char2冲激函数和其性质

其中：
f（o t）
f
(t)
f 2
(t)
——奇分量
f（e t）
f
(t)
f 2
(t)
——偶分量
则称该信号为奇信号（镜像奇对称）
则称为共轭偶信号。
x(t) x (t) 则称为共轭奇信号。
对实信号有：
x(t) xe (t) xo (t)
1
xe (t)
[x(t) 2
x(t)]
对复信号有：
xo
(t)
1 2
尺度变换 (at) 1 (t)
|a|
du(t) (t) dt
(t) 的倒数及其性质
f
(t)
' (t
t0 )dt
f
' (t0 )
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
(k) (t) (1)(k) (k) (t)
(0.5) 0.25
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
其中： f（ D t）
[1 T
2 T
f
(t )dt ]
T
f（A t） f (t) fD (t) ——交流分量
—2 —直流分量（平均值）
2）f(t)=fo(t)+fe(t)
如果有 x(t) x(t) x(t) x(t)
f (t) (t T) f (t T)
f (t)*u(t t0 )
tt0 f ( )d
f (t )d t0
f (t t0) (t T ) f (t t0 T ) 例： u(t)*u(t) tu(t)
2、f(t)与冲激信号偶卷积 4、斜坡信号与阶跃信号卷积
f (t) (t) f (t)
阶跃信号
基本信号
冲激信号 正弦信号
复杂信号特性
基本信号特性 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义： （1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法：时域法/变域法 内部法/外部法
这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分
II 、卷积积分的计算
1．利用定义计算
f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
h() f (t )d
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h(t-) （相乘）
u(t
n
1)]*
(t nT )
[u(t 1 nT ) u(t 1 nT )]
n
n
例6：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中
解： 当t<0： y(t) f (t)h(t) 0 当0<t<7：y(t) t e(t)d
0
1 et
当7<t： y(t)
7 e(t)d (e7 1)et
1.交换律
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t) x(t)
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：一个单位冲激响应是 h的(t)LTI系统对输入信
号 所x(t产) 生的响应，与一个单位冲激响应是
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。
信号与系统分析 1、信号分析：复杂信号 分解
x(t) h1(n) h2 (n) y(t) x(t) [h1(t) h2 (t)]
h1(t) h2 (t)
h1(t) x(n) h1(n)
x(n)
h1(n)
y(n)
x(t)
y(t)
h2 (n)
h2 (t)
x(n) h2(n)
第二章 连续系统时域分析
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响 应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。
表明：任何连续时间信号 x(t都) 可以被分解成移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
第二章 连续系统时域分析
2-3 卷积积分
y(t)=yx (t)+ yf (t) I、系统零状态响应
yx (t): yf (t):
(t) (t-)
h(t) h(t-)
取决于系统自然频率和初始值 取决于系统自然频率和激励
u(t) (t T ) u(t) [ (t)]
u(t) u(t T )[ (t)]
u(t) u(t T )
例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = u(t+1)-u(t-1)，
f (t) T (t) (t nT ) T 2
解：y(t)
[u(t
1)
的Lx(TtI)系统对输入信号 所产h生(t)的响应相同。
第二章 连续系统时域分析 2. 分配律：
x(n) [h1(n) h2 (n)] x(n) h1(n) x(n) h2(n) x(t) [h1(t) h2 (t)] x(t) h1(t) x(t) h2(t)
x(n)
y(n) x(n) [h1(n) h2 (n)]
0
df (t) t
或 f (t) h(t)
h()d
dt
f (t) (t) (t 7)
t e u( )d (1 et )u(t)
y(t) f (t) h(t) (1 et )u(t)
(1 e(t7) )u(t 7)
III 、常用信号的卷积积分
1、f(t)与冲激信号卷积
f (t) (t) f (t)
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
作为基本单元的信号应满足以下要求：
1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。
由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用， 而在t>0的区间恒为零。也就是说，激励信号 的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量， 贮存在系统的各贮能元件中，而在t>0系统的 激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作 用，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一 地确定。
当t 0时，系统的冲激响应是一个特殊的零输入响应
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
列微分方程：
+ vs (t) -
iL (t)
R
L
Ri L (t)
L
diL (t) dt
vs (t)
Ri L (t)
L
diL (t) dt
(t)
iL (0 ) 0,设vs (t) (t)，则iL (t) h(t)
1
t
0
(t t0 )
1
t
0 t0
矩形面积称为冲激强度。
显然有：
(t)dt 1
t
u(t)
( )d
0
(t
)d
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
二、性质
加权特性 f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
偶函数 (t) (t)
单位阶跃函数的倒数
t 3t t t3
t
t
f2 (t )
3 2
0
3t
f2 ( )
3 2
3
0
y当当(tt-)<1-<y1(tt<)tf412tt1(2f1)y(t2t()ftt2)(tf124(2tt1))f1(00)
1 t 1 1t 2 f22 (tt)d4
4 0
2
t2 4
t 2
1 4
其它t
当1<t<2 当2<t<4
5）计算积分
f () h(t )d
卷积积分图解法:
f1(t )
1 f1(t ) 0
f1( )
t 1 ,
t 1
t f2(t) 2 ,
(0 t 3)
1
t
1 0 1 t
1
f2 (t )
f2 (t f2)(t ) f2 (t )f2 (t )
1 0
1
t
3
t 3 tt 3
当t>4
y(t)
1 . 1.(t
1 2
)d
t
y(t) 1 1. 1.(t )d t3 2
t2 t 2 42
y(t) f 1(t) f2 (t) 0
例1：若 h1(t) = u(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。
解： h(t) h1(t) h1(t) h2 (t) h3 (t)
第二章 连续系统时域分析
2-0 引言
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时 不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理 论与方法奠定了基础。
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信 号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统 对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信 号的响应的线性组合。
f( ) (t - )d f (t)
-
f( )h(t - )d y f (t)
-
f()(t-) f()h(t-)
此称为f(t)与h(t)的卷积积分
(Convolution)
f( ) (t - )d
-
f( )h(t - )d 记作： yf (t)=f(t)*h(t)
-
LTI系统可以完全由它的单位冲激响应来表征。
R2 v(0 ) 1 V , v() 1V , Rc 2s
Sv
(t)
(1
1 2
t
e2
2 )u(t),
h(t)
1 2
(t)
1 4
e
t
2u(t)
注意：求阶跃响应时， (t)不能不写，
否则，冲激响应会少一项
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法
1 sv (t)
0.5
h(t)
零输入响应。 由三要素公式得
iL (t)
1 L
R t
e L (t)
h(t)
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法 u(t) g(t) (t) h(t)
激励为 lim (t) (t t) d (t) (t)
t 0
t
dt
响应为 lim s(t) s(t t) ds(t) h(t)
3、f(t)与阶跃信号卷积
t
f (t)*u(t) f ( )d 0 f (t )d
tu(t)*u(t) u( )u(t )d
t
d
t2 u(t)
0
2
例： tu(t)*u(t 2) (t 2)2 u(t 2) 2
第二章 连续系统时域分析
2-4 卷积积分的运算性质及含有冲激函数的卷积
t 0
t
dt
h(t) ds(t) dt
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法 u(t) g(t) (t) h(t)
例：如图所示电路，R1=R2=1,c=1F,求阶跃响应和 冲激响应
解：先用三要素法求阶跃响应
+ vs (t) -
R1 c
v(t)
vc (0 ) vc (0 ) 0
[x(t)
x(t)]
xe
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
xo
(t)
1 2
[x(t)
x (t )]
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
对一般信号 x(t，) 可以将其分成很多 宽度的区段，
用一个阶梯信号 近x似 (t表) 示 。当x(t) 时，有 0 x (t) x(t)
x(t) x (t)
上式从t 0到 t 0 取积分，得
R
0
0 iL (t)dt
LiL (0
)
LiL (0 )
1
由于i
L
(t
)是有限的，0 0
i
L
(t
)dt
0且iL (0 )
0iL (0 )
1 L
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 1 L
当 t 0 时， (t) 0, 此时电路是一个特殊的
x(k)
t
0
k (k 1) 这些矩形叠加起来形成
阶梯信号
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
x(t)
x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
当 时0 ， k d
(t k) (t )
x (t) x(t)
于是： x(t)
x( ) (t )d
3）任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和
第二章 连续系统时域分析
2-1 冲激函数及其性质
一、 冲激函数
定义 u (t) 如图所示:
u (t)
显然当 时0
1
t
u (t) u(t)
0
(t)
du (t) dt
1 (t)
0
t
可认为
lim 0
(t
)
(t
)
即 (t)可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度
趋于零时的极限。
(t) 表示为
(t)