高中物理 第三章 万有引力定律 第4节 人造卫星 宇宙速度教学案 教科版必修2
第4节 人造卫星__宇宙速度
1．第一宇宙速度为7.9 km/s ，其意义为最小发
射速度或最大环绕速度。
2．第二宇宙速度为11.2 km/s ，其意义表示物
体脱离地球的束缚所需要的最小发射速度。 3．第三宇宙速度为16.7 km/s ，其意义为物体
脱离太阳引力的束缚所需的最小发射速度。 4．同步卫星的线速度、角速度、周期、轨道、向
心加速度均是一定的。
一、人造卫星
1．卫星：一些自然的或人工的在太空绕行星运动的物体。
2．原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它
的万有引力提供，即G M E m r 2＝m v 2
r
，则卫星在轨道上运行的线速度v ＝
GM E
r
。 二、宇宙速度 1．第一宇宙速度
使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度，其大小为v 1＝7.9_km/s ，又称环绕速度。 2．第二宇宙速度
使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v 2＝11.2_km/s ，又称脱离速度。
3．第三宇宙速度
使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v 3
＝16.7_km/s ，也叫逃逸速度。
1．自主思考——判一判
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s 。(√)
(2)绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s 。(×) (3)无论从哪个星球上发射卫星，发射速度都要大于7.9 km/s 。(×)
(4)当发射速度v >7.9 km/s 时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。(×)
(5)如果在地面发射卫星的速度大于11.2 km/s，卫星会永远离开地球。(√)
(6)要发射一颗人造月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。(×)
2．合作探究——议一议
(1)人造卫星能够绕地球转动而不落回地面，是否是由于卫星不再受到地球引力的作用？
图3-4-1
提示：不是，卫星仍然受到地球引力的作用，但地球引力全部用来提供向心力。
(2)通常情况下，人造卫星总是向东发射的，为什么？
提示：由于地球的自转由西向东，如果我们顺着地球自转的方向，即向东发射卫星，就可以充分利用地球自转的惯性，节省发射所需要的能量。
(3)“天宫一号”目标飞行器在距地面355 km的轨道上做圆周运动，它的线速度比7.9 km/s大还是小？
提示：第一宇宙速度7.9 km/s是卫星(包括飞船)在地面上空做圆周运动飞行时的最大速度，是卫星紧贴地球表面飞行时的速度。“天宫一号”飞行器距离地面355 km，轨道半径大于地球半径，运行速度小于7.9 km/s。
人造卫星的运动规律
1．人造卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道。如图3-4-2所示。
图3-4-2
2．人造卫星的运行规律：人造卫星的运行规律类似行星运行规律。
(1)常用关系式
①G Mm r
2＝ma ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2
T
2r 。
②mg ＝G Mm
r
2
。
(2)常用结论：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小。可以概括为“越远越慢”。
3．同步卫星
地球同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：
特点 理解
周期一定
同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T ＝24 h 轨道一定
由于与地球的自转同步，同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重
合。由G Mm r 2＝m 4π2
T 2r 得r ＝3GMT 2
4π2，所有同步卫星的轨道半径相
同，离地高度也就相同
环绕速度 大小一定 由v ＝2πr
T
知所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的
(3.08 km/s)
角速度 一定 同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度
向心加速度 大小一定 由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r
2，所有同步卫星运动的向心加速度大小都相同
[典例] (多选)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图3-4-3所示，则( )
图3-4-3
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．在相同时间内b 转过的弧长最长
C ．c 在2小时内转过的圆心角是π
6
D ．d 的运动周期有可能是20小时
[思路点拨] 同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，根据a ＝ω2
r 比较a 与c 的向心加速度大小，再比较c 的向心加速度与g 的大小。根据万有引力提供向心力，列出等式得出角速度与半径的关系，分析弧长关系。根据开普勒第三定律判断d 与c 的周期关系。
[解析] 同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2
r 知，c 的向心加速度大，由G Mm
r 2＝mg ，得g ＝GM r
2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，
故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G Mm r 2＝m v 2
r ，得v ＝
GM
r
，卫星的半径越大，线速度越小，所以b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 正确；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在2 h 内转过的圆心角是π
6
，故C 正确；由开普勒第
三定律R 3
T
2＝k 知，卫星的半径越大，周期越大，所以d 的运动周期大于c 的周期24 h ，故D
错误。
[答案] BC
(1)人造卫星的a 、v 、ω、T 由地球的质量M 和卫星的轨道半径r 决定，当r 确定后，卫星的a 、v 、ω、T 便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r 发生变化时，其a 、v 、ω、T 都会随之改变。
(2)在处理人造卫星的a 、v 、ω、T 与半径r 的关系问题时，常用公式“gR 2
＝GM ”来替换出地球的质量M ，会使问题解决起来更方便。
1.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )
图3-4-4
A ．a 2＞a 1＞a 3
B ．a 3＞a 2＞a 1
C ．a 3＞a 1＞a 2
D ．a 1＞a 2＞a 3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G Mm 1R ＋h 1
2
＝m 1a 1，即a 1＝
GM R ＋h 1
2
，对于东方红二号，有G
Mm 2R ＋h 2
2
＝m 2a 2，即a 2
＝
GM R ＋h 2
2
，由于h 2＞h 1，故a 1＞a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东
方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2
r ，故
a 2＞a 3，所以a 1＞a 2＞a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误。
2．(多选)我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是( )
A ．运行速度大于7.9 km/s
B ．离地面高度一定，相对地面静止
C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：选BC “中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s ，A 错。其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B 正确。其运行周期为24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝2π
T
知，其运行角速度比月球大，C 正确。同
步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a ＝rω2
知，同步卫星的向心加速度大，D 错。
3．(多选)在圆轨道上质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R ，地球表面的重力加速度为g ，则( )
A ．卫星运动的线速度为2Rg
B ．卫星运动的周期为4π 2R g
C ．卫星的向心加速度为1
2g
D ．卫星的角速度为1
2
g 2R
解析：选BD 对卫星，万有引力提供向心力，有G
Mm
2R
2＝m v 2
2R
。在地球的表面又有g ＝GM
R 2。v ＝
GM 2R
＝gR
2
，A 错误。卫星的周期T ＝2π×2R v
＝42πR
gR
＝4π
2R
g
，B 正确。
卫星的向心加速度a ＝v 2r ＝v 22R ＝g 4，C 错误。卫星的角速度ω＝2πT ＝1
2
g
2R
，D 正确。 对宇宙速度的理解
1．第一宇宙速度 (1)推导
对于近地人造卫星，轨道半径r 近似等于地球半径R ＝6 400 km ，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g ＝9.8 m/s 2
，则
(2)决定因素
由第一宇宙速度的计算式v ＝
GM
R
可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M 和半径R ，与卫星无关。
(3)理解
①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径
最小，由G Mm r 2＝m v 2
r 可得v ＝
GM
r
，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。
2．发射速度与运行速度的对比
(1)三种宇宙速度都是指卫星的发射速度，而不是在轨道上的运行速度。
(2)人造地球卫星的发射速度与运行速度的大小关系：v 运行≤7.9 km/s≤v 发射<11.2 km/s 。
[典例] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A ．3.5 km/s
B ．5.0 km/s
C ．17.7 km/s
D ．35.2 km/s
[思路点拨] 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力。计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法。而近地卫星的速度就是第一宇宙速度(7.9 km/s)。
[解析] 根据题设条件可知：M 地＝10 M 火，R 地＝2R 火，由万有引力提供向心力GMm R 2＝m v 2
R
，
可得v ＝
GM R ，即v 火
v 地＝M 火R 地
M 地R 火＝1
5
，因为地球的第一宇宙速度为v 地＝7.9 km/s ，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v 火≈3.5 km/s ，选项A 正确。
[答案] A
第一宇宙速度v ＝
GM
R
＝gR ，也可应用于其他星体，只不过公式中的M 、R 、g 应为相应天体的质量、半径和表面重力加速度。
1．一探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的1
81，
月球的半径约为地球半径的1
4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s ，则该探月卫星绕月运
行的速率约为( )
A ．0.4 km/s
B ．1.8 km/s
C ．11 km/s
D ．36 km/s
解析：选B 对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动所
需向心力，即G Mm r 2＝m v 2
r ，所以v ＝
GM
r
。第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度。对于地球的近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径，探月卫星绕月飞行的轨道半径约等于月球半径，所以
v 月
v 地＝M 月·r 地
M 地·r 月＝
481＝2
9
，所以v 月
＝29
v 地
＝29
×7.9 km/s≈1.8 km/s 。故正确答案为B 。
2．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落点之间的距离为3L 。已知两落点在同一水平面上，该星球的质量为M ，引力常量为G 。求该星球的第一宇宙速度。
解析：设第一次抛出速度为v 、高度为h ，根据题意可得(如图所示)：
L 2＝h 2＋(vt )2
依图可得：(3L )2
＝h 2
＋(2vt )2
又h ＝12
gt 2
，
解方程组得g ＝23L
3t
2。
根据万有引力等于重力得，mg ＝G Mm R
2
解得R ＝
GM g ＝ 3GMt
2
2L
。 根据mg ＝m v 2
R
解得第一宇宙速度v ＝gR ＝423GML
3t 2
。 答案： 423GML
3t
2
卫星变轨问题
1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G Mm r 2＝m v 2
r
。
2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。
(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2 r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心 运动。 (2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2 r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近 心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。 3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。 4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。 1.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 图3-4-5 A ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B ．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D ．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 解析：选C 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误。 2.如图3-4-6所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) 图3-4-6 A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同 B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同 C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度 D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度 解析：选B 在P 点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运 动需要的向心力，即F 引＞mv 12 r ，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫 星做圆周运动的向心力，即F 引＝mv 22 r ，故v 1＜v 2，选项A 错误；在P 点，人造卫星在轨道1 和轨道2运行时，地球对人造卫星的引力相同，由牛顿第二定律可知，人造卫星在P 点的加速度相同，选项B 正确；在轨道1的不同位置，地球对人造卫星引力大小不同，故加速度也不同，选项C 错误；在轨道2上不同位置速度方向不同，选项D 错误。 1. (多选)如图1中的圆a、b、c，其圆心均位于地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言，以下说法正确的是( ) 图1 A．卫星的轨道可能为a B．卫星的轨道可能为b C．卫星的轨道可能为c D．同步卫星的轨道只可能为b 解析：选BCD 由于物体做匀速圆周运动时，合力一定是指向圆心的，所以地球卫星的圆心应与地球球心重合，A错误，B、C正确。同步卫星的轨道必须在赤道上方，选项D正确。 2.如图2所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿曾设想在高山上水平抛出物体，若速度一次比一次大，落点就一次比一次远。当速度足够大时，物体就不会落回地面而成为人造卫星了，这个足够大的速度至少为(不计空气阻力)( ) 图2 A．340 m/s B．7.9 km/s C．11.2 km/s D．3.0×108 m/s 解析：选B 当物体的速度大到向心力恰好等于地球的万有引力时，物体就能成为地球的卫星而不落到地球上，这个足够大的速度是地球的第一宇宙速度，大小是7.9 km/s，B 正确。 3．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( ) A．等于7.9 km/s B ．介于7.9 km/s 和11.2 km/s 之间 C ．小于7.9 km/s D ．介于7.9 km/s 和16.7 km/s 之间 解析：选C 卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝ GM r 。由于r ＞R ，所以v ＜ GM R ＝7.9 km/s ，C 正确。 4．(多选)假如做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后，仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A ．根据公式v ＝ωr 可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍 B ．根据公式F ＝mv 2r 可知卫星所需的向心力将减小到原来的1 2 C ．根据公式F ＝G Mm r 2可知地球提供的向心力减小到原来的1 4 D ．根据上述B 和C 中给出的公式可知，卫星运行的线速度减小到原来的 2 2 解析：选CD 卫星绕地球做匀速圆周运动时，所需向心力由万有引力提供，故F 向＝G Mm r 2 ＝mv 2r ＝mω2 r ，得F ＝G Mm r 2，v ＝GM r ，ω＝GM r 3，故v 减小到原来的 2 2 ，ω减小到原来的24，F 减小到原来的1 4 ，C 、D 正确。 5．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1。已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6。不计其他星球的影响， 则该星球的第二宇宙速度为( ) A. 1 6gr B. 13 gr C. 12 gr D.gr 解析：选B 设某星球的质量为M ，半径为r ，绕其飞行的卫星质量m ，由万有引力提供 向心力得：GMm r 2＝mv 12 r 解得：v 1＝ GM r ① 又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的1 6 。