数学建模讲义1

为了便于单纯形法的实施， 为了便于单纯形法的实施，我们用单纯形表来描 述线性规划问题的一个基本可行解的情况。 述线性规划问题的一个基本可行解的情况。 组成一组基变量， 不妨设x1,x2,…,xm组成一组基变量，且对应一个 基本可行解。 基本可行解。用高斯消去法把等式约束和目标函数变 形为
x1
-z
x
无可行解 解无界
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法
单纯形法(Simplex method)(一 1.2.2 单纯形法(Simplex method)(一) G.B.Dantzig1947年提出. G.B.Dantzig1947年提出.要找到线性规划 年提出 问题的最优解， 问题的最优解，只要在基本可行解中寻找就可 以了。虽然基本可行解的数目是有限个（不超 以了。虽然基本可行解的数目是有限个（ ），但当m,n较大时 要用“穷举法” 但当m,n较大时， 过Cnm个），但当m,n较大时，要用“穷举法” 求出所有基本可行解也是行不通的。因此， 求出所有基本可行解也是行不通的。因此，必 须寻求一种更有效的方法。 须寻求一种更有效的方法。 单纯形法的基本思路是： 单纯形法的基本思路是：从线性规划问题 的一个基本可行解开始， 的一个基本可行解开始，转换到另一个使目标 函数值增大的基本可行解。反复迭代， 函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目 标函数值达到最大时，就得到了最优解。 标函数值达到最大时，就得到了最优解。
线性规划模型的一般形式 一般形式如下： 一般形式
max(min) z = c1 x1 + c2 x2 + ⋯ + cn xn a11 x1 + a12 x2 + ⋯ a1n xn ≤ (=, ≥)b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ a2 n xn ≤ (=, ≥)b2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ amn xn ≤ (=, ≥)bm x1 , x2 , ⋯ xn ≥ 0
我们常常利用矩阵,把上式写成: 我们常常利用矩阵,把上式写成:
min(max) ∑ ci xi
i =1 n
或者写成
s.t
n ∑ aij x j = bi ( i = 1,..., m ) j =1 x ≥ 0, ( j = 1,..., n ) j
min f = CX S .T AX = B
单纯形法( 1.2.2 单纯形法(三)
用单纯形法求解线性规划问题的具体步骤如下： 用单纯形法求解线性规划问题的具体步骤如下： 找出初始可行基，确定初始基本可行解， ①找出初始可行基，确定初始基本可行解，建立初 始单纯形表； 始单纯形表；转②。 ≤0（ 检验对应于非基变量的检验数σ ②检验对应于非基变量的检验数σj。若σj≤0（xj 为非基变量）都成立， 为非基变量）都成立，则当前单纯形表对应的基本解就 是最优解，停止计算；否则转③ 是最优解，停止计算；否则转③。 在所有σ >0中 若有一个σ 对应的x ③在所有σj>0中，若有一个σk对应的xk的系数 (i=1,2,…,m)，则此问题为无界解（无解）， a'ik≤0 (i=1,2,…,m)，则此问题为无界解（无解）， 停止计算；否则转④ 停止计算；否则转④。 max（ >0） 确定x 为换入变量； ④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变量；根 规则θ >0}＝ 据θ规则θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk 确定相应的换出变量，并得到中心元素a 确定相应的换出变量，并得到中心元素a'lk。转⑤。 为枢轴元素进行转轴运算， ⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得到新的单纯 形表。 形表。转②.
单纯形法( 1.2.2 单纯形法(二)
按照单纯形法的思路求解线性规划问题, 按照单纯形法的思路求解线性规划问题 要解决 三个技术问题:⑴给出第一个基本可行解; 三个技术问题 ⑴给出第一个基本可行解 ⑵检验一 个基本可行解是否是最优解; 个基本可行解是否是最优解 ⑶转换到另一个基本 可行解. 可行解 把线性规划问题变成标准型后, ⑴把线性规划问题变成标准型后 观察是否每个 约束方程中都有独有的、系数为1的变量 如果是,则 的变量. 约束方程中都有独有的、系数为 的变量 如果是 则 取这些变量作为基变量,便得到一个基本可行解 便得到一个基本可行解; 取这些变量作为基变量 便得到一个基本可行解 否 就给没有这种变量的约束条件添加一个人工变量, 则,就给没有这种变量的约束条件添加一个人工变量 就给没有这种变量的约束条件添加一个人工变量 同时修改目标函数. 见例题 见例题) 同时修改目标函数 (见例题 ⑵如果单纯形表最后一行中的σj都满足 σj≤0, 则 如果单纯形表最后一行中的 对应的基本可行解是最优解; 否则就不是最优解. 对应的基本可行解是最优解 否则就不是最优解 σj称 为检验数. 为检验数
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.1.3 基本概念
满足约束条件（ 可行解 满足约束条件（包括 非负条件）的一组变量值，称可行解。 非负条件）的一组变量值，称可行解。 所有可行解的集合称为可行域。 所有可行解的集合称为可行域。 可行域 最优解 使目标函数达到最大的 可行解称为最优解。 可行解称为最优解。
1.2 线性规划问题的求解
1.2.1 图解法
x2
max z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x1 + 2 x 2 ≤ 8 4 x 1 ≤ 16 4 x 2 ≤ 12
x1, x
2
≥ 0
x1 唯一最优解
x1 无穷多最优解
线性规划问题 如果有最优解,则最 如果有最优解 则最 优解一定在可行域 边界上取得 上取得,特别 的边界上取得 特别 地,一定可在可行域 一定可在可行域 顶点上取得 上取得. 的顶点上取得
其中aij , bi , ci均为实常数。且bi ≥ 0
不符合标准型的几个方面： ⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn 令z′=-z ,变为 max z′= -c1x1- c2x2- ⋯ -cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn≤b1 加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn≥b1 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj′ - xj″，对模型中变量的进行变 量代换。
… x
m
x
2
x
m + 1
…
x
n
b
b ′1 b ′2 ┇ b ′m - z 0
x 1 x 2 ┇ x m σ
j
0 … 0 1 … 0 … … … … 0 … 0 … 0 0
a ′1m+1… a ′1n a ′2m+1… a ′2n … … … … … a ′mm+1… a ′mn σ m+1… σ n
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.2 图解法
1
线性规划
1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.1 问题的提出 1.1.2 线性规划问题的标准型 1.1.3 基本概念 1.2 线性规划问题的求解 1.2.1 图解法 1.2.2 单纯形法 1.2.3 单纯形法计算机软件 1.3 线性规划应用举例 1.3.1 线材的合理利用问题 1.3.2 配料问题 1.3.3 连续投资问题
B
把其系数列成数据表即单纯形表: 把其系数列成数据表即单纯形表:xΒιβλιοθήκη 1 0 … 0 01
+a'1m+1xm+1+…+a'1nxn=b'1 x2 +a'2m+1xm+1+…+a'2nxn=b'2 … ……………………… xm+a'mm+1xm+1+…+a'mnxn=b'm +σm+1xm+1+…+σnxn= -z0
Max Z=2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1 ≤16 4x2≤12 x1, x2≥0
1.1.1 问题的提出(二) 问题的提出(
靠近某河流有两个化工厂， 例 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，两工厂之间有一条流量 万 为每天200万m3的支流（见图）。 为每天 万 的支流（见图）。 第一化工厂每天排放污水2万 第一化工厂每天排放污水 万m3， 设工厂 和工厂 设工厂1和工厂 和工厂2 第二化工厂每天排放污水 1.4万m3。 每天分别处理污水 1 万 每天分别处理污水x 污水从工厂1流到工厂 前会有20% 和x2万m3，则有： 流到工厂2前会有 污水从工厂 流到工厂 前会有 自然净化。根据环保要求， 自然净化。根据环保要求，河水中 Min z=1000x1+800x2 污水的含量应不大于0.2%。而工 污水的含量应不大于 。 (2-x1)/500 ≤0.002 和工厂2处理污水的成本分别为 厂1和工厂 处理污水的成本分别为 [0.8(2-x )+1.4-x ]/700 和工厂 1 2 3和800元/万m3。问两 1000元/万m 元万 元万 ≤0.002 x1≤2, x2≤1.4 工厂各应处理多少污水才能使处理 污水的总费用最低？ 污水的总费用最低？ x1, x2≥0
对于有n个变量、 基本解 对于有n个变量、m个约束 方程的标准型线性规划问题，取其m个变量。 方程的标准型线性规划问题，取其m个变量。 若这些变量在约束方程中的系数列向量线性 无关，则它们组成一组基变量。 无关，则它们组成一组基变量。确定了一组 基变量后，其它n 个变量称为非基变量。 基变量后，其它n-m个变量称为非基变量。 令非基变量都为 0 ，解约束方程 可唯一得到基变量的值， ，可唯一得到基变量的值，从而得到一个满 足约束方程的解，称为基本解。由此可见， 足约束方程的解，称为基本解。由此可见， 一个基本解的非零分量个数不超过m 一个基本解的非零分量个数不超过m个。 基本可行解 满足非负条件的基本 解称为基本可行解。 解称为基本可行解。 基本可行解既是基本解、 基本可行解既是基本解、又是可 行解， 行解，它对应于线性规划问题可行域的顶