char2冲激函数和其性质
char2冲激函数及其性质
例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = u(t+1)-u(t-1)，
f (t ) T (t )
(t nT ) 解： y(t ) [u (t 1) u (t 1)]* (t nT )
v (t )
v c (0 ) v c (0 ) 0
否则，冲激响应会少一项
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法
1 0.5
sv (t )
(0.5) 0.25
h( t )
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T 2
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) 4） f() h(t-) 5）计算积分 （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移）
（相乘）
f () h( t )d
卷积积分图解法:
f 1 (t ) 1 1 0
阶跃信号 冲激信号 正弦信号 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义：
（1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法： 时域法/变域法 内部法/外部法
x(t )
x (t )
x ( k )
0
k (k 1)
二冲激响应——精选推荐
H ( p)
bm pm b1 p b0
N( p)
pn an1 pn1 a1 p a0 D( p)
① n m H ( p) 为真分式
a) 1, 2, , n 特征根均为单根
H ( p) K1 K2 Ki
p 1 p 2
p n
n
h(t) Kieit (t) i1
3
其中
Ki H ( p) ( p i ) pi
b) 1 处 l 重根，其余为单根
H ( p)
K1 p 1
K2 ( p 1)2
Ki ( p 1)i
Kl Kl1 ( p 1)l p l1
Kn p n
重根处系数 Ki 的确定：
Ki
(l
1 R
(t)
1 R2C
t
e RC (t)
uc
(t)
1 C
t i( )d 1
C
t
1 R
(
)d
1 R 2C 2
t
e RC ( )d
1
(t)
1
t
(1 e RC ) (t)
1
t
e RC (t)
RC
RC
RC
例 3 设系统的微分方程为
d 2r(t) 5 dr(t) 6r(t) e(t)
dt 2
eth(t) h(0 )
t
K ( )d Kt (t) KR(t)
0
h(t)
Ktet
(t)
H
(
p)
(
p
K )2
H
(
p)
(
p
K )l
h(t) K tl1et (t) (l 1)!
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数卷积任意函数
冲激函数卷积任意函数一、引言在信号处理领域，卷积是一种重要的运算。
卷积可以用于信号的滤波、特征提取等方面。
其中，冲激函数卷积任意函数是一种常见的卷积方式。
本文将介绍如何编写一个函数来实现冲激函数卷积任意函数。
二、什么是冲激函数在信号处理中，冲激函数是一种特殊的信号。
它在时间为0时取值为无穷大，其它时间点取值都为0。
冲激函数可以用数学公式表示为：delta(t) = {+∞, t=00, t!=0}三、什么是卷积在数学中，两个函数f和g的卷积定义为：(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，*表示卷积运算符，t表示时间变量，τ表示一个虚拟变量。
四、如何计算冲激函数卷积任意函数计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积可以分成以下步骤：1. 将f(t)反转得到f(-t)2. 将f(-t)与delta(t)进行卷积得到g(t)3. 将g(t)再次反转得到g(-t)其中，g(t)就是冲激函数与f(t)的卷积结果。
五、函数实现下面是一个Python函数，用于计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积：```pythonimport numpy as npdef impulse_convolve(f, t):"""计算冲激函数与任意函数f(t)的卷积Args:f: 任意函数，可以是一个数组或者一个函数t: 时间变量，可以是一个数组或者一个数值范围Returns:g: 冲激函数与f(t)的卷积结果"""# 将f(t)转换为一个可调用的函数if isinstance(f, (list, tuple, np.ndarray)):f = lambda x: np.interp(x, t, f)# 反转f(-t)f_reversed = lambda x: f(-x)# 计算g(t)=delta(t)*f_reversed(-t)g = np.convolve(np.array([1]), f_reversed(t), mode='same')# 反转g(-t)g_reversed = lambda x: g[-x]return g_reversed(t)```六、使用示例下面是一个使用示例：```pythonimport matplotlib.pyplot as plt# 定义任意函数f(t)def f(x):return np.sin(x)**2 + np.cos(2*x)# 定义时间变量范围t = np.linspace(0, 10*np.pi, 1000)# 计算冲激函数与f(t)的卷积g = impulse_convolve(f, t)# 绘制f(t)和g(t)的图像plt.plot(t, f(t), label='f(t)')plt.plot(t, g, label='g(t)')plt.legend()plt.show()```运行以上代码，将会得到一个图像，其中包含了任意函数f(t)和冲激函数与f(t)的卷积结果g(t)的图像。
sql char(2)的用法
sql char(2)的用法
在SQL中，CHAR(n)是一种用来存储固定长度字符串的数据类型，其中n代表字符的最大长度。
对于CHAR(2)，它表示存储长度为2
的固定长度字符串。
CHAR数据类型在存储时会使用固定的存储空间，无论实际存储
的字符串长度是多少，空余的位置都会被填充。
例如，如果存储的
字符串长度小于指定的长度，那么剩余的空间会被填充为空格。
在使用CHAR(2)时，需要注意以下几点：
1. 存储空间，CHAR(2)会占用2个字节的存储空间，无论实际
存储的字符串长度是多少。
2. 字符串长度限制，存储在CHAR(2)类型中的字符串长度不能
超过2个字符，否则会被截断。
3. 比较和排序，由于CHAR类型是固定长度的，所以在比较和
排序时会占用固定的存储空间，这可能会影响查询性能。
总之，CHAR(2)用于存储固定长度为2的字符串，适合于长度固定且不太长的数据存储需求。
在实际使用中，需要根据具体的业务需求和数据特点来选择合适的数据类型。
冲激函数和冲激响应
h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 － 32)
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
1 s(t ) (1 e R
R － t L
) (t )
电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应
t t t ds(t ) 1 1 1 h(t ) (1 e L ) (t ) e L (t ) e L (t ) dt R L L R R R
R t L R
2002年春节摄于成都人民公园
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds ( t ) h (t ) dt
(8 31)
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
s(t ) (1 e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
t
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽 度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限
的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数
char(2) 的取值范围
`char(2)` 通常指的是在数据库中一个字符型字段的长度限制为2个字符。
具体取值范围取决于多个因素，包括使用的数据库系统、字符集等。
例如，在SQL中，`char(2)`表示该字段可以存储最多2个字符的字符串。
但是，取值范围不仅取决于字段的长度，还取决于数据库系统如何处理超出长度的数据。
例如，如果尝试插入超过2个字符的数据，大多数数据库系统会截断超出部分的数据。
此外，字符集也会影响取值范围。
例如，使用ASCII字符集时，`char(2)`可以存储的字符范围是可打印的ASCII字符，而使用UTF-8等字符集时，`char(2)`可以存储的字符范围更广泛，包括一些特殊符号、非打印字符等。
总的来说，`char(2)`的取值范围取决于数据库系统、字符集以及具体的插入数据。
在处理数据时，应该注意不要超出字段的长度限制，以避免数据截断或其他问题。
冲激偶函数的性质.
冲激偶函数的性质.
冲激函数的性质有：1、筛选性质。
2、取样性质。
3、导数性质。
4、尺度变换性质。
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学
模型。
冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态
响应。
冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限
大的负的冲激函数。
应用领域：
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的
一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合去则表示或迫近，再利用系统的vary原理，
可以通过直观的信号例如单位冲激函数的频谱，以及频域特性去探讨比较复杂信号的频谱。
从而增加排序繁杂信号频谱的难度。
关于冲激函数的一个性质
∫
Tk
-
Tk
+
δ[ψ( t ) ]ψ ( t) e ′
jwt
dt =
( T ) ]δ( y ) e sgn [ψ ′ ∫
0k jwTk
0+
- jwgk ( y)
( Tk ) ] e d y = sgn [ψ ′ Tk ) e
- jwt
jwgk ( 0)
=
( Tk ) ] e sgn [ψ ′
=
( T ) ]δ( t ∫sgn[ψ′
On a property of impulse f unction
HE Qiu - li , XU Mei
( Electrical Engineering College , Guangxi University , Nanning 530004 ,China)
Abstract :Impulse function δ( t ) is a singular function and play an important part in the subject
50
安徽大学学报 ( 自然科学版)
第 26 卷
成立 ,然后由这个等式直接推出 δ(ψ( t ) ) ψ ( t) = ′
∑
n
k =1
( Tk ) ]δ( t - Tk ) sgn [ψ ′
( 1)
ψ( t ) ) 笔者认为上述推断是不正确的 。下面我们将给出冲激函数δ( t ) 的导数与复合函数δ( ( ) 之间的一个更为一般的关系性质 ,从面推出等式 1 成立 。 定理 3 设 ψ( t ) 是 t 的实可导函数 , Tk ( k = 1 , 2 , …, n) 为 ψ( t ) 的所有的不同的实根 , 且 ψ( t ) 分别在 [ T -k , Tk ] 和 [ Tk , T + k ] ( k = ( 1 , 2 , …, n) 上严格单调 , 则
冲激函数取样性质证明
冲激函数取样性质证明冲激函数是一种特殊的函数，也称为单位脉冲函数或Dirac函数。
它在数学分析和信号处理中有着重要的应用。
冲激函数取样性质是指冲激函数作为取样信号时，保持原信号的性质。
在这篇文章中，我将详细阐述冲激函数取样性质的证明。
首先，我们需要明确冲激函数的定义。
冲激函数通常用符号δ(t)表示，它满足以下条件：1.δ(t)在t=0时的取值为无穷大，其他时间点的取值为零：δ(0)=∞，δ(t)=0,t≠0。
2. δ(t)的面积等于1：∫δ(t)dt=1我们可以将冲激函数定义为一个函数序列的极限形式，即：δ(t) = lim(n→∞) gn(t)其中gn(t)是一系列脉冲函数。
例如，gn(t)可以是一个高度为n，宽度为1/n的矩形函数，使得gn(t)在0附近的面积为1，其他位置的面积为零。
假设我们有一个信号x(t)，我们用冲激函数对其进行取样。
取样信号可以表示为s(t)=x(t)δ(t-T)，其中T是取样时刻。
我们的目标是证明冲激函数取样信号的性质与原信号相同。
首先，我们可以推导冲激函数取样信号的时域表达式。
由于δ(t)在t=T时的取值为无穷大，假设在t=T时，x(T)的取值为X。
那么，我们可以得到：s(t)=x(t)δ(t-T)=x(t)δ(t-T)，t=T=x(T)δ(t-T)=Xδ(t-T)。
因此，冲激函数取样信号的时域表达式为s(t)=Xδ(t-T)。
这意味着取样信号在t=T时的取值为X，其他时间点的取值为零。
这与原信号在t=T时的取值相同，因此冲激函数取样信号在时域上保持了原信号的性质。
接下来，我们证明冲激函数取样信号的频域性质与原信号相同。
我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频域特性。
假设原信号x(t)的傅里叶变换为X(ω)，即X(ω)=F{x(t)}，其中F表示傅里叶变换操作。
根据冲激函数的定义，我们可以得到取样信号的傅里叶变换为：S(ω)=F{s(t)}=F{Xδ(t-T)}。
我们可以利用傅里叶变换的性质，将傅里叶变换和冲激函数的性质结合起来。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
二阶冲击函数的积分
二阶冲击函数的积分1. 定义二阶冲击函数，也称为狄拉克δ函数的导数，表示为δ′(t)，定义为：δ′(t) = dδ(t)/dt其中，δ(t) 是狄拉克δ函数，表示为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0∫δ(t)dt = 1狄拉克δ函数的导数δ′(t)是一个奇函数，其图像是一个尖锐的脉冲，在t=0处取无穷大，而在其他地方取0。
2. 性质二阶冲击函数的积分具有以下性质：线性性：∫aδ′(t)dt = a∫δ′(t)dt导数：d/dt∫δ′(t)dt = δ(t)∫δ′(t)dt = H(t)其中，H(t)是Heaviside阶跃函数，表示为：H(t) = 0, t < 0H(t) = 1, t ≥ 03. 应用二阶冲击函数的积分在许多领域都有应用，包括：电路分析：二阶冲击函数的积分可以用来计算电容和电感电路中的电流和电压。
力学：二阶冲击函数的积分可以用来计算质点的速度和加速度。
量子力学：二阶冲击函数的积分可以用来计算波函数的导数。
信号处理：二阶冲击函数的积分可以用来滤除信号中的噪声。
4. 计算方法二阶冲击函数的积分可以通过以下方法计算：直接积分法：直接积分法是将二阶冲击函数的积分公式带入积分号中，然后进行积分。
部分积分法：部分积分法是将二阶冲击函数的积分公式与一个合适的函数相乘，然后进行积分。
微分方程法：微分方程法是将二阶冲击函数的积分公式代入一个微分方程中，然后求解微分方程。
二阶冲击函数的积分是一个重要的数学工具，在许多领域都有应用。
通过了解二阶冲击函数的积分的定义、性质、应用和计算方法，我们可以更好地理解和解决各种问题。
4-29冲激函数
一、由理想电路引入冲激函数电流持续的时间为0，电流幅度为无穷大，但电流的时间积分有限的物理现象可以用冲激函数来描述。
二、单位冲激函数的定义和波形 1、单位冲激函数的数学符号：)(t δ2、定义单位冲激函数有若干不同的方法，下面是一种常用的单位冲激函数的定义方法单位冲激函数可由矩形脉冲面积保持为1，宽度0→τ的极限表示单位冲激函数)]2()2([1lim )(0τττδτ--+=→t u t u t ,左图中，当宽度τ不断变小的时候，幅度τ1则趋于无穷大。
面积为1，宽度趋于0，高度【幅度】趋于无穷大，那么这个极限就是单位冲激函数。
冲激函数又叫“狄拉克函数” 左图是用矩形脉冲来定义冲激函数对于一些宽度趋于0，幅度趋于无穷大，面积恒为1的三角函数也可以用来定义成单位脉冲函数。
三、单位冲激函数的幅度与强度的概念单位冲激函数的幅度指----无穷大的幅值【当0=t 时幅值无穷大；当0≠t 时，幅值为0】单位冲激函数的强度指----矩形脉冲的极限值【这个极限值叫做单位冲激函数的强度---冲激的大小】 单位冲激函数的波形中，用箭头来表示冲激函数的幅度，用小括号中加1来表示冲激函数的强度单位冲激函数的强度为1.任意0t 时刻的冲激函数的波形五、任意冲激函数的定义及波形 如上图示六、冲激函数的抽样性质1、函数)(t f 在0=t 处的冲激强度：)(t f 函数的冲激，等于t 在0=t 外的冲激：)0()()0()()(f dt t f dt t t f ==⎰⎰∞∞-∞∞-δδ )1()1(式表明，函数与冲激相乘，在无限区间上的积分结果为一个常数，这个常数代表的是该冲激的强度为)0(f2、函数)(t f 在0t t =处的冲激强度：)(t f 在0t t =的冲激：)()()()()(0000t f dt t t t f dt t t t f =-=-⎰⎰∞∞-∞∞-δδ )2(3、函数)(t f 在10t t t -=处的冲激强度：)()()()()(10101001t t f dt t t t t f dt t t t t f -=--=--⎰⎰∞∞-∞∞-δδ )3(冲激函数的性质的应用：当要抽取函数在某一时刻的函数值，只需要使该函数乘以冲激函数就行了。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
第七章：研究包含一个动态元件的一阶电路，它们用一阶
线性常系数常微分方程描述。一阶电路不同的响应形式根据 其初值和终值的相对大小而指数上升或衰减，变化的速度受 时间常数 ( = RC 或 = L/R) 的控制。
第八章：研究包含电感和电容两个动态元件的二阶电路，
电路分析基础——第二部分：第九章 目录
第九章 冲激函数在动态电路分 析中的应用
1 冲激函数
4 冲激响应
2 冲激函数的性质
5 由阶跃响应求冲激响应
3 电容电压和电感电流的跃变 6 线性非时变电路对任意输入 的响应——卷积积分
电路分析基础——第二部分：第九章内容回顾
内容回顾：
所有电路都是由动态电路和电阻电路两类电路组成的； 所有电路受到两类约束。即：
电路中的各支路电流、电压受到KVL、KCL的约束， 元件上的电流、电压受到元件VA全不同的电路，但 第一部分中的分析方法，几乎所有都能得到应用，当然， 动态电路还有其自己的方法； 电容和电感是基本的动态元件，它们都是储能元件。电容 通过存储电荷来存储电能，电感通过存储磁链来存储磁能。 电容的电压和电感的电流是它们最本质的变量，一般情况 下，它们都不能突变。……
t0 t
电路分析基础——第二部分：9-1
2/2
(t) 的其他工程逼近： (t) 除了矩形窄脉冲 p□(t)以外，还可以 有许多其他形式，如下面所示。关键是所包围的面积为 1。
pΔ(t)
1 Δ
pde(t)
1
2Δ
e–|t|/Δ
(t)
2Δ
–Δ 0
Δt
pcos(t)
4Δ
cos
2Δ
冲激函数和函数相乘的积分
冲激函数和函数相乘的积分冲激函数和函数相乘的积分是数学中的一个重要概念，也是应用于物理学和工程学等领域的基础。
本文将介绍冲激函数的概念、性质和一些常见的函数相乘的积分，以及它们在物理学和工程学中的应用。
一、冲激函数的概念与性质1. 冲激函数的定义冲激函数是一种特殊的函数，通常用符号δ(x)表示。
它在x=0点处的取值无限大，其他点处的取值为零。
即：δ(x)={+∞}(x=0),{0}(x≠0)冲激函数在数学中是一种分布，它是用于描述非定常信号的一种数学模型。
冲激函数的概念是由英国物理学家保罗·戴拉克于20世纪20年代提出的。
2. 冲激函数的性质(1) 归一性：∫δ(x)dx=1(2) 奇偶性：δ(x)=δ(-x)(3) 积分形：∫f(x)δ(x)dx=f(0)(4) 平移性：∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)(5) 缩放性：∫f(x)δ(ax)dx=1/|a| f(0)这些性质使得冲激函数具有在分析求解微积分方程、描写非定常信号和优化控制问题等方面的重要应用。
二、函数相乘的积分函数相乘的积分通常表示为∫f(x)g(x)dx，其中f(x)和g(x)是两个函数。
函数相乘的积分在微积分、物理学和工程学中都有广泛的应用。
下面列举的是一些常见的函数相乘的积分形式。
1. sin(x)cos(x)积分∫sin(x)cos(x)dx=1/2∫sin(2x)dx=-1/4cos(2x)+C其中C是常数。
2. xex积分∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C其中C是常数。
3. xcos(x)积分∫xcos(x)dx=xcos(x)+sin(x)+C其中C是常数。
4. x2sin(2x)积分∫x2sin(2x)dx=-x2cos(2x)/2+sin(2x)/2+2∫xcos(2x)dx=-x2cos(2x)/2+sin(2x)/2+xsin(2x)-cos(2x)/2+C其中C是常数。
这几种函数相乘的积分形式在工程数学中应用比较广泛。
冲激函数理解 -回复
冲激函数理解 -回复
冲激函数是一个在数学和物理领域常用的函数，它在时间或空间上是非常短暂的脉冲信号。
冲激函数通常用符号δ(t)或δ(x)表示，其中t表示时间，x表示空间。
冲激函数具有以下特点：
1. 首先，冲激函数在除了零点以外的所有位置上都等于零，即在δ(t)中，只有当t=0时，函数的值为无穷大，其他情况下函数值为零。
2. 其次，冲激函数在整个时间或空间范围内的积分为1，即∫δ(t)dt = 1（或∫δ(x)dx = 1）。
3. 最后，冲激函数在与其他函数进行卷积运算时，可以起到筛选、权重或调制等作用。
由于冲激函数具有非常突出和明显的特征，它经常被用于信号处理、系统分析、控制系统和电路设计等领域。
在信号处理中，冲激函
数可以用来分解信号，得到信号的频谱特性；在系统分析中，冲激函
数可以用来描述和预测系统的响应；在控制系统中，冲激函数可以用
来设计控制器的动态特性；在电路设计中，冲激函数可以用来模拟电
路的输入和输出。
总之，冲激函数在数学和物理领域中有着广泛的应用，它是一种特殊的函数，具有短暂、明显以及权重等特征，在各种实际问题中发
挥着重要的作用。
冲激函数
A
0
0
令 A 1,
当0时，f(t)趋近于单位冲激函数。
6
§9-2 冲激函数的性质
❖ 冲激函数是阶跃函数的导数
根据定义 故得
t
d
1 0
t 0 t0
t
d
t
d t t
dt
7
冲激函数的性质
❖ 筛分性：除了在原点外，对所有t，(t)=0，因此，除 了t=0外，对所有t，乘积f(t)(t)也将为零。在t=0，
u21(t)为
u21 t
t
R1
R
1
e t
冲激电流产生u2(t)的分量u22(t)。由于u21(t)与R1的乘积 即为该电路的单位阶跃响应，其导数为冲激响应
u22
t
C
1
d dt
R 1 et
t
C1
R
t
e
❖ 冲激响应是电路本身固有性质的反映，是表明电路特 征的一种方式。
❖ 一旦有了电路的冲激响应就可以得到该电路在任意输 入作用下的响应，毋需知道描述该电路的微分方程。
❖ 设网络N为零状态，在输入x(t)的作用下，网络某处的 响应为y(t)，如何用x(t)来表示y(t)呢?
25
任意输入响应
❖ 设网络N的冲激响应为h(t)。由
iL 0
iL 0
1 L
0 udt
0
若冲激电压为(t)
iL 0
iL 0
冲激函数
• t
ht
dst
dt
R
d dt
1
1t
e RC
•
t
R
t
t
e
1 RC
t
1 RC
1 t
e RC t
R
t t
1 RC
1 t
e RC t
1
1t
e RC
t
C
电容电压发生 了1/C的跃变
21
例9-12
试用诺顿定理求解补偿分压器 的输出压u2(t)。
解 诺顿定理能用于线性动态电路。ab 的左边部分可以用一个诺顿等效电路代 替，即可以用一个电流源与N0的并联组 合代替。 等效电流源的电流is(t)等于原电路中ab 端的短路电流，见图(b)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自冲激电源的冲激电 压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激电压出现于电阻， 则在电阻中将产生冲激电流，因而电感中也将有冲激电流，这样，电感 电压将为冲激偶电压，无法满足KVL。
4
其他形状脉冲的极限情况
❖ 冲激函数一般看成是矩形脉冲函数的极限情况，其他 形状脉冲的极限情况也可作为单位冲激的近似。
❖ 具有单位面积的三角形脉冲，当趋近于零时，可作 为单位冲激的近似。
5
负指数函数
f
t
0 Ae t
/
t0 t0
| Ae t / dt Ae t /
A
0
0
令 A 1,
t 0
在0-至0+期间，iC1(t)及iC2(t)中含有冲激电流，故得
冲激函数性质
t
O
t
2
冲激偶的性质
① ( t )是奇函数
( t ) ( t ) ,
②
③
(t0 t ) (t t0 )
(t ) d t 0 ,
t
(t ) d t t
(t ) f (t ) d t f (0)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
1.
抽样性(筛选性)
( t ) f ( t ) f (0) ( t ) (t ) f (t ) d t f (0)
f (t )
f ( 0)
o
t
对于移位情况：
(t ) f (t t 0) f ( t 0 ) ( t )
(t t 0 ) f (t ) d t f (t 0 )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
时移 ，则：
Байду номын сангаас
对 t 的k阶导数：
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f (0) t ，
（与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不同）
(k ) (k ) 0 t f t d t 1 f k
d u( t ) (t ) dt
d[ ( t )] (t ) dt
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y(t)
1 . 1.(t
1 2
)d
t
y(t) 1 1. 1.(t )d t3 2
t2 t 2 42
y(t) f 1(t) f2 (t) 0
例1：若 h1(t) = u(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。
解： h(t) h1(t) h1(t) h2 (t) h3 (t)
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
一、 冲激函数
定义 u (t) 如图所示:
u (t)
显然当 时0
1
t
u (t) u(t)
0
(t)
du (t) dt
1 (t)
0
t
可认为
lim 0
(t
)
(t
)
即 (t)可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度
趋于零时的极限。
(t) 表示为
(t)
(0.5) 0.25
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
其中： f（ D t）
[1 T
2 T
f
(t )dt ]
T
f（A t） f (t) fD (t) ——交流分量
—2 —直流分量（平均值）
2）f(t)=fo(t)+fe(t)
如果有 x(t) x(t) x(t) x(t)
上式从t 0到 t 0 取积分，得
R
0
0 iL (t)dt
LiL (0
)
LiL (0 )
1
由于i
L
(t
)是有限的，0 0
i
L
(t
)dt
0且iL (0 )
0iL (0 )
1 L
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 1 L
当 t 0 时， (t) 0, 此时电路是一个特殊的
5）计算积分
f () h(t )d
卷积积分图解法:
f1(t )
1 f1(t ) 0
f1( )
t 1 ,
t 1
t f2(t) 2 ,
(0 t 3)
1
t
1 0 1 t
1
f2 (t )
f2 (t f2)(t ) f2 (t )f2 (t )
1 0
1
t
3
t 3 tt 3
x(k)
t
0
k (k 1) 这些矩形叠加起来形成
阶梯信号
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
x(t)
x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
当 时0 ， k d
(t k) (t )
x (t) x(t)
于是： x(t)
x( ) (t )d
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
零输入响应。 由三要素公式得
iL (t)
1 L
R t
e L (t)
h(t)
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法 u(t) g(t) (t) h(t)
激励为 lim (t) (t t) d (t) (t)
t 0
t
dt
响应为 lim s(t) s(t t) ds(t) h(t)
尺度变换 (at) 1 (t)
|a|
du(t) (t) dt
(t) 的倒数及其性质
f
(t)
' (t
t0 )dt
f
' (t0 )
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
(k) (t) (1)(k) (k) (t)
f (t) (t T) f (t T)
f (t)*u(t t0 )
tt0 f ( )d
f (t )d t0
f (t t0) (t T ) f (t t0 T ) 例： u(t)*u(t) tu(t)
2、f(t)与冲激信号偶卷积 4、斜坡信号与阶跃信号卷积
f (t) (t) f (t)
x(t) h1(n) h2 (n) y(t) x(t) [h1(t) h2 (t)]
h1(t) h2 (t)
h1(t) x(n) h1(n)
x(n)
h1(n)
y(n)
x(t)
y(t)
h2 (n)
h2 (t)
x(n) h2(n)
第二章 连续系统时域分析
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响 应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。
信号与系统分析 1、信号分析：复杂信号 分解
1.交换律
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t) x(t)
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：一个单位冲激响应是 h的(t)LTI系统对输入信
号 所x(t产) 生的响应，与一个单位冲激响应是
这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
II 、卷积积分的计算
1．利用定义计算
f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
h() f (t )d
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h(t-) （相乘）
第二章 连续系统时域分析
2-0 引言
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时 不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理 论与方法奠定了基础。
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信 号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统 对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信 号的响应的线性组合。
[x(t)
x(t)]
xe
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
xo
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
对一般信号 x(t，) 可以将其分成很多 宽度的区段，
用一个阶梯信号 近x似 (t表) 示 。当x(t) 时，有 0 x (t) x(t)
x(t) x (t)
1
t
0
(t t0 )
1
t
0 t0
矩形面积称为冲激强度。
显然有：
(t)dt 1
t
u(t)
( )d
0
(t
)d
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
二、性质
加权特性 f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
偶函数 (t) (t)
单位阶跃函数的倒数
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。
由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用， 而在t>0的区间恒为零。也就是说，激励信号 的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量， 贮存在系统的各贮能元件中，而在t>0系统的 激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作 用，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一 地确定。
阶跃信号
基本信号
冲激信号 正弦信号
复杂信号特性
基本信号特性 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义： （1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法：时域法/变域法 内部法/外部法
u(t
n
1)]*
(t nT )
[u(t 1 nT ) u(t 1 nT )]
n
n
例6：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中
解： 当t<0： y(t) f (t)h(t) 0 当0<t<7：y(t) t e(t)d
0
1 et
当7<t： y(t)
7 e(t)d (e7 1)et
t 3t t t3
t
t
f2 (t )
3 2
0
3t
f2 ( )
3 2
3
0
y当当(tt-)<1-<y1(tt<)tf412tt1(2f1)y(t2t()ftt2)(tf124(2tt1))f1(00)
1 t 1 1t 2 f22 (tt)d4
4 0
2
t2 4
t 2
1 4
其它t
当1<t<2 当2<t<4
f( ) (t - )d f (t)
-
f( )h(t - )d y f (t)
-
f()(t-) f()h(t-)
此称为f(t)与h(t)的卷积积分
(Convolution)
f( ) (t - )d