切线的斜率。
2、（1）确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？（2）在单调递增的区间 ),2(+∞上去任意找一点，并画出它的切线，这条切线的斜率有什么点？这说明了什么？（3）在单调递减的区间)2,(-∞上去任意找一点，并画出它的切线，这条切线的斜率有什么特点？这又说明了什么？3、观察下面的一些函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系三、典例解析例1：找出函数3241y x x x =-+-的单调区间。
小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f (x )的定义域；求函数f (x )的导数f ′(x ).（2）令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间跟踪练习1： 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.例2：求证：当x<2时，7112623<-+-x x x .跟踪练习2：已知x>1，求证：x>lnx.例3：已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （1）试用含a 的代数式表示b ； （2）求()f x 的单调区间；跟踪练习3：已知函数3()31,0f x x ax a =--≠,求()f x 的单调区间.例4：已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =-+-+>。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的基本概念及其几何意义；2. 学会利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 掌握导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的基本概念及其几何意义；2. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的计算；2. 利用导数解决实际问题。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1. 引入导数的定义；2. 讲解导数的几何意义；3. 举例说明导数的计算方法。
1.2 导数的计算1. 讲解导数的计算规则；2. 举例练习导数的计算；3. 引导学生发现导数的计算规律。
第二章：利用导数研究函数的单调性2.1 单调性的定义1. 引入单调性的概念；2. 讲解单调性的判断方法；3. 举例说明单调性的应用。
2.2 利用导数判断函数的单调性1. 引入导数与单调性的关系；2. 讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 举例练习利用导数判断函数单调性。
第三章：利用导数研究函数的极值3.1 极值的概念1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例说明极值的求解方法。
3.2 利用导数求函数的极值1. 引入导数与极值的关系；2. 讲解利用导数求函数极值的方法；3. 举例练习利用导数求函数极值。
第四章：利用导数研究函数的最值4.1 最值的概念1. 引入最值的概念；2. 讲解最值的求解方法；3. 举例说明最值的应用。
4.2 利用导数求函数的最值1. 引入导数与最值的关系；2. 讲解利用导数求函数最值的方法；3. 举例练习利用导数求函数最值。
第五章：导数在实际问题中的应用5.1 应用导数解决实际问题1. 引入导数在实际问题中的应用；2. 讲解导数在实际问题中的解题思路；3. 举例说明导数在实际问题中的应用。
5.2 利用导数解决优化问题1. 引入优化问题的概念；2. 讲解利用导数解决优化问题的方法；3. 举例练习利用导数解决优化问题。
5.3导数在研究函数中的应用(课时1函数的单调性)高二数学课件(人教A版选择性必修第二册)
1.一般地，函数 的单调性与其导数 有如下关系：
导数的符号
不等式的解集
函数的单调性
单调区间
单调递增
递增区间
单调递减
递减区间
2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明:
（1）若在某区间上有有限个点使 ，在其余的点恒有 ，则 仍为增函数（减函数的情形完全类似）；
（2） 为增函数的充要条件是对任意的 都有 且在 内的任一非空子区间上 不恒为0．
已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是( ).
A. B. C. D.
D
巩固训练
[解析] 视察导函数 的图象可知，当 或 时， ，函数 在 和 上单调递减；当 时， ，函数 在 上单调递增.故选D.
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.我们知道判断函数 的单调性可以用定义法、图象法，对于函数 ，如何判断它的单调性呢？
[答案] 定义法是解决问题的根本方法，但是定义法较烦琐，又不能画出它的图象.通过前面的学习，我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性．
预学忆思
自主预习·悟新知
2.函数 的单调性与导数有什么关系？
B
[解析] ， ， ， ，当 时，只有 恒成立．
3.已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的单调递增区间为__________________．
和
[解析] ∵当 或 时， ，∴函数 的单调递增区间为 和 ．
4.证明函数 在 上单调递减．
[解析] ， ， （当且仅当 时，等号成立）， ， 在 上单调递减．
方法总结 1.利用导数判断或证明函数单调性的思路：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数 ；②判断 的符号；③给出单调性的结论． 特别提醒：如果出现个别点使 ，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性．
高中数学 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修2-2
1.3.1 函数的单调性与导数学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3.会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：[提示]f(x)是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：1．思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )[答案] (1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定A[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]3．函数y＝f(x)的图象如图131所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图131D[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]4．函数f(x)＝e x－x的单调递增区间为________.【导学号：31062036】[解析]∵f(x)＝e x－x，∴f′(x)＝e x－1.由f′(x)＞0得，e x－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[答案] (0，＋∞)[合 作 探 究·攻 重 难]y＝f ′(x )的图象可能为( )图132(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图133所示，则f (x )的图象只可能是( )图133(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x ＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x ＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．][规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[跟踪训练]1．已知y ＝xf ′(x )的图象如图134所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )图134C [当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]角度求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x； (3)f (x )＝x ＋1x.【导学号：31062037】[解] (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞)．∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表：(2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝(x 2)′e －x＋x 2(e －x)′＝2x e －x－x 2e－x＝e －x(2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：(3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∞)．角度2 含参数的函数的单调区间讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．[思路探究]求函数的定义域―→求fx――→分a ＞0，a ＝0解不等式f x ＞0或f x ＜0―→表述f x 的单调性[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x＝ax 2＋x －a ＋x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )＞0，得x ＞1， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a ＞0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a x －x，∵a ＞0，∴－a ＋1a＜0. 由f ′(x )＞0，得x ＞1， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数. [规律方法] 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围．当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间． [跟踪训练]2．设f (x )＝e x－ax －2，求f (x )的单调区间.【导学号：31062038】[解] f (x )的定义域为 (－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.[1．在区间(a ，b )内，若f ′(x )＞0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y ＝x 3在R 上为增函数，但其在x ＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x )＞0是y ＝f (x )在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f (x )为可导函数，且在区间(a ，b )上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x )满足什么条件？提示：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)．已知函数f (x )＝x 3－ax －1为单调递增函数，求实数a 的取值范围． [思路探究] fx 单调递增―→fx 恒成立―→分离参数求a 的范围[解] 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.母题探究：1.(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1,1)，求a 的取值范围．[解] 由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3. 2．(变条件)若函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上单调递减，求a 的范围． [解] 由题意可知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f－f，即⎩⎪⎨⎪⎧3－a3－a ≤0，∴a ≥3.即a 的取值范围是[3，＋∞)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．[规律方法] 1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[当堂达标·固双基]1．设函数f(x)的图象如图135所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )图135C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )【导学号：31062039】A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)D [∵f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x， 由f ′(x )＞0得(x －2)e x＞0，∴x ＞2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．] 3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －x ＋x，令y ′≤0，则可得0＜x ≤1.]4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：31062040】A ．[1，＋∞)B ．a ＝1C ．(－∞，1]D ．(0,1)A [∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.] 5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间．[解] 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1＜0， ∴f ′(x )＜0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k ＞0时，由f ′(x )＜0，即kx －1x＜0， 解得0＜x ＜1k；由f ′(x )＞0，即kx －1x ＞0，解得x ＞1k. ∴当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.。
人教A版高中数学选修导数在研究函数中的应用教案
§3.3.2函数的极值与导数教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授一、 导入新课观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点3.3-83.3-9o a x 1 xx 3 bx yP (x 1,f (x 1)) y=f (x ) Q (x 2,f (x 2))函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.三、数学建构观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。
人教A版高中数学选修导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数教案新(2)
1.3.1 函数的单调性与导数（三）教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.教学过程：一、练习讲解及上一课时的例2。
二、新课：题型一：求参数的取值范围：例1．要使函数2)1(3)(2-++=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
例2．若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）上是减函数，在区间),6(+∞ 上是增函数，求实数a 的取值范围题型二：证明不等式例1. 已知x ＞1，求证：x ＞ln(1＋x ).例2．已知x ＞0，求证：1+2x ＞x e2.例3．已知x ),2,0(π∈求证：x x x tan sin <<练习：.211821,02x x x x x +<+<-+>证明不等式已知 小结：若证明f (x )＞g (x )，x ∈(a , b )可以等价转换为证明f (x )－g (x )＞0，如果(f (x )－g (x ))'＞0，说明函数f (x )－g (x )在(a , b )上是增函数，如果f (a )－g (a )≥0，由增函数的定义可知，当x ∈(a , b )时， f (x )－g (x )＞0，即f (x )＞g (x ).题型三：有关方程根的问题例1．只有一个根方程求证0sin 21:=-x x .0=x小结：用求导的方法确定根的个数，是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数，最简单的一种是只有1个交点（即1个根）的情况，即函数在某个定义域内是单调函数，再结合某一个特殊值来确定f(x)＝0.课堂小结1．题型一：求取值范围；2．题型二：证明不等式；3．题型三：有关方程根的问题；课后作业：《习案》作业八。
(新)高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的应用1_3_1函数的单调性与导数教学案新人教A版选修2
1．3.1 函数的单调性与导数预习课本P22～26，思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？(3)怎样求函数的单调区间？[新知初探]1．函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内是常数函数．[点睛]对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)答案：D3．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减D ．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增 答案：A4. 函数y ＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升判断或讨论函数的单调性[典例] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a，讨论函数f (x )的单调性．[解] 由题设知a ≠0.f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，若x ∈(－∞，0)，则f ′(x )>0. ∴f (x )在区间(－∞，0)上为增函数．若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a ，则f ′(x )<0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞，则f ′(x )>0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上是增函数．当a <0时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，则f ′(x )<0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上是减函数．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，0，则f ′(x )>0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，0上为增函数．若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )<0. ∴f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数证明或判断函数单调性的思路[活学活用]判断函数y ＝ax 3－1(a ∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：∵y ′＝(ax 3－1)′＝3ax 2.①当a ＞0时，y ′≥0，函数在R 上单调递增； ②当a ＜0时，y ′≤0，函数在R 上单调递减； ③当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性.求函数的单调区间[典例] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－3x ＋1； (2)f (x )＝x ＋bx(b ＞0)．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＞0，则3x 2－3＞0.即3(x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x )＜0，则3(x ＋1)(x －1)＜0，解得－1＜x ＜1. ∴函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2，令f ′(x )＞0，则1x2(x ＋b )(x －b )＞0，∴x ＞b ，或x ＜－b .∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )＜0，则1x2(x ＋b )(x －b )＜0，∴－b ＜x ＜b ，且x ≠0.∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为： ①确定函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．[活学活用]1．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C ∵f (x )＝2x 2－ln x ， ∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ＝2x －12x ＋1x(x >0)，由f ′(x )>0得x >12.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R)的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)∵函数f (x )的图象过点P (1,2)，∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图象在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3＝(3x －1)(x ＋3)， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞， 单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3，13.利用导数求参数的取值范围[典例] 若函数f (x )＝3x 3－2ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] [法一 直接法]f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)，所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． [法二 数形结合法]如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]． ∵在(1,4)内f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， ∴另一根在[4,6]上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′4≤0，f ′6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×5－a ≤0，5×7－a ≥0，∴5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7] [法三 转化为不等式的恒成立问题]f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.因为f (x )在(1,4)内单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立．即a (x －1)≥x 2－1在(1, 4)上恒成立，所以a ≥x ＋1，因为2<x ＋1<5，所以当a ≥5时，f ′(x )≤0在(1, 4)上恒成立，又因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a ≤x ＋1，因为x ＋1>7，所以a ≤7时，f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路 (1)m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max .(2)m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min . [活学活用]若f (x )＝2x －a x 2＋2(x ∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a ∈________.解析：f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22，∵f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22≥0.∵(x 2＋2)2＞0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1]层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e.∴函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增．5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－4，f ′1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3； 由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1， 令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e2 016f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f 2e2<f 0e，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1.答案：(－∞，－1]7．已知x ＞0，证明不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立． 证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2， 其定义域为(－1，＋∞)，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x. 当x ＞－1时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0.∴当x ＞0时，不等式ln(1＋x )＞x －12x 2成立．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．解：(1)已知函数f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。
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1.3.1函数的单调性与导数（二）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习
1．确定下列函数的单调区间：
⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3
2．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．
3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )
A ．充分而不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（二）举例
例1．求下列函数的单调区间
(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；
(2) )253log()(2-+=x x x f (3) 32)1)(12(x x y --=.
（4）)3ln()(b x x f -= （b>0）
（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）
例2．（1）求函数3223211()32
y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1
bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.
（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2
)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.
（1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；
（2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；
（3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2
)；
（4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.
综上所述：
当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32
y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.
（2）解：∵22()()()11
bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.
当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=222
1(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的. 由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；
当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.
（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1
ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.
（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a
=. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表：
从上表可知，
当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a
-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；
当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a
+∞上单调递增.
作业：《习案》作业八。