高数(上)江汉大学04级工科,本科A卷

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期末考试试题04级A卷(标准答案)

R0 →0 吸引力，趋于消失
a→R0，吸引力起主要作用（数值大于第一项）。即使 Q 和 Q0 同号，只有 Q 距球面足够
近，就受到导体的吸引力。
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
= −H0R cosθ ϕ1 和 ϕ2 可用勒让德多项式展开（因为：参考点球心磁标势为 0，因而零次幂项为 0，高次幂在远处又不存在。）
ϕ1
=
−H0R cosθ
+
b R2
cosθ
a 和 b 为待求系数
ϕ2 = aR cosθ
在球面边界 R=R0 上
H1t = H 2t , B1n = B2n = 0 ，即
得分评阅人
二、论述题：（20 分）
举例论述课程《电磁学》和《电动力学》的共同与不同之处，举例说明经典电动力学的局限性。要求观点清晰明确。解：（1）课程《电磁学》和《电动力学》的共同之处在于都是研究电磁现象与电磁相互作用。不同之处在于：《电磁学》侧重应用积分公式描述基本电磁现象，而《电动力学》侧重应用微分公式分析电磁现象规律。前者是基础，后者是深化。（2）经典电动力学的局限性
原子处于基态时是稳定的不会产生辐射，这点是和经典理论有深刻矛盾的 . 按照经典理论，电子在原子核电场作用下运动，由于有加速度，必然向外辐射电磁波，因而电子运动的能量亦逐渐衰减，最后电子会掉到原子核内，因而根本不存在稳定的原子．这结论是和客观事实完全矛盾的．只有用量子理论才能解释基态的稳定性．

2004年高考湖北卷理科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（） A ．032=+-y x B ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x2．复数ii 31)31(2++-的值是（）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（） A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+-4．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（）A ．41 B ．21 C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(2++=x ax x f 有极值的充要条件是（）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（） A ．P Q B ．Q PC ．P=QD ．P Q=11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有( )种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： zz ①A B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A B ⇔=B A③A B ⇔A⊇B④A B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上） 16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱 CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.AC A 1C 119．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.A BC20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列（I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围.2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠AC A 1C 1..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1，于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF. 连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF.∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ，即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42， ∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）BFAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴（1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.31898983||||cos ).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111-=⨯-=⋅=∠∴--==HC HA AHC HC H C.31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一.cos 2121)(222222θa a a a AC AB AP a APAB AC AP a AC AB AQ AB AC AP AQ AP +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .||||cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a a by cx a bycx BC PQ ⋅==+-=⋅∴=-∴-=⋅=θθθθθ20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a ab 得令.,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b n ns=|BC|=. s′=.。

2004高考数学试题(湖北理)及答案

2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x2．复数ii 31)31(2++-的值是（）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（）A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-4．已知c b a ,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅ （） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件; B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件; D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（）A ．41B ．21C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（） A ．P Q B ．Q P C ．P=Q D ．P Q= 11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：A CA 1C 1A BC近似表示表中数据间对应关系的函数是（） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312∈++=t t y ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ ③A ⊄B ⇔A B ④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得, 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km 处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.19．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列（I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；AC A 1C 1（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b nn 对都成立，求a 的取值范围. 2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+22222222222sin cos cos sin tan 1tan sin cos sin ).cos sin cos sin 1tan 1tan αααααααααααααααα--=+-==++++代入上式得将32tan -=α22222()1()633sin(2).223131()1()33πα---+=-+=-++-+-解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠26tan tan 20.(3tan 2)(2tan 1)0.2(,),tan 0.tan .23.ααααπαπαα+-=+-=∈∴<∴=-即又下同解法一18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1，于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF.连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF. ∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点.∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ，即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.BP在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42，∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π.故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）FAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB D x AF AB E D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴ （1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.1111133(1,1,1),(,,0),441133(,,1),(,,0).444431cos 3||||9C H HC HA HA HC AHC HA HC ==---⋅∴∠===-⋅.31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC 19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AB AC AB -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一222222()11cos .22AP AQ AP AC AB AQ AB AC a AP AC AB AP a AP AB AC a PQ BC a PQ BC a a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=-+⋅=-+⋅=-+ .0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x CQ y c x BP y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设22cos .cos .||||cos 1,0(),,0.PQ BC cx by cx by a BP CQ a PQ BC PQ BC BC CQ θθθθ⋅-==∴-=∴⋅⋅==⋅故当即与方向相同时最大其最大值为 20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.x c x c y y x c x c kx kx --+=--+++=即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n nn n n n n n（III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令113|)|.1,.22231,||1,2,.22n n a a a a b n ∴≤≤≥≥≤=解得现证明当时对都成立（i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a aa a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立. 故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn。

高数1(1)07级工科,本科样卷

江汉大学 2007 ——2008 学年第 1 学期高等数学 Ⅰ（1）考试样卷1、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.已知f(x)=ln(x+1), 则f[f (x)]的定义域是( )A. x>0;B. x>1;C. x>－1;D. 0<x<e.2.= ( )A. ;B. ;C. ;D..3.设F(x)=f[f(x)],则= ( )A. ;B. ;C. ;D. .4.已知存在，且=,则f(x)= ( )A. x+1; B; x-; C. x-2; D. x+2.5. = ( )A. ;B. ;C. ;D. .2、填空题（本大题共9小题，每题3分，共27分）1.的第一类间断点为 . 第二类间断点为2. = .3.设，则= .4. y=x2在点处的曲率半径为 .5. 已知曲线y=x3+3ax2+3bx+c在x=-1处取得极大值，点（0，3）是拐点,则a= ,b= ，c= .6. 不定积分= .7.广义积分=8. = .9. [ln(1+)+ ln(1+)+……+ ln(1+)]= .3、计算题（本大题共5小题，每题8分，共40分）1. 讨论函数 f(x)= 在内的连续性。

2. 设3.已知，求4.计算由椭圆围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积5.计算四、应用题（10分）曲线通过点(0,0)，且当时，。

试确定，使曲线与直线x=1,y=0所围图形面积为,且使该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。

五、证明题（8分）(1) 证明不等式::当时，(4分)(2) 设函数f(x)在[0,1]上可导，且,证明:至少存在一点(0,1),使得 (综合题4分)。

工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；5分，共10分）（1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。

2004高考数学试题(全国4理)及答案

2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于（）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。

2003—2004年第一学期A卷

2003-2004年第一学期※※※※※※高等数学（180学时）试题A 卷※※※※※※一．填空题（每小题4分，共20分）1．()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=.0,23,0,2sin 2x k x x x xxx f 在0=x 处连续，则常数.______=k 解：()x f x -→0lim xx x 2sin lim0-→=（等价替换）22lim0==-→xx x ；()x f x +→0lim ()k k x x x =+-=+→23lim 20.令()x f x -→0lim ().2lim 0=⇒=+→k x f x2．()[]x x x x ln 1ln lim -++∞→ .________________________解：()[]x x x x ln 1ln lim -++∞→xx x x +=+∞→1lnlim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→x x x 11ln lim （等价替换） .11.lim ==+∞→xx x3．()x f 的一个原函数为x x ln ，则().______='x f解：()()x x x x f ln 1ln +='=；()().1ln 1xx x f ='+='4．()=-+⎰-22241dx x x __________.解：()=-+⎰-22241dx x x +-⎰-2224dx x ⎰--2224dx x x[].202212ππ=+=5．使级数()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛的实数x 的取值范围是.__________解：记()()()nnnx x x u 222111+++=,...)2,1(=n（一）当0=x 时，由于()021lim ≠=∞→x u nn ，故()()∑∞=+++1222111n nnx x 发散；（二）当0≠x 时，令 ()()()()()[]()[]()nn nn n nn n x x x x x u x u x 222222121111111lim lim++++++==++∞→+∞→ρ ()()()()22222222111111111lim x x x x x nn n +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=∞→ 因为对于0≠∀x ，都有 ()1<x ρ ，故()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛.所以使级数()()∑∞=+++1222111n nnx x 收敛的实数x 的取值范围是()().,00,+∞⋃∞-二．选择题（每小题4分，共20分） 1．()()()11sin ln 22-+=x x x x xx f 的可去间断点的个数是（ D ）0.A 1.B 2.C 3.D2．已知()21='f ，则()()=+--→xx f x f x 11lim（D ）2.A 2.-B 4.C 4.-D3．设dx xx I ⎰=41tan π，dx xx I ⎰=42tan π，则（B ）1.21>>I I A 21.1.I I B >> 1.12>>I I C .1.12I I D >>4．级数∑+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n n 1cos 1（k 为正整数）的敛散性是（A ）.A 绝对收敛 .B 条件收敛 .C 发散 .D 与k 无关5．已知()x f 二阶导数连续，且()00=f 以及()1lim 2=→xx f x ，则曲线()x f y =在0=x 处的曲率k 为（C ）0.A 1.B 2.C .D 不存在三．计算下列各题（每小题6分，共30分）1．求极限xx x x cos 110sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解：x x x x cos 110sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x cos 110.sin 1lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= ()x x xx x x xx x x x cos 1sin sin 0sin 1lim ---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=().lim 31cos 1sin 0---→==e e x x x x x 其中 ()x x xx x cos 1sin lim0--→（等价）2021.sin limx x xx x -=→（洛必达）2031cos lim 2x x x -=→ （等价）.31321lim 2220-=-=→xx x 2．x y 2sin =，求().2004y解：x x x y 2sin cos .sin 2=='； x y 2cos .2=''；()x y 2sin .212-='''； ()()x y 2cos .2134-=； ()x y 2sin .245=；………归纳可得 ().212sin .21⎪⎭⎫⎝⎛-+=-πn x y n n 特别地()⎪⎭⎫⎝⎛+=π220032sin .220032004x y .2cos .22003x -=3．求不定积分.cos 2sin cos dx xx x ⎰+解：令t x =2tan，即t x arctan 2=，.122dt tdx +=dx x x x⎰+cos 2sin cos dt t t t t t t t 22222212.11.21211++-+++-=⎰()()dt t t tt ⎰+++--=222111dt t t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=22142.51112.51dt t t t ⎰++-+-=112512dt t t ⎰+-21251dt t ⎰++21154()c t t t t +++-++-=arctan 541ln 511ln 5122.2tan arctan 542tan 1ln 5112tan2tan ln 5122c x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=另解：令 dx xx x I ⎰+=cos 2sin cos ① dx xx xJ ⎰+=cos 2sin sin ②则⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=++=+⎰⎰,cos 2sin ln cos 2sin sin 2cos 2,cos 2sin cos 2sin 2x x dx x x xx J I x dx x x x x J I解得：.2cos 2sin ln 5152c x x x I +++=4．求广义积分()().1101512⎰+∞--++dx x x解：设()()⎰+∞--++=0151211dx x x I ()()⎰+∞++=52111dx x x ①则I ()()⎰+∞++=052111dx x x （令t x 1=，则dt tdx 21-=）⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0252111111dt t t t ()()⎰∞+++=052511dt t t t()()⎰∞+++=525.11dx x x x ②①+ ②，得： ()()⎰∞++++=5251112dx x x x I .2arctan 11|2π==+=+∞+∞⎰x dx x所以 .4π=I5．设()1ln ,ln 12122>⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰t uu y udu u x t t ，求.22dx y d解：（一）()t t t t t dtdy ln 42.ln .5222-=-=；.ln 42.ln .322t t t t t dtdx ==2t dtdx dtdy dxdy -==.（二）()().ln 121ln 41.2.232222t t tt t dx dt dt t d t dx d dx dy dx d dx y d -=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 四．（8分）曲线()x f y =由方程2516922=+y x 给出. （1）求所给的曲线上点()b a P ,处的切线方程.（2）在所给的曲线位于第一象限的那部分上求一点，使其切线与坐标轴所围的面积最小.解：（一）方程2516922=+y x ① 两边关于x 求导，得 .0.3218=+dxdy y x故.169yx dx dy -= 所以曲线上点()b a P ,处的切线方程为().169a x ba b y --=-即 22169916b a ax by +=+ 亦即 .25916=+ax by （因为 ① ） ② （二）由②式，令0=y ，得.925a x =令0=x ，得.1625by =故()b a P ,处的切线与坐标轴所围的面积为 ().925.21,a b a S =b 1625.ab1.288625= ③ 由于 ()()254322=+b a 所以()()()()[].252414321.1214.3121.22⨯=+≤=b a b a b a ④④式当且仅当b a 43=，即285,265==b a 时成立.所以().1225252411.288625,=⨯≥b a S即最小面积为.1225五．（7分）平面图形D 由曲线y x xy ==,1以及2=x 围成，求D 绕x 轴旋转所成的立体的体积.解一：在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上取代表区间[]y y y ∆+,，对应[]y y y ∆+,部分立体的体积y y y V ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈∆1221π 所以，取dy y y dV ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221π 故⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1211122dy y y V π[]22|1212ππ=-=y y .在[]2,1上取代表区间[]y y y ∆+,，对应[]y y y ∆+,部分立体的体积 ()y y y V ∆-≈∆222π 所以，取()dy y y dV -=222π 故()⎰-=21222dy y y V π.3432|2132ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=y y . 所以 .61134221πππ=+=+=V V V解二：dx x dx x V V V ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=-=212122211ππ .61113||21213πππ=+=xx六．（8分）证明：方程dx x e x x ⎰--=π2cos 1ln 在()+∞,0内有且仅有两个根.证明：（一）令()dx x ex x x f ⎰-+-=π2cos 1ln ，().,0+∞∈x则()0222cos 10>=-=⎰dx x e f π；()-∞=+→x f x 0lim ；().lim +∞=+∞→x f x故由零点定理知，方程()0=x f 在()+∞,0内至少有两个不相等的实根. （二）又令()011=-=-='xex e e x x f ，得唯一驻点.e x =当e x <<0时，()0>'x f ；而当e x >时，().0<'x f 故方程()0=x f 在()+∞,0内至多有两个实根综合（一）、（二）知方程dx x e x x ⎰--=π2cos 1ln 在()+∞,0内有且仅有两个根.七．（7分）()x f 具有三阶连续导数，且().0≠'''a f ()x f 在a x =处的一阶泰勒公式为 ()()()()().1022<<+''+'+=+θθh a f h a f h a f h a f ①试证：当0→h 时，.31→θ证明：由①式，可知()()()()h a f h a f h a f h a f θ+''='--+22 ②由②式，得()()()()h a f ha f h a f h a f θ+''='--+2222 ③由③式，进一步可得()()()()()()ha f h a f h a f h a f h a f h a f ''-+''=''-'--+θ32222 ④④两边令0→h ，取极限，得：()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+''=''-'--+→→h a f h a f h a f h a f h a f h a f h h θθθ0320.lim 222lim⑤ 又⑤左()()()()320222lim h a f h a f h a f h a f h ''-'--+=→()()()23222lim ha f h a f h a f h ''-'-+'=→()()ha f h a f h 622lim''-+''=→()()()a f ha f h a f h '''=''-+''=→31lim310；⑤右()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+''=→→h a f h a f h h θθθ00lim .lim ()..lim 0a f h '''=→θ所以，有()='''a f 31()..lim 0a f h '''=→θ于是，得到.31.lim 0=→h θ。

高数1(2)12级B卷+答案

高数1(2)12级B 卷+答案制卷份数专业 2012级工科,本科 B 班级编号江汉大学 2012——2013 学年第 2 学期考试试卷）2（Ⅰ 学数等高课程名称：课程编号：分钟120 考试时间：卷卷一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程y=y(x)应满足的关系式是 ( A ) A. 'y =2x, y(1)=3 ; B. 'y =2x ; C. "y =2x ; D. "y =2x, y(1)=3. 2. 设f(x+y,x y )=x 2—y 2,则f(x,y)= ( A ) A. y y x +-1)1(2 ; B. y y x -+1)1(2 ;C. x x y +-1)1(2 ;D. xx y -+1)1(2 .3.⎰⎰≤+122),(y x dxdy y x f =4⎰⎰-1102),(x dy y x f dx 在下列情况下成立的是 ( D )A. f(-x,y)=-f(x,y) ;B. f(-x,y)=f(x,y) ;C. f(-x,-y)=f(x,y) ;D.. f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y) .4. 设L 为圆周222a y x =+在第一象限部分,则第一类曲线积分⎰+Ly x ds e22= ( B )A.a ae π41; B.aae π21; C.a π21 ; D. a π41. 5. 下列级数中绝对收敛的有 ( C )A. ∑∞=-+-121)5()1(n n n n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ; C. ∑∞=--1312)1(n nn n ; D. ∑∞=-+-113)1(n n n n .二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分） 1. 微分方程-dx dy x2y=x 的通解为y= cx 2+x 2lnx . 2. 过点(1,1,2)且与平面x —2y+5z —1=0平行的平面方程为 x —2y+5z —9=0 .3. 设z x =y z ln ,则dz= zx z+dx -)(2z x y z +dy .4. 函数yxe z 2=在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)到点Q(2, —1)方向的方向导数 22-. 5. I=⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(,交换积分次序得I=⎰⎰10),(eey dx y x f dy .6. 设∑为锥面)(322y x z +=被z=0和平面z=3所截得的部分,则对面积的曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22= π9 . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-2的幂级数为f(x)= ln3+∑∞=---11)32(1)1(n nn x n .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1. 求微分方程x y y 2sin "=+的通解.解:特征方程012=+r 解为i r i r -==21,,对应齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+=x x f 2s i n)(=,由观察法可设x a y 2sin *=,代人原方程得31-=a , 特解x y 2sin 31*-=,故所求通解为*y Y y +==x c x c sin cos 21+x 2sin 31-.2. 求过点（－3,2,5）且与两平面54=-z x 和752=--z y x 的交线平行的直线方程.解:)34(51240121k j i kj in n s ++-=---=⨯=故所求直线方程为 153243-=-=+z y x .3. 设u=f(x,y x ),其中f 具有二阶连续导数,求x u ∂∂,22x u∂∂.解: xu ∂∂=1'f +y 12'f 22x u ∂∂=)(1'f x∂∂+)1('2f y x ∂∂=……=11"f +12''2f y +22"21f y . 4. 计算I=⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由锥面z=22y x +与z=1所围成的闭区域. 解: 用柱面坐标计算I=⎰⎰⎰πθ20101rzdz rdr d =……=41π .5. 计算曲线积分⎰-+Ly ydx dy e x 2)(sin ,其中L 是从A(1,0)沿y=221x -上到点B(－1,0)的上半椭圆.解: 由于y P ∂∂=―2,xQ ∂∂=1, 故可补线路BA 用格林公式计算. ⎰L=⎰+BAL ―⎰BA=⎰⎰--Ddxdy )]2(1[―⎰-+BAy ydx dy e x )(sin=3⎰⎰Ddxdy +0=3⨯21(21⋅⋅π)=3π .6. 求级数∑∞=1n nnx 在收敛域内的和函数并求∑∞=12n n n . 解:∑∞=1n nnx =x ∑∞=-11n n nx ,nn n a a 1lim+∞→=1收敛域为)1,1(-,令S(x)=∑∞=-11n n nx,积分得⎰xdx x S 0)(=∑∞=1n n x =x x -1=―1+x-11,求导得 ∑∞=1n n nx =2)1(x x -,―1<x<1, ∑∞=12n nn =2)211(212=-.四、应用题（6分）求原点到曲面21)(22=--z y x 上的最短距离. 解:目标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ϕ=(x ―y)2―z 2―21=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―21] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---==-==--==-+=021)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z yx λλλλ 解得 (42,―42,0)或(―42,4221,0), 故d 2=41,即d=21五、证明题（本大题共2小题,每题5分,共10分） 1. 设)(22y x xf z +=,f 为可导函数,证明：z x y x z y y z x =∂∂-∂∂. 证明：xz ∂∂= '2222)(f x y x f ++,y z ∂∂='2xyf ,代人左=z xy y x yf x z y y z x=+=∂∂-∂∂)(22=右 .六.综合题（5分）验证在区域{}0),(22>+=y x y x D ,2222222)()2()2(y x dyy xy x dx x xy y +-+--+为某函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u .解:计算得xQ y P ∂∂=∂∂ ),(y x u ⎰+=),()0,1(y x QdyPdx =⎰⎰+yxdyy x Q dx x P 01),()]0,(=⎰-xdx x x 142+⎰+-+-ydy y x y xy x 022222)()2(=⎰⎰+-++--y y y x d y x dy y x x 0220221)(111…=122---y x y x （或),(y x u =c yx yx +--22）注：将试题答案或解答过程写在答题纸上常用公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=,可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=,可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗日乘数法：目标函数：),,(z y x f u =,条件：0),,(=z y x ϕ, 求可能的极值点时,可作拉格朗日函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λϕλ+=3. 第一类曲线积分：))((),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ,则dt t t t t t t f ds z y x f ⎰⎰Γ++=βαωψϕωψϕ)()()()](),(),([),,(2'2'2'第一类曲面积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=⎰⎰⎰⎰∑4. 格林公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n,)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n高等数学 Ⅰ（2）B 卷答题纸一、选择题（本大题共5小题,每题3分,共15分）1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）二、填空题（本大题共7小题,每题3分,共21分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .三、计算题（本大题共6小题,每题8分,共48分）1.2.3.4.5.6.四、应用题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。

江汉大学《高等数学》2017-2018学年期末试卷A卷

江汉大学试卷（2017至2018学年第二学期）课程名称：高等数学(A 卷)适用班级：理工科本科考试(考查)：考试2019年月日共6页注意事项：1、满100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题4分，共20分）1.11y sin lim1y 0-+→→x x x 等于()(A)0；(B)2；(C)1；(D)∞2.直线16-z 25-y 4x ：l =-=与平面15z y 2x 4：-=+-π的位置关系为()。

()A 平行()B 垂直()C 直线在平面内()D 相交不垂直3.改变()⎰⎰x 01y y ，x f x d d 积分次序为()。

（A ）()⎰⎰101x y ，x f y d d ;（B ）()⎰⎰x1x y ，x f y d d ;（C ）()⎰⎰2y 01x y ，x f y d d ;(D)()⎰⎰1y 12xy ，x f y d d 4.一质点在力→-→-j xi yx 12-（0x >）的作用下，由点()0,1运动到()3,2所做的功题号一二三四五六七八九总分评阅(统分)教师得分得分评阅教师为()(A)23-；(B)23；(C)1；(D )1-5.下列说法不正确的是（）（A ）()∑∞=1n 2nn1-绝对收敛；（B ）若0u lim n n ≠∞→，则∑∞=1n nu发散；（C ）()∑∞=1n nn1-条件收敛；(D)若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n 2nu也收敛。

二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每空4分，共20分）1.设()()x y arctan1-y y x y ，x f 2+=则()=∂∂1,2x f _____________________.2.曲面7y 2x z 22-+=在点)4,1,1(-处的切平面方程为___________________.3.函数z y u 2x =在)1,1,1(-处的梯度为________4.若3x 1-<<，将函数的x11)(f +=x 展开成1-x 的幂级数.5．设方程0z y ，z x F =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛确定了函数()y ，x z z =，则=∂∂y z___________________.三、设函数)v u (sin z +=具有一阶连续偏导数,其中xy u =，xe v =求x z ∂∂与yz∂∂（8分）得分评阅教师得分评阅教师四、求函数()()y x 3y x y ，x f33+-+=的极值.（10分）五、计算⎰⎰Ddxdy 2x -y 2,其中D 为(){}2y 0,1x 0y ，x ≤≤≤≤.（8分）得分评阅教师得分评阅教师六、计算()()dy y 2xe dx x 3ey 2y+++=⎰LI ，其中L 为过点()0,0O ,()1,0A ,()2,1B 的圆周从O 点经点A 到点B .(8分)七、设Ω由22y x z +=与平面1z=所围成的区域，计算⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x 22的值。

(完整word版)2004-2014年江苏高考数学历年真题及答案,推荐文档

2004年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合{1,2,3,4}P =，{}2,Q x x x R =≤∈，则P Q I 等于（）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数22cos 1y x =+(x R ∈)的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（） A ．33π100cm B ．33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4(2x +的展开式中3x 的系数是（）A ．6B ．12C ．24D ．48时间(小时)8．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则（）A ．a =2，b =2B ．ab =2 C ．a =2，b =1 D ．a，b9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设1k >，()(1)f x k x =-(x R ∈) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数()y f x =的图象与x 轴交于A 点，它的反函数1()y fx -=的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（）A ．3B ．32 C ．43 D ．6512．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间M =[a ，b ](a <b )，集合N ={(),y y f x x M =∈}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数2y ax bx c =++(x R ∈)的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________.14．以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是________________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(31)2n n a S -=(对于所有1n ≥)，且454a =，则1a 的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin()3πα-的值.18．在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·20．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =u u u u r u u u r，求直线l 的斜率.22．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有2121212()()[()()]x x x x f x f x λ-≤--和1212()()f x f x x x -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足0()0f a =和()b a f a λ=- (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00b a ≠，使得0()0f b =；(Ⅱ)证明22200()(1)()b a a a λ-≤--；(Ⅲ)证明222[()](1)[()]f b f a λ≤-.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞Y 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知25tancot22sin 2ααα+==，得4sin 5α=..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπαΘ从而 3sincos 3cos sin )3sin(παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP .∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB , ∵CC 1=4CP ,CC 1=4，∴CP =I .在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC =4，CP =1，故BP =17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB =,17174=BP AB∴∠APB =.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y =6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07>Θ ∴当x =4，y =6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22()k k S S =，得422211()22k k k k +=+，即 0)141(3=-k k 又0k ≠，所以4k =.（II ）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k =1,2,得211242()()S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即211211,43214(2)22a a a d a d ⎧=⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩ 由（1）得 10a =或1 1.a =当10a =时，代入（2）得0d =或6,d =若10,0a d ==，则0,0n n a S ==，从而2()k k S S =成立若10,6a d ==，则6(1)n a n =-，由23318,()324,216n S S S ===知 293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当11a =时，代入（2）得246(2)d d +=+，解得0d =或2d =（1）（2）若11,0a d ==，则1,n n a S n ==，从而22()k k S S =成立；若11,2a d ==，则221,13(21)n n a n S n n =-=+++-=L ，从而2()n S S =成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线:()l y k x m =+，则点(0,)M km当2MQ QF =u u u u r u u u r时，由于(,0),(0,),F m M km -由定比分点坐标公式，得02201,.123123Q Q m m km x y km -+==-==++ 又点2(,)33m kmQ -在椭圆上，所以22222499 1.43m k m m m +=解得k =±.当2MQ QF =-u u u u r u u u r 时，0(2)()2,1212Q Q m kmx m y km +-⨯-==-==---于是222224143m k m m m+=，解得0k =．故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取1212,,x x R x x ⊂≠，则由)]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而1≤λ. 假设有00b a ≠，使得0()0f b =，则由①式知20000000()()[()()]0a b a b f a f b λ<-≤--=矛盾．∴不存在00b a ≠，使得0()0.f b =（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=2005年高考数学（江苏卷）试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A Y I =（） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(321R x y x∈+=-的反函数的解析表达式为（）A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（）A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（） A ．1617 B ．1615 C ．87D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是（） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （） A ．97-B ．31- C ．31 D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A ．33 B ．31 C ．22 D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +•的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小（本小问不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B （13）若b a >，则122->b a （14）014=--y x （15）]1,43()0,41[Y -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ，即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ，由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81；（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA I BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282-π （22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ；当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+(Ⅱ)设此最小值为m①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以)1(-==a f m若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数，当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数，因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ，当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ，要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>，因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：一组数据的方差 ])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-=Λ其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2004年高考数学试题湖北卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科类)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{|),{|6,}A x x k N B x x x Q ==∈≤∈，则A B 等于（）A ．{1,4}B ．{1,6}C ．{4,6}D ．{1,4,6}2．已知点1(6,2)M 和2(1,7)M ，直线7y mx =-与线段12M M 的交点M 分有向线段12M M 的比为3：2，则m 的值为（）A ．23-B ．32-C ．41 D ．43．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f B ．)1(2)(-=x x fC ．A ．271 B ．161 C ．91 D ．81 7．已知,,a b c为非零的平面向量．甲：a b a c ⋅=⋅ ，乙：b c = ，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知52x ≥，则245()24x x f x x -+=-有（）A ．最大值45B ．最小值45 C ．最大值1D ．最小值19．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（）A ．n n n a x y =+，其中{}n x 为等差数列，{}n y 为等比数列B ．n n n a x y =+，其中{}n x 和{}n y 都为等差数列C ．n n n a x y =⋅，其中{}n x 为等差数列，{}n y 都为等比数列D ．n n n a x y =⋅，其中{}n x 和{}n y 都为等比数列10．若,1ba <<则下列结论中不．正确的是（）A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+11．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致．．的放入方法种数为（）A ．120B ．240C ．360D ．72012．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象．在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．tan 2010的值为． 14．已知n xx )(2121-+的展开式中各项系数的和是128，则展开式中5x 的系数是．（以数字作答）15．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n = ．16．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意B xA x ∉∈有, ②AB ⇔=B A③A B ⇔AB ④AB ⇔存在x A ∈，使得x B ∉其中真命题的序号是．（把符合要求的命题序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知226sin sin cos 2cos 0,[,]2παααααπ+-=∈，求sin(2)3πα+的值．18．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，CB 与CB 1交于点F ．（I ）求证：A 1C ⊥平BDC 1；（II ）求二面角B —EF —C 的大小（结果用反三角函数值表示）． 19．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC =a ．若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值．20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大． 22．（本小题满分14分）已知c bx x x g b x x f c b ++=+=>->2)()(,0,1的图象与函数函数的图象相切．（Ⅰ）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；（Ⅱ）设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点，求c 的取值范围．2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科类）（湖北卷）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．C 10．D 11．B 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．3314．35 15．192 16．④ 17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等基础知识和基本运算技能，满分12分．解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα或由已知条件可知cos 0α≠，所以2πα≠，即(,)2παπ∈．于是2tan 0,tan .3αα<∴=-3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 将2tan 3α=-代入上式得22222()1()33sin(2)22321()1()33πα---+=-++-+- 613=-+即为所求．解法二：由已知条件可知cos 0α≠，则2a π≠，所以原式可化为26tan tan 20.αα+-=即(3tan 2)(2tan 1)0.αα+-= 又(,),tan 0.2παπα∈∴<2tan .3α∴=-下同解法一．18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）∵A 1A ⊥底面ABCD ，则AC 是A 1C 在底面ABCD 的射影． ∵AC ⊥BD ．∴A 1C ⊥BD ．同理A 1C ⊥DC 1,又BD ∩DC 1=D , ∴A 1C ⊥平面BDC 1．（Ⅱ）取EF 的中点H ，连结BH 、CH ，.BE BF BH EF ==∴⊥同理BHC ∴∠是二面角B EF C --的平面角又E 、F 分别是AC 、B 1C 的中点，11//.2EFAB =∴ BEF ∴∆与CEF ∆是两个全等的正三角形故24BH CH BF === 于是在BCH ∆中，由余弦定理，得2222211cos 2311arccos()arccos .33BH CH BC BHC BH CH BHC π+-+-∠===-⋅∴∠=-=- 故二面角B EF C --的大小为1arccos .3π-解法二：（Ⅰ）以点C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)C ．(1,0,0)D ,(0,1,0)B ,1(1,1,1)A ,1(0,0,1)C ,1(1,0,1)D11111(1,1,1,),(1,1,0),(1,0,1).110,110.CA BD DC CA BD CA DC ∴==-=-∴⋅=-=⋅=-+=即111,CA BD CA DC ⊥⊥ 又1,BDDC D =1AC ∴⊥平面1.BDC （Ⅱ）同（I ）可证，BD 1⊥平面AB 1C ．则11,A D D B <> 就是所求二面角的平面角补角的大小11111111(1,1,1),(1,1,1),cos ,||||1.3AC D B AC D B AC D B AC D B =---=--⋅∴<>=⋅==故二面角B EF C --的大小为arccos .3π-19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分．解法一：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-32222()12cos .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=-+⋅-=-+⋅=-+故当cos 1θ=即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BP CQ ⋅最大，其最大值为0解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设||,||AB c AC b ==，则(0,0),(,0),(0,)A B c C b ，且||2,||.PQ a BC a ==设点P 的坐标为(,)x y ，则(,).Q x y --22(,),(,),(,),(2,2).()()()().BP x c y CQ x y b BC c b PQ x y BP CQ x c x y y b x y cx by ∴=-=---=-=--∴⋅=--+--=-++-2222cos .||||cos .cos .PQ BC cx by a PQ BC cx by a BP CQ a a θθθ⋅-==⋅∴-=∴⋅=-+故当cos 1θ=即0θ=（PQ 与BC 方向相同）时，BP CQ ⋅最大，其最大值为020．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分．解：（Ⅰ）将直线l 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=后，整理得.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20220.2k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得k 的取值范围是2k -<<（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ,0）．则由F A ⊥FB 得：1212()()0.x c x c y y --+=即1212()()(1)(1)0.x c x c kx kx --+++=整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c kx x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 2560.k +-=解得k =或6(2,5k =∉-（舍去）可知k =使得以AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 21．本小题考查概率的基础知识以及运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分．解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元．由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0．9．方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知．联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 1—(1—0．9)(1—0．7)=0．97．方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0．8）(1—0．7)(1—0．6)=1—0．024=0．976．综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大．22．本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）依题意，令()()f x g x ''=,得21x b +=，故1.2bx -= 由于112()()22b bf g --=，得2(1)4.b c +=1,0,1b c b >->∴=-+（Ⅱ）.43)(.)(2)()()(22223c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++== 令()0F x '=，即22340.x bx b c +++= 则2221612()4(3).b b c b c ∆=-+=-若0∆=，则()0F x '=有一个实根0x ，且()F x '的变化如下：于是0x x =不是函数)(x F 的极值点．若0∆>，则()0F x '=有两个不相等的实根1212,()x x x x <且()F x '的变化如下：由此，1x x =是函数()F x 的极大值点，2x x =是函数()F x 的极小值点．综上所述，当且仅当0∆=时，函数()F x 在(,)-∞+∞上有极值点．由24(3)0b c ∆=->得b <b >11b =-++< 1-+解之得07c <<-或7c >+故所求c 的取值范围是(0,7(7).-++∞。

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医类)

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题1．设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合NM I 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数2sin x y =的最小正周期是（）A ．2πB ． πC ．π2D ．π43．设数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A ．54S S <B ．54S S =C ．56S S <D ．56S S = 4．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径C ．043=+-y xD ．023=+-y x 5．函数)1(log 221-=x y 的定义域为（）A ．[)(]2,11,2Y --B ．)2,1()1,2(Y --C ．[)(]2,11,2Y --D ．)2,1()1,2(Y --6．设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（）A ．i 322--B ．i 232--C ．i 32+D ．i 232+7．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （）A ．5B ．5 C ．25D ．45 8．不等式311<+<x 的解集为（）A ．()2,0B ．())4,2(0,2Y -C ．()0,4-D ．())2,0(2,4Y --9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A ．322 B ．2C ．32D ．324 10．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3311．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（）A ．(][]10,02,Y -∞-B ．(][]1,02,Y -∞-C ．(][]10,12,Y -∞-D ．[]10,1]0,2[Y -12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 13．用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比14．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15．已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .16．设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题（6道题，共76分）17．（本小题满分12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.18．（本小题满分12分）解方程 11214=-+xx.m的矩形蔬菜温室。

04级高等数学II试题A

一、填空题：(20分)1．曲线t z t y t x 2,sin ,cos ===在4π=t 处的法平面方徎为________。

2．点(1,2,1)到平面1022=++z y x 的距离为_______。

3．设平面过点)2,1,1(),2,2,2(),1,1,1(----.则平面方程为________。

4．已知xy z arctan=,则yx z ∂∂∂2=________。

5．交换积分⎰⎰1),(y ydx y x f dy 的积分次序为___________。

6．设∑：2222a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑2=_________ 。

7．函数u=ln(x 2+y 2+z 2), 则div(grad u)= 。

8．设函数f (x )是以π2为周期，f (x )=2x x +(-ππ≤<x )，f (x)的Fourier 级数为)s in cos (210∑+∞=++n n n nx b nxa a ，则b 3= 。

9．设函数f (x )是以π2为周期的奇函数，它的Fourier 级数为)s i n c o s (210∑+∞=++n n nnx b nx aa ，则级数∑∞=0n n a = 。

10．下列四个命题：（1）.若级数∑∞=12004n na发散，则级数∑∞=12005n n a 也发散；（2）.若级数∑∞=12005n na发散，则级数∑∞=12006n na也发散；（3）.若级数∑∞=12004n na收敛，则级数∑∞=12005n n a 也收敛；（4）.若级数∑∞=12005n na收敛，则级数∑∞=12006n n a 也收敛。

上述正确的命题是______。

二. （8分）求函数y y y x y x f -+=32),(的极值，并指出是极大值，还是极小值。

三. （8分）求级数∑∞=-11n n nx 的收敛域和它的和函数。

四. （8分）计算⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。

2004 高考数学卷

2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.若tgα=21,则tg(α+4π)= .2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= .4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6.已知点A(1, －2),若向量AB 与a ={2,3}同向=213,则点B 的坐标为 . 7.在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= .8.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 . 11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14.三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( )(A){x│x=2kπ+3π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π,k ∈Z}.(C) {x│x=2kπ±3π,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K,k ∈Z}.15.若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=( )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x .16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张. 三、解答题(本大题满分86分) 17.(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B.(1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x)的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)= f 1(x)+ f 2(x).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a>3时,关于x 的方程f(x)= f(a)有三个实数解.21.(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体； (2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的大小；(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22.(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n . (1) 若C 的方程为2510022yx+=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标；(只需写出一个) (2)若C 的方程为12222=+by ax (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时,求S n 的最小值；. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1. 3 2.(5,0) 3.{1,2,5} 4.2 5.(－2,0)∪(2,5] 6.(5,4) 7.5152 8.(x －2)2+(y+3)2=5 9.114 10.a>0且b≤011.用代数的方法研究图形的几何性质 12.①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13.B 14.C 15.A 16.B 三、解答题(本大题满分86分) 17.【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i,于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18.【解】由题意得xy+41x 2=8,∴y=xx482-=48x x-(0<x<42).于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.此时, x≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 19.【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1,∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)20.【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x 2. 设f 2(x)=xk (k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k ,k )B(－k ,－k )由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=x8.故f(x)=x 2+x8. (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x 2+x8=a 2+a8,即x8=－x 2+a 2+a8.在同一坐标系内作出f 2(x)=x8和f 3(x)= －x 2+a 2+a 8的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+a8)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+a8当a>3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0,∴当a>3时,在第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. 【证法二】由f(x)=f(a),得x 2+x8=a 2+a8,即(x －a)(x+a －ax8)=0,得方程的一个解x 1=a.方程x+a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0,由a>3,△=a 4+32a>0,得 x 2=aa a a 23242+--, x 3=aa a a 23242++-,∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3. 若x 1= x 3,即a=aa a a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a,得a=0或a=34,这与a>3矛盾, ∴x 1≠ x 3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解. 21.【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF ∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM. ∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM, 则∠DMA 为二面角D-BC-A 的平面角. 由(1)知,P-ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得sin ∠DMA=33=AMAD ,∴∠DMA=arcsin33.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC 的棱长和为定值6,体积为V . 设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α,则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V .∵正四面体P-ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.22.【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3=70.由222211002570x yx y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,得226010x y ⎧=⎨=⎩∴点P 3的坐标可以为(215,10).(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by ax (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由 ()222222211k k k k x y a k d x y a b ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩,解得y 2k =222)1(b a d k b --- ∵0< y 2k≤b 2,得122--k a b ≤d<0∴122--n ab ≤d<0以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线C:22ax －22by =1,点P 1(a,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0. ∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2, ∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0. 【解法二】若抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上【解法三】若圆C:(x －a)+y 2=a 2(a≠0), P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a.∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d>0且n OP 2=(n －1)d≤4a 2.即0<d≤142-n a.更多试卷下载请访问：/。

2004年普通高等学校招生全国统一考试

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类湖南卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．函数)11lg(xy -= 的定义域为（）A ．{}0|<x xB ．{}1|>x xC ．{}10|<<x xD ．{}10|><或x x2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足（）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A ．12)(1-≤-x x f B ．12)(1+≤-x x fC ．12)(1-≥-x x fD ．12)(1+≥-x x f4．如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是（）A ．513B ．13C ．5D ．135 5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0(8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，0=x 2+b x +c/） 10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A ．56B ．52C ．48D ．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。

04-05高等数学试卷A答案

04-05高等数学试卷A答案D高等数学试卷（A卷）第 2 页共 14 页高等数学试卷（A卷）第 3 页共 14 页高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 14 页=⎰⎰110),(xdy y x f dx ⎰⎰10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则⎰=+Lds y x )(24．当10≤<p 时，级数∑∞=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz∂∂及y z ∂∂存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 14 页（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--⎰⎰⎰（B ）1110x x y dx dy x dz ---⎰⎰⎰（C ）1110y x y dx dy x dz---⎰⎰⎰（D ）111dx dy x dz⎰⎰⎰4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 14 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=⎰【 A 】（A ）⎰⎰+-Ddxdyy x)(22（B ）⎰⎰+Ddxdyy x)(22（C ）⎰⎰--Ddxdyx y)(22（D ）⎰⎰-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 14 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中yx u -=，22y x v +=，求x z ∂∂与yx z∂∂∂2解：xz∂∂xv u f v u f v u2),(1),(⋅+⋅=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =∂∂∂yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ⋅-+⋅+⋅-+⋅ ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++确定，求xz∂∂及22x z ∂∂ 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=∂∂1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 14 页222)1()(1z xz x z xz-∂∂---=∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值 ┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 14 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D⎰⎰，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域解：dxdy y x D⎰⎰21xx dx ydy=⎰⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ⎰-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ⎰⎰+22，其中D 由422=+y x围成的闭区域解：dxdy eDy x ⎰⎰+22⎰⎰=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 14 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++⎰⎰，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++⎰⎰⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3⎰⎰⎰=ππϕϕθ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1⋅+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装 ┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛 ┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=⋅12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=⎰22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]⎰+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ⋅-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03|81|===t t V V即 ππ3281)31(323⋅=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。

2004数学高考试题

2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程)一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)（1－i）2·i等于……………………………………………………………………………（）A.2－2iB.2+2iC.－2D.22、(5分)已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于…………………………………（）A.bB.－bC.D.－3、(5分)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于…………………………（）A.B.C.D. 44、(5分)函数y=+1（x≥1）的反函数是………………………………………………………（）A.y=x2－2x+2（x＜1）B.y=x2－2x+2（x≥1）C.y=x2－2x（x＜1）D.y=x2－2x（x≥1）5、(5分)（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14C.42D.－426、(5分)设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是…………………（）A.（I A）∪B=IB.（I A）∪（I B）=IC.A∩（I B）=D.（I A）∩（I B）=I B7、(5分)椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于…………………………………………………………………………………（）A.B.C.D.48、(5分)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是………………………………………………………………………………（）A.［－，］B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］9、(5分)为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象…………………（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度10、(5分)已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于………………………………………………………………………（）A.B.C.D.11、(5分)从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为……………………………………………………………………………（）A.B.C.D.12、(5分)已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为…………………………………（）A.－B.－C.－－D.+二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 16 分)1、(4分)13.不等式|x+2|≥|x|的解集是 .2、(4分)14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .3、(4分)15.已知数列{a n}满足a1=1,a n=a1+2a2+3a3+…+（n－1）a n－1（n≥2），则{a n}的通项a n=4、(4分)16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题 ( 本大题共 6 题, 共计 74 分)1、(12分)17.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.2、(12分)18.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.3、(12分)19.已知a∈R，求函数f（x）=x2e ax的单调区间.4、(12分)20.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小.5、(12分)21.设双曲线C:－y2=1（a＞0）与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围；（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且=，求a的值.6、(14分)22.已知数列{a n}中a1=1，且a2k=a2k－1+（－1）k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….（Ⅰ）求a3,a5;（Ⅱ）求{a n}的通项公式.。